Kutatua milinganyo rahisi ya mstari. Mifano ngumu zaidi ya milinganyo

Mlinganyo ni usemi wa kihisabati ambao ni usawa na una kisichojulikana. Ikiwa usawa ni kweli kwa maadili yoyote yanayokubalika ya yasiyojulikana yaliyojumuishwa ndani yake, basi inaitwa kitambulisho; kwa mfano: uhusiano wa fomu (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) inashikilia kwa thamani zote za x.

Ikiwa equation iliyo na x isiyojulikana inashikilia tu maadili fulani ya x na sio kwa maadili yote ya x, kama ilivyo kwa kitambulisho, basi inaweza kuwa muhimu kuamua maadili hayo ya x ambayo equation ni halali. Thamani kama hizo za x huitwa mizizi au suluhisho la equation. Kwa mfano, nambari 5 ndio mzizi wa equation 2x + 7= 17.

Katika tawi la hisabati linaloitwa nadharia ya equation, somo kuu la utafiti ni mbinu za kutatua milinganyo. KATIKA kozi ya shule Milinganyo ya algebra hupokea umakini mkubwa.

Historia ya utafiti wa equations inarudi nyuma karne nyingi. Wanahisabati maarufu ambao walichangia maendeleo ya nadharia ya equations walikuwa:

Archimedes (c. 287–212 KK) alikuwa mwanasayansi wa kale wa Kigiriki, mwanahisabati na mekanika. Wakati wa kusoma shida moja, ambayo hupunguza mlinganyo wa ujazo, Archimedes aligundua jukumu la tabia, ambayo baadaye iliitwa ubaguzi.

Francois Viet aliishi katika karne ya 16. Alitoa mchango mkubwa katika utafiti matatizo mbalimbali hisabati. Hasa, alianzisha uteuzi wa barua kwa coefficients ya equation na kuanzisha uhusiano kati ya mizizi ya equation ya quadratic.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - mwanahisabati, mechanic, fizikia na astronomer. Mwandishi wa St. 800 hufanya kazi kwenye uchambuzi wa hisabati, milinganyo tofauti, jiometri, nadharia ya nambari, hesabu za takriban, mechanics ya mbinguni, hisabati, optics, ballistics, ujenzi wa meli, nadharia ya muziki, nk Alikuwa na ushawishi mkubwa katika maendeleo ya sayansi. Aliunda fomula (fomula za Euler) zinazoelezea kazi za trigonometric variable x kupitia kitendakazi cha kipeo.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), mwanahisabati wa Ufaransa na fundi. Amefanya utafiti bora, ikiwa ni pamoja na utafiti juu ya algebra (kazi ya ulinganifu wa mizizi ya equation, juu ya equations tofauti (nadharia ya ufumbuzi wa umoja, njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara).

J. Lagrange na A. Vandermonde ni wanahisabati wa Ufaransa. Mnamo 1771, njia ya kutatua mifumo ya equations (njia ya uingizwaji) ilitumiwa kwanza.

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - mwanahisabati wa Ujerumani. Aliandika kitabu kinachoelezea nadharia ya milinganyo ya kugawanya duara (yaani, milinganyo xn - 1 = 0), ambayo kwa njia nyingi ilikuwa mfano wa nadharia ya Galois. Mbali na hilo mbinu za kawaida kutatua milinganyo hii, ilianzisha uhusiano kati yao na ujenzi wa poligoni za kawaida. Kwa mara ya kwanza tangu wanasayansi wa zamani wa Uigiriki, alipiga hatua muhimu katika suala hili, ambayo ni: alipata maadili yote ya n ambayo mara kwa mara n-gon inaweza kujengwa kwa dira na rula. Nilisoma njia ya kuongeza. Nilihitimisha kuwa mifumo ya milinganyo inaweza kuongezwa, kugawanywa, na kuzidishwa.

O. I. Somov - aliboresha sehemu mbali mbali za hesabu na kazi muhimu na nyingi, kati yao nadharia ya hesabu fulani za algebra. digrii za juu.

Galois Evariste (1811-1832) - mtaalamu wa hisabati wa Kifaransa. Sifa yake kuu ni uundaji wa seti ya mawazo ambayo alikuja nayo kuhusiana na mwendelezo wa utafiti juu ya utatuzi wa milinganyo ya aljebra, iliyoanzishwa na J. Lagrange, N. Abel, na wengine, na kuunda nadharia ya milinganyo ya aljebra. digrii za juu na moja isiyojulikana.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Kazi yake inahusisha mbinu za kijiometri na njia za uchambuzi nadharia ya milinganyo ya sehemu tofauti. Kazi zake pia zilikuwa na athari kubwa kwa nadharia ya milinganyo isiyo ya mstari.

P. Ruffini - mtaalamu wa hisabati wa Kiitaliano. Alitumia kazi kadhaa ili kudhibitisha kutotatuliwa kwa hesabu za digrii 5, kwa utaratibu kwa kutumia kufungwa kwa seti ya mbadala.

Licha ya ukweli kwamba wanasayansi wamekuwa wakisoma milinganyo kwa muda mrefu, sayansi haijui jinsi na wakati watu walihitaji kutumia milinganyo. Inajulikana tu kuwa watu wamekuwa wakisuluhisha shida zinazoongoza kwenye suluhisho la milinganyo rahisi zaidi tangu wakati wa kuwa wanadamu. Mwingine 3 - 4 elfu miaka KK. e. Wamisri na Wababeli walijua jinsi ya kutatua milinganyo. Sheria ya kusuluhisha hesabu hizi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani walifikaje huko.

KATIKA Misri ya Kale na Babeli, njia ya nafasi ya uongo ilitumika. Equation ya shahada ya kwanza na moja isiyojulikana inaweza kupunguzwa daima kwa fomu ax + b = c, ambayo a, b, c ni integers. Kwa mujibu wa sheria shughuli za hesabu shoka = c - b,

Ikiwa b > c, basi c b ni nambari hasi. Nambari hasi hazikujulikana kwa Wamisri na watu wengine wengi wa baadaye (pamoja na nambari chanya walianza kutumika katika hisabati tu katika karne ya kumi na saba). Ili kutatua matatizo ambayo sasa tunasuluhisha na milinganyo ya shahada ya kwanza, njia ya nafasi ya uwongo ilivumbuliwa. Katika papyrus ya Ahmes, matatizo 15 yanatatuliwa kwa njia hii. Wamisri walikuwa na ishara maalum ya kuonyesha tarehe isiyojulikana, ambayo hadi siku za hivi karibuni ilisomwa "jinsi" na kutafsiriwa kwa neno "lundo" ("lundo" au "idadi isiyojulikana" ya vitengo). Sasa wanasoma kidogo bila usahihi: "ndio." Njia ya suluhisho iliyotumiwa na Ahmes inaitwa njia ya nafasi moja ya uwongo. Kutumia njia hii, milinganyo ya fomu ax = b hutatuliwa. Njia hii inahusisha kugawanya kila upande wa mlinganyo kwa a. Ilitumiwa na Wamisri na Wababiloni. U mataifa mbalimbali Njia ya nafasi mbili za uwongo ilitumiwa. Waarabu walitumia njia hii na kupata fomu ambayo ilihamishiwa kwa vitabu vya kiada vya watu wa Uropa, pamoja na Hesabu ya Magnitsky. Magnitsky anaita suluhisho "sheria ya uwongo" na anaandika katika sehemu ya kitabu chake akielezea njia hii:

Sehemu hii ni ya ujanja sana, kwa sababu unaweza kuweka kila kitu nayo. Sio tu kile kilicho katika uraia, lakini pia sayansi ya juu katika nafasi, ambayo imeorodheshwa katika nyanja ya mbinguni, kama vile wenye hekima wana mahitaji.

Yaliyomo katika mashairi ya Magnitsky yanaweza kufupishwa kwa ufupi kama ifuatavyo: sehemu hii ya hesabu ni gumu sana. Kwa msaada wake, unaweza kuhesabu sio tu kile kinachohitajika katika mazoezi ya kila siku, lakini pia hutatua maswali "ya juu" ambayo yanakabiliwa na "hekima." Magnitsky anatumia "sheria ya uwongo" kwa namna ambayo Waarabu waliitoa, wakiiita "hesabu ya makosa mawili" au "mbinu ya mizani." Wanahisabati wa India mara nyingi walitoa shida katika aya. Tatizo la Lotus:

Juu ya ziwa lenye utulivu, nusu ya kipimo juu ya maji, rangi ya lotus ilionekana. Alikua peke yake, na upepo, kama wimbi, ukampinda kando, na tena

Maua juu ya maji. Jicho la mvuvi lilimkuta mita mbili kutoka mahali alipokua. Maji ya ziwa yana kina kipi hapa? Nitakuuliza swali.

Aina za milinganyo

Milinganyo ya mstari

Milinganyo ya mstari ni milinganyo ya umbo: shoka + b = 0, ambapo a na b ni viambajengo fulani. Ikiwa a si sawa na sifuri, basi equation ina mzizi mmoja: x = - b: a (shoka + b; shoka = - b; x = - b: a.).

Kwa mfano: suluhisha mlingano wa mstari: 4x + 12 = 0.

Suluhisho: Kwa kuwa a = 4, na b = 12, basi x = - 12: 4; x = - 3.

Angalia: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Kwa kuwa 0 = 0, basi -3 ndio mzizi wa mlinganyo wa asili.

Jibu. x = -3

Ikiwa a ni sawa na sifuri na b ni sawa na sifuri, basi mzizi wa shoka ya equation + b = 0 ni nambari yoyote.

Kwa mfano:

0 = 0. Kwa kuwa 0 ni sawa na 0, basi mzizi wa equation 0x + 0 = 0 ni nambari yoyote.

Ikiwa a ni sawa na sifuri na b si sawa na sifuri, basi shoka ya equation + b = 0 haina mizizi.

Kwa mfano:

0 = 6. Kwa kuwa 0 si sawa na 6, basi 0x - 6 = 0 haina mizizi.

Mifumo ya milinganyo ya mstari.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni mfumo ambao milinganyo yote ni ya mstari.

Kusuluhisha mfumo kunamaanisha kupata suluhisho zake zote.

Kabla ya kutatua mfumo wa equations za mstari, unaweza kuamua idadi ya ufumbuzi wake.

Wacha mfumo wa milinganyo itolewe: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

Ikiwa a1 iliyogawanywa na a2 si sawa na b1 iliyogawanywa na b2, basi mfumo una suluhisho moja la kipekee.

Ikiwa a1 iliyogawanywa na a2 ni sawa na b1 iliyogawanywa na b2, lakini sawa na c1 ikigawanywa na c2, basi mfumo hauna masuluhisho.

Ikiwa a1 iliyogawanywa na a2 ni sawa na b1 iliyogawanywa na b2, na sawa na c1 ikigawanywa na c2, basi mfumo una masuluhisho mengi sana.

Mfumo wa milinganyo ambao una angalau suluhu moja huitwa samtidiga.

Mfumo wa pamoja unaitwa uhakika ikiwa una nambari ya mwisho suluhisho, na kwa muda usiojulikana ikiwa seti ya suluhisho zake hazina kikomo.

Mfumo ambao hauna suluhu moja unaitwa kutoendana au kupingana.

Njia za kutatua milinganyo ya mstari

Kuna njia kadhaa za kutatua equations za mstari:

1) Mbinu ya uteuzi. Hii ndiyo zaidi njia rahisi. Iko katika ukweli kwamba kila mtu anachaguliwa maadili halali haijulikani kwa kuhesabiwa.

Kwa mfano:

Tatua mlinganyo.

Hebu x = 1. Kisha

4 = 6. Kwa kuwa 4 si sawa na 6, basi dhana yetu kwamba x = 1 haikuwa sahihi.

Acha x = 2.

6 = 6. Kwa kuwa 6 ni sawa na 6, basi dhana yetu kwamba x = 2 ilikuwa sahihi.

Jibu: x = 2.

2) Mbinu ya kurahisisha

Njia hii inajumuisha kuhamisha maneno yote yenye haijulikani kwa upande wa kushoto, na wale wanaojulikana kwa upande wa kulia. ishara kinyume, toa zinazofanana, na ugawanye pande zote mbili za mlinganyo kwa mgawo wa kisichojulikana.

Kwa mfano:

Tatua mlinganyo.

5x - 4 = 11 + 2x;

5x - 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Jibu. x = 5.

3) Mbinu ya picha.

Inajumuisha kuunda grafu ya kazi kupewa mlinganyo. Kwa kuwa katika equation ya mstari y = 0, grafu itakuwa sambamba na kuratibu. Sehemu ya makutano ya grafu na mhimili wa x itakuwa suluhisho la mlinganyo huu.

Kwa mfano:

Tatua mlinganyo.

Acha y = 7. Kisha y = 2x + 3.

Wacha tupange kazi za hesabu zote mbili:

Njia za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

Katika darasa la saba, wanasoma njia tatu za kutatua mifumo ya equations:

1) Njia mbadala.

Njia hii inajumuisha kuelezea moja isiyojulikana katika suala la mwingine katika moja ya milinganyo. Usemi unaosababishwa hubadilishwa kuwa mlinganyo mwingine, ambao hubadilika kuwa mlinganyo na usiojulikana, na kisha hutatuliwa. Thamani inayotokana ya hii haijulikani inabadilishwa kuwa mlingano wowote wa mfumo wa asili na thamani ya pili isiyojulikana inapatikana.

Kwa mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

Wacha tubadilishe usemi unaosababisha kuwa equation nyingine:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x - 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Wacha tubadilishe thamani inayotokana na equation 3x + y = 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 - 3; y = 1.

Uchunguzi.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Jibu: x = 1; y = 1.

2) Njia ya kuongeza.

Njia hii ni kwamba ikiwa mfumo huu lina milinganyo ambayo, ikiongezwa muda kwa neno, huunda mlinganyo na isiyojulikana, kisha kwa kutatua mlingano huu, tunapata thamani ya mojawapo ya zisizojulikana. Thamani inayotokana ya hii haijulikani inabadilishwa kuwa mlingano wowote wa mfumo wa asili na thamani ya pili isiyojulikana inapatikana.

Kwa mfano:

Tatua mfumo wa milinganyo.

/3у - 2х = 5,

\5x - 3y = 4.

Wacha tusuluhishe equation inayosababisha.

3x = 9; : (3) x = 3.

Wacha tubadilishe thamani inayotokana na mlinganyo wa 3y - 2x = 5.

3у - 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Kwa hivyo x = 3; y = 3 2/3.

Uchunguzi.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Jibu. x = 3; y = 3 2/3

3) Mbinu ya picha.

Njia hii inategemea ukweli kwamba equations hupangwa katika mfumo mmoja wa kuratibu. Ikiwa grafu za equation zinaingiliana, basi kuratibu za hatua ya makutano ni suluhisho la mfumo huu. Ikiwa grafu za equation ni mistari inayofanana, basi mfumo huu hauna ufumbuzi. Ikiwa grafu za equations zitaunganishwa kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja, basi mfumo una masuluhisho mengi sana.

Kwa mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Hebu tujenge grafu za kazi y = 2x - 5 na y = 3 - 6x kwenye mfumo huo wa kuratibu.

Grafu za kazi y = 2x - 5 na y = 3 - 6x zinaingiliana kwenye hatua A (1; -3).

Kwa hiyo, suluhisho la mfumo huu wa equations itakuwa x = 1 na y = -3.

Uchunguzi.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Jibu. x = 1; y = -3.

Hitimisho

Kulingana na yote hapo juu, tunaweza kuhitimisha kuwa equations ni muhimu katika ulimwengu wa kisasa sio tu kwa kutatua shida za vitendo, lakini pia kama zana ya kisayansi. Ndio maana wanasayansi wengi wamesoma suala hili na wanaendelea kulisoma.

Mlinganyo unaowakilisha quadratic trinomial, kwa kawaida huitwa mlinganyo wa quadratic. Kwa mtazamo wa aljebra, inafafanuliwa kwa fomula a*x^2+b*x+c=0. Katika fomula hii, x ni haijulikani ambayo inahitaji kupatikana (inaitwa variable bure); a, b na c ni mgawo wa nambari. Kuna idadi ya vikwazo kuhusu vipengele vilivyoonyeshwa: kwa mfano, mgawo a haupaswi kuwa sawa na 0.

Kutatua mlinganyo: dhana ya kibaguzi

Thamani ya x isiyojulikana ambayo mlinganyo wa quadratic inageuka kuwa usawa wa kweli inaitwa mzizi wa mlingano kama huo. Ili kutatua equation ya quadratic, lazima kwanza kupata thamani ya mgawo maalum - kibaguzi, ambayo itaonyesha idadi ya mizizi ya usawa katika swali. Kibaguzi kinakokotolewa kwa kutumia fomula D=b^2-4ac. Katika kesi hii, matokeo ya hesabu yanaweza kuwa chanya, hasi au sawa na sifuri.

Ikumbukwe kwamba dhana inahitaji kwamba tu mgawo a iwe tofauti kabisa na 0. Kwa hiyo, mgawo b unaweza kuwa sawa na 0, na equation yenyewe katika kesi hii ni ya fomu a*x^2+c. =0. Katika hali kama hiyo, thamani ya mgawo wa 0 inapaswa kutumika katika fomula za kuhesabu kibaguzi na mizizi. Kwa hivyo, kibaguzi katika kesi hii kitahesabiwa kama D=-4ac.

Kutatua mlingano na kibaguzi chanya

Ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic unageuka kuwa chanya, tunaweza kuhitimisha kuwa usawa huu una mizizi miwili. Mizizi hii inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Hivyo, kuhesabu thamani ya mizizi ya equation ya quadratic saa thamani chanya ubaguzi hutumiwa maadili yanayojulikana mgawo unaopatikana katika . Kwa kutumia jumla na tofauti katika fomula ya kuhesabu mizizi, matokeo ya hesabu yatakuwa maadili mawili ambayo hufanya usawa katika swali kuwa kweli.

Kutatua mlinganyo kwa sifuri na kibaguzi hasi

Ikiwa kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic kinageuka kuwa sawa na 0, tunaweza kuhitimisha kuwa mlinganyo uliobainishwa ina mzizi mmoja. Kwa kusema, katika hali hii equation bado ina mizizi miwili, lakini kutokana na ubaguzi wa sifuri watakuwa sawa kwa kila mmoja. Katika kesi hii x=-b/2a. Ikiwa wakati wa mahesabu thamani ya kibaguzi inageuka kuwa mbaya, inapaswa kuhitimishwa kuwa equation ya quadratic inayohusika haina mizizi, ambayo ni, maadili kama hayo ya x ambayo inageuka kuwa usawa wa kweli.

N.k., ni jambo la busara kufahamiana na milinganyo ya aina zingine. Inayofuata kwenye mstari ni milinganyo ya mstari, utafiti unaolengwa ambao huanza katika masomo ya aljebra katika daraja la 7.

Ni wazi kuwa kwanza unahitaji kuelezea equation ya mstari ni nini, toa ufafanuzi wa equation ya mstari, coefficients yake, ionyeshe. fomu ya jumla. Kisha unaweza kujua ni suluhisho ngapi equation ya mstari ina kulingana na maadili ya coefficients, na jinsi mizizi hupatikana. Hii itawawezesha kuendelea na kutatua mifano, na hivyo kuunganisha nadharia iliyojifunza. Katika makala hii tutafanya hivi: tutakaa kwa undani juu ya vidokezo vyote vya kinadharia na vitendo vinavyohusiana na usawa wa mstari na suluhisho zao.

Wacha tuseme mara moja kwamba hapa tutazingatia hesabu za mstari tu na tofauti moja, na katika nakala tofauti tutasoma kanuni za suluhisho. milinganyo ya mstari yenye vigeu viwili.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlingano wa mstari ni nini?

Ufafanuzi wa equation ya mstari hutolewa kwa jinsi ilivyoandikwa. Zaidi ya hayo, katika vitabu tofauti vya hisabati na aljebra, uundaji wa ufafanuzi wa milinganyo ya mstari una tofauti fulani ambazo haziathiri kiini cha suala.

Kwa mfano, katika kitabu cha kiada cha aljebra cha darasa la 7 na Yu.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa fomu x=b, ambapo x ni variable, a na b ni baadhi ya namba, inaitwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja.

Wacha tutoe mifano ya milinganyo ya mstari ambayo inakidhi ufafanuzi uliotajwa. Kwa mfano, 5 x = 10 ni mlinganyo wa mstari wenye kigezo kimoja cha x, hapa mgawo a ni 5, na nambari b ni 10. Mfano mwingine: -2.3 · y=0 pia ni mlinganyo wa mstari, lakini yenye mabadiliko y, ambayo a=-2.3 na b=0. Na katika milinganyo ya mstari x=−2 na -x=3.33 a hazipo kwa uwazi na ni sawa na 1 na -1, mtawalia, huku katika mlingano wa kwanza b=-2, na wa pili - b=3.33.

Na mwaka mmoja mapema, katika kitabu cha hesabu cha N. Vilenkin, hesabu za mstari na moja isiyojulikana, pamoja na hesabu za fomu a x = b, pia zilizingatiwa equations ambazo zinaweza kuletwa kwa fomu hii kwa kuhamisha maneno kutoka kwa sehemu moja. ya equation hadi nyingine yenye ishara kinyume, na pia kwa kupunguza maneno sawa. Kwa mujibu wa ufafanuzi huu, equations ya fomu 5 x = 2 x + 6, nk. pia linear.

Kwa upande wake, katika kitabu cha algebra cha darasa la 7 na A. G. Mordkovich ufafanuzi ufuatao umetolewa:

Ufafanuzi.

Mlingano wa mstari na kigezo kimoja cha x ni mlinganyo wa umbo a·x+b=0, ambapo a na b ni baadhi ya nambari zinazoitwa mgawo wa mlinganyo wa mstari.

Kwa mfano, milinganyo ya mstari ya aina hii ni 2 x-12=0, hapa mgawo a ni 2, na b ni sawa na -12, na 0.2 y+4.6=0 na coefficients a=0.2 na b =4.6. Lakini wakati huo huo, kuna mifano ya milinganyo ya mstari ambayo ina umbo si a·x+b=0, lakini a·x=b, kwa mfano, 3·x=12.

Hebu, ili tusiwe na tofauti zozote katika siku zijazo, kwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja cha x na mgawo a na b tunamaanisha mlingano wa fomu a x + b = 0. Aina hii ya equation ya mstari inaonekana kuwa yenye haki zaidi, kwani milinganyo ya mstari ndiyo milinganyo ya algebra shahada ya kwanza. Na milinganyo mingine yote iliyotajwa hapo juu, pamoja na milinganyo ambayo, kwa kutumia mabadiliko sawa zimepunguzwa kwa fomu a x+b=0, tutaita milinganyo ambayo inapungua hadi milinganyo ya mstari. Kwa mbinu hii, mlinganyo 2 x+6=0 ni mlinganyo wa mstari, na 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, nk. - Hizi ni milinganyo ambayo hupungua hadi mstari.

Jinsi ya kutatua equations za mstari?

Sasa ni wakati wa kubaini jinsi milinganyo ya mstari a·x+b=0 inatatuliwa. Kwa maneno mengine, ni wakati wa kujua ikiwa equation ya mstari ina mizizi, na ikiwa ni hivyo, ni ngapi kati yao na jinsi ya kuipata.

Uwepo wa mizizi ya equation ya mstari inategemea maadili ya coefficients a na b. Katika kesi hii, equation ya mstari x+b=0 ina

mzizi pekee wa a≠0,
haina mizizi ya a=0 na b≠0,
ina mizizi mingi isiyo na kikomo ya a=0 na b=0, kwa hali ambayo nambari yoyote ni mzizi wa mlinganyo wa mstari.

Hebu tueleze jinsi matokeo haya yalipatikana.

Tunajua kwamba ili kutatua milinganyo tunaweza kuhama kutoka mlinganyo wa asili hadi milinganyo sawa, yaani, hadi milinganyo yenye mizizi sawa au, kama ile ya awali, bila mizizi. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia mabadiliko sawa yafuatayo:

kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine na ishara kinyume,
pamoja na kuzidisha au kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri.

Kwa hivyo, katika equation ya mstari na moja kutofautiana kwa fomu a x+b=0 tunaweza kuhamisha neno b kutoka upande wa kushoto hadi upande wa kulia na ishara kinyume. Katika hali hii, mlinganyo utachukua fomu a·x=−b.

Na kisha inauliza swali la kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari a. Lakini kuna jambo moja: nambari a inaweza kuwa sawa na sifuri, katika hali ambayo mgawanyiko huo hauwezekani. Ili kukabiliana na tatizo hili, kwanza tutafikiri kwamba nambari a sio sifuri, na tutazingatia kesi ya kuwa sawa na sifuri kando baadaye kidogo.

Kwa hivyo, wakati a si sawa na sifuri, basi tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation a·x=−b na a, baada ya hapo itabadilishwa kuwa fomu x=(−b):a, matokeo haya yanaweza kuwa. iliyoandikwa kwa kutumia sehemu ndogo kama.

Kwa hivyo, kwa a≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 ni sawa na mlinganyo, ambapo mzizi wake unaonekana.

Ni rahisi kuonyesha kwamba mzizi huu ni wa kipekee, yaani, equation ya mstari haina mizizi mingine. Hii inakuwezesha kufanya njia kinyume.

Wacha tuonyeshe mzizi kama x 1. Wacha tufikirie kuwa kuna mzizi mwingine wa equation ya mstari, ambayo tunaashiria kama x 2, na x 2 ≠x 1, ambayo, kwa sababu ya ufafanuzi idadi sawa kupitia tofauti ni sawa na hali x 1 −x 2 ≠0. Kwa kuwa x 1 na x 2 ni mizizi ya mlingano wa mstari a·x+b=0, basi usawa wa nambari a·x 1 +b=0 na a·x 2 +b=0 kushikilia. Tunaweza kuondoa sehemu zinazolingana za usawa huu, ambazo sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya, tuna a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, ambapo a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 na kisha a·(x 1 −x 2)=0 . Lakini usawa huu hauwezekani, kwani zote mbili a≠0 na x 1 - x 2 ≠0. Kwa hivyo tulikuja kwenye ukinzani, ambao unathibitisha upekee wa mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0.

Kwa hivyo tulitatua mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0. Matokeo ya kwanza yaliyotolewa mwanzoni mwa aya hii ni ya haki. Zimesalia mbili zaidi zinazokidhi sharti a=0.

Wakati a=0, mlingano wa mstari a·x+b=0 unachukua fomu 0·x+b=0. Kutoka kwa equation hii na mali ya kuzidisha nambari kwa sifuri inafuata kwamba haijalishi ni nambari gani tunayochukua kama x, inapobadilishwa kuwa equation 0 x + b=0, usawa wa nambari b=0 utapatikana. Usawa huu ni kweli wakati b=0, na katika hali nyingine wakati b≠0 usawa huu ni wa uongo.

Kwa hivyo, na a=0 na b=0, nambari yoyote ndio mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote kwa x kunatoa usawa sahihi wa nambari 0=0. Na wakati a=0 na b≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 hauna mizizi, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote badala ya x husababisha usawa wa nambari usio sahihi b=0.

Sababu zilizotolewa huturuhusu kuunda mfuatano wa vitendo ambao huturuhusu kutatua mlingano wowote wa mstari. Kwa hiyo, algorithm ya kutatua mlingano wa mstari ni:

Kwanza, kwa kuandika equation ya mstari, tunapata maadili ya coefficients a na b.
Ikiwa a=0 na b=0, basi mlingano huu una mizizi mingi sana, yaani, nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu wa mstari.
Ikiwa a ni nonzero, basi

mgawo b huhamishiwa upande wa kulia na ishara kinyume, na equation ya mstari inabadilishwa kuwa fomu a·x=−b,
baada ya hapo pande zote mbili za mlinganyo unaotokana hugawanywa na nambari isiyo ya kawaida A, ambayo inatoa mzizi unaotaka wa mlingano wa awali wa mstari.

Algorithm iliyoandikwa ni jibu la kina kwa swali la jinsi ya kutatua equations za mstari.

Kwa kuhitimisha hoja hii, inafaa kusema kwamba algoriti sawa inatumiwa kutatua milinganyo ya fomu a·x=b. Tofauti yake ni kwamba wakati a≠0, pande zote mbili za equation zimegawanywa mara moja na nambari hii; hapa b iko tayari katika sehemu inayohitajika ya equation na hakuna haja ya kuihamisha.

Ili kutatua hesabu za fomu x = b, algorithm ifuatayo hutumiwa:

Ikiwa a=0 na b=0, basi equation ina mizizi mingi sana, ambayo ni nambari zozote.
Ikiwa a=0 na b≠0, basi mlinganyo wa asili hauna mizizi.
Ikiwa a sio sifuri, basi pande zote mbili za equation zimegawanywa na nambari isiyo ya sifuri a, ambayo mzizi pekee wa equation hupatikana, sawa na b/a.

Mifano ya utatuzi wa milinganyo ya mstari

Tuendelee na mazoezi. Wacha tuangalie jinsi algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya mstari inatumiwa. Wacha tutoe suluhisho kwa mifano ya kawaida inayolingana na maana tofauti mgawo wa milinganyo ya mstari.

Mfano.

Tatua mlingano wa mstari 0·x−0=0.

Suluhisho.

Katika mlinganyo huu wa mstari, a=0 na b=−0 , ambayo ni sawa na b=0 . Kwa hivyo, mlinganyo huu una mizizi mingi sana; nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu.

Jibu:

x - nambari yoyote.

Mfano.

Je, equation ya mstari 0 x + 2.7 = 0 ina suluhu?

Suluhisho.

KATIKA kwa kesi hii mgawo a ni sawa na sifuri, na mgawo b wa mlinganyo huu wa mstari ni sawa na 2.7, yaani, tofauti na sifuri. Kwa hivyo, equation ya mstari haina mizizi.

Milinganyo ya mstari. Suluhisho, mifano.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Milinganyo ya mstari.

Milinganyo ya mstari sio nyingi zaidi mada tata hisabati ya shule. Lakini kuna hila zingine ambazo zinaweza kumshangaza hata mwanafunzi aliyefunzwa. Wacha tufikirie?)

Kwa kawaida equation ya mstari hufafanuliwa kama equation ya fomu:

shoka + b = 0 Wapi a na b- nambari yoyote.

2x + 7 = 0. Hapa a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Hapa a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Hapa a=12, b=1/2

Hakuna ngumu, sawa? Hasa ikiwa hautambui maneno: "Ambapo a na b ziko nambari yoyote"... Na ikiwa unaona na bila kujali kufikiri juu yake?) Baada ya yote, ikiwa a=0, b=0(nambari zozote zinawezekana?), kisha tunapata usemi wa kuchekesha:

Lakini si hivyo tu! Ikiwa, sema, a=0, A b=5, Hii inageuka kuwa kitu kisicho cha kawaida kabisa:

Ambayo inaudhi na inadhoofisha ujasiri katika hisabati, ndio ...) Hasa wakati wa mitihani. Lakini kati ya misemo hii ya kushangaza unahitaji pia kupata X! Ambayo haipo kabisa. Na, cha kushangaza, hii X ni rahisi sana kupata. Tutajifunza kufanya hivi. Katika somo hili.

Jinsi ya kutambua equation ya mstari kwa kuonekana kwake? Inategemea nini mwonekano Ujanja ni kwamba sio tu milinganyo ya fomu inayoitwa milinganyo ya mstari shoka + b = 0 , lakini pia milinganyo yoyote ambayo inaweza kupunguzwa kwa fomu hii kwa mabadiliko na kurahisisha. Na ni nani anayejua ikiwa inashuka au la?)

Mlinganyo wa mstari unaweza kutambuliwa wazi katika baadhi ya matukio. Wacha tuseme, ikiwa tunayo equation ambayo kuna haijulikani tu kwa kiwango cha kwanza na nambari. Na katika equation hakuna sehemu zilizogawanywa na haijulikani , ni muhimu! Na mgawanyiko kwa nambari, au sehemu ya nambari - hiyo inakaribishwa! Kwa mfano:

Huu ni mlinganyo wa mstari. Kuna sehemu hapa, lakini hakuna x katika mraba, mchemraba, n.k., na hakuna x katika madhehebu, i.e. Hapana mgawanyiko kwa x. Na hapa ni equation

haiwezi kuitwa mstari. Hapa X zote ziko kwenye digrii ya kwanza, lakini zipo mgawanyiko kwa kujieleza na x. Baada ya kurahisisha na mabadiliko, unaweza kupata mlinganyo wa mstari, mlinganyo wa quadratic, au chochote unachopenda.

Inabadilika kuwa haiwezekani kutambua equation ya mstari katika mfano fulani ngumu hadi karibu uitatue. Hii inasikitisha. Lakini katika mgawo, kama sheria, hawaulizi juu ya fomu ya equation, sivyo? Kazi zinauliza milinganyo kuamua. Hii inanifurahisha.)

Kutatua milinganyo ya mstari. Mifano.

Suluhisho zima la milinganyo ya mstari lina mabadiliko sawa ya milinganyo. Kwa njia, mabadiliko haya (wawili wao!) Ni msingi wa ufumbuzi milinganyo yote ya hisabati. Kwa maneno mengine, suluhisho yoyote equation huanza na mabadiliko haya. Kwa upande wa equations za mstari, ni (suluhisho) ni msingi wa mabadiliko haya na huisha na jibu kamili. Inaleta maana kufuata kiungo, sivyo?) Zaidi ya hayo, kuna mifano pia ya kutatua milinganyo ya mstari hapo.

Kwanza, acheni tuangalie mfano rahisi zaidi. Bila mitego yoyote. Tuseme tunahitaji kutatua equation hii.

x - 3 = 2 - 4x

Huu ni mlinganyo wa mstari. X zote ziko kwenye nguvu ya kwanza, hakuna mgawanyiko wa X. Lakini, kwa kweli, haijalishi kwetu ni aina gani ya equation. Tunahitaji kulitatua. Mpango hapa ni rahisi. Kusanya kila kitu na X upande wa kushoto wa equation, kila kitu bila X (nambari) upande wa kulia.

Ili kufanya hivyo unahitaji kuhamisha - 4x kwa upande wa kushoto, na mabadiliko ya ishara, bila shaka, na - 3 - kulia. Kwa njia, hii ni mabadiliko ya kwanza ya kufanana ya equations. Umeshangaa? Hii ina maana kwamba haukufuata kiungo, lakini bure ...) Tunapata:

x + 4x = 2 + 3

Hapa kuna zinazofanana, tunazingatia:

Tunahitaji nini furaha kamili? Ndio, ili kuwe na X safi upande wa kushoto! Tano iko njiani. Kuwaondoa watano kwa usaidizi mabadiliko ya pili ya kufanana ya milinganyo. Yaani, tunagawanya pande zote mbili za equation na 5. Tunapata jibu tayari:

Mfano wa kimsingi, bila shaka. Hii ni kwa ajili ya kuongeza joto.) Sio wazi kwa nini nilikumbuka mabadiliko sawa hapa? SAWA. Hebu tuchukue ng'ombe kwa pembe.) Hebu tuamue kitu kilicho imara zaidi.

Kwa mfano, hapa kuna equation:

Tunaanzia wapi? Na X - kushoto, bila X - kulia? Inaweza kuwa hivyo. Katika hatua ndogo barabara ndefu. Au unaweza kuifanya mara moja, kwa njia ya ulimwengu wote na yenye nguvu. Ikiwa, kwa kweli, una mabadiliko sawa ya equations kwenye safu yako ya ushambuliaji.

Nakuuliza swali muhimu: Ni nini hupendi zaidi kuhusu mlingano huu?

Watu 95 kati ya 100 watajibu: sehemu ! Jibu ni sahihi. Basi tuachane nazo. Kwa hiyo, tunaanza mara moja na mabadiliko ya kitambulisho cha pili. Unahitaji nini kuzidisha sehemu upande wa kushoto ili denominator ipunguzwe kabisa? Hiyo ni kweli, saa 3. Na juu ya haki? Kwa 4. Lakini hisabati inaturuhusu kuzidisha pande zote mbili idadi sawa. Tunawezaje kutoka? Hebu tuzidishe pande zote mbili kwa 12! Wale. juu dhehebu la kawaida. Kisha wote watatu na wanne watapunguzwa. Usisahau kwamba unahitaji kuzidisha kila sehemu kabisa. Hivi ndivyo hatua ya kwanza inavyoonekana:

Kupanua mabano:

Kumbuka! Nambari (x+2) Niliiweka kwenye mabano! Hii ni kwa sababu wakati wa kuzidisha sehemu, nambari nzima inazidishwa! Sasa unaweza kupunguza sehemu:

Panua mabano yaliyobaki:

Sio mfano, lakini furaha safi!) Sasa hebu tukumbuke spell kutoka madarasa ya vijana: na X - kushoto, bila X - kulia! Na utumie mabadiliko haya:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Na ugawanye sehemu zote mbili kwa 25, i.e. tumia mabadiliko ya pili tena:

Ni hayo tu. Jibu: X=0,16

Tafadhali kumbuka: kuleta mlinganyo wa asili wa kutatanisha katika fomu nzuri, tulitumia mbili (mbili tu!) mabadiliko ya utambulisho- tafsiri kushoto-kulia na mabadiliko ya ishara na kuzidisha mgawanyiko wa equation kwa nambari sawa. Hii mbinu ya ulimwengu wote! Tutafanya kazi kwa njia hii na yoyote milinganyo! Mtu yeyote kabisa. Ndio maana narudia kwa uchungu kuhusu mabadiliko haya yanayofanana kila wakati.)

Kama unaweza kuona, kanuni ya kutatua equations za mstari ni rahisi. Tunachukua equation na kurahisisha nayo mabadiliko ya utambulisho kabla ya kupokea jibu. Shida kuu hapa ziko kwenye mahesabu, sio katika kanuni ya suluhisho.

Lakini... Kuna mshangao kama huo katika mchakato wa kutatua milinganyo ya msingi zaidi ya mstari ambayo inaweza kukuingiza kwenye usingizi mkali...) Kwa bahati nzuri, kunaweza kuwa na mshangao mbili tu. Wacha tuwaite kesi maalum.

Kesi maalum katika kutatua milinganyo ya mstari.

Mshangao wa kwanza.

Tuseme umeipata equation ya msingi zaidi, kitu kama:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Kuchoshwa kidogo, tunasonga na X kwenda kushoto, bila X - kulia ... Kwa mabadiliko ya ishara, kila kitu ni kamilifu ... Tunapata:

2x-5x+3x=5-2-3

Tunahesabu, na ... oops !!! Tunapata:

Usawa huu wenyewe hauna pingamizi. Zero kweli ni sifuri. Lakini X haipo! Na lazima tuandike katika jibu, x ni sawa na nini? Vinginevyo, suluhisho halihesabu, sawa ...) Deadlock?

Tulia! Katika hali kama hizi za shaka, sheria za jumla zitakuokoa. Jinsi ya kutatua equations? Inamaanisha nini kutatua equation? Hii inamaanisha, tafuta thamani zote za x ambazo, zikibadilishwa katika mlinganyo wa asili, zitatupa usawa sahihi.

Lakini tuna usawa wa kweli tayari ilitokea! 0=0, ni sahihi zaidi kiasi gani?! Inabakia kujua ni nini x hii inatokea. Ni maadili gani ya X yanaweza kubadilishwa kuwa asili equation kama hizi x bado zitapunguzwa hadi sifuri? Njoo?)

Ndiyo!!! X inaweza kubadilishwa yoyote! Unataka zipi? Angalau 5, angalau 0.05, angalau -220. Bado watapungua. Ikiwa huniamini, unaweza kukiangalia.) Badili thamani zozote za X kwenye asili equation na kuhesabu. Wakati wote utapata ukweli mtupu: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 na kadhalika.

Hili hapa jibu lako: x - nambari yoyote.

Jibu linaweza kuandikwa kwa alama tofauti za hisabati, kiini haibadilika. Hili ni jibu sahihi na kamili.

Mshangao wa pili.

Wacha tuchukue equation ya msingi ya mstari na tubadilishe nambari moja ndani yake. Hii ndio tutaamua:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Baada ya mabadiliko sawa, tunapata kitu cha kufurahisha:

Kama hii. Tulitatua mlinganyo wa mstari na tukapata usawa wa kushangaza. Akizungumza lugha ya hisabati, tumepata usawa wa uongo. Na kuzungumza kwa lugha rahisi, hii si kweli. Rave. Lakini hata hivyo, upuuzi huu ni sababu nzuri sana uamuzi sahihi milinganyo.)

Tena tunafikiri kwa kuzingatia kanuni za jumla. Nini x, zikibadilishwa katika mlinganyo wa asili, zitatupa kweli usawa? Ndiyo, hapana! Hakuna X kama hizo. Haijalishi utaweka nini, kila kitu kitapunguzwa, ujinga tu ndio utabaki.)

Hili hapa jibu lako: hakuna suluhu.

Hili pia ni jibu kamili kabisa. Katika hisabati, majibu kama hayo mara nyingi hupatikana.

Kama hii. Sasa, natumai, kutoweka kwa X katika mchakato wa kutatua equation yoyote (sio tu ya mstari) haitakuchanganya hata kidogo. Hili tayari ni jambo linalojulikana.)

Sasa kwa kuwa tumeshughulikia hitilafu zote katika milinganyo ya mstari, inaleta maana kuzitatua.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Katika video hii tutachambua seti nzima ya milinganyo ya mstari ambayo hutatuliwa kwa kutumia algoriti sawa - ndiyo maana inaitwa rahisi zaidi.

Kwanza, hebu tufafanue: equation ya mstari ni nini na ni ipi inayoitwa rahisi zaidi?

Mlinganyo wa mstari ni ule ambao kuna tofauti moja tu, na kwa kiwango cha kwanza tu.

Equation rahisi zaidi inamaanisha ujenzi:

Equations zingine zote za mstari hupunguzwa kuwa rahisi zaidi kwa kutumia algorithm:

Panua mabano, ikiwa yapo;
Hamisha masharti yaliyo na kigezo hadi upande mmoja wa ishara sawa, na istilahi bila kigezo hadi kingine;
Kuongoza masharti yanayofanana kushoto na kulia kwa ishara sawa;
Gawanya mlinganyo unaotokana na mgawo wa tofauti $x$.

Kwa kweli, algorithm hii haisaidii kila wakati. Ukweli ni kwamba wakati mwingine baada ya mifumo hii yote mgawo wa kutofautiana $x$ hugeuka kuwa sawa na sifuri. Katika kesi hii, chaguzi mbili zinawezekana:

Mlinganyo hauna suluhu hata kidogo. Kwa mfano, kitu kama $0\cdot x=8$ kinapotokea, i.e. upande wa kushoto ni sifuri, na upande wa kulia ni nambari nyingine isipokuwa sifuri. Katika video hapa chini tutaangalia sababu kadhaa kwa nini hali hii inawezekana.
Suluhisho ni nambari zote. Kisa pekee wakati hii inawezekana ni wakati equation imepunguzwa kwa ujenzi $0\cdot x=0$. Ni sawa kabisa kwamba bila kujali $x$ tunayobadilisha, bado itageuka kuwa "sifuri ni sawa na sifuri", i.e. usawa sahihi wa nambari.

Sasa hebu tuone jinsi hii yote inavyofanya kazi kwa kutumia mifano ya maisha halisi.

Mifano ya kutatua milinganyo

Leo tunashughulika na hesabu za mstari, na zile rahisi tu. Kwa ujumla, mlinganyo wa mstari unamaanisha usawa wowote ambao una kigezo kimoja, na huenda kwa daraja la kwanza tu.

Miundo kama hiyo hutatuliwa kwa takriban njia sawa:

Kwanza kabisa, unahitaji kufungua mabano, ikiwa ipo (kama ilivyo kwenye yetu mfano wa mwisho);
Kisha kuchanganya sawa
Hatimaye, tenga kutofautiana, i.e. songa kila kitu kilichounganishwa na kibadilishaji - masharti ambayo ndani yake - kwa upande mmoja, na uhamishe kila kitu kinachobaki bila hiyo kwa upande mwingine.

Halafu, kama sheria, unahitaji kutoa sawa kwa kila upande wa usawa unaosababishwa, na baada ya hayo yote iliyobaki ni kugawanya kwa mgawo wa "x", na tutapata jibu la mwisho.

Kwa nadharia, hii inaonekana nzuri na rahisi, lakini kwa mazoezi, hata wanafunzi wa shule ya upili wenye uzoefu wanaweza kufanya makosa ya kukera katika milinganyo rahisi ya mstari. Kwa kawaida, makosa hufanywa ama wakati wa kufungua mabano au wakati wa kuhesabu "pluses" na "minuses".

Kwa kuongeza, hutokea kwamba equation ya mstari haina ufumbuzi kabisa, au kwamba suluhisho ni mstari mzima wa nambari, i.e. nambari yoyote. Tutaangalia hila hizi katika somo la leo. Lakini tutaanza, kama ulivyoelewa tayari, na sana kazi rahisi.

Mpango wa kutatua milinganyo rahisi ya mstari

Kwanza, wacha niandike tena mpango mzima wa kutatua hesabu rahisi zaidi za mstari:

Panua mabano, ikiwa yapo.
Tunatenganisha vigezo, i.e. Tunahamisha kila kitu kilicho na "X" kwa upande mmoja, na kila kitu bila "X" hadi nyingine.
Tunawasilisha masharti sawa.
Tunagawanya kila kitu kwa mgawo wa "x".

Kwa kweli, mpango huu haufanyi kazi kila wakati; kuna hila na hila ndani yake, na sasa tutazijua.

Kutatua mifano halisi ya milinganyo rahisi ya mstari

Kazi nambari 1

Hatua ya kwanza inatuhitaji tufungue mabano. Lakini hawako katika mfano huu, kwa hivyo tunawaruka hatua hii. Katika hatua ya pili tunahitaji kutenganisha vigezo. Kumbuka: tunazungumzia tu kuhusu masharti ya mtu binafsi. Hebu tuandike:

Tunawasilisha masharti sawa upande wa kushoto na kulia, lakini hii tayari imefanywa hapa. Kwa hivyo, tunaendelea kwa hatua ya nne: gawanya kwa mgawo:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Kwa hivyo tulipata jibu.

Kazi nambari 2

Tunaweza kuona mabano kwenye tatizo hili, kwa hivyo wacha tuyapanue:

Wote upande wa kushoto na wa kulia tunaona takriban muundo sawa, lakini hebu tufanye kulingana na algorithm, i.e. kutenganisha vigezo:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Hii inafanya kazi katika mizizi gani? Jibu: kwa yoyote. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwamba $x$ ni nambari yoyote.

Kazi nambari 3

Equation ya mstari wa tatu inavutia zaidi:

\[\kushoto(6-x \kulia)+\kushoto(12+x \kulia)-\kushoto(3-2x \kulia)=15\]

Kuna mabano kadhaa, lakini hayazidishi na chochote, yanatanguliwa tu ishara mbalimbali. Wacha tuyachambue:

Tunafanya hatua ya pili ambayo tayari tunaijua:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Wacha tufanye hesabu:

Tunafanya hatua ya mwisho - gawanya kila kitu kwa mgawo wa "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Mambo ya Kukumbuka Wakati wa Kutatua Milinganyo ya Mistari

Ikiwa tutapuuza kazi rahisi sana, ningependa kusema yafuatayo:

Kama nilivyosema hapo juu, sio kila equation ya mstari ina suluhisho - wakati mwingine hakuna mizizi;
Hata ikiwa kuna mizizi, kunaweza kuwa na sifuri kati yao - hakuna chochote kibaya na hilo.

Sifuri ni nambari sawa na zingine; hupaswi kuibagua kwa njia yoyote au kudhani kwamba ikiwa unapata sifuri, basi ulifanya kitu kibaya.

Kipengele kingine kinahusiana na ufunguzi wa mabano. Tafadhali kumbuka: wakati kuna "minus" mbele yao, tunaiondoa, lakini kwenye mabano tunabadilisha ishara kuwa kinyume. Na kisha tunaweza kuifungua kwa kutumia algorithms ya kawaida: tutapata kile tulichoona katika mahesabu hapo juu.

Kuelewa hili ukweli rahisi itawawezesha kuepuka kufanya makosa ya kijinga na ya kukera katika shule ya sekondari, wakati kufanya vitendo vile ni kuchukuliwa kwa urahisi.

Kutatua milinganyo changamano ya mstari

Wacha tuendelee zaidi milinganyo changamano. Sasa ujenzi utakuwa ngumu zaidi na wakati wa kufanya mabadiliko mbalimbali kazi ya quadratic itaonekana. Walakini, hatupaswi kuogopa hii, kwa sababu ikiwa, kulingana na mpango wa mwandishi, tunasuluhisha equation ya mstari, basi wakati wa mchakato wa mabadiliko monomia zote zilizo na kazi ya quadratic hakika zitaghairi.

Mfano Nambari 1

Ni wazi, hatua ya kwanza ni kufungua mabano. Wacha tufanye hivi kwa uangalifu sana:

Sasa hebu tuangalie faragha:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Kwa wazi, equation hii haina suluhu, kwa hivyo tutaandika hii katika jibu:

\[\varnothing\]

au hakuna mizizi.

Mfano Nambari 2

Tunafanya vitendo sawa. Hatua ya kwanza:

Wacha tusogeze kila kitu kwa kutofautisha kwenda kushoto, na bila hiyo - kulia:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Kwa wazi, equation hii ya mstari haina suluhu, kwa hivyo tutaiandika hivi:

\[\varnothing\],

au hakuna mizizi.

Nuances ya suluhisho

Equations zote mbili zimetatuliwa kabisa. Kwa kutumia misemo hii miwili kama mfano, tulikuwa na hakika tena kwamba hata katika milinganyo rahisi ya mstari, kila kitu kinaweza kuwa si rahisi sana: kunaweza kuwa na moja, au hakuna, au mizizi mingi sana. Kwa upande wetu, tulizingatia hesabu mbili, zote mbili hazina mizizi.

Lakini ningependa kuteka mawazo yako kwa ukweli mwingine: jinsi ya kufanya kazi na mabano na jinsi ya kuifungua ikiwa kuna ishara ya minus mbele yao. Fikiria usemi huu:

Kabla ya kufungua, unahitaji kuzidisha kila kitu kwa "X". Tafadhali kumbuka: huzidisha kila muda wa mtu binafsi. Ndani kuna maneno mawili - kwa mtiririko huo, maneno mawili na kuongezeka.

Na tu baada ya mabadiliko haya yanayoonekana kuwa ya msingi, lakini muhimu sana na hatari yamekamilika, unaweza kufungua bracket kutoka kwa mtazamo wa ukweli kwamba kuna ishara ya minus baada yake. Ndio, ndio: sasa tu, wakati mabadiliko yamekamilika, tunakumbuka kuwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa kila kitu hapa chini kinabadilisha ishara. Wakati huo huo, mabano yenyewe hupotea na, muhimu zaidi, "minus" ya mbele pia hupotea.

Tunafanya vivyo hivyo na equation ya pili:

Sio kwa bahati kwamba mimi huzingatia ukweli huu mdogo, unaoonekana kuwa duni. Kwa sababu kutatua equations daima ni mlolongo mabadiliko ya msingi, ambapo kutokuwa na uwezo wa kufanya kazi kwa uwazi na kwa ustadi hatua rahisi inaongoza kwa ukweli kwamba wanafunzi wa shule ya upili huja kwangu na tena kujifunza kutatua hesabu rahisi kama hizo.

Bila shaka, siku itakuja ambapo utaboresha ujuzi huu kwa uhakika wa moja kwa moja. Hutalazimika tena kufanya mabadiliko mengi kila wakati; utaandika kila kitu kwenye mstari mmoja. Lakini wakati unajifunza tu, unahitaji kuandika kila hatua tofauti.

Kutatua milinganyo changamano zaidi ya mstari

Kile tutakachosuluhisha sasa hakiwezi kuitwa kazi rahisi zaidi, lakini maana inabaki sawa.

Kazi nambari 1

\[\kushoto(7x+1 \kulia)\kushoto(3x-1 \kulia)-21((x)^(2))=3\]

Wacha tuzidishe vitu vyote katika sehemu ya kwanza:

Wacha tufanye faragha:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Wacha tukamilishe hatua ya mwisho:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hapa kuna jibu letu la mwisho. Na, licha ya ukweli kwamba katika mchakato wa kutatua tulikuwa na coefficients na kazi ya quadratic, walighairi kila mmoja, ambayo inafanya equation kuwa mstari na sio quadratic.

Kazi nambari 2

\[\kushoto(1-4x \kulia)\kushoto(1-3x \kulia)=6x\kushoto(2x-1 \kulia)\]

Wacha tutekeleze kwa uangalifu hatua ya kwanza: zidisha kila kipengee kutoka kwa mabano ya kwanza kwa kila kipengele kutoka kwa pili. Lazima kuwe na jumla ya istilahi nne mpya baada ya mabadiliko:

Sasa hebu tufanye kuzidisha kwa uangalifu katika kila neno:

Wacha tuhamishe maneno na "X" kushoto, na yale yasiyo - kulia:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hapa kuna maneno sawa:

Kwa mara nyingine tena tumepokea jibu la mwisho.

Nuances ya suluhisho

Ujumbe muhimu zaidi juu ya hesabu hizi mbili ni zifuatazo: mara tu tunapoanza kuzidisha mabano ambayo yana zaidi ya neno moja, hii inafanywa kulingana na sheria ifuatayo: tunachukua muhula wa kwanza kutoka kwa kwanza na kuzidisha kwa kila kipengele kutoka. ya pili; kisha tunachukua kipengele cha pili kutoka kwa kwanza na vile vile kuzidisha na kila kipengele kutoka kwa pili. Matokeo yake, tutakuwa na masharti manne.

Kuhusu jumla ya algebra

Kwa mfano huu wa mwisho, ningependa kuwakumbusha wanafunzi nini jumla ya algebra. Katika hisabati ya kitambo, kwa $1-7$ tunamaanisha ujenzi rahisi: toa saba kutoka kwa moja. Katika algebra, tunamaanisha yafuatayo kwa hili: kwa nambari "moja" tunaongeza nambari nyingine, yaani "minus saba". Hivi ndivyo jumla ya aljebra hutofautiana na jumla ya hesabu ya kawaida.

Mara tu, wakati wa kufanya mabadiliko yote, kila nyongeza na kuzidisha, unapoanza kuona miundo inayofanana na ile iliyoelezwa hapo juu, hautakuwa na shida yoyote katika algebra wakati wa kufanya kazi na polynomials na equations.

Mwishowe, wacha tuangalie mifano michache zaidi ambayo itakuwa ngumu zaidi kuliko ile tuliyotazama hivi punde, na ili kuitatua itabidi kupanua kidogo kanuni zetu za kawaida.

Kutatua milinganyo na sehemu

Ili kutatua kazi kama hizo, tutalazimika kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm yetu. Lakini kwanza, wacha nikukumbushe algorithm yetu:

Fungua mabano.
Vigezo tofauti.
Lete zinazofanana.
Gawanya kwa uwiano.

Ole, algorithm hii ya ajabu, kwa ufanisi wake wote, inageuka kuwa haifai kabisa wakati tuna sehemu mbele yetu. Na katika kile tutakachoona hapa chini, tunayo sehemu upande wa kushoto na kulia katika milinganyo yote miwili.

Jinsi ya kufanya kazi katika kesi hii? Ndiyo, ni rahisi sana! Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm, ambayo inaweza kufanywa kabla na baada ya hatua ya kwanza, yaani, kuondokana na sehemu. Kwa hivyo algorithm itakuwa kama ifuatavyo:

Ondoa sehemu.
Fungua mabano.
Vigezo tofauti.
Lete zinazofanana.
Gawanya kwa uwiano.

Inamaanisha nini "kuondoa sehemu"? Na kwa nini hii inaweza kufanywa baada na kabla ya hatua ya kwanza ya kiwango? Kwa kweli, kwa upande wetu, sehemu zote ni nambari katika denominator yao, i.e. Kila mahali denominator ni nambari tu. Kwa hivyo, ikiwa tutazidisha pande zote mbili za equation kwa nambari hii, tutaondoa sehemu.

Mfano Nambari 1

\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia))(4)=((x)^(2))-1\]

Wacha tuondoe sehemu katika equation hii:

\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)\cdot 4)(4)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]

Tafadhali kumbuka: kila kitu kinazidishwa na "nne" mara moja, i.e. kwa sababu tu una mabano mawili haimaanishi kwamba unapaswa kuzidisha kila moja kwa "nne." Hebu tuandike:

\[\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]

Sasa hebu tupanue:

Tunatenga tofauti:

Tunapunguza maneno sawa:

\[-4x=-1\kushoto| :\kushoto(-4 \kulia) \kulia.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Tumepata uamuzi wa mwisho, wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili.

Mfano Nambari 2

\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia))(5)+((x)^(2))=1\]

Hapa tunafanya vitendo vyote sawa:

\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Tatizo linatatuliwa.

Hiyo, kwa kweli, ndiyo yote nilitaka kukuambia leo.

Pointi muhimu

Matokeo muhimu ni:

Jua algoriti ya kusuluhisha milinganyo ya mstari.
Uwezo wa kufungua mabano.
Usijali ikiwa unaona kazi za quadratic, uwezekano mkubwa, katika mchakato wa mabadiliko zaidi watapungua.
Kuna aina tatu za mizizi katika milinganyo ya mstari, hata ile rahisi zaidi: mzizi mmoja, mstari mzima wa nambari ni mzizi, na hakuna mizizi kabisa.

Natumai somo hili litakusaidia kujua mada rahisi, lakini muhimu sana kwa uelewa zaidi wa hisabati zote. Ikiwa kitu haijulikani, nenda kwenye tovuti na kutatua mifano iliyotolewa hapo. Endelea kufuatilia, mambo mengi zaidi ya kuvutia yanakungoja!