Msimamo wa usawa wa pendulum ya spring. Oscillations ya pendulum ya spring

Pendulum ya chemchemi ni sehemu ya nyenzo iliyo na misa iliyounganishwa na chemchemi isiyo na uzani isiyo na uzani na ugumu . Kuna kesi mbili rahisi zaidi: usawa (Kielelezo 15, A) na wima (Mchoro 15, b) pendulum.

A) Pendulum ya usawa(Mchoro 15, a). Wakati mzigo unasonga
kutoka kwa msimamo wa usawa kwa kiasi hufanya juu yake kwa mwelekeo wa usawa kurudi nguvu ya elastic
(Sheria ya Hooke).

Inachukuliwa kuwa msaada wa usawa ambao mzigo unateleza
wakati wa mitetemo yake, ni laini kabisa (hakuna msuguano).

b) Pendulum ya wima(Mchoro 15, b) Msimamo wa usawa katika kesi hii unaonyeshwa na hali:

Wapi - ukubwa wa nguvu ya elastic inayofanya juu ya mzigo
wakati spring ni statically aliweka na chini ya ushawishi wa mvuto wa mzigo
.

Mtini. 15. Pendulum ya spring: A- usawa na b- wima

Ikiwa unyoosha chemchemi na kutolewa mzigo, itaanza kuzunguka kwa wima. Ikiwa kuhamishwa kwa wakati fulani ni kwa wakati
, basi nguvu ya elastic sasa itaandikwa kama
.

Katika hali zote mbili zinazozingatiwa, pendulum ya spring hufanya oscillations ya harmonic na kipindi

(27)

na mzunguko wa mzunguko

. (28)

Kwa kutumia mfano wa kuzingatia pendulum ya spring tunaweza kuhitimisha kuwa mitetemo ya usawa ni mwendo unaosababishwa na nguvu inayoongezeka kulingana na uhamishaji . Hivyo, ikiwa nguvu ya kurejesha inafanana na sheria ya Hooke
(alipata jinanguvu ya quasi-elastic ), basi mfumo lazima ufanye oscillations ya harmonic. Wakati wa kupitisha nafasi ya usawa, hakuna nguvu ya kurejesha inafanya kazi kwa mwili; hata hivyo, mwili, kwa hali ya hewa, hupita nafasi ya usawa na nguvu ya kurejesha inabadilisha mwelekeo kinyume chake.

Pendulum ya hisabati

Kielelezo 16. Pendulum ya hisabati

Pendulum ya hisabati ni mfumo ulioboreshwa katika mfumo wa ncha ya nyenzo iliyosimamishwa kwenye uzi usio na uzani usio na uzani wa urefu.

, ambayo hufanya oscillations ndogo chini ya ushawishi wa mvuto (Mchoro 16).

Oscillations ya pendulum vile katika pembe ndogo ya deflection
(isiyozidi 5º) inaweza kuchukuliwa kuwa ya usawa, na mzunguko wa mzunguko pendulum ya hisabati:

, (29)

na kipindi:

. (30)

2.3. Nishati ya mwili wakati wa oscillations ya harmonic

Nishati inayotolewa kwa mfumo wa oscillatory wakati wa msukumo wa awali itabadilishwa mara kwa mara: nishati inayowezekana ya chemchemi iliyoharibika itabadilika kuwa nishati ya kinetic ya mzigo wa kusonga na nyuma.

Hebu pendulum ya spring ifanye oscillations ya harmonic na awamu ya awali
, i.e.
(Mchoro 17).

Kielelezo 17. Sheria ya Uhifadhi nishati ya mitambo

wakati pendulum ya spring inazunguka

Katika kupotoka kwa kiwango cha juu cha mzigo kutoka kwa nafasi ya usawa, jumla ya nishati ya mitambo ya pendulum (nishati ya chemchemi iliyoharibika na ugumu. ) ni sawa na
. Wakati wa kupitisha nafasi ya usawa (
) nishati inayowezekana spring itakuwa sawa na sifuri, na jumla ya nishati ya mitambo ya mfumo wa oscillatory itajulikana kama
.

Mchoro wa 18 unaonyesha grafu za tegemezi za kinetic, uwezo na jumla ya nishati katika hali ambapo mitetemo ya harmonic inaelezewa na kazi za trigonometric za sine (mstari wa dashi) au cosine (mstari thabiti).

Kielelezo 18. Grafu za utegemezi wa wakati wa kinetic

na nishati inayowezekana wakati wa oscillations ya harmonic

Kutoka kwa grafu (Mchoro 18) inafuata kwamba mzunguko wa mabadiliko katika nishati ya kinetic na uwezo ni mara mbili zaidi ya mzunguko wa asili wa oscillations ya harmonic.

Harakati yoyote ya kurudia mara kwa mara inaitwa oscillatory. Kwa hivyo, utegemezi wa kuratibu na kasi ya mwili kwa wakati wakati wa oscillations huelezewa na kazi za mara kwa mara za wakati. KATIKA kozi ya shule wanafizikia huzingatia mitetemo kama hiyo ambayo utegemezi na kasi ya mwili ni kazi za trigonometric. , au mchanganyiko wake, nambari fulani iko wapi. Oscillations vile huitwa harmonic (kazi Na mara nyingi huitwa kazi za harmonic). Ili kutatua matatizo ya vibration pamoja na katika mpango wa single mtihani wa serikali katika fizikia, unahitaji kujua ufafanuzi wa sifa kuu mwendo wa oscillatory: amplitude, kipindi, mzunguko, mzunguko (au mzunguko) mzunguko na awamu ya oscillations. Wacha tutoe ufafanuzi huu na tuunganishe idadi iliyoorodheshwa na vigezo vya utegemezi wa kuratibu za mwili kwa wakati, ambayo katika kesi ya oscillations ya harmonic inaweza kuwakilishwa kila wakati katika fomu.

wapi, na kuna nambari kadhaa.

Amplitude ya oscillations ni kupotoka kwa kiwango cha juu cha mwili wa oscillating kutoka kwa nafasi yake ya usawa. Kwa kuwa viwango vya juu na vya chini vya cosine katika (11.1) ni sawa na ± 1, amplitude ya oscillations ya oscillating ya mwili (11.1) ni sawa na . Kipindi cha oscillation ni wakati mdogo baada ya ambayo harakati ya mwili inarudiwa. Kwa utegemezi (11.1), kipindi kinaweza kuwekwa kutoka kwa mambo yafuatayo. Cosine - kazi ya mara kwa mara na kipindi. Kwa hivyo, harakati hiyo inarudiwa kabisa kupitia thamani kama hiyo. Kutoka hapa tunapata

Mzunguko wa mzunguko (au mzunguko) wa oscillations ni idadi ya oscillations iliyofanywa kwa kitengo cha wakati. Kutoka kwa formula (11.3) tunahitimisha kuwa mzunguko wa mviringo ni kiasi kutoka kwa formula (11.1).

Awamu ya oscillation ni hoja ya kazi ya trigonometric ambayo inaelezea utegemezi wa kuratibu kwa wakati. Kutoka kwa formula (11.1) tunaona kwamba awamu ya oscillations ya mwili, harakati ambayo inaelezwa na utegemezi (11.1), ni sawa na . Thamani ya awamu ya oscillation kwa wakati = 0 inaitwa awamu ya awali. Kwa utegemezi (11.1), awamu ya awali ya oscillations ni sawa na . Kwa wazi, awamu ya awali ya oscillations inategemea uchaguzi wa hatua ya kumbukumbu ya wakati (wakati = 0), ambayo daima ni masharti. Kwa kubadilisha asili ya wakati, awamu ya awali ya oscillations inaweza daima "kufanywa" sawa na sifuri, na sine katika formula (11.1) inaweza "kubadilishwa" kuwa cosine au kinyume chake.

Mpango wa mtihani wa umoja wa serikali pia ni pamoja na ujuzi wa fomula za mzunguko wa oscillations ya spring na pendulums hisabati. Pendulum ya chemchemi kawaida huitwa mwili ambao unaweza kuzunguka kwenye uso laini wa usawa chini ya hatua ya chemchemi, mwisho wa pili ambao umewekwa (takwimu ya kushoto). Pendulum ya hisabati ni mwili mkubwa, vipimo vyake vinaweza kupuuzwa, vinavyozunguka kwenye thread ndefu, isiyo na uzito na isiyoweza kupunguzwa (takwimu ya kulia). Jina la mfumo huu, "pendulum ya hisabati," ni kutokana na ukweli kwamba inawakilisha muhtasari. hisabati mfano halisi ( kimwili) pendulum. Ni muhimu kukumbuka kanuni za kipindi (au mzunguko) wa oscillations ya spring na pendulums hisabati. Kwa pendulum ya spring

urefu wa uzi uko wapi, ni kuongeza kasi kuanguka bure. Wacha tuzingatie matumizi ya ufafanuzi na sheria hizi kwa kutumia mfano wa utatuzi wa shida.

Ili kupata mzunguko wa mzunguko wa oscillations ya mzigo ndani kazi 11.1.1 Hebu kwanza tupate kipindi cha oscillation, na kisha kutumia formula (11.2). Kwa kuwa 10 m 28 s ni 628 s, na wakati huu mzigo huzunguka mara 100, kipindi cha oscillation ya mzigo ni 6.28 s. Kwa hivyo, mzunguko wa mzunguko wa oscillations ni 1 s -1 (jibu 2 ) KATIKA tatizo 11.1.2 mzigo ulifanya oscillations 60 katika s 600, hivyo frequency oscillation ni 0.1 s -1 (jibu 1 ).

Ili kuelewa ni ipi njia itapita mizigo kwa vipindi 2.5 ( tatizo 11.1.3), tufuate harakati zake. Baada ya muda, mzigo utarudi kwenye hatua ya kupotoka kwa kiwango cha juu, kukamilisha oscillation kamili. Kwa hiyo, wakati huu mizigo itaenda umbali, sawa na amplitudes nne: kwa nafasi ya usawa - amplitude moja, kutoka nafasi ya usawa hadi hatua ya kupotoka kwa kiwango cha juu katika mwelekeo mwingine - pili, kurudi kwenye nafasi ya usawa - ya tatu, kutoka nafasi ya usawa hadi hatua ya kuanzia - ya nne. Katika kipindi cha pili, mzigo utapitia tena amplitudes nne, na wakati wa nusu iliyobaki ya kipindi - amplitudes mbili. Kwa hivyo, umbali uliosafirishwa ni sawa na amplitudes kumi (jibu 4 ).

Kiasi cha harakati za mwili ni umbali kutoka mahali pa kuanzia hadi hatua ya mwisho. Zaidi ya vipindi 2.5 ndani kazi 11.1.4 mwili utakuwa na muda wa kukamilisha oscillation mbili kamili na nusu kamili, i.e. itakuwa katika kupotoka kwa kiwango cha juu, lakini kwa upande mwingine wa nafasi ya usawa. Kwa hivyo, ukubwa wa uhamishaji ni sawa na amplitudes mbili (jibu 3 ).

Kwa ufafanuzi, awamu ya oscillation ni hoja ya kazi ya trigonometric ambayo inaelezea utegemezi wa kuratibu za mwili wa oscillating kwa wakati. Kwa hivyo jibu sahihi ni tatizo 11.1.5 - 3 .

Kipindi ni wakati wa oscillation kamili. Hii ina maana kwamba kurudi kwa mwili nyuma kwa hatua sawa ambayo mwili ulianza kuhamia haimaanishi kwamba kipindi kimepita: mwili lazima urudi kwenye hatua sawa na kasi sawa. Kwa mfano, mwili, baada ya kuanza oscillations kutoka nafasi ya usawa, itakuwa na wakati wa kupotoka kwa kiwango cha juu katika mwelekeo mmoja, kurudi nyuma, kupotoka kwa kiwango cha juu katika mwelekeo mwingine, na kurudi tena. Kwa hiyo, katika kipindi hicho mwili utakuwa na muda wa kupotoka kwa kiwango cha juu kutoka kwa nafasi ya usawa mara mbili na kurudi nyuma. Kwa hivyo, kifungu kutoka kwa nafasi ya usawa hadi hatua ya kupotoka kwa kiwango cha juu ( tatizo 11.1.6) mwili hutumia robo ya kipindi (jibu 3 ).

Oscillations ya Harmonic ni wale ambao utegemezi wa kuratibu za mwili wa oscillating kwa wakati unaelezewa na kazi ya trigonometric (sine au cosine) ya wakati. KATIKA kazi 11.1.7 hizi ni kazi na , licha ya ukweli kwamba vigezo vilivyojumuishwa ndani yake vimeteuliwa kama 2 na 2 . Chaguo za kukokotoa ni kazi ya trigonometric ya mraba wa wakati. Kwa hivyo, mitetemo ya idadi tu na ni ya usawa (jibu 4 ).

Wakati wa vibrations za harmonic, kasi ya mwili inabadilika kulingana na sheria , ni wapi amplitude ya oscillations ya kasi (hatua ya kumbukumbu ya wakati imechaguliwa ili awamu ya awali ya oscillations ni sawa na sifuri). Kuanzia hapa tunapata utegemezi nishati ya kinetic miili mara kwa mara
(tatizo 11.1.8) Kutumia zaidi inayojulikana fomula ya trigonometric, tunapata

Kutoka kwa formula hii inafuata kwamba nishati ya kinetic ya mwili inabadilika wakati wa mitetemo ya harmonic pia kulingana na sheria ya harmonic, lakini kwa mara mbili ya mzunguko (jibu. 2 ).

Nyuma ya uhusiano kati ya nishati ya kinetic ya mzigo na nishati inayowezekana ya chemchemi ( tatizo 11.1.9) ni rahisi kufuata kutoka kwa mazingatio yafuatayo. Wakati mwili unapotoshwa na kiwango cha juu kutoka kwa nafasi ya usawa, kasi ya mwili ni sifuri, na, kwa hiyo, nishati inayowezekana ya chemchemi ni kubwa kuliko nishati ya kinetic ya mzigo. Kinyume chake, wakati mwili unapita kwenye nafasi ya usawa, nishati inayowezekana ya chemchemi ni sifuri, na kwa hivyo nishati ya kinetic ni kubwa kuliko nishati inayowezekana. Kwa hiyo, kati ya kifungu cha nafasi ya usawa na upungufu wa juu, nishati ya kinetic na uwezo hulinganishwa mara moja. Na kwa kuwa wakati wa kipindi mwili hupita mara nne kutoka kwa nafasi ya usawa hadi kwa kupotoka kwa kiwango cha juu au nyuma, basi katika kipindi hicho nishati ya kinetic ya mzigo na nishati inayowezekana ya chemchemi hulinganishwa na kila mmoja mara nne (jibu). 2 ).

Amplitude ya kushuka kwa kasi ( kazi 11.1.10) ni rahisi kupatikana kwa kutumia sheria ya uhifadhi wa nishati. Katika hatua ya kupotoka kwa kiwango cha juu, nishati ya mfumo wa oscillatory ni sawa na nishati inayowezekana ya chemchemi , ambapo ni mgawo wa ugumu wa spring, ni amplitude ya vibration. Wakati wa kupitia nafasi ya usawa, nishati ya mwili ni sawa na nishati ya kinetic , ambapo ni wingi wa mwili, ni kasi ya mwili wakati wa kupita kwenye nafasi ya usawa, ambayo ni kasi ya juu mwili katika mchakato wa oscillation na, kwa hiyo, inawakilisha amplitude ya oscillations kasi. Kulinganisha nguvu hizi, tunapata

(jibu 4 ).

Kutoka kwa fomula (11.5) tunahitimisha ( tatizo 11.2.2), kwamba muda wake hautegemei wingi wa pendulum ya hisabati, na kwa kuongezeka kwa urefu kwa mara 4, kipindi cha oscillations huongezeka kwa mara 2 (jibu 1 ).

Saa ni mchakato wa oscillatory, ambayo hutumika kupima vipindi vya muda ( tatizo 11.2.3) Maneno "saa inakimbia" inamaanisha kuwa kipindi cha mchakato huu chini ya hapo inapaswa kuwa nini. Kwa hiyo, ili kufafanua maendeleo ya saa hizi, ni muhimu kuongeza muda wa mchakato. Kulingana na formula (11.5), ili kuongeza kipindi cha oscillation ya pendulum ya hisabati, ni muhimu kuongeza urefu wake (jibu. 3 ).

Ili kupata amplitude ya oscillations ndani tatizo 11.2.4, ni muhimu kuwakilisha utegemezi wa kuratibu za mwili kwa wakati kwa namna ya kazi moja ya trigonometric. Kwa kazi iliyotolewa katika hali, hii inaweza kufanyika kwa kuanzisha angle ya ziada. Kuzidisha na kugawanya kitendakazi hiki kwa na kutumia formula ya kuongeza kazi za trigonometric, tunapata

pembeni iko wapi hivyo . Kutoka kwa formula hii inafuata kwamba amplitude ya oscillations ya mwili ni (jibu 4 ).

Habari za mchana

Ni rahisi sana. Sasa naweza kusema machache maneno magumu, lakini basi nitajaribu kueleza maana yao. Kwa unyenyekevu wa uwasilishaji, tutazungumza juu ya kesi ya mwelekeo mmoja;

Kwa hiyo, kazi kuu mechanics --- pata utegemezi wa viwianishi vya mwili kwa wakati, yaani, kwa kweli, pata chaguo fulani cha kukokotoa ambacho huhusisha thamani fulani ya kuratibu kwa kila wakati kwa wakati. Tunaelezea harakati zozote kwa kutumia sheria ya pili ya Newton. Sheria hii inajumuisha kuongeza kasi, ambayo ni derivative ya pili ya uratibu wa mwili kwa heshima na wakati, na nguvu, ambayo kwa kawaida inategemea kuratibu yenyewe. Pia, nguvu inaweza kutegemea kasi ya mwili, yaani, juu ya derivative ya kwanza ya kuratibu kwa heshima na wakati. Hivyo, na hatua ya hisabati Kwa mtazamo, sheria ya pili ya Newton inawakilisha uhusiano fulani kati ya kuratibu na derivatives yake ya kwanza na ya pili. Uhusiano huu unaitwa katika hisabati equation tofauti. Derivative ya juu zaidi iliyojumuishwa katika equation kama hiyo ni ya pili. Hisabati inasema kwamba suluhu la mlinganyo kama huo, yaani, fomu ya jumla kazi inayokidhi uhusiano wetu inategemea viunga viwili vya kiholela ambavyo haviwezi kubainishwa kutoka kwa mlinganyo. Vipengele hivi vya kiholela vinatambuliwa kwa kila kesi maalum, kwa mfano, kwa kutumia kinachojulikana hali ya awali. Hiyo ni, ili kuelewa jinsi mwili utakavyosonga, unahitaji kujua sio tu ni nguvu gani zinafanya juu yake, lakini pia uratibu wake wa awali na kasi ni nini. Viunga viwili vya kiholela katika suluhisho huchaguliwa kwa njia ambayo kazi tunayopata na derivative yake (ambayo ni, kasi) katika wakati wa kuanzia muda ulikuwa na maadili maalum.

Hii ni kabisa hali ya jumla. Kumbuka tunapozungumza juu ya harakati za mwili na kuongeza kasi ya mara kwa mara, ili kutaja kwa usahihi harakati, tunahitaji nambari mbili hasa, uratibu wa awali na kasi ya kuanzia.

Ndivyo ilivyo kwa kusitasita. Oscillation ya pendulum fulani (yaani, pendulum na mzunguko fulani wa asili) pia imedhamiriwa na namba mbili. Kawaida suluhisho la equation kwa pendulum iliyopatikana kutoka kwa sheria ya pili ya Newton imeandikwa kwa fomu.

Hapa jukumu la viboreshaji vya kiholela hucheza, ambalo lazima liamuliwe kutoka kwa hali ya awali. Wacha tuhesabu kasi:. Hebu tujue hilo ndani muda wa sifuri wakati, kuratibu na kasi ya pendulum walikuwa sawa na. Baada ya kusuluhisha mfumo wa hesabu za kawaida, mtu anaweza kupata misemo maalum kwa na kupitia na.

Sitatoa jibu ndani kesi ya jumla, ikiwa unataka, unaweza kuifanya kwa urahisi mwenyewe. Nitakuambia tu kuhusu kesi maalum. Hebu, kwa mfano, inajulikana kuwa wakati wa sifuri wa wakati mwili uko katika nafasi ya usawa (hiyo ni), na kasi yake ni sawa na thamani yake ya juu (hiyo ni). Kisha tunapata kwa kesi yetu maalum kwamba mfumo wa equations unachukua fomu:. Kutoka kwa equation ya kwanza ni wazi mara moja kwamba (equation ya kwanza, bila shaka, pia inatidhika na hali hiyo, lakini basi ufumbuzi wetu utageuka kuwa sifuri, na hii haifai sisi). Ya pili kisha inachukua fomu: , kutoka wapi. Kwa hivyo tumepata misemo kwa viunga vyote viwili. Matokeo yake tunayo:. Katika kesi hii, kwa kuongeza kasi inageuka. Ikiwa sasa tutaashiria amplitude kupitia usemi unaojulikana zaidi, tutapata fomula zinazojulikana zaidi.

Hebu tuangalie mfano mwingine. Sasa wacha mzigo uingie hali ya dharura, yaani kasi yake ni sifuri. Tutadhani kwamba ilikengeuka upande hasi mhimili, yaani, uratibu wake ni sawa na . Kisha equations kwa masharti ya awali kuchukua fomu:. Kutoka kwa equation ya pili. Kutoka kwa kwanza:. Kwa hivyo, kwa kuratibu ina: (usawa wa pili kwa kutumia formula ya kupunguza). Kwa kasi:. Ili kuongeza kasi:.

Fomula maalum hutegemea data ya awali. Kwa kuzingatia upimaji wa sines na cosines, kwa kutumia fomula tofauti kupunguzwa, unaweza kuondoa ishara kutoka kwa fomula, kuongeza awamu, nk.

Kama ilivyo kwa formula katika shida, hakuna frequency, kwani thamani yake maalum inabadilishwa:

Mitetemo ya bure zinafanywa chini ya ushawishi nguvu za ndani mfumo baada ya mfumo kuondolewa kutoka kwa nafasi yake ya usawa.

Ili mitetemo ya bure hutokea kwa mujibu wa sheria ya usawa, ni muhimu kwamba nguvu inayoelekea kurudisha mwili kwenye nafasi ya usawa inalingana na uhamishaji wa mwili kutoka kwa nafasi ya usawa na inaelekezwa kwa mwelekeo kinyume na uhamishaji (tazama §2.1). ):

Nguvu nyingine yoyote asili ya kimwili, kukidhi hali hii huitwa quasi-elastiki .

Kwa hivyo, mzigo wa misa fulani m, kushikamana na chemchemi ya kuimarisha k, mwisho wa pili ambao umewekwa fasta (Mchoro 2.2.1), fanya mfumo unaoweza kufanya oscillations ya bure ya harmonic bila kutokuwepo kwa msuguano. Mzigo kwenye chemchemi inaitwa harmonic ya mstari oscillator.

Masafa ya mzunguko ω 0 mitetemo ya bure mzigo kwenye chemchemi hupatikana kutoka kwa sheria ya pili ya Newton:

Wakati mfumo wa mzigo wa spring unapatikana kwa usawa, nguvu ya mvuto inayotumiwa kwenye mzigo hulipwa na nguvu ya majibu ya msaada. Ikiwa mzigo umesimamishwa kwenye chemchemi, basi nguvu ya mvuto inaelekezwa kando ya mstari wa harakati ya mzigo. Katika nafasi ya usawa, chemchemi imeinuliwa kwa kiasi x 0 sawa

Kwa hiyo, sheria ya pili ya Newton kwa mzigo kwenye chemchemi inaweza kuandikwa kama

Equation (*) inaitwa equation ya vibrations bure . Ikumbukwe kwamba mali za kimwili mfumo wa oscillatory kuamua tu mzunguko wa asili wa oscillations ω 0 au kipindi T . Vigezo vya mchakato wa oscillation kama vile amplitude x m na awamu ya awali φ 0 imedhamiriwa na njia ambayo mfumo ulitolewa nje ya usawa wakati wa awali wa wakati.

Ikiwa, kwa mfano, mzigo ulihamishwa kutoka kwa nafasi ya usawa kwa umbali Δ l na kisha kwa wakati fulani t= 0 iliyotolewa bila kasi ya awali, basi x m = Δ l, φ 0 = 0.

Ikiwa mzigo, ambao ulikuwa katika nafasi ya usawa, ulipewa kasi ya awali ± υ 0 kwa msaada wa kushinikiza mkali, basi,

Hivyo, amplitude x m oscillations bure na awamu yake ya awali φ 0 ni kuamua masharti ya awali .

Kuna aina nyingi za mifumo ya oscillatory ya mitambo inayotumia nguvu za deformation ya elastic. Katika Mtini. Kielelezo 2.2.2 kinaonyesha analog ya angular ya oscillator ya harmonic ya mstari. Diski iliyoko kwa usawa hutegemea uzi wa elastic uliowekwa katikati ya misa. Wakati diski inazungushwa kupitia pembe θ, wakati wa nguvu hutokea M Udhibiti wa deformation ya elastic torsional:

Wapi I = I C ni wakati wa inertia ya diski kuhusiana na mhimili, kupita katikati ya wingi, ε ni kuongeza kasi ya angular.

Kwa mlinganisho na mzigo kwenye chemchemi, unaweza kupata:

Mitetemo ya bure. Pendulum ya hisabati

Pendulum ya hisabati inayoitwa mwili mdogo uliosimamishwa kwenye uzi mwembamba usiozidi, ambao wingi wake hauzingatiwi ikilinganishwa na wingi wa mwili. Katika nafasi ya usawa, wakati pendulum hutegemea plumb, nguvu ya mvuto ni uwiano na nguvu ya mvutano wa thread. Wakati pendulum inapotoka kwenye nafasi ya usawa kwa pembe fulani φ, sehemu ya tangential ya mvuto inaonekana. F τ = - mg dhambi φ (Mchoro 2.3.1). Ishara ya minus katika fomula hii ina maana kwamba kipengele cha tangential kinaelekezwa kwa mwelekeo kinyume na upotovu wa pendulum.

Ikiwa tunaashiria kwa x uhamishaji wa mstari wa pendulum kutoka kwa nafasi ya usawa kando ya safu ya duara ya radius. l, basi uhamisho wake wa angular utakuwa sawa na φ = x / l. Sheria ya pili ya Newton, iliyoandikwa kwa makadirio ya kuongeza kasi na kulazimisha veta kwenye mwelekeo wa tangent, inatoa:

Uhusiano huu unaonyesha kuwa pendulum ya hisabati ni ngumu isiyo ya mstari mfumo, kwa kuwa nguvu inayoelekea kurudisha pendulum kwenye nafasi ya usawa haiwiani na uhamishaji. x, A

Katika kesi tu mabadiliko madogo, wakati takriban inaweza kubadilishwa na pendulum hisabati ni oscillator harmonic, yaani, mfumo wa uwezo wa kufanya oscillations harmonic. Katika mazoezi, takriban hii ni halali kwa pembe za utaratibu wa 15-20 °; katika kesi hii, thamani inatofautiana na si zaidi ya 2%. Oscillations ya pendulum katika amplitudes kubwa si harmonic.

Kwa oscillations ndogo ya pendulum ya hisabati, sheria ya pili ya Newton imeandikwa kwa fomu

Fomula hii inaeleza mzunguko wa asili wa oscillations ndogo ya pendulum hisabati .

Kwa hivyo,

Mwili wowote uliowekwa kwenye mhimili wa usawa wa mzunguko una uwezo wa oscillations ya bure katika uwanja wa mvuto na, kwa hiyo, pia ni pendulum. Pendulum kama hiyo kawaida huitwa kimwili (Mchoro 2.3.2). Inatofautiana na ile ya hisabati tu katika usambazaji wa raia. Katika msimamo thabiti wa usawa, katikati ya misa C pendulum ya kimwili iko chini ya mhimili wa mzunguko O kwenye wima unaopita kwenye mhimili. Wakati pendulum inapotoshwa na pembe φ, wakati wa mvuto hutokea, ikielekea kurudisha pendulum kwenye nafasi ya usawa:

na sheria ya pili ya Newton ya pendulum ya kimwili inachukua fomu (ona §1.23)

Hapa ω 0 - mzunguko wa asili wa oscillations ndogo ya pendulum kimwili .

Kwa hivyo,

Kwa hiyo, equation inayoelezea sheria ya pili ya Newton kwa pendulum ya kimwili inaweza kuandikwa kwa fomu

Hatimaye, kwa mzunguko wa mviringo ω 0 ya oscillations ya bure ya pendulum ya kimwili, usemi ufuatao unapatikana:

Ubadilishaji wa nishati wakati wa mitikisiko ya mitambo isiyolipishwa

Wakati bure vibrations mitambo nguvu za kinetic na zinazowezekana hubadilika mara kwa mara. Katika kupotoka kwa kiwango cha juu cha mwili kutoka kwa msimamo wake wa usawa, kasi yake, na kwa hivyo nishati yake ya kinetic, hupotea. Katika nafasi hii, nishati inayowezekana ya mwili wa oscillating hufikia thamani ya juu. Kwa mzigo kwenye chemchemi, nishati inayowezekana ni nishati ya deformation ya elastic ya chemchemi. Kwa pendulum ya hisabati, hii ni nishati katika uwanja wa mvuto wa Dunia.

Wakati mwili katika mwendo wake unapita kupitia nafasi ya usawa, kasi yake ni ya juu. Mwili hupindua nafasi ya usawa kulingana na sheria ya inertia. Kwa wakati huu ina nishati ya juu zaidi ya kinetic na uwezo mdogo. Kuongezeka kwa nishati ya kinetic hutokea kwa sababu ya kupungua kwa nishati inayowezekana. Kwa harakati zaidi, nishati inayowezekana huanza kuongezeka kwa sababu ya kupungua kwa nishati ya kinetic, nk.

Kwa hivyo, wakati wa oscillations ya harmonic, mabadiliko ya mara kwa mara ya nishati ya kinetic katika nishati inayoweza kutokea na kinyume chake hutokea.

Ikiwa hakuna msuguano katika mfumo wa oscillatory, basi nishati ya jumla ya mitambo wakati wa oscillations ya bure bado haibadilika.

Kwa mzigo wa spring(ona §2.2):

Katika hali halisi, mfumo wowote wa oscillatory ni chini ya ushawishi wa nguvu za msuguano (upinzani). Katika kesi hii, sehemu ya nishati ya mitambo inabadilishwa kuwa nishati ya ndani harakati za joto atomi na molekuli, na vibrations kuwa kufifia (Mchoro 2.4.2).

Kiwango cha kuoza kwa vibrations inategemea ukubwa wa nguvu za msuguano. Muda wa muda τ wakati ambapo amplitude ya oscillations inapungua e≈ mara 2.7, inayoitwa wakati wa kuoza .

Mzunguko wa oscillations ya bure inategemea kiwango ambacho oscillations huharibika. Kadiri nguvu za msuguano zinavyoongezeka, mzunguko wa asili hupungua. Walakini, mabadiliko katika mzunguko wa asili huonekana tu na nguvu kubwa za msuguano, wakati mitikisiko ya asili inaharibika haraka.

Tabia muhimu ya mfumo wa oscillatory ambao hufanya bure oscillations damped, ni kipengele cha ubora Q. Kigezo hiki kinafafanuliwa kama nambari N jumla ya oscillations iliyofanywa na mfumo wakati wa unyevu τ, ikizidishwa na π:

Kwa hivyo, kipengele cha ubora kina sifa ya upotezaji wa nishati katika mfumo wa oscillatory kutokana na kuwepo kwa msuguano kwa muda wa muda sawa na kipindi cha oscillation moja.

Mitetemo ya kulazimishwa. Resonance. Kujifanya oscillations

Oscillations inayotokea chini ya ushawishi wa nguvu ya mara kwa mara ya nje inaitwa kulazimishwa.

Nguvu ya nje hufanya kazi nzuri na hutoa mtiririko wa nishati kwa mfumo wa oscillatory. Hairuhusu vibrations kufa nje, licha ya hatua ya nguvu za msuguano.

Nguvu ya nje ya mara kwa mara inaweza kubadilika kwa wakati kulingana na sheria mbalimbali. Ya riba hasa ni kesi wakati nguvu ya nje, tofauti kulingana na sheria ya harmonic na mzunguko ω, hufanya kazi kwenye mfumo wa oscillatory wenye uwezo wa kufanya oscillations yake kwa mzunguko fulani ω 0.

Ikiwa oscillations ya bure hutokea kwa mzunguko ω 0, ambayo imedhamiriwa na vigezo vya mfumo, basi oscillations ya kulazimishwa mara kwa mara hutokea frequency ω nguvu ya nje.

Baada ya nguvu ya nje kuanza kutenda kwenye mfumo wa oscillatory, wakati fulani Δ t kuanzisha oscillations ya kulazimishwa. Wakati wa kuanzishwa ni, kwa utaratibu wa ukubwa, sawa na wakati wa uchafu τ wa oscillations ya bure katika mfumo wa oscillatory.

Katika wakati wa awali, michakato yote miwili inasisimua katika mfumo wa oscillatory - oscillations ya kulazimishwa kwa mzunguko ω na oscillations ya bure kwa mzunguko wa asili ω 0. Lakini mitetemo ya bure hupunguzwa kwa sababu ya uwepo usioepukika wa nguvu za msuguano. Kwa hiyo, baada ya muda fulani, oscillations tu ya stationary katika mzunguko ω ya nguvu ya nje ya kuendesha gari inabakia katika mfumo wa oscillatory.

Hebu tuchunguze, kwa mfano, oscillations ya kulazimishwa ya mwili kwenye chemchemi (Mchoro 2.5.1). Nguvu ya nje inatumika kwa mwisho wa bure wa chemchemi. Inalazimisha mwisho wa bure (kushoto kwenye Mchoro 2.5.1) wa chemchemi kuhamia kulingana na sheria.

Ikiwa mwisho wa kushoto wa chemchemi huhamishwa na umbali y, na moja ya haki - kwa umbali x kutoka kwa nafasi yao ya asili, wakati chemchemi ilikuwa haijabadilika, basi urefu wa chemchemi Δ l sawa:

Katika mlingano huu, nguvu inayofanya kazi kwenye mwili inawakilishwa kama istilahi mbili. Neno la kwanza upande wa kulia ni nguvu ya elastic inayoelekea kurudisha mwili kwenye nafasi ya usawa ( x= 0). Neno la pili ni athari ya mara kwa mara ya nje kwenye mwili. Neno hili linaitwa nguvu ya kulazimisha.

Mlinganyo unaoelezea sheria ya pili ya Newton kwa mwili kwenye chemchemi mbele ya ushawishi wa nje wa upimaji unaweza kutolewa kwa ukali. fomu ya hisabati, ikiwa tunazingatia uhusiano kati ya kuongeza kasi ya mwili na uratibu wake: Kisha itaandikwa kwa fomu

Equation (**) haizingatii hatua ya nguvu za msuguano. Tofauti equations ya vibrations bure(*) (ona §2.2) mlinganyo wa oscillation wa kulazimishwa(**) ina masafa mawili - mzunguko ω 0 ya oscillations ya bure na mzunguko ω ya nguvu ya kuendesha gari.

Oscillations ya kulazimishwa kwa hali ya kutosha ya mzigo kwenye chemchemi hutokea kwa mzunguko ushawishi wa nje mkwe

x(t) = x mcos (ω t + θ).

Amplitude ya oscillations ya kulazimishwa x m na awamu ya awali θ hutegemea uwiano wa masafa ω 0 na ω na juu ya amplitude y m nguvu ya nje.

Kwa masafa ya chini sana, wakati ω<< ω 0 , движение тела массой m, kushikamana na mwisho wa kulia wa chemchemi, hurudia harakati ya mwisho wa kushoto wa chemchemi. Ambapo x(t) = y(t), na chemchemi inabaki bila kubadilika. Nguvu ya nje inayotumika kwenye mwisho wa kushoto wa chemchemi haifanyi kazi yoyote, kwani moduli ya nguvu hii kwa ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ikiwa mzunguko ω ya nguvu ya nje inakaribia mzunguko wa asili ω 0, ongezeko kubwa la amplitude ya oscillations ya kulazimishwa hutokea. Jambo hili linaitwa usikivu . Utegemezi wa amplitude x m oscillations ya kulazimishwa kutoka kwa mzunguko ω ya nguvu ya kuendesha gari inaitwa tabia ya resonant au mduara wa resonance(Mchoro 2.5.2).

Katika resonance, amplitude x m oscillations ya mzigo inaweza kuwa mara nyingi zaidi kuliko amplitude y m vibrations ya bure (kushoto) mwisho wa spring unasababishwa na ushawishi wa nje. Kwa kukosekana kwa msuguano, amplitude ya oscillations ya kulazimishwa wakati wa resonance inapaswa kuongezeka bila kikomo. Katika hali halisi, amplitude ya oscillations ya kulazimishwa ya kutosha imedhamiriwa na hali: kazi ya nguvu ya nje wakati wa kipindi cha oscillation lazima iwe sawa na kupoteza nishati ya mitambo wakati huo huo kutokana na msuguano. Msuguano mdogo (yaani, ubora wa juu zaidi Q mfumo wa oscillatory), ndivyo amplitude kubwa ya oscillations kulazimishwa katika resonance.

Katika mifumo ya oscillatory isiyo na sababu ya ubora wa juu sana (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Jambo la resonance linaweza kusababisha uharibifu wa madaraja, majengo na miundo mingine ikiwa masafa ya asili ya oscillations yao yanapatana na mzunguko wa nguvu ya mara kwa mara ya kaimu, ambayo hutokea, kwa mfano, kutokana na mzunguko wa motor isiyo na usawa.

Mitetemo ya kulazimishwa ni isiyo na ukandamizaji kushuka kwa thamani. Hasara za nishati zisizoweza kuepukika kutokana na msuguano hulipwa na usambazaji wa nishati kutoka kwa chanzo cha nje cha nguvu ya kutenda mara kwa mara. Kuna mifumo ambayo oscillations undamped hutokea si kutokana na mvuto wa nje mara kwa mara, lakini kutokana na uwezo wa mifumo hiyo ya kudhibiti usambazaji wa nishati kutoka chanzo mara kwa mara. Mifumo kama hiyo inaitwa kujizungusha, na mchakato wa oscillations undamped katika mifumo hiyo ni oscillations binafsi . Katika mfumo wa kujitegemea, vipengele vitatu vya sifa vinaweza kutofautishwa - mfumo wa oscillatory, chanzo cha nishati, na kifaa cha maoni kati ya mfumo wa oscillatory na chanzo. Mfumo wowote wa mitambo wenye uwezo wa kufanya oscillations yake yenye unyevu (kwa mfano, pendulum ya saa ya ukuta) inaweza kutumika kama mfumo wa oscillatory.

Chanzo cha nishati kinaweza kuwa nishati ya deformation ya chemchemi au nishati inayowezekana ya mzigo kwenye uwanja wa mvuto. Kifaa cha maoni ni utaratibu ambao mfumo wa kujitegemea unadhibiti mtiririko wa nishati kutoka kwa chanzo. Katika Mtini. 2.5.3 inaonyesha mchoro wa mwingiliano wa vipengele mbalimbali vya mfumo wa kujitegemea.

Mfano wa mfumo wa kujitegemea wa mitambo ni utaratibu wa saa na nanga maendeleo (Mchoro 2.5.4). Gurudumu la kukimbia na meno ya oblique ni rigidly masharti ya ngoma toothed, kwa njia ambayo mnyororo na uzito hutupwa. Imeshikamana na ncha ya juu ya pendulum nanga(nanga) yenye bamba mbili za nyenzo imara, zilizopinda katika upinde wa mviringo na katikati kwenye mhimili wa pendulum. Katika saa za mkono, uzito hubadilishwa na chemchemi, na pendulum inabadilishwa na usawa - handwheel iliyounganishwa na chemchemi ya ond. Sawazisha hufanya mitetemo ya torsion karibu na mhimili wake. Mfumo wa oscillatory katika saa ni pendulum au balancer.

Chanzo cha nishati ni uzito ulioinuliwa au chemchemi ya jeraha. Kifaa kinachotumiwa kutoa maoni ni nanga, ambayo inaruhusu gurudumu la kukimbia kugeuza jino moja katika nusu ya mzunguko. Maoni hutolewa na mwingiliano wa nanga na gurudumu la kukimbia. Kwa kila oscillation ya pendulum, jino la gurudumu la kukimbia linasukuma uma wa nanga katika mwelekeo wa harakati ya pendulum, kuhamisha sehemu fulani ya nishati, ambayo hulipa fidia kwa hasara za nishati kutokana na msuguano. Kwa hivyo, nishati inayowezekana ya uzito (au chemchemi iliyopotoka) hatua kwa hatua, katika sehemu tofauti, huhamishiwa kwenye pendulum.

Mifumo ya kujiendesha ya mitambo imeenea katika maisha karibu nasi na katika teknolojia. Self-oscillations hutokea katika injini za mvuke, injini za mwako ndani, kengele za umeme, kamba za vyombo vya muziki vilivyoinama, nguzo za hewa kwenye mabomba ya vyombo vya upepo, kamba za sauti wakati wa kuzungumza au kuimba, nk.

Kielelezo 2.5.4. Utaratibu wa saa na pendulum.

Wakati oscillations hufanyika shuleni, huonyeshwa kwa mifano miwili rahisi: uzito kwenye chemchemi na pendulum ya hisabati (yaani, uzito wa uhakika kwenye thread isiyozidi) katika uwanja wa mvuto. Katika hali zote mbili, utaratibu muhimu huzingatiwa katika oscillations: kipindi chao haitegemei amplitude - angalau kwa muda mrefu kama amplitude hii inabakia ndogo - lakini imedhamiriwa tu na mali ya mitambo ya mfumo.

Sasa hebu tuunganishe mifano hii miwili na fikiria oscillations ya uzito kusimamishwa kwenye spring extensible katika uwanja wa mvuto (Mchoro 1).

Kwa unyenyekevu, tunapuuza mwelekeo wa tatu na kudhani kwamba pendulum hii ya spring inazunguka madhubuti katika ndege ya takwimu. Katika kesi hii, uzani (ambao pia unachukuliwa kuwa uzito wa uhakika) unaweza kusonga kwa ndege ya wima kwa mwelekeo wowote, na sio tu juu-chini au kushoto-kulia, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 2. Lakini ikiwa tunajizuia tena kwa kupotoka kidogo tu kutoka kwa nafasi ya usawa, basi oscillations ya usawa na wima hutokea karibu kwa kujitegemea, na vipindi vyao wenyewe. T x Na T y.

Inaweza kuonekana kuwa kwa kuwa oscillations hizi zimedhamiriwa na nguvu tofauti kabisa na sifa za mfumo, basi vipindi vyao vinaweza kuwa vya kiholela, kwa njia yoyote havihusiani na kila mmoja. Inageuka - hapana!

Kazi

Thibitisha kwamba katika pendulum kama hiyo kipindi cha oscillations ya usawa daima ni kubwa kuliko kipindi cha wima: T x > T y.

Dokezo

Tatizo linaweza kukushangaza kwanza kwa kuwa inaonekana kuwa hakuna kitu kinachotolewa, lakini kitu kinahitaji kuthibitishwa. Lakini hakuna kitu kibaya na hilo. Shida inapoundwa kwa njia hii, inamaanisha kuwa unaweza kujitambulisha nukuu kadhaa ambazo unahitaji, kuhesabu nao kile kinachohitajika, na kisha ufikie hitimisho ambalo tayari lipo. haitegemei kutoka kwa maadili haya. Fanya hivi kwa kazi hii. Chukua fomula za vipindi vya oscillation, fikiria juu ya idadi gani inayojumuisha, na ulinganishe vipindi viwili kwa kila mmoja, ukigawanya moja kwa nyingine.

Suluhisho

Kipindi cha oscillation ya bob molekuli m kwenye chemchemi yenye ugumu k na urefu L 0 ni

Fomula hii haibadiliki hata ikiwa uzani umesimamishwa kwenye uwanja wa mvuto kwa kuongeza kasi ya kuanguka bila malipo g. Bila shaka, nafasi ya usawa wa uzito itahamia chini kwa urefu Δ L = mg/k- ni kwa urefu huu wa chemchemi ambayo nguvu ya elastic hulipa fidia kwa nguvu ya mvuto. Lakini kipindi cha oscillations wima kuhusiana na nafasi hii mpya ya usawa na chemchemi iliyopanuliwa itabaki sawa.

Kipindi cha oscillations ya usawa ya pendulum iliyopanuliwa inaonyeshwa kwa suala la kuongeza kasi ya mvuto. g na yeye kamili urefu L = L 0 +Δ L:

Ni kutokana na kunyoosha kwa ziada katika uwanja wa mvuto kwamba tunagundua hilo

Hilo ndilo suluhisho.

Maneno ya baadaye

Licha ya unyenyekevu wake dhahiri, pendulum kwenye chemchemi ni mfumo ambao ni tajiri sana katika matukio. Hii ni moja ya mifano rahisi zaidi ya jambo zuri - resonance ya Fermi. Hivi ndivyo inavyozidi kuwa: Kwa ujumla, ikiwa uzito umevutwa nyuma na kutolewa, utazunguka kwa wima na kwa usawa. Aina hizi mbili za mitetemo zitaingiliana tu na hazitaingiliana. Lakini ikiwa vipindi vya oscillations wima na usawa vinahusiana na uhusiano T x = 2T y, kisha mitetemo ya mlalo na wima, kana kwamba ni kinyume na mapenzi yao, polepole itaanza kubadilika kuwa kila mmoja, kama katika uhuishaji ulio upande wa kulia. Nishati ya vibrations itasukumwa, kama ilivyokuwa, kutoka kwa vibrations wima hadi zile za mlalo na kinyume chake.

Inaonekana kama hii: unavuta uzito chini na kuachilia. Mara ya kwanza inazunguka tu juu na chini, kisha yenyewe huanza kuzunguka kando, kwa muda mfupi oscillation inakuwa karibu kabisa usawa, na kisha inarudi kwa wima tena. Kwa kushangaza, oscillation ya wima madhubuti inageuka kuwa isiyo na utulivu.

Ufafanuzi wa athari hii ya ajabu, pamoja na uwiano wa kichawi T x:T y= 2:1, ndivyo hivyo. Wacha tuonyeshe kwa x Na y kupotoka kwa uzito kutoka kwa nafasi ya usawa (mhimili y akielekeza juu). Kwa kupotoka vile, nishati inayowezekana huongezeka kwa kiasi

Hii ni formula sahihi, inafaa kwa kupotoka yoyote, kubwa au ndogo. Lakini ikiwa x Na y ndogo, kwa kiasi kikubwa chini L, basi usemi ni takriban sawa na

pamoja na maneno mengine yenye viwango vya juu zaidi vya ukengeushi. Kiasi U y Na U x- hizi ni nguvu za kawaida zinazoweza kutokea ambazo mitetemo ya wima na ya usawa hupatikana. Na hapa kuna thamani iliyoonyeshwa kwa bluu wewe xy ni nyongeza maalum ambayo inazalisha mwingiliano kati ya mabadiliko haya. Shukrani kwa mwingiliano huu mdogo, vibrations wima huathiri vibrations usawa na kinyume chake. Hii inakuwa wazi kabisa ikiwa utafanya mahesabu zaidi na kuandika equation ya vibrations kwa usawa na wima:

ambapo nukuu inaletwa

Bila kiongezeo cha bluu, tungekuwa na mizunguko ya kawaida ya wima na ya mlalo inayojitegemea yenye masafa. ωy Na ω x. Nyongeza hii ina jukumu nguvu ya kulazimisha, pamoja na kutikisa mitetemo. Ikiwa masafa ωy Na ω x ni kiholela, basi nguvu hii ndogo haina kusababisha athari yoyote muhimu. Lakini ikiwa uhusiano unashikilia ωy = 2ω x, resonance hutokea: nguvu ya kuendesha gari kwa aina zote mbili za oscillations ina sehemu na mzunguko sawa na oscillation yenyewe. Kwa sababu hiyo, nguvu hii polepole lakini kwa kasi huzungusha aina moja ya mtetemo na kukandamiza nyingine. Hivi ndivyo mitetemo ya mlalo na wima inapita ndani ya kila mmoja.

Uzuri wa ziada hutokea ikiwa tutazingatia kwa uaminifu mwelekeo wa tatu katika mfano huu. Tutachukulia kuwa uzani unaweza kukandamiza na kufinya chemchemi kwa wima na kuyumba kama pendulum katika pande mbili za mlalo. Kisha, wakati hali ya resonance inakabiliwa, inapotazamwa kutoka juu, uzito huandika trajectory ya umbo la nyota, kama, kwa mfano, katika Mtini. 3. Hii hutokea kwa sababu ndege ya oscillation haina kubaki stationary, lakini rotates - lakini si vizuri, lakini kama katika anaruka. Wakati oscillation huenda kutoka upande hadi upande, ndege hii inashikilia zaidi au kidogo, na mzunguko hutokea wakati wa kipindi kifupi wakati oscillation iko karibu wima. Tunawaalika wasomaji kufikiria wenyewe ni nini sababu za tabia hii na nini huamua angle ya mzunguko wa ndege. Na wale ambao wanataka kutumbukia kwenye shida hii ya kina wanaweza kuangalia kupitia kifungu cha Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring, ambayo sio tu hutoa uchambuzi wa kina wa shida, lakini pia inazungumza juu ya historia yake na unganisho la shida hii na zingine. matawi ya fizikia, haswa na fizikia ya atomiki.