Kutatua equations kwa kutumia rahisi iteration bora. Orodha ya marejeleo yaliyotumika

Excel ina anuwai ya zana za kutatua aina tofauti za milinganyo kwa kutumia njia tofauti.

Hebu tuangalie baadhi ya ufumbuzi kwa kutumia mifano.

Suluhisha milinganyo kwa kuchagua vigezo vya Excel

Chombo cha Uchaguzi wa Parameta hutumiwa katika hali ambapo matokeo yanajulikana, lakini hoja hazijulikani. Excel hurekebisha maadili hadi hesabu itoe jumla inayotaka.

Njia ya amri: "Data" - "Kufanya kazi na data" - "Uchambuzi wa nini-ikiwa" - "Uteuzi wa Parameta".

Hebu tuangalie mfano wa kutatua equation ya quadratic x 2 + 3x + 2 = 0. Utaratibu wa kutafuta mzizi kwa kutumia Excel:

Programu hutumia mchakato wa mzunguko kuchagua kigezo. Ili kubadilisha idadi ya marudio na makosa, unahitaji kwenda kwenye chaguzi za Excel. Kwenye kichupo cha "Mfumo", weka idadi ya juu zaidi ya marudio na makosa ya jamaa. Teua kisanduku cha kuteua cha "wezesha hesabu zinazorudiwa".

Jinsi ya kutatua mfumo wa equations kwa kutumia njia ya matrix katika Excel

Mfumo wa equations hupewa:

Mizizi ya equations hupatikana.

Kutatua mfumo wa milinganyo kwa kutumia njia ya Cramer katika Excel

Wacha tuchukue mfumo wa hesabu kutoka kwa mfano uliopita:

Ili kuzitatua kwa kutumia mbinu ya Cramer, tunakokotoa viambajengo vya hesabu zilizopatikana kwa kubadilisha safu wima moja kwenye matrix A na kuweka safu-matrix B.

Ili kuhesabu viashiria, tunatumia chaguo la kukokotoa la MOPRED. Hoja ni safu yenye matriki inayolingana.

Wacha pia tuhesabu kibainishi cha matrix A (safu - safu ya matrix A).

Kiamuzi cha mfumo ni kikubwa kuliko 0 - suluhisho linaweza kupatikana kwa kutumia fomula ya Cramer (D x / |A|).

Ili kukokotoa X 1: =U2/$U$1, ambapo U2 - D1. Ili kukokotoa X 2: =U3/$U$1. Na kadhalika. Wacha tupate mizizi ya hesabu:

Kutatua mifumo ya milinganyo kwa kutumia njia ya Gaussian katika Excel

Kwa mfano, hebu tuchukue mfumo rahisi zaidi wa equations:

3a + 2b – 5c = -1
2a – b – 3c = 13
a + 2b – c = 9

Tunaandika coefficients katika matrix A. Maneno ya bure - katika matrix B.

Kwa uwazi, tunaangazia masharti ya bure kwa kujaza. Ikiwa seli ya kwanza ya matriki A ina 0, unahitaji kubadilisha safu mlalo ili thamani nyingine isipokuwa 0 ionekane hapa.

Mifano ya kutatua equations kwa kutumia njia ya kurudia katika Excel

Mahesabu katika kitabu cha kazi yanapaswa kuanzishwa kama ifuatavyo:

Hii inafanywa kwenye kichupo cha "Mfumo" katika "Chaguzi za Excel". Hebu tutafute mzizi wa equation x – x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) kwa kurudia kwa kutumia marejeleo ya mzunguko. Mfumo:

Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M - thamani ya juu zaidi ya derivative ya modulo. Ili kupata M, wacha tufanye mahesabu yafuatayo:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Thamani inayotokana ni chini ya 0. Kwa hiyo, kazi itakuwa na ishara kinyume: f (x) = -x + x 3 - 1. M = 11.

Katika kiini A3 tunaingia thamani: a = 1. Usahihi - maeneo matatu ya decimal. Ili kukokotoa thamani ya sasa ya x katika kisanduku kilicho karibu (B3), weka fomula: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

Katika kisanduku C3, hebu tudhibiti thamani ya f (x): kwa kutumia fomula =B3-POWER(B3,3)+1.

Mzizi wa equation ni 1.179. Wacha tuingize thamani 2 kwenye seli A3 Tunapata matokeo sawa.

Kuna mzizi mmoja tu kwenye muda fulani.

Kutafuta mizizi ya equations

Njia ya picha ya kupata mizizi ni kupanga kazi f(x) kwenye sehemu. Sehemu ya makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa yenye mhimili wa x inatoa takriban thamani ya mzizi wa mlinganyo.

Thamani za takriban za mizizi zilizopatikana kwa njia hii hufanya iwezekanavyo kuchagua sehemu ambazo, ikiwa ni lazima, mizizi inaweza kusafishwa.

Wakati wa kupata mizizi kwa hesabu ya kazi zinazoendelea f(x), moja inaongozwa na mazingatio yafuatayo:

- ikiwa kazi ina ishara tofauti kwenye mwisho wa sehemu, basi kati ya pointi a na b kwenye mhimili wa x kuna idadi isiyo ya kawaida ya mizizi;

- ikiwa kazi ina ishara zinazofanana katika mwisho wa muda, basi kati ya a na b kuna idadi hata ya mizizi au hakuna kabisa;

- ikiwa mwisho wa sehemu kazi ina ishara tofauti na ama derivative ya kwanza au derivative ya pili haibadilishi ishara kwenye sehemu hii, basi equation ina mizizi moja kwenye sehemu.

Hebu tutafute mizizi yote halisi ya mlingano x 5 –4x–2=0 kwenye muda [–2,2]. Hebu tuunde lahajedwali.

Jedwali 1

Jedwali la 2 linaonyesha matokeo ya hesabu.

meza 2

Suluhisho linapatikana vile vile kwenye vipindi [-2,-1], [-1,0].

Kufafanua mizizi ya equation

Kwa kutumia modi ya "Tafuta masuluhisho".

Kwa mlinganyo uliotolewa hapo juu, mizizi yote ya equation x 5 –4x–2=0 inapaswa kusafishwa kwa hitilafu ya E=0.001.

Ili kufafanua mizizi kwenye muda [-2,-1], tutaunda lahajedwali.

Jedwali 3

Tunazindua hali ya "Tafuta suluhisho" kwenye menyu ya "Huduma". Tekeleza amri za hali. Hali ya kuonyesha itaonyesha mizizi iliyopatikana. Vile vile tunasafisha mizizi kwenye vipindi vingine.

Kufafanua mizizi ya equations

Kwa kutumia hali ya Kurudia

Njia rahisi ya kurudia ina njia mbili: "Mwongozo" na "Otomatiki". Ili kuzindua hali ya "Iteration", fungua kichupo cha "Chaguo" kwenye menyu ya "Zana". Zifuatazo ni amri za mode. Kwenye kichupo cha "Mahesabu", unaweza kuchagua hali ya moja kwa moja au ya mwongozo.

Kutatua mifumo ya equations

Mifumo ya kutatua equations katika Excel inafanywa kwa kutumia njia ya matrix inverse. Tatua mfumo wa equations:

Hebu tuunde lahajedwali.

Jedwali 4

A	B	C	D	E
Kutatua mfumo wa equations.

	Shoka=b

Matrix ya awali A		Upande wa kulia b
-8
		-3
		-2		-2

Matrix ya kinyume (1/A)		Vekta ya suluhisho x=(1/A)/b
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MUULT(A11:C13,E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MUULT(A11:C13,E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MUULT(A11:C13,E6:E8)

Chaguo za kukokotoa za MOBR hurejesha safu ya thamani ambayo imeingizwa kwenye safu nzima ya seli mara moja.

Jedwali la 5 linaonyesha matokeo ya hesabu.

Jedwali 5

A	B	C	D	E
Kutatua mfumo wa equations.

	Shoka=b

Matrix ya awali A		Upande wa kulia b
-8
		-3
		-2		-2

Matrix ya kinyume (1/A)		Vekta ya suluhisho x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Orodha ya marejeleo yaliyotumika

1. Turchak L.I. Misingi ya njia za nambari: Kitabu cha maandishi. mwongozo kwa vyuo vikuu / ed. V.V. Shchennikov. - M.: Nauka, 1987. - 320 p.

2. Bundy B. Mbinu za uboreshaji. Kozi ya utangulizi - M.: Redio na mawasiliano, 1988. - 128 p.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Mfano wa hisabati wa usawa wa kemikali - M.: Nyumba ya kuchapisha Mosk. Chuo Kikuu, 1988.–192 p.

4. Bezdenezhnykh A.A. Njia za uhandisi za kuandaa milinganyo ya kiwango cha mmenyuko na kuhesabu vidhibiti vya kinetic - Leningrad: Khimiya, 1973. - 256 p.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Njia za algebra ya mstari katika kemia ya kimwili - M.: Nyumba ya kuchapisha Mosk. Chuo Kikuu, 1976.–359 p.

6. Bakhvalov N.S. na wengine Mbinu za Nambari katika matatizo na mazoezi: Kitabu cha kiada. mwongozo wa vyuo vikuu / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Juu zaidi. shule, 2000.-190s. - (Hisabati ya Juu / Sadovnichy V.A.)

7. Utumiaji wa hisabati ya hesabu katika kinetiki za kemikali na kimwili, ed. L.S. Polak, M.: Nauka, 1969, 279 pp.

8. Algorithmization ya mahesabu katika teknolojia ya kemikali B.A. Zhidkov, A.G. Cooper

9. Mbinu za hesabu kwa wahandisi wa kemikali. H. Rosenbrock, S. Storey

10. Orvis V.D. Excel kwa wanasayansi, wahandisi na wanafunzi. - Kyiv: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Njia za Nambari za Tarasevich kwenye Mathcade - Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Astrakhan: Astrakhan, 2000.

Mfano 3.1 . Pata suluhisho la mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari (3.1) kwa kutumia mbinu ya Jacobi.

Njia za kurudia zinaweza kutumika kwa mfumo fulani, kwa sababu hali inatimizwa "utawala wa coefficients ya diagonal", ambayo inahakikisha muunganiko wa njia hizi.

Mpango wa hesabu wa njia ya Jacobi umeonyeshwa kwenye Mchoro (3.1).

Toa mfumo (3.1). kwa fomu ya kawaida:

, (3.2)

au kwa namna ya matrix

, (3.3)

Mchoro.3.1.

Kuamua idadi ya marudio yanayohitajika ili kufikia usahihi fulani e, na takriban suluhisho la mfumo ni muhimu kwenye safu N sakinisha Umbizo la masharti. Matokeo ya uumbizaji huu yanaonekana kwenye Mchoro 3.1. Safu safu N, ambao maadili yao yanakidhi hali (3.4) yametiwa kivuli.

(3.4)

Tukichanganua matokeo, tunachukua marudio ya nne kama suluhu ya takriban ya mfumo asili kwa usahihi uliotolewa e=0.1,

hizo. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Kubadilisha thamani e katika seli H5 inawezekana kupata ufumbuzi mpya wa takriban wa mfumo wa awali kwa usahihi mpya.

Changanua muunganisho wa mchakato wa kurudia kwa kupanga mabadiliko katika kila sehemu ya suluhisho la SLAE kulingana na nambari ya kurudia.

Ili kufanya hivyo, chagua block ya seli A10:D20 na kutumia Mchawi wa Chati, jenga grafu zinazoonyesha muunganisho wa mchakato wa kurudia, Mchoro 3.2.

Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari hutatuliwa vile vile na mbinu ya Seidel.

Kazi ya maabara namba 4

Somo. Njia za nambari za kutatua milinganyo ya kawaida ya kutofautisha yenye masharti ya mipaka. Njia ya tofauti ya mwisho

Zoezi. Tatua tatizo la thamani ya mpaka kwa njia ya tofauti ya kikomo kwa kuunda makadirio mawili (rudufu mbili) kwa hatua h na kwa hatua h/2.

Chambua matokeo yaliyopatikana. Chaguzi za kazi zimetolewa katika Kiambatisho cha 4.

Utaratibu wa kazi

1. Kujenga kwa mikono ukadiriaji wa tofauti-mwisho wa tatizo la thamani ya mpaka (tofauti ya kikomo SLAE) na hatua h , chaguo lililopewa.

2. Kwa kutumia mbinu ya utofautishaji kikomo, tengeneza ndani Excel mfumo wa milinganyo ya tofauti ya aljebra ya mstari kwa hatua h mgawanyiko wa sehemu . Andika SLAE hii kwenye karatasi ya kazi ya kitabu Excel. Mchoro wa kubuni unaonyeshwa kwenye Mchoro 4.1.

3. Tatua SLAE inayosababisha kwa kutumia njia ya kufagia.

4. Angalia usahihi wa suluhisho la SLAE kwa kutumia nyongeza Excel Tafuta suluhisho.

5. Punguza hatua ya gridi kwa mara 2 na kutatua tatizo tena. Wasilisha matokeo katika fomu ya picha.

6. Linganisha matokeo yako. Hitimisho kuhusu hitaji la kuendelea au kusitisha akaunti.

Kutatua tatizo la thamani ya mpaka kwa kutumia lahajedwali za Microsoft Excel.

Mfano 4.1. Pata suluhu la tatizo la thamani ya mpaka kwa kutumia njia ya tofauti ya mwisho , y(1)=1, y ’ (2)=0.5 kwenye sehemu Xi na hatua h=0.2 na hatua h=0.1. Linganisha matokeo yaliyopatikana na ufikie hitimisho kuhusu hitaji la kuendelea au kusitisha akaunti.

Mchoro wa kubuni kwa hatua h = 0.2 umeonyeshwa kwenye Mchoro 4.1.

Suluhisho linalosababishwa (kazi ya gridi) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8;2) katika safu wima L na B inaweza kuchukuliwa kama marudio ya kwanza (ukadirio wa kwanza) wa tatizo la awali.

Kutafuta marudio ya pili fanya gridi ya taifa kuwa nene mara mbili (n=10, hatua h=0.1) na kurudia algorithm hapo juu.

Hii inaweza kufanywa kwenye karatasi moja au kwenye karatasi tofauti ya kitabu. Excel. Suluhisho (ukadirio wa pili) linaonyeshwa kwenye Mchoro 4.2.

Linganisha takriban suluhu zilizopatikana. Kwa uwazi, unaweza kupanga grafu za makadirio haya mawili (kazi mbili za gridi ya taifa), Mchoro 4.3.

Utaratibu wa kuunda grafu za suluhisho za takriban za shida ya thamani ya mipaka

1. Tengeneza grafu kwa ajili ya kutatua tatizo kwa gridi ya tofauti kwa hatua ya h=0.2 (n=5).

2. Washa chati iliyojengwa tayari na uchague amri Chati ya menyu\Ongeza data

3. Katika dirisha Data mpya toa maelezo x mimi, y i kwa gridi ya tofauti na hatua h/2 (n=10).

4. Katika dirisha Uingizaji maalum angalia masanduku:

Ø safu mpya,

Kama inavyoonekana kutoka kwa data iliyotolewa, suluhisho mbili za takriban za shida ya thamani ya mipaka (kazi mbili za gridi ya taifa) hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa si zaidi ya 5%. Kwa hiyo, tunachukua iteration ya pili kama suluhisho la takriban la tatizo la awali, i.e.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Kazi ya maabara nambari 5

Wizara ya Elimu ya Jumla

Shirikisho la Urusi

Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Ural-UPI

tawi huko Krasnoturinsk

Idara ya Sayansi ya Kompyuta

Kazi ya kozi

Kwa njia za nambari

Kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia rahisi ya kurudia

kwa kutumia Microsoft Excel

Mkuu wa Kuzmina N.V.

Mwanafunzi Nigmatzyanov T.R.

Kikundi cha M-177T

Mada: "Kupata kwa usahihi fulani mzizi wa equation F(x) = 0 kwa muda kwa kutumia mbinu rahisi ya kurudia."

Mfano wa jaribio: 0.25x+sinx=0

Masharti ya tatizo: kwa chaguo maalum la kukokotoa F(x) kwa muda, pata mzizi wa mlinganyo F(x)=0 kwa kurudia rahisi.

Kuhesabu mzizi mara mbili (kwa kutumia hesabu moja kwa moja na mwongozo).

Toa kwa ajili ya ujenzi wa grafu ya chaguo za kukokotoa kwa muda fulani.

Utangulizi 4

1. Sehemu ya 5 ya kinadharia

2. Maelezo ya maendeleo ya kazi 7

3. Data ya kuingiza na kutoa 8

Hitimisho 9

Kiambatisho cha 10

Biblia 12

Utangulizi.

Wakati wa kazi hii, ninahitaji kujijulisha na njia mbalimbali za kutatua equation na kupata mzizi wa equation isiyo ya mstari 0.25-x+sin(x) = 0 kwa kutumia njia ya nambari - njia rahisi ya kurudia. Ili kuangalia ikiwa mzizi unapatikana kwa usahihi, unahitaji kutatua equation kwa picha, pata thamani ya takriban na ulinganishe na matokeo yaliyopatikana.

1. Sehemu ya kinadharia.

Mbinu rahisi ya kurudia.

Mchakato wa kurudia unajumuisha kuboresha mfululizo ukadiriaji wa mwanzo x0 (mzizi wa mlingano). Kila hatua kama hiyo inaitwa kurudia.

Ili kutumia njia hii, equation ya awali isiyo ya mstari imeandikwa kwa fomu: x = j (x), i.e. x imeangaziwa; j(x) ni endelevu na inaweza kutofautishwa kwa muda (a; b). Kawaida hii inaweza kufanywa kwa njia kadhaa:

Kwa mfano:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Mbinu 1.

arcsin(2x+1)=x 2

dhambi(arcsin(2x+1))=dhambi(x 2)

x=0.5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Mbinu 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Mbinu 3.

x 2 = arcsin(2x+1)

x= (x=j(x)), ishara inachukuliwa kulingana na muda [a;b].

Mabadiliko lazima yawe kiasi kwamba ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Acha ukadiriaji wa mwanzo wa mzizi x=c 0 ujulikane Tukibadilisha thamani hii katika upande wa kulia wa mlinganyo x=j(x), tunapata ukadiriaji mpya wa mzizi: c=j(c 0). kila wakati tukibadilisha thamani mpya ya mzizi kuwa x=j(x), tunapata mlolongo wa maadili

c n =j(c n-1) n=1,2,3,...

Mchakato wa kurudia unapaswa kuendelezwa hadi masharti yafuatayo yatimizwe kwa makadirio mawili mfululizo: ½c n -c n -1 ½

Unaweza kutatua equations kwa kutumia njia za nambari kwa kutumia lugha za programu, lakini Excel inafanya uwezekano wa kutatua tatizo kwa njia rahisi.

Excel hutumia mbinu rahisi ya kurudia kwa njia mbili kwa kutumia hesabu ya mwongozo na udhibiti wa usahihi wa kiotomatiki.

y y=x

j (kutoka 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 mizizi s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

Mchele. Grafu ya mchakato wa kurudia

2. Maelezo ya maendeleo ya kazi.

1. Imezinduliwa MIMI.

2. Nilijenga grafu ya kazi y=x na y=0.25+sin(x) kwenye sehemu yenye hatua ya 0.1 na nikaita karatasi "Grafu".

3. Alichagua timu Huduma ® Chaguo.
Ilifungua kichupo Mahesabu .
Umewasha modi Kwa mikono .
Kisanduku cha kuteua kimezimwa Kuhesabu upya kabla ya kuhifadhi . Alifanya thamani ya uwanja Kikomo cha idadi ya marudio sawa na 1, kosa la jamaa 0.001.

4. Ingiza mstari "Kutatua equation x=0.25+sin(x) kwa kurudia rahisi" kwenye kisanduku A1.

5. Imeweka maandishi "Thamani ya awali" kwenye kisanduku A3, maandishi "Alama ya awali" kwenye kisanduku A4, thamani 0.5 kwenye kisanduku B3, na neno TRUE kwenye kisanduku B4.

6. Imepewa majina "start_zn" na "anza" kwa seli B3 na B4.
Kiini B6 kitaangalia kama kweli ni sawa na thamani ya kisanduku "anza". 0.25 + sine x Katika seli B7, sine 0.25 ya seli B6 huhesabiwa, na hivyo rejeleo la mzunguko hupangwa.

7. Katika seli A6 iliingia y=x, na katika seli A7 y=0.25+dhambi(x) Katika seli B6 fomula:
=IF(anza;anza_saini;B7).
Katika seli B7 fomula: y=0.25+dhambi(B6).

8. Katika seli A9 niliingiza neno Hitilafu.

9. Katika kiini B9 niliingiza formula: = B7-B6.

10. Kutumia amri Fomati-Seli (tabo Nambari ) alibadilisha kisanduku B9 hadi umbizo la kielelezo lenye nafasi mbili za desimali.

11. Kisha nilipanga kiungo cha pili cha mzunguko ili kuhesabu idadi ya marudio Katika kiini A11 niliingiza maandishi "Idadi ya marudio".

12. Katika kiini B11 niliingiza formula: =IF(kuanza;0;B12+1).

13. Katika kiini B12 niliingia =B11.

14. Kufanya hesabu, weka mshale wa jedwali kwenye seli B4 na ubonyeze kitufe cha F9 (Hesabu) ili kuanza kutatua tatizo.

15. Ilibadilisha thamani ya alama ya mwanzo hadi FALSE, na kubofya F9 tena Kila wakati unapobofya F9, marudio moja yanafanywa na takriban thamani inayofuata ya x inakokotolewa.

16. Bonyeza kitufe cha F9 hadi thamani ya x ifikie usahihi unaohitajika.
Kwa hesabu otomatiki:

17. Imehamishwa hadi kwenye karatasi nyingine.

18. Hatua zinazorudiwa 4 hadi 7, zimeingiza tu thamani FALSE katika seli B4.

19. Chagua timu Huduma ® Chaguo (tabo Mahesabu ).Weka thamani ya uga Kikomo cha idadi ya marudio sawa na 100, makosa ya jamaa sawa na 0.0000001 Imewashwa rkm Moja kwa moja .