Utumizi wa muunganisho dhahiri ni mifano ya masuluhisho. Kuhesabu eneo la takwimu ya gorofa

Mhadhara wa 21 Maombi uhakika muhimu(saa 2)

Maombi ya kijiometri

A) Eneo la takwimu

Kama ilivyoonyeshwa katika Hotuba ya 19, kwa nambari sawa na eneo trapezoid iliyopinda, iliyofungwa na mkunjo katika = f(x), moja kwa moja X = A, X = b na sehemu [ a, b] OX mhimili. Aidha, kama f(x£ 0 kwa [ a, b], basi kiungo kinapaswa kuchukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Ikiwa imewashwa sehemu iliyotolewa kazi katika = f(x) mabadiliko ya ishara, kisha kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa kati ya grafu ya kazi hii na mhimili wa OX, unapaswa kugawanya sehemu hiyo katika sehemu, ambayo kila kazi huhifadhi ishara yake, na kupata eneo la kila sehemu ya takwimu. Eneo linalohitajika katika kesi hii ni jumla ya algebraic ya viambatanisho juu ya sehemu hizi, na viunga vinavyolingana na maadili hasi ya kazi huchukuliwa kwa jumla hii na ishara ya minus.

Ikiwa takwimu imefungwa na curves mbili katika = f 1 (x) Na katika = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), basi, kama ifuatavyo kutoka kwa Mchoro 9, eneo lake ni sawa na tofauti katika maeneo ya trapezoids ya curvilinear. A Jua b Na A AD b, ambayo kila moja ni sawa kiidadi na kiunganishi. Ina maana,

Kumbuka kuwa eneo la takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 10a hupatikana kwa kutumia fomula sawa: S = (Thibitisha!). Fikiria jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 10b?

Tulikuwa tunazungumza tu juu ya trapezoids ya curvilinear karibu na mhimili wa OX. Lakini fomula zinazofanana pia ni halali kwa takwimu zilizo karibu na mhimili wa OU. Kwa mfano, eneo la takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 11 hupatikana kwa fomula

Wacha mstari y=f(x), inayofunga trapezoid iliyopindika, inaweza kutolewa na hesabu za parametric, tО , na j(a)= A, j(b) = b, i.e. katika= . Kisha eneo la trapezoid hii ya curvilinear ni sawa na

.

b) Urefu wa safu ya curve

Acha Curve itolewe katika = f(x) Wacha tuzingatie safu ya curve hii inayolingana na mabadiliko X kwenye sehemu [ a, b]. Wacha tupate urefu wa safu hii. Ili kufanya hivyo, tunagawanya arc AB ndani P sehemu kwa pointi A = M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (Mchoro 14), sambamba na pointi X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].

Wacha tukumbuke D l i urefu wa arc, basi l= . Ikiwa urefu wa arc D l i ni ndogo ya kutosha, basi inaweza kuchukuliwa takriban urefu sawa sehemu zinazolingana zinazounganisha pointi M i-1, M i. Pointi hizi zina kuratibu M i -1 (Xi -1, f (Xi-1)), M i(Xi, f(Xi)). Kisha urefu wa makundi ni sawa, kwa mtiririko huo

Njia ya Lagrange hutumiwa hapa. Hebu tuweke Xi – Xi-1 =D Xi, tunapata

Kisha l = , wapi

l = .

Hivyo, urefu wa arc ya curve katika = f(x), sambamba na mabadiliko X kwenye sehemu [ a, b], kupatikana kwa fomula

l = , (1)

Ikiwa Curve imeainishwa kwa usawa, tО, i.e. y(t) = f(x(t)), kisha kutoka kwa formula (1) tunapata:

l=
.

Hii inamaanisha kwamba ikiwa curve imepewa parametrically, basi urefu wa arc ya curve hii inalingana na mabadiliko. tО, hupatikana kwa fomula

V) Kiasi cha mwili wa mzunguko.

Mtini.15

Fikiria trapezoid iliyopinda A AB b, iliyofungwa na mstari katika = f(x), moja kwa moja X = A, X = b na sehemu [ a,b] Mhimili wa OX (Mchoro 15). Hebu trapezoid hii izunguke karibu na mhimili wa OX, matokeo yatakuwa mwili wa mapinduzi. Inaweza kuthibitishwa kuwa kiasi cha mwili huu kitakuwa sawa na

Vile vile, tunaweza kupata fomula ya kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha trapezoid ya curvilinear kuzunguka mhimili OU, iliyozuiliwa na grafu ya chaguo la kukokotoa. X= j( katika), moja kwa moja y = c , y = d na sehemu [ c,d] mhimili wa op-amp (Kielelezo 15):

Matumizi ya kimwili ya kiungo dhahiri

Katika Hotuba ya 19 tulithibitisha kwamba kwa mtazamo wa kimaumbile, kiungo ni kiidadi sawa na wingi fimbo nyembamba ya rectilinear isiyo sare ya urefu l= b – a, yenye msongamano wa mstari unaobadilika r = f(x), f(x) ³ 0, wapi X- umbali kutoka hatua ya fimbo hadi mwisho wake wa kushoto.

Hebu tuzingatie matumizi mengine ya kimwili ya kiunganishi hakika.

Tatizo 1. Pata kazi inayohitajika kusukuma mafuta kutoka kwa tank ya wima ya cylindrical yenye urefu wa H na radius ya msingi R. Uzito wa mafuta ni r.

Suluhisho. Hebu tujenge mfano wa hisabati ya kazi hii. Hebu mhimili wa OX upite kwenye mhimili wa ulinganifu wa silinda ya urefu wa H na radius R, asili iko katikati ya msingi wa juu wa silinda (Mchoro 17). Wacha tugawanye silinda ndani P sehemu ndogo za usawa. Kisha wapi A i- kazi ya kusukuma maji i safu ya th. Mgawanyiko huu wa silinda unafanana na mgawanyiko wa sehemu ya mabadiliko katika urefu wa safu ndani P sehemu. Hebu fikiria moja ya tabaka hizi ziko kwa mbali Xi kutoka kwa uso, upana D X(au mara moja dx) Kusukuma safu hii kunaweza kuzingatiwa kama "kuinua" safu hadi urefu Xi.

Kisha kazi ya kusukuma safu hii ni sawa na

A i"R mimi x i, ,

ambapo P i=rgV i= rgpR 2 dx, R i- uzito, V i- kiasi cha safu. Kisha A i"R mimi x i= rgpR 2 dx.x mimi, wapi

, na kwa hiyo .

Tatizo 2. Tafuta wakati wa hali

a) silinda yenye kuta nyembamba yenye mashimo inayohusiana na mhimili unaopita kwenye mhimili wake wa ulinganifu;

b) silinda imara inayohusiana na mhimili unaopita kwenye mhimili wake wa ulinganifu;

c) fimbo nyembamba ya urefu l kuhusiana na mhimili unaopita katikati yake;

d) urefu wa fimbo nyembamba l kuhusiana na mhimili unaopita mwisho wake wa kushoto.

Suluhisho. Kama inavyojulikana, wakati wa inertia ya hatua inayohusiana na mhimili ni sawa na J=Bwana 2, na mifumo ya pointi.

a) Silinda ni nyembamba-ukuta, ambayo ina maana kwamba unene wa kuta inaweza kupuuzwa. Hebu radius ya msingi wa silinda iwe R, urefu wake H, na wiani wa wingi kwenye kuta ni sawa na r.

Wacha tugawanye silinda ndani P sehemu na kupata wapi J i- wakati wa inertia i kipengele cha kizigeu.

Hebu tuzingatie i kipengele cha kizigeu (silinda isiyo na kikomo). Pointi zake zote ziko umbali wa R kutoka kwa mhimili l. Hebu wingi wa silinda hii t i, Kisha t i= rV i»rS upande= 2 prR dx mimi, Wapi Xi O. Kisha J i»R 2 prR dx mimi, wapi

.

Ikiwa r ni ya kudumu, basi J= 2prR 3 N, na kwa kuwa wingi wa silinda ni sawa na M = 2prRН, basi J=MR 2.

b) Ikiwa silinda ni imara (imejaa), basi tunaigawanya ndani P vlo mitungi nyembamba iliyounganishwa moja ndani ya nyingine. Kama P ni kubwa, kila moja ya mitungi hii inaweza kuchukuliwa kuwa nyembamba-ukuta. Sehemu hii inalingana na kizigeu cha sehemu kuwa P sehemu zilizo na alama R i. Hebu tupate misa i silinda yenye kuta nyembamba: t i= rV i, Wapi

V i= pR i 2 H - pR mimi - 1 2 H = pH(R i 2 –R i -1 2) =

PH (R i-R i-1)(R i+R i -1).

Kwa sababu ya ukweli kwamba kuta za silinda ni nyembamba, tunaweza kudhani kuwa R i+R i-1 »2R i, na R i-R i-1 = DR i, kisha V i» pH2R i D.R. i, wapi t i»rpN×2R i D.R. i,

Kisha hatimaye

c) Fikiria fimbo ya urefu l, ambao msongamano wa wingi ni sawa na r. Acha mhimili wa mzunguko upite katikati yake.

Tunatoa mfano wa fimbo kama sehemu ya mhimili wa OX, kisha mhimili wa mzunguko wa fimbo ni mhimili wa OU. Wacha tuzingatie sehemu ya msingi, misa yake, umbali wa mhimili unaweza kuzingatiwa takriban sawa r i= Xi. Kisha wakati wa hali ya sehemu hii ni sawa na , ambapo wakati wa hali ya fimbo nzima ni sawa na . Kwa kuzingatia kwamba wingi wa fimbo ni sawa na, basi

d) Hebu sasa mhimili wa mzunguko upite mwisho wa kushoto wa fimbo, i.e. Mfano wa fimbo ni sehemu ya mhimili wa OX. Kisha vivyo hivyo, r i= Xi,, wapi , na tangu , basi .

Jukumu la 3. Pata nguvu ya shinikizo la kioevu na wiani r kwenye pembetatu ya kulia na miguu A Na b, kuzama kwa wima kwenye kioevu ili mguu A iko juu ya uso wa kioevu.

Suluhisho.

Wacha tujenge mfano wa shida. Acha juu pembe ya kulia pembetatu iko kwenye asili, mguu A sanjari na sehemu ya mhimili wa OU (mhimili wa OU huamua uso wa kioevu), mhimili wa OX unaelekezwa chini, mguu. b sanjari na sehemu ya mhimili huu. Hypotenuse ya pembetatu hii ina mlinganyo , au .

Inajulikana kuwa ikiwa kwenye eneo la usawa la eneo S, iliyoingizwa kwenye kioevu cha wiani r, inakabiliwa na safu ya kioevu yenye urefu h, basi nguvu ya shinikizo ni sawa (sheria ya Pascal). Tuitumie sheria hii.

Hebu tuwasilishe baadhi ya matumizi ya kiunganishi dhahiri.

Kuhesabu eneo la takwimu ya gorofa

Eneo la trapezoid iliyopinda iliyofungwa na curve (ambapo
), moja kwa moja
,
na sehemu
shoka
, iliyohesabiwa kwa fomula

.

Eneo la takwimu lililofungwa na curves
Na
(wapi
) moja kwa moja
Na
kuhesabiwa kwa formula

.

Ikiwa curve inatolewa na milinganyo ya parametric
, kisha eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na safu hii kwa mistari iliyonyooka.
,
na sehemu
shoka
, iliyohesabiwa kwa fomula

,

Wapi Na imedhamiriwa kutoka kwa milinganyo
,
, A
katika
.

Eneo la sekta ya curvilinear iliyofungwa na curve iliyoainishwa ndani kuratibu za polar mlingano
na radii mbili za polar
,
(
), hupatikana kwa fomula

.

Mfano 1.27. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na parabola
na moja kwa moja
(Mchoro 1.1).

	Suluhisho. Wacha tupate sehemu za makutano ya mstari wa moja kwa moja na parabola. Ili kufanya hivyo, tunatatua equation , . Wapi , . Kisha kwa fomula (1.6) tunayo .

Kuhesabu urefu wa arc ya curve ya ndege

Ikiwa curve
kwenye sehemu
- laini (yaani, derivative
kuendelea), basi urefu wa safu inayolingana ya curve hii hupatikana na fomula

.

Wakati wa kubainisha curve parametrically
(
- kazi zinazoendelea kutofautishwa) urefu wa safu ya curve inayolingana na mabadiliko ya monotonic kwenye paramu. kutoka kabla , iliyohesabiwa kwa fomula

Mfano 1.28. Kuhesabu urefu wa safu ya curve
,
,
.

Suluhisho. Wacha tupate derivatives kwa heshima na parameta :
,
. Kisha kutoka kwa formula (1.7) tunapata

.

2. Calculus tofauti ya kazi za vigezo kadhaa

Acha kila jozi ya nambari iliyoagizwa
kutoka eneo fulani
inalingana na nambari fulani
. Kisha kuitwa kazi ya vigezo viwili Na ,
-vigezo vya kujitegemea au hoja ,
-uwanja wa ufafanuzi kazi, na seti maadili yote ya kazi - anuwai ya maadili yake na kuashiria
.

Kijiometri, kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kwa kawaida huwakilisha baadhi ya sehemu ya ndege
, iliyofungwa na mistari ambayo inaweza au isiwe ya eneo hili.

Mfano 2.1. Tafuta kikoa cha ufafanuzi
kazi
.

Suluhisho. Kazi hii inafafanuliwa katika sehemu hizo za ndege , ambamo , au . Pointi ya ndege ambayo , kuunda mpaka wa kanda . Mlinganyo inafafanua parabola (Mchoro 2.1; kwa kuwa parabola sio ya kanda , kisha inaonyeshwa kwa mstari wa nukta). Zaidi ya hayo, ni rahisi kuangalia moja kwa moja kwamba pointi ambazo , iko juu ya parabola. Mkoa iko wazi na inaweza kubainishwa kwa kutumia mfumo wa kukosekana kwa usawa:

Ikiwa kutofautiana toa nyongeza
, A kuondoka mara kwa mara, basi kazi
atapata nyongeza
, kuitwa ongezeko la kibinafsi la utendaji kwa kutofautiana :

Vivyo hivyo, ikiwa kutofautisha hupata ongezeko
, A inabaki mara kwa mara, basi kazi
atapata nyongeza
, kuitwa ongezeko la kibinafsi la utendaji kwa kutofautiana :

Ikiwa kuna mipaka:

,

,

wanaitwa derivatives sehemu ya chaguo za kukokotoa
kwa vigezo Na kwa mtiririko huo.

Kumbuka 2.1. Baadhi ya derivatives ya kazi za idadi yoyote ya vigezo huru huamuliwa vile vile.

Kumbuka 2.2. Kwa kuwa derivative ya sehemu kwa heshima na tofauti yoyote ni derivative kwa heshima ya variable hii, mradi vigezo vingine ni mara kwa mara, basi sheria zote za kutofautisha kazi za kutofautiana moja zinatumika katika kutafuta derivatives ya sehemu ya kazi za idadi yoyote ya vigezo.

Mfano 2.2.
.

Suluhisho. Tunapata:

,

.

Mfano 2.3. Tafuta sehemu ya sehemu za chaguo za kukokotoa
.

Suluhisho. Tunapata:

,

,

.

Ongezeko kamili la utendaji
inayoitwa tofauti

Sehemu kuu ya nyongeza kamili ya utendakazi
, kulingana na upanuzi wa vigeu huru
Na
,inaitwa tofauti kamili ya chaguo la kukokotoa na imeteuliwa
. Ikiwa chaguo la kukokotoa lina viambishi vya sehemu vinavyoendelea, basi tofauti kamili ipo na ni sawa na

,

Wapi
,
- nyongeza za kiholela za vigezo vya kujitegemea, vinavyoitwa tofauti zao.

Vile vile, kwa kazi ya vigezo vitatu
tofauti ya jumla inatolewa na

.

Hebu kazi
ina katika hatua
agiza kwanza sehemu za sehemu zinazohusiana na anuwai zote. Kisha vector inaitwa upinde rangi kazi
kwa uhakika
na imeteuliwa
au
.

Kumbuka 2.3. Alama
inaitwa opereta wa Hamilton na hutamkwa "nambla".

Mfano 2.4. Tafuta upinde rangi wa chaguo za kukokotoa kwa uhakika
.

Suluhisho. Wacha tupate derivatives za sehemu:

,
,

na kuhesabu maadili yao kwa uhakika
:

,
,
.

Kwa hivyo,
.

Derivative kazi
kwa uhakika
katika mwelekeo wa vector
inayoitwa kikomo cha uwiano
katika
:

, Wapi
.

Ikiwa kazi
inaweza kutofautishwa, basi derivative katika mwelekeo fulani huhesabiwa na formula:

,

Wapi ,- pembe, ambayo ni vector fomu na shoka
Na
kwa mtiririko huo.

Katika kesi ya kazi ya vigezo vitatu
derivative ya mwelekeo inafafanuliwa vile vile. Fomula inayolingana ni

,

Wapi
- cosines ya mwelekeo wa vector .

Mfano 2.5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
kwa uhakika
katika mwelekeo wa vector
, Wapi
.

Suluhisho. Wacha tupate vekta
na mwelekeo wake cosines:

,
,
,
.

Wacha tuhesabu maadili ya derivatives ya sehemu kwa uhakika
:

,
,
;
,
,
.

Kubadilisha ndani ya (2.1), tunapata

.

Agizo la pili sehemu derivatives huitwa derivatives za sehemu zilizochukuliwa kutoka kwa derivatives ya sehemu ya agizo la kwanza:

,

,

,

Baadhi ya derivatives
,
zinaitwa mchanganyiko . Thamani za derivatives mchanganyiko ni sawa katika sehemu hizo ambazo derivatives hizi zinaendelea.

Mfano 2.6. Tafuta sehemu za sehemu ya mpangilio wa pili wa chaguo za kukokotoa
.

Suluhisho. Wacha kwanza tuhesabu derivatives ya sehemu ya agizo la kwanza:

,
.

Kwa kuwatofautisha tena, tunapata:

,
,

,
.

Kwa kulinganisha maneno ya mwisho, tunaona hivyo
.

Mfano 2.7. Thibitisha kuwa kazi hiyo
inatosheleza mlinganyo wa Laplace

.

Suluhisho. Tunapata:

,
.

,
.

.

Nukta
kuitwa kiwango cha juu cha eneo (kiwango cha chini ) kazi
, ikiwa kwa pointi zote
, tofauti na
na kuwa wa kitongoji kidogo cha kutosha, ukosefu wa usawa

(
).

Upeo au kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa huitwa yake uliokithiri . Hatua ambayo mwisho wa kazi hufikiwa inaitwa sehemu ya juu kabisa ya chaguo la kukokotoa .

Nadharia 2.1 (Masharti ya lazima kwa uliokithiri ). Ikiwa uhakika
ndio sehemu ya mwisho ya chaguo la kukokotoa
, au angalau mojawapo ya derivatives hizi haipo.

Pointi ambazo masharti haya yanatimizwa huitwa stationary au muhimu . Pointi za hali ya juu kila wakati hazijasimama, lakini sehemu ya kusimama inaweza isiwe sehemu ya juu zaidi. Ili mahali pa kusimama kiwe sehemu ya juu zaidi, masharti ya kutosha ya eneo la juu lazima yatimizwe.

Hebu kwanza tujulishe nukuu ifuatayo :

,
,
,
.

Nadharia 2.2 (Masharti ya kutosha kwa waliokithiri ). Hebu kazi
mara mbili kutofautishwa katika kitongoji cha uhakika
na kipindi
imesimama kwa hafla hiyo
. Kisha:

1.Kama
, kisha onyesha
ni upeo wa kazi, na
itakuwa hatua ya juu
(
)na kiwango cha chini kabisa
(
).

2.Kama
, kisha kwa uhakika

hakuna uliokithiri.

3.Kama
, basi uliokithiri unaweza kuwepo au usiwepo.

Mfano 2.8. Chunguza utendaji kazi uliokithiri
.

Suluhisho. Tangu katika kwa kesi hii derivatives ya sehemu ya agizo la kwanza huwa iko kila wakati, kisha kupata vidokezo (muhimu) tunasuluhisha mfumo:

,
,

wapi
,
,
,
. Kwa hivyo, tulipata alama mbili za stationary:
,
.

,
,
.

Kwa uhakika
tunapata :, yaani, hakuna extremum katika hatua hii. Kwa uhakika
tunapata: na
, kwa hivyo

katika hatua hii kipengele hiki hufikia kiwango cha chini cha ndani: .

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi

taasisi ya elimu ya uhuru ya shirikisho

elimu ya juu ya kitaaluma

"Kaskazini (Arctic) chuo kikuu cha shirikisho jina lake baada ya M.V. Lomonosov"

Idara ya Hisabati

KAZI YA KOZI

Katika taaluma ya Hisabati

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Msimamizi

Sanaa. mwalimu

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

KAZI KWA KAZI YA KOZI

Maombi ya kiunganishi dhahiri

DATA YA AWALI:

21. y=x 3 , y= ; 22.

UTANGULIZI

Katika kazi hii ya kozi, nilipewa kazi zifuatazo: kuhesabu maeneo ya takwimu zilizopunguzwa na grafu za kazi, zilizopunguzwa na mistari, hesabu zilizopewa, pia zimepunguzwa na mistari, iliyotolewa na equations katika kuratibu za polar, kuhesabu urefu wa arcs ya curves. , iliyotolewa na milinganyo katika mfumo wa mstatili kuratibu zilizoainishwa na hesabu za parametric, zilizoainishwa na hesabu katika kuratibu za polar, na pia kuhesabu idadi ya miili iliyopunguzwa na nyuso, iliyopunguzwa na grafu za kazi, na huundwa na mzunguko wa takwimu zilizopunguzwa na grafu za kazi karibu na mhimili wa polar. Nilichagua kazi ya kozi juu ya mada "Muhimu dhahiri. Katika suala hili, niliamua kujua jinsi mahesabu muhimu yanaweza kutumika kwa urahisi na haraka, na jinsi kazi nilizopewa zinaweza kuhesabiwa kwa usahihi.

INTEGRAL ni moja wapo ya dhana muhimu zaidi ya hisabati, ambayo iliibuka kuhusiana na hitaji, kwa upande mmoja, kupata kazi na derivatives zao (kwa mfano, kupata kazi inayoonyesha njia iliyosafirishwa na hatua ya kusonga kulingana na kasi. ya hatua hii), na kwa upande mwingine, kupima maeneo, kiasi, arcs urefu, kazi ya nguvu kwa muda fulani, nk.

Ufichuaji wa mada kazi ya kozi Nilifanya mpango ufuatao: ufafanuzi wa kiungo cha uhakika na mali zake; urefu wa arc ya curve; eneo la trapezoid iliyopotoka; eneo la uso wa mzunguko.

Kwa chaguo lolote la kukokotoa f(x), linaloendelea kwa muda, kuna kizuia derivative kwenye muda huu, ambayo ina maana kuwa kuna muunganisho usio na kikomo.

Ikiwa chaguo za kukokotoa F(x) ni kipingamizi chochote cha kazi inayoendelea f(x), basi usemi huu unajulikana kama formula ya Newton-Leibniz:

Tabia za kimsingi za kiunga fulani:

Ikiwa mipaka ya chini na ya juu ya ujumuishaji ni sawa (a=b), basi kiunganishi ni sawa na sifuri:

Ikiwa f(x)=1, basi:

Wakati wa kupanga upya mipaka ya ujumuishaji, mabadiliko dhahiri yanaashiria kinyume:

Sababu ya mara kwa mara inaweza kutolewa nje ya ishara ya kiunganishi dhahiri:

Ikiwa vipengele vya kukokotoa vinaweza kuunganishwa, basi jumla yao na muunganisho wa jumla vinaweza kuunganishwa sawa na jumla viungo:

Pia kuna njia za msingi za ujumuishaji, kama vile mabadiliko ya kutofautisha:

Marekebisho ya tofauti:

Ujumuishaji na fomula ya sehemu hufanya iwezekane kupunguza hesabu ya kiunga kwa hesabu ya kiunga, ambayo inaweza kuwa rahisi zaidi:

Maana ya kijiometri ya kiunganishi dhahiri ni kwamba kwa kazi inayoendelea na isiyo hasi inawakilisha kwa maana ya kijiometri eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.

Kwa kuongezea, kwa kutumia kiunga fulani, unaweza kupata eneo la mkoa limefungwa na curves, mistari iliyonyooka na, wapi.

Ikiwa trapezoid ya curvilinear imepunguzwa na curve iliyoelezwa na mistari ya parametric x = a na x = b na mhimili wa Ox, basi eneo lake linapatikana kwa formula, ambayo imedhamiriwa kutoka kwa usawa:

. (12)

Eneo kuu, eneo ambalo linapatikana kwa kutumia kiungo fulani, ni sekta ya curvilinear. Hili ni eneo lililofungwa na miale miwili na curve, ambapo r na ni kuratibu za polar:

Ikiwa Curve ni grafu ya kazi ambapo, na kazi inayotokana nayo inaendelea kwenye sehemu hii, basi eneo la uso wa takwimu linaloundwa kwa kuzungusha curve kuzunguka mhimili wa Ox inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

. (14)

Ikiwa kazi na derivative yake ni endelevu kwenye sehemu, basi curve ina urefu sawa na:

Ikiwa equation ya curve imetolewa kwa fomu ya parametric

ambapo x(t) na y(t) ni kazi zinazoendelea na derivatives zinazoendelea na kisha urefu wa curve hupatikana na formula:

Ikiwa curve imetolewa na equation katika kuratibu za polar, ambapo na zinaendelea kwenye sehemu, basi urefu wa arc unaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo:

Ikiwa trapezoid iliyopinda, iliyofungwa na sehemu ya mstari unaoendelea na mistari ya moja kwa moja x = a na x = b, inazunguka karibu na mhimili wa Ox, basi kiasi cha mwili kinachoundwa na mzunguko wa trapezoid hii kuzunguka mhimili wa Ox itakuwa sawa na:

Ikiwa trapezoidi iliyopinda imezuiwa na grafu ya chaguo la kukokotoa linaloendelea na mistari x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ikiwa takwimu imepunguzwa na curves na (ni "juu" kuliko na kwa mistari ya moja kwa moja x = a, x = b), basi kiasi cha mwili wa mzunguko kuzunguka mhimili wa Ox itakuwa sawa na:

na kuzunguka mhimili wa Oy (:

Ikiwa sekta ya curvilinear imezungushwa kuzunguka mhimili wa polar, basi eneo la mwili unaosababishwa linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

2. KUTATUA MATATIZO

Tatizo la 14: Kokotoa maeneo ya takwimu zilizofungwa na grafu za utendaji:

1) Suluhisho:

Kielelezo 1 - Grafu ya kazi

X hubadilika kutoka 0 hadi

x 1 = -1 na x 2 = 2 ni mipaka ya ushirikiano (hii inaweza kuonekana kwenye Mchoro 1).

3) Wacha tuhesabu eneo la takwimu kwa kutumia formula (10).

Jibu: S = .

Tatizo la 15: Kokotoa maeneo ya takwimu zilizofungwa na mistari iliyotolewa na milinganyo:

1) Suluhisho:

Kielelezo 2 - Grafu ya kazi

Wacha tuzingatie kazi kwenye muda.

Kielelezo 3 - Jedwali la vigezo vya kazi

Kwa kuwa, kipindi hiki kitafaa 1 arc. Upinde huu una sehemu ya kati (S 1) na sehemu za upande. Sehemu ya kati ina sehemu inayotakiwa na mstatili (S r):. Wacha tuhesabu eneo la sehemu moja ya kati ya arc.

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

na y = 6, kwa hiyo

Kwa muda - mipaka ya ushirikiano.

3) Tafuta eneo la takwimu kwa kutumia formula (12).

curve muhimu trapezoid

Tatizo la 16: Kokotoa maeneo ya takwimu zilizofungwa na mistari iliyotolewa na milinganyo katika viwianishi vya polar:

1) Suluhisho:

Kielelezo cha 4 - Grafu ya kazi,

Kielelezo 5 - Jedwali la kazi za kutofautiana,

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

kwa hivyo -

3) Tafuta eneo la takwimu kwa kutumia formula (13).

Jibu: S =.

Kazi ya 17: Kokotoa urefu wa mikondo ya mikondo iliyotolewa na milinganyo katika mfumo wa kuratibu wa mstatili:

1) Suluhisho:

Kielelezo 6 - Grafu ya kazi

Kielelezo 7 - Jedwali la kutofautiana la kazi

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

mabadiliko kutoka ln hadi ln, hii ni dhahiri kutoka kwa hali.

3) Tafuta urefu wa arc kwa kutumia formula (15).

Jibu: l =

Jukumu la 18: Kukokotoa urefu wa mikondo iliyopewa na milinganyo ya parametric: 1)

1) Suluhisho:

Kielelezo 8 - Grafu ya kazi

Kielelezo 11 - Jedwali la kutofautiana la kazi

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

c inatofautiana kutoka, hii ni dhahiri kutokana na hali.

Wacha tupate urefu wa arc kwa kutumia formula (17).

Hatua ya 20: Kukokotoa ujazo wa miili iliyofungwa na nyuso:

1) Suluhisho:

Kielelezo 12 - Grafu ya kazi:

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

Z inatofautiana kutoka 0 hadi 3.

3) Tafuta kiasi cha takwimu kwa kutumia fomula (18)

Kazi ya 21: Kukokotoa ujazo wa miili iliyopunguzwa na grafu za utendaji, mhimili wa mzunguko Ox: 1)

1) Suluhisho:

Kielelezo 13 - Grafu ya kazi

Kielelezo 15 - Jedwali la grafu ya kazi

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

Pointi (0;0) na (1;1) ni za kawaida kwa grafu zote mbili, kwa hiyo hizi ni mipaka ya ushirikiano, ambayo ni dhahiri katika takwimu.

3) Pata kiasi cha takwimu kwa kutumia formula (20).

Kazi ya 22: Kuhesabu eneo la miili inayoundwa na mzunguko wa takwimu mdogo na grafu za utendaji kuzunguka mhimili wa polar:

1) Suluhisho:

Kielelezo 16 - Grafu ya kazi

Kielelezo 17 - Jedwali la vigezo kwa grafu ya kazi

2) Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.

c inatofautiana kutoka

3) Pata eneo la takwimu kwa kutumia formula (22).

Jibu: 3.68

HITIMISHO

Katika mchakato wa kukamilisha kazi ya kozi juu ya mada "Ingizo la uhakika", nilijifunza kuhesabu maeneo miili tofauti, pata urefu wa safu mbalimbali za curves, na pia uhesabu kiasi. Uwasilishaji huu kuhusu kufanya kazi na viambatanisho, itanisaidia katika siku zijazo shughuli za kitaaluma jinsi ya kufanya haraka na kwa ufanisi vitendo mbalimbali. Baada ya yote, kiunga yenyewe ni moja wapo ya dhana muhimu zaidi ya hisabati, ambayo iliibuka kuhusiana na hitaji, kwa upande mmoja, kupata kazi na derivatives zao (kwa mfano, kupata kazi inayoonyesha njia iliyosafirishwa na kusonga mbele. hatua kwa kasi ya hatua hii), na kwa upande mwingine, kupima maeneo, kiasi, urefu wa arcs, kazi ya nguvu kwa muda fulani, nk.

ORODHA YA VYANZO VILIVYOTUMIKA

1. Imeandikwa, D.T. Vidokezo vya mihadhara juu ya hisabati ya juu: Sehemu ya 1 - 9 ed. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Hisabati ya juu. Tofauti na hesabu muhimu: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512 p.

3. Zorich V. A. Uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya I. -- Mh. 4 - M.: MTsNMO, 2002. -664 p.

4. Kuznetsov D.A. "Mkusanyiko wa matatizo kwa hisabati ya juu"Moscow, 1983

5. Nikolsky S. N. "Vipengele uchambuzi wa hisabati" - M.: Nauka, 1981.

Nyaraka zinazofanana

Uhesabuji wa maeneo ya takwimu za ndege. Kupata kiunga kamili cha chaguo za kukokotoa. Uamuzi wa eneo chini ya curve, eneo la takwimu iliyofungwa kati ya curves. Uhesabuji wa idadi ya miili ya mapinduzi. Kikomo cha jumla kamili ya chaguo za kukokotoa. Uamuzi wa kiasi cha silinda.

wasilisho, limeongezwa 09/18/2013


Vipengele vya kuhesabu idadi ya miili iliyofungwa na nyuso kwa kutumia maana ya kijiometri mara mbili muhimu. Kuamua maeneo ya takwimu za ndege zilizofungwa na mistari kwa kutumia mbinu ya kuunganisha katika kozi ya calculus.

uwasilishaji, umeongezwa 09/17/2013


Inatokana na kiunganishi dhahiri kuhusiana na kigezo kikomo cha juu. Ukokotoaji wa kiunganishi dhahiri kama kikomo cha jumla cha jumla kwa kutumia fomula ya Newton–Leibniz, mabadiliko ya kigezo na ujumuishaji wa sehemu. Urefu wa arc ndani mfumo wa polar kuratibu

mtihani, umeongezwa 08/22/2009


Nyakati na vituo vya wingi wa mikondo ya ndege. Nadharia ya Gulden. Eneo la uso linaloundwa na mzunguko wa arc ya curve ya ndege karibu na mhimili ulio kwenye ndege ya arc na bila kuingiliana ni sawa na bidhaa ya urefu wa arc na urefu wa mduara.

hotuba, imeongezwa 09/04/2003


Mbinu na hatua kuu za kupata vigezo: eneo la trapezoid ya curvilinear na sekta, urefu wa arc ya curve, kiasi cha miili, eneo la miili ya mapinduzi, kazi ya nguvu ya kutofautiana. Utaratibu na utaratibu wa kuhesabu viambatanisho kwa kutumia kifurushi cha MathCAD.

mtihani, umeongezwa 11/21/2010


Muhimu na hali ya kutosha kuwepo kwa kiungo cha uhakika. Usawa wa kiungo dhahiri cha jumla ya algebra(tofauti) za kazi mbili. Nadharia ya wastani ya thamani - msingi na uthibitisho. Maana ya kijiometri ya kiungo dhahiri.

wasilisho, limeongezwa 09/18/2013


Kazi ujumuishaji wa nambari kazi. Uhesabuji wa takriban thamani ya kiunganishi dhahiri. Kupata kiunga cha uhakika kwa kutumia njia za mistatili, mistatili ya kati na trapezoidi. Hitilafu ya fomula na ulinganisho wa mbinu katika suala la usahihi.

mwongozo wa mafunzo, umeongezwa 07/01/2009


Mbinu za kuhesabu viungo. Fomula na uthibitishaji wa kiunganishi kisichojulikana. Eneo la trapezoid iliyopotoka. Haina uhakika, ya uhakika na tata muhimu. Matumizi ya kimsingi ya viungo. Maana ya kijiometri ya viambatanisho dhahiri na visivyojulikana.

uwasilishaji, umeongezwa 01/15/2014


Uhesabuji wa eneo la takwimu mdogo mistari iliyotolewa, kwa kutumia kiungo mara mbili. Uhesabuji wa kiunganishi mara mbili, kusonga kwa kuratibu za polar. Mbinu ya uamuzi curvilinear muhimu ya aina ya pili pamoja na mstari fulani na mtiririko wa shamba la vekta.

mtihani, umeongezwa 12/14/2012


Wazo la kiunganishi dhahiri, hesabu ya eneo, kiasi cha urefu wa mwili na arc, wakati tuli na kituo cha mvuto wa curve. Uhesabuji wa eneo katika kesi ya eneo la mviringo la mstatili. Utumiaji wa curvilinear, uso na viungo vitatu.

Mihadhara 8. Utumizi wa kiungo dhahiri.

Utumiaji wa muhimu kwa kazi za kimwili inategemea mali ya nyongeza ya kiungo juu ya seti. Kwa hivyo, kwa kutumia kiunga, idadi inaweza kuhesabiwa ambayo ni nyongeza katika seti. Kwa mfano, eneo la takwimu ni sawa na jumla ya maeneo ya sehemu zake, urefu wa arc, eneo la uso, kiasi cha mwili, na wingi wa mwili una mali sawa. Kwa hivyo, idadi hii yote inaweza kuhesabiwa kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Unaweza kutumia njia mbili kutatua shida: njia ya jumla ya jumla na njia ya tofauti.

Njia ya hesabu muhimu inarudia ujenzi wa kiunganishi dhahiri: kizigeu kinajengwa, alama zimewekwa alama, kazi imehesabiwa kwao, jumla muhimu huhesabiwa, na kifungu hadi kikomo kinafanywa. Kwa njia hii, ugumu kuu ni kuthibitisha kwamba katika kikomo matokeo ni nini hasa inahitajika katika tatizo.

Mbinu ya kutofautisha hutumia muunganisho usiojulikana na fomula ya Newton–Leibniz. Tofauti ya kiasi cha kuamua kinahesabiwa, na kisha, kwa kuunganisha tofauti hii, kiasi kinachohitajika kinapatikana kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz. Kwa njia hii, ugumu kuu ni kuthibitisha kwamba ni tofauti ya thamani inayotakiwa ambayo imehesabiwa, na si kitu kingine.

Uhesabuji wa maeneo ya takwimu za ndege.

1. Kielelezo kimepunguzwa na grafu ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu

Tulikuja kwa wazo la muunganisho dhahiri kutoka kwa shida ya eneo la trapezoid iliyopindika (kwa kweli, kwa kutumia njia ya hesabu muhimu). Ikiwa kitendakazi kinakubali tu maadili hasi, basi eneo lililo chini ya grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu linaweza kuhesabiwa kwa kutumia kiunganishi dhahiri. taarifa, hiyo kwa hivyo, njia ya kutofautisha inaweza pia kuonekana hapa.

Lakini kazi pia inaweza kuchukua maadili hasi kwenye sehemu fulani, basi kiunga cha sehemu hii kitatoa eneo hasi, ambalo linapingana na ufafanuzi wa eneo.

Unaweza kuhesabu eneo kwa kutumia formulaS=. Hii ni sawa na kubadilisha ishara ya chaguo za kukokotoa katika maeneo hayo ambayo inachukua maadili hasi.

Ikiwa unahitaji kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa hapo juu na grafu ya kazi na chini na grafu ya kazi, basi unaweza kutumia formulaS= , kwa sababu.

Mfano. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari iliyonyooka x=0, x=2 na grafu za vitendakazi y=x 2, y=x 3.

Kumbuka kuwa kwa muda (0,1) usawa x 2 > x 3 unashikilia, na kwa x >1 ukosefu wa usawa x 3 > x 2 unashikilia. Ndiyo maana

2. Takwimu ni mdogo na grafu ya kazi maalum katika mfumo wa kuratibu polar.

Acha grafu ya chaguo za kukokotoa itolewe katika mfumo wa kuratibu wa polar na tunataka kukokotoa eneo la sekta ya curvilinear iliyofungwa na miale miwili na grafu ya chaguo za kukokotoa katika mfumo wa kuratibu wa polar.

Hapa unaweza kutumia njia ya hesabu muhimu, kuhesabu eneo la sekta ya curvilinear kama kikomo cha jumla ya maeneo ya sekta ya msingi ambayo grafu ya kazi inabadilishwa na arc ya mviringo. .

Unaweza pia kutumia njia tofauti: .

Unaweza kufikiria hivi. Kubadilisha sekta ya msingi ya curvilinear inayolingana na pembe ya kati na sekta ya mviringo, tunayo uwiano . Kutoka hapa . Kuunganisha na kutumia fomula ya Newton–Leibniz, tunapata .

Mfano. Wacha tuhesabu eneo la duara (angalia formula). Tunaamini. Eneo la duara ni .

Mfano. Hebu tuhesabu eneo lililofungwa na cardioid .

3 Kielelezo kimezuiwa na grafu ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kimawazo.

Chaguo za kukokotoa zinaweza kubainishwa kimawazo katika fomu . Tunatumia formula S= , ikibadilisha ndani yake mipaka ya ujumuishaji juu ya kigezo kipya. . Kawaida, wakati wa kuhesabu kiunganishi, maeneo hayo ambapo kazi ya integrand ina ishara fulani imetengwa na eneo linalofanana na ishara moja au nyingine huzingatiwa.

Mfano. Kuhesabu eneo lililofungwa na duaradufu.

Kutumia ulinganifu wa duaradufu, tunahesabu eneo la robo ya duaradufu iliyoko kwenye roboduara ya kwanza. Katika roboduara hii. Ndiyo maana .

Uhesabuji wa idadi ya miili.

1. Uhesabuji wa idadi ya miili kutoka kwa maeneo ya sehemu zinazofanana.

Wacha iwe muhimu kuhesabu kiasi cha mwili V kwa kutumia viwanja maarufu sehemu za mwili huu kwa ndege perpendicular kwa mstari OX, inayotolewa kupitia hatua yoyote x ya sehemu ya mstari OX.

Wacha tutumie njia ya kutofautisha. Kuzingatia kiasi cha msingi juu ya sehemu kama kiasi cha silinda ya mviringo ya kulia na eneo la msingi na urefu, tunapata. . Kuunganisha na kutumia fomula ya Newton–Leibniz, tunapata

2. Uhesabuji wa idadi ya miili ya mapinduzi.

Hebu iwe muhimu kuhesabu OX.

Kisha .

Vile vile, kiasi cha mwili wa mapinduzi kuzunguka mhimiliOY, kama kipengele cha kukokotoa kimetolewa katika fomu, kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula.

Ikiwa kazi imeelezwa katika fomu na inahitajika kuamua kiasi cha mwili wa mzunguko karibu na mhimiliOY, basi formula ya kuhesabu kiasi inaweza kupatikana kama ifuatavyo.

Kupita kwa utofautishaji na kupuuza masharti ya quadratic, tunayo . Kuunganisha na kutumia fomula ya Newton–Leibniz, tunayo .

Mfano. Kuhesabu kiasi cha tufe.

Mfano. Kuhesabu kiasi cha koni ya mviringo ya kulia iliyofungwa na uso na ndege.

Hebu tuhesabu kiasi kama kiasi cha mwili wa mzunguko unaoundwa na mzunguko kuzunguka mhimili wa OZ pembetatu ya kulia katika ndege ya OXZ, miguu ambayo iko kwenye mhimili wa OZ na mstari z = H, na hypotenuse iko kwenye mstari.

Kuelezea x katika suala la z, tunapata .

Uhesabuji wa urefu wa arc.

Ili kupata fomula za kuhesabu urefu wa arc, kumbuka fomula zinazotolewa katika muhula wa 1 kwa tofauti ya urefu wa arc.

Ikiwa arc ni grafu ya chaguo la kukokotoa linaloweza kutofautishwa, tofauti ya urefu wa arc inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula

. Ndiyo maana

Ikiwa arc laini imetajwa parametrically, Hiyo

. Ndiyo maana .

Ikiwa arc imeelezwa katika mfumo wa kuratibu wa polar, Hiyo

. Ndiyo maana .

Mfano. Kuhesabu urefu wa safu ya grafu ya chaguo la kukokotoa, . .

Eneo la curvilinear trapezoid iliyopakana juu na grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x), kushoto na kulia - moja kwa moja x=a Na x=b ipasavyo, kutoka chini - mhimili Ng'ombe, iliyohesabiwa kwa fomula

Eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa upande wa kulia na grafu ya chaguo la kukokotoa x=φ(y), juu na chini - moja kwa moja y=d Na y=c ipasavyo, upande wa kushoto - mhimili Oy:

Mraba takwimu ya curvilinear, iliyofungwa juu na grafu ya chaguo za kukokotoa y 2 =f 2 (x), chini - grafu ya kazi y 1 =f 1 (x), kushoto na kulia - sawa x=a Na x=b:

Eneo la takwimu ya curvilinear iliyofungwa kushoto na kulia na grafu za kazi x 1 =φ 1 (y) Na x 2 =φ 2 (y), juu na chini - moja kwa moja y=d Na y=c kwa mtiririko huo:

Wacha tuzingatie kesi wakati mstari unaopunguza trapezoid ya curvilinear kutoka juu inatolewa na hesabu za parametric. x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Wapi α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Milinganyo hii inafafanua baadhi ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye sehemu [ a, b]. Eneo la trapezoid iliyopotoka huhesabiwa kwa kutumia formula

Wacha tuendelee kwenye muundo mpya x = φ 1 (t), Kisha dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), kwa hivyo \anza(displaymath)

Eneo katika kuratibu za polar

Fikiria sekta ya curvilinear OAB, imefungwa kwa mstari, iliyotolewa na equation ρ=ρ(φ) katika kuratibu za polar, mionzi miwili O.A. Na O.B., kwa ajili yake φ=α , φ=β .

Tutaigawanya sekta katika sekta za msingi OM k-1 M k ( k=1, ..., n, M 0 =A, M n =B) Wacha tuonyeshe kwa Δφk pembe kati ya mionzi OM k-1 Na OM k, kutengeneza pembe na mhimili wa polar φ k-1 Na φk kwa mtiririko huo. Kila moja ya sekta za msingi OM k-1 M k badala yake na sekta ya mviringo yenye radius ρ k =ρ(φ" k), Wapi φ"k- thamani ya pembe φ kutoka kwa muda [ φ k-1 , φ k], na pembe ya kati Δφk. Eneo la sekta ya mwisho linaonyeshwa na formula .

inaelezea eneo la sekta "iliyopigwa hatua" ambayo takriban inachukua nafasi ya sekta fulani OAB.

Eneo la sekta OAB inaitwa kikomo cha eneo la sekta "iliyopigwa". n → ∞ Na λ=kiwango cha juu zaidi Δφ k → 0:

Kwa sababu , Hiyo

Urefu wa safu ya curve

Wacha kwenye sehemu [ a, b] kazi inayoweza kutofautishwa imetolewa y=f(x), grafu ambayo ni arc. Sehemu ya mstari [ a,b] tuigawanye n sehemu zenye dots x 1, x 2, …, xn-1. Pointi hizi zitalingana na alama M 1, M 2, …, Mn-1 arcs, tunawaunganisha na mstari uliovunjika, unaoitwa mstari uliovunjika ulioandikwa kwenye arc. Mzunguko wa mstari huu uliovunjika utaonyeshwa na s n, hiyo ni

Ufafanuzi. Urefu wa arc ya mstari ni kikomo cha mzunguko wa mstari uliovunjika ulioandikwa ndani yake, wakati idadi ya viungo. M k-1 M k huongezeka kwa muda usiojulikana, na urefu wa kubwa zaidi huelekea sifuri:

ambapo λ ndio urefu wa kiunga kikubwa zaidi.

Tutahesabu urefu wa arc kutoka hatua fulani, kwa mfano, A. Hebu katika uhakika M(x,y) urefu wa arc ni s, na kwa uhakika M"(x+Δ x,y+Δy) urefu wa arc ni s+Δs, ambapo,i>Δs ni urefu wa arc. Kutoka kwa pembetatu MNM" tafuta urefu wa chord:.

Kutoka mambo ya kijiometri inafuata hiyo

yaani, safu isiyo na kikomo ya mstari na chord inayoipunguza ni sawa.

Wacha tubadilishe fomula inayoonyesha urefu wa chord:

Kupitia kikomo katika usawa huu, tunapata fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa s=s(x):

ambayo tunapata

Fomula hii inaelezea tofauti ya safu ya curve ya ndege na ina rahisi maana ya kijiometri : inaelezea nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu isiyo na kikomo MTN (ds=MT, ).

Tofauti ya arc ya curve ya anga imedhamiriwa na formula

Fikiria safu ya mstari wa anga iliyofafanuliwa na milinganyo ya parametric

Wapi α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - kazi zinazoweza kutofautishwa za hoja t, Hiyo

Kuunganisha usawa huu kwa muda [ α, β ], tunapata fomula ya kuhesabu urefu wa safu hii ya mstari

Ikiwa mstari uko kwenye ndege Oksi, Hiyo z=0 mbele ya kila mtu t∈[α, β], Ndiyo maana

Iwapo mstari wa gorofa iliyotolewa na equation y=f(x) (a≤x≤b), Wapi f(x) ni kazi inayoweza kutofautishwa, fomula ya mwisho inachukua fomu

Hebu mstari wa ndege upewe na equation ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) katika kuratibu za polar. Katika kesi hii tunayo equations parametric mistari x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) dhambi φ, ambapo pembe ya polar inachukuliwa kama kigezo φ . Kwa sababu ya

kisha fomula inayoonyesha urefu wa safu ya mstari ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) katika kuratibu za polar, ina fomu

Kiasi cha mwili

Wacha tupate kiasi cha mwili ikiwa eneo la sehemu yoyote ya msalaba ya mwili huu kwa mwelekeo fulani inajulikana.

Wacha tugawanye mwili huu katika tabaka za kimsingi na ndege zinazolingana na mhimili Ng'ombe na kufafanuliwa kwa milinganyo x=const. Kwa fasta yoyote x∈ eneo linalojulikana S=S(x) sehemu ya msalaba ya mwili fulani.

Safu ya msingi iliyokatwa na ndege x=x k-1, x=x k (k=1, ..., n, x 0 =a, x n =b), badala yake na silinda yenye urefu Δx k =x k -x k-1 na eneo la msingi S(ξ k), ξ k ∈.

Kiasi cha silinda ya msingi iliyoonyeshwa inaonyeshwa na formula Δv k =E(ξ k)Δx k. Wacha tujumuishe bidhaa zote kama hizo

ambayo ni jumla ya jumla ya chaguo za kukokotoa S=S(x) kwenye sehemu [ a, b]. Inaonyesha kiasi cha mwili ulioinuka, unaojumuisha silinda za kimsingi na takriban kuchukua nafasi ya mwili huu.

Kiasi cha mwili uliopewa ni kikomo cha kiasi cha mwili uliopigiwa uliowekwa λ→0 , Wapi λ - urefu wa sehemu kubwa zaidi ya msingi Δxk. Wacha tuonyeshe kwa V kiasi cha mwili uliopewa, basi kwa ufafanuzi

Upande mwingine,

Kwa hiyo, kiasi cha mwili kulingana na iliyotolewa sehemu za msalaba kuhesabiwa kwa formula

Ikiwa mwili umeundwa kwa kuzunguka kwa mhimili Ng'ombe trapezoid iliyopinda iliyofungwa juu na safu ya mstari unaoendelea y=f(x), Wapi a≤x≤b, Hiyo S(x)=πf 2 (x) na formula ya mwisho inachukua fomu:

Maoni. Kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha trapezoidi iliyopinda iliyopakana upande wa kulia na grafu ya chaguo la kukokotoa. x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), kuzunguka mhimili Oy kuhesabiwa kwa formula

Eneo la uso wa mzunguko

Fikiria uso uliopatikana kwa kuzunguka arc ya mstari y=f(x) (a≤x≤b) kuzunguka mhimili Ng'ombe(fikiria kwamba kazi y=f(x) ina derivative inayoendelea). Kurekebisha thamani x∈, tutatoa nyongeza kwa hoja ya kazi dx, ambayo inafanana na "pete ya msingi" iliyopatikana kwa kuzunguka arc ya msingi Δl. Wacha tubadilishe "pete" hii na pete ya silinda - uso wa nyuma wa mwili unaoundwa na kuzunguka kwa mstatili na msingi sawa na tofauti ya arc. dl, na urefu h=f(x). Kwa kukata pete ya mwisho na kuifungua, tunapata kamba na upana dl na urefu 2py, Wapi y=f(x).

Kwa hiyo, tofauti ya eneo la uso inaonyeshwa na formula

Fomula hii inaonyesha eneo la uso lililopatikana kwa kuzungusha arc ya mstari y=f(x) (a≤x≤b) kuzunguka mhimili Ng'ombe.