Dhana ya fomula za ujumuishaji wa nambari. Kitabu cha maandishi juu ya njia za hisabati katika jiografia

Ukurasa wa 1

Idara ya Hisabati ya Juu
Muhtasari:

Ilikamilishwa na: Matveev F.I.
Imeangaliwa na: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Njia za nambari za ujumuishaji

2. Utoaji wa fomula ya Simpson

3.Mchoro wa kijiometri

4.Uteuzi wa hatua ya kuunganisha

5.Mifano

1. Mbinu za nambari za kuunganisha
Kazi ujumuishaji wa nambari inajumuisha katika kuhesabu muhimu

kupitia safu ya maadili ya integrand
.

Shida za ujumuishaji wa nambari zinapaswa kutatuliwa kwa vitendakazi vilivyoainishwa kwenye jedwali, vitendakazi ambavyo viambajengo vyake havijachukuliwa kazi za msingi, na kadhalika. Hebu tuzingatie kazi za kigeu kimoja pekee.

Badala ya chaguo za kukokotoa ambazo zinahitaji kuunganishwa, tunaunganisha polynomial ya ukalimani. Mbinu kulingana na kuchukua nafasi ya kiunganishi na polynomial ya ukalimani hufanya iwezekanavyo kukadiria usahihi wa matokeo kwa kutumia vigezo vya polynomial au kuchagua vigezo hivi kulingana na usahihi uliotolewa.

Njia za nambari zinaweza kuwekwa kwa masharti kulingana na njia ya ukadiriaji wa kiunganishi.

Mbinu za Newton-Cotes zinatokana na ukadiriaji wa utendakazi
polynomial ya shahada . Algorithm ya darasa hili inatofautiana tu katika kiwango cha polynomial. Kama sheria, nodi za polynomial inayokaribia zinalingana.

Mbinu za ujumuishaji wa Spline zinatokana na ukadiriaji wa utendakazi
spline-piecewise polynomial.

Mbinu za usahihi wa juu zaidi wa aljebra (mbinu ya Gaussian) hutumia nodi zisizo sawa zilizochaguliwa maalum ambazo hutoa hitilafu ya chini ya kuunganisha kwa nambari fulani (iliyochaguliwa) ya nodi.

Njia za Monte Carlo hutumiwa mara nyingi wakati wa kuhesabu viunga vingi huchaguliwa kwa nasibu, na jibu ni uwezekano.

jumla ya makosa

hitilafu ya kukata

kosa la kuzungusha

Bila kujali njia iliyochaguliwa, katika mchakato wa kuunganishwa kwa nambari ni muhimu kuhesabu thamani ya takriban ya muhimu na kukadiria kosa. Hitilafu hupungua kadiri nambari ya n inavyoongezeka

sehemu partitions
. Walakini, hii huongeza kosa la kuzunguka

kwa muhtasari wa maadili ya viambatanisho vilivyohesabiwa kwenye sehemu za sehemu.

Hitilafu ya kukata inategemea mali ya integrand na urefu sehemu ya sehemu.
2. Utoaji wa fomula ya Simpson
Ikiwa kwa kila jozi ya sehemu
jenga polynomial ya shahada ya pili, kisha uiunganishe na utumie mali ya nyongeza ya muhimu, tunapata formula ya Simpson.

Fikiria kazi ya integrand
kwenye sehemu
. Wacha tubadilishe kiunga hiki na utafsiri wa Lagrange polynomial ya shahada ya pili, sanjari na
kwa pointi:

Hebu kuunganisha
:

Mfumo:

na inaitwa formula ya Simpson.

Matokeo yaliyopatikana kwa muunganisho
thamani inaendana na eneo trapezoid iliyopinda, iliyopunguzwa na mhimili , moja kwa moja
,
na parabola kupita katika pointi

Wacha sasa tukadirie kosa la ujumuishaji kwa kutumia fomula ya Simpson. Tutachukulia hivyo kwenye sehemu
kuna derivatives kuendelea
. Hebu tufanye tofauti

Nadharia ya wastani ya thamani inaweza tayari kutumika kwa kila moja ya viambatanisho hivi viwili, kwani
kuendelea
na chaguo la kukokotoa sio hasi kwenye muda wa ujumuishaji wa kwanza na sio chanya kwa pili (yaani, haibadilishi ishara kwenye kila moja ya vipindi hivi). Ndiyo maana:

(tulitumia nadharia ya maana ya maana kwa sababu
- kazi inayoendelea;
).

Kutofautisha
mara mbili na kisha kutumia nadharia ya thamani ya wastani, tunapata kwa
usemi mwingine:

, Wapi

Kutoka kwa makadirio yote mawili kwa
inafuata kwamba fomula ya Simpson ni sawa kwa polynomia za digrii zisizo zaidi ya tatu. Wacha tuandike formula ya Simpson, kwa mfano, katika fomu:

,
.

Ikiwa sehemu
ushirikiano ni kubwa mno, basi ni kugawanywa katika
sehemu sawa(kudhani
), kisha kwa kila jozi ya sehemu zilizo karibu
,
,...,
Njia ya Simpson hutumiwa, ambayo ni:

Wacha tuandike formula ya Simpson kwa fomu ya jumla:

(1)

(2)

Kosa la formula ya Simpson - njia ya mpangilio wa nne:

,
(3)

Kwa kuwa njia ya Simpson inaruhusu sisi kupata usahihi wa juu, Kama
sio kubwa sana. Vinginevyo, njia ya utaratibu wa pili inaweza kutoa usahihi zaidi.

Kwa mfano, kwa kazi sura ya trapezoid saa
Kwa
anatoa matokeo halisi
, ambapo kwa kutumia formula ya Simpson tunapata

3. Mchoro wa kijiometri

Kwenye sehemu
ya urefu wa 2h, parabola inajengwa kupitia pointi tatu
,
. Eneo lililo chini ya parabola lililofungwa kati ya mhimili wa OX na mistari
, kubali sawa na kiungo
.

Kipengele maalum cha utumiaji wa formula ya Simpson ni ukweli kwamba idadi ya sehemu za sehemu ya ujumuishaji ni sawa.

Ikiwa idadi ya sehemu za kizigeu ni isiyo ya kawaida, basi kwa sehemu tatu za kwanza mtu anapaswa kutumia fomula kwa kutumia parabola ya digrii ya tatu kupitia alama nne za kwanza ili kukadiria kiunganishi.

(4)

Hii ni fomula ya Simpson ya tatu-nane.

Kwa sehemu ya kiholela ya ujumuishaji
fomula (4) inaweza "kuendelea"; katika kesi hii, idadi ya sehemu lazima iwe nyingi ya tatu (
pointi).

, m=2,3,... (5)

- sehemu nzima

Unaweza kupata fomula za Newton-Cotes za maagizo ya juu:

(6)

- idadi ya sehemu za kizigeu;

- shahada ya polynomial kutumika;

- derivative -th ili kwa uhakika
;

- hatua ya kugawa.

Jedwali la 1 linaonyesha coefficients
. Kila mstari unalingana na seti moja mapungufu
nodi za kuunda polynomial ya digrii ya kth. Ili kutumia mpango huu kwa zaidi seti (kwa mfano, na k=2 na n=6), unahitaji "kuendelea" coefficients na kisha kuongeza yao.

Jedwali la 1:

k	C0	A0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

Algorithm ya kukadiria makosa ya fomati ya trapezoidal na Simpson inaweza kuandikwa kama:
(7),

Wapi - mgawo kulingana na njia ya ushirikiano na mali ya integrand;

h - hatua ya kuunganisha;

p - utaratibu wa njia.

Sheria ya Runge inatumika kukokotoa kosa kwa kukokotoa kiungo mara mbili kwa hatua h na kh.

(8)

(8) - makadirio ya nyuma. Kisha Ispec.= +Ro (9),
thamani iliyosafishwa ya kiungo
.

Ikiwa utaratibu wa njia haijulikani, ni muhimu kuhesabu I mara ya tatu kwa nyongeza
, hiyo ni:

kutoka kwa mfumo wa equations tatu:

Na haijulikani mimi, A na p tunapata:

(10)

Kutoka (10) inafuata
(11)

Kwa hivyo, njia ya kuhesabu mara mbili, inayotumiwa nambari inayotakiwa ya nyakati, inaruhusu mtu kuhesabu muhimu na kiwango fulani cha usahihi. Nambari inayohitajika ya partitions huchaguliwa moja kwa moja. Katika kesi hii, unaweza kutumia simu nyingi kwa subroutines za mbinu zinazofanana za kuunganisha bila kubadilisha algorithms ya njia hizi. Hata hivyo, kwa mbinu zinazotumia nodi zinazohusiana sawa, inawezekana kurekebisha algorithms na kupunguza nusu ya idadi ya mahesabu ya integrand kwa kutumia hesabu muhimu zilizokusanywa wakati wa partitions nyingi zilizopita za muda wa ushirikiano. Thamani mbili za takriban za kiunganishi
Na
, iliyohesabiwa kwa kutumia njia ya trapezoidal na hatua Na
, zinahusiana na uhusiano:

Vile vile, kwa viambatanisho vilivyohesabiwa kwa kutumia fomula yenye hatua Na
, mahusiano yafuatayo ni halali:

(13)

4. Uchaguzi wa hatua ya kuunganisha
Ili kuchagua hatua ya ujumuishaji, unaweza kutumia usemi wa neno lililosalia. Chukua, kwa mfano, salio la fomula ya Simpson:

Ikiwa 

, kisha 

.

Kulingana na usahihi uliotolewa  wa mbinu ya kuunganisha, tunaamua hatua inayofaa kutoka kwa usawa wa mwisho.

,
.

Walakini, njia hii inahitaji tathmini
(ambayo kwa mazoezi haiwezekani kila wakati). Kwa hiyo, hutumia njia nyingine za kuamua makadirio ya usahihi, ambayo inafanya uwezekano wa kuchagua hatua inayotakiwa h wakati wa mahesabu.

Hebu tuangalie mojawapo ya mbinu hizi. Hebu

,

Wapi - Thamani ya takriban ya kiunganishi na hatua . Wacha tupunguze hatua mara mbili, kuvunja sehemu
katika sehemu mbili sawa
Na
(
).

Hebu sasa tuchukulie hilo
haibadilika haraka sana, kwa hivyo
karibu mara kwa mara:. Kisha
Na
, wapi
, hiyo ni
.

Kutokana na hili tunaweza kupata hitimisho lifuatalo: ikiwa
, yaani ikiwa
,
, A - usahihi unaohitajika, kisha hatua yanafaa kwa ajili ya kuhesabu muhimu kwa usahihi wa kutosha. Kama
, basi hesabu inarudiwa kwa hatua na kisha ikilinganishwa
Na
na kadhalika. Sheria hii inaitwa utawala wa Runge.

Walakini, wakati wa kutumia sheria ya Runge, ni muhimu kuzingatia ukubwa wa kosa la hesabu: na kupungua. kosa kabisa mahesabu ya ongezeko muhimu (utegemezi
kutoka inversely sawia) na kwa ndogo ya kutosha kosa la njia inaweza kuwa kubwa zaidi. Ikiwa inazidi
, basi kwa hatua hii Sheria ya Runge haiwezi kutumika na usahihi unaotaka hauwezi kupatikana. Katika hali hiyo ni muhimu kuongeza thamani .

Katika kupata sheria ya Runge, kimsingi ulitumia dhana hiyo
. Ikiwa kuna jedwali la maadili tu , kisha angalia
"kwa uthabiti" inaweza kufanywa moja kwa moja kutoka kwa meza Maendeleo zaidi ya algorithms hapo juu inaturuhusu kuendelea na algorithms inayoweza kubadilika, ambayo, kwa kuchagua hatua tofauti ya ujumuishaji katika sehemu mbalimbali sehemu ya ujumuishaji kulingana na mali
idadi ya mahesabu ya integrand imepunguzwa.

Mpango mwingine wa kusafisha maadili muhimu ni mchakato wa Eithnen. Muhimu huhesabiwa kwa hatua
, na
. Kuhesabu maadili. Kisha
(14).

Kipimo cha usahihi wa njia ya Simpson inachukuliwa kuwa:

5. Mifano
Mfano 1. Kuhesabu muhimu
kulingana na formula ya Simpson, ikiwa
iliyotolewa na meza. Kadiria hitilafu.

Jedwali 3.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Suluhisho: Kokotoa kwa kutumia fomula (1) kwa

muhimu

Kwa mujibu wa kanuni ya Runge tunapata
Tunakubali.

Mfano 2. Kuhesabu muhimu

Suluhisho: Tunayo
. Kwa hivyo h=
=0.1. Matokeo ya hesabu yanaonyeshwa kwenye Jedwali 4.

Jedwali 4.

Uhesabuji wa muunganisho kwa kutumia fomula ya Simpson

i
0	0		y0=1.00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0.50000=yn
		3.45955(1)	2.72818(2)

Kwa kutumia formula ya Simpson tunapata:

Hebu tuhesabu makosa ya matokeo yaliyopatikana. Jumla ya hitilafu inajumuisha makosa ya vitendo na muda uliobaki . Kwa wazi: -0.289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

Wacha tubadilishe kiunga kilichojumuishwa katika (2.50) na ukalimani wa Lagrange polynomial ya digrii sifuri kupita katikati ya sehemu - uhakika. X = (A + b)/2(Mchoro 2.5). Eneo la trapezoid ya curvilinear inaweza kubadilishwa na eneo la mstatili, i.e.

Mfumo (2.52) unaitwa FORMULAS OF RECTANGLES au FORMULAS OF WASTANI. Kosa lake ni

Upanuzi wa kazi f(x) katika safu inayohusiana na katikati ya sehemu ina fomu

Kubadilisha usemi (2.54) hadi (2.53), tunapata

Mchele. 2.5

Wakati wa kuhesabu kosa la kuunganisha, sio tu ya kwanza, lakini pia muda wa pili wa upanuzi uliharibiwa, ambayo inahusishwa na uchaguzi wa ulinganifu wa node ya ushirikiano. Na ingawa kwa ujenzi formula ni sawa kwa polynomials agizo la sifuri, uchaguzi wa nodi ya ukalimani wa ulinganifu ulisababisha ukweli kwamba fomula ni sahihi kwa kazi yoyote ya mstari.

Thamani ya muda uliobaki katika fomula ya mstatili (2.53) inaweza kuwa kubwa, kwani tofauti (6 - a) inaweza kuwa kubwa kabisa. Ili kuongeza usahihi, tunaanzisha mesh

kwa hatua ndogo kabisa h t=jc(- xt_ j na utumie fomula ya mstatili katika kila hatua ya gridi ya taifa. Kisha tunapata formula ya jumla ya rectangles

na thamani ya muda uliobaki

Kwenye gridi ya sare na hatua h t «= X ( - xt _ j = const formula (2.56) imerahisishwa na ina fomu

thamani ya muda uliosalia ni Kubadilisha jumla katika (2.58) na muhtasari, tunapata

Kwa makadirio ya muda uliosalia (2.58) kuwa halali, kuwepo kwa derivative ya pili ya kuendelea ni muhimu; ikiwa ni derivative ya pili f"x)- piecewise kuendelea, basi inawezekana kufanya tu makisio kuu kwa kuchukua nafasi f"(x) thamani yake ya juu [A, 6]. Kisha, ikiwa tunaashiria M 2 = max | f"(x)| [na iliyobaki

Katika kesi wakati kazi f(x) hutolewa kwa namna ya meza, thamani yake katikati ya muda haijulikani. Thamani hii kawaida hupatikana kwa kutafsiri, ambayo husababisha kuzorota kwa usahihi wa fomula.

Katika kesi ya tabular kazi zilizobainishwa ni rahisi kuchagua mwanzo na mwisho wa sehemu ya ujumuishaji kama nodi za ukalimani, i.e., kuchukua nafasi ya kazi f(x) Lagrange polynomial ya shahada ya kwanza. Tuna

Mchele. 2.6

Katika kesi hii, thamani ya kiungo, sawa na eneo trapezoid curved, ni takriban kubadilishwa na eneo la trapezoid (Mchoro 2.6). Kwa hivyo tunapata

kwa kuzingatia kwamba x 0 = a, x g = b. Fomula hii inaitwa TRAPEZIOUS FORMULA. Wakati wa kutumia formula ya trapezoidal kwa

makadirio ya kosa la ujumuishaji, tunakokotoa J dx kutoka

fomula (2.18). Tuna

Hitilafu ya fomula ya trapezoid ni kubwa mara mbili kuliko kosa la fomula ya mstatili. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba kuchagua mstatili kama nodi ya kuingiliana ya nodi ya ulinganifu katika fomula husababisha kuongezeka kwa usahihi wake.

Ili kuboresha usahihi wa formula (2.61), tunatanguliza kwenye sehemu [a, b] matundu

Kuhesabu thamani ya muunganisho kwa kila kipindi na muhtasari wa thamani hizi, tunapata ya jumla formula ya trapezoidal

na thamani ya muda uliobaki

Fomula hizi hurahisishwa kwenye gridi ya taifa na hatua ya mara kwa mara L = L (= Xj- d:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Wacha tuanzishe nukuu M 2 ~ max |ГХ^)1(а &] Kwa vitendo, hutumia makadirio makuu ya thamani ya neno linalosalia.

Kwa hivyo, fomula ya trapezoidal (kama fomula ya mstatili) ina mpangilio wa pili wa usahihi kwa heshima na hatua ya gridi ya taifa, na kosa bila dalili huwa na sifuri. h-» 0 hadi ndani ya masharti ya zaidi utaratibu wa juu kidogo.

Ili kuongeza mpangilio wa usahihi wa fomula ya ujumuishaji wa nambari, tunabadilisha kiunganishi na parabola - polynomial ya ukalimani ya Lagrange ya shahada ya pili, kuchagua ncha na katikati ya sehemu ya ujumuishaji kama nodi za ukalimani: x 0 = a, x x ~ (a + b)/ 2, x g = b(Mchoro 2.7).

Katika kesi hii, kuunganisha polynomial interpolation kwa nodes sawa spaced, sisi kupata

Mchele. 2.7

Katika kesi hii, thamani ya muda uliobaki R~ J D 2 (x) dx inakadiriwa kwa takriban uhusiano °

Mfumo (2.67) unaitwa FORMULA YA SIMPSON. Kwa nodi zenye nafasi zisizo sawa x 0, Xj, x 2 thamani F kiasi cha

Kama katika kesi mbili zilizopita, ili kuboresha usahihi wa formula (2.67) tunaanzisha gridi ya taifa na hatua ndogo ya kutosha. Kwa muhtasari wa maadili ya viungo vilivyopatikana kutoka (2.67) kwa kila muda, tunapata formula ya jumla ya Simpson (parabolas), ambayo kwenye gridi ya sare ina fomu.

na thamani ya muda uliobaki ni

Kwa hivyo, formula ya parabola ina utaratibu wa nne wa usahihi kwa heshima na hatua ya gridi ya taifa. Wacha tuanzishe nukuu M 4= = max |/ IV (x)| :

.
Kisha.
Tutatumia ukalimani wa mstari wa kiunganishi.
Ikiwa badala ya sehemu [-1; 1] chukua nodi zinazohamishika t1, t2 kama nodi za ukalimani, basi unahitaji kuchagua maadili haya ili eneo la trapezoid limefungwa hapo juu na mstari wa moja kwa moja unaopitia alama A1 (t1, φ(t1)) na A2 (t2, φ(t2)) ilikuwa sawa na muunganisho wa polynomia yoyote ya baadhi. shahada ya juu.
Kwa kudhani kuwa hii ni polynomial ya shahada ya tatu, tunahesabu t1, t2, ambayo inageuka kuwa sawa na na, tofauti tu katika hesabu za maadili.
Ifuatayo, tukigawanya sehemu ya ujumuishaji katika sehemu za n, kwa kutumia wazo lililoelezewa hapo juu kwa kila moja yao, tunaweza kupata fomula ya Gauss:

upangaji wa fomula ya ujumuishaji wa nambari

Utangulizi

1. Mbinu za kuunganisha namba

2. Fomula za Quadrature

3. Uchaguzi wa moja kwa moja wa hatua ya kuunganisha

Hitimisho

Bibliografia

Utangulizi

Madhumuni ya insha ni kusoma na uchambuzi wa kulinganisha njia za ujumuishaji wa nambari za kazi; utekelezaji wa njia hizi katika mfumo wa programu za mashine katika lugha ngazi ya juu na ufumbuzi wa vitendo wa matatizo ya kuunganisha namba kwenye kompyuta.

Wakati wa kutatua matatizo ya uhandisi, mara nyingi kuna haja ya kuhesabu maadili uhakika muhimu aina

. (1)

Ikiwa kazi ni endelevu kwa muda [ a , b] na kizuia derivative chake kinaweza kufafanuliwa kupitia kazi inayojulikana, basi kiunganishi kama hicho kinakokotolewa kwa kutumia fomula ya Newton–Leibniz:

KATIKA matatizo ya uhandisi Ni mara chache inawezekana kupata thamani ya muhimu katika fomu ya uchambuzi. Kwa kuongeza, kazi f (x) inaweza kubainishwa, kwa mfano, na jedwali la data ya majaribio. Kwa hivyo, kwa mazoezi, kuhesabu kiunga fulani wanachotumia mbinu maalum, ambayo inategemea vifaa vya ukalimani.

Wazo la njia kama hizo ni kama ifuatavyo. Badala ya kuhesabu kiunga kwa kutumia fomula (1), kwanza hesabu maadili ya chaguo la kukokotoa f (Xi) = y i katika baadhi ya nodi Xi Î[ a , b]. Kisha tafsiri ya polynomial imechaguliwa P (x), kupitia pointi zilizopatikana ( Xi , y i), ambayo hutumika wakati wa kukokotoa takriban thamani ya kiungo (1):

Wakati wa kutekeleza mbinu hii, fomula za ujumuishaji wa nambari huchukua zifuatazo fomu ya jumla:

, (2) - nodi za tafsiri, A i- baadhi ya mgawo, R- neno la mabaki linaloonyesha makosa ya fomula. Kumbuka kwamba fomula za fomu (2) zinaitwa fomula za quadrature.

Maana ya kijiometri ya ujumuishaji wa nambari ni kuhesabu eneo la trapezoid ya curvilinear iliyopunguzwa na grafu ya kazi. f (X), mhimili wa x na mistari miwili iliyonyooka x = a Na x = b. Ukadiriaji wa hesabu ya eneo hupelekea kukataliwa kwa neno lililosalia katika fomula za roboduara. R, ambayo ni sifa ya kosa la njia, ambayo inaongezewa na kosa la hesabu.

1. Mbinu za ujumuishaji wa nambari

KATIKA utafiti uliotumika Mara nyingi kuna haja ya kuhesabu thamani ya kiunganishi dhahiri

Kama unavyojua kutoka kwa kozi ya hisabati, muhimu haiwezi kuhesabiwa kwa uchanganuzi katika visa vyote. Na hata katika kesi wakati inawezekana kupata fomu ya uchambuzi wa kiunganishi hiki, utaratibu wa hesabu hutoa matokeo ya takriban, kwa hivyo shida ya takriban thamani ya kiunganishi hiki inatokea.

Kiini cha hesabu ya takriban iko katika shughuli mbili: 1. uteuzi nambari ya mwisho badala ya n; 2. katika kuchagua uhakika

katika sehemu inayolingana.

Kulingana na uchaguzi

tunapata fomula mbalimbali za kukokotoa muunganisho: Miundo ya mistatili ya kushoto na kulia (5), (6)

(5)

(6)

Njia ya trapezoid:

Fomula ya Simpson

b, a - mwisho wa sehemu inayozingatiwa.

Ili kulinganisha matokeo ya hesabu na fomula zilizo hapo juu za ujumuishaji wa nambari, tunahesabu kiunga kifuatacho kwa njia 3, tukigawanya sehemu hiyo katika sehemu 6 sawa: h=

Kulingana na fomula ya mstatili wa kushoto:

Kulingana na formula ya trapezoid:

Kulingana na formula ya Simpson:

Na matokeo yaliyopatikana kwa uchambuzi ni sawa na

Kwa hiyo, tunaweza kuhitimisha hilo njia ya nambari ujumuishaji kwa kutumia formula ya Simpson ni sahihi zaidi, lakini inatumika katika kesi ya jumla wakati wa kugawanya sehemu inayotenganishwa katika idadi sawa ya vipindi.

2. Fomula za Quadrature

Fomula za mstatili ni fomula rahisi zaidi za quadrature. Wacha tugawanye sehemu ya ujumuishaji [ a, b] juu P urefu wa sehemu sawa

. Kumbuka kwamba thamani h inayoitwa hatua ya ujumuishaji. Katika pointi za mgawanyiko X 0 = a ,X 1 =a+h , ..., x n = b kumbuka kuratibu y 0 ,y 1 ,…,y n potofu f (x), yaani. hebu tuhesabu y i = f (Xi), x i = a+ ih = x i -1 + h (i =) Kwenye kila sehemu ya urefu h tengeneza mstatili wenye pande h Na y i, Wapi i =, i.e. kutoka kwa maadili ya kuratibu yaliyohesabiwa kwenye ncha za kushoto za sehemu. Kisha eneo la trapezoid ya curvilinear, ambayo huamua thamani ya muhimu (1), inaweza kuwakilishwa takriban kama jumla ya maeneo ya rectangles (Mchoro 1). Kuanzia hapa tunapata formula ya mistatili:
. (3)

Ikiwa, wakati wa kuhesabu jumla muhimu, tunachukua maadili ya kazi f (x) sio kushoto, lakini kwenye ncha za kulia za sehemu za urefu h, ambayo imeonyeshwa kwenye Mtini. 1 na mstari wa alama, tunapata toleo la pili la fomula ya mstatili:

. (4)

Toleo la tatu la fomula ya mstatili inaweza kupatikana kwa kutumia maadili ya kazi f (x), iliyohesabiwa katikati ya kila sehemu ya urefu h(Kielelezo 2):

. (5)

Fomula (3), (4) na (4) zinaitwa fomula za mistatili ya kushoto, kulia na ya kati, mtawaliwa.

Fomula ya Simpson. Wacha tugawanye muda wa ujumuishaji na 2 n urefu wa sehemu sawa

. Katika kila sehemu [ Xi , x i+2] utendakazi wa integrand f (X) itabadilishwa na parabola kupita kwenye pointi ( Xi , y i), (Xi +1 , y i +1), (Xi +2 , y i+2). Kisha thamani ya takriban ya kiungo imedhamiriwa na formula ya Simpson: . (7)

Wakati wa kuhesabu kwenye kompyuta, formula ifuatayo ni rahisi zaidi:

Njia ya Simpson ni mojawapo ya mbinu zinazojulikana zaidi na zinazotumiwa za ujumuishaji wa nambari;

Muundo wa Newton. Thamani ya takriban ya muunganisho kwa kutumia fomula ya Newton inakokotolewa kama ifuatavyo:

ambapo idadi ya sehemu za kizigeu ni nyingi ya tatu, i.e. ni 3 n. Wakati wa kuunda programu za kompyuta, ni rahisi zaidi kutumia fomula sawa:

Njia ya Newton inatoa maadili halisi ya muhimu wakati wa kuunganisha polynomia hadi mpangilio wa nne unaojumuisha.

3. Uchaguzi wa moja kwa moja wa hatua ya ushirikiano

Kama matokeo ya hesabu kwa kutumia fomula (3) - (8), thamani ya takriban ya muunganisho hupatikana, ambayo inaweza kutofautiana na thamani halisi kwa kiasi fulani, kinachoitwa kosa la ujumuishaji. Hitilafu imedhamiriwa na fomula iliyobaki R, tofauti kwa kila mbinu ya ujumuishaji. Ikiwa ni muhimu kuhesabu thamani ya kiungo na kosa lisilozidi e, basi ni muhimu kuchagua hatua hiyo ya ujumuishaji. h, ili ukosefu wa usawa ushikilie R (h£ e. Katika mazoezi, uteuzi wa thamani moja kwa moja hutumiwa h, kuhakikisha mafanikio ya kosa fulani. Kwanza, hesabu thamani ya kiunganishi I (n), kugawanya muda wa ujumuishaji ndani P sehemu, basi idadi ya sehemu ni mara mbili na muhimu ni mahesabu I (2n) Mchakato wa kuhesabu unaendelea hadi hali inakuwa kweli.