Kutatua milinganyo rahisi ya logarithmic. Kutatua milinganyo ya logarithmic

Utangulizi

Kuongezeka kwa mzigo wa kiakili katika masomo ya hisabati hutufanya tufikirie jinsi ya kudumisha hamu ya wanafunzi katika nyenzo zinazosomwa na shughuli zao katika somo lote. Katika suala hili, utafutaji unaendelea wa mbinu mpya za ufundishaji bora na mbinu za mbinu ambazo zinaweza kuamsha mawazo ya wanafunzi na kuwachochea kupata ujuzi kwa kujitegemea.

Kuibuka kwa shauku ya hisabati kati ya idadi kubwa ya wanafunzi inategemea kwa kiasi kikubwa mbinu ya ufundishaji wake, jinsi kazi ya kielimu itaundwa kwa ustadi. Kuelekeza umakini wa wanafunzi kwa wakati unaofaa kwa kile hisabati inasoma. mali ya jumla vitu na matukio ya ulimwengu unaowazunguka, hayashughulikii vitu, lakini kwa dhana za kufikirika, mtu anaweza kufikia ufahamu kwamba hisabati haikiuki uhusiano na ukweli, lakini, kinyume chake, inafanya uwezekano wa kuisoma kwa undani zaidi. toa hitimisho la jumla la kinadharia ambalo hutumiwa sana katika mazoezi.

Kushiriki katika tamasha la mawazo ya ufundishaji "Somo wazi" 2004-2005 mwaka wa shule, Niliwasilisha somo-somo juu ya mada "kazi ya Logarithmic" (diploma No. 204044). Ninaona njia hii ndiyo iliyofanikiwa zaidi katika kesi hii. Kama matokeo ya kusoma, wanafunzi wana muhtasari wa kina na muhtasari mfupi wa mada, ambayo itawarahisishia kujiandaa kwa masomo yanayofuata. Hasa, juu ya mada "Uamuzi milinganyo ya logarithmic", ambayo inategemea kabisa utafiti kazi ya logarithmic na sifa zake.

Wakati wa kuunda dhana za kimsingi za hisabati, ni muhimu kuunda kwa wanafunzi wazo la kufaa kwa kuanzisha kila mmoja wao na uwezekano wa matumizi yao. Kwa kufanya hivyo, ni muhimu kwamba wakati wa kuunda ufafanuzi wa dhana fulani, kufanya kazi juu ya muundo wake wa kimantiki, maswali kuhusu historia ya tukio lake yanapaswa kuzingatiwa. dhana hii. Mbinu hii itawasaidia wanafunzi kutambua kwamba dhana mpya hutumika kama jumla ya ukweli wa ukweli.

Historia ya kuibuka kwa logarithms imewasilishwa kwa undani katika kazi ya mwaka jana.

Kwa kuzingatia umuhimu wa kuendelea kufundisha hisabati katika taasisi ya elimu ya sekondari na chuo kikuu na haja ya kuzingatia mahitaji ya sare kwa wanafunzi, ninaona kuwa inafaa kutumia njia ifuatayo kwa kuanzisha wanafunzi kutatua equations za logarithmic.

Milinganyo iliyo na kigezo chini ya ishara ya logariti (haswa, katika msingi wa logariti) huitwa. logarithmic. Fikiria milinganyo ya logarithmic ya fomu:

Suluhisho la milinganyo hii linatokana na nadharia ifuatayo.

Nadharia 1. Equation ni sawa na mfumo

(2)

Ili kutatua equation (1), inatosha kutatua equation

na kubadilisha masuluhisho yake katika mfumo wa kukosekana kwa usawa

kufafanua kikoa cha ufafanuzi wa equation (1).

Mizizi ya equation (1) itakuwa tu masuluhisho ya equation (3) yanayokidhi mfumo (4), i.e. ni mali ya kikoa cha ufafanuzi wa equation (1).

Wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic, upanuzi wa kikoa cha ufafanuzi unaweza kutokea (upataji mizizi ya nje) au kupungua (kupoteza mizizi). Kwa hiyo, kubadilisha mizizi ya equation (3) kwenye mfumo (4), i.e. uthibitisho wa suluhisho inahitajika.

Mfano 1: Tatua mlinganyo

Suluhisho:

Maana zote mbili X kukidhi masharti ya mfumo.

Jibu:

Fikiria milinganyo ya fomu:

Suluhisho lao linategemea nadharia ifuatayo

Nadharia ya 2: Equation (5) ni sawa na mfumo

(6)

Mizizi ya equation (5) itakuwa tu mizizi ya equation hiyo

ni mali ya kikoa cha ufafanuzi uliobainishwa na masharti.

Mlinganyo wa logarithmic wa fomu (5) unaweza kutatuliwa kwa njia mbalimbali. Wacha tuangalie zile kuu.

1. UWEZO (matumizi ya sifa za logarithm).

Mfano 2: Tatua mlinganyo

Suluhisho: Kwa mujibu wa Theorem 2 kupewa mlinganyo ni sawa na mfumo:

Wacha tusuluhishe equation:

Mzizi mmoja tu unakidhi masharti yote ya mfumo. Jibu:

2. KUTUMIA UFAFANUZI WA LOGARITHM .

Mfano 3: Tafuta X, Kama

Suluhisho:

Maana X= 3 ni ya kikoa cha ufafanuzi wa mlinganyo. Jibu X = 3

3. KUPUNGUZA KWA MWISHO WA ROBO.

Mfano 4: Tatua mlinganyo

Maana zote mbili X ndio mizizi ya equation.

Jibu:

4. LOGARIFTH.

Mfano 5: Tatua mlinganyo

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya pande zote mbili za equation hadi msingi wa 10 na tutumie sifa ya "logarithm of power".

Mizizi yote miwili ni ya anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kitendakazi cha logarithmic.

Jibu: X = 0,1; X = 100

5. KUPUNGUZA KWA MSINGI MMOJA.

Mfano 6: Tatua mlinganyo

Hebu tumia fomula na twende kwa msingi wa 2 logarithm kwa maneno yote:

Kisha equation hii itachukua fomu:

Kwa kuwa , basi huu ndio mzizi wa equation.

Jibu: X = 16

Sisi sote tunafahamu milinganyo madarasa ya msingi. Huko pia tulijifunza kutatua mifano rahisi zaidi, na lazima tukubali kwamba wanapata maombi yao hata ndani hisabati ya juu. Kila kitu ni rahisi na equations, ikiwa ni pamoja na equations quadratic. Ikiwa unatatizika na mada hii, tunapendekeza sana uikague.

Labda tayari umepitia logarithms pia. Walakini, tunaona kuwa ni muhimu kusema ni nini kwa wale ambao bado hawajui. Logariti inalinganishwa na nguvu ambayo msingi lazima uinulie ili kupata nambari iliyo upande wa kulia wa ishara ya logariti. Wacha tutoe mfano kulingana na ambayo kila kitu kitakuwa wazi kwako.

Ikiwa unainua 3 hadi nguvu ya nne, unapata 81. Sasa badilisha nambari kwa mlinganisho, na hatimaye utaelewa jinsi logarithms zinatatuliwa. Sasa kilichobaki ni kuchanganya dhana mbili zinazojadiliwa. Hapo awali, hali hiyo inaonekana kuwa ngumu sana, lakini kwa uchunguzi wa karibu uzito huanguka. Tuna hakika kwamba baada ya nakala hii fupi hautakuwa na shida katika sehemu hii ya Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Leo kuna njia nyingi za kutatua miundo hiyo. Tutakuambia kuhusu rahisi zaidi, yenye ufanisi zaidi na inayotumika zaidi katika kesi ya kazi za Mitihani ya Umoja wa Nchi. Utatuzi wa milinganyo ya logarithmic lazima uanze tangu mwanzo kabisa. mfano rahisi. Milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic inajumuisha chaguo za kukokotoa na kigezo kimoja ndani yake.

Ni muhimu kutambua kuwa x iko ndani ya hoja. A na b lazima ziwe nambari. Katika kesi hii, unaweza kuelezea tu kazi kwa suala la nambari kwa nguvu. Inaonekana hivi.

Bila shaka, kutatua equation ya logarithmic kwa kutumia njia hii itakuongoza kwenye jibu sahihi. Tatizo la idadi kubwa ya wanafunzi katika kesi hii ni kwamba hawaelewi ni nini kinatoka na kinatoka wapi. Matokeo yake, unapaswa kuvumilia makosa na usipate pointi zinazohitajika. Hitilafu ya kukera zaidi itakuwa ikiwa unachanganya barua. Ili kutatua equation kwa njia hii, unahitaji kukariri fomula hii ya kawaida ya shule kwa sababu ni ngumu kuelewa.

Ili iwe rahisi, unaweza kuamua njia nyingine - fomu ya kisheria. Wazo ni rahisi sana. Rejesha mawazo yako kwenye tatizo. Kumbuka kwamba herufi a ni nambari, si kitendakazi au kigeugeu. A si sawa na moja na Juu ya sifuri. Hakuna vikwazo kwa b. Sasa, kati ya fomula zote, hebu tukumbuke moja. B inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo.

Inafuata kutoka kwa hii kwamba hesabu zote za asili zilizo na logarithm zinaweza kuwakilishwa kwa fomu:

Sasa tunaweza kuacha logarithms. Matokeo yake ni kubuni rahisi, ambayo tumeona tayari mapema.

Urahisi wa formula hii iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika zaidi kesi tofauti, na sio tu kwa miundo rahisi zaidi.

Usijali kuhusu OOF!

Wanahisabati wengi wenye uzoefu watagundua kuwa hatujazingatia kikoa cha ufafanuzi. Sheria hiyo inahusishwa na ukweli kwamba F(x) lazima iwe kubwa kuliko 0. Hapana, hatukukosa hatua hii. Sasa tunazungumza juu ya faida nyingine kubwa ya fomu ya kisheria.

Hakutakuwa na mizizi ya ziada hapa. Ikiwa kutofautiana kutaonekana tu katika sehemu moja, basi upeo sio lazima. Inafanywa moja kwa moja. Ili kuthibitisha hukumu hii, jaribu kutatua mifano kadhaa rahisi.

Jinsi ya kutatua milinganyo ya logarithmic na besi tofauti

Hizi tayari ni milinganyo changamano ya logarithmic, na mbinu ya kuzitatua lazima iwe maalum. Hapa ni nadra sana kuweza kujiwekea kikomo kwa umbo la kanuni mbaya za kisheria. Hebu tuanze yetu hadithi ya kina. Tuna ujenzi ufuatao.

Makini na sehemu. Ina logarithm. Ikiwa utaona hii katika kazi, inafaa kukumbuka hila moja ya kuvutia.

Ina maana gani? Kila logariti inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logariti mbili zilizo na msingi unaofaa. Na formula hii ina kesi maalum, ambayo inatumika na mfano huu (maana ikiwa c=b).

Hii ndio sehemu tunayoona katika mfano wetu. Hivyo.

Kimsingi, tuligeuza sehemu na kupata usemi unaofaa zaidi. Kumbuka algorithm hii!

Sasa ni muhimu kwamba equation ya logarithmic haina misingi tofauti. Wacha tuwakilishe msingi kama sehemu.

Katika hisabati kuna sheria kulingana na ambayo unaweza kupata digrii kutoka kwa msingi. Matokeo yafuatayo ya ujenzi.

Inaweza kuonekana kuwa ni nini kinatuzuia sasa kugeuza usemi wetu kuwa fomu ya kisheria na kulitatua tu? Si rahisi sana. Kusiwe na sehemu kabla ya logariti. Turekebishe hali hii! Sehemu zinaruhusiwa kutumika kama digrii.

Kwa mtiririko huo.

Ikiwa besi ni sawa, tunaweza kuondoa logariti na kusawazisha misemo yenyewe. Kwa njia hii hali itakuwa rahisi zaidi kuliko ilivyokuwa. Itabaki equation ya msingi, ambayo kila mmoja wetu alijua jinsi ya kutatua nyuma katika daraja la 8 au hata la 7. Unaweza kufanya mahesabu mwenyewe.

Tumepata mzizi sahihi pekee wa mlinganyo huu wa logarithmic. Mifano ya kutatua equation ya logarithmic ni rahisi sana, sivyo? Sasa utaweza kukabiliana na hata matatizo magumu zaidi peke yako. kazi ngumu kwa ajili ya kuandaa na kufaulu Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Matokeo ni nini?

Katika kesi ya equations yoyote logarithmic, sisi kuanza kutoka moja sana kanuni muhimu. Inahitajika kutenda kwa njia ya kuleta usemi kwa kiwango cha juu mtazamo rahisi. Katika kesi hii, utakuwa na nafasi nzuri ya sio tu kutatua kazi kwa usahihi, lakini pia kuifanya kwa njia rahisi na ya mantiki iwezekanavyo. Hivi ndivyo wataalamu wa hesabu hufanya kazi kila wakati.

Tunakushauri sana usitafute njia ngumu, hasa katika kesi hii. Kumbuka chache sheria rahisi, ambayo itakuruhusu kubadilisha usemi wowote. Kwa mfano, punguza logariti mbili au tatu kwa msingi sawa au pata nguvu kutoka kwa msingi na ushinde kwa hili.

Inafaa pia kukumbuka kuwa kusuluhisha milinganyo ya logarithmic kunahitaji mazoezi ya mara kwa mara. Hatua kwa hatua utaenda kwenye miundo ngumu zaidi na zaidi, na hii itakuongoza kutatua kwa ujasiri aina zote za matatizo kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja. Jitayarishe mapema kwa mitihani yako, na bahati nzuri!

Mlinganyo wa logarithmic ni mlinganyo ambapo zisizojulikana (x) na semi zilizo nayo ziko chini ya ishara ya chaguo la kukokotoa la logarithmic. Kutatua milinganyo ya logarithmic huchukulia kuwa tayari unaifahamu na .
Jinsi ya kutatua equations za logarithmic?

Mlinganyo rahisi zaidi ni logi a x = b, ambapo a na b ni baadhi ya nambari, x haijulikani.
Kutatua mlingano wa logarithmic ni x = a b iliyotolewa: a > 0, a 1.

Ikumbukwe kwamba ikiwa x iko mahali fulani nje ya logarithm, kwa mfano logi 2 x = x-2, basi equation hiyo tayari inaitwa mchanganyiko na mbinu maalum inahitajika ili kutatua.

Kesi inayofaa ni wakati unapokutana na mlinganyo ambao nambari pekee ziko chini ya ishara ya logariti, kwa mfano x+2 = logi 2 2. Hapa inatosha kujua sifa za logarithmu ili kulitatua. Lakini bahati kama hiyo haifanyiki mara nyingi, kwa hivyo jitayarishe kwa mambo magumu zaidi.

Lakini kwanza, hebu tuanze na milinganyo rahisi. Ili kuzitatua, ni kuhitajika kuwa na zaidi wazo la jumla kuhusu logarithm.

Kutatua milinganyo rahisi ya logarithmic

Hizi ni pamoja na milinganyo ya aina ya logi 2 x = logi 2 16. Jicho pekee linaweza kuona kwamba kwa kuacha ishara ya logarithm tunapata x = 16.

Ili kutatua equation ngumu zaidi ya logarithmic, kawaida hupunguzwa ili kutatua kawaida mlinganyo wa algebra au kwa suluhisho la mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic a x = b. Katika equations rahisi hii hutokea katika harakati moja, ndiyo sababu wanaitwa rahisi zaidi.

Njia iliyo hapo juu ya kuacha logariti ni mojawapo ya njia kuu za kutatua milinganyo ya logarithmic na usawa. Katika hisabati, operesheni hii inaitwa potentiation. Kuna sheria fulani au vikwazo kwa aina hii ya uendeshaji:

logarithm zina misingi ya nambari sawa
Logarithms katika pande zote mbili za equation ni bure, i.e. bila coefficients yoyote na nyingine aina mbalimbali maneno.

Hebu tuseme katika logi ya equation 2 x = 2log 2 (1 - x) uwezekano hautumiki - mgawo 2 upande wa kulia hauruhusu. Katika mfano unaofuata, logi 2 x + logi 2 (1 - x) = logi 2 (1 + x) pia haikidhi moja ya vikwazo - kuna logarithms mbili upande wa kushoto. Ikiwa kungekuwa na moja tu, lingekuwa jambo tofauti kabisa!

Kwa ujumla, unaweza kuondoa logarithm ikiwa tu equation ina fomu:

logi a (...) = logi a (...)

Kabisa maneno yoyote yanaweza kuwekwa kwenye mabano hii haina athari kabisa kwenye uendeshaji wa uwezo. Na baada ya kuondoa logarithms, equation rahisi itabaki - linear, quadratic, exponential, nk, ambayo, natumaini, tayari unajua jinsi ya kutatua.

Hebu tuchukue mfano mwingine:

logi 3 (2x-5) = logi 3 x

Tunatumia uwezo, tunapata:

logi 3 (2x-1) = 2

Kulingana na ufafanuzi wa logariti, yaani, kwamba logariti ni nambari ambayo msingi unapaswa kuinuliwa ili kupata usemi ulio chini ya ishara ya logarithm, i.e. (4x-1), tunapata:

Tena tulipokea jibu zuri. Hapa tulifanya bila kuondoa logariti, lakini uwezekano pia unatumika hapa, kwa sababu logarithm inaweza kufanywa kutoka kwa nambari yoyote, na haswa ile tunayohitaji. Njia hii inasaidia sana katika kutatua milinganyo ya logarithmic na hasa ukosefu wa usawa.

Wacha tusuluhishe logi yetu ya mlinganyo wa logarithmic 3 (2x-1) = 2 kwa kutumia uwezekano:

Wacha tufikirie nambari 2 kama logarithm, kwa mfano, logi hii 3 9, kwa sababu 3 2 =9.

Kisha logi 3 (2x-1) = logi 3 9 na tena tunapata equation sawa 2x-1 = 9. Natumaini kila kitu ni wazi.

Kwa hivyo tuliangalia jinsi ya kutatua milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic, ambayo kwa kweli ni muhimu sana, kwa sababu kutatua milinganyo ya logarithmic, hata zile za kutisha zaidi na zilizopotoka, mwishowe daima huja chini ya kutatua milinganyo rahisi zaidi.

Katika kila kitu tulichofanya hapo juu, tulikosa moja sana hatua muhimu, ambayo baadaye itakuwa nayo jukumu la maamuzi. Ukweli ni kwamba suluhisho la equation yoyote ya logarithmic, hata ya msingi zaidi, ina sehemu mbili sawa. Ya kwanza ni suluhisho la equation yenyewe, ya pili inafanya kazi na eneo hilo maadili yanayokubalika(ODZ). Hii ndio sehemu ya kwanza ambayo tumeijua vizuri. Katika mifano hapo juu, ODZ haiathiri jibu kwa njia yoyote, kwa hiyo hatukuzingatia.

Hebu tuchukue mfano mwingine:

logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)

Kwa nje, equation hii sio tofauti na ya msingi, ambayo inaweza kutatuliwa kwa mafanikio sana. Lakini si hivyo. Hapana, kwa kweli tutasuluhisha, lakini uwezekano mkubwa sio sahihi, kwa sababu ina shambulio ndogo, ambalo wanafunzi wa daraja la C na wanafunzi bora huanguka ndani yake mara moja. Hebu tuangalie kwa karibu.

Wacha tuseme unahitaji kupata mzizi wa equation au jumla ya mizizi, ikiwa kuna kadhaa yao:

logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)

Tunatumia potentiation, inakubalika hapa. Kama matokeo, tunapata equation ya kawaida ya quadratic.

Kupata mizizi ya equation:

Iligeuka mizizi miwili.

Jibu: 3 na -1

Kwa mtazamo wa kwanza kila kitu ni sawa. Lakini wacha tuangalie matokeo na tuibadilishe katika equation ya asili.

Wacha tuanze na x 1 = 3:

kumbukumbu 3 6 = kumbukumbu 3 6

Cheki ilifanikiwa, sasa foleni ni x 2 = -1:

logi 3 (-2) = logi 3 (-2)

Sawa, acha! Kwa nje kila kitu ni kamili. Jambo moja - hakuna logarithms kutoka kwa nambari hasi! Hii ina maana kwamba mzizi x = -1 haifai kwa kutatua equation yetu. Na kwa hivyo jibu sahihi litakuwa 3, sio 2, kama tulivyoandika.

Hapa ndipo ODZ ilipocheza nafasi yake mbaya, ambayo tulikuwa tumeisahau.

Acha nikukumbushe kwamba anuwai ya maadili yanayokubalika ni pamoja na maadili ya x ambayo yanaruhusiwa au mantiki kwa mfano asili.

Bila ODZ, suluhisho lolote, hata sahihi kabisa, la equation yoyote inageuka kuwa bahati nasibu - 50/50.

Tuliwezaje kukamatwa wakati wa kuamua kile kilichoonekana kuwa mfano msingi? Lakini haswa wakati wa uwezekano. Logarithms ilipotea, na pamoja nao vikwazo vyote.

Nini cha kufanya katika kesi hii? Je, unakataa kuondoa logariti? Na kukataa kabisa kutatua equation hii?

Hapana, sisi tu, kama mashujaa wa kweli kutoka kwa wimbo mmoja maarufu, tutapotoka!

Kabla ya kuanza kusuluhisha mlinganyo wowote wa logarithmic, tutaandika ODZ. Lakini baada ya hayo, unaweza kufanya chochote ambacho moyo wako unatamani na equation yetu. Baada ya kupokea jibu, tunatupa tu mizizi hiyo ambayo haijajumuishwa kwenye ODZ yetu na kuandika toleo la mwisho.

Sasa hebu tuamue jinsi ya kurekodi ODZ. Ili kufanya hivyo, tunachunguza kwa uangalifu equation ya asili na kutafuta maeneo ya kutiliwa shaka ndani yake, kama vile mgawanyiko kwa x, mzizi. hata shahada Nakadhalika. Hadi tumetatua equation, hatujui x ni sawa na nini, lakini tunajua kwa hakika kwamba kuna x ambayo, ikibadilishwa, itatoa mgawanyiko kwa 0 au kuchukua mizizi ya mraba ya. nambari hasi, ni wazi hazifai kama jibu. Kwa hivyo, x kama hizo hazikubaliki, wakati zingine zitaunda ODZ.

Wacha tutumie equation sawa tena:

logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)

Kama unaweza kuona, hakuna mgawanyiko kwa 0, mizizi ya mraba pia sivyo, lakini kuna misemo yenye x kwenye mwili wa logariti. Wacha tukumbuke mara moja kuwa usemi ndani ya logarithm lazima iwe >0 kila wakati. Tunaandika hali hii kwa namna ya ODZ:

Wale. Bado hatujasuluhisha chochote, lakini tayari tumeandika sharti la lazima kwa usemi mzima wa sublogarithmic. Brace ya curly inamaanisha kuwa masharti haya lazima yawe kweli kwa wakati mmoja.

ODZ imeandikwa, lakini pia ni muhimu kutatua mfumo unaosababishwa wa kutofautiana, ambayo ndiyo tutafanya. Tunapata jibu x > v3. Sasa tunajua kwa hakika ambayo x haitatufaa. Na kisha tunaanza kusuluhisha equation ya logarithmic yenyewe, ambayo ndio tulifanya hapo juu.

Baada ya kupokea majibu x 1 = 3 na x 2 = -1, ni rahisi kuona kwamba tu x1 = 3 inafaa sisi, na tunaandika kama jibu la mwisho.

Kwa siku zijazo, ni muhimu sana kukumbuka yafuatayo: tunatatua equation yoyote ya logarithmic katika hatua 2. Ya kwanza ni kutatua equation yenyewe, pili ni kutatua hali ya ODZ. Hatua zote mbili zinafanywa kwa kujitegemea na zinalinganishwa tu wakati wa kuandika jibu, i.e. Tupa kila kitu kisichohitajika na uandike jibu sahihi.

Ili kuimarisha nyenzo, tunapendekeza sana kutazama video:

Video inaonyesha mifano mingine ya kutatua logi. equations na kufanya mazoezi ya njia ya muda katika mazoezi.

Kwa swali hili, jinsi ya kutatua milinganyo ya logarithmic Ni hayo tu kwa sasa. Ikiwa kitu kimeamua na logi. equations bado hazieleweki au hazieleweki, andika maswali yako kwenye maoni.

Kumbuka: Chuo cha Elimu ya Jamii (ASE) kiko tayari kupokea wanafunzi wapya.

Milinganyo ya logarithmic. Kutoka rahisi hadi ngumu.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu maalum 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Mlinganyo wa logarithmic ni nini?

Huu ni mlinganyo wenye logariti. Ninashangaa, sawa?) Kisha nitafafanua. Huu ni mlinganyo ambao haijulikani (x's) na misemo pamoja nao hupatikana ndani logarithms. Na hapo tu! Ni muhimu.

Hapa kuna baadhi ya mifano milinganyo ya logarithmic:

kumbukumbu 3 x = kumbukumbu 3 9

logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)

logi x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Kweli, unaelewa ... )

Kumbuka! Maneno tofauti zaidi na X yanapatikana pekee ndani ya logariti. Ikiwa, ghafla, X inaonekana mahali fulani katika equation nje, Kwa mfano:

kumbukumbu 2 x = 3+x,

hii itakuwa equation aina mchanganyiko. Equations kama hizo hazina sheria wazi za kuzitatua. Hatutazizingatia kwa sasa. Kwa njia, kuna equations ambapo ndani ya logarithms nambari pekee. Kwa mfano:

Naweza kusema nini? Una bahati ikiwa utapata hii! Logarithm yenye nambari ni nambari fulani. Ni hayo tu. Kutosha kujua sifa za logarithm, kutatua equation kama hiyo. Maarifa sheria maalum, mbinu ilichukuliwa mahsusi kutatua milinganyo ya logarithmic, haihitajiki hapa.

Kwa hiyo, mlinganyo wa logarithmic ni nini- tulifikiria.

Jinsi ya kutatua equations za logarithmic?

Suluhisho milinganyo ya logarithmic- jambo hilo kwa kweli si rahisi sana. Kwa hivyo sehemu yetu ni nne ... Kiasi cha maarifa cha kutosha juu ya kila aina ya mada zinazohusiana inahitajika. Kwa kuongeza, kuna kipengele maalum katika equations hizi. Na kipengele hiki ni muhimu sana kwamba kinaweza kuitwa kwa usalama tatizo kuu katika kutatua milinganyo ya logarithmic. Tutashughulikia tatizo hili kwa undani katika somo linalofuata.

Kwa sasa, usijali. Tutaenda njia sahihi kutoka rahisi hadi ngumu. Washa mifano maalum. Jambo kuu ni kujishughulisha na mambo rahisi na usiwe wavivu kufuata viungo, ninawaweka huko kwa sababu ... Na kila kitu kitafanya kazi kwako. Lazima.

Wacha tuanze na hesabu za msingi, rahisi zaidi. Ili kuzitatua, inashauriwa kuwa na wazo la logarithm, lakini hakuna zaidi. Hakuna wazo tu logariti, kuchukua uamuzi logarithmic equations - kwa namna fulani hata awkward ... Ujasiri sana, napenda kusema).

Milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic.

Hizi ni equations za fomu:

1. logi 3 x = logi 3 9

2. logi 7 (2x-3) = logi 7 x

3. logi 7 (50x-1) = 2

Mchakato wa suluhisho mlinganyo wowote wa logarithmic inajumuisha mageuzi kutoka kwa mlinganyo wenye logariti hadi mlinganyo bila wao. Katika milinganyo rahisi zaidi mpito huu unafanywa kwa hatua moja. Ndio maana wao ndio rahisi zaidi.)

Na milinganyo kama hii ya logarithmic ni rahisi kusuluhisha kwa kushangaza. Jionee mwenyewe.

Wacha tusuluhishe mfano wa kwanza:

kumbukumbu 3 x = kumbukumbu 3 9

Ili kutatua mfano huu, huna haja ya kujua karibu chochote, ndiyo ... Purely intuition!) Tunahitaji nini? hasa haupendi mfano huu? Nini-nini... Sipendi logariti! Haki. Basi tuachane nazo. Tunaangalia kwa karibu mfano, na tuna hamu ya asili... Haizuiliki kabisa! Kuchukua na kutupa logarithm kabisa. Na jema ni hilo Je! fanya! Hisabati inaruhusu. Logarithms hupotea jibu ni:

Kubwa, sawa? Hii inaweza (na inapaswa) kufanywa kila wakati. Kuondoa logariti kwa njia hii ni mojawapo ya njia kuu za kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Katika hisabati operesheni hii inaitwa uwezo. Kwa kweli, kuna sheria za kufilisi kama hizo, lakini ni chache. Kumbuka:

Unaweza kuondoa logarithm bila hofu yoyote ikiwa wana:

a) misingi sawa ya nambari

c) logariti kutoka kushoto kwenda kulia ni safi (bila coefficients yoyote) na ziko katika kutengwa kwa uzuri.

Hebu nifafanue hoja ya mwisho. Katika equation, tuseme

logi 3 x = 2logi 3 (3x-1)

Logarithm haiwezi kuondolewa. Mbili upande wa kulia hairuhusu. Mgawo, unajua ... Katika mfano

logi 3 x+logi 3 (x+1) = logi 3 (3+x)

Pia haiwezekani kuimarisha equation. Hakuna logarithm pekee upande wa kushoto. Kuna wawili kati yao.

Kwa kifupi, unaweza kuondoa logarithm ikiwa equation inaonekana kama hii na tu kama hii:

logi a (.....) = logi a (.....)

Katika mabano, ambapo kuna ellipsis, kunaweza kuwa maneno yoyote. Rahisi, ngumu sana, kila aina. Vyovyote. Jambo muhimu ni kwamba baada ya kuondoa logarithms tunaachwa equation rahisi zaidi. Inachukuliwa, bila shaka, kwamba uamuzi mstari, mraba, sehemu, dalili Tayari unajua jinsi ya kufanya milinganyo mingine bila logariti.)

Sasa unaweza kutatua kwa urahisi mfano wa pili:

logi 7 (2x-3) = gogo 7 x

Kwa kweli, imeamua katika akili. Tunaweza, tunapata:

Kweli, ni ngumu sana?) Kama unavyoona, logarithmic sehemu ya suluhisho la equation ni tu katika kuondoa logarithm ... Na kisha inakuja suluhisho la equation iliyobaki bila wao. Jambo dogo.

Wacha tusuluhishe mfano wa tatu:

logi 7 (50x-1) = 2

Tunaona kwamba kuna logarithm upande wa kushoto:

Tukumbuke kwamba logariti hii ni nambari ambayo msingi lazima uinulie (yaani saba) ili kupata usemi wa sublogarithmic, i.e. (50x-1).

Lakini nambari hii ni mbili! Kulingana na Eq. Hiyo ni:

Hiyo ni kimsingi yote. Logarithm kutoweka, Kinachobaki ni equation isiyo na madhara:

Tulitatua mlingano huu wa logarithmic kulingana na maana ya logariti pekee. Je, bado ni rahisi kuondoa logarithm?) Ninakubali. Kwa njia, ukitengeneza logarithm kutoka kwa mbili, unaweza kutatua mfano huu kwa kuondoa. Nambari yoyote inaweza kufanywa kuwa logarithm. Aidha, njia tunayohitaji. Sana hila muhimu katika kutatua milinganyo ya logarithmic na (hasa!) kutofautiana.

Sijui jinsi ya kutengeneza logariti kutoka kwa nambari!? Ni sawa. KATIKA Sehemu ya 555 mbinu hii imeelezwa kwa kina. Unaweza kuijua vizuri na kuitumia kikamilifu! Inapunguza sana idadi ya makosa.

Equation ya nne inatatuliwa kwa njia inayofanana kabisa (kwa ufafanuzi):

Ni hayo tu.

Hebu tufanye muhtasari wa somo hili. Tuliangalia suluhisho la milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic kwa kutumia mifano. Ni muhimu sana. Na si tu kwa sababu equations vile kuonekana katika vipimo na mitihani. Ukweli ni kwamba hata equations mbaya zaidi na ngumu ni lazima kupunguzwa kwa rahisi zaidi!

Kwa kweli, milinganyo rahisi zaidi ni sehemu ya mwisho ya suluhisho yoyote milinganyo. Na sehemu hii ya mwisho lazima ieleweke madhubuti! Na zaidi. Hakikisha umesoma ukurasa huu hadi mwisho. Kuna mshangao ...)

Sasa tunaamua wenyewe. Wacha tuwe bora, kwa kusema ...)

Tafuta mzizi (au jumla ya mizizi, ikiwa kuna kadhaa) ya hesabu:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

logi 2 (x 2 +32) = logi 2 (12x)

logi 16 (0.5x-1.5) = 0.25

logi 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

logi 2 (14x) = logi 2 7 + 2

Majibu (katika hali mbaya, bila shaka): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Nini, si kila kitu kinafanya kazi? Hutokea. Usijali! KATIKA Sehemu ya 555 Suluhisho la mifano hii yote limeelezewa kwa uwazi na kwa undani. Hakika utaijua hapo. Na muhimu pia mbinu za vitendo bwana yake.

Kila kitu kilifanyika!? Mifano yote ya "mmoja aliyesalia"?) Hongera!

Ni wakati wa kukufunulia ukweli mchungu. Suluhisho la mafanikio Kutumia mifano hii hakuhakikishii mafanikio katika kutatua milinganyo mingine yote ya logarithmic. Hata zile rahisi zaidi kama hizi. Ole!

Ukweli ni kwamba suluhisho la equation yoyote ya logarithmic (hata ya msingi zaidi!) inajumuisha sehemu mbili sawa. Kutatua equation na kufanya kazi na ODZ. Tumefahamu sehemu moja - kutatua equation yenyewe. Sio ngumu hivyo haki?

Kwa somo hili, nilichagua mifano maalum ambayo DL haiathiri jibu kwa njia yoyote. Lakini sio kila mtu ni mkarimu kama mimi, sivyo?...)

Kwa hivyo, ni muhimu kusimamia sehemu nyingine. ODZ. Ndivyo ilivyo tatizo kuu katika kutatua milinganyo ya logarithmic. Na sio kwa sababu ni ngumu - sehemu hii ni rahisi zaidi kuliko ya kwanza. Lakini kwa sababu watu husahau tu kuhusu ODZ. Au hawajui. Au zote mbili). Na wanaanguka nje ya bluu ...

Katika somo linalofuata tutashughulikia tatizo hili. Kisha unaweza kuamua kwa ujasiri yoyote milinganyo rahisi ya logarithmic na inakaribia kazi ngumu kabisa.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.