Kutatua milinganyo ya mstari wa aljebra kwa kutumia mbinu ya matrix. Mifumo ya kutatua milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia matriki ya kinyume

Njia ya matrix inverse ni kesi maalum mlinganyo wa matrix

Tatua mfumo kwa kutumia njia ya matrix

Suluhisho: Tunaandika mfumo katika umbo la matrix. Tunapata suluhisho la mfumo kwa kutumia fomula (tazama fomula ya mwisho)

Tunapata matrix ya kinyume kwa kutumia formula:
, iko wapi matrix iliyopitishwa ya nyongeza za aljebra ya vipengele vinavyolingana vya matriki.

Kwanza, hebu tuangalie kiashiria:

Hapa kibainishi kinapanuliwa kwenye mstari wa kwanza.

Makini! Ikiwa, basi matrix inverse haipo, na haiwezekani kutatua mfumo kwa kutumia njia ya tumbo. Katika kesi hii, mfumo unatatuliwa kwa kuondoa njia isiyojulikana (njia ya Gaussian).

Sasa tunahitaji kuhesabu watoto 9 na kuwaandika kwenye matrix ya watoto

Rejeleo: Ni muhimu kujua maana ya usajili maradufu katika aljebra ya mstari. Nambari ya kwanza ni nambari ya mstari ambao kipengele iko. Nambari ya pili ni nambari ya safu ambayo kitu kiko:

Hiyo ni, usajili mara mbili unaonyesha kuwa kipengee kiko kwenye safu ya kwanza, safu ya tatu, na, kwa mfano, kipengee kiko kwenye safu 3, safu 2.

Wakati wa suluhisho, ni bora kuelezea hesabu ya watoto kwa undani, ingawa kwa uzoefu fulani unaweza kuzoea kuhesabu na makosa kwa mdomo.

Mpangilio ambao watoto huhesabiwa sio muhimu kabisa; hapa nilihesabu kutoka kushoto kwenda mstari wa kulia kwa mstari. Iliwezekana kuhesabu watoto kwa nguzo (hii ni rahisi zaidi).

Hivyo:

- matrix ya watoto wa vitu vinavyolingana vya matrix.

- matrix ya nyongeza za algebra.

- matrix iliyopitishwa ya nyongeza za algebra.

Narudia, tulijadili hatua zilizofanywa kwa undani katika somo. Jinsi ya kupata inverse ya matrix?

Sasa tunaandika matrix inverse:

Kwa hali yoyote hatupaswi kuiingiza kwenye tumbo, hii itachanganya sana mahesabu zaidi. Mgawanyiko ungehitajika kufanywa ikiwa nambari zote kwenye tumbo ziligawanywa na 60 bila salio. Lakini katika kesi hii ni muhimu sana kuongeza minus kwenye tumbo, kinyume chake, itarahisisha mahesabu zaidi.

Kilichobaki ni kuzidisha matrix. Unaweza kujifunza jinsi ya kuzidisha matrices darasani. Vitendo na matrices. Kwa njia, mfano huo huo unachambuliwa hapo.

Kumbuka kwamba mgawanyiko na 60 unafanywa mwisho wa yote.
Wakati mwingine haiwezi kutengana kabisa, i.e. inaweza kusababisha sehemu "mbaya". Tayari nilikuambia nini cha kufanya katika kesi kama hizo wakati tulichunguza sheria ya Cramer.

Jibu:

Mfano 12

Tatua mfumo kwa kutumia matrix ya kinyume.

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea (sampuli ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo).

Njia ya ulimwengu wote ya kutatua mfumo ni njia ya kuondoa haijulikani (njia ya Gaussian). Sio rahisi sana kuelezea algorithm wazi, lakini nilijaribu!

Nakutakia mafanikio!

Majibu:

Mfano 3:

Mfano 6:

Mfano 8: , . Unaweza kutazama au kupakua sampuli ya suluhisho la mfano huu (kiungo hapa chini).

Mifano 10, 12:

Tunaendelea kuzingatia mifumo ya milinganyo ya mstari. Somo hili ni la tatu kwenye mada. Ikiwa una wazo lisilo wazi la mfumo wa equations za mstari ni nini kwa ujumla, ikiwa unahisi kama teapot, basi ninapendekeza kuanza na misingi kwenye ukurasa unaofuata, ni muhimu kusoma somo.

Njia ya Gaussian ni rahisi! Kwa nini? Mwanahisabati maarufu wa Ujerumani Johann Carl Friedrich Gauss, wakati wa uhai wake, alipokea kutambuliwa kama mwanahisabati mkuu wa wakati wote, fikra, na hata jina la utani "Mfalme wa Hisabati." Na kila kitu cha busara, kama unavyojua, ni rahisi! Kwa njia, sio wanyonyaji tu wanaopata pesa, lakini pia wajanja - picha ya Gauss ilikuwa kwenye noti 10 ya Deutschmark (kabla ya kuanzishwa kwa euro), na Gauss bado anatabasamu kwa kushangaza kwa Wajerumani kutoka kwa stempu za kawaida za posta.

Mbinu ya Gauss ni rahisi kwa kuwa ELIMU YA MWANAFUNZI WA DARASA LA TANO INATOSHA kuimudu. Lazima ujue jinsi ya kuongeza na kuzidisha! Sio sadfa kwamba walimu mara nyingi huzingatia mbinu ya kutojumuisha kwa mfuatano mambo yasiyojulikana katika uteuzi wa hisabati shuleni. Ni kitendawili, lakini wanafunzi wanaona njia ya Gaussian kuwa ngumu zaidi. Hakuna kitu cha kushangaza - yote ni juu ya mbinu, na nitajaribu kuzungumza juu ya algorithm ya njia katika fomu inayoweza kupatikana.

Kwanza, wacha tupange maarifa kidogo juu ya mifumo ya milinganyo ya mstari. Mfumo wa milinganyo ya mstari unaweza:

1) Kuwa na suluhisho la kipekee.
2) Kuwa na suluhisho nyingi sana.
3) Huna suluhu (kuwa yasiyo ya pamoja).

Njia ya Gauss ndio zana yenye nguvu zaidi na ya ulimwengu wote ya kutafuta suluhisho yoyote mifumo ya milinganyo ya mstari. Kama tunavyokumbuka, Utawala wa Cramer na njia ya matrix hazifai katika hali ambapo mfumo una masuluhisho mengi sana au hauendani. Na njia ya kuondoa mlolongo wa haijulikani Hata hivyo itatuongoza kwenye jibu! Katika somo hili, tutazingatia tena njia ya Gauss kwa kesi No. Ninaona kuwa algorithm ya njia yenyewe inafanya kazi sawa katika kesi zote tatu.

Wacha turudi kwenye mfumo rahisi zaidi kutoka kwa somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations za mstari?
na kuitatua kwa kutumia njia ya Gaussian.

Hatua ya kwanza ni kuandika matrix ya mfumo uliopanuliwa:
. Nadhani kila mtu anaweza kuona kwa kanuni gani coefficients imeandikwa. Mstari wa wima ndani ya tumbo hauna maana yoyote ya kihisabati - ni upitishaji kwa urahisi wa muundo.

Rejeleo: Ninapendekeza ukumbukemasharti algebra ya mstari.Matrix ya Mfumo ni matrix inayoundwa tu na coefficients kwa haijulikani, katika mfano huu matrix ya mfumo: . Matrix ya Mfumo Uliopanuliwa - hii ni matrix sawa ya mfumo pamoja na safu ya maneno ya bure, katika kesi hii: . Kwa ufupi, yoyote ya matrices inaweza kuitwa tu matrix.

Baada ya kuandikwa kwa mfumo wa matrix uliopanuliwa, ni muhimu kufanya vitendo kadhaa nayo, ambayo pia huitwa mabadiliko ya msingi.

Kuna mabadiliko yafuatayo ya kimsingi:

1) Kamba matrices inaweza kupangwa upya katika baadhi ya maeneo. Kwa mfano, kwenye tumbo linalozingatiwa, unaweza kupanga upya safu za kwanza na za pili bila maumivu:

2) Ikiwa kuna (au imeonekana) safu sawia (kama kesi maalum - sawa) kwenye tumbo, basi unapaswa kufuta kutoka kwa matrix safu safu hizi zote isipokuwa moja. Fikiria, kwa mfano, tumbo . Katika tumbo hili, safu tatu za mwisho ni sawia, kwa hivyo inatosha kuacha moja tu kati yao: .

3) Ikiwa safu ya sifuri inaonekana kwenye tumbo wakati wa mabadiliko, basi inapaswa pia kuwa kufuta. Sitachora, bila shaka, mstari wa sifuri ni mstari ambao sufuri zote.

4) safu ya matrix inaweza kuwa zidisha (gawanya) kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri. Fikiria, kwa mfano, matrix. Hapa inashauriwa kugawa mstari wa kwanza na -3, na kuzidisha mstari wa pili na 2: . Kitendo hiki ni muhimu sana kwa sababu hurahisisha mabadiliko zaidi ya matrix.

5) Mabadiliko haya husababisha ugumu zaidi, lakini kwa kweli hakuna chochote ngumu. Kwa safu ya matrix unaweza ongeza mfuatano mwingine uliozidishwa na nambari, tofauti na sifuri. Wacha tuangalie matrix yetu kutoka kwa mfano wa vitendo: . Kwanza nitaelezea mabadiliko kwa undani sana. Zidisha mstari wa kwanza kwa -2: , Na kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -2:. Sasa mstari wa kwanza unaweza kugawanywa "nyuma" na -2:. Kama unaweza kuona, mstari ambao umeongezwa LI – haijabadilika. Kila mara mstari AMBAO UMEONGEZWA hubadilika UT.

Kwa mazoezi, kwa kweli, hawaiandiki kwa undani kama hii, lakini iandike kwa ufupi:

Kwa mara nyingine tena: kwa mstari wa pili aliongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -2. Mstari kwa kawaida huzidishwa kwa mdomo au kwenye rasimu, huku mchakato wa kukokotoa kiakili ukienda hivi:

"Ninaandika tena matrix na kuandika tena mstari wa kwanza:"

"Safu ya kwanza. Chini ninahitaji kupata sifuri. Kwa hiyo, ninazidisha moja ya juu kwa -2:, na kuongeza ya kwanza kwenye mstari wa pili: 2 + (–2) = 0. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: »

“Sasa safu ya pili. Hapo juu, ninazidisha -1 kwa -2: . Ninaongeza ya kwanza kwa mstari wa pili: 1 + 2 = 3. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: "

"Na safu ya tatu. Kwa juu ninazidisha -5 kwa -2: . Ninaongeza wa kwanza kwa mstari wa pili: -7 + 10 = 3. Ninaandika matokeo katika mstari wa pili: »

Tafadhali elewa kwa uangalifu mfano huu na uelewe algorithm ya hesabu ya mpangilio, ikiwa unaelewa hii, basi njia ya Gaussian iko kwenye mfuko wako. Lakini, bila shaka, bado tutafanya kazi kwenye mabadiliko haya.

Mabadiliko ya kimsingi hayabadilishi suluhisho la mfumo wa milinganyo

! TAZAMA: kuchukuliwa ghiliba haiwezi kutumia, ikiwa umepewa kazi ambapo matrices hupewa "penyewe." Kwa mfano, na "classical" shughuli na matrices Kwa hali yoyote unapaswa kupanga tena kitu chochote ndani ya matrices!

Turudi kwenye mfumo wetu. Inakaribia kutatuliwa.

Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tupunguze mtazamo wa kupitiwa:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Kwa njia, kwa nini tunazidisha mstari wa kwanza kwa -2? Ili kupata sifuri chini, ambayo inamaanisha kuondoa tofauti moja kwenye mstari wa pili.

(2) Gawa mstari wa pili na 3.

Kusudi la mabadiliko ya kimsingi– punguza matrix kwa fomu ya hatua kwa hatua: . Katika muundo wa kazi hiyo, huweka alama tu "ngazi" na penseli rahisi, na pia duru nambari ambazo ziko kwenye "hatua". Neno "mtazamo wa hatua" lenyewe sio la kinadharia kabisa; katika fasihi ya kisayansi na kielimu mara nyingi huitwa mtazamo wa trapezoidal au mtazamo wa pembetatu.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, tulipata sawa mfumo wa awali wa equations:

Sasa mfumo unahitaji "kufunguliwa" kwa mwelekeo tofauti - kutoka chini hadi juu, mchakato huu unaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Katika equation ya chini tayari tuna matokeo tayari:.

Wacha tuchunguze equation ya kwanza ya mfumo na tubadilishe thamani inayojulikana ya "y" ndani yake:

Hebu fikiria hali ya kawaida, wakati njia ya Gaussian inahitaji kutatua mfumo wa equations tatu za mstari na tatu zisizojulikana.

Mfano 1

Tatua mfumo wa hesabu kwa kutumia njia ya Gauss:

Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Sasa nitatoa mara moja matokeo ambayo tutakuja wakati wa suluhisho:

Na narudia, lengo letu ni kuleta matrix kwa fomu ya hatua kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Wapi kuanza?

Kwanza, angalia nambari ya juu kushoto:

Inapaswa kuwa karibu kila wakati kitengo. Kwa ujumla, -1 (na wakati mwingine nambari zingine) zitafanya, lakini kwa njia fulani imetokea jadi kwamba mtu huwekwa hapo. Jinsi ya kupanga kitengo? Tunaangalia safu ya kwanza - tuna kitengo cha kumaliza! Mabadiliko ya kwanza: badilisha mistari ya kwanza na ya tatu:

Sasa mstari wa kwanza utabaki bila kubadilika hadi mwisho wa suluhisho. Sasa sawa.

Kitengo kilicho kwenye kona ya juu kushoto kimepangwa. Sasa unahitaji kupata zero katika maeneo haya:

Tunapata zero kwa kutumia mabadiliko "ngumu". Kwanza tunashughulika na mstari wa pili (2, -1, 3, 13). Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata sifuri katika nafasi ya kwanza? Haja ya kwenye mstari wa pili ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -2. Kiakili au kwenye rasimu, zidisha mstari wa kwanza kwa -2: (-2, -4, 2, -18). Na tunatekeleza (tena kiakili au kwa rasimu) mara kwa mara, kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza, tayari umeongezeka kwa -2:

Tunaandika matokeo katika mstari wa pili:

Tunashughulikia mstari wa tatu kwa njia ile ile (3, 2, -5, -1). Ili kupata sifuri katika nafasi ya kwanza, unahitaji kwenye mstari wa tatu ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -3. Kwa akili au kwenye rasimu, zidisha mstari wa kwanza kwa -3: (-3, -6, 3, -27). NA kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa kwanza unaozidishwa na -3:

Tunaandika matokeo katika mstari wa tatu:

Kwa mazoezi, vitendo hivi kawaida hufanywa kwa mdomo na kuandikwa kwa hatua moja:

Hakuna haja ya kuhesabu kila kitu mara moja na kwa wakati mmoja. Utaratibu wa mahesabu na "kuandika" matokeo thabiti na kawaida ni kama hii: kwanza tunaandika tena mstari wa kwanza, na polepole tunajivuna - CONSISTENTLY na KWA MAKINI:

Na tayari nimejadili mchakato wa kiakili wa mahesabu yenyewe hapo juu.

Katika mfano huu, hii ni rahisi kufanya; tunagawanya mstari wa pili kwa -5 (kwa kuwa nambari zote huko zinaweza kugawanywa na 5 bila salio). Wakati huo huo, tunagawanya mstari wa tatu na -2, kwa sababu nambari ndogo, suluhisho rahisi zaidi:

Katika hatua ya mwisho ya mabadiliko ya kimsingi, unahitaji kupata sifuri nyingine hapa:

Kwa hii; kwa hili kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa pili unaozidishwa na -2:

Jaribu kubaini kitendo hiki mwenyewe - kiakili zidisha mstari wa pili kwa -2 na uongeze.

Kitendo cha mwisho kilichofanywa ni mtindo wa nywele wa matokeo, gawanya mstari wa tatu na 3.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa hesabu za mstari ulipatikana:

Baridi.

Sasa kinyume cha njia ya Gaussian inaanza kutumika. Milinganyo "hupunguza" kutoka chini kwenda juu.

Katika equation ya tatu tayari tunayo matokeo tayari:

Wacha tuangalie mlingano wa pili:. Maana ya "zet" tayari inajulikana, kwa hivyo:

Na hatimaye, equation ya kwanza:. "Igrek" na "zet" zinajulikana, ni suala la mambo madogo tu:

Jibu:

Kama ilivyoelezwa tayari mara kadhaa, kwa mfumo wowote wa equations inawezekana na ni muhimu kuangalia suluhisho lililopatikana, kwa bahati nzuri, hii ni rahisi na ya haraka.

Mfano 2

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea, sampuli ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo.

Ikumbukwe kwamba yako maendeleo ya uamuzi inaweza isiendane na mchakato wangu wa uamuzi, na hii ni kipengele cha njia ya Gauss. Lakini majibu lazima yafanane!

Mfano 3

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

Tunaangalia "hatua" ya juu kushoto. Tunapaswa kuwa na moja hapo. Shida ni kwamba hakuna vitengo kwenye safu ya kwanza kabisa, kwa hivyo kupanga tena safu hakutatua chochote. Katika hali kama hizi, kitengo lazima kipangwa kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Hii inaweza kawaida kufanywa kwa njia kadhaa. Nilifanya hivi: (1) Kwa mstari wa kwanza tunaongeza mstari wa pili, unaozidishwa na -1. Hiyo ni, tulizidisha kiakili mstari wa pili kwa -1 na kuongeza mstari wa kwanza na wa pili, wakati mstari wa pili haukubadilika.

Sasa sehemu ya juu kushoto ni -1, ambayo inatufaa vizuri. Yeyote anayetaka kupata +1 anaweza kufanya harakati ya ziada: zidisha mstari wa kwanza kwa -1 (badilisha ishara yake).

(2) Mstari wa kwanza uliozidishwa na 5 uliongezwa kwenye mstari wa pili. Mstari wa kwanza uliozidishwa na 3 uliongezwa kwenye mstari wa tatu.

(3) Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1, kimsingi, hii ni kwa uzuri. Ishara ya mstari wa tatu pia ilibadilishwa na ikahamishwa hadi nafasi ya pili, ili kwenye "hatua" ya pili tulikuwa na kitengo kinachohitajika.

(4) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 2.

(5) Mstari wa tatu uligawanywa na 3.

Ishara mbaya ambayo inaonyesha hitilafu katika mahesabu (zaidi mara chache, typo) ni mstari wa chini "mbaya". Hiyo ni, ikiwa tutapata kitu kama, chini, na, ipasavyo, , basi kwa kiwango cha juu cha uwezekano tunaweza kusema kwamba kosa lilifanywa wakati wa mabadiliko ya msingi.

Tunatoza kinyume, katika muundo wa mifano mara nyingi hawaandiki tena mfumo wenyewe, lakini milinganyo "huchukuliwa moja kwa moja kutoka kwa matrix iliyotolewa." Hoja ya kurudi nyuma, nakukumbusha, inafanya kazi, kutoka chini kwenda juu:
Ndiyo, hapa kuna zawadi:

Jibu: .

Mfano 4

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako, ni ngumu zaidi. Ni sawa ikiwa mtu atachanganyikiwa. Suluhisho kamili na muundo wa sampuli mwishoni mwa somo. Suluhisho lako linaweza kuwa tofauti na suluhisho langu.

Katika sehemu ya mwisho tutaangalia baadhi ya vipengele vya algorithm ya Gaussian.
Kipengele cha kwanza ni kwamba wakati mwingine vigeu vingine havipo kwenye hesabu za mfumo, kwa mfano:

Jinsi ya kuandika kwa usahihi matrix ya mfumo uliopanuliwa? Tayari nilizungumza juu ya hatua hii darasani. Utawala wa Cramer. Mbinu ya Matrix. Katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo, tunaweka sifuri badala ya vigeu vilivyokosekana:

Kwa njia, huu ni mfano rahisi, kwani safu ya kwanza tayari ina sifuri moja, na kuna mabadiliko machache ya kimsingi ya kufanya.

Sifa ya pili ni hii. Katika mifano yote iliyozingatiwa, tuliweka ama -1 au +1 kwenye "hatua". Kunaweza kuwa na nambari zingine hapo? Katika baadhi ya matukio wanaweza. Fikiria mfumo: .

Hapa kwenye "hatua" ya juu kushoto tunayo mbili. Lakini tunaona ukweli kwamba nambari zote kwenye safu ya kwanza zinaweza kugawanywa na 2 bila salio - na nyingine ni mbili na sita. Na hao wawili walio juu kushoto watatufaa! Katika hatua ya kwanza, unahitaji kufanya mabadiliko yafuatayo: ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -1 hadi mstari wa pili; kwenye mstari wa tatu ongeza mstari wa kwanza ukizidishwa na -3. Kwa njia hii tutapata zero zinazohitajika kwenye safu ya kwanza.

Au mfano mwingine wa kawaida: . Hapa tatu kwenye "hatua" ya pili pia inafaa kwetu, kwa kuwa 12 (mahali ambapo tunahitaji kupata sifuri) imegawanywa na 3 bila salio. Inahitajika kutekeleza mabadiliko yafuatayo: ongeza mstari wa pili kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -4, kama matokeo ambayo sifuri tunayohitaji itapatikana.

Njia ya Gauss ni ya ulimwengu wote, lakini kuna upekee mmoja. Unaweza kujifunza kwa ujasiri kutatua mifumo kwa kutumia njia zingine (njia ya Cramer, njia ya matrix) mara ya kwanza - wana algorithm kali sana. Lakini ili kujisikia ujasiri katika njia ya Gaussian, unapaswa "kupata meno yako" na kutatua angalau mifumo 5-10 kumi. Kwa hiyo, kwa mara ya kwanza kunaweza kuwa na machafuko na makosa katika mahesabu, na hakuna kitu cha kawaida au cha kusikitisha kuhusu hili.

Hali ya hewa ya vuli ya mvua nje ya dirisha .... Kwa hivyo, kwa kila mtu ambaye anataka mfano ngumu zaidi kutatua peke yake:

Mfano 5

Tatua mfumo wa milinganyo 4 ya mstari na zisizojulikana nne kwa kutumia mbinu ya Gauss.

Kazi kama hiyo sio nadra sana katika mazoezi. Nadhani hata teapot ambaye amesoma kwa undani ukurasa huu ataelewa algorithm ya kutatua mfumo kama huo kwa angavu. Kimsingi, kila kitu ni sawa - kuna vitendo zaidi.

Kesi ambazo mfumo hauna suluhu (zisizoendana) au una masuluhisho mengi sana hujadiliwa katika somo. Mifumo na mifumo isiyokubaliana na suluhisho la kawaida. Huko unaweza kurekebisha algorithm inayozingatiwa ya njia ya Gaussian.

Nakutakia mafanikio!

Suluhisho na majibu:

Mfano wa 2: Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa fomu ya hatua.

Mabadiliko ya kimsingi yamefanywa:
(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.Makini! Hapa unaweza kujaribiwa kutoa ya kwanza kutoka kwa mstari wa tatu; Ninapendekeza sana usiiondoe - hatari ya makosa huongezeka sana. Ikunja tu!
(2) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa (iliyozidishwa na -1). Mstari wa pili na wa tatu umebadilishwa.Kumbuka , kwamba kwenye "hatua" hatujaridhika na moja tu, bali pia -1, ambayo ni rahisi zaidi.
(3) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 5.
(4) Ishara ya mstari wa pili ilibadilishwa (iliyozidishwa na -1). Mstari wa tatu uligawanywa na 14.

Nyuma:

Jibu: .

Mfano wa 4: Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

Uongofu ulifanywa:
(1) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa kwanza. Kwa hivyo, kitengo kinachohitajika kinapangwa kwenye "hatua" ya juu kushoto.
(2) Mstari wa kwanza uliozidishwa na 7 uliongezwa kwenye mstari wa pili. Mstari wa kwanza uliozidishwa na 6 uliongezwa kwenye mstari wa tatu.

Kwa "hatua" ya pili kila kitu kinakuwa mbaya zaidi , "wagombea" wake ni nambari 17 na 23, na tunahitaji moja au -1. Mabadiliko (3) na (4) yatalenga kupata kitengo kinachohitajika

(3) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.
(4) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -3.
Kipengee kinachohitajika kwenye hatua ya pili kimepokelewa. .
(5) Mstari wa pili uliongezwa kwa mstari wa tatu, ukizidishwa na 6.
(6) Mstari wa pili ulizidishwa na -1, mstari wa tatu uligawanywa na -83. Ni dhahiri kwamba ndege inafafanuliwa kipekee na pointi tatu tofauti ambazo hazilala kwenye mstari mmoja. Kwa hiyo, majina ya barua tatu ya ndege ni maarufu kabisa - kwa pointi zao, kwa mfano,; .Kama wanachama huru

Wacha kuwe na matrix ya mraba ya mpangilio wa nth

Matrix A -1 inaitwa matrix ya kinyume kuhusiana na matrix A, ikiwa A*A -1 = E, ambapo E ni matriki ya utambulisho wa mpangilio wa nth.

Matrix ya kitambulisho- matrix ya mraba ambayo vitu vyote kando ya diagonal kuu, kupita kutoka kona ya juu kushoto hadi kona ya chini kulia, ni moja, na iliyobaki ni sifuri, kwa mfano:

matrix ya kinyume inaweza kuwepo kwa matrices za mraba pekee hizo. kwa matiti hayo ambayo idadi ya safu na safu wima inalingana.

Nadharia ya hali ya kuwepo kwa tumbo kinyume

Ili matrix iwe na matrix inverse, ni muhimu na ya kutosha kuwa sio umoja.

Matrix A = (A1, A2,...A n) inaitwa yasiyo ya kuzorota, ikiwa vekta za safu wima zinajitegemea kimstari. Idadi ya vekta za safu wima zinazojitegemea za matrix inaitwa kiwango cha matrix. Kwa hivyo, tunaweza kusema kwamba ili matrix inverse iwepo, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix ni sawa na mwelekeo wake, i.e. r = n.

Algorithm ya kutafuta matrix inverse

Andika matrix A kwenye jedwali kwa ajili ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo kwa kutumia mbinu ya Gaussian na uikabidhi matrix E upande wa kulia (badala ya pande za mkono wa kulia za milinganyo).
Kwa kutumia mabadiliko ya Yordani, punguza matrix A hadi matrix inayojumuisha safu wima; katika kesi hii, ni muhimu kubadilisha wakati huo huo matrix E.
Ikihitajika, panga upya safu (milinganyo) ya jedwali la mwisho ili chini ya matrix A ya jedwali asili upate matrix ya utambulisho E.
Andika matrix ya kinyume A -1, ambayo iko kwenye jedwali la mwisho chini ya matrix E ya jedwali asili.

Mfano 1

Kwa matrix A, tafuta matrix A -1 kinyume

Suluhisho: Tunaandika matrix A na kukabidhi matrix ya utambulisho E kulia. Kwa kutumia mabadiliko ya Jordan, tunapunguza matrix A hadi matriki ya utambulisho E. Hesabu zimetolewa katika Jedwali 31.1.

Wacha tuangalie usahihi wa mahesabu kwa kuzidisha matrix ya asili A na matrix ya kinyume A -1.

Kama matokeo ya kuzidisha matrix, matrix ya utambulisho ilipatikana. Kwa hiyo, mahesabu yalifanyika kwa usahihi.

Jibu:

Kutatua milinganyo ya matrix

Milinganyo ya matrix inaweza kuonekana kama hii:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ambapo A, B, C ni matrices maalum, X ni matrix inayotakiwa.

Milinganyo ya matrix hutatuliwa kwa kuzidisha mlinganyo kwa hesabu za kinyume.

Kwa mfano, ili kupata matrix kutoka kwa equation, unahitaji kuzidisha equation hii kwa upande wa kushoto.

Kwa hiyo, ili kupata suluhisho la equation, unahitaji kupata matrix inverse na kuzidisha kwa tumbo upande wa kulia wa equation.

Milinganyo mingine hutatuliwa vivyo hivyo.

Mfano 2

Tatua mlinganyo AX = B ikiwa

Suluhisho: Kwa kuwa matrix inverse ni sawa na (tazama mfano 1)

Njia ya Matrix katika uchambuzi wa kiuchumi

Pamoja na wengine, pia hutumiwa njia za matrix. Njia hizi zinatokana na aljebra ya mstari na vekta-matrix. Njia hizo hutumiwa kwa madhumuni ya kuchambua matukio ya kiuchumi magumu na ya multidimensional. Mara nyingi, njia hizi hutumiwa wakati inahitajika kufanya tathmini ya kulinganisha ya utendaji wa mashirika na mgawanyiko wao wa kimuundo.

Katika mchakato wa kutumia njia za uchambuzi wa matrix, hatua kadhaa zinaweza kutofautishwa.

Katika hatua ya kwanza mfumo wa viashiria vya kiuchumi unaundwa na kwa msingi wake matrix ya data ya awali imeundwa, ambayo ni meza ambayo nambari za mfumo zinaonyeshwa katika safu zake za kibinafsi. (i = 1,2,....,n), na katika safu wima - nambari za viashiria (j = 1,2,....,m).

Katika hatua ya pili Kwa kila safu wima, kubwa zaidi ya viwango vya kiashiria vinavyopatikana hutambuliwa, ambayo inachukuliwa kama moja.

Baada ya hayo, viwango vyote vilivyoonyeshwa kwenye safu hii vinagawanywa na thamani kubwa zaidi na matrix ya coefficients sanifu huundwa.

Katika hatua ya tatu vipengele vyote vya tumbo ni mraba. Ikiwa zina umuhimu tofauti, basi kila kiashiria cha matrix kinapewa mgawo fulani wa uzito k. Thamani ya mwisho imedhamiriwa na maoni ya wataalam.

Kwenye ya mwisho, hatua ya nne imepata maadili ya ukadiriaji R j zimewekwa kwa mpangilio wa kuongezeka au kupungua kwao.

Njia za matrix zilizoainishwa zinapaswa kutumika, kwa mfano, katika uchambuzi wa kulinganisha wa miradi mbalimbali ya uwekezaji, na pia katika kutathmini viashiria vingine vya kiuchumi vya shughuli za mashirika.

Kikokotoo hiki cha mtandaoni hutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix. Suluhisho la kina sana linatolewa. Ili kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari, chagua idadi ya vigezo. Chagua mbinu ya kuhesabu matrix ya kinyume. Kisha ingiza data kwenye seli na bofya kitufe cha "Mahesabu".

Onyo

Ungependa kufuta visanduku vyote?

Funga Wazi

Maagizo ya kuingiza data. Nambari huwekwa kama nambari kamili (mifano: 487, 5, -7623, n.k.), desimali (mf. 67., 102.54, nk.) au sehemu. Sehemu lazima iingizwe katika fomu a/b, ambapo a na b ni nambari kamili au desimali. Mifano 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, nk.

Njia ya Matrix ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

Fikiria mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:

Kwa kuzingatia ufafanuzi wa matrix inverse, tunayo A −1 A=E, Wapi E- matrix ya kitambulisho. Kwa hivyo (4) inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, ili kutatua mfumo wa equations za mstari (1) (au (2)), inatosha kuzidisha kinyume cha A matrix kwa vector ya kizuizi b.

Mifano ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Mfano 1. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix:

Wacha tupate kinyume cha matrix A kwa kutumia njia ya Jordan-Gauss. Kwenye upande wa kulia wa matrix A Wacha tuandike matrix ya kitambulisho:

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 1 ya matrix chini ya diagonal kuu. Ili kufanya hivyo, ongeza mistari 2,3 na mstari wa 1, ukizidishwa na -1/3, -1/3, mtawaliwa:

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 2 ya matrix chini ya diagonal kuu. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa 3 na mstari wa 2 uliozidishwa na -24/51:

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 2 ya matrix juu ya diagonal kuu. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa 1 na mstari wa 2 uliozidishwa na -3/17:

Tenganisha upande wa kulia wa tumbo. Matrix inayosababisha ni matrix inverse ya A :

Aina ya matrix ya kuandika mfumo wa milinganyo ya mstari: Shoka=b, Wapi

Wacha tuhesabu nyongeza zote za aljebra za matrix A:

Matrix ya kinyume huhesabiwa kutoka kwa usemi ufuatao.

Matumizi ya milinganyo yameenea katika maisha yetu. Zinatumika katika mahesabu mengi, ujenzi wa miundo na hata michezo. Mwanadamu alitumia equations katika nyakati za kale, na tangu wakati huo matumizi yao yameongezeka tu. Mbinu ya matrix hukuruhusu kupata suluhu kwa SLAEs (mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari) ya utata wowote. Mchakato mzima wa kutatua SLAEs unakuja chini kwa hatua kuu mbili:

Uamuzi wa matrix ya kinyume kulingana na matrix kuu:

Kuzidisha matrix inverse inayosababisha kwa vekta ya safu wima ya suluhu.

Tuseme tumepewa SLAE ya fomu ifuatayo:

\[\kushoto\(\anza(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \mwisho(matrix)\kulia.\]

Wacha tuanze kusuluhisha equation hii kwa kuandika matrix ya mfumo:

Matrix ya upande wa kulia:

Wacha tufafanue matrix ya kinyume. Unaweza kupata matrix ya utaratibu wa 2 kama ifuatavyo: 1 - tumbo yenyewe lazima iwe isiyo ya umoja; 2 - vipengele vyake vilivyo kwenye diagonal kuu vinabadilishwa, na kwa vipengele vya diagonal ya sekondari tunabadilisha ishara kwa kinyume chake, baada ya hapo tunagawanya vipengele vinavyotokana na kiashiria cha tumbo. Tunapata:

\[\anza(pmatrix) 7 \\ 9 \mwisho(pmatrix)=\anza(pmatrix) -11 \\ 31 \mwisho(pmmatrix)\Rightarrow \anza(pmatrix) x_1 \\ x_2 \mwisho(pmmatrix) =\ start(pmmatrix) -11 \\ 31 \mwisho(pmmatrix) \]

Matrices 2 huchukuliwa kuwa sawa ikiwa vipengele vyao vinavyolingana ni sawa. Kama matokeo, tunayo jibu lifuatalo kwa suluhisho la SLAE:

Ninaweza kutatua wapi mfumo wa hesabu kwa kutumia njia ya matrix mkondoni?

Unaweza kutatua mfumo wa equations kwenye tovuti yetu. Kitatuzi cha bure mtandaoni kitakuruhusu kutatua milinganyo ya mtandaoni ya utata wowote katika suala la sekunde. Unachohitaji kufanya ni kuingiza data yako kwenye kisuluhishi. Unaweza pia kujua jinsi ya kutatua equation kwenye wavuti yetu. Na ikiwa bado una maswali, unaweza kuwauliza katika kikundi chetu cha VKontakte.

Mada ya 2. MIFUMO YA MILIngano WA ALGEBRIKI LINEAR.

Dhana za kimsingi.

Ufafanuzi 1. Mfumo m milinganyo ya mstari na n haijulikani ni mfumo wa fomu:

nambari ziko wapi na ziko wapi.

Ufafanuzi 2. Suluhisho la mfumo (I) ni seti ya vitu visivyojulikana ambapo kila mlinganyo wa mfumo huu unakuwa kitambulisho.

Ufafanuzi 3. Mfumo (I) unaitwa pamoja, ikiwa ina angalau suluhisho moja na yasiyo ya pamoja, ikiwa haina suluhu. Mfumo wa pamoja unaitwa fulani, ikiwa ina suluhisho la kipekee, na kutokuwa na uhakika vinginevyo.

Ufafanuzi 4. Mlinganyo wa fomu

kuitwa sufuri, na mlinganyo ni wa umbo

kuitwa zisizopatana. Ni wazi, mfumo wa milinganyo iliyo na mlinganyo usiooana hauwiani.

Ufafanuzi wa 5. Mifumo miwili ya milinganyo ya mstari inaitwa sawa, ikiwa kila suluhisho la mfumo mmoja hutumika kama suluhisho kwa mwingine na, kinyume chake, kila suluhisho la mfumo wa pili ni suluhisho la kwanza.

Uwakilishi wa matrix ya mfumo wa milinganyo ya mstari.

Wacha tuzingatie mfumo (I) (tazama §1).

Hebu tuashiria:

Matrix ya mgawo kwa haijulikani

Matrix - safu ya masharti ya bure

Matrix - safu ya haijulikani

Ufafanuzi 1. Matrix inaitwa matrix kuu ya mfumo(I), na matrix ni matrix iliyopanuliwa ya mfumo (I).

Kwa ufafanuzi wa usawa wa matrices, mfumo (I) unalingana na usawa wa tumbo:

Upande wa kulia wa usawa huu kwa ufafanuzi wa bidhaa ya matrices ( tazama ufafanuzi 3 § 5 sura ya 1) inaweza kuwa factorized:

, i.e.

Usawa (2) kuitwa nukuu ya matrix ya mfumo (I).

Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Weka mfumo (I) (tazama §1) m=n, i.e. idadi ya equations ni sawa na idadi ya haijulikani, na matrix kuu ya mfumo sio umoja, i.e. . Kisha mfumo (I) kutoka §1 una suluhisho la kipekee

wapi Δ = na A inayoitwa kuu kiashiria cha mfumo(I), Δ i hupatikana kutoka kwa kiashiria Δ kwa kubadilisha i th kwa safu ya wanachama huru wa mfumo (I).

Mfano: Tatua mfumo kwa kutumia mbinu ya Cramer:

Kwa fomula (3) .

Tunahesabu viashiria vya mfumo:

Ili kupata kibainishi, tulibadilisha safu wima ya kwanza kwenye kibainishi na safu wima ya masharti huru; kuchukua nafasi ya safu ya 2 katika kiashiria na safu ya masharti ya bure, tunapata; kwa njia ile ile, tukibadilisha safu ya 3 kwenye kiashiria na safu ya maneno ya bure, tunapata . Suluhisho la mfumo:

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia matriki ya kinyume.

Weka mfumo (I) (tazama §1) m=n na matrix kuu ya mfumo sio umoja. Wacha tuandike mfumo (I) kwa fomu ya matrix ( tazama §2):

kwa sababu tumbo A isiyo ya umoja, basi ina matrix inverse ( angalia Nadharia ya 1 §6 ya Sura ya 1) Wacha tuzidishe pande zote mbili za usawa (2) kwa tumbo, basi

Kwa ufafanuzi wa matrix inverse. Kutoka kwa usawa (3) tuna

Tatua mfumo kwa kutumia matrix inverse

Hebu kuashiria

Kwa mfano (§ 3) tulihesabu kibainishi, kwa hivyo, tumbo A ina matrix inverse. Kisha katika athari (4) , i.e.

. (5)

Wacha tupate matrix ( ona §6 sura ya 1)

, , ,

Njia ya Gauss.

Wacha mfumo wa milinganyo ya mstari upewe:

. (I)

Inahitajika kupata suluhisho zote za mfumo (I) au hakikisha kuwa mfumo hauendani.

Ufafanuzi 1.Wacha tuite mabadiliko ya kimsingi ya mfumo(I) hatua yoyote kati ya tatu:

1) kuvuka equation ya sifuri;

2) kuongeza kwa pande zote mbili za equation sehemu zinazolingana za equation nyingine, ikizidishwa na nambari l;

3) kubadilisha maneno katika equations ya mfumo ili wasiojulikana na idadi sawa katika equations zote kuchukua maeneo sawa, i.e. ikiwa, kwa mfano, katika equation ya 1 tulibadilisha maneno ya 2 na ya 3, basi sawa lazima ifanyike katika usawa wote wa mfumo.

Njia ya Gauss inajumuisha ukweli kwamba mfumo (I) kwa msaada wa mabadiliko ya msingi hupunguzwa kwa mfumo sawa, suluhisho ambalo linapatikana moja kwa moja au unsolvability yake imeanzishwa.

Kama ilivyofafanuliwa katika §2, mfumo (I) huamuliwa kipekee na matrix yake iliyopanuliwa na mabadiliko yoyote ya kimsingi ya mfumo (I) yanalingana na mabadiliko ya kimsingi ya tumbo iliyopanuliwa:

Ubadilishaji 1) unalingana na kufuta safu mlalo ya sifuri kwenye tumbo, mageuzi ya 2) ni sawa na kuongeza safu mlalo nyingine kwenye safu mlalo inayolingana ya matrix, ikizidishwa na nambari l, mabadiliko ya 3) ni sawa na kupanga upya safu wima kwenye tumbo.

Ni rahisi kuona kwamba, kinyume chake, kila mabadiliko ya msingi ya matrix yanafanana na mabadiliko ya msingi ya mfumo (I). Kwa sababu ya hapo juu, badala ya shughuli na mfumo (I), tutafanya kazi na matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu.

Katika tumbo, safu wima ya 1 inajumuisha coefficients kwa x 1, safu ya 2 - kutoka kwa coefficients kwa x 2 na kadhalika. Ikiwa nguzo zimepangwa upya, inapaswa kuzingatiwa kuwa hali hii inakiukwa. Kwa mfano, ikiwa tutabadilisha safu wima ya 1 na ya 2, basi safu wima ya 1 itakuwa na mgawo wa x 2, na katika safu ya 2 - coefficients kwa x 1.

Tutasuluhisha mfumo (I) kwa kutumia njia ya Gaussian.

1. Vunja safu mlalo sifuri kwenye tumbo, ikiwa ipo (yaani, ondoa milinganyo yote ya sifuri kwenye mfumo (I).

2. Wacha tuangalie ikiwa kati ya safu za matrix kuna safu ambayo vitu vyote isipokuwa ile ya mwisho ni sawa na sifuri (wacha tuite safu kama hiyo kutoendana). Kwa wazi, mstari kama huo unalingana na equation isiyo sawa katika mfumo (I), kwa hivyo, mfumo (I) hauna suluhisho na hapa ndipo mchakato unaisha.

3. Ruhusu matrix isiwe na safu mlalo zisizolingana (mfumo (I) hauna milinganyo isiyolingana). Kama 11 =0, basi tunapata katika safu ya 1 kipengele fulani (isipokuwa cha mwisho) isipokuwa sifuri na kupanga upya safu ili katika safu ya 1 hakuna sifuri katika nafasi ya 1. Sasa tutafikiria kwamba (yaani, tutabadilisha maneno yanayolingana katika milinganyo ya mfumo (I)).

4. Zidisha mstari wa 1 na uongeze matokeo kwa mstari wa 2, kisha uzidishe mstari wa 1 na uongeze matokeo na mstari wa 3, nk. Kwa wazi, mchakato huu ni sawa na kuondoa haijulikani x 1 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo (I), isipokuwa ya 1. Katika matrix mpya tunapata zero kwenye safu ya 1 chini ya kipengele ya 11:

5. Hebu tuvuke safu zote za sifuri kwenye tumbo, ikiwa kuna yoyote, na angalia ikiwa kuna safu isiyo sawa (ikiwa kuna moja, basi mfumo haufanani na suluhisho linaisha hapo). Wacha tuangalie ikiwa kutakuwa na 22 / =0, ikiwa ndio, basi katika safu mlalo ya 2 tunapata kipengele kingine isipokuwa sifuri na kupanga upya safu wima ili . Ifuatayo, zidisha vitu vya safu ya 2 kwa na kuongeza na vipengele vinavyolingana vya mstari wa 3, kisha - vipengele vya mstari wa 2 na kuongeza na vipengele vinavyolingana vya mstari wa 4, nk, mpaka tupate zero chini. 22/

Hatua zilizochukuliwa ni sawa na kuondoa haijulikani x 2 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo (I), isipokuwa ya 1 na 2. Kwa kuwa idadi ya safu ni ya mwisho, kwa hivyo baada ya idadi ndogo ya hatua tunapata kwamba mfumo hauendani, au tunaishia na matrix ya hatua ( tazama ufafanuzi 2 §7 sura ya 1) :

Wacha tuandike mfumo wa milinganyo inayolingana na matrix. Mfumo huu ni sawa na mfumo (I)

Kutoka kwa equation ya mwisho tunaelezea; badilisha katika mlinganyo uliopita, tafuta, n.k., hadi tupate .

Kumbuka 1. Kwa hivyo, wakati wa kutatua mfumo (I) kwa kutumia njia ya Gaussian, tunafika kwenye moja ya kesi zifuatazo.

1. Mfumo (I) hauendani.

2. Mfumo (I) una suluhisho la kipekee ikiwa idadi ya safu kwenye tumbo ni sawa na idadi ya haijulikani ().

3. Mfumo (I) una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho ikiwa idadi ya safu kwenye tumbo ni chini ya idadi ya haijulikani ().

Kwa hivyo nadharia ifuatayo inashikilia.

Nadharia. Mfumo wa milinganyo ya mstari ama hauendani, una suluhu la kipekee, au una idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Mifano. Tatua mfumo wa milinganyo kwa kutumia njia ya Gauss au uthibitishe kutokwenda kwake:

b) ;

a) Wacha tuandike upya mfumo uliopewa katika fomu:

Tumebadilisha milinganyo ya 1 na ya 2 ya mfumo asili ili kurahisisha hesabu (badala ya sehemu, tutafanya kazi kwa nambari kamili tu kwa kutumia upangaji upya huu).

Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa:

Hakuna mistari isiyofaa; hakuna mistari isiyoendana,; Hebu tuondoe ya 1 isiyojulikana kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo isipokuwa ya 1. Ili kufanya hivyo, zidisha vitu vya safu ya 1 ya matrix na "-2" na uwaongeze na vitu vinavyolingana vya safu ya 2, ambayo ni sawa na kuzidisha equation ya 1 na "-2" na kuiongeza na ya 2. mlingano. Kisha tunazidisha vipengele vya mstari wa 1 na "-3" na kuwaongeza kwa vipengele vinavyolingana vya mstari wa tatu, i.e. zidisha mlinganyo wa 2 wa mfumo uliopewa kwa "-3" na uiongeze kwenye mlinganyo wa 3. Tunapata

Matrix inalingana na mfumo wa equations). - (tazama ufafanuzi 3§7 wa Sura ya 1).