Suluhisho la pembetatu ya kulia. Jinsi ya kupata pande za pembetatu sahihi? Misingi ya jiometri Jinsi ya kupata mguu kujua hypotenuse na mguu

Kwa kutumia kikokotoo, toa mzizi wa mraba wa tofauti kati ya hypotenuse ya mraba na mguu unaojulikana pia kuwa mraba. Mguu ni upande wa pembetatu ya kulia iliyo karibu na pembe ya kulia. Usemi huu unatokana na nadharia ya Pythagorean, ambayo inasema kwamba mraba wa hypotenuse ya pembetatu ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.

Kabla ya kuangalia njia tofauti za kupata mguu katika pembetatu ya kulia, hebu tuchukue nukuu fulani. Angalia ni ipi kati ya kesi zilizoorodheshwa inalingana na hali ya kazi yako na, kulingana na hili, fuata aya inayofaa. Jua ni idadi gani unayojua katika pembetatu inayohusika. Tumia usemi ufuatao kuhesabu mguu: a=sqrt(c^2-b^2), ikiwa unajua maadili ya hypotenuse na mguu mwingine.

Uhusiano kati ya pande na pembe za takwimu hii ya kijiometri hujadiliwa kwa undani katika taaluma ya hisabati ya trigonometry. Ili kutumia mlinganyo huu, unahitaji kujua urefu wa pande zote mbili za pembetatu ya kulia.

Kuhesabu urefu wa moja ya miguu ikiwa vipimo vya hypotenuse na mguu mwingine vinajulikana. Ikiwa tatizo linabainisha hypotenuse na mojawapo ya pembe kali karibu nayo, tumia meza za Bradis.

Pembetatu ya ndani itakuwa sawa na ya nje, kwa kuwa mistari ya kati ni sawa na miguu na hypotenuse, na ni sawa na nusu zao, kwa mtiririko huo. Kwa kuwa hypotenuse haijulikani, ili kupata mstari wa kati M_c unahitaji kubadilisha radical kutoka theorem ya Pythagorean.

Hypotenuse ndio upande mrefu zaidi wa pembetatu ya kulia. Iko kinyume na pembe ya kulia. Urefu wa hypotenuse unaweza kupatikana kwa njia mbalimbali. Ikiwa urefu wa miguu yote miwili hujulikana, basi ukubwa wake huhesabiwa kwa kutumia theorem ya Pythagorean: jumla ya mraba wa miguu miwili ni sawa na mraba wa hypotenuse. Kujua kwamba jumla ya pembe zote ni 180 °, toa pembe ya kulia na inayojulikana tayari.

Wakati wa kuhesabu vigezo vya pembetatu ya kulia, ni muhimu kuzingatia maadili yanayojulikana na kutatua tatizo kwa kutumia formula rahisi zaidi. Kwanza, hebu tukumbuke pembetatu sahihi ni nini. Pembetatu ya kulia ni takwimu ya kijiometri ya sehemu tatu zinazounganisha pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, na moja ya pembe za takwimu hii ni digrii 90. Kuna njia kadhaa za kujua urefu wa mguu.

Mfumo: c²=a²+b², ambapo c ni hypotenuse, a na b ni miguu

Ikiwa tunajua hypotenuse na mguu, basi tunaweza kupata urefu wa mguu usiojulikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Inaonekana kama hii: "Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu." Kuna chaguzi nne za kutafuta mguu kwa kutumia kazi za trigonometric: sine, cosine, tangent, cotangent. Sini ya pembe (dhambi) ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse. Mfumo: sin=a/c, ambapo a ni mguu kinyume na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse.

Sifa zisizo za kawaida za pembetatu za kulia ziligunduliwa na mwanasayansi wa zamani wa Uigiriki Pythagoras, ambaye aligundua kuwa mraba wa hypotenuse katika pembetatu kama hizo ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.

Mwinuko ni upenyo unaoenea kutoka kwenye kipeo chochote cha pembetatu hadi upande wa kinyume (au kuendelea kwake, kwa pembetatu yenye pembe iliyofifia). Urefu wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja, inayoitwa orthocenter. Ikiwa ni pembetatu ya kulia ya kiholela, basi hakuna data ya kutosha.

Pia ni muhimu kujua maadili ya kazi za trigonometric kwa pembe za kawaida za digrii 30, 45, 60, 90, 180. Ikiwa hali zinataja vipimo vya miguu, pata urefu wa hypotenuse. Katika maisha, mara nyingi tutalazimika kushughulika na shida za hesabu: shuleni, chuo kikuu, na kisha kumsaidia mtoto wetu na kazi za nyumbani.

Ifuatayo, tunabadilisha fomula na kupata: a=sin*c

Ili kutatua matatizo, jedwali hapa chini litatusaidia. Hebu fikiria chaguzi hizi. Kesi maalum ya kuvutia ni wakati moja ya pembe za papo hapo ni sawa na digrii 30.

Watu katika taaluma fulani watakutana na hisabati kila siku.

Unaweza pia kupata mguu usiojulikana ikiwa upande mwingine wowote na pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inajulikana. Tafuta upande wa pembetatu ya kulia kwa kutumia nadharia ya Pythagorean. Pia, pande za pembetatu ya kulia zinaweza kupatikana kwa kutumia fomula mbalimbali kulingana na idadi ya vigezo vinavyojulikana.

Maagizo

Pembe zilizo kinyume na miguu a na b zitaonyeshwa na A na B, kwa mtiririko huo, hypotenuse, kwa ufafanuzi, ni upande wa pembetatu ya kulia ambayo ni kinyume na pembe ya kulia (wakati hypotenuse inaunda pembe za papo hapo na pande zingine za pembetatu. pembetatu). Tunaashiria urefu wa hypotenuse kwa c.

Utahitaji:
Kikokotoo.

Tumia usemi ufuatao kwa mguu: a=sqrt(c^2-b^2), ikiwa unajua maadili ya hypotenuse na mguu mwingine. Usemi huu unatokana na nadharia ya Pythagorean, ambayo inasema kwamba mraba wa hypotenuse ya pembetatu ni sawa na jumla ya mraba wa miguu. Opereta ya sqrt inasimamia kuchukua mizizi ya mraba. Ishara "^2" inamaanisha kuinua kwa nguvu ya pili.

Tumia fomula a=c*sinA ikiwa unajua hypotenuse (c) na pembe iliyo kinyume na mguu unaotaka (tuliashiria pembe hii kama A).
Tumia usemi a=c*cosB kupata mguu ikiwa unajua hypotenuse (c) na pembe iliyo karibu na mguu unaotaka (tuliashiria pembe hii kama B).
Piga hesabu ya mguu kwa kutumia formula a=b*tgA katika kesi ambapo mguu b na pembe kinyume na mguu unaotaka hutolewa (tulikubali kuashiria pembe hii kama A).

Kumbuka:
Ikiwa katika tatizo lako mguu haupatikani kwa njia yoyote iliyoelezwa, uwezekano mkubwa unaweza kupunguzwa kwa mmoja wao.

Vidokezo vya Kusaidia:
Maneno haya yote yanapatikana kutoka kwa ufafanuzi unaojulikana wa kazi za trigonometric, kwa hiyo, hata ukisahau mojawapo yao, unaweza kuipata haraka kwa kutumia shughuli rahisi. Pia ni muhimu kujua maadili ya kazi za trigonometric kwa pembe za kawaida za digrii 30, 45, 60, 90, 180.

Baada ya kusoma mada kuhusu pembetatu sahihi, wanafunzi mara nyingi husahau habari zote kuwahusu. Ikiwa ni pamoja na jinsi ya kupata hypotenuse, bila kutaja ni nini.

Na bure. Kwa sababu katika siku zijazo diagonal ya mstatili inageuka kuwa hypotenuse hii sana, na inahitaji kupatikana. Au kipenyo cha mduara sanjari na upande mkubwa zaidi wa pembetatu, moja ya pembe ambayo ni sawa. Na haiwezekani kuipata bila ujuzi huu.

Kuna chaguzi kadhaa za kupata hypotenuse ya pembetatu. Uchaguzi wa njia inategemea data ya awali iliyowekwa katika tatizo la kiasi.

Njia namba 1: pande zote mbili hutolewa

Hii ndiyo njia ya kukumbukwa zaidi kwa sababu inatumia nadharia ya Pythagorean. Wakati mwingine tu wanafunzi husahau kuwa fomula hii hutumiwa kupata mraba wa hypotenuse. Hii ina maana kwamba ili kupata upande yenyewe, utahitaji kuchukua mizizi ya mraba. Kwa hivyo, formula ya hypotenuse, ambayo kawaida huonyeshwa na herufi "c," itaonekana kama hii:

c = √ (a 2 + b 2), ambapo herufi "a" na "b" zinawakilisha miguu yote miwili ya pembetatu ya kulia.

Njia ya 2: mguu na pembe iliyo karibu nayo inajulikana

Ili kujifunza jinsi ya kupata hypotenuse, utahitaji kukumbuka kazi za trigonometric. Yaani cosine. Kwa urahisi, tutafikiri kwamba mguu "a" na angle α karibu nayo hutolewa.

Sasa tunahitaji kukumbuka kuwa cosine ya pembe ya pembetatu ya kulia ni sawa na uwiano wa pande mbili. Nambari itakuwa na thamani ya mguu, na denominator itakuwa na hypotenuse. Inafuata kutoka kwa hii kwamba mwisho unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

c = a/cos α.

Njia ya 3: kupewa mguu na pembe ambayo iko kinyume chake

Ili kutochanganyikiwa katika fomula, wacha tuanzishe jina la pembe hii - β, na tuache upande huo "a". Katika kesi hii, utahitaji kazi nyingine ya trigonometric - sine.

Kama katika mfano uliopita, sine ni sawa na uwiano wa mguu na hypotenuse. Fomula ya njia hii inaonekana kama hii:

c = a/dhambi β.

Ili usichanganyike katika kazi za trigonometric, unaweza kukumbuka mnemonic rahisi: ikiwa tatizo linahusika na pr. O pembe ya kinyume, basi unahitaji kuitumia nayo Na vizuri, ikiwa - oh pr Na kulala chini, kisha O sinus. Unapaswa kuzingatia vokali za kwanza katika maneno muhimu. Wanaunda jozi o-i au na kuhusu.

Njia ya 4: kando ya eneo la mduara uliozungukwa

Sasa, ili kujua jinsi ya kupata hypotenuse, utahitaji kukumbuka mali ya duara ambayo imezungukwa karibu na pembetatu ya kulia. Inasomeka kama ifuatavyo. Katikati ya duara inafanana na katikati ya hypotenuse. Ili kuiweka kwa njia nyingine, upande mrefu zaidi wa pembetatu ya kulia ni sawa na diagonal ya mduara. Hiyo ni, radius mara mbili. Formula ya shida hii itaonekana kama hii:

c = 2 * r, ambapo herufi r inaashiria radius inayojulikana.

Hizi zote ni njia zinazowezekana za kupata hypotenuse ya pembetatu sahihi. Kwa kila kazi maalum, unahitaji kutumia njia inayofaa zaidi kwa seti ya data.

Mfano wa kazi Nambari 1

Hali: katika pembetatu ya kulia, wapatanishi hutolewa kwa pande zote mbili. Urefu wa moja inayotolewa kwa upande mkubwa ni √52. Wastani mwingine una urefu √73. Unahitaji kuhesabu hypotenuse.

Kwa kuwa wapatanishi hutolewa kwa pembetatu, hugawanya miguu katika sehemu mbili sawa. Kwa urahisi wa hoja na kutafuta jinsi ya kupata hypotenuse, unahitaji kuanzisha nukuu kadhaa. Hebu nusu zote mbili za mguu mkubwa ziteuliwe na barua "x", na nyingine kwa "y".

Sasa tunahitaji kuzingatia pembetatu mbili za kulia ambazo hypotenuses ni wapatanishi wanaojulikana. Kwao unahitaji kuandika formula ya nadharia ya Pythagorean mara mbili:

(miaka 2) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Milinganyo hii miwili huunda mfumo wenye vitu viwili visivyojulikana. Baada ya kuzitatua, itakuwa rahisi kupata miguu ya pembetatu ya asili na kutoka kwao hypotenuse yake.

Kwanza unahitaji kuinua kila kitu kwa nguvu ya pili. Inageuka:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Kutoka kwa equation ya pili ni wazi kwamba y 2 = 73 - 4x 2. Usemi huu unahitaji kubadilishwa kuwa wa kwanza na kuhesabiwa "x":

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Baada ya uongofu:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 au 15x 2 = 240.

Kutoka kwa usemi wa mwisho x = √16 = 4.

Sasa unaweza kuhesabu "y":

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Kwa mujibu wa masharti, inageuka kuwa miguu ya pembetatu ya awali ni sawa na 6 na 8. Hii ina maana kwamba unaweza kutumia formula kutoka kwa njia ya kwanza na kupata hypotenuse:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Jibu: hypotenuse ni sawa na 10.

Mfano wa kazi nambari 2

Masharti: hesabu ulalo uliochorwa katika mstatili na upande mfupi zaidi sawa na 41. Ikijulikana kuwa inagawanya pembe katika zile zinazohusiana kama 2 hadi 1.

Katika tatizo hili, ulalo wa mstatili ndio upande mrefu zaidi katika pembetatu ya 90º. Kwa hivyo yote inakuja kwa jinsi ya kupata hypotenuse.

Tatizo ni kuhusu pembe. Hii ina maana kwamba utahitaji kutumia mojawapo ya fomula zilizo na vipengele vya trigonometric. Kwanza unahitaji kuamua ukubwa wa moja ya pembe za papo hapo.

Acha pembe ndogo zilizojadiliwa katika hali ziteuliwe α. Kisha pembe ya kulia ambayo imegawanywa na diagonal itakuwa sawa na 3α. Nukuu ya hisabati ya hii inaonekana kama hii:

Kutoka kwa equation hii ni rahisi kuamua α. Itakuwa sawa na 30º. Zaidi ya hayo, italala kinyume na upande mdogo wa mstatili. Kwa hivyo, utahitaji fomula iliyoelezewa katika njia Na.

Hypotenuse ni sawa na uwiano wa mguu na sine ya pembe tofauti, ambayo ni:

41 / dhambi 30º = 41 / (0.5) = 82.

Jibu: Hypotenuse ni 82.

Kabla ya kupata hypotenuse ya pembetatu, unahitaji kuelewa ni sifa gani takwimu hii ina. Hebu fikiria zile kuu:

Katika pembetatu ya kulia, pembe zote mbili za papo hapo huongeza hadi 90º.
Mguu uliolala kinyume na pembe ya 30º utakuwa sawa na ½ saizi ya hypotenuse.
Ikiwa mguu ni sawa na ½ ya hypotenuse, basi pembe ya pili itakuwa na thamani sawa - 30º.

Kuna njia kadhaa za kupata hypotenuse katika pembetatu ya kulia. Suluhisho rahisi zaidi ni kuhesabu kwa kutumia miguu. Wacha tuseme unajua maadili ya pande A na B. Kisha nadharia ya Pythagorean inakuja kuwaokoa, ikituambia kwamba ikiwa tutaweka kila thamani ya upande na muhtasari wa data iliyopatikana, tutagundua hypotenuse ni nini. sawa na. Kwa hivyo tunahitaji tu kutoa thamani ya mzizi wa mraba:

Kwa mfano, ikiwa mguu A = 3 cm na mguu B = 4 cm, basi hesabu itaonekana kama hii:

Jinsi ya kupata hypotenuse kupitia pembe?

Njia nyingine ya kujua ni nini hypotenuse iko kwenye pembetatu ya kulia ni kuhesabu kupitia pembe fulani. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupata thamani kupitia fomula ya sine. Wacha tuseme tunajua saizi ya mguu (A) na thamani ya pembe tofauti (α). Kisha suluhisho lote liko katika fomula moja: C=A/sin(α).

Kwa mfano, ikiwa urefu wa mguu ni 40 cm na pembe ni 45 °, basi urefu wa hypotenuse unaweza kutolewa kama ifuatavyo.

Thamani inayohitajika pia inaweza kuamua kupitia cosine ya pembe fulani. Wacha tuseme tunajua thamani ya mguu mmoja (B) na pembe ya karibu ya papo hapo (α). Kisha kutatua tatizo utahitaji formula moja: C=B/ cos(α).

Kwa mfano, ikiwa urefu wa mguu ni 50 cm na pembe ni 45 °, basi hypotenuse inaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo.

Kwa hivyo, tuliangalia njia kuu za kujua hypotenuse katika pembetatu. Wakati wa kutatua shida, ni muhimu kuzingatia data inayopatikana, basi kupata idadi isiyojulikana itakuwa rahisi sana. Unahitaji tu kujua fomula kadhaa na mchakato wa kutatua shida utakuwa rahisi na wa kufurahisha.

Miongoni mwa mahesabu mengi yaliyofanywa ili kukokotoa idadi mbalimbali tofauti ni kupata hypotenuse ya pembetatu. Kumbuka kwamba pembetatu ni polyhedron ambayo ina pembe tatu. Chini ni njia kadhaa za kuhesabu hypotenuse ya pembetatu mbalimbali.

Kwanza, hebu tuangalie jinsi ya kupata hypotenuse ya pembetatu sahihi. Kwa wale ambao wamesahau, pembetatu yenye angle ya digrii 90 inaitwa pembetatu ya kulia. Upande wa pembetatu iliyoko upande wa pili wa pembe ya kulia inaitwa hypotenuse. Kwa kuongeza, ni upande mrefu zaidi wa pembetatu. Kulingana na maadili yanayojulikana, urefu wa hypotenuse huhesabiwa kama ifuatavyo:

Urefu wa miguu unajulikana. Hypotenuse katika kesi hii inahesabiwa kwa kutumia theorem ya Pythagorean, ambayo inasoma kama ifuatavyo: mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu. Ikiwa tunazingatia pembetatu ya kulia BKF, ambapo BK na KF ni miguu, na FB ni hypotenuse, basi FB2= BK2+ KF2. Kutoka hapo juu inafuata kwamba wakati wa kuhesabu urefu wa hypotenuse, kila moja ya maadili ya miguu lazima iwe mraba kwa zamu. Kisha ongeza nambari zilizojifunza na uondoe mizizi ya mraba kutoka kwa matokeo.

Fikiria mfano: Imepewa pembetatu yenye pembe ya kulia. Mguu mmoja ni 3 cm, mwingine 4 cm. Tafuta hypotenuse. Suluhisho linaonekana kama hii.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Chambua na upate FB=5cm.

Mguu (BK) na pembe iliyo karibu nayo, ambayo hutengenezwa na hypotenuse na mguu huu, hujulikana. Jinsi ya kupata hypotenuse ya pembetatu? Wacha tuonyeshe pembe inayojulikana α. Kulingana na mali ambayo inasema kwamba uwiano wa urefu wa mguu hadi urefu wa hypotenuse ni sawa na cosine ya pembe kati ya mguu huu na hypotenuse. Kwa kuzingatia pembetatu, hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: FB= BK*cos(α).
Mguu (KF) na angle sawa α hujulikana, sasa tu itakuwa kinyume. Jinsi ya kupata hypotenuse katika kesi hii? Wacha tugeuke kwa mali sawa ya pembetatu ya kulia na tujue kuwa uwiano wa urefu wa mguu hadi urefu wa hypotenuse ni sawa na sine ya pembe iliyo kinyume na mguu. Yaani, FB= KF * dhambi (α).

Hebu tuangalie mfano. Kwa kuzingatia pembetatu sawa ya kulia BKF na hypotenuse FB. Acha pembe F iwe sawa na digrii 30, pembe ya pili B inalingana na digrii 60. Mguu wa BK pia unajulikana, urefu ambao unalingana na 8 cm Thamani inayohitajika inaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo.

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

Inajulikana (R), iliyoelezwa karibu na pembetatu na pembe ya kulia. Jinsi ya kupata hypotenuse wakati wa kuzingatia shida kama hiyo? Kutoka kwa mali ya mduara iliyozunguka pembetatu na pembe ya kulia, inajulikana kuwa katikati ya mduara huo inafanana na hatua ya hypotenuse, kuigawanya kwa nusu. Kwa maneno rahisi, radius inalingana na nusu ya hypotenuse. Kwa hivyo hypotenuse ni sawa na radii mbili. FB=2*R. Ikiwa umepewa shida kama hiyo ambayo sio radius, lakini wastani inajulikana, basi unapaswa kuzingatia mali ya duara iliyozungukwa kuzunguka pembetatu na pembe ya kulia, ambayo inasema kwamba radius ni sawa na wastani inayotolewa. kwa hypotenuse. Kutumia mali hizi zote, tatizo linatatuliwa kwa njia ile ile.

Ikiwa swali ni jinsi ya kupata hypotenuse ya pembetatu ya kulia ya isosceles, basi unahitaji kurejea kwenye theorem sawa ya Pythagorean. Lakini, kwanza kabisa, kumbuka kwamba pembetatu ya isosceles ni pembetatu ambayo ina pande mbili zinazofanana. Katika kesi ya pembetatu ya kulia, pande zote ni sawa. Tuna FB2= BK2+ KF2, lakini kwa kuwa BK= KF tunayo yafuatayo: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Kama unaweza kuona, kujua nadharia ya Pythagorean na mali ya pembetatu ya kulia, kutatua shida ambazo ni muhimu kuhesabu urefu wa hypotenuse ni rahisi sana. Ikiwa ni ngumu kukumbuka mali zote, jifunze fomula zilizotengenezwa tayari, ukibadilisha maadili yanayojulikana ambayo unaweza kuhesabu urefu uliotaka wa hypotenuse.