Mifano ya mifumo ya kutatua equations tofauti kwa kutumia njia za nambari. Njia za nambari za kutatua milinganyo tofauti

Utangulizi

Wakati wa kutatua matatizo ya kisayansi na uhandisi, mara nyingi ni muhimu kuelezea kihisabati mfumo fulani wa nguvu. Hii ni bora kufanywa kwa njia ya milinganyo tofauti ( DU) au mifumo ya milinganyo tofauti. Mara nyingi, tatizo hili hutokea wakati wa kutatua matatizo yanayohusiana na mfano wa kinetics ya athari za kemikali na matukio mbalimbali ya uhamisho (joto, wingi, kasi) - uhamisho wa joto, kuchanganya, kukausha, adsorption, wakati wa kuelezea harakati za macro- na microparticles.

Katika baadhi ya matukio, mlinganyo wa kutofautisha unaweza kubadilishwa kuwa umbo ambalo derivative ya juu zaidi inaonyeshwa kwa uwazi. Njia hii ya uandishi inaitwa equation iliyotatuliwa kwa heshima na derivative ya juu zaidi (katika kesi hii, derivative ya juu zaidi haipo upande wa kulia wa equation):

Suluhisho la mlinganyo wa kawaida wa tofauti ni chaguo za kukokotoa y(x) ambayo, kwa x yoyote, inatosheleza mlingano huu katika muda fulani wenye kikomo au usio na kikomo. Mchakato wa kutatua equation tofauti inaitwa kuunganisha equation tofauti.

Kihistoria, njia ya kwanza na rahisi zaidi ya kutatua kwa nambari tatizo la Cauchy kwa ODE ya mpangilio wa kwanza ni njia ya Euler. Inategemea ukadiriaji wa derivatiti kwa uwiano wa nyongeza za kikomo za vigeuzo tegemezi (y) na huru (x) kati ya nodi za gridi sare:

ambapo y i+1 ndiyo thamani inayotakiwa ya chaguo za kukokotoa katika nukta x i+1.

Usahihi wa mbinu ya Euler inaweza kuboreshwa ikiwa fomula sahihi zaidi ya ujumuishaji itatumiwa kukadiria muhtasari - formula ya trapezoidal.

Fomula hii inageuka kuwa kamili kwa heshima na y i+1 (thamani hii iko kwenye pande za kushoto na kulia za usemi), ambayo ni, ni mlinganyo unaohusiana na y i+1, ambao unaweza kutatuliwa, kwa mfano, kwa nambari, kwa kutumia njia ya kurudia (katika hali kama hiyo, inaweza kuzingatiwa kama fomula ya kurudia ya njia rahisi ya kurudia).

Muundo wa kazi ya kozi: Kazi ya kozi ina sehemu tatu. Sehemu ya kwanza ina maelezo mafupi ya mbinu. Katika sehemu ya pili, uundaji na ufumbuzi wa tatizo. Katika sehemu ya tatu - utekelezaji wa programu katika lugha ya kompyuta

Madhumuni ya kazi ya kozi: kusoma njia mbili za kutatua milinganyo tofauti - njia ya Euler-Cauchy na njia iliyoboreshwa ya Euler.

1. Sehemu ya kinadharia

Utofautishaji wa nambari

Mlinganyo wa kutofautisha ni mlinganyo ulio na kiingilio kimoja au zaidi. Kulingana na idadi ya vigezo vya kujitegemea, equations tofauti zinagawanywa katika makundi mawili.

Milinganyo ya kawaida ya tofauti (ODE)

Milinganyo ya sehemu tofauti.

Milinganyo ya kawaida ya kutofautisha ni milinganyo ambayo ina derivatives moja au zaidi ya chaguo za kukokotoa zinazohitajika. Wanaweza kuandikwa kama

tofauti ya kujitegemea

Mpangilio wa juu uliojumuishwa katika mlingano (1) unaitwa mpangilio wa mlinganyo wa kutofautisha.

ODE rahisi zaidi (ya mstari) ni mlinganyo (1) wa mpangilio uliotatuliwa kwa heshima na derivative.

Suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha (1) ni chaguo la kukokotoa ambalo, baada ya kuibadilisha kuwa mlinganyo, huigeuza kuwa utambulisho.

Shida kuu inayohusishwa na ODE ya mstari inajulikana kama shida ya Kasha:

Pata suluhisho la equation (2) katika mfumo wa chaguo za kukokotoa inayokidhi hali ya awali (3)

Kijiometri, hii ina maana kwamba inahitajika kupata curve muhimu inayopita kwenye nukta ) wakati usawa (2) unaridhishwa.

Nambari kutoka kwa mtazamo wa shida ya Kasha inamaanisha: inahitajika kuunda jedwali la maadili ya kazi equation ya kuridhisha (2) na hali ya awali (3) kwenye sehemu na hatua fulani. Kwa kawaida hufikiriwa kuwa yaani, hali ya awali imeelezwa kwenye mwisho wa kushoto wa sehemu.

Njia rahisi zaidi ya nambari ya kutatua mlinganyo tofauti ni njia ya Euler. Inategemea wazo la kuunda suluhisho la usawa wa kutofautisha, lakini njia hii pia hutoa njia ya kupata kazi inayotaka katika fomu ya nambari au kwenye jedwali.

Hebu equation (2) na sharti la awali itolewe, yaani tatizo la Kasha limetolewa. Hebu tutatue tatizo lifuatalo kwanza. Tafuta kwa njia rahisi thamani ya takriban ya suluhisho katika hatua fulani ambapo ni hatua ndogo. Equation (2) pamoja na hali ya awali (3) taja mwelekeo wa tangent ya curve muhimu inayohitajika kwenye hatua na viwianishi.

Mlinganyo wa tangent una fomu

Kusonga kwenye tangent hii, tunapata thamani ya takriban ya suluhisho kwa uhakika:

Kuwa na suluhisho la takriban kwa hatua fulani, unaweza kurudia utaratibu ulioelezwa hapo awali: jenga mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua hii na mgawo wa angular, na kutoka humo kupata thamani ya takriban ya suluhisho kwenye hatua.

. Kumbuka kuwa mstari huu hauendani na curve halisi ya msingi, kwani hatua haipatikani kwetu, lakini ikiwa ni ndogo ya kutosha, maadili ya takriban yanayotokana yatakuwa karibu na maadili halisi ya suluhisho.

Kuendeleza wazo hili, wacha tujenge mfumo wa alama zilizowekwa kwa usawa

Kupata jedwali la maadili ya kazi inayohitajika

Mbinu ya Euler inajumuisha kutumia fomula kwa mzunguko

Kielelezo 1. Ufafanuzi wa picha wa mbinu ya Euler

Njia za ujumuishaji wa nambari za equations tofauti, ambazo suluhisho zinapatikana kutoka node moja hadi nyingine, huitwa hatua kwa hatua. Njia ya Euler ni mwakilishi rahisi zaidi wa mbinu za hatua kwa hatua. Kipengele cha njia yoyote ya hatua kwa hatua ni kwamba kuanzia hatua ya pili, thamani ya awali katika formula (5) yenyewe ni takriban, yaani, makosa katika kila hatua inayofuata huongezeka kwa utaratibu. Njia inayotumiwa zaidi ya kutathmini usahihi wa njia za hatua kwa hatua za takriban suluhisho la nambari za ODE ni njia ya kupitisha sehemu iliyopewa mara mbili kwa hatua na hatua.

1.1 Mbinu ya Euler iliyoboreshwa

Wazo kuu la njia hii: thamani inayofuata iliyohesabiwa na formula (5) itakuwa sahihi zaidi ikiwa thamani ya derivative, ambayo ni, mgawo wa angular wa mstari wa moja kwa moja kuchukua nafasi ya curve muhimu kwenye sehemu, haijahesabiwa. kando ya makali ya kushoto (yaani, kwa uhakika), lakini katikati ya sehemu. Lakini kwa kuwa thamani ya derivative kati ya pointi haijahesabiwa, tunaendelea kwenye sehemu mbili na katikati, ambayo uhakika ni, na equation ya mstari wa moja kwa moja inachukua fomu:

Na fomula (5) inachukua fomu

Fomula (7) inatumika tu kwa , kwa hivyo, maadili hayawezi kupatikana kutoka kwake, kwa hivyo hupatikana kwa kutumia njia ya Euler, na kupata matokeo sahihi zaidi hufanya hivi: tangu mwanzo, kwa kutumia fomula (5) wanapata thamani

(8)

Katika hatua na kisha kupatikana kwa mujibu wa formula (7) na hatua

(9)

Mara baada ya kupatikana mahesabu zaidi katika zinazozalishwa na formula (7)

Maabara ya 1

Njia za suluhisho la nambari

milinganyo ya kawaida ya kutofautisha (saa 4)

Wakati wa kutatua matatizo mengi ya kimwili na ya kijiometri, mtu anapaswa kutafuta kazi isiyojulikana kulingana na uhusiano fulani kati ya kazi isiyojulikana, derivatives yake na vigezo vya kujitegemea. Uwiano huu unaitwa equation tofauti , na kupata chaguo la kukokotoa ambalo linakidhi mlinganyo wa kutofautisha kunaitwa kutatua equation tofauti.

Mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha inayoitwa usawa

, (1)

ambayo

ni tofauti huru ambayo inabadilika katika sehemu fulani, na - kazi isiyojulikana y ( x ) na yake ya kwanza n derivatives. kuitwa utaratibu wa equation .

Kazi ni kutafuta chaguo y y inayokidhi usawa (1). Kwa kuongezea, bila kuainisha hii kando, tutafikiria kuwa suluhisho linalohitajika lina kiwango kimoja au kingine cha ulaini muhimu kwa ujenzi na utumiaji wa "kisheria" wa njia moja au nyingine.

Kuna aina mbili za milinganyo ya kawaida ya kutofautisha

Equations bila masharti ya awali

Equations na masharti ya awali.

Milinganyo bila masharti ya awali ni milinganyo ya fomu (1).

Equation na masharti ya awali ni mlinganyo wa fomu (1), ambamo inahitajika kupata kitendakazi kama hicho

, ambayo kwa baadhi inakidhi masharti yafuatayo: ,

hizo. kwa uhakika

chaguo za kukokotoa na viasili vyake vya kwanza huchukua thamani zilizoamuliwa mapema.

Matatizo ya Cauchy

Wakati wa kusoma njia za kutatua hesabu za kutofautisha kwa kutumia njia za takriban kazi kuu hesabu Tatizo la uchungu.

Hebu fikiria njia maarufu zaidi ya kutatua tatizo la Cauchy - njia ya Runge-Kutta. Njia hii hukuruhusu kuunda fomula za kuhesabu suluhisho la takriban la utaratibu wowote wa usahihi.

Wacha tupate fomula za njia ya Runge-Kutta ya usahihi wa mpangilio wa pili. Ili kufanya hivyo, tunawakilisha suluhisho kama kipande cha safu ya Taylor, tukitupilia mbali masharti na agizo la juu kuliko la pili. Kisha thamani ya takriban ya kazi inayotakiwa kwenye hatua x 1 inaweza kuandikwa kama:

(2)

Derivative ya pili y "( x 0 ) inaweza kuonyeshwa kupitia derivative ya kazi f ( x , y ) , hata hivyo, katika njia ya Runge-Kutta, badala ya derivative, tofauti hutumiwa

kuchagua maadili ya parameta ipasavyo

Kisha (2) inaweza kuandikwa upya kama:

y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + δh )], (3)

Wapi α , β , γ Na δ - baadhi ya vigezo.

Kwa kuzingatia upande wa kulia wa (3) kama kipengele cha hoja h , tuigawanye katika digrii h :

y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + αh 2 [ γ f x ( x 0 , y 0 ) + δ f y ( x 0 , y 0 )],

na uchague vigezo α , β , γ Na δ ili upanuzi huu uwe karibu na (2). Inafuata hiyo

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).

Kwa kutumia milinganyo hii tunaeleza β , γ Na δ kupitia vigezo α , tunapata

y 1 = y 0 + h [(1 - α ) f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 +, y 0 + f ( x 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Sasa, ikiwa badala ya ( x 0 , y 0 ) katika (4) mbadala ( x 1 , y 1 ), tunapata formula ya kuhesabu y 2 – Thamani ya takriban ya chaguo la kukokotoa unalotaka katika uhakika x 2 .

Katika hali ya jumla, njia ya Runge-Kutta inatumika kwa kizigeu cha kiholela cha sehemu hiyo. [ x 0 , X ] juu n sehemu, i.e. yenye sauti tofauti

x 0 , x 1 , ..., x n ; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

Chaguo α huchaguliwa sawa na 1 au 0.5. Hebu hatimaye tuandike fomula za hesabu za utaratibu wa pili wa njia ya Runge-Kutta na hatua za kutofautiana kwa α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f (x i, y i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

Na α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Njia zinazotumiwa zaidi za njia ya Runge-Kutta ni fomula za mpangilio wa nne wa usahihi:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i , y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Kwa mbinu ya Runge-Kutta, sheria ya Runge inatumika kukadiria hitilafu. Hebu y ( x ; h ) - Thamani ya takriban ya suluhisho katika hatua x , kupatikana kwa fomula (6.1), (6.2) au (7) kwa hatua h , A uk – mpangilio wa usahihi wa fomula inayolingana. Kisha kosa R ( h ) maadili y ( x ; h ) inaweza kukadiriwa kwa kutumia takriban thamani y ( x ; 2 h ) ufumbuzi kwa uhakika x , kupatikana kwa nyongeza 2 h :

(8)

Wapi uk =2 kwa fomula (6.1) na (6.2) na uk =4 kwa (7).

Ili kutatua hesabu za kutofautisha, ni muhimu kujua thamani ya kutofautisha tegemezi na derivatives yake kwa maadili fulani ya kutofautisha huru. Ikiwa hali ya ziada imeelezwa kwa thamani moja ya haijulikani, i.e. kutofautisha huru., basi shida kama hiyo inaitwa shida ya Cauchy. Ikiwa hali ya awali imeainishwa kwa maadili mawili au zaidi ya kutofautisha huru, basi shida inaitwa shida ya dhamana ya mipaka. Wakati wa kutatua hesabu za kutofautisha za aina anuwai, kazi ambayo maadili yake yanahitaji kuamuliwa huhesabiwa kwa namna ya jedwali.

Uainishaji wa njia za nambari za kutatua tofauti. Lv. Aina.

Tatizo la Cauchy - hatua moja: Mbinu za Euler, mbinu za Runge-Kutta; - hatua nyingi: Mbinu kuu, njia ya Adams. Tatizo la mpaka - njia ya kupunguza tatizo la mpaka kwa tatizo la Cauchy; - Njia ya tofauti ya mwisho.

Wakati wa kutatua shida ya Cauchy, dif lazima ibainishwe. ur. order n au mfumo wa dif. ur. mpangilio wa kwanza wa n milinganyo na n masharti ya ziada ya suluhisho lake. Masharti ya ziada lazima yabainishwe kwa thamani sawa ya kigezo huru. Wakati wa kutatua tatizo la mpaka, equations lazima zielezwe. nth au mfumo wa n equations na n hali ya ziada kwa maadili mawili au zaidi ya kutofautiana huru. Wakati wa kutatua tatizo la Cauchy, kazi inayohitajika imedhamiriwa kwa uwazi katika mfumo wa meza na hatua fulani maalum . Wakati wa kuamua kila thamani inayofuata, unaweza kutumia habari kuhusu hatua moja ya awali. Katika kesi hii, mbinu zinaitwa hatua moja, au unaweza kutumia habari kuhusu pointi kadhaa zilizopita - njia nyingi za hatua.

Milinganyo ya kawaida ya kutofautisha. Tatizo la uchungu. Mbinu za hatua moja. Mbinu ya Euler.

Imetolewa: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Inajulikana: f(x,y), x 0, y 0 . Amua suluhisho la kipekee: x i , y i , i=0,1,…,n. Mbinu ya Euler inategemea upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika x 0 . Mtaa unaelezewa na hatua h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Mbinu ya Euler inazingatia masharti mawili tu ya safu ya Taylor. Hebu tuanzishe nukuu fulani. Fomula ya Euler itachukua fomu: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 =x i +h

Mfumo (2) ni fomula ya njia rahisi ya Euler.

Tafsiri ya kijiometri ya fomula ya Euler

Ili kupata suluhisho la nambari, mstari wa tangent unaopita kwenye equation hutumiwa. tanjiti: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), kwa sababu

x-x 0 =h, kisha y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Mbinu ya Euler iliyorekebishwa

Imetolewa: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Inajulikana: f(x,y), x 0, y 0 . Amua: utegemezi wa y kwa x katika mfumo wa utendaji tofauti wa jedwali: x i, y i, i=0.1,…,n.

Tafsiri ya kijiometri

1) kuhesabu tangent ya angle ya mwelekeo katika hatua ya kuanzia

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Kokotoa thamani  y n+1 juu

mwisho wa hatua kulingana na formula ya Euler

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Kokotoa tanjenti ya pembe ya mwelekeo

tangent katika nukta n+1: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Kokotoa maana ya hesabu ya pembe

Tilt: tg £=½. 5) Kwa kutumia tanjiti ya pembe ya mteremko, tunahesabu upya thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua ya n+1: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h - fomula ya mbinu ya Euler iliyorekebishwa. Inaweza kuonyeshwa kuwa matokeo ya f-la yanafanana na upanuzi wa f-i katika mfululizo wa Taylor, ikiwa ni pamoja na masharti (hadi h 2). Njia ya Eilnra iliyobadilishwa, tofauti na rahisi, ni njia ya usahihi wa utaratibu wa pili, kwa sababu kosa ni sawia na h 2 .

Milinganyo ya kawaida ya milinganyo ni milinganyo ambayo ina kiingilio kimoja au zaidi cha chaguo za kukokotoa y=y (x). Wanaweza kuandikwa kwa fomu

Ambapo x ni tofauti huru.

Agizo la juu n la derivative iliyojumuishwa katika equation inaitwa mpangilio wa mlinganyo wa kutofautisha.

Njia za kutatua equations za kawaida za kutofautisha zinaweza kugawanywa katika vikundi vifuatavyo: picha, uchambuzi, takriban na nambari.

Mbinu za mchoro hutumia ujenzi wa kijiometri.

Mbinu za uchambuzi zinapatikana katika kozi ya milinganyo tofauti. Kwa hesabu za mpangilio wa kwanza (na vigeu vinavyoweza kutenganishwa, homogeneous, laini, nk), na vile vile kwa aina fulani za hesabu za mpangilio wa juu (kwa mfano, mstari na mgawo wa mara kwa mara), inawezekana kupata suluhisho kwa njia ya fomula. kupitia mabadiliko ya uchambuzi.

Njia za takriban hutumia kurahisisha anuwai za hesabu zenyewe kwa kukataa kwa busara baadhi ya maneno yaliyomo ndani yao, na pia chaguo maalum la madarasa ya kazi zinazotafutwa.

Njia za nambari za kutatua equations tofauti kwa sasa ni zana kuu katika utafiti wa shida za kisayansi na kiufundi zinazoelezewa na hesabu za kutofautisha. Inapaswa kusisitizwa kuwa njia hizi zinafaa hasa kwa kuchanganya na matumizi ya kompyuta za kisasa.

Njia rahisi zaidi ya nambari ya kutatua shida ya Cauchy kwa ODE ni njia ya Euler. Wacha tuchunguze equation karibu na nodi (i=1,2,3,...) na ubadilishe derivative upande wa kushoto na tofauti sahihi. Katika kesi hii, tunabadilisha maadili ya kazi ya nodi na maadili ya kazi ya gridi ya taifa:

Ukadiriaji unaosababishwa wa DE ni wa mpangilio wa kwanza, kwani hitilafu inaruhusiwa wakati wa kuchukua nafasi.

Kumbuka kwamba kutoka kwa equation inafuata

Kwa hivyo, inawakilisha uamuzi wa kukadiria wa thamani ya chaguo la kukokotoa kwa hatua kwa kutumia upanuzi wa mfululizo wa Taylor kwa kutupa masharti ya maagizo ya pili na ya juu. Kwa maneno mengine, ongezeko la kazi huchukuliwa kuwa sawa na tofauti yake.

Kwa kudhani i=0, kwa kutumia uhusiano tunapata thamani ya kazi ya gridi ya taifa kwa:

Thamani inayotakiwa hapa inatolewa na hali ya awali, i.e.

Vile vile, maadili ya kazi ya gridi ya taifa kwenye nodi nyingine yanaweza kupatikana:

Algorithm iliyojengwa inaitwa njia ya Euler

Kielelezo - 19 njia ya Euler

Ufafanuzi wa kijiometri wa njia ya Euler hutolewa kwenye takwimu. Hatua mbili za kwanza zinaonyeshwa, i.e. Hesabu ya kazi ya gridi katika pointi imeonyeshwa. Mikondo muhimu 0,1,2 inaelezea masuluhisho kamili ya mlingano. Katika kesi hii, curve 0 inalingana na suluhisho halisi la shida ya Cauchy, kwani inapitia hatua ya awali A (x 0,y 0). Alama B, C zilipatikana kama matokeo ya suluhisho la nambari la shida ya Cauchy kwa kutumia njia ya Euler. Mkengeuko wao kutoka kwa Curve 0 unaonyesha kosa la njia. Kwa kila hatua tunaishia kwenye curve tofauti tofauti. Sehemu ya AB ni tanjenti ya sehemu hadi 0 katika hatua A, mteremko wake una sifa ya thamani ya derivative yake. Hitilafu inaonekana kwa sababu nyongeza ya thamani ya chaguo za kukokotoa wakati wa mpito kutoka x 0 hadi x 1 inabadilishwa na nyongeza ya mgawo wa tangent hadi 0 katika hatua A. Tangent BC tayari imechorwa kwenye mkunjo mwingine muhimu 1. Kwa hivyo, hitilafu ya njia ya Euler inaongoza kwa ukweli kwamba katika kila hatua, suluhisho la takriban linahamia kwenye curve nyingine muhimu.

Ufafanuzi wa mlinganyo tofauti wa Euler. Njia za kutatua zinazingatiwa.

Maudhui

Mlinganyo wa kutofautisha wa Euler ni mlinganyo wa fomu
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ n- xy′ + a n y = f(x).

Katika muundo wa jumla zaidi, mlinganyo wa Euler una fomu:
.
Mlinganyo huu unapunguzwa kwa uwekaji t = ax+b kwa fomu rahisi zaidi, ambayo tutazingatia.

Kupunguza mlinganyo wa tofauti wa Euler hadi mlinganyo wenye vigawo visivyobadilika.

Fikiria mlinganyo wa Euler:
(1) .
Inapunguza hadi mlinganyo wa mstari na coefficients ya mara kwa mara kwa kubadilisha:
x = e t.
Hakika, basi
;
;
;

;
;
..........................

Hivyo, sababu zenye x m kufuta. Masharti iliyobaki ni yale yenye coefficients ya mara kwa mara. Walakini, katika mazoezi, kutatua milinganyo ya Euler, inawezekana kutumia njia za kutatua milinganyo ya tofauti ya mstari na coefficients ya mara kwa mara bila kutumia mbadala hapo juu.

Suluhisho la usawa wa Euler

Fikiria mlinganyo wa Euler unaofanana:
(2) .
Tunatafuta suluhisho la equation (2) katika fomu
.
;
;
........................
.
Tunabadilisha katika (2) na kupunguza kwa x k. Tunapata equation ya tabia:
.
Tunatatua na kupata mizizi n, ambayo inaweza kuwa ngumu.

Wacha tuangalie mizizi halisi. Hebu k i kuwa mzizi wa wingi wa msururu m. Mizizi hii ya m inalingana na suluhisho huru la m:
.

Hebu fikiria mizizi tata. Wanaonekana katika jozi pamoja na viunganishi tata. Hebu k i kuwa mzizi wa wingi wa msururu m. Wacha tueleze mzizi mgumu k i kulingana na sehemu halisi na za kufikiria:
.
Mizizi hii ya m na mizizi ya m changamano ya m inalingana 2 m suluhisho huru za mstari:
;
;
..............................
.

Baada ya n suluhu za kujitegemea kupatikana, tunapata suluhisho la jumla la equation (2):
(3) .

Mifano

Tatua milinganyo:


Suluhisho la mifano >> >>

Suluhisho la usawa wa Euler usio na usawa

Fikiria mlinganyo usio na usawa wa Euler:
.
Njia ya utofauti wa viunga (njia ya Lagrange) inatumika pia kwa milinganyo ya Euler.

Kwanza, tunatatua equation ya homogeneous (2) na kupata suluhisho lake la jumla (3). Kisha tunazingatia viunga kama kazi za mabadiliko ya x. Tofautisha (3) n - 1 mara moja. Tunapata misemo ya n - 1 derivatives ya y kuhusiana na x. Kwa kila upambanuzi, istilahi zilizo na derivatives ni sawa na sifuri. Kwa hivyo tunapata n - 1 milinganyo inayohusiana na derivatives. Kisha tunapata derivative ya nth ya y. Tunabadilisha derivatives katika (1) na kupata mlinganyo wa nth unaohusiana na derivatives. Kutoka kwa equations hizi tunaamua. Kisha, kuunganisha, tunapata suluhisho la jumla la equation (1).

Mfano

Tatua mlinganyo:

Suluhisho >>>

Mlinganyo wa Euler usio homogeneous na sehemu maalum isiyofanana

Ikiwa sehemu ya inhomogeneous ina fomu fulani, basi ni rahisi kupata suluhisho la jumla kwa kutafuta suluhisho fulani kwa usawa wa inhomogeneous. Darasa hili linajumuisha milinganyo ya fomu:
(4)
,
ambapo ni polynomials ya mamlaka na, kwa mtiririko huo.

Katika kesi hii, ni rahisi kufanya mbadala
,
na kuamua