Jumla ya nishati ya fomula ya pendulum ya hisabati. Mitetemo ya Harmonic

Ufafanuzi

Pendulum ya hisabati-Hii kesi maalum pendulum ya kimwili, ambaye wingi wake iko katika hatua moja.

Kwa kawaida, pendulum ya hisabati inachukuliwa kuwa mpira mdogo (hatua ya nyenzo) yenye molekuli kubwa, imesimamishwa kwenye thread ya muda mrefu isiyozidi (kusimamishwa). Huu ni mfumo mzuri ambao huzunguka chini ya ushawishi wa mvuto. Tu kwa pembe za utaratibu wa 50-100, pendulum ya hisabati ni oscillator ya harmonic, yaani, hufanya oscillations ya harmonic.

Alipokuwa akisoma swing ya chandelier kwenye mnyororo mrefu, Galileo alisoma mali pendulum ya hisabati. Aligundua kuwa kipindi cha oscillation ya mfumo fulani haitegemei amplitude katika pembe ndogo za deflection.

Mfumo wa kipindi cha oscillation ya pendulum hisabati

Acha sehemu ya kusimamishwa ya pendulum iwe ya kusimama. Mzigo uliosimamishwa kutoka kwenye thread ya pendulum husogea kando ya arc ya mviringo (Mchoro 1 (a)) na kuongeza kasi, na inachukuliwa na nguvu fulani ya kurejesha ($\overline(F)$). Nguvu hii mabadiliko kadri mzigo unavyosonga. Matokeo yake, hesabu ya harakati inakuwa ngumu. Hebu tutambulishe baadhi ya kurahisisha. Hebu pendulum isiingie kwenye ndege, lakini ueleze koni (Mchoro 1 (b)). Katika kesi hii, mzigo huenda kwenye mduara. Kipindi cha oscillations ambacho kinatuvutia kitafanana na kipindi cha harakati ya conical ya mzigo. Kipindi cha mapinduzi ya pendulum ya conical kuzunguka duara ni sawa na wakati uliotumiwa na mzigo kwenye zamu moja kuzunguka duara:

ambapo $L$ ndio mduara; $v$ ni kasi ya mwendo wa mzigo. Ikiwa pembe za kupotoka kwa thread kutoka kwa wima ni ndogo (amplitudes ndogo ya vibration), basi inachukuliwa kuwa nguvu ya kurejesha ($ F_1 $) inaongozwa kando ya radius ya mduara ambayo mzigo unaelezea. Kisha nguvu hii ni sawa na nguvu ya katikati:

Hebu tuzingatie pembetatu zinazofanana: AOB na DBC (Kielelezo 1 (b)).

Tunalinganisha pande za kulia za misemo (2) na (3) na kuelezea kasi ya harakati ya mzigo:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\kushoto(4\kulia).\]

Tunabadilisha kasi inayotokana na fomula (1), tunayo:

\ \

Kutoka kwa formula (5) tunaona kwamba kipindi cha pendulum ya hisabati inategemea tu urefu wa kusimamishwa kwake (umbali kutoka kwa hatua ya kusimamishwa hadi katikati ya mvuto wa mzigo) na kuongeza kasi. kuanguka bure. Mfumo (5) wa kipindi cha pendulum ya hisabati inaitwa fomula ya Huygens;

Kutumia utegemezi wa kipindi cha oscillation ya pendulum ya hisabati juu ya kuongeza kasi ya mvuto, ukubwa wa kuongeza kasi hii imedhamiriwa. Ili kufanya hivyo, pima urefu wa pendulum kwa kuzingatia idadi kubwa ya oscillations, tafuta kipindi $T$, kisha ukokotoa kuongeza kasi ya mvuto.

Mifano ya matatizo na ufumbuzi

Mfano 1

Zoezi. Kama inavyojulikana, ukubwa wa kuongeza kasi kutokana na mvuto inategemea latitudo. Ni nini kuongeza kasi ya mvuto katika latitudo ya Moscow ikiwa kipindi cha oscillation ya pendulum ya hisabati yenye urefu wa $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m ni sawa na T=1 s?\textit()

Suluhisho. Kama msingi wa kutatua shida, tunachukua fomula ya kipindi cha pendulum ya hesabu:

Wacha tuonyeshe kutoka (1.1) kuongeza kasi ya kuanguka bure:

Wacha tuhesabu kasi inayohitajika:

Jibu.$g=9.81\frac(m)(s^2)$

Mfano 2

Zoezi. Ni nini kitakuwa kipindi cha kuzunguka kwa pendulum ya hisabati ikiwa hatua ya kusimamishwa kwake itasogea chini chini 1) na kasi ya mara kwa mara? 2) kwa kuongeza kasi $a$? Urefu wa uzi wa pendulum hii ni $l.$

Suluhisho. Hebu tufanye kuchora.

1) Kipindi cha pendulum ya hisabati, hatua ya kusimamishwa ambayo inasonga sawasawa, ni sawa na kipindi cha pendulum na uhakika fasta kusimamishwa:

2) Kuongeza kasi kwa sehemu ya kusimamishwa kwa pendulum kunaweza kuzingatiwa kama mwonekano wa nguvu ya ziada sawa na $F=ma$, ambayo inaelekezwa dhidi ya kuongeza kasi. Hiyo ni, ikiwa kasi inaelekezwa juu, basi nguvu ya ziada inaelekezwa chini, ambayo ina maana inaongeza juu ya nguvu ya mvuto ($ mg $). Ikiwa hatua ya kusimamishwa inakwenda kwa kasi ya chini, basi nguvu ya ziada hutolewa kutoka kwa nguvu ya mvuto.

Tunapata kipindi cha pendulum ya hisabati ambayo inazunguka na ambayo hatua yake ya kusimamishwa inasonga kwa kasi kama:

Jibu. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

(lat. amplitude- magnitude) ni mkengeuko mkubwa zaidi wa mwili unaozunguka kutoka kwa nafasi yake ya usawa.

Kwa pendulum ni umbali wa juu, ambayo mpira huenda mbali na nafasi yake ya usawa (takwimu hapa chini). Kwa oscillations na amplitudes ndogo, umbali kama huo unaweza kuchukuliwa kama urefu wa arc 01 au 02, na urefu wa makundi haya.

Amplitude ya oscillations hupimwa kwa vitengo vya urefu - mita, sentimita, nk Kwenye grafu ya oscillation, amplitude inafafanuliwa kuwa upeo wa juu (modulo) wa curve ya sinusoidal (angalia takwimu hapa chini).

Kipindi cha oscillation.

Kipindi cha oscillation- hiki ni kipindi kifupi zaidi cha muda ambacho mfumo unaozunguka unarudi tena katika hali ile ile uliyokuwa nayo. wakati wa kuanzia wakati uliochaguliwa kwa nasibu.

Kwa maneno mengine, kipindi cha oscillation ( T) ni wakati ambapo oscillation moja kamili hutokea. Kwa mfano, katika mchoro ulio hapa chini, huu ndio wakati inachukua kwa pendulum bob kusonga kutoka sehemu ya kulia zaidi kupitia sehemu ya usawa. KUHUSU kwa sehemu ya kushoto ya mbali na kurudi kupitia uhakika KUHUSU tena upande wa kulia kabisa.

Kwa muda kamili wa oscillation, mwili hivyo husafiri njia sawa na amplitudes nne. Kipindi cha oscillation kinapimwa kwa vitengo vya muda - sekunde, dakika, nk. Kipindi cha oscillation kinaweza kuamua na msanii maarufu wa picha vibrations (tazama takwimu hapa chini).

Wazo la "kipindi cha oscillation", kwa kusema madhubuti, ni halali tu wakati maadili ya idadi ya oscillating yanarudiwa haswa baada ya kipindi fulani cha wakati, i.e. kwa oscillations ya usawa. Hata hivyo, dhana hii pia inatumika kwa kesi za takriban kurudia kiasi, kwa mfano, kwa oscillations damped.

Mzunguko wa oscillation.

Mzunguko wa oscillation- hii ni idadi ya oscillations iliyofanywa kwa kitengo cha wakati, kwa mfano, katika 1 s.

Kitengo cha masafa ya SI kinaitwa hertz(Hz) kwa heshima ya mwanafizikia wa Ujerumani G. Hertz (1857-1894). Ikiwa mzunguko wa oscillation ( v) ni sawa na 1 Hz, hii ina maana kwamba kila pili kuna oscillation moja. Mzunguko na kipindi cha oscillations vinahusiana na mahusiano:

Katika nadharia ya oscillations pia hutumia dhana mzunguko, au mzunguko wa mzunguko ω . Inahusiana na mzunguko wa kawaida v na kipindi cha oscillation T uwiano:

.

Mzunguko wa baiskeli ni idadi ya oscillations kufanywa kwa 2p sekunde

Kama mfano halisi ya mwili unaozunguka mhimili, fikiria harakati za pendulum.

Pendulum ya kimwili inaitwa imara, kuwa na mhimili wa usawa wa mzunguko unaozunguka ambayo hufanya harakati za oscillatory chini ya ushawishi wa uzito wake (Mchoro 119).

Msimamo wa pendulum umeamua kabisa na angle ya kupotoka kwake kutoka kwa nafasi ya usawa, na kwa hiyo, kuamua sheria ya mwendo wa pendulum, inatosha kupata utegemezi wa angle hii kwa wakati.

Mlinganyo wa fomu:

inaitwa equation (sheria) ya mwendo wa pendulum. Inategemea hali ya awali, i.e. kwa pembe na kasi ya angular.

Kesi ya kikomo ya Pendulum ya kimwili ni pendulum ya hisabati, ambayo inawakilisha (kama ilivyoelezwa hapo awali - Sura ya 2, § 3) hatua ya nyenzo iliyounganishwa na mhimili wa usawa ambao huzunguka kwa fimbo isiyo na uzito isiyo na uzito (Mchoro 120). Umbali wa hatua ya nyenzo kutoka kwa mhimili wa mzunguko huitwa urefu wa pendulum ya hisabati.

Equations ya mwendo wa pendulums kimwili na hisabati

Wacha tuchague mfumo wa shoka za kuratibu ili ndege ya xy ipite katikati ya mvuto wa mwili C na sanjari na ndege ya swing ya pendulum, kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro (Mchoro 119). Wacha tuelekeze mhimili wa perpendicular kwa ndege ya kuchora kuelekea kwetu. Kisha, kwa kuzingatia matokeo ya aya iliyotangulia, tunaandika equation ya mwendo wa pendulum ya kimwili katika fomu:

ambapo kupitia inaashiria wakati wa inertia ya pendulum kuhusiana na mhimili wake wa mzunguko na

Kwa hivyo unaweza kuandika:

Nguvu inayofanya kazi kwenye pendulum ni uzito wake, wakati ambao jamaa na mhimili wa uzito itakuwa:

iko wapi umbali kutoka kwa mhimili wa mzunguko wa pendulum hadi katikati ya misa C.

Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ufuatao wa mwendo wa pendulum ya kimwili:

Kwa kuwa pendulum ya hisabati ni kesi maalum ya kimwili, hapo juu imeandikwa equation tofauti Hii pia ni kweli kwa pendulum ya hisabati. Ikiwa urefu wa pendulum ya hisabati ni sawa na uzito wake, basi wakati wake wa hali kuhusiana na mhimili wa mzunguko ni sawa na

Kwa kuwa umbali wa kituo cha mvuto wa pendulum ya hisabati kutoka kwa mhimili ni sawa, equation ya mwisho ya tofauti ya mwendo wa pendulum ya hisabati inaweza kuandikwa kwa fomu:

Urefu uliopunguzwa wa pendulum ya kimwili

Kulinganisha milinganyo (16.8) na (16.9), tunaweza kuhitimisha kwamba ikiwa vigezo vya pendulum za kimwili na hisabati zinahusiana na uhusiano.

basi sheria za mwendo wa pendulum za kimwili na hisabati ni sawa (chini ya hali sawa za awali).

Uhusiano wa mwisho unaonyesha urefu ambao pendulum ya hisabati lazima iwe nayo ili kusonga kwa njia sawa na pendulum ya kimwili inayolingana. Urefu huu unaitwa urefu uliopunguzwa wa pendulum ya kimwili. Maana ya dhana hii ni kwamba utafiti wa harakati ya pendulum ya kimwili inaweza kubadilishwa na utafiti wa harakati ya pendulum ya hisabati, ambayo ni mzunguko wa mitambo rahisi.

Muhimu wa kwanza wa mlinganyo wa mwendo wa pendulum

Equations za mwendo wa pendulum za kimwili na za hisabati zina fomu sawa, kwa hiyo, equation ya mwendo wao itakuwa.

Kwa kuwa nguvu pekee ambayo inazingatiwa katika equation hii itakuwa nguvu ya mvuto wa uwezo uwanja wa nguvu, basi sheria ya uhifadhi wa nishati ya mitambo hufanyika.

Mwisho unaweza kupatikana hila rahisi, wacha tuzidishe equation (16.10) kufikia hapo

Kuunganisha equation hii, tunapata

Kuamua mara kwa mara ya ushirikiano Cu kutoka kwa hali ya awali, tunapata

Kutatua equation ya mwisho kwa jamaa tunapata

Uhusiano huu unawakilisha muunganisho wa kwanza wa mlinganyo tofauti (16.10).

Uamuzi wa athari za msaada wa pendulum za kimwili na hisabati

Kiunga cha kwanza cha milinganyo ya mwendo huturuhusu kuamua athari za usaidizi wa pendulum. Kama ilivyoonyeshwa katika aya iliyotangulia, miitikio ya usaidizi imedhamiriwa kutoka kwa milinganyo (16.5). Katika kesi ya pendulum ya kimwili, vipengele nguvu kazi kando ya shoka za kuratibu na nyakati zake zinazohusiana na shoka zitakuwa:

Kuratibu za kituo cha misa imedhamiriwa na fomula:

Kisha hesabu za kuamua athari za usaidizi huchukua fomu:

Wakati wa centrifugal wa inertia ya mwili na umbali kati ya usaidizi lazima ujulikane kulingana na hali ya tatizo. Kuongeza kasi ya angular katika na kasi ya angularс imeamuliwa kutoka kwa milinganyo (16.9) na (16.4) katika fomu:

Kwa hivyo, equations (16.12) huamua kabisa vipengele majibu ya ardhini pendulum ya kimwili.

Milinganyo (16.12) hurahisishwa zaidi ikiwa tutazingatia pendulum ya hisabati. Kwa kweli, tangu hatua ya nyenzo pendulum ya hisabati iko kwenye ndege basi Kwa kuongezea, kwa kuwa nukta moja imewekwa, basi Kwa hivyo, hesabu (16.12) zinageuka kuwa hesabu za fomu:

Kutoka kwa equations (16.13) kwa kutumia equation (16.9) inafuata kwamba majibu ya usaidizi yanaelekezwa kando ya thread I (Mchoro 120). Mwisho ni matokeo ya wazi. Kwa hivyo, tukionyesha vipengele vya usawa (16.13) kwenye mwelekeo wa thread, tunapata equation ya kuamua majibu ya msaada wa fomu (Mchoro 120):

Kubadilisha thamani hapa na kuzingatia kwamba tunaandika:

Uhusiano wa mwisho huamua majibu ya nguvu ya pendulum ya hisabati. Kumbuka kuwa majibu yake tuli yatakuwa

Utafiti wa ubora wa asili ya harakati ya pendulum

Kiunga cha kwanza cha equation ya mwendo wa pendulum huturuhusu kutekeleza utafiti wa ubora asili ya harakati zake. Yaani, tunaandika kiunga hiki (16.11) katika fomu:

Wakati wa harakati, usemi mkali lazima uwe mzuri au utoweke katika sehemu fulani. Hebu tuchukulie hivyo masharti ya awali ziko hivyo

Katika kesi hii, usemi mkali haupotei popote. Kwa hivyo, wakati wa kusonga, pendulum itapitia maadili yote ya pembe na kasi ya angular kutoka kwa pendulum ina ishara sawa, ambayo imedhamiriwa na mwelekeo wa kasi ya awali ya angular, au pembe itaongeza pembe zote. wakati au kupungua kila wakati, i.e. pendulum itazunguka upande mmoja.

Miongozo ya harakati itafanana na ishara moja au nyingine katika usemi (16.11). Hali ya lazima Utambuzi wa harakati hiyo ni uwepo wa kasi ya awali ya angular, kwa kuwa kutoka kwa usawa (16.14) ni wazi kwamba ikiwa basi kwa pembe yoyote ya awali ya kupotosha haiwezekani kupata harakati hiyo ya pendulum.

Wacha sasa masharti ya awali yawe hivyo

Katika kesi hii, kuna maadili mawili ya pembe ambayo usemi mkali huwa sifuri. Waache wafanane na pembe zilizoelezwa na usawa

Zaidi ya hayo, itakuwa mahali fulani katika masafa kutoka 0 hadi . Zaidi ya hayo, ni dhahiri kwamba wakati

usemi mkali (16.11) utakuwa chanya na kwa kuzidisha kidogo kiholela itakuwa mbaya.

Kwa hivyo, wakati pendulum inasonga, pembe yake inabadilika katika safu:

Wakati kasi ya angular ya pendulum inakwenda kwa sifuri na pembe huanza kupungua kwa thamani. Katika kesi hii, ishara ya kasi ya angular au ishara mbele ya radical katika kujieleza (16.11) itabadilika. Wakati kasi ya angular ya pendulum inafikia sifuri tena na angle huanza kuongezeka kwa thamani

Kwa hivyo, pendulum itafanya harakati za oscillatory

Amplitude ya oscillations ya pendulum

Katika harakati za oscillatory ya pendulum, kiwango cha juu cha kupotoka kwake kutoka kwa wima inaitwa amplitude ya oscillation. Ni sawa na ambayo imedhamiriwa kutoka kwa usawa

Kama ifuatavyo kutoka kwa formula ya mwisho, amplitude ya oscillation inategemea data ya awali ya sifa kuu za pendulum au urefu wake uliopunguzwa.

Katika hali fulani, wakati pendulum inapotoka kwenye nafasi ya usawa na kutolewa bila kasi ya awali, basi itakuwa sawa na, kwa hiyo, amplitude haitegemei urefu uliopunguzwa.

Mlinganyo wa mwendo wa pendulum katika fomu ya mwisho

Hebu kasi ya kuanzia pendulum ni sawa na sifuri, basi kiunga cha kwanza cha equation yake ya mwendo itakuwa:

Kuunganisha equation hii, tunapata

Tutahesabu wakati kutoka kwa nafasi ya pendulum, inayolingana basi

Wacha tubadilishe kiunganishi kwa kutumia fomula:

Kisha tunapata:

Mchanganyiko unaosababishwa huitwa kiunga cha elliptic cha aina ya kwanza. Haiwezi kuonyeshwa kwa kutumia nambari ya mwisho kazi za msingi.

Ugeuzaji wa kiunganishi cha elliptic (16.15) kwa heshima nayo kikomo cha juu inawakilisha equation ya mwendo wa pendulum:

Itasomwa vizuri kazi ya mviringo Jacobi.

Kipindi cha oscillation ya pendulum

Wakati uliochukuliwa kwa oscillation moja kamili ya pendulum inaitwa kipindi chake cha oscillation. Hebu tuonyeshe T. Kwa kuwa wakati wa harakati ya pendulum kutoka nafasi hadi nafasi ni sawa na wakati wa harakati kutoka basi T itatambuliwa na formula:

Hebu tufanye mabadiliko ya vigezo kwa kuweka

Wakati tofauti kutoka 0 hadi itabadilika kutoka 0 hadi . Zaidi,

na kwa hiyo

Kiunga cha mwisho kinaitwa kiunga kamili cha elliptic cha aina ya kwanza (maadili yake yanatolewa kwenye meza maalum).

Wakati integrand inaelekea umoja na.

Takriban fomula za oscillations ndogo ya pendulum

Katika kesi wakati oscillations ya pendulum ina amplitude ndogo (kivitendo haipaswi kuzidi 20 °), unaweza kuweka

Kisha equation ya kutofautisha ya mwendo wa pendulum inachukua fomu:

Kipindi cha oscillation ni nini? Thamani hii ni nini, nini maana ya kimwili ina na jinsi ya kuihesabu? Katika kifungu hiki tutashughulikia maswala haya, fikiria fomula anuwai ambazo kipindi cha oscillation kinaweza kuhesabiwa, na pia kujua ni uhusiano gani kati ya idadi ya mwili kama kipindi na mzunguko wa oscillation ya mwili / mfumo.

Ufafanuzi na maana ya kimwili

Kipindi cha oscillation ni kipindi cha muda ambacho mwili au mfumo hufanya oscillation moja (lazima kamili). Wakati huo huo, unaweza kutambua parameter ambayo oscillation inaweza kuchukuliwa kuwa kamili. Jukumu la hali hiyo ni kurudi kwa mwili kwa hali yake ya awali (kwa uratibu wa awali). Ulinganisho na kipindi cha utendaji ni mzuri sana. Ni makosa, kwa njia, kufikiria kwamba hufanyika peke katika kawaida na hisabati ya juu. Kama unavyojua, sayansi hizi mbili zimeunganishwa bila usawa. Na kipindi cha kazi kinaweza kupatikana sio tu wakati wa kutatua milinganyo ya trigonometric, lakini pia katika matawi mbalimbali ya fizikia, yaani tunazungumzia kuhusu mechanics, optics na wengine. Wakati wa kuhamisha kipindi cha oscillation kutoka hisabati hadi fizikia, ni lazima ieleweke tu kama wingi wa kimwili (na sio kazi), ambayo ina utegemezi wa moja kwa moja kwa wakati unaopita.

Kuna aina gani za kushuka kwa thamani?

Oscillations imegawanywa katika harmonic na anharmonic, pamoja na mara kwa mara na yasiyo ya mara kwa mara. Itakuwa ya busara kudhani kuwa katika kesi ya oscillations ya harmonic hutokea kulingana na kazi fulani ya harmonic. Inaweza kuwa sine au cosine. Katika kesi hii, mgawo wa kushinikiza-upanuzi na ongezeko-kupungua pia unaweza kutumika. Oscillations inaweza pia kuwa damped. Hiyo ni, wakati nguvu fulani inafanya kazi kwenye mfumo, ambayo hatua kwa hatua "hupunguza" oscillations wenyewe. Katika kesi hii, kipindi kinakuwa kifupi, wakati mzunguko wa oscillation huongezeka mara kwa mara. Inaonyesha axiom hii ya kimwili vizuri sana uzoefu rahisi zaidi kwa kutumia pendulum. Inaweza kuwa ya aina ya spring, pamoja na hisabati. Haijalishi. Kwa njia, kipindi cha oscillation katika mifumo hiyo kitaamua fomula tofauti. Lakini zaidi juu ya hilo baadaye kidogo. Sasa tutoe mifano.

Uzoefu na pendulum

Unaweza kuchukua pendulum yoyote kwanza, hakutakuwa na tofauti. Sheria za fizikia ni sheria za fizikia kwa sababu zinazingatiwa kwa hali yoyote. Lakini kwa sababu fulani napendelea pendulum ya hisabati. Ikiwa mtu hajui ni nini: ni mpira kwenye thread isiyozidi, ambayo inaunganishwa na bar ya usawa iliyounganishwa na miguu (au vipengele vinavyofanya jukumu lao - kuweka mfumo katika hali ya usawa). Ni bora kuchukua mpira kutoka kwa chuma ili kufanya uzoefu uonekane zaidi.

Kwa hivyo, ikiwa unachukua mfumo kama huo kwa usawa, tumia nguvu fulani kwa mpira (kwa maneno mengine, sukuma), kisha mpira utaanza kuzunguka kwenye uzi, kufuatia trajectory fulani. Baada ya muda, unaweza kuona kwamba trajectory ambayo mpira hupita hupungua. Wakati huo huo, mpira huanza kusonga mbele na nyuma kwa kasi na kwa kasi. Hii inaonyesha kuwa mzunguko wa oscillation unaongezeka. Lakini muda inachukua kwa mpira kurudi nafasi ya kuanzia, hupungua. Lakini wakati wa oscillation moja kamili, kama tulivyogundua hapo awali, inaitwa kipindi. Ikiwa kiasi kimoja kinapungua na kingine kinaongezeka, basi tunazungumzia uwiano kinyume. Sasa tumefikia hatua ya kwanza, kwa misingi ambayo fomula zimejengwa ili kuamua kipindi cha oscillation. Ikiwa tunachukua pendulum ya spring kwa ajili ya kupima, basi sheria itazingatiwa kwa fomu tofauti kidogo. Ili iweze kuwasilishwa kwa uwazi zaidi, hebu tuweke mfumo katika mwendo katika ndege ya wima. Ili kuifanya iwe wazi zaidi, tunapaswa kwanza kusema nini pendulum ya spring ni. Kutoka kwa jina ni wazi kwamba muundo wake lazima uwe na chemchemi. Na kweli ni. Tena, tuna ndege ya usawa juu ya vifaa ambavyo chemchemi imesimamishwa urefu fulani na ugumu. Uzito, kwa upande wake, umesimamishwa kutoka kwake. Inaweza kuwa silinda, mchemraba au takwimu nyingine. Inaweza hata kuwa aina fulani ya kitu cha tatu. Kwa hali yoyote, wakati mfumo unapoondolewa kwenye nafasi ya usawa, itaanza kufanya oscillations damped. Kuongezeka kwa mzunguko kunaonekana wazi zaidi katika ndege ya wima, bila kupotoka yoyote. Hapa ndipo tunaweza kumaliza majaribio yetu.

Kwa hivyo, katika kozi yao tuligundua kuwa kipindi na mzunguko wa oscillations ni mbili kiasi cha kimwili, ambazo zina uhusiano wa kinyume.

Uteuzi wa idadi na vipimo

Kawaida kipindi cha oscillation kinaonyeshwa Barua ya Kilatini T. Mara chache sana inaweza kuteuliwa tofauti. Masafa huteuliwa kwa herufi µ (“Mu”). Kama tulivyosema mwanzoni, kipindi sio chochote zaidi ya wakati ambao msisimko kamili unatokea kwenye mfumo. Kisha kipimo cha kipindi kitakuwa cha pili. Na kwa kuwa muda na mzunguko ni kinyume chake, kipimo cha mzunguko kitakuwa kimoja kilichogawanywa na pili. Katika rekodi ya kazi kila kitu kitaonekana kama hii: T (s), µ (1/s).

Mfumo wa pendulum ya hisabati. Kazi nambari 1

Kama ilivyo kwa majaribio, niliamua kwanza kushughulika na pendulum ya hisabati. Hatutaingia kwa undani juu ya kupatikana kwa fomula, kwani kazi kama hiyo haikuwekwa hapo awali. Na hitimisho lenyewe ni gumu. Lakini wacha tufahamiane na fomula zenyewe na tujue ni idadi gani inayojumuisha. Kwa hivyo, formula ya kipindi cha oscillation kwa pendulum ya hisabati ina fomu ifuatayo:

Ambapo l ni urefu wa thread, n = 3.14, na g ni kuongeza kasi ya mvuto (9.8 m / s ^ 2). Fomula haipaswi kusababisha ugumu wowote. Kwa hiyo, bila maswali ya ziada Hebu tuendelee mara moja ili kutatua tatizo la kuamua kipindi cha oscillation ya pendulum ya hisabati. Mpira wa chuma wenye uzito wa gramu 10 umesimamishwa kwenye uzi usio na urefu wa sentimita 20. Kuhesabu kipindi cha oscillation ya mfumo, kuchukua kama pendulum hisabati. Suluhisho ni rahisi sana. Kama ilivyo kwa shida zote katika fizikia, inahitajika kurahisisha iwezekanavyo kwa kutupa maneno yasiyo ya lazima. Wanajumuishwa katika muktadha ili kumchanganya mtoa maamuzi, lakini kwa kweli hawana uzito kabisa. Katika hali nyingi, bila shaka. Hapa tunaweza kuwatenga suala hilo na "nyuzi isiyoweza kupanuka". Msemo huu haupaswi kuchanganya. Na kwa kuwa pendulum yetu ni ya hisabati, wingi wa mzigo haupaswi kutuvutia. Hiyo ni, maneno kuhusu gramu 10 pia yana lengo la kumchanganya mwanafunzi. Lakini tunajua kuwa hakuna misa katika fomula, kwa hivyo tunaweza kuendelea na suluhisho kwa dhamiri safi. Kwa hivyo, tunachukua formula na kubadilisha tu maadili ndani yake, kwani ni muhimu kuamua kipindi cha mfumo. Kwa kuwa hakuna masharti ya ziada yaliyoainishwa, tutazungusha maadili hadi sehemu ya 3 ya desimali, kama ilivyo kawaida. Kuzidisha na kugawanya maadili, tunaona kwamba kipindi cha oscillation ni sekunde 0.886. Tatizo linatatuliwa.

Mfumo wa pendulum ya spring. Kazi nambari 2

Fomula za pendulum zina sehemu ya kawaida, yaani 2p. Kiasi hiki kipo katika fomula mbili mara moja, lakini zinatofautiana katika usemi mkali. Ikiwa katika tatizo kuhusu kipindi pendulum ya spring, wingi wa mzigo umeonyeshwa, haiwezekani kuepuka mahesabu na matumizi yake, kama ilivyokuwa kwa pendulum ya hisabati. Lakini hakuna haja ya kuogopa. Hivi ndivyo fomula ya kipindi cha pendulum ya chemchemi inaonekana kama:

Ndani yake, m ni wingi wa mzigo uliosimamishwa kutoka kwa chemchemi, k ni mgawo wa ugumu wa spring. Katika tatizo, thamani ya mgawo inaweza kutolewa. Lakini ikiwa katika formula ya pendulum ya hisabati hakuna mengi ya kufuta - baada ya yote, 2 kati ya 4 kiasi ni mara kwa mara - basi parameter ya 3 imeongezwa hapa, ambayo inaweza kubadilika. Na katika pato tuna vigezo 3: kipindi (frequency) ya oscillations, mgawo wa ugumu wa spring, wingi wa mzigo uliosimamishwa. Kazi inaweza kulenga kutafuta yoyote ya vigezo hivi. Kupata kipindi tena itakuwa rahisi sana, kwa hivyo tutabadilisha hali hiyo kidogo. Pata mgawo wa ugumu wa spring ikiwa wakati wa oscillation kamili ni sekunde 4 na wingi wa pendulum ya spring ni 200 gramu.

Ili kutatua yoyote tatizo la kimwili Itakuwa nzuri kwanza kuchora picha na kuandika kanuni. Wako hapa - nusu ya vita. Baada ya kuandika formula, ni muhimu kueleza mgawo wa ugumu. Tunayo chini ya mzizi, kwa hiyo hebu tufanye mraba pande zote mbili za equation. Ili kuondoa sehemu, zidisha sehemu kwa k. Sasa hebu tuache tu mgawo upande wa kushoto wa equation, yaani, kugawanya sehemu kwa T ^ 2. Kimsingi, shida inaweza kufanywa kuwa ngumu zaidi kwa kutaja sio kipindi kwa nambari, lakini frequency. Kwa hali yoyote, wakati wa kuhesabu na kuzunguka (tulikubali kuzunguka kwa nafasi ya 3 ya decimal), inageuka kuwa k = 0.157 N / m.

Kipindi cha oscillations ya bure. Mfumo wa kipindi cha oscillations ya bure

Chini ya formula ya kipindi mitetemo ya bure kuelewa fomula ambazo tulichanganua katika shida mbili zilizopewa hapo awali. Pia huunda equation kwa mitetemo ya bure, lakini hapo tunazungumza juu ya uhamishaji na kuratibu, na swali hili ni la kifungu kingine.

1) Kabla ya kuchukua shida, andika fomula inayohusishwa nayo.

2) Kazi rahisi zaidi hazihitaji michoro, lakini kesi za kipekee watahitaji kufanywa.

3) Jaribu kuondokana na mizizi na denominators ikiwa inawezekana. Equation iliyoandikwa kwenye mstari ambayo haina denominator ni rahisi zaidi na rahisi kutatua.

Kipindi cha oscillation ya pendulum ya kimwili inategemea hali nyingi: kwa ukubwa na sura ya mwili, kwa umbali kati ya katikati ya mvuto na hatua ya kusimamishwa na juu ya usambazaji wa molekuli ya mwili kuhusiana na hatua hii; kwa hiyo, kuhesabu kipindi cha mwili uliosimamishwa ni kabisa kazi ngumu. Hali ni rahisi zaidi kwa pendulum ya hisabati. Kutoka kwa uchunguzi wa pendulums vile, sheria zifuatazo rahisi zinaweza kuanzishwa.

1. Ikiwa, wakati wa kudumisha urefu sawa wa pendulum (umbali kutoka kwa hatua ya kusimamishwa hadi katikati ya mvuto wa mzigo), hutegemea mizigo tofauti, basi kipindi cha oscillation kitakuwa sawa, ingawa wingi wa mizigo ni tofauti sana. Kipindi cha pendulum ya hisabati haitegemei wingi wa mzigo.

2. Ikiwa, wakati wa kuanza pendulum, tunaipotosha kwa pembe tofauti (lakini sio kubwa sana), basi itazunguka na kipindi sawa, ingawa kwa amplitudes tofauti. Kwa muda mrefu kama amplitudes si kubwa sana, oscillations ni karibu kabisa katika fomu yao kwa harmonic (§ 5) na kipindi cha pendulum ya hisabati haitegemei amplitude ya oscillations. Mali hii inaitwa isochronism (kutoka Maneno ya Kigiriki"izos" - sawa, "chronos" - wakati).

Ukweli huu ulianzishwa kwanza mnamo 1655 na Galileo, inadaiwa chini ya hali zifuatazo. Galileo aliona katika Kanisa Kuu la Pisa swing ya chandelier kwenye mnyororo mrefu, ambao ulisukumwa wakati unawaka. Wakati wa huduma, swings hatua kwa hatua zilipungua (§ 11), yaani, amplitude ya vibrations ilipungua, lakini kipindi kilibakia sawa. Galileo alitumia mapigo yake mwenyewe kama kiashirio cha wakati.

Wacha sasa tupate fomula ya kipindi cha oscillation ya pendulum ya hisabati.

Mchele. 16. Mzunguko wa pendulum katika ndege (a) na harakati kando ya koni (b)

Wakati pendulum inapozunguka, mzigo unaendelea kasi pamoja na arc (Mchoro 16, a) chini ya ushawishi wa nguvu ya kurejesha, ambayo hubadilika wakati wa harakati. Kuhesabu mwendo wa mwili chini ya hatua ya nguvu ya kutofautiana ni ngumu sana. Kwa hivyo, kwa unyenyekevu, tutaendelea kama ifuatavyo.

Hebu tufanye pendulum si oscillate katika ndege moja, lakini kuelezea koni ili mzigo uende kwenye mduara (Mchoro 16, b). Harakati hii inaweza kupatikana kama matokeo ya kuongezwa kwa oscillations mbili za kujitegemea: moja - bado kwenye ndege ya kuchora na nyingine - katika perpendicular kwa ndege. Kwa wazi, vipindi vya oscillations zote mbili za ndege ni sawa, kwani ndege yoyote ya oscillation haina tofauti na nyingine yoyote. Kwa hivyo, kipindi harakati ngumu- mzunguko wa pendulum kando ya koni itakuwa sawa na kipindi cha swing ya ndege ya maji. Hitimisho hili linaweza kuonyeshwa kwa urahisi na uzoefu wa moja kwa moja kwa kuchukua pendulum mbili zinazofanana na kumpa mmoja wao bembea kwenye ndege, na nyingine kuzunguka kwenye koni.

Lakini kipindi cha mapinduzi ya pendulum "conical". sawa na urefu mduara ulioelezewa na mzigo uliogawanywa na kasi:

Ikiwa pembe ya kupotoka kutoka kwa wima ni ndogo (amplitudes ndogo), basi tunaweza kudhani kuwa nguvu ya kurejesha inaelekezwa kando ya radius ya mduara, yaani, sawa na nguvu ya centripetal:

Kwa upande mwingine, kutoka kwa kufanana kwa pembetatu inafuata kwamba . Tangu wakati huo kutoka hapa

Kusawazisha misemo yote kwa kila mmoja, tunapata kwa kiwango cha mzunguko

Mwishowe, tukibadilisha hii katika usemi wa kipindi, tunapata

Kwa hiyo, kipindi cha pendulum ya hisabati inategemea tu kuongeza kasi ya mvuto na kwa urefu wa pendulum, yaani, umbali kutoka kwa hatua ya kusimamishwa hadi katikati ya mvuto wa mzigo. Kutoka kwa formula inayotokana inafuata kwamba kipindi cha pendulum haitegemei wingi wake na amplitude (mradi ni ndogo ya kutosha). Kwa maneno mengine, tulipata kwa kuhesabu sheria hizo za msingi ambazo zilianzishwa hapo awali kutoka kwa uchunguzi.

Lakini hitimisho letu la kinadharia linatupa zaidi: inatuwezesha kuanzisha uhusiano wa kiasi kati ya kipindi cha pendulum, urefu wake na kuongeza kasi ya mvuto. Kipindi cha pendulum ya hisabati ni sawia na mzizi wa mraba wa uwiano wa urefu wa pendulum kwa kuongeza kasi ya mvuto. Mgawo wa uwiano ni .

Njia sahihi sana ya kuamua kuongeza kasi hii inategemea utegemezi wa kipindi cha pendulum juu ya kuongeza kasi ya mvuto. Kwa kupima urefu wa pendulum na kuamua kutoka idadi kubwa kipindi cha oscillation, tunaweza kuhesabu kwa kutumia formula inayosababisha. Njia hii hutumiwa sana katika mazoezi.

Inajulikana (ona Juzuu I, §53) kwamba kuongeza kasi ya kuanguka bila malipo kunategemea latitudo ya kijiografia maeneo (kwenye nguzo na ikweta). Uchunguzi wa kipindi cha swing cha pendulum fulani ya kawaida hufanya iwezekanavyo kusoma usambazaji wa kuongeza kasi ya mvuto juu ya latitudo. Njia hii ni sahihi sana hivi kwamba inaweza kutumika kugundua tofauti fiche zaidi katika maana ya uso wa dunia. Inabadilika kuwa hata kwa sambamba moja maadili ndani pointi tofauti uso wa dunia ni tofauti. Hitilafu hizi katika usambazaji wa kuongeza kasi ya mvuto huhusishwa na wiani usio na usawa ukoko wa dunia. Zinatumika kusoma usambazaji wa msongamano, haswa kugundua kutokea kwa madini yoyote kwenye ukoko wa dunia. Mabadiliko makubwa ya gravimetric, ambayo yalifanya iwezekane kuhukumu kutokea kwa watu mnene, yalifanywa katika USSR katika eneo la kinachojulikana kama Kursk magnetic anomaly (tazama Volume II, § 130) chini ya uongozi wa mwanafizikia wa Soviet Pyotr Petrovich. Lazarev. Kuhusiana na data juu ya hali isiyo ya kawaida ya dunia shamba la sumaku Data hizi za gravimetric zilifanya iwezekane kuanzisha usambazaji wa tukio la raia wa chuma ambao huamua makosa ya sumaku ya Kursk na mvuto.