Kutatua mifumo ya milinganyo kwa kutumia njia rahisi ya kurudia. Kutatua polepole kwa kutumia njia rahisi ya kurudia

Mada ya 3. Suluhisho la mifumo ya mstari milinganyo ya algebra mbinu za kurudia.

Mbinu za moja kwa moja za kutatua SLAE zilizoelezewa hapo juu hazifanyi kazi sana wakati wa kutatua mifumo yenye mwelekeo mkubwa (yaani, wakati thamani n kubwa ya kutosha). Katika hali kama hizi, mbinu za kurudia zinafaa zaidi kwa kutatua SLAEs.

Mbinu za mara kwa mara za kutatua SLAEs(jina lao la pili ni mbinu makadirio mfululizo kwa suluhisho) haitoi suluhisho kamili la SLAE, lakini tu makadirio ya suluhisho, na kila moja. ukadiriaji unaofuata Inapatikana kutoka kwa ile iliyotangulia na ni sahihi zaidi kuliko ile iliyotangulia (mradi tu muunganiko marudio). Ukadiriaji wa awali (au kinachojulikana sifuri) huchaguliwa karibu na suluhisho linalotarajiwa au kiholela (vekta ya upande wa kulia wa mfumo inaweza kuchukuliwa kama ilivyo). Suluhisho halisi linapatikana kama kikomo cha makadirio kama vile idadi yao inaelekea kutokuwa na mwisho. Kama sheria, kwa nambari ya mwisho hatua (yaani marudio) kikomo hiki hakijafikiwa. Kwa hiyo, katika mazoezi, dhana imeanzishwa usahihi wa suluhisho, yaani, idadi fulani nzuri na ndogo ya kutosha inatolewa e na mchakato wa mahesabu (iterations) unafanywa mpaka uhusiano umeridhika .

Hapa kuna makadirio ya suluhisho lililopatikana baada ya nambari ya kurudia n , a ndio suluhisho halisi la SLAE (ambayo haijulikani mapema). Idadi ya marudio n = n (e ) , muhimu ili kufikia usahihi fulani kwa mbinu maalum inaweza kupatikana kutoka kwa mazingatio ya kinadharia (yaani, kuna fomula za hesabu) Ubora wa mbinu tofauti za kurudia unaweza kulinganishwa na idadi ya marudio yanayohitajika ili kufikia usahihi sawa.

Kusoma mbinu za kurudia muunganiko unahitaji kuwa na uwezo wa kuhesabu kanuni za matrices. Kawaida ya Matrix- hii ni hakika thamani ya nambari, inayoangazia ukubwa wa vipengele vya tumbo katika thamani kamili. KATIKA hisabati ya juu kuna kadhaa aina mbalimbali kanuni za matrices, ambazo kwa kawaida ni sawa. Katika kozi yetu tutatumia moja tu kati yao. Yaani, chini kawaida ya matrix tutaelewa Thamani ya juu kati ya jumla ya maadili kamili ya vitu vya safu ya mtu binafsi ya matrix.. Ili kuonyesha kawaida ya matrix, jina lake limefungwa katika jozi mbili za baa za wima. Kwa hivyo, kwa matrix A kwa kawaida yake tunamaanisha wingi

. (3.1)

Kwa hivyo, kwa mfano, kawaida ya matrix A kutoka kwa Mfano 1 hupatikana kama ifuatavyo:

Njia tatu za kurudia hutumiwa sana kutatua SLAEs:

Mbinu rahisi ya kurudia

Mbinu ya Jacobi

Njia ya Guass-Seidel.

Mbinu rahisi ya kurudia inahusisha mpito kutoka kuandika SLAE katika hali yake ya asili (2.1) hadi kuiandika katika fomu

(3.2)

au, ni nini pia, ndani fomu ya matrix,

x = NA × x + D , (3.3)

C - matrix ya mgawo wa mfumo wa mwelekeo uliobadilishwa n ´ n

x - vekta ya haijulikani inayojumuisha n sehemu

D - vector ya sehemu sahihi za mfumo uliobadilishwa, unaojumuisha n sehemu.

Mfumo katika fomu (3.2) unaweza kuwakilishwa kwa fomu iliyopunguzwa

Kulingana na wazo hili formula rahisi ya kurudia itaonekana kama

Wapi m - nambari ya kurudia, na - thamani x j juu m - hatua ya kurudia. Kisha, ikiwa mchakato wa kurudia utakutana, kwa kuongezeka kwa idadi ya marudio itazingatiwa

Imethibitishwa hivyo mchakato wa kurudia unaungana, Kama kawaida matrices D mapenzi vitengo kidogos.

Ikiwa tutachukua vekta ya masharti ya bure kama makadirio ya awali (sifuri), i.e. x (0) = D , Hiyo ukubwa wa makosa inaonekana kama

(3.5)

hapa chini x * suluhisho halisi la mfumo linaeleweka. Kwa hivyo,

Kama , basi kulingana usahihi uliobainishwae inaweza kuhesabiwa mapema idadi inayotakiwa ya marudio. Yaani, kutoka kwa uhusiano

baada ya mabadiliko madogo tunapata

. (3.6)

Wakati wa kufanya idadi kama hiyo ya marudio, usahihi maalum wa kupata suluhisho kwa mfumo umehakikishwa. Makadirio haya ya kinadharia kiasi kinachohitajika hatua za kurudia zimekadiriwa kupita kiasi. Kwa mazoezi, usahihi unaohitajika unaweza kupatikana kwa marudio machache.

Ni rahisi kutafuta suluhisho kwa SLAE uliyopewa kwa kutumia njia rahisi ya kurudia kwa kuingiza matokeo yaliyopatikana kwenye jedwali la fomu ifuatayo:

	x 1	x 2		x n

Inapaswa kuzingatiwa hasa kuwa katika kutatua SLAEs kwa kutumia njia hii ngumu zaidi na inayotumia wakati ni kubadilisha mfumo kutoka umbo (2.1) hadi umbo (3.2). Mabadiliko haya lazima yawe sawa, i.e. si kubadilisha ufumbuzi wa mfumo wa awali, na kuhakikisha thamani ya kawaida ya matrix C (baada ya kuzikamilisha) kitengo kidogo. Hakuna kichocheo kimoja cha kufanya mabadiliko kama haya. Hapa, katika kila kesi maalum, ni muhimu kuwa wabunifu. Hebu tuzingatie mifano, ambayo itatoa baadhi ya njia za kubadilisha mfumo kwa fomu inayotakiwa.

Mfano 1. Wacha tupate suluhisho la mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia njia rahisi ya kurudia (kwa usahihi e= 0.001)

Mfumo huu unaletwa kwa fomu inayotakiwa kwa njia rahisi. Wacha tuhamishe maneno yote kutoka upande wa kushoto kwenda kulia, na kisha tuongeze kwa pande zote mbili za kila equation Xi (i =1, 2, 3, 4). Tunapata mfumo uliobadilishwa wa fomu ifuatayo

.

Matrix C na vekta D katika kesi hii itakuwa kama ifuatavyo

C = , D = .

Hebu tuhesabu kawaida ya matrix C . Tunapata

Kwa kuwa kawaida iligeuka kuwa chini ya umoja, muunganisho wa njia rahisi ya kurudia inahakikishwa. Kama makadirio ya awali (sifuri), tunachukua vipengele vya vekta D . Tunapata

, , , .

Kutumia fomula (3.6), tunahesabu nambari inayotakiwa ya hatua za kurudia. Hebu kwanza tutambue kawaida ya vector D . Tunapata

.

Kwa hiyo, ili kufikia usahihi maalum, ni muhimu kufanya angalau mara 17. Wacha tufanye marudio ya kwanza. Tunapata

Baada ya kufanya shughuli zote za hesabu, tunapata

.

Tukiendelea vivyo hivyo, tutafanya hatua zaidi za kurudia. Tunatoa muhtasari wa matokeo yao katika jedwali lifuatalo ( D - thamani kubwa zaidi mabadiliko katika vipengele vya suluhisho kati ya hatua za sasa na zilizopita)

M

Kwa kuwa baada ya hatua ya kumi tofauti kati ya maadili katika marudio mawili ya mwisho ikawa chini ya usahihi uliowekwa, tutasimamisha mchakato wa kurudia. Suluhisho likipatikana, tutachukua maadili yaliyopatikana katika hatua ya mwisho.

Mfano 2.

Wacha kwanza tuendelee sawa na mfano uliopita. Tunapata

Matrix C kutakuwa na mfumo kama huo

C =.

Wacha tuhesabu kawaida yake. Tunapata

Kwa wazi, mchakato wa kurudia kwa matrix kama hiyo hautaunganika. Inahitajika kutafuta njia nyingine ya kubadilisha mfumo uliopeanwa wa equations.

Wacha tupange upya hesabu zake za kibinafsi katika mfumo wa asili wa equations ili mstari wa tatu uwe wa kwanza, wa kwanza - wa pili, wa pili - wa tatu. Kisha, kuibadilisha kwa njia ile ile, tunapata

Matrix C kutakuwa na mfumo kama huo

C =.

Wacha tuhesabu kawaida yake. Tunapata

Tangu kawaida ya matrix C iligeuka kuwa chini ya umoja, mfumo uliobadilishwa kwa njia hii unafaa kwa ufumbuzi kwa njia rahisi ya kurudia.

Mfano 3. Wacha tubadilishe mfumo wa milinganyo

kwa fomu ambayo ingeruhusu njia rahisi ya kurudia kutumika katika kuisuluhisha.

Hebu kwanza tuendelee sawa na mfano 1. Tunapata

Matrix C kutakuwa na mfumo kama huo

C =.

Wacha tuhesabu kawaida yake. Tunapata

Kwa wazi, mchakato wa kurudia kwa matrix kama hiyo hautaunganika.

Ili kubadilisha matrix ya asili kuwa fomu inayofaa kutumia njia rahisi ya kurudia, tunaendelea kama ifuatavyo. Kwanza, tunaunda mfumo wa "kati" wa milinganyo ambayo

- equation ya kwanza ni jumla ya milinganyo ya kwanza na ya pili ya mfumo asilia

- mlingano wa pili- jumla ya mara mbili ya mlinganyo wa tatu na ya pili ukiondoa ya kwanza

- mlingano wa tatu- tofauti kati ya equations ya tatu na ya pili ya mfumo wa awali.

Kwa hivyo, tunapata mfumo wa "kati" wa milinganyo sawa na ule wa asili

Kutoka kwake ni rahisi kupata mfumo mwingine, mfumo wa "kati".

,

na kutoka humo kubadilishwa

.

Matrix C kutakuwa na mfumo kama huo

C =.

Wacha tuhesabu kawaida yake. Tunapata

Mchakato wa kurudia kwa matrix kama hiyo utaunganika.

Mbinu ya Jacobi inadhani kwamba vipengele vyote vya diagonal vya matrix A ya mfumo asilia (2.2) si sawa na sifuri. Kisha mfumo wa asili unaweza kuandikwa upya kama

(3.7)

Kutoka kwa rekodi kama hiyo mfumo huundwa formula ya kurudia Mbinu ya Jacobi

Hali ya muunganisho wa mchakato wa kurudia wa njia ya Jacobi ni hali inayojulikana utawala wa diagonal katika mfumo wa asili (aina (2,1)). Uchambuzi, hali hii imeandikwa kama

. (3.9)

Ikumbukwe kwamba ikiwa ndani mfumo uliopewa equations, hali ya muunganisho wa njia ya Jacobi (yaani, hali ya utawala wa diagonal) haijaridhika, katika hali nyingi inawezekana na mabadiliko sawa kuleta ufumbuzi wa awali wa SLAE kwa ufumbuzi wa SLAE sawa ambayo hali hii imeridhika.

Mfano 4. Wacha tubadilishe mfumo wa milinganyo

kwa fomu ambayo ingeruhusu mbinu ya Jacobi itumike katika kuisuluhisha.

Tayari tumezingatia mfumo huu katika Mfano wa 3, kwa hiyo hebu tuendelee kutoka kwa mfumo wa "kati" wa equations zilizopatikana huko. Ni rahisi kutambua kwamba hali yake ya utawala wa diagonal imeridhika, kwa hiyo hebu tuibadilishe kwa fomu muhimu kutumia mbinu ya Jacobi. Tunapata

Kutoka kwake tunapata fomula ya kufanya mahesabu kwa kutumia njia ya Jacobi kwa SLAE fulani

Kuichukua kama ya awali, i.e. sifuri, vector ya takriban ya masharti ya bure, tutafanya mahesabu yote muhimu. Wacha tufanye muhtasari wa matokeo kwenye jedwali.

m					D

Inatosha usahihi wa juu suluhisho lililopatikana lilipatikana kwa marudio sita.

Njia ya Gauss-Seidel ni uboreshaji wa njia ya Jacobi na pia inadhania kwamba vipengele vyote vya diagonal vya tumbo A ya mfumo asilia (2.2) si sawa na sifuri. Kisha mfumo wa awali unaweza kuandikwa tena kwa fomu sawa na njia ya Jacobi, lakini tofauti kidogo nayo

Ni muhimu kukumbuka hapa kwamba ikiwa katika ishara ya jumla index ya juu ni chini ya index ya chini, basi hakuna summation inafanywa.

Wazo la njia ya Gauss-Seidel ni kwamba waandishi wa njia hiyo waliona fursa ya kuharakisha mchakato wa hesabu kuhusiana na njia ya Jacobi kutokana na ukweli kwamba katika mchakato wa iteration inayofuata, baada ya kupata thamani mpya. x 1 Je! Mara moja tumia thamani hii mpya katika marudio sawa kuhesabu vigezo vilivyobaki. Vile vile, zaidi, baada ya kupata thamani mpya x 2 unaweza pia kuitumia mara moja katika iteration sawa, nk.

Kulingana na hili, fomula ya kurudia kwa njia ya Gauss-Seidel Ina mtazamo unaofuata

Inatoshakifungu cha muunganisho mchakato wa kurudia wa njia ya Gauss-Seidel ni hali sawa utawala wa diagonal (3.9). Kasi ya muunganisho Njia hii ni ya juu kidogo kuliko katika njia ya Jacobi.

Mfano 5. Wacha tutatue mfumo wa milinganyo kwa kutumia njia ya Gauss-Seidel

Tayari tumezingatia mfumo huu katika mifano 3 na 4, kwa hiyo tutaondoka mara moja kutoka kwa mfumo uliobadilishwa wa equations (angalia mfano 4), ambapo hali ya utawala wa diagonal imeridhika. Kutoka kwake tunapata fomula ya kufanya mahesabu kwa kutumia njia ya Gauss-Seidel

Kuchukua vekta ya maneno bila malipo kama makadirio ya awali (yaani sifuri), tunafanya mahesabu yote muhimu. Wacha tufanye muhtasari wa matokeo kwenye jedwali.

m

Usahihi wa juu kabisa wa suluhisho lililopatikana lilipatikana kwa marudio matano.

Faida ya njia za kurudia ni utumiaji wao kwa mifumo isiyo na hali mbaya na mifumo ya hali ya juu, urekebishaji wao wa kibinafsi na urahisi wa utekelezaji kwenye PC. Ili kuanza mahesabu, mbinu za kurudia zinahitaji kubainisha makadirio ya awali kwa suluhu unayotaka.

Ikumbukwe kwamba hali na kiwango cha muunganisho wa mchakato wa kurudia hutegemea sana mali ya matrix. A mfumo na juu ya uchaguzi wa makadirio ya awali.

Ili kutumia mbinu ya kurudia, mfumo asilia (2.1) au (2.2) lazima upunguzwe kwa fomu.

baada ya hapo mchakato wa kurudia unafanywa kulingana na fomula za kawaida

, k = 0, 1, 2, ... . (2.26A)

Matrix G na vector hupatikana kama matokeo ya mabadiliko ya mfumo (2.1).

Kwa muunganisho (2.26 A) ni muhimu na inatosha ili |l i(G)| < 1, где li(G) - Wote eigenvalues matrices G. Muunganiko pia utatokea ikiwa || G|| < 1, так как |li(G)| < " ||G||, wapi" yoyote.

Alama || ... | ina maana ya kawaida ya matrix. Wakati wa kuamua thamani yake, mara nyingi huacha kuangalia hali mbili:

||G| = au || G|| = , (2.27)

Wapi. Muunganisho pia umehakikishwa ikiwa matrix ya asili A ina utawala wa diagonal, i.e.

. (2.28)

Iwapo (2.27) au (2.28) imeridhika, mbinu ya kurudia itaungana kwa ukadiriaji wowote wa awali. Mara nyingi, vector inachukuliwa ama sifuri au kitengo, au vector yenyewe inachukuliwa kutoka (2.26).

Kuna njia nyingi za kubadilisha mfumo wa asili (2.2) na matrix A ili kuhakikisha fomu (2.26) au kukidhi masharti ya muunganisho (2.27) na (2.28).

Kwa mfano, (2.26) inaweza kupatikana kama ifuatavyo.

Hebu A = KATIKA+ NA, nk KATIKA#0; Kisha ( B+ NA)= Þ B= −C+ Þ Þ B –1 B= −B –1 C+ B–1 , wapi= − B –1 C+ B –1 .

Kuweka - B –1 C = G, B-1 = , tunapata (2.26).

Kutokana na hali ya muunganiko (2.27) na (2.28) ni wazi kwamba uwakilishi A = KATIKA+ NA haiwezi kuwa ya kiholela.

Ikiwa matrix A inakidhi masharti (2.28), kisha kama tumbo KATIKA unaweza kuchagua pembetatu ya chini:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Kwa kuchagua kigezo a, tunaweza kuhakikisha kwamba || G|| = ||E+ a A|| < 1.

Ikiwa (2.28) itatawala, basi mabadiliko hadi (2.26) yanaweza kufanywa kwa kutatua kila moja. i mlingano wa mfumo (2.1) kuhusiana na Xi kulingana na fomula zifuatazo za kawaida:

(2.28A)

Ikiwa kwenye tumbo A hakuna utawala wa diagonal, lazima ufikiwe kwa kutumia baadhi mabadiliko ya mstari, bila kukiuka usawa wao.

Kwa mfano, fikiria mfumo

(2.29)

Kama unaweza kuona, katika equations (1) na (2) hakuna utawala wa diagonal, lakini katika (3) kuna, kwa hiyo tunaiacha bila kubadilika.

Hebu tufikie utawala wa diagonal katika equation (1). Wacha tuzidishe (1) kwa a, (2) kwa b, ongeza hesabu zote mbili na katika hesabu inayosababishwa chagua a na b ili kuwe na utawala wa diagonal:

(2a + 3b) X 1 + (–1.8a + 2b) X 2 +(0.4a – 1.1b) X 3 = a.

Kuchukua = b = 5, tunapata 25 X 1 + X 2 – 3,5X 3 = 5.

Ili kubadilisha mlingano (2) na kutawala kwa (1) kuzidisha kwa g, (2) kuzidisha kwa d na kutoa (1) kutoka (2). Tunapata

(3d - 2g) X 1 + (2d + 1.8g) X 2 +(–1.1d – 0.4g) X 3 = -g.

Kuweka d = 2, g = 3, tunapata 0 X 1 + 9,4 X 2 – 3,4 X 3 = -3. Kama matokeo, tunapata mfumo

(2.30)

Mbinu hii inaweza kutumika kupata suluhisho kwa darasa kubwa la matrices.

au

Kuchukua vekta = (0.2; -0.32; 0) kama makadirio ya awali T, tutasuluhisha mfumo huu kwa kutumia teknolojia (2.26 A):

k = 0, 1, 2, ... .

Mchakato wa hesabu huacha wakati makadirio mawili ya jirani ya vector ya suluhisho sanjari kwa usahihi, i.e.

.

Teknolojia suluhisho la kurudia aina (2.26 A) jina njia rahisi ya kurudia .

Daraja kosa kabisa kwa njia rahisi ya kurudia:

iko wapi ishara || ... | ina maana ya kawaida.

Mfano 2.1. Kutumia njia rahisi ya kurudia na usahihi wa e = 0.001, suluhisha mfumo milinganyo ya mstari:

Idadi ya hatua zinazotoa jibu sahihi kwa e = 0.001 inaweza kuamua kutoka kwa uhusiano

£0.001.

Wacha tukadirie muunganiko kwa kutumia fomula (2.27). Hapa || G| = = upeo(0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

Kama makadirio ya awali, tunachukua vekta ya maneno bila malipo, yaani = (2.15; -0.83; 1.16; 0.44) T. Wacha tubadilishe maadili ya vekta kuwa (2.26 A):

Kuendelea mahesabu, tunaingiza matokeo kwenye meza:

k	X 1	X 2	X 3	X 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Muunganisho katika maelfu hutokea tayari katika hatua ya 10.

Jibu: X 1 » 3.571; X 2 "-0.957; X 3 » 1.489; X 4 "-0.836.

Suluhisho hili pia linaweza kupatikana kwa kutumia fomula (2.28 A).

Mfano 2.2. Ili kuonyesha algorithm kwa kutumia fomula (2.28 A) fikiria suluhisho la mfumo (marudio mawili tu):

; . (2.31)

Wacha tubadilishe mfumo kuwa fomu (2.26) kulingana na (2.28 A):

Þ (2.32)

Wacha tuchukue makadirio ya awali = (0; 0; 0) T. Kisha kwa k= 0 ni dhahiri kuwa thamani = (0.5; 0.8; 1.5) T. Wacha tubadilishe maadili haya kuwa (2.32), i.e., lini k= 1 tunapata = (1.075; 1.3; 1.175) T.

Hitilafu e 2 = = kiwango cha juu(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575.

Zuia mchoro wa algorithm ya kutafuta suluhisho la SLAE kwa kutumia njia marudio rahisi kulingana na kanuni za kufanya kazi (2.28 A) imeonyeshwa kwenye Mtini. 2.4.

Kipengele maalum cha mchoro wa block ni uwepo wa vitalu vifuatavyo:

- block 13 - madhumuni yake yanajadiliwa hapa chini;

- block 21 - kuonyesha matokeo kwenye skrini;

- block 22 - angalia (kiashiria) cha muunganisho.

Wacha tuchambue mpango uliopendekezwa kwa kutumia mfano wa mfumo (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0.001):

= ; .

Zuia 1. Ingiza data ya awali A,,w,e, n: n= 3, w = 1, e = 0.001.

Mzunguko wa I. Weka maadili ya awali ya vekta x 0i Na Xi (i = 1, 2, 3).

Zuia 5. Weka upya kihesabu cha kurudia.

Zuia 6. Weka upya kihesabu cha sasa cha hitilafu hadi sifuri.

KATIKA mzunguko II, nambari za safu ya matrix hubadilishwa A na vekta.

Mzunguko wa II:i = 1: s = b 1 = 2 (block 8).

Nenda kwenye kitanzi kilichoorodheshwa cha III, kizuizi cha 9 - kihesabu cha nambari ya safu ya matrix A: j = 1.

Zuia 10: j = i, kwa hiyo, tunarudi kwenye block 9 na kuongezeka j kwa kila kitengo: j = 2.

Katika block 10 j ¹ i(2 ¹ 1) - tunasonga hadi kizuizi cha 11.

Zuia 11: s= 2 – (–1) × X 0 2 = 2 - (–1) × 0 = 2, nenda kwenye kizuizi cha 9, ambacho j kuongezeka kwa moja: j = 3.

Katika block 10 hali j ¹ i imetimia, kwa hivyo wacha tuendelee kuzuia 11.

Zuia 11: s= 2 – (–1) × X 0 3 = 2 - (–1) × 0 = 2, baada ya hapo tunaendelea na kuzuia 9, ambayo j kuongezeka kwa moja ( j= 4). Maana j zaidi n (n= 3) - tunamaliza mzunguko na kuendelea na kuzuia 12.

Zuia 12: s = s / a 11 = 2 / 4 = 0,5.

Zuia 13: w = 1; s = s + 0 = 0,5.

Zuia 14: d = | Xi – s | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

Zuia 15: Xi = 0,5 (i = 1).

Zuia 16. Kuangalia hali d > de: 0.5> 0, kwa hivyo, nenda kwa kuzuia 17, ambayo tunaweka de= 0.5 na urudi kwa kutumia kiungo " A» kwa hatua inayofuata ya mzunguko wa II - kuzuia 7, ambayo i kuongezeka kwa moja.

Mzunguko wa II: i = 2: s = b 2 = 4 (block 8).

j = 1.

Kupitia block 10 j ¹ i(1 ¹ 2) - tunasonga hadi kizuizi cha 11.

Zuia 11: s= 4 - 1 × 0 = 4, nenda kwenye kuzuia 9, ambayo j kuongezeka kwa moja: j = 2.

Katika block 10 hali haijafikiwa, kwa hiyo tunaendelea kuzuia 9, ambayo j kuongezeka kwa moja: j= 3. Kwa mlinganisho, tunaendelea na kuzuia 11.

Zuia 11: s= 4 – (–2) × 0 = 4, baada ya hapo tunamaliza mzunguko wa III na kuendelea na kuzuia 12.

Zuia 12: s = s/ a 22 = 4 / 5 = 0,8.

Zuia 13: w = 1; s = s + 0 = 0,8.

Zuia 14: d = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Zuia 15: Xi = 0,8 (i = 2).

Zuia 16. Kuangalia hali d > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «A»kwa hatua inayofuata ya mzunguko wa II - kuzuia 7.

Mzunguko wa II: i = 3: s = b 3 = 6 (block 8).

Nenda kwa kitanzi kilichowekwa kiota III, block 9: j = 1.

Zuia 11: s= 6 – 1 × 0 = 6, nenda kwenye kizuizi cha 9: j = 2.

Kwa kutumia block 10 tunasonga hadi block 11.

Zuia 11: s= 6 - 1 × 0 = 6. Tunamaliza mzunguko wa III na kuendelea na kuzuia 12.

Zuia 12: s = s/ a 33 = 6 / 4 = 1,5.

Zuia 13: s = 1,5.

Zuia 14: d = | 1 – 1,5 | = 0,5.

Zuia 15: Xi = 1,5 (i = 3).

Kulingana na block 16 (pamoja na marejeleo " A"Na" NA") tunaacha mzunguko wa II na kuendelea na kizuizi cha 18.

Zuia 18. Kuongeza idadi ya marudio hiyo = hiyo + 1 = 0 + 1 = 1.

Katika vitalu vya 19 na 20 vya mzunguko wa IV, tunabadilisha maadili ya awali X 0i maadili yaliyopatikana Xi (i = 1, 2, 3).

Zuia 21. Tunachapisha maadili ya kati ya iteration ya sasa, katika kwa kesi hii: = (0,5; 0,8; 1,5)T, hiyo = 1; de = 0,5.

Tunaenda kwenye mzunguko wa II ili kuzuia 7 na kufanya mahesabu yaliyozingatiwa na mpya maadili ya awali X 0i (i = 1, 2, 3).

Baada ya hapo tunapata X 1 = 1,075; X 2 = 1,3; X 3 = 1,175.

Hapa, basi, njia ya Seidel inaungana.

Kulingana na fomula (2.33)

k	X 1	X 2	X 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Jibu: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

Maoni. Ikiwa njia rahisi za kurudia na za Seidel zitaungana kwa mfumo huo huo, basi njia ya Seidel inafaa zaidi. Hata hivyo, katika mazoezi, maeneo ya muunganisho wa njia hizi yanaweza kuwa tofauti, yaani, njia rahisi ya kurudia inaunganishwa, lakini njia ya Seidel inatofautiana, na kinyume chake. Kwa njia zote mbili, ikiwa || G| karibu na kitengo, kasi ya muunganiko ni ya chini sana.

Ili kuharakisha muunganisho, mbinu ya bandia hutumiwa - kinachojulikana njia ya kupumzika . Kiini chake kiko katika ukweli kwamba thamani inayofuata iliyopatikana kwa kutumia njia ya kurudia Xi (k) huhesabiwa upya kwa kutumia fomula

ambapo w kawaida hubadilishwa katika safu kutoka 0 hadi 2 (0< w £ 2) с каким-либо шагом (h= 0.1 au 0.2). Kigezo w kinachaguliwa ili muunganisho wa njia ufikiwe kwa idadi ndogo ya marudio.

Kupumzika- kudhoofika kwa taratibu kwa hali yoyote ya mwili baada ya kukomesha kwa sababu zilizosababisha hali hii (uhandisi wa mwili).

Mfano 2.4. Wacha tuzingatie matokeo ya marudio ya tano kwa kutumia fomula ya kupumzika. Wacha tuchukue w = 1.5:

Kama unaweza kuona, matokeo ya karibu iteration ya saba yalipatikana.

UTANGULIZI

1.KUTATUA SLAUE KWA NJIA RAHISI YA KURUDISHA

1.1 Maelezo ya njia ya suluhisho

1.2 Data ya awali

1.3 Algorithm

1.4 Programu katika lugha ya QBasic

1.5 Matokeo ya programu

1.6 Kuangalia matokeo ya programu

2. KUSAFISHA MIZIZI KWA KUTUMIA NJIA YA TANGENT

2.1 Maelezo ya njia ya suluhisho

2.2 Data ya awali

2.3 Algorithm

2.4 Programu katika lugha ya QBasic

2.5 Matokeo ya programu

2.6 Kuangalia matokeo ya programu

3. UTANGAMANO WA NAMBA KULINGANA NA KANUNI YA Mstatili

3.1 Maelezo ya njia ya suluhisho

3.2 Data ya awali

3.3 Algorithm

3.4 Programu ya msingi ya QBasic

3.5 Kuangalia matokeo ya programu

4.1 Habari za jumla Kuhusu programu

4.1.1 Madhumuni na sifa tofauti

4.1.2 Mapungufu ya WinRAR

4.1.3 Mahitaji ya mfumo wa WinRAR

4.2 Kiolesura cha WinRAR

4.3 Njia za usimamizi wa faili na kumbukumbu

4.4 Kutumia menyu za muktadha

HITIMISHO

BIBLIOGRAFIA

UTANGULIZI

Kusudi la hii kazi ya kozi ni uundaji wa algoriti na programu za kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa kutumia njia ya Gauss; equation isiyo ya mstari kwa kutumia njia ya chord; Kwa ujumuishaji wa nambari kulingana na sheria ya trapezoidal.

Milinganyo ya aljebra ni milinganyo iliyo na vitendaji vya aljebra pekee (jumla, mantiki, isiyo na mantiki). Hasa, polynomial ni kazi nzima ya aljebra. Milinganyo iliyo na kazi zingine (trigonometric, kielelezo, logarithmic na zingine) huitwa transcendental.

Njia za kutatua mifumo ya usawa wa algebraic imegawanywa katika vikundi viwili:

· Mbinu kamili, ambazo ni algoriti fupi za kukokotoa mizizi ya mfumo (mifumo ya kutatua kwa kutumia matrix ya kinyume, sheria ya Cramer, njia ya Gauss, n.k.),

· mbinu za kurudia-rudia zinazowezesha kupata suluhu kwa mfumo kwa usahihi uliotolewa kupitia michakato ya upatanishi ya kurudiarudia (mbinu ya kurudia, mbinu ya Seidel, n.k.).

Kwa sababu ya kuzunguka kwa kuepukika, matokeo ni sawa mbinu sahihi ni takriban. Wakati wa kutumia njia za kurudia, kwa kuongeza, kosa la njia huongezwa.

Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya mstari wa aljebra ni mojawapo ya matatizo makuu ya aljebra ya mstari wa kukokotoa. Ingawa shida ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari ni nadra sana ya maslahi ya kujitegemea kwa programu, uwezekano huo mara nyingi hutegemea uwezo wa kutatua mifumo hiyo kwa ufanisi. mfano wa hisabati aina mbalimbali za michakato kwa kutumia kompyuta. Sehemu kubwa ya njia za nambari za kutatua shida mbali mbali (haswa zisizo za mstari) ni pamoja na utatuzi wa mifumo ya hesabu za mstari kama hatua ya msingi ya algorithm inayolingana.

Ili mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari uwe na suluhisho, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix kuu kiwe. sawa na cheo matrix iliyopanuliwa. Ikiwa kiwango cha matrix kuu ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa na sawa na nambari haijulikani, basi mfumo una suluhisho la kipekee. Ikiwa kiwango cha matrix kuu ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, lakini nambari ndogo haijulikani, basi mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Mojawapo ya njia za kawaida za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni njia ya Gauss. Njia hii inajulikana katika chaguzi mbalimbali kwa zaidi ya miaka 2000. Mbinu ya Gauss ni mbinu ya kitamaduni ya kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAE). Hii ndiyo mbinu uondoaji wa mfululizo vigezo wakati wa kutumia mabadiliko ya msingi mfumo wa equations umepunguzwa kwa mfumo sawa wa fomu ya hatua (au triangular), ambayo vigezo vingine vyote vinapatikana kwa mfululizo, kuanzia na vigezo vya mwisho (kwa nambari).

Kwa kweli, njia iliyoelezewa hapo juu inaitwa kwa usahihi njia ya kuondoa Gauss-Jordan, kwani ni tofauti ya njia ya Gauss iliyoelezewa na mpimaji Wilhelm Jordan mnamo 1887). Pia ni ya kuvutia kutambua kwamba wakati huo huo na Jordan (na kwa mujibu wa data fulani hata kabla yake), algorithm hii ilizuliwa na B.-I. Clasen.

Chini ya milinganyo isiyo ya mstari tunaelewa milinganyo ya algebraic na transcendental ya fomu, ambapo x - nambari halisi, A - kazi isiyo ya mstari. Ili kutatua equations hizi, njia ya chord hutumiwa - iterative njia ya nambari takriban eneo la mizizi. Kama inavyojulikana, equations nyingi na mifumo ya equations haina ufumbuzi wa uchambuzi. Hii kimsingi inatumika kwa milinganyo mingi ya nje. Imethibitishwa pia kuwa haiwezekani kuunda fomula ambayo inaweza kutumika kutatua mlingano wa kialjebra wa digrii zaidi ya nne. Kwa kuongezea, katika hali zingine equation ina coefficients ambayo inajulikana takriban tu, na, kwa hivyo, shida yenyewe. ufafanuzi sahihi mizizi ya equation inapoteza maana yake. Ili kuzitatua, njia za kurudia hutumiwa kwa kiwango fulani cha usahihi. Kutatua equation kwa kutumia njia ya kurudia inamaanisha kuamua ikiwa ina mizizi, ni mizizi ngapi, na kupata maadili ya mizizi kwa usahihi unaohitajika.

Kazi ya kutafuta mzizi wa equation f(x) = 0 kwa kutumia njia ya kurudia ina hatua mbili:

· mgawanyo wa mizizi - kutafuta thamani ya takriban ya mzizi au sehemu iliyo nayo;

· ufafanuzi wa takriban mizizi - kuwaleta kwa kiwango fulani cha usahihi.

Dhahiri muhimu kazi f(x), iliyochukuliwa kwa muda kutoka a kabla b, ni kikomo ambacho jumla ya jumla huelekea kama vipindi vyote ∆x mimi huwa sifuri. Kwa mujibu wa kanuni ya trapezoidal, ni muhimu kuchukua nafasi ya grafu ya kazi F (x) na mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili (x 0, y 0) na (x 0 +h, y 1), na kuhesabu thamani. ya kipengele cha jumla muhimu kama eneo la trapezoid: .

KUTATUA SLAU KWA NJIA RAHISI YA KURUDISHA

1.1 Maelezo ya mbinu ya kurudia mara kwa mara

Mifumo ya milinganyo ya aljebra (SLAEs) ina fomu:

au, inapoandikwa katika mfumo wa matrix:

Katika mazoezi, aina mbili za njia hutumiwa suluhisho la nambari SLAU - moja kwa moja na isiyo ya moja kwa moja. Wakati wa kutumia njia za moja kwa moja, SLAE imepunguzwa kwa moja ya fomu maalum (diagonal, triangular) ambayo inaruhusu mtu kupata kwa usahihi suluhisho la taka (ikiwa ipo). Njia ya kawaida ya moja kwa moja ya kutatua SLAEs ni njia ya Gaussian. Njia za kurudia hutumiwa kupata suluhu ya takriban ya SLAE kwa usahihi fulani. Ikumbukwe kwamba mchakato wa kurudia hauunganishi kila wakati kwa suluhisho la mfumo, lakini tu wakati mlolongo wa makadirio yaliyopatikana wakati wa hesabu huwa na suluhisho halisi. Wakati wa kusuluhisha SLAE kwa kutumia njia rahisi ya kurudia, inabadilishwa kuwa fomu ambapo moja tu ya vigeu vinavyotafutwa iko upande wa kushoto:

Baada ya kubainisha baadhi ya makadirio ya awali xi, i=1,2,…,n, zibadilishe ndani upande wa kulia misemo na kuhesabu maadili mapya x. Mchakato huo unarudiwa hadi upeo wa mabaki uamuliwe na usemi:

haitakuwa chini ya usahihi uliobainishwa ε. Ikiwa tofauti ya juu iko k marudio yatakuwa makubwa kuliko upeo wa juu wa tofauti uliopo k-1 th iteration, basi mchakato unakatishwa kwa njia isiyo ya kawaida, kwa sababu mchakato wa kurudia hutofautiana. Ili kupunguza idadi ya marudio, thamani mpya za x zinaweza kuhesabiwa kwa kutumia thamani za mabaki kutoka kwa marudio ya awali.

Mbinu za Kurudia za Mihadhara za kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari wa aljebra.

Masharti ya muunganiko wa mchakato wa kurudia. Mbinu ya Jacobi. Mbinu ya Seidel

Mbinu rahisi ya kurudia

Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari unazingatiwa

Ili kutumia mbinu za kurudia, mfumo lazima upunguzwe kwa fomu inayolingana

Kisha makadirio ya awali ya ufumbuzi wa mfumo wa equations huchaguliwa na mlolongo wa makadirio ya mizizi hupatikana.

Ili mchakato wa kurudia uungane, inatosha kwamba hali hiyo itimizwe
(kawaida ya tumbo). Kigezo cha kukomesha marudio hutegemea mbinu ya kurudia iliyotumika.

Mbinu ya Jacobi .

Njia rahisi zaidi ya kuleta mfumo katika fomu rahisi kwa iteration ni kama ifuatavyo.

Kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo tunaelezea haijulikani x 1, kutoka kwa equation ya pili ya mfumo tunayoelezea x 2, nk.

Kama matokeo, tunapata mfumo wa hesabu na matrix B, ambayo vipengele vya sifuri viko kwenye diagonal kuu, na vitu vilivyobaki vinahesabiwa kwa kutumia fomula:

Vipengele vya vector d vinahesabiwa kwa kutumia fomula:

Njia ya kuhesabu kwa njia rahisi ya kurudia ni:

au kwa nukuu ya kuratibu inaonekana kama hii:

Kigezo cha kumaliza marudio katika njia ya Jacobi kina fomu:

Kama
, basi tunaweza kutumia kigezo rahisi zaidi cha kumaliza marudio

Mfano 1. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Jacobi.

Wacha mfumo wa equations upewe:

Inahitajika kupata suluhisho la mfumo kwa usahihi

Wacha tupunguze mfumo kuwa fomu inayofaa kwa kurudia:

Wacha tuchague makadirio ya awali, kwa mfano,

- vector ya upande wa kulia.

Kisha iteration ya kwanza inaonekana kama hii:

Makadirio yafuatayo ya suluhisho yanapatikana sawa.

Wacha tupate kawaida ya matrix B.

Tutatumia kawaida

Kwa kuwa jumla ya moduli za vitu katika kila safu ni 0.2, basi
, kwa hivyo kigezo cha kumaliza marudio katika shida hii ni

Wacha tuhesabu kanuni za tofauti za vekta:

Kwa sababu
usahihi uliobainishwa ulipatikana katika marudio ya nne.

Jibu: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Mbinu ya Seidel .

Njia hiyo inaweza kuzingatiwa kama marekebisho ya njia ya Jacobi. Wazo kuu ni kwamba wakati wa kuhesabu ijayo (n+1)- njia ya kujulikana x i katika mimi > 1 matumizi tayari kupatikana (n+1)- e inakaribia kusikojulikana x 1 ,x 2 , ...,x i - 1 na sio n th makadirio, kama katika njia ya Jacobi.

Njia ya hesabu ya njia katika nukuu ya kuratibu inaonekana kama hii:

Masharti ya muunganisho na kigezo cha kukomesha marudio yanaweza kuchukuliwa sawa na katika mbinu ya Jacobi.

Mfano 2. Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Seidel.

Wacha tuzingatie kwa usawa suluhisho la mifumo 3 ya equations:

Wacha tupunguze mifumo kuwa fomu inayofaa kwa marudio:

Kumbuka kuwa hali ya muunganisho
inafanywa tu kwa mfumo wa kwanza. Wacha tuhesabu makadirio 3 ya kwanza kwa suluhisho katika kila kisa.

Mfumo wa 1:

Suluhisho halisi litakuwa maadili yafuatayo: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Mchakato wa kurudia unaungana.

Mfumo wa 2:

Inaweza kuonekana kuwa mchakato wa kurudia unatofautiana.

Suluhisho kamili x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

Mfumo wa 3:

Inaweza kuonekana kuwa mchakato wa kurudia umeenda kwa mizunguko.

Suluhisho kamili x 1 = 1, x 2 = 2 .

Acha matriki ya mfumo wa milinganyo A iwe ya ulinganifu na dhahiri chanya. Halafu, kwa chaguo lolote la makadirio ya awali, njia ya Seidel inaungana. Hakuna masharti ya ziada yaliyowekwa kwa udogo wa kawaida ya matrix fulani.

Mbinu rahisi ya kurudia.

Ikiwa A ni matrix ya ulinganifu na chanya, basi mfumo wa milinganyo mara nyingi hupunguzwa kwa fomu inayolingana:

x=x-t (A x- b), τ - kigezo cha kurudia.

Njia ya hesabu ya njia rahisi ya kurudia katika kesi hii ina fomu:

x (n+1) =x n- τ (A x (n) - b).

na parameta τ > 0 imechaguliwa ili kupunguza, ikiwezekana, thamani

Wacha λ min na λ max iwe viwango vya chini na vya juu zaidi vya matrix A. Chaguo bora la parameta ni

Kwa kesi hii
anakubali thamani ya chini sawa:

Mfano 3. Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu rahisi ya kurudia. (katika MathCAD)

Acha mfumo wa milinganyo Ax = b itolewe

Kuunda mchakato wa kurudia tutafute yetu nambari za matrix A:

- hutumia kitendakazi kilichojengewa ndani kupata thamani eigen.

Hebu tuhesabu parameter ya iteration na angalia hali ya muunganisho

Hali ya muunganisho imeridhika.

Wacha tuchukue makadirio ya awali - vekta x0, weka usahihi hadi 0.001 na upate makadirio ya awali kwa kutumia programu hapa chini:

Suluhisho kamili

Maoni. Ikiwa programu inarudisha matrix ya rez, basi unaweza kutazama marudio yote yaliyopatikana.