Somo hili la video limeundwa kwa wanafunzi wa darasa la 10. Kwa msaada wake wataweza kusoma mada "Mabadiliko ya kazi maneno ya trigonometric kwa kiasi." Nyenzo ya elimu inaambatana na utulivu sauti ya kiume. Kwa msaada wake unaweza kufanya ya kuvutia na somo la elimu shuleni. Shukrani kwa vielelezo na ufafanuzi, ambavyo vinaonyeshwa kwa maandishi wazi kwenye skrini, wanafunzi wataweza kuelewa mada kwa kasi na kwa ufanisi zaidi.

Licha ya ukweli kwamba trigonometry kama sayansi ilionekana muda mrefu uliopita, haijapoteza umuhimu wake hadi leo. KATIKA sayansi mbalimbali Matatizo yanaonekana ambayo wanafunzi watalazimika kushughulikia eneo hili wakati wa kuyatatua. Kwa sababu hii, lazima waweze kukabiliana na mifano ya utata tofauti, kuzingatia kazi zilizo na sines, cosines, tangents na cotangents, nk.

Kwa kuwa trigonometry ina idadi kubwa ya fomula, bila ambayo kurahisisha usemi mmoja au mwingine utachukua muda mwingi. Kwa hivyo, kukariri na kuelewa fomula hizi ni muhimu sana. Ikiwa unaelewa jinsi zinavyotokana, unaweza kuzikumbuka kwa urahisi na kuzitumia katika mazoezi. Ili waweze kubaki katika kumbukumbu kwa muda mrefu, ni muhimu kuimarisha katika mazoezi. Kwa hivyo, inahitajika kwa walimu kugawa idadi kubwa ya maneno ya trigonometric na equations kwa watoto wa shule nyumbani.

Mafunzo haya ya video yalikusanywa na wataalamu. Ina muundo thabiti, hakuna taarifa zisizo za lazima au zisizo za lazima zinazotoka kwenye mtaala.

Watoto wa shule tayari wanajua jinsi ya kubadilisha milinganyo ya trigonometric kuwa bidhaa. Mchakato wa kurudi nyuma unawezaje kufanywa ikiwa ni lazima? Wakati mwingine hii itakuwa muhimu ili kurahisisha usemi fulani.

Majadiliano huanza na mfano. Bidhaa ya sine ya baadhi ya t na cosine ya thamani sawa imeandikwa. Usemi huu unabadilishwa kupitia sehemu, ambapo katika nambari tunaona jumla ya sine ya jumla ya hoja na tofauti, ikigawanywa na 2.

Bidhaa ya sine ya baadhi ya s na sine ya t inabadilishwa vile vile.

Ili kuunganisha maneno haya katika mazoezi, inapendekezwa kutatua baadhi ya mifano. Katika ya kwanza yao, inapendekezwa kupata jibu la nambari kwa usemi, ambayo ni bidhaa ya sine ya 2x na cosine ya 9x. Wakati wa kuamua mfano huu fomula iliyojifunza hapo awali hutumiwa. Skrini inaonyesha ufumbuzi wa kina kwa mfano, inaonyesha pia ni fomula gani inatumika.

Ifuatayo, tunazingatia mfano mwingine ambapo inapendekezwa kubadilisha bidhaa kuwa jumla. Mahesabu na maelezo yote yanaonyeshwa upande wa kulia. Si vigumu sana kuelewa jinsi mfano huu unatatuliwa, kwa sababu mtangazaji anatoa maoni juu ya kila kitu kwa undani.

Mfano wa tatu unapendekeza kurahisisha usemi unaojumuisha bidhaa ya sineno tatu za viwango vya digrii fulani. Wakati wa kurahisisha, formula ya kubadilisha bidhaa ya sines kuwa jumla hutumiwa. Wakati wa kutatua mfano huu, makini na ukweli kwamba kazi ya cosine ni kazi hata. Kwa hivyo, ishara zinatambuliwa kwa usahihi. Jibu linaonyeshwa. Suluhisho ni kubwa sana, hata hivyo, ikiwa utazingatia hatua kwa hatua, hakuna kitu kisichoeleweka kitakachobaki.

Mfano wa nne una equation ya trigonometric, katika kutatua ambayo ni muhimu kutumia fomula zilizosomwa, kama katika somo hili, na katika video zilizopita.

Kama ilivyotajwa tayari, kwa msaada wa uwasilishaji huu unaweza kuendesha somo la kuvutia kwa wanafunzi wa darasa la kumi. Wakufunzi na watoto wa shule wanaweza kupakua nyenzo. Ukitumia, unaweza kumwonyesha mwanafunzi suluhisho la hatua kwa hatua kwa mifano, sawa na ambayo watoto wa shule watakutana nayo, wakati wa kufanya kazi za nyumbani na kwa kujitegemea na. vipimo shuleni.

KUTENGENEZA MAANDIKO:

Kubadilisha Bidhaa za Misemo ya Trigonometric kuwa Jumla

Tayari unajua kwamba yoyote formula ya hisabati katika mazoezi hutumiwa kutoka kulia kwenda kushoto na kushoto kwenda kulia. Kwa hivyo, kutumia formula katika mwelekeo wa nyuma, tunaweza kubadilisha bidhaa ya kazi ya trigonometriki kuwa jumla.

Hebu tuangalie mfano:

kutoka kwa fomula ya kubadilisha hesabu za sines za hoja ec na te kuwa dhambi ya bidhaa( s +t) + dhambi ( s - t) = 2 dhambi s cos t

Unaweza kupata formula nyingine:

dhambi s cos t= (zao la sine ya hoja es kwa kosine ya hoja te ni sawa na nusu ya jumla ya sine ya jumla ya hoja es na te na sine ya tofauti kati ya hoja es na te, na tofauti inachukuliwa ili pembe iliyo chini ya ishara ya cosine iondolewe kutoka kwa hoja iliyo chini ya ishara ya sine.)

dhambi ( s +t) + dhambi ( s - t) = 2 dhambi s cos t

dhambi s cos t =

Vile vile, kutoka kwa fomula ya kubadilisha hesabu za cosines za hoja ec na te kuwa bidhaa cos ( s+t)+cos( s - t) =2cos s cos t tunapata

cos s cos t= (zao la cosines za hoja es na te ni sawa na nusu ya jumla ya kosini ya jumla ya hoja hizi na cosine ya tofauti zao).

Na kutoka kwa fomula ya kubadilisha tofauti kati ya cosines za hoja ec na te kuwa bidhaa cos ( s+t) -cos ( s - t) = - 2dhambi s dhambi t tunayo

dhambi s dhambi t= (zao la sines za hoja es na te ni sawa na nusu ya tofauti ya kosine ya tofauti ya hoja hizi na cosine ya jumla yao).

Hebu tuangalie mifano.

MFANO 1. Badilisha bidhaa kuwa jumla sin2x cos9x.

Suluhisho. Wakati wa kutatua tutatumia formula dhambi s cos t= , wapi s= 2х, t=9х. Kisha tuandike

sin2хcos 9х = = ( ukizingatia hilo

dhambi(-у) = -dhambiy, tunapata) = (nusu tofauti kati ya sine ya kumi na moja x na sine ya x saba).

Jibu: sin2х cos9х=.

MFANO 2. Badilisha bidhaa kuwa jumla ya cos(2x - y) cos(x + 4y) (bidhaa ya kosini ya hoja mbili x minus y kwa kosine ya hoja x plus four y).

Suluhisho. Wakati wa kutatua tutatumia formula cos s cos t= , ambapo s= (2x-y), t=(x+4y). Kisha

cos(2x - y) cos(x + 4y) = = fungua mabano = , fanya mahesabu na upate

= (nusu ya jumla ya kosini ya hoja tatu x pamoja na tatu y na kosine ya hoja x minus tano y).

MFANO 3. Rahisisha usemi sin20°sin40° sin80°.

Suluhisho. Wacha tutumie fomula: dhambi s dhambi t= .

dhambi 20°dhambi 40° dhambi 80°= ∙ dhambi 80°= ∙ dhambi 80°=

(Hebu tuzingatie kwamba cosine ni kazi sawa, ambayo inamaanisha

= ∙ dhambi 80° Tangu cos60°=

= ∙ dhambi 80°= ∙) ∙ dhambi 80°=

(kumbuka kuwa dhambi 80°= dhambi(90° - 10°)= cos10°, kwa hivyo tunapata hiyo)

= ∙) ∙ cos10° = fungua mabano = ∙ cos10° - ∙ cos10°

(tumia formula ya cos s cos t =)

= ∙ - ∙ cos10°= ∙() - ∙ cos10°=

tufungue mabano

(kumbuka kuwa =)

Jibu: sin20°sin40° sin80° =.

MFANO 4. Tatua equation 2 sin2x cos9x - sin11x =0.

Wacha tubadilishe upande wa kushoto wa equation kwa kutumia fomula

dhambi s cos t= , ambapo s=2x, na t=9x tunapata:

2 ∙ - sin11х = sin11х = .

Kwa hiyo, kupewa equation ni sawa na mlinganyo = 0 (ondoa sine saba x ni sawa na sifuri). Hii ina maana = πn, wapi x = , .

Ufunguo wa mafanikio katika muhtasari upo katika uwezo wetu wa kubadilisha jumla moja hadi nyingine - ama kurahisisha jumla ya asili au kutuleta karibu na lengo. Na kwa kujifunza sheria chache za msingi za mabadiliko na kufanya mazoezi ya matumizi yao, unaweza kujua uwezo huu kwa urahisi.

Acha K iwe seti kamili ya nambari kamili. Muhtasari wa vipengele vya K unaweza kubadilishwa kulingana na sheria tatu rahisi:

Sheria ya usambazaji inaruhusu mtu kuingia na kuondoa viunga chini na nje ya ishara. Sheria ya mchanganyiko inakuwezesha kugawanya kiasi kimoja katika mbili au kuchanganya kiasi mbili katika moja. Sheria ya ubadilishaji inasema kwamba masharti ya jumla yanaweza kupangwa upya kwa mpangilio wowote unaotaka; hapa ni baadhi ya vibali vya seti ya nambari zote. Kwa mfano, ikiwa na ikiwa basi sheria hizi tatu kwa mtiririko huo zinasema hivyo

Ujanja wa Gauss kutoka Chap. 1 inaweza kuonekana kama matumizi moja ya sheria hizi tatu za kimsingi. Tuseme tunataka

hesabu jumla maendeleo ya hesabu mtazamo wa jumla

Kulingana na sheria ya mabadiliko, kuchukua nafasi ya k na tunapata

Equations hizi mbili zinaweza kuongezwa kwa kutumia sheria ya mchanganyiko:

Sasa hebu tutumie sheria ya usambazaji na tuhesabu kiasi kidogo:

Kugawanya kwa 2, tunagundua hilo

Upande wa kulia inaweza kukumbukwa kama wastani wa istilahi ya kwanza na ya mwisho, ambayo ni kuzidishwa na idadi ya istilahi, i.e.

Ni muhimu kuzingatia kwamba kazi katika fomu ya jumla Sheria ya mabadiliko (2.17) inachukuliwa kuwa kibali cha nambari zote kamili. Kwa maneno mengine, kwa kila nambari lazima kuwe na nambari moja k kiasi kwamba . Vinginevyo, sheria ya uhamishaji inaweza isitimizwe - kwa mfano. 3 kwa hiyo mfano wazi. Ubadilishaji kama c au ambapo c ni nambari kamili daima ni vibali, kwa hivyo ni sawa.

Walakini, tunaweza kulegeza kidogo kizuizi cha ruhusa: inatosha tu kwamba kuna nambari moja ya k kiasi kwamba ni wakati gani kipengele cha faharisi kilichowekwa K. Ikiwa (hiyo ni, ikiwa sio ya K), basi sio muhimu, kwani mara nyingi ina usawa wa mahali kwani sawa na haishiriki katika jumla. Kwa hivyo, kwa mfano, inaweza kubishana kuwa

kwa maana kuna k moja kabisa kwamba wakati ni sawa.

Nukuu ya Iverson hukuruhusu kupata 0 au 1 kama maadili maneno yenye mantiki ndani ya fomula fulani, inaweza kutumika kwa kushirikiana na sheria za ugawaji, shirikishi na za kubadilishana kutambua sifa za ziada za kiasi. Hapa, kwa mfano, kanuni muhimu miungano ya seti tofauti za fahirisi: ikiwa ni baadhi ya seti kamili, basi

Hii inafuatia kutoka kwa fomula za jumla

Sheria ya (2.20) kawaida hutumiwa ama kuchanganya seti mbili za faharasa zilizokaribiana, kama ilivyo

au kutenga muda tofauti wa jumla, kama ilivyo

Operesheni hii ya kuchagua neno hufanya msingi wa njia ya kupunguza, ambayo mara nyingi inaruhusu mtu kuhesabu kiasi fulani katika fomu iliyofungwa. Kiini cha njia hii ni kuanza na kiasi cha kuhesabiwa na kuiteua

(Onyesha na ushinde.) Kisha tunaandika upya kwa njia mbili, tukisisitiza neno la mwisho na la kwanza:

Sasa tunaweza kushughulikia jumla ya mwisho na kujaribu kuielezea kupitia Ikiwa jaribio litafaulu, tutapata mlingano ambao suluhu yake itakuwa jumla inayohitajika.

Wacha tutumie, kwa mfano, njia hii kupata jumla maendeleo ya kijiometri mtazamo wa jumla

Kulingana na mpango wa jumla kupunguzwa (2.24) jumla imeandikwa upya katika fomu

na jumla ya upande wa kulia ni sawa na sheria ya usambazaji. Hivyo, na, kutatua equation hii kiasi sisi kupata

(kwa x = 1 kiasi hiki, bila shaka, ni sawa na Upande wa kulia wa fomula hii unaweza kukumbukwa kama tofauti ya mshiriki wa kwanza na mshiriki wa kwanza ambaye hajajumuishwa katika jumla ya masharti, ikigawanywa na tofauti ya 1 na kiashiria cha kuendelea.

Yote yalikuwa kabisa jambo rahisi, kwa hivyo wacha tujaribu njia ya kupunguza kwa jumla ngumu zaidi,

Katika darasa la kumi, wanafunzi watachukua sehemu ya aljebra kama vile trigonometry. Itasomwa kote kiasi kikubwa masomo.

Trigonometry yenyewe, kama sayansi, ilionekana zaidi ya miaka elfu mbili iliyopita. Kwa kuwa utendakazi wa kawaida wa aljebra haungetosha kueleza utendakazi wa trigonometriki, ilibidi wanasayansi watoe nukuu mpya. Sayansi hii husoma uhusiano kati ya pande za pembetatu na pembe zake. Katika matatizo mengi ya kijiometri na algebraic kuna haja ya kukabiliana na eneo hili. Matatizo ya fizikia pia wakati mwingine husababisha kazi za trigonometric.

Watoto wa shule tayari wamesoma kazi za msingi za trigonometric, wamejifunza jinsi ya kuunda grafu zao, kuzibadilisha, kanuni za msingi katika trigonometry, kutumia jedwali la maadili ya hoja mara nyingi hupatikana katika trigonometry, nk. Kufikia wakati wanajifunza somo hili la video, walikuwa tayari wamefaulu idadi kubwa usemi wa trigonometric na milinganyo.

Katika baadhi ya mifano, inakuwa muhimu kubadilisha fomula ya jumla ya kazi ya trigonometric kuwa bidhaa. Kwa kutumia hatua hii, unaweza kupunguza na kurahisisha misemo mikubwa, kutatua milinganyo, mifumo ya milinganyo, n.k.

Video: Kubadilisha Kiasi kazi za trigonometric katika kazi" ni nyenzo bora inayoambatana wakati wa kusoma mada hii. Walimu wanaweza kutumia mifano iliyotolewa katika nyenzo, fasili na fomula. Faili ya multimedia ni ya ubora bora. Inaweza kuchezwa wakati wa somo. Hii itawasaidia wanafunzi kuzingatia somo linalosomwa.

Mwanzoni mwa somo la video, mtangazaji anasema kwamba baadhi ya fomula za jumla zitaonyeshwa kwenye skrini ambazo zitasaidia katika kutatua. milinganyo ya trigonometric.

Kwanza kabisa, jumla ya sines inazingatiwa. Usemi wa kwanza ni jumla ya sine ya jumla ya hoja mbili na sine ya tofauti ya hoja zilezile. Kila mwanachama ameandikwa kulingana na fomula zilizosomwa hapo awali. Zinaonyeshwa kwenye upande wa kulia wa skrini ili kuwakumbusha wanafunzi.

Kwa kurekodi kamili, kufungua mabano na kurahisisha, tunapata bidhaa. Vigezo hubadilishwa. X-ohm inaashiria jumla ya hoja, y-ohm - tofauti. Kubadilisha katika usemi unaotokana, tunapata fomula ya kwanza ya kubadilisha kiasi kuwa bidhaa katika trigonometry.

Kwa watoto wa shule kukumbuka fomula, haitoshi kuonyesha jinsi ya kuipata. Unahitaji kujaribu kutatua kwa mfano. Jumla ya sines ya maadili fulani imepewa. Inabadilishwa kwa fomula kuwa bidhaa.

Njia ya pili, inayotokana na ambayo itaonyeshwa hatua kwa hatua, ni tofauti ya sines. Ili usipitie hatua za ziada za awali, unaweza kutumia fomula iliyopatikana tayari kwa kiasi. Inahitajika kukumbuka kuwa sine ni kazi isiyo ya kawaida. Ikiwa tutaandika tofauti kama jumla na kubadilisha minus kwenye fomula ya jumla, tunapata sheria mpya ya kubadilisha tofauti hiyo kuwa bidhaa.

Mfano unatolewa kwa njia sawa. Mtangazaji anaelezea uamuzi wake kwa undani.

Jumla na tofauti ya kosini na mifano hutolewa kwa mpangilio sawa. Fomula zilizosomwa hapo awali hutumiwa kwa njia sawa, uingizwaji hutolewa na matokeo yanaonyeshwa. Wakati wa kupata formula tofauti, unaweza kuamua ukweli kwamba cosine ni kazi sawa.

Wakati wa kutatua equation, upande wa kushoto unabadilishwa kuwa bidhaa. Kama tunavyojua, itakuwa sawa na sifuri wakati baadhi ya sababu pia ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, ubadilishaji kuwa kazi itakuwa muhimu sana.

Hatimaye, mfano mwingine unatolewa, ngumu zaidi. Unaweza kuwaelekeza wanafunzi katika mwelekeo sahihi, na watakabiliana na mfano wao wenyewe ikiwa wataelewa kanuni kwa ujumla.

Video hiyo itakuwa muhimu sana kwa watoto wa shule wanaosoma nyumbani. Pamoja na hayo unaweza bwana fomula muhimu, bila ambayo kutatua equations trigonometric itakuwa vigumu na wakati mwingine haiwezekani.

KUTENGENEZA MAANDIKO:

Kubadilisha jumla ya kazi za trigonometric kuwa bidhaa

Leo tutaangalia chache zaidi fomula za trigonometric, ambayo huruhusu jumla (tofauti) ya sine au kosini kubainishwa. Fomula hizi zitakuwa na manufaa kwako wakati wa kutatua milinganyo ya trigonometric.

Formula ya kwanza ni SUM OF SINES.

Fikiria usemi sin(s + t) + sin(s - t), ambapo s na t ni hoja za utendaji wa trigonometric.

Hebu tuitumie tayari fomula maarufu sine ya jumla na sine ya tofauti:

dhambi(x - y) = dhambi xcos y - cos xsin y,

kisha usemi dhambi ( s +t) atakuwa na umbo la dhambi s cos t+cos s dhambi t

na usemi dhambi(s-t) itaonekana kama dhambi s cos t-cos s dhambi t,

kisha tunapata:

dhambi ( s +t) + dhambi ( s - t) = (dhambi s cos t+cos s dhambi t) + (dhambi s cos t-cos s dhambi t)

Kupanua mabano:

dhambi s cos t+cos s dhambi t+ dhambi s cos t-cos s dhambi t

Tunafanya mahesabu:

cos s dhambi t-cos s dhambi t=0

dhambi s cos t+ dhambi s cos t= 2 dhambi s cos t.

dhambi ( s +t) + dhambi ( s - t) = (dhambi s cos t+cos s dhambi t) + (dhambi s cos t-cos s dhambi t)=dhambi s cos t+cos s dhambi t+ dhambi s cos t-cos s dhambi t= 2 dhambi s cos t.

Kwa hivyo tunapata kwamba usemi sin(s + t) + sin(s - t)= 2 dhambi s cos t.

Hebu tuanzishe vigezo vipya x=s +t Na y=s- t.

Wacha tuongeze usawa huu kwa muhula, tunapata

x + y= s +t + s- t.

x + y= 2s

Hebu tupate thamanis

s= .

Katika kesi ya pili, tunaondoa usawa huu kwa muda na kupata

X - saa= s +t- (s - t)

X - saa= s +t- s + t

x -y= 2t

Hebu tupate thamanit

Katika usemi sin(s + t) + sin(s - t)= 2 dhambi s cos t

tutabadilisha s na t kwa anuwai mpya tuliyoanzisha:

s +tbadilisha na x

s- t badala yake saa

sjuu

tjuu.

Kisha tunapata:

sinх + sinу= 2 sincos

(jumla ya sines za hoja hizo mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa sine ya nusu-jumla ya hoja hizi kwa kosini ya nusu-tofauti yao).

dhambi 7х + sin3х =2 dhambi cos =2 sin5x cos2x.

Fomula ya pili ni TOFAUTI YA SINES.

Ili tuweze kutumia fomula tayari inayotokana kwa jumla ya sines ya hoja mbili sinх + sinу = 2 sincos

Hebu tuchukue faida ya ukweli kwamba sine ni kazi isiyo ya kawaida, i.e. - sinу = dhambi(- у),

sinx - sinу = sinx + dhambi(- y)

Sasa tunatumia formula kwa jumla ya sines, tunapata

2 dhambi cos = 2 dhambi cos.

dhambi x - dhambi y = dhambi x + dhambi(- y) = 2 dhambi cos = 2 dhambi cos.

Kwa hivyo, tulipata fomula ya tofauti ya sines:

sinх - sinу =2 dhambi cos (tofauti kati ya sines za hoja mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya sine ya nusu ya tofauti ya hoja hizi na cosine ya nusu-jumla yao).

Mfano. Rahisisha usemi dhambi 77° - dhambi 17°.

dhambi 77° - dhambi 17° =2 dhambi cos = 2 dhambi kwa 47º.

(kwa kuwa dhambi 30º= , basi)= 2 ∙ ∙ cos= cos.

Fomula ya tatu ni SUM YA COSINES.

Kwa usemi cos (s + t) + cos (s - t), tunatumia fomula ambazo tayari tunajulikana: cosine ya jumla na cosine ya tofauti:

cos (x - y) = cos xcos y + dhambi x dhambi y,

Tunabadilisha maadili kutoka kwa fomula hadi usemi cos (s + t) + cos (s - t) na kupata:

cos ( s+t)+cos( s - t) = cos s cos t-dhambi s dhambi t+cos s cos t+ dhambi s dhambi t=2cos s cos t

Meancos ( s+t)+cos( s - t) =2cos s cos t

Hebu tuanzishe vigezo vipya x=s +t Na y=s - t. Kama katika kupata fomula ya SUM YA SINES.

s +tbadilisha na x

s- t badala yake saa

sjuu

tjuu.

Na tunapata formula ya jumla ya cosines

cos x+ cosу =2 cos cos

(jumla ya cosines ya hoja mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya cosine ya nusu ya jumla ya hoja hizi na cosine ya nusu-tofauti yao).

Mfano. Rahisisha usemi cos(x+2y) + cos(3x - 2y).

cos(x+2y) + cos(3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos(- x + 2y)= 2cos 2x cos(-(x - 2y)) (na kwa kuwa cos(- t) = gharama, basi)=

2cos2x cos(x - 2y).

Fomula ya nne ni TOFAUTI YA COSINES.

Ili kuelezea cos (s + t) - cos (s - t), tunatumia fomula ambazo tayari tunajulikana: cosine ya jumla na cosine ya tofauti:

cos (x + y) = cos x cos y - dhambi x dhambi y

cos (x - y) = cos xcos y + dhambi x dhambi y, tunapata

cos ( s+t) -cos ( s - t) = cos s cos t-dhambi s dhambi t-cos s cos t-dhambi s dhambi t= - 2 dhambi s dhambi t. Hebu tuanzishe vigezo vipya X= s +t Na saa= s - t, Maana, s = Na t =. Kubadilisha nukuu zilizoletwa kwenye fomula:

cos ( s+t) -cos ( s - t) = - 2dhambi s dhambi t, tunapata formula ya tofauti ya cosines:

cosх - cosу = -2sin dhambi (tofauti kati ya cosines za hoja mbili ni sawa na bidhaa mbili za sine ya nusu ya jumla ya hoja hizi na sine ya nusu-tofauti yao, iliyochukuliwa na ishara ya minus).

Mfano. Rahisisha usemi cos - cos.

cos - cos = - 2sin dhambi = - 2 dhambi dhambi (kwa kuwa dhambi = , basi) =

2 ∙ ∙ dhambi = - dhambi.

MFANO 1. Tatua mlingano cos6x + cos2x =0.

Suluhisho. Kwa kubadilisha jumla ya cosines kuwa bidhaa kwa kutumia formula:

(cos x + cosу = 2 cos cos,

tunapata 2cos4x cos2x = 0. Mlinganyo huu unageuka kuwa usawa wa kweli ikiwa

MFANO 2. Tatua mlinganyo sin7х + sin3х - sin5х =0.

Suluhisho. Kwa jumla ya neno la kwanza na la pili, tunatumia jumla ya fomula ya sines

dhambi(x + y) = dhambi x cos y + cos x dhambi y

(sin7х + sin3х) - sin5х =0

2 sincos - sin5х =0

sin5x(2 cos2x - 1) = 0.

sin5х = 0 au 2 cos2х - 1 = 0,

Suluhisho la equation sint = a inachukuliwa kwa a=0:

sint = 0 kwa t = πk,

kisha tunapata

x = , (pi en kugawanywa na tano)

Kutumia Maadili ya jedwali cosine na ufafanuzi wa suluhisho milinganyo ya gharama= a, ambapo (| a | 1) inaandika kwa njia ya jumla:

t = arckos A+ 2πk

equation ya pili cos2x= ina suluhu zifuatazo

2х= arccos + 2πn,

(pamoja na minus pi kwa sita plus pi en).

katika kesi hii, weka kuratibu za pointi zake maneno yenye mantiki kutoka t kutofautiana? Jibu la swali hili linategemea equation ya curve. Ikiwa pande zote mbili za equation zina polynomia katika x na y ya digrii isiyozidi mbili, basi taja vidokezo vya curve ukitumia. kazi za busara kutoka kwa tofauti moja inawezekana kila wakati (mifano iko kwenye shida 21.11). Ikiwa curve inatolewa na equation ya shahada kubwa kuliko 2, basi, kama sheria, haiwezekani kutaja kuratibu za pointi zake kwa kazi za busara: hii tayari ni kesi ya curve x3 + y3 = 1.

Tatizo 21.11. Kutumia kazi za busara, taja kuratibu za vidokezo vya curve zifuatazo:

a) duaradufu yenye equation x2 + 4y2 = 1;

b) hyperbolas na equation xy = 1;

c) hyperbola na mlinganyo x2 − y2 = 1.

Maelekezo. b) Ikiwa x = t, basi y = 1/t. c) Eleza upande wa kushoto.

Tatizo 21.12. a) Orodhesha masuluhisho matano ya mlingano x2 + y2 = 1 katika nambari chanya za kimantiki.

b) Orodhesha masuluhisho matano ya mlingano a2 + b2 = c2 in nambari za asili.

§ 22. Kubadilisha bidhaa kuwa jumla na jumla kuwa bidhaa

Wacha tuandike moja chini ya nyingine fomula za sine ya jumla na sine ya tofauti:

dhambi(α + β) = dhambi α cos β + cos α dhambi β; sin(α − β) = dhambi α cos β − cos α dhambi β.

Kuongeza fomula hizi, tunapata sin(α+β)+sin(α−β) = 2 sin α cos β, au

dhambi α cos β = 1 2 (dhambi(α + β) + dhambi(α − β)).

Kufanya vivyo hivyo na fomula za cosine kwa jumla na tofauti, tunapata:

cos(α + β) + cos(α - β) = 2 cos α cos β; cos(α + β) − cos(α − β) = -2 dhambi α dhambi β,

tunapata wapi fomula zifuatazo:

cos α cos β = 1 2 (cos(α − β) + cos(α + β))

dhambi α dhambi β = 1 2 (cos(α − β) − cos(α + β))

Tumepata fomula zinazoturuhusu kuhama kutoka kwa bidhaa za utendakazi wa trigonometric hadi jumla yake. Hebu sasa tujifunze jinsi ya kufanya mpito kwa upande mwingine: kutoka kwa jumla hadi kwa bidhaa.

Fikiria, kwa mfano, formula

2 dhambi α cos β = dhambi(α + β) + dhambi(α − β).

Kwenye upande wa kulia wa fomula hii, hebu tuashiria α + β kwa x, na α − β kwa y. Kuongeza na kupunguza usawa α + β = x na α − β = y, tunapata kwamba α = (x + y)/2, β = (x − y)/2. Kubadilisha misemo hii kwa upande wa kushoto wa fomula na kusoma fomula kutoka kulia kwenda kushoto, hatimaye tunapata:

dhambi x + dhambi y = 2 dhambi x + y cosx − y. 2 2

Kubadilisha −y ​​badala ya y kwenye fomula iliyopatikana hivi karibuni,

dhambi x − dhambi y = 2 dhambi x − y cosx + y . 2 2

Ikiwa tutachakata fomula za cos α cos β na za sin α sin β kwa njia ile ile kama tulivyofanya na fomula ya sin α cos β, tunapata hii:

(kumbuka ishara ya minus katika fomula ya pili).

Tatizo 22.1. Thibitisha fomula hizi.

Fomula za kubadilisha jumla ya kazi za trigonometric katika bidhaa zinaweza pia kupatikana kijiometri. Katika sana

Kwa kweli, wacha tuahirishe kuratibu za vekta kutoka asili

Kuwa na urefu wa 1 na kuunda

mwelekeo chanya wa mhimili

pembe za abscissa α na β kwa mtiririko huo; basi

(Mchoro 22.1). Kisha, ni wazi

OA = (cos α; dhambi α),

OB = (cos β; dhambi β),

= (cos α + cos β; dhambi α + dhambi β).

Kwa upande mwingine, tangu OA = OB = 1, parallelogram OACB ni rhombus. Kwa hivyo, OC ni sehemu mbili ya pembe AOB,

wapi BOC =

α−2

Na kwa pembetatu ya isosceles OBC

Tangu vector

hufanya pembe β + na mhimili wa abscissa

Kulinganisha misemo miwili ya viwianishi vya vekta

cos α + cos β = 2 cos

dhambi α + dhambi β = 2 dhambi

kwa mujibu wa kanuni tulizozipata.

Tatizo 22.2. Thibitisha vitambulisho:

a) dhambi(α + β) dhambi(α − β) + dhambi(β + γ) dhambi(β − γ) +

Dhambi(γ + α) dhambi(γ - α) = 0;

b) 4 dhambi α dhambi(π/3 − α) dhambi(π/3 + α) = dhambi 3α;

c) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Tatizo 22.3. Kwa kudhani kuwa α + β + γ = π, thibitisha usawa:

b) dhambi α + dhambi β + dhambi γ = 4 cos

c) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Tatizo 22.4. Acha pembe α, β, γ zilale pande tofauti a, b, c katika pembetatu, kwa mtiririko huo. Thibitisha fomula:

			α−2 β					α−2 β

Fomula hizi huitwa kanuni za Regiomontan, au nadharia tangent.

Tatizo 22.5. a) Kwa kudhani kuwa α + β + γ + δ = π, thibitisha utambulisho:

dhambi α dhambi γ + dhambi β dhambi δ = dhambi(α + β) dhambi(β + γ).

b) Quadrilateral ABCD imeandikwa kwenye mduara. Thibitisha kuwa AB CD+BC AD = AC BD (katika mzunguko wa pembe nne jumla ya bidhaa pande tofauti sawa na bidhaa ya diagonals - theorem ya Ptolemy).

Fomula tulizoshughulikia katika sehemu hii zinatumika katika uhandisi wa redio. Tuseme tunahitaji kusambaza sauti ya mtangazaji kupitia redio na masafa ya, tuseme, 300. Haiwezekani kusambaza redio kwa masafa ya chini kama haya: masafa ya mawimbi ya redio yanayotumiwa kwa utangazaji wa redio yanaweza kupimwa kwa mamilioni. Mawimbi

masafa kama haya hutumiwa kama hii. Wakati mtangazaji yuko kimya, ni mawimbi ya redio pekee yanayotangazwa masafa ya juuω (mzunguko wa carrier - tazama grafu kwenye Mchoro 22.2 a).

Hakuna habari inayopitishwa kwa ishara hii. Hebu sasa mzungumzaji aanze kutoa sauti kwa mzunguko η (η ni kidogo sana kuliko ω); kisha ishara u = (A sin ηt) dhambi ωt inatangazwa. Grafu yake ya takriban imeonyeshwa kwenye Mtini. 22.2 b. Tunaweza kusema kwamba amplitude ya oscillations ya mzunguko wa juu ω yenyewe hupitia oscillations na mzunguko wa chini η. Kama wanasema, ishara ya masafa ya juu inarekebishwa na ishara ya masafa ya chini (yote haya ni mchoro mbaya wa kile kinachotokea kwa mpokeaji).

Wacha tubadilishe usemi wa ishara iliyorekebishwa:

u = A dhambi ηt dhambi ωt = A 2 cos(ω − η)t −A 2 cos(ω + η)t.

Kama unavyoona, mawimbi yetu yaliyorekebishwa sio zaidi ya jumla ya ishara zilizo na masafa ω + η na ω − η. Kwa hiyo wanaposema kuwa kituo cha redio kinasambaza kwa mzunguko, sema, ω = 10, basi ni lazima tukumbuke kwamba kwa kweli sio tu mawimbi ya redio ya mzunguko ω yanatangazwa, lakini pia mawimbi ya masafa yote kutoka kwa muda [ω −η ; ω + η] ambapo η ni masafa ya juu zaidi ya mawimbi muhimu yanayopitishwa na kituo cha redio. Hii ina maana kwamba masafa ya carrier wa vituo tofauti vya redio hawezi kuwa karibu sana kwa kila mmoja: ikiwa makundi [ω −η; ω + η] itapishana, kisha vituo vya redio vitaingilia kati.

Utumizi mwingine wa fomula kutoka kwa sehemu hii ni hesabu ya jumla ya cosines au sines ya nambari zinazounda hesabu.

maendeleo ya tical (katika fizikia, mahesabu hayo hutumiwa kujifunza jambo la diffraction).

Tuseme tunahitaji kurahisisha usemi

cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h).

Kwanza, tutatatua tatizo hili kijiometri, na kisha tutaonyesha jinsi kanuni zetu zinaweza kutumika kwa hilo. Fikiria vekta zifuatazo: a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos(α + h); sin(α + h)), . . . , a10 = (cos(α + 10h); dhambi(α + 10h)). Kwa wazi, jumla inayohitajika ni abscissa ya vector a0 + a1 +. . . + a10 . Wacha tupate jumla hii ya vekta.

Ili kufanya hivyo, hebu tufanye OA1 = a0 kutoka kwa asili, A1 A2 = a1 kutoka kwa uhakika A1, nk (Mchoro 22.3). Kisha a0 + a1 + . . . + a10 = OA11 .

Mchele. 22.3. OA1 = a0, A1 A2 = a1,. . . , A10 A11 = a10 .

Ili kupata kuratibu za OA ya vector, tunapata urefu wake na angle ya mwelekeo kwa mhimili wa abscissa. Kwa kufanya hivyo, kumbuka kwamba kila moja ya makundi OA1, A1 A2,. . . ina urefu wa 1 na inazungushwa ikilinganishwa na ile ya awali kwa radiani sawa za pembe. Kwa hiyo, pointi O, A1, A2,. . . , A11 lala kwenye duara moja. Kituo chake cha Z ndio sehemu ya makutano bisectors perpendicular kwa sehemu OA1 na A1 A2. Ikiwa F Z na GZ ni hizi perpendiculars, basi F ZG = h, hivyo F ZA1 = h/2 na radius ya duara R ni sawa na F A1 / dhambi F ZA1 = 1/2 dhambi(h/2) (kumbuka kwamba urefu kutoka

kupunguzwa OA1 na A1 A2 ni sawa na moja). Kwa kuwa, ni wazi, OZA1 = = A1 ZA2 =. . . = A10 ZA11 = h, kisha OZA11 = 11h, na kutoka kwa pembetatu ya isosceles OZA11 tunayo

OA11		OZA11

Ili kupata angle ya mwelekeo wa vector OA11 kwa mhimili wa abscissa, badilisha

wakati huo pembe ya kati A1 ZA11 = 10h, imeandikwa hivyo

pembe A11 OA1 inayokaa kwenye arc A1 A11 ni sawa na 10h/2 = 5h, na A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h. Kwa hiyo,

OA11 = (OA11 cos(α + 5h); OA11 dhambi(α + 5h)) =
	sin 11h cos(α + 5h)	dhambi ya saa 11 (α + 5h)

Kulinganisha maingizo mawili ya kuratibu za vekta OA11, tunapata fomula:

cos α + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h) =

	sin 11h cos(α + 5h)
dhambi α + dhambi(α + h) + dhambi(α + 2h) + . . . + dhambi(α + 10h) =
			dhambi ya saa 11 (α + 5h)

Njia ya kwanza kati ya hizi ndiyo tuliyokuwa tunalenga, ya pili ilikuja kama bidhaa ndogo.

Kama unaweza kuona, mahesabu yaligeuka kuwa ya muda mrefu sana. Kwa kuongeza, msomaji wa pedantic anaweza kuona kwamba kuchora katika Mchoro 22.3 hupatikana tu kwa h ndogo ya kutosha, na kwa kubwa h mstari uliovunjika OA1 · · · A10 A11 inaweza kuzunguka mzunguko mzima, na zaidi ya mara moja, hivyo kuchora itakuwa tofauti. Kwa kweli, fomula yetu ni sahihi kwa yote α na h (isipokuwa kiashiria cha dhambi(h/2) ni sawa na sifuri; lakini ya mwisho inawezekana tu ikiwa h = 2πn kwa nambari kamili n, na kisha hata bila fomula yoyote. ni wazi kuwa jumla ni sawa na

− dhambi α + m -

Kubadilisha hii katika fomula yetu, tunaona kuwa jumla ni sawa na

α+2

Dhambi α + 10 + 2

h − dhambi α + 9 + 2

Ukifungua mabano, basi masharti yote yataghairi, isipokuwa

tion − dhambi α -							h , na jumla itakuwa sawa na
	dhambi(α + (10 + 2 1 )h) − dhambi(α −h 2)							dhambi 2 11 2 h cos(α + 5h)

(tulibadilisha jumla kuwa bidhaa). Kupunguza mbili katika nambari na denominator, tunapata fomula sawa ambayo tulipata kijiometri.

Hesabu yetu ya pili ni fupi na rahisi kuliko ya kwanza, lakini chini ya asili. Tunapokutana nambari ngumu, tutajifunza kupata hesabu hizo kwa njia ya asili zaidi (ingawa si fupi zaidi).