Vibrations longitudinal ya masharti ya mpaka wa fimbo. Mawimbi ya longitudinal

UFAFANUZI

Wimbi la longitudinal- hii ni wimbi, wakati wa uenezi ambao chembe za kati huhamishwa kwa mwelekeo wa uenezi wa wimbi (Mchoro 1, a).

Sababu ya wimbi la longitudinal ni compression / ugani, i.e. upinzani wa kati kwa mabadiliko katika kiasi chake. Katika vinywaji au gesi, deformation hiyo inaambatana na rarefaction au compaction ya chembe za kati. Mawimbi ya longitudinal yanaweza kuenea katika vyombo vya habari yoyote - imara, kioevu na gesi.

Mifano ya mawimbi ya longitudinal ni mawimbi katika fimbo ya elastic au mawimbi ya sauti katika gesi.

Mawimbi ya kupita

UFAFANUZI

Wimbi la kupita- hii ni wimbi, wakati wa uenezi ambao chembe za kati huhamishwa kwa mwelekeo wa perpendicular kwa uenezi wa wimbi (Mchoro 1, b).

Sababu ya wimbi la transverse ni deformation ya shear ya safu moja ya jamaa ya kati hadi nyingine. Wakati wimbi la kuvuka linaenea kwa njia ya kati, matuta na mabwawa huundwa. Kioevu na gesi, tofauti na imara, hazina elasticity kwa heshima na shear ya tabaka, i.e. usipinga kubadilisha sura. Kwa hiyo, mawimbi ya transverse yanaweza tu kueneza katika yabisi.

Mifano ya mawimbi ya kupita kiasi ni mawimbi yanayosafiri kwa kamba iliyonyoshwa au kamba.

Mawimbi juu ya uso wa kioevu sio longitudinal wala transverse. Ikiwa unatupa kuelea juu ya uso wa maji, unaweza kuona kwamba inasonga, ikisonga juu ya mawimbi, kwa muundo wa mviringo. Kwa hivyo, wimbi juu ya uso wa kioevu lina vipengele vya transverse na longitudinal. Mawimbi ya aina maalum yanaweza pia kuonekana kwenye uso wa kioevu - kinachojulikana mawimbi ya uso. Wanatokea kama matokeo ya hatua na nguvu ya mvutano wa uso.

Mifano ya kutatua matatizo

MFANO 1

Zoezi

Tambua mwelekeo wa uenezi wa wimbi la transverse ikiwa kuelea kwa wakati fulani kuna mwelekeo wa kasi ulioonyeshwa kwenye takwimu.

Suluhisho

Hebu tufanye kuchora. Hebu tuchore uso wa wimbi karibu na kuelea baada ya muda fulani, kwa kuzingatia kwamba wakati huu kuelea kuzama chini, kwa kuwa ilielekezwa chini wakati wa wakati. Kuendelea mstari wa kulia na kushoto, tunaonyesha nafasi ya wimbi kwa wakati. Baada ya kulinganisha msimamo wa wimbi wakati wa mwanzo wa wakati (mstari thabiti) na kwa wakati wa wakati (mstari uliopigwa), tunahitimisha kuwa wimbi linaenea kushoto.

Hebu tuchunguze fimbo ya sare ya urefu, yaani, mwili wa cylindrical au sura nyingine, kunyoosha au kuinama ambayo nguvu fulani inapaswa kutumika. Hali ya mwisho hutofautisha hata fimbo nyembamba zaidi kutoka kwa kamba, ambayo, kama tunavyojua, huinama kwa uhuru.

Katika sura hii, tutatumia njia ya sifa katika utafiti wa vibrations longitudinal ya fimbo, na sisi kikomo wenyewe kwa kusoma vibrations vile tu ambayo sehemu ya msalaba, kusonga kando ya mhimili wa fimbo, kubaki gorofa na sambamba na. kila mmoja (Mchoro 6). Dhana kama hiyo inahesabiwa haki ikiwa vipimo vya transverse vya fimbo ni ndogo ikilinganishwa na urefu wake.

Ikiwa fimbo imeinuliwa kidogo au imesisitizwa kando ya mhimili wa longitudinal na kisha kushoto yenyewe, basi vibrations longitudinal itatokea ndani yake. Hebu tuelekeze mhimili kando ya mhimili wa fimbo na kudhani kuwa katika hali ya kupumzika mwisho wa fimbo iko kwenye pointi Hebu abscissa ya sehemu fulani ya fimbo wakati wa mwisho ni kupumzika. Wacha tuonyeshe kwa kuhamishwa kwa sehemu hii kwa wakati wa wakati, basi uhamishaji wa sehemu hiyo na abscissa itakuwa sawa na

Kuanzia hapa ni wazi kwamba urefu wa jamaa wa fimbo katika sehemu na abscissa x inaonyeshwa na derivative.

Sasa kwa kuzingatia kwamba fimbo hupitia oscillations ndogo, tunaweza kuhesabu mvutano katika sehemu hii Hakika, kwa kutumia sheria ya Hooke, tunapata hiyo

iko wapi moduli ya elastic ya nyenzo za fimbo, eneo lake la sehemu ya msalaba. Hebu tuchukue kipengele cha fimbo kilichofungwa

kati ya sehemu mbili, abscissas ambayo katika mapumziko ni mtiririko sawa na nguvu ya mvutano kutumika katika sehemu hizi na kuelekezwa pamoja na mhimili

na pia inaelekezwa pamoja. Kwa upande mwingine, kuongeza kasi ya kipengele ni sawa, kama matokeo ambayo tunaweza kuandika usawa

ni wapi wiani wa volumetric wa fimbo. Kuweka

na kupunguza kwa tunapata mlinganyo tofauti wa mitetemo ya longitudinal ya fimbo ya homogeneous

Aina ya equation hii inaonyesha kwamba vibrations longitudinal ya fimbo ni ya asili ya wimbi, na kasi ya uenezi wa mawimbi longitudinal imedhamiriwa na formula (4).

Ikiwa fimbo pia inafanywa na nguvu ya nje iliyohesabiwa kwa kila kitengo cha kiasi chake, basi badala ya (3) tunapata.

Hii ni equation ya vibrations longitudinal kulazimishwa ya fimbo. Kama ilivyo katika mienendo kwa ujumla, equation ya mwendo (6) pekee haitoshi kuamua kabisa mwendo wa fimbo. Inahitajika kuweka hali ya awali, i.e. kuweka uhamishaji wa sehemu za fimbo na kasi zao wakati wa mwanzo wa wakati.

wapi na hupewa kazi katika muda (

Kwa kuongeza, hali ya mipaka katika mwisho wa fimbo lazima ielezwe. Kwa mfano.

Katika sehemu hii tutazingatia tatizo la vibrations longitudinal ya fimbo homogeneous. Fimbo ni cylindrical (hasa, prismatic) mwili, kunyoosha au compress ambayo nguvu fulani lazima kutumika. Tutafikiri kwamba nguvu zote zinafanya kazi pamoja na mhimili wa fimbo na kila sehemu ya msalaba wa fimbo (Mchoro 23) huenda kwa kutafsiri tu kando ya mhimili wa fimbo.

Kawaida dhana hii inahesabiwa haki ikiwa vipimo vya transverse vya fimbo ni ndogo ikilinganishwa na urefu wake, na nguvu zinazofanya kazi kwenye mhimili wa fimbo ni ndogo. Katika mazoezi, vibrations longitudinal mara nyingi hutokea wakati fimbo ni ya kwanza kunyoosha kidogo au, kinyume chake, compressed na kisha kushoto kwa vifaa vyake. Katika kesi hii, vibrations bure longitudinal hutokea ndani yake. Wacha tupate hesabu za oscillations hizi.

Hebu tuelekeze mhimili wa abscissa pamoja na mhimili wa fimbo (Mchoro 23); katika hali ya kupumzika, mwisho wa fimbo una abscissas, kwa mtiririko huo. - abscissa yake imepumzika.

Uhamishaji wa sehemu hii wakati wowote t utabainishwa na chaguo za kukokotoa ili kupata ambayo ni lazima tuunde mlingano wa tofauti. Hebu kwanza tupate urefu wa jamaa wa sehemu ya fimbo iliyopunguzwa na sehemu Ikiwa abscissa ya sehemu imepumzika, basi uhamisho wa sehemu hii kwa wakati t, sahihi kwa infinitesimals ya utaratibu wa juu, ni sawa na.

Kwa hiyo, urefu wa jamaa wa fimbo katika sehemu na abscissa wakati t ni sawa na

Kwa kuchukulia kwamba nguvu zinazosababisha urefu huu zinatii sheria ya Hooke, tutapata ukubwa wa nguvu ya mvutano T inayofanya kazi kwenye sehemu hii:

(5.2)

ambapo ni sehemu ya sehemu ya msalaba ya fimbo, na ni moduli ya elastic (Moduli ya Young) ya nyenzo za fimbo. Fomula (5.2) inapaswa kujulikana vizuri kwa msomaji kutoka kwa kozi ya nguvu ya nyenzo.

Ipasavyo, nguvu inayofanya kazi kwenye sehemu hiyo ni sawa na

Kwa kuwa nguvu hubadilisha hatua ya sehemu zilizokataliwa za fimbo, nguvu zao zinazosababisha ni sawa na tofauti

Kwa kuzingatia sehemu iliyochaguliwa ya fimbo kuwa sehemu ya nyenzo na wingi, ambapo ni wiani wa volumetric wa fimbo, na kutumia sheria ya pili ya Newton kwa hiyo, tunaunda usawa.

Kwa kufupisha na kutambulisha nukuu tunapata mlinganyo tofauti wa mitetemo ya bure ya longitudinal ya fimbo.

Ikiwa kwa kuongeza tunadhani kwamba nguvu ya nje iliyohesabiwa kwa kiasi cha kitengo na kutenda kando ya mhimili wa fimbo inatumika kwa fimbo, basi neno litaongezwa kwa upande wa kulia wa uhusiano (5 3) na equation (5.4) itachukua fomu

ambayo inafanana kabisa na equation ya oscillations ya kulazimishwa ya kamba.

Hebu sasa tuendelee kuanzisha hali ya awali na ya mipaka ya tatizo na fikiria kesi ya kivitendo ya kuvutia zaidi, wakati mwisho mmoja wa fimbo umewekwa na nyingine ni bure.

Katika mwisho wa bure, hali ya mpaka itakuwa na fomu tofauti. Kwa kuwa hakuna nguvu za nje katika mwisho huu, nguvu T inayofanya katika sehemu lazima pia iwe sawa na sifuri, i.e.

Oscillations hutokea kwa sababu wakati wa awali fimbo ilikuwa imeharibika (iliyonyoshwa au kukandamizwa) na kasi fulani za awali zilitolewa kwa pointi za fimbo. Kwa hivyo, lazima tujue uhamishaji wa sehemu za msalaba wa fimbo kwa sasa

pamoja na kasi ya awali ya pointi za fimbo

Kwa hivyo, shida ya vibrations vya bure vya longitudinal vya fimbo iliyowekwa kwa mwisho mmoja, inayotokana na compression ya awali au mvutano, ilituongoza kwenye equation.

na masharti ya awali

na masharti ya mipaka

Ni hali ya mwisho ambayo, kutoka kwa mtazamo wa hisabati, hufautisha tatizo linalozingatiwa kutoka kwa tatizo la oscillations ya kamba iliyowekwa kwenye ncha zote mbili.

Tutatua tatizo linalotokana na njia ya Fourier, yaani, tutapata ufumbuzi wa sehemu ya equation ambayo inakidhi masharti ya mipaka (5.8) katika fomu.

Kwa kuwa kozi zaidi ya suluhisho ni sawa na ile iliyoainishwa tayari katika § 3, tutajiwekea kikomo kwa maagizo mafupi tu. Kutofautisha chaguo za kukokotoa , kubadilisha misemo inayotokana na kuwa (5.6) na kutenganisha viambishi, tunapata

(Tunamwachia msomaji kwa kujitegemea kuanzisha kwamba, kutokana na masharti ya mipaka, mara kwa mara upande wa kulia hauwezi kuwa nambari nzuri au sifuri.) Suluhisho la jumla la equation lina fomu.

Kutokana na masharti yaliyowekwa kwenye kazi tutakuwa nayo

Suluhisho ambazo si sawa na sifuri zitapatikana tu ikiwa hali hiyo itafikiwa, yaani kwa , ambapo k inaweza kuchukua maadili.

Kwa hivyo, eigenvalues ​​ya shida ni nambari

Kila moja ina kazi yake mwenyewe

Kama tunavyojua tayari, kwa kuzidisha eigenfunctions yoyote kwa mara kwa mara ya kiholela, tutapata suluhisho la equation na masharti ya mipaka iliyowekwa. Ni rahisi kuangalia kuwa kwa kutoa nambari k maadili hasi, hatutapata eigenfunctions mpya (kwa mfano, at itasababisha chaguo la kukokotoa ambalo ni tofauti na eigenfunction ) kwa ishara pekee),

Wacha kwanza tuthibitishe kwamba eigenfunctions (5.11) ni za orthogonal katika muda. Kweli, lini

Ikiwa basi

Inawezekana kuthibitisha usahihi wa eigenfunctions kwa njia nyingine, si kutegemea maneno yao ya wazi, lakini kwa kutumia tu equation tofauti na masharti ya mipaka. Acha na ziwe thamani mbili tofauti, na ziwe eigenfunctions zinazolingana. Kwa ufafanuzi, vipengele hivi vinakidhi milinganyo

na masharti ya mipaka. Wacha tuzidishe mlinganyo wa kwanza na wa pili na uondoe moja kutoka kwa nyingine.

Kwa fimbo tunamaanisha silinda П=0х[О, /], wakati mimi" diamD. Hapa D- eneo kwenye ndege ya kuratibu Ox 2 x 3 (Mchoro 62). Nyenzo za fimbo ni sawa na isotropiki, na mhimili wa Ox hupita katikati ya mvuto wa sehemu hiyo. D. Sehemu ya nguvu za molekuli za nje f (r, mimi)=/(X|, /)e, ambapo e ni kitengo cha vekta ya mhimili wa Ox. Hebu vikosi vya uso wa nje kwenye uso wa upande wa silinda iwe sawa na sifuri, i.e. Ra= 0 juu DD X

Kisha kutoka (4.8) inafuata kwa 1=0 usawa

Fomu mwenyewe X k(j) ni rahisi kurekebisha kwa kutumia kawaida ya nafasi /^() ambayo kazi yake ni yake v(mimi), kwani kwa kila wakati wa wakati kazi ya nishati ya kinetic ipo na ni mdogo

Wapi S- eneo la mkoa D. Tuna

X*(s) = Jj- sin^-l katika nafasi ya kasi I 0 = ji)(s, /): v(s,t) e

Kwa hivyo, tunapata msingi wa kawaida |l r *(^)| ,

Wapi b kwa"- Ishara ya Kronecker: Kazi X k *(s), k= 1,2 ni njia za kawaida za mitetemo ya asili, na ω*, k= 1, 2, ..., - masafa ya asili ya oscillations ya mfumo na idadi isiyo na kipimo ya digrii za uhuru.

Kwa kumalizia, tunaona kuwa kazi u(s, /) ni ya nafasi ya usanidi wa mfumo H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o (1, /) = 0), ambapo U^"OO, / ]) ni nafasi ya Sobolev ya utendakazi inayoweza kujumlishwa pamoja na miraba ya viasili vya kwanza kwenye kipindi. Nafasi ya I ni kikoa cha ufafanuzi wa utendakazi wa nishati inayoweza kutokea. ya deformations elastic

na ina masuluhisho ya jumla kwa tatizo linalozingatiwa.

Oscillations ya bure ya mifumo yenye vigezo vya kusambazwa

Kipengele kikuu cha mchakato wa oscillations ya bure ya mifumo yenye idadi isiyo na kipimo ya digrii za uhuru inaonyeshwa kwa infinity ya idadi ya masafa ya asili na maumbo ya mode. Hii pia inahusishwa na vipengele vya hisabati: badala ya equations za kawaida za kutofautisha ambazo zinaelezea oscillations ya mifumo yenye idadi ndogo ya digrii za uhuru, hapa tunapaswa kushughulika na hesabu za tofauti za sehemu. Mbali na hali ya awali ambayo huamua uhamishaji wa awali na kasi, ni muhimu pia kuzingatia masharti ya mipaka ambayo ni sifa ya kurekebisha mfumo.

6.1. Vibrations longitudinal ya viboko

Wakati wa kuchambua vibrations longitudinal ya fimbo moja kwa moja (Mchoro 67, a), tutafikiri kwamba sehemu za msalaba zinabaki gorofa na kwamba chembe za fimbo hazifanyi harakati za transverse, lakini huenda tu kwa mwelekeo wa longitudinal.

Hebu u - harakati ya longitudinal ya sehemu ya sasa ya fimbo wakati wa vibrations; harakati hii inategemea eneo la sehemu (kuratibu x) na kwa wakati t. Kwa hiyo kuna kazi ya vigezo viwili; ufafanuzi wake unawakilisha kazi kuu. Uhamisho wa sehemu ya karibu sana ni sawa na, kwa hiyo, urefu kamili wa kipengele kidogo ni sawa (Mchoro 67, b), na urefu wake wa jamaa ni.

Ipasavyo, nguvu longitudinal katika sehemu na kuratibu X inaweza kuandikwa kama

,(173)

ambapo ni rigidity ya fimbo katika mvutano (compression). Nguvu N pia ni kazi ya hoja mbili - kuratibu X na wakati t.

Hebu fikiria kipengele cha fimbo kilicho kati ya sehemu mbili za karibu sana (Mchoro 67, c). Nguvu N inatumika kwa upande wa kushoto wa kipengele, na nguvu inatumika kwa upande wa kulia. Ikiwa tunaashiria wiani wa nyenzo za fimbo, basi wingi wa kipengele kinachohusika ni. Kwa hiyo, equation ya mwendo katika makadirio kwenye mhimili X

,

Kuzingatia(173)na kukubali A= const, tunapata

Kufuatia mbinu ya Fourier, tunatafuta suluhu mahususi kwa mlinganyo wa kutofautisha (175) katika umbo.

,(177)

hizo. tuseme kwamba harakati u inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya kazi mbili, moja ambayo inategemea tu hoja X, na nyingine tu kutoka kwa hoja t. Kisha, badala ya kufafanua kazi ya vigezo viwili u (x, t), ni muhimu kufafanua kazi mbili X (x) na T (t), ambayo kila moja inategemea kutofautiana moja tu.

Kubadilisha (177) hadi (174), tunapata

ambapo primes zinaonyesha uendeshaji wa tofauti kwa heshima na x, na kwa nukta t. Wacha tuandike tena equation hii kwa njia hii:

Hapa upande wa kushoto unategemea tu x, na upande wa kulia tu juu ya t. Kwa usawa huu kushikilia sawa (kwa yoyote x na t) ni muhimu kwamba kila sehemu yake iwe sawa na thabiti, ambayo tunaashiria kwa:

; .(178)

Hii inasababisha equations mbili:

;.(179)

Equation ya kwanza ina suluhisho:

,(180)

kuonyesha asili ya oscillatory, na kutoka (180) ni wazi kwamba kiasi haijulikani ina maana ya mzunguko wa oscillations bure.

Ya pili ya equations (179) ina suluhu:

,(181)

kuamua sura ya vibrations.

Mlinganyo wa mzunguko unaoamua thamani unakusanywa kwa kutumia masharti ya mipaka. Mlinganyo huu daima ni wa kupita maumbile na una idadi isiyo na kikomo ya mizizi. Kwa hivyo, idadi ya masafa ya asili haina ukomo, na kila thamani ya mzunguko inalingana na kazi yake T n (t), imedhamiriwa na utegemezi (180), na kazi yake Xn (x), imedhamiriwa na utegemezi (181). Suluhisho (177) ni sehemu tu na haitoi maelezo kamili ya mwendo. Suluhisho kamili linapatikana kwa kusisitiza suluhisho zote za sehemu:

.

Kazi X n (x) zinaitwa kazi mwenyewe matatizo na kuelezea njia zao za vibration. Hazitegemei hali ya awali na kukidhi hali ya orthogonality, ambayo kwa A = const ina fomu.

, Kama .

Hebu fikiria baadhi ya chaguzi kwa hali ya mipaka.

Fixed mwisho wa fimbo(Mchoro 68, a). Katika sehemu ya mwisho, uhamishaji lazima uwe sifuri; inafuata kwamba katika sehemu hii

X=0(182)

Mwisho wa bure wa fimbo(Mchoro 68, b). Katika sehemu ya mwisho, nguvu ya longitudinal

(183)

lazima iwe sawa sawa na sifuri, ambayo inawezekana ikiwa mwishoni mwa sehemu X"=0.

Ustahimilivu mwisho wa fimbo(Mchoro 68, c).

Wakati wa kusonga u fimbo ya mwisho, mmenyuko wa msaada wa elastic hutokea , ambapo C o ni rigidity ya msaada. Kuzingatia (183) kwa nguvu ya longitudinal, tunapata hali ya mpaka

ikiwa msaada iko kwenye mwisho wa kushoto wa fimbo (Mchoro 68, c), na

ikiwa msaada iko kwenye mwisho wa kulia wa fimbo (Mchoro 68, d).

Misa iliyojilimbikizia mwisho wa fimbo.

Nguvu ya inertia iliyotengenezwa na wingi:

.

Kwa kuwa, kwa mujibu wa kwanza wa equations (179), , nguvu ya inertia inaweza kuandikwa kwa fomu. Tunapata hali ya mpaka

,

ikiwa wingi ni mwisho wa kushoto (Mchoro 68, d), na

, (184)

ikiwa wingi umeunganishwa hadi mwisho wa kulia (Mchoro 68, e).

Hebu tutambue mzunguko wa asili wa fimbo ya cantilever (Mchoro 68, a").

Kwa mujibu wa (182) na (183), masharti ya mpaka

X=0 saa x=0;

X"=0 kwa x= .

Kubadilisha hali hizi moja baada ya nyingine kuwa suluhisho (181), tunapata

Hali C0 inaongoza kwa equation ya frequency:

Mizizi ya equation hii

(n=1,2,…)

kuamua masafa ya asili:

(n=1,2,…).(185)

Marudio ya kwanza (ya chini kabisa) katika n=1:

.

Masafa ya pili (saa n=2):

Hebu tutambue masafa ya asili ya fimbo yenye wingi mwishoni (Mchoro 68, f).

Kulingana na (182) na (184), tunayo

X=0 kwa x=0;

kwa x=.

Kubadilisha masharti haya kuwa suluhisho (181), tunapata:

D=0; .

Kwa hivyo, equation ya mzunguko wakati wa kuzingatia (176) ina fomu

.

Hapa upande wa kulia unawakilisha uwiano wa wingi wa fimbo kwa wingi wa mzigo wa mwisho.

Ili kutatua equation ya transcendental inayosababisha, ni muhimu kutumia njia fulani ya takriban.

Saa na maadili ya mzizi muhimu zaidi wa chini itakuwa 0.32 na 0.65, mtawaliwa.

Kwa uwiano mdogo, mzigo una ushawishi wa maamuzi na ufumbuzi wa takriban hutoa matokeo mazuri

.

Kwa baa za sehemu tofauti za msalaba, i.e. kwa Аconst, kutoka (173) na (174) equation ya mwendo hupatikana katika fomu.

.

Mlinganyo huu wa tofauti hauwezi kutatuliwa kwa njia iliyofungwa. Kwa hivyo, katika hali kama hizi ni muhimu kuamua njia takriban za kuamua masafa ya asili.

6.2. Vibrations ya torsional ya shafts

Vibrations ya torsional ya shafts yenye wingi wa kusambazwa kwa kuendelea (Mchoro 69, a) huelezewa na equations ambayo, katika muundo, inafanana kabisa na equations hapo juu kwa vibrations longitudinal ya viboko.

Torque M katika sehemu na abscissa X inahusiana na pembe ya mzunguko kwa utegemezi tofauti sawa na (173):

Wapi Jp- wakati wa polar wa inertia ya sehemu ya msalaba.

Katika sehemu iliyo mbali dx, torque ni sawa na (Mchoro 69, b):

Inaashiria kupitia (wapi msongamano wa nyenzo za shimoni) ukubwa wa wakati wa hali ya misa ya shimoni inayohusiana na mhimili wake (yaani, wakati wa hali kwa urefu wa kitengo), usawa wa mwendo wa sehemu ya msingi ya shimoni. inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

,

au sawa (174):

.

Kubadilisha usemi (186) hapa, na Jp=const tunapata, sawa na (175):

, (187)

Suluhisho la jumla la equation (187), kama equation (175), lina fomu

,

(188)

Masafa ya asili na eigenfunctions imedhamiriwa na hali maalum za mipaka.

Katika kesi kuu za kurekebisha ncha, sawa na kesi ya vibrations longitudinal, tunapata.

a) mwisho usiobadilika (=0): X=0;

b) mwisho wa bure (M=0): X"=0;

V) ustahimilivu mwisho wa kushoto: CoХ=GJpX "(mgawo wa ugumu wa ushirikiano);

G) ustahimilivu mwisho wa kulia: -CoX=GJpX ";

e) diski upande wa kushoto: (Jo ni wakati wa inertia ya diski kuhusiana na mhimili wa fimbo);

e) diski mwisho wa kulia: .

Ikiwa shimoni imewekwa kwenye mwisho wa kushoto (x=0), na mwisho wa kulia (x=) ni bure, basi X=0 saa x=0 na X"=0 kwa x=; masafa ya asili yamedhamiriwa sawa na ( 185):

(n=1,2,…).

Ikiwa mwisho wa kushoto umewekwa na kuna diski mwisho wa kulia, tunapata equation ya transcendental:

.

Ikiwa ncha zote mbili za shimoni zimewekwa, basi hali ya mpaka itakuwa X = 0 kwa x = 0 na x =. Katika kesi hii, kutoka (188) tunapata

hizo.

(n=1,2,…),

kutoka hapa tunapata masafa ya asili:

Ikiwa mwisho wa kushoto wa shimoni ni bure, na kuna diski kwenye mwisho wa kulia, basi X"=0 kwa x=0;Jo X=GJpX "kwa x=.

Kwa kutumia (188) tunapata

C=0; ,

au mlinganyo wa masafa ya kupita maumbile:

.

6.3.Mitetemo ya kupiga mihimili

6.3.1 Mlingano wa kimsingi

Kutoka kwa kozi juu ya nguvu ya vifaa, utegemezi tofauti wa mihimili ya kupiga hujulikana:

ambapo EJ inainama rigidity; y=y (x, t) - kupotoka; M=M(x, t) - wakati wa kuinama; q ni ukubwa wa mzigo uliosambazwa.

Kuchanganya (189) na (190), tunapata

.(191)

Katika shida ya vibrations bure, mzigo kwa mifupa elastic ni kusambazwa nguvu inertial:

ambapo m ni ukubwa wa wingi wa boriti (wingi kwa urefu wa kitengo), na equation (191) inachukua fomu.

.

Katika kesi maalum ya sehemu ya msalaba ya mara kwa mara, wakati EJ = const, m = const, tunayo:

.(192)

Ili kutatua equation (192), tunadhani, kama hapo juu,

y= X ( x)× T ( t).(193)

Kubadilisha (193) hadi (192), tunafika kwenye mlinganyo:

.

Ili usawa huu utimie kwa kufanana, ni muhimu kwamba kila sehemu ya usawa iwe thabiti. Kuashiria hii mara kwa mara na , tunapata hesabu mbili:

.(195)

Mlinganyo wa kwanza unaonyesha kwamba harakati ni ya kuzunguka kwa mzunguko.

Equation ya pili huamua sura ya vibrations. Suluhisho la equation (195) lina viunga vinne na lina fomu

Ni rahisi kutumia lahaja ya kuandika suluhisho la jumla lililopendekezwa na A.N.

(198)

kuwakilisha kazi za A.N.

Hebu tuzingatie ukweli kwamba S=1, T=U=V=0 kwa x=0. Vipengele vya kukokotoa S,T,U,V vimeunganishwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, semi za derivative (197) zimeandikwa katika umbo

(200)

Katika matatizo ya darasa linalozingatiwa, idadi ya masafa ya asili ni kubwa sana; kila mmoja wao ana kazi yake ya wakati T n na kazi yake ya msingi X n . Suluhisho la jumla linapatikana kwa kuweka suluhisho la sehemu ya fomu (193)

.(201)

Kuamua masafa ya asili na fomula, ni muhimu kuzingatia hali ya mipaka.

6.3.2. Masharti ya mpaka

Kwa kila mwisho wa bar, unaweza kutaja masharti mawili ya mipaka .

Mwisho wa bure wa fimbo(Mchoro 70, a). Nguvu ya kuvuka Q=EJX""T na wakati wa kupinda M=EJX""T ni sawa na sifuri Kwa hiyo, masharti ya mpaka yana fomu

X""=0; X"""=0 .(202)

Hinged mkono mwisho wa fimbo(Mchoro 70, b). Mkengeuko y=XT na wakati wa kupinda M=EJX""T ni sawa na sufuri. Kwa hivyo, masharti ya mipaka ni:

X=0 ; X""=0 .(203)

Mwisho uliobanwa(Mchoro 70, c). Mkengeuko y=XT na pembe ya mzunguko ni sawa na sifuri. Masharti ya mpaka:

X=0; X"=0 . (204)

Kuna molekuli ya uhakika mwishoni mwa fimbo(Mchoro 70, d). Nguvu yake isiyo na nguvu inaweza kuandikwa kwa kutumia mlingano (194) kama ifuatavyo:; lazima iwe sawa na shear forceQ=EJX"""T, kwa hivyo masharti ya mpaka huchukua fomu.

; X""=0 .(205)

Katika hali ya kwanza, ishara ya pamoja inachukuliwa wakati mzigo wa uhakika umeunganishwa na mwisho wa kushoto wa fimbo, na ishara ya minus inapounganishwa na mwisho wa kulia wa fimbo. Hali ya pili inafuatia kutokuwepo kwa wakati wa kuinama.

Elastically mkono mwisho wa fimbo(Mchoro 70, d). Hapa wakati wa kuinama ni sifuri, na nguvu ya kuvuka Q=EJX"""T ni sawa na majibu ya usaidizi (C o - msaada wa mgawo wa rigidity).

Masharti ya mpaka:

X""=0 ; (206)

(ishara ya minus inachukuliwa wakati usaidizi wa elastic umesalia, na ishara ya pamoja wakati ni sahihi).

6.3.3. Mlinganyo wa masafa na eigenforms

Rekodi iliyopanuliwa ya masharti ya mipaka husababisha milinganyo yenye usawa kuhusiana na viambatisho C 1, C 2, C 3, C 4.

Ili viambajengo hivi visiwe sawa na sifuri, kibainishi kinachoundwa na mgawo wa mfumo lazima kiwe sawa na sifuri; hii inasababisha equation ya mzunguko. Wakati wa shughuli hizi, mahusiano kati ya C 1, C 2, C 3, C 4 yanafafanuliwa, i.e. njia za asili za vibration zimedhamiriwa (hadi sababu ya mara kwa mara).

Wacha tufuate muundo wa milinganyo ya masafa kwa kutumia mifano.

Kwa boriti yenye ncha za bawaba, kulingana na (203), tunayo masharti yafuatayo ya mipaka: X = 0; X""=0 kwa x=0 na x= . Kwa kutumia (197)-(200) tunapata kutoka kwa masharti mawili ya kwanza: C 1 =C 3 =0. Masharti mawili yaliyobaki yanaweza kuandikwa kama

Ili C 2 na C 4 zisiwe sawa na sufuri, kibainishi lazima kiwe sawa na sufuri:

.

Kwa hivyo, usawa wa mzunguko una fomu

.

Kubadilisha misemo T na U, tunapata

Tangu , equation ya mwisho ya mzunguko imeandikwa kama ifuatavyo:

. (207)

Mizizi ya equation hii ni:

,(n =1,2,3,...).

Kwa kuzingatia (196) tunapata

.(208)

Wacha tuendelee kufafanua fomu zetu wenyewe. Kutoka kwa milinganyo ya homogeneous iliyoandikwa hapo juu, uhusiano ufuatao kati ya viunga C 2 na C 4 ifuatavyo:

.

Kwa hiyo, (197) huchukua fomu

Kulingana na (207), tunayo

,(209)

ambapo ni mara kwa mara mpya, thamani ambayo inabakia kutokuwa na uhakika hadi masharti ya awali yanaletwa kuzingatiwa.

6.3.4. Uamuzi wa mwendo kulingana na hali ya awali

Ikiwa ni muhimu kuamua harakati kufuatia usumbufu wa awali, basi ni muhimu kuonyesha uhamisho wa awali na kasi ya awali kwa pointi zote za boriti:

(210)

na kutumia mali ya orthogonality ya eigenforms:

.

Tunaandika suluhisho la jumla (201) kama ifuatavyo:

.(211)

Kasi inatolewa na

.(212)

Kubadilisha uhamishaji wa awali na kasi zinazodhaniwa kujulikana katika pande za kulia za milinganyo (211) na (212), na katika pande za kushoto, tunapata.

.

Kuzidisha misemo hii na kuunganisha kwa urefu wote, tunayo

(213)

Kiasi kisicho na kikomo kwenye pande za mkono wa kulia zimepotea kwa sababu ya mali ya orthogonality. Kutoka (213) fuata kanuni za viwango vya kudumu na

(214)

Sasa matokeo haya yanahitaji kubadilishwa kuwa suluhisho (211).

Hebu tusisitize tena kwamba uchaguzi wa ukubwa wa eigenforms sio muhimu. Ikiwa, kwa mfano, katika usemi wa eigenform (209) tunachukua badala yake thamani ambayo ni kubwa mara, basi (214) itatoa matokeo ambayo ni mara ndogo zaidi; baada ya kubadilishwa kuwa suluhisho (211), tofauti hizi hufidia kila mmoja. Walakini, mara nyingi hutumia eigenfunctions zilizorekebishwa, wakichagua kiwango chao kwamba madhehebu ya misemo (214) ni sawa na moja, ambayo hurahisisha misemo na .

6.3.5. Athari ya nguvu ya longitudinal mara kwa mara

Hebu fikiria kesi wakati boriti ya oscillating inakabiliwa na nguvu ya longitudinal N, ukubwa ambao haubadilika wakati wa mchakato wa oscillation. Katika kesi hii, equation ya kupiga tuli inakuwa ngumu zaidi na inachukua fomu (mradi tu nguvu ya kukandamiza inachukuliwa kuwa chanya)

.

Kwa kuzingatia na kuzingatia ugumu wa mara kwa mara, tunapata equation ya vibrations bure

.(215)

Tunaendelea kukubali suluhisho fulani katika fomu.

Kisha equation (215) inagawanyika katika milinganyo miwili:

Equation ya kwanza inaelezea asili ya oscillatory ya suluhisho, pili huamua sura ya oscillations, na pia inakuwezesha kupata masafa. Hebu tuandike upya kwa njia hii:

(216)

Wapi K imedhamiriwa na fomula (196), na

Suluhisho la equation (216) lina fomu

Wacha tuzingatie kesi hiyo wakati ncha zote mbili za fimbo zina viunga vya bawaba. Masharti upande wa kushoto kutoa . Kukidhi hali sawa juu ya mwisho wa kulia, tunapata

Inasawazisha hadi sufuri kiambishi kinachoundwa na vipatanishi vya idadi na , tunafika kwenye mlinganyo.

Mizizi ya equation hii ya frequency ni:

Kwa hiyo, mzunguko wa asili umeamua kutoka kwa equation

.

Kuanzia hapa, kwa kuzingatia (217) tunapata

.(219)

Wakati wa kunyoosha, mzunguko huongezeka, unaposisitizwa hupungua. Nguvu gandamizi N inapokaribia thamani muhimu, mzizi huelekea sifuri.

6.3.6. Athari ya Nguvu za Chain

Hapo awali, nguvu ya longitudinal ilizingatiwa kutolewa na kujitegemea kwa uhamisho wa mfumo. Katika baadhi ya matatizo ya vitendo, nguvu ya longitudinal inayoambatana na mchakato wa vibrations transverse hutokea kwa sababu ya kuinama kwa boriti na ina asili ya mmenyuko wa msaada. Fikiria, kwa mfano, boriti kwenye viunga viwili vya bawaba na vilivyowekwa. Inapopiga, athari za usawa za misaada hutokea, na kusababisha boriti kunyoosha; nguvu inayolingana ya usawa kawaida huitwa nguvu ya mnyororo. Ikiwa boriti inazunguka kinyume chake, nguvu ya mnyororo itabadilika kwa muda.

Ikiwa mara moja t deflections ya boriti imedhamiriwa na kazi, basi urefu wa mhimili unaweza kupatikana kwa kutumia formula.

.

Tunapata nguvu inayolingana kwa kutumia sheria ya Hooke

.

Wacha tubadilishe matokeo haya kuwa (215) badala ya nguvu ya longitudinal N (kwa kuzingatia ishara)

.(220)

Matokeo yasiyo ya mstari tofauti tofauti equation hurahisishwa kwa kutumia uingizwaji

,(221)

ambapo ni kazi isiyo na kipimo ya wakati, thamani ya juu ambayo inaweza kuweka sawa na nambari yoyote, kwa mfano, umoja; amplitude ya oscillations.

Kubadilisha (221) hadi (220), tunapata mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha

,(222)

ambao mgawo wake una maadili yafuatayo:

;.

Equation tofauti (222) sio ya mstari, kwa hiyo, mzunguko wa oscillations ya bure inategemea amplitude yao.

Suluhisho halisi kwa mzunguko wa vibrations transverse ina fomu

ni wapi mzunguko wa vibrations transverse, mahesabu bila kuzingatia nguvu za mnyororo; sababu ya kurekebisha kulingana na uwiano wa amplitude ya oscillation kwa radius ya gyration ya sehemu ya msalaba; thamani imetolewa katika fasihi ya kumbukumbu.

Wakati amplitude na radius ya gyration ya sehemu ya msalaba ni commensurate, marekebisho ya mzunguko inakuwa muhimu. Ikiwa, kwa mfano, amplitude ya vibration ya fimbo ya pande zote ni sawa na kipenyo chake, basi , na mzunguko ni karibu mara mbili zaidi kuliko katika kesi ya uhamisho wa bure wa misaada.

Kesi hiyo inalingana na thamani ya sifuri ya radius ya inertia, wakati rigidity bending ya boriti ni vanishingly ndogo - kamba. Wakati huo huo, formula inatoa kutokuwa na uhakika. Kufunua kutokuwa na uhakika huu, tunapata fomula ya mzunguko wa vibration ya kamba

.

Fomula hii inatumika kwa kesi wakati mvutano ni sifuri katika nafasi ya usawa. Mara nyingi tatizo la oscillations ya kamba hutolewa chini ya mawazo mengine: inaaminika kuwa uhamisho ni mdogo, na nguvu ya mvutano hutolewa na inabakia bila kubadilika wakati wa mchakato wa oscillation.

Katika kesi hii, formula ya mzunguko ina fomu

ambapo N ni nguvu ya kudumu ya mvutano.

6.4. Athari ya msuguano wa viscous

Hapo awali ilichukuliwa kuwa nyenzo za vijiti zilikuwa za elastic kabisa na hapakuwa na msuguano. Hebu tuzingatie ushawishi wa msuguano wa ndani, tukichukulia kuwa ni mnato; basi uhusiano kati ya dhiki na mkazo unaelezewa na mahusiano

;.(223)

Hebu fimbo yenye vigezo vilivyosambazwa ifanye vibrations za longitudinal za bure. Katika kesi hii, nguvu ya longitudinal itaandikwa kwa fomu

Kutoka kwa equation ya mwendo wa kipengele cha fimbo, uhusiano (174) ulipatikana

Kubadilisha (224) hapa, tunafika kwenye mlinganyo kuu wa kutofautisha

,(225)

ambayo inatofautiana na (175) kwa muhula wa pili, ambayo inaonyesha ushawishi wa nguvu za msuguano wa viscous.

Kufuatia mbinu ya Fourier, tunatafuta suluhu la mlinganyo (225) katika fomu

,(226)

ambapo kazi ni kuratibu x tu, na chaguo la kukokotoa ni wakati t tu.

Katika kesi hiyo, kila mwanachama wa mfululizo lazima akidhi masharti ya mipaka ya tatizo, na jumla nzima lazima pia kukidhi masharti ya awali. Kubadilisha (226) hadi (225) na kuhitaji kwamba usawa uridhishwe kwa nambari yoyote r, tunapata

,(227)

ambapo primes zinaonyesha tofauti kwa heshima na kuratibu x, na pointi ni upambanuzi kuhusiana na wakati t.

Kugawanya (227) kwa bidhaa , tunakuja kwa usawa

,(228)

upande wa kushoto, ambao unaweza kutegemea tu kuratibu x, na moja sahihi - tu kutoka kwa wakati t. Ili usawa (228) utimizwe kwa kufanana, ni muhimu kwamba sehemu zote mbili ziwe sawa na uthabiti sawa, ambao tunaashiria kwa .

Kutoka kwa hii fuata milinganyo

(229)

.(230)

Equation (229) haitegemei mgawo wa viscosity K na, hasa, inabakia sawa katika kesi ya mfumo wa elastic kikamilifu, wakati. Kwa hivyo, nambari zinapatana kabisa na zile zilizopatikana hapo awali; hata hivyo, kama itakavyoonyeshwa hapa chini, thamani inatoa tu thamani ya takriban ya masafa ya asili. Kumbuka kwamba eigenshapes ni huru kabisa na mali ya viscous ya fimbo, i.e. aina za oscillations bure damped sanjari na aina ya oscillations bure undamped.

Sasa hebu tuendelee kwenye equation (230), ambayo inaelezea mchakato wa oscillations yenye unyevu; suluhisho lake lina fomu

.(233)

Usemi (232) huamua kiwango cha kuoza, na (233) huamua mzunguko wa oscillation.

Kwa hivyo, suluhisho kamili la equation ya shida

.(234)

Mara kwa mara na inaweza kupatikana kila wakati kulingana na masharti ya awali. Wacha uhamishaji wa awali na kasi za awali za sehemu zote za fimbo zibainishwe kama ifuatavyo:

;,(235)

wapi na zinajulikana kazi.

Kisha kwa , kulingana na (211) na (212), tunayo

kuzidisha pande zote mbili za usawa huu na kuunganisha juu ya urefu mzima wa fimbo, tunapata

(236)

Kulingana na hali ya orthogonality ya eigenforms, maneno mengine yote yaliyojumuishwa katika pande za kulia za usawa huu huwa sifuri. Sasa kutoka kwa usawa (236) ni rahisi kupata kwa nambari yoyote r.

Kuzingatia (232) na (234), tunaona kwamba idadi ya juu ya hali ya vibration, kasi yake ya unyevu. Kwa kuongeza, maneno yaliyojumuishwa katika (234) yanaelezea oscillations yenye unyevu ikiwa kuna nambari halisi. Kutoka (233) ni wazi kwamba hii hutokea tu kwa maadili machache ya awali ya r mradi tu ukosefu wa usawa umeridhika.

Kwa maadili makubwa ya kutosha r ukosefu wa usawa (237) unakiukwa na wingi unakuwa wa kufikirika. Katika kesi hii, masharti yanayolingana ya suluhisho la jumla (234) hayataelezea tena oscillations yenye unyevu, lakini itawakilisha mwendo wa aperiodic damped. Kwa maneno mengine, mitetemo, kwa maana ya kawaida ya neno, inaonyeshwa tu na sehemu fulani ya kikomo ya jumla (234).

Hitimisho hizi zote za ubora hazihusu tu kesi ya vibrations longitudinal, lakini pia kwa kesi za torsional na bending vibrations.

6.5. Mitetemo ya pau tofauti za sehemu nzima

Katika hali ambapo misa iliyosambazwa na sehemu ya msalaba ya fimbo inabadilika kwa urefu wake, badala ya equation ya mtetemo wa longitudinal (175), mtu anapaswa kuendelea kutoka kwa equation.

.(238)

Mlinganyo wa mtetemo wa msokoto (187) lazima ubadilishwe na mlinganyo

,(239)

na mlinganyo wa mitetemo inayopita (192) ni mlinganyo

.(240)

Milinganyo (238)-(240) kwa usaidizi wa vibadala sawa ;;inaweza kupunguzwa hadi milinganyo ya kawaida ya chaguo za kukokotoa