Kutatua milinganyo na logarithm asili. Mbinu ya kutatua milinganyo ya logarithmic

Mifano:

\(\logi_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\logi_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Jinsi ya kutatua milinganyo ya logarithmic:

Wakati wa kusuluhisha equation ya logarithmic, unapaswa kujitahidi kuibadilisha kuwa fomu \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), kisha ufanye mpito hadi \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \( ⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Mfano:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Suluhisho:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Uchunguzi:\(10>2\) - inafaa kwa DL
Jibu:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Muhimu sana! Mpito huu unaweza kufanywa tu ikiwa:

Umeandika kwa mlingano asilia, na mwishoni utaangalia ikiwa zile zilizopatikana zimejumuishwa kwenye ODZ. Ikiwa hii haijafanywa, mizizi ya ziada inaweza kuonekana, ambayo ina maana uamuzi usio sahihi.

Nambari (au kujieleza) upande wa kushoto na kulia ni sawa;

Logarithms upande wa kushoto na kulia ni "safi", yaani, haipaswi kuwa na kuzidisha, mgawanyiko, nk. - logariti moja tu kwa kila upande wa ishara sawa.

Kwa mfano:

Kumbuka kwamba Equations 3 na 4 zinaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia sifa muhimu za logarithms.

Mfano . Tatua mlingano \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Suluhisho :

		Wacha tuandike ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Upande wa kushoto mbele ya logariti ni mgawo, upande wa kulia ni jumla ya logariti. Hii inatusumbua. Wacha tuhamishe hizi mbili kwa kielezi \(x\) kulingana na sifa: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Wacha tuwakilishe jumla ya logariti kama logariti moja kulingana na mali: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Tulipunguza mlingano kuwa fomu \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) na tukaandika ODZ, ambayo inamaanisha tunaweza kuhamia fomu \(f(x) =g(x)\ ).
		Ilifanya kazi. Tunatatua na kupata mizizi.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Tunaangalia ikiwa mizizi inafaa kwa ODZ. Ili kufanya hivyo, katika \(x>0\) badala ya \(x\) tunabadilisha \(5\) na \(-5\). Operesheni hii inaweza kufanywa kwa mdomo.
\(5>0\), \(-5>0\)		Ukosefu wa usawa wa kwanza ni kweli, wa pili sio. Hii inamaanisha kuwa \(5\) ndio mzizi wa equation, lakini \(-5\) sio. Tunaandika jibu.

Jibu : \(5\)

Mfano : Tatua mlingano \(\logi^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Suluhisho :

		Wacha tuandike ODZ: \(x>0\).
\(\logi^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Mlinganyo wa kawaida unaotatuliwa kwa kutumia . Badilisha \(\log_2⁡x\) na \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Tulipokea ile ya kawaida. Tunatafuta mizizi yake.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Kufanya uingizwaji wa nyuma
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Tunabadilisha pande za mkono wa kulia, kuziwakilisha kama logariti: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) na \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Sasa milinganyo yetu ni \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), na tunaweza kubadilisha hadi \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Tunaangalia mawasiliano ya mizizi ya ODZ. Ili kufanya hivyo, badilisha \(4\) na \(2\) katika ukosefu wa usawa \(x>0\) badala ya \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Kukosekana kwa usawa zote mbili ni kweli. Hii inamaanisha kuwa \(4\) na \(2\) ni mizizi ya mlinganyo.

Jibu : \(4\); \(2\).

Wanafunzi wengi hukwama kwenye milinganyo ya aina hii. Wakati huo huo, kazi zenyewe sio ngumu - inatosha kufanya uingizwaji mzuri wa kutofautisha, ambayo unapaswa kujifunza kutambua misemo thabiti.

Kwa kuongezea somo hili, utapata kazi kubwa ya kujitegemea, inayojumuisha chaguzi mbili zilizo na shida 6 kila moja.

Mbinu ya kupanga vikundi

Leo tutachambua equations mbili za logarithmic, moja ambayo haiwezi kutatuliwa mara moja na inahitaji mabadiliko maalum, na pili ... hata hivyo, sitakuambia kila kitu mara moja. Tazama video, pakua kazi ya kujitegemea - na ujifunze kutatua matatizo magumu.

Kwa hivyo, kupanga na kuweka mambo ya kawaida nje ya mabano. Zaidi ya hayo, nitakuambia ni vikwazo gani kikoa cha ufafanuzi wa logarithms hubeba, na jinsi maneno madogo kwenye kikoa cha ufafanuzi yanaweza kubadilisha kwa kiasi kikubwa mizizi na suluhisho zima.

Wacha tuanze kutoka kwa kikundi. Tunahitaji kutatua equation ifuatayo ya logarithmic:

gogo 2 x logi 2 (x - 3) + 1 = gogo 2 (x 2 - 3x)

Kwanza kabisa, kumbuka kuwa x 2 - 3x inaweza kuzingatiwa:

logi 2 x (x − 3)

Kisha kumbuka formula ya ajabu:

logi a fg = logi a f + logi a g

Ujumbe wa haraka tu: fomula hii inafanya kazi vizuri wakati a, f na g ni nambari za kawaida. Lakini zinapobadilishwa na kazi, misemo hii hukoma kuwa sawa. Hebu fikiria hali hii ya dhahania:

f< 0; g < 0

Katika kesi hii, fg ya bidhaa itakuwa nzuri, kwa hiyo, logi a (fg) itakuwepo, lakini logi f na logi a g haitakuwepo tofauti, na hatutaweza kufanya mabadiliko hayo.

Kupuuza ukweli huu kutasababisha kupungua kwa upeo wa ufafanuzi na, kwa sababu hiyo, kupoteza mizizi. Kwa hiyo, kabla ya kufanya mabadiliko hayo, lazima uhakikishe mapema kwamba kazi f na g ni chanya.

Kwa upande wetu, kila kitu ni rahisi. Kwa kuwa equation ya asili ina logi ya kazi 2 x, kisha x > 0 (baada ya yote, kutofautisha x iko kwenye hoja). Pia kuna logi 2 (x - 3), kwa hivyo x - 3 > 0.

Kwa hiyo, katika logi ya kazi 2 x (x - 3) kila sababu itakuwa kubwa kuliko sifuri. Kwa hivyo, unaweza kutenganisha bidhaa kwa usalama kwa kiasi:

gogo 2 x logi 2 (x - 3) + 1 = gogo 2 x + gogo 2 (x - 3)

gogo 2 x gogo 2 (x - 3) + 1 - gogo 2 x - gogo 2 (x - 3) = 0

Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa mambo hayajawa rahisi. Kinyume chake: idadi ya masharti imeongezeka tu! Ili kuelewa jinsi ya kuendelea, wacha tuanzishe anuwai mpya:

logi 2 x = a

gogo 2 (x - 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

Sasa tuunganishe muhula wa tatu na wa kwanza:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Kumbuka kuwa mabano yote ya kwanza na ya pili yana b - 1 (katika kesi ya pili, itabidi utoe "minus" kutoka kwa mabano). Wacha tuanze ujenzi wetu:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Na sasa hebu tukumbuke sheria yetu nzuri: bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri:

b - 1 = 0 ⇒ b = 1;

a - 1 = 0 ⇒ a = 1.

Wacha tukumbuke b na a ni nini. Tunapata hesabu mbili rahisi za logarithmic ambazo kilichobaki ni kuondoa alama za kumbukumbu na kusawazisha hoja:

gogo 2 x = 1 ⇒ gogo 2 x = gogo 2 2 ⇒ x 1 =2;

gogo 2 (x - 3) = 1 ⇒ gogo 2 (x - 3) = gogo 2 2 ⇒ x 2 = 5

Tulipata mizizi miwili, lakini haya si suluhu kwa mlinganyo wa asili wa logarithmic, bali ni watahiniwa wa jibu pekee. Sasa hebu tuangalie kikoa cha ufafanuzi. Kwa hoja ya kwanza:

x> 0

Mizizi yote miwili inakidhi mahitaji ya kwanza. Wacha tuendelee kwenye hoja ya pili:

x - 3 > 0 ⇒ x > 3

Lakini hapa x = 2 haituridhishi, lakini x = 5 inatufaa kabisa. Kwa hivyo, jibu pekee ni x = 5.

Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili wa logarithmic. Kwa mtazamo wa kwanza, ni rahisi zaidi. Walakini, katika mchakato wa kuisuluhisha, tutazingatia vidokezo vya hila vinavyohusiana na wigo wa ufafanuzi, ujinga ambao unachanganya sana maisha ya wanafunzi wa mwanzo.

logi 0.7 (x 2 - 6x + 2) = logi 0.7 (7 − 2x)

Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic. Hakuna haja ya kubadilisha chochote - hata misingi ni sawa. Kwa hivyo, tunalinganisha tu hoja:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Tunayo equation ya quadratic hapa chini, inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za Vieta:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = -1.

Lakini mizizi hii sio majibu ya mwisho. Ni muhimu kupata kikoa cha ufafanuzi, kwa kuwa equation ya awali ina logarithms mbili, i.e. kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi ni muhimu sana.

Kwa hivyo, wacha tuandike kikoa cha ufafanuzi. Kwa upande mmoja, hoja ya logariti ya kwanza lazima iwe kubwa kuliko sifuri:

x 2 − 6x + 2 > 0

Kwa upande mwingine, hoja ya pili lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri:

7 − 2x > 0

Mahitaji haya lazima yatimizwe kwa wakati mmoja. Na hapa ndipo furaha huanza. Kwa kweli, tunaweza kutatua kila moja ya usawa huu, kisha tukaingiliana na kupata kikoa cha equation nzima. Lakini kwa nini ufanye maisha kuwa magumu sana kwako mwenyewe?

Wacha tuangalie ujanja mmoja. Kwa kuondoa alama za logi, tunalinganisha hoja. Inafuata kwamba mahitaji x 2 - 6x + 2 > 0 na 7 - 2x > 0 ni sawa. Kama matokeo, moja ya tofauti hizo mbili zinaweza kuondolewa. Wacha tuvuke sehemu ngumu zaidi na tujiachie na usawa wa kawaida wa mstari:

−2x > −7

x< 3,5

Kwa kuwa tuligawanya pande zote mbili kwa nambari hasi, ishara ya ukosefu wa usawa ilibadilika.

Kwa hivyo, tulipata ODZ bila usawa wowote wa quadratic, ubaguzi na makutano. Sasa kilichobaki ni kuchagua tu mizizi ambayo iko kwenye muda huu. Ni wazi, ni x = -1 pekee itatufaa, kwa sababu x = 5 > 3.5.

Tunaweza kuandika jibu: x = 1 ndilo suluhu pekee la mlinganyo wa asili wa logarithmic.

Hitimisho kutoka kwa mlinganyo huu wa logarithmic ni kama ifuatavyo:

Usiogope kuangazia logariti, na kisha uzingatie mambo kwa jumla ya logariti. Walakini, kumbuka kuwa kwa kugawa bidhaa katika jumla ya logarithm mbili, kwa hivyo unapunguza wigo wa ufafanuzi. Kwa hiyo, kabla ya kufanya uongofu huo, hakikisha uangalie mahitaji ya upeo ni nini. Mara nyingi, hakuna matatizo yanayotokea, lakini hainaumiza kuwa upande salama.
Unapoondoa fomu ya kisheria, jaribu kuongeza mahesabu. Hasa, ikiwa tunatakiwa kuwa na f > 0 na g > 0, lakini katika equation yenyewe f = g, basi tunaweza kuvuka kwa usalama moja ya kutofautiana, na kuacha moja tu rahisi zaidi. Kikoa cha ufafanuzi na majibu hakitaathiriwa kwa njia yoyote, lakini kiasi cha mahesabu kitapungua kwa kiasi kikubwa.

Hiyo ndiyo yote nilitaka kukuambia juu ya kikundi :)

Makosa ya kawaida wakati wa kutatua

Leo tutaangalia milinganyo miwili ya kawaida ya logarithmic ambayo wanafunzi wengi hujikwaa. Kwa kutumia hesabu hizi kama mfano, tutaona ni makosa gani mara nyingi hufanywa katika mchakato wa kutatua na kubadilisha misemo ya asili.

Milinganyo ya kimantiki yenye mantiki na logariti

Ikumbukwe mara moja kuwa hii ni aina ya hila ya milinganyo, ambayo hakuna sehemu kila wakati na logarithm mahali fulani kwenye denominator. Walakini, katika mchakato wa mabadiliko sehemu kama hiyo hakika itatokea.

Wakati huo huo, kuwa makini: wakati wa mchakato wa mabadiliko, uwanja wa awali wa ufafanuzi wa logarithms unaweza kubadilika kwa kiasi kikubwa!

Tunasonga kwenye milinganyo kali zaidi ya logarithmic iliyo na sehemu na besi tofauti. Ili kufanya mengi zaidi katika somo moja fupi, sitakuambia nadharia ya msingi. Wacha tuende moja kwa moja kwenye majukumu:

4 kumbukumbu 25 (x - 1) - gogo 3 27 + 2 kumbukumbu x - 1 5 = 1

Ukiangalia mlingano huu, mtu atauliza: “Hii ina uhusiano gani na mlingano wa kimantiki wa sehemu? Sehemu iko wapi katika mlinganyo huu? Hebu tuchukue muda wetu na tuangalie kwa makini kila muhula.

Muda wa kwanza: 4 logi 25 (x - 1). Msingi wa logariti ni nambari, lakini hoja ni kazi ya mabadiliko ya x. Bado hatuwezi kufanya lolote kuhusu hili. Hebu tuendelee.

Muda unaofuata ni: logi 3 27. Kumbuka kwamba 27 = 3 3. Kwa hivyo, tunaweza kuandika upya logarithm nzima kama ifuatavyo:

kumbukumbu 3 27 = 3 3 = 3

Kwa hivyo muhula wa pili ni tatu tu. Muda wa tatu: 2 logi x - 1 5. Sio kila kitu ni rahisi hapa pia: msingi ni kazi, hoja ni nambari ya kawaida. Ninapendekeza kubadilisha logarithm nzima kwa kutumia fomula ifuatayo:

logi a b = 1/logi b a

Mabadiliko kama haya yanaweza tu kufanywa ikiwa b ≠ 1. Vinginevyo, logarithm inayoonekana katika denominator ya sehemu ya pili haitakuwepo tu. Kwa upande wetu b = 5, kwa hivyo kila kitu ni sawa:

logi 2 x - 1 5 = 2/logi 5 (x - 1)

Wacha tuandike tena mlinganyo wa asili kwa kuzingatia mabadiliko yanayotokea:

4 kumbukumbu 25 (x - 1) − 3 + 2/ logi 5 (x - 1) = 1

Katika denominator ya sehemu tuna logi 5 (x - 1), na katika muda wa kwanza tuna logi 25 (x - 1). Lakini 25 = 5 2, kwa hivyo tunachukua mraba kutoka kwa msingi wa logarithm kulingana na sheria:

Kwa maneno mengine, nguvu kwenye msingi wa logarithm inakuwa sehemu ya mbele. Na usemi huo utaandikwa tena kama hii:

4 1/2 logi 5 (x − 1) − 3 + 2/ logi 5 (x - 1) − 1 = 0

Tuliishia na mlinganyo mrefu wenye rundo la logariti zinazofanana. Wacha tuanzishe kigezo kipya:

logi 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

Lakini hii ni equation ya kimantiki, ambayo inaweza kutatuliwa kwa kutumia algebra ya daraja la 8-9. Kwanza, hebu tugawanye kila kitu kwa mbili:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Kuna mraba halisi katika mabano. Wacha tuivunje:

(t − 1) 2 /t = 0

Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari yake ni sifuri na denominator yake sio sifuri. Kamwe usisahau ukweli huu:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Wacha tukumbuke ni nini:

logi 5 (x - 1) = 1

logi 5 (x - 1) = kumbukumbu 5 5

Tunaondoa alama za kumbukumbu, kusawazisha hoja zao, na kupata:

x - 1 = 5 ⇒ x = 6

Wote. Tatizo linatatuliwa. Lakini wacha turudi kwenye mlinganyo wa asili na tukumbuke kwamba kulikuwa na logariti mbili zilizo na mabadiliko ya x. Kwa hiyo, ni muhimu kuandika kikoa cha ufafanuzi. Kwa kuwa x − 1 iko kwenye hoja ya logariti, usemi huu lazima uwe mkubwa kuliko sufuri:

x − 1 > 0

Kwa upande mwingine, sawa x - 1 pia iko kwenye msingi, kwa hivyo lazima itofautiane na umoja:

x − 1 ≠ 1

Kuanzia hapa tunahitimisha:

x > 1; x ≠ 2

Mahitaji haya lazima yatimizwe kwa wakati mmoja. Thamani x = 6 inakidhi mahitaji yote mawili, kwa hivyo x = 6 ndilo suluhu la mwisho la mlingano wa logarithmic.

Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:

Wacha tuchukue wakati wetu tena na tuangalie kila muhula:

logi 4 (x + 1) - msingi ni nne. Ni nambari ya kawaida na sio lazima uiguse. Lakini mara ya mwisho tulikutana na mraba kamili kwenye msingi, ambao ulipaswa kutolewa kutoka chini ya ishara ya logarithm. Wacha tufanye vivyo hivyo sasa:

logi 4 (x + 1) = 1/2 kumbukumbu 2 (x + 1)

Ujanja ni kwamba tayari tuna logarithm iliyo na mabadiliko ya x, ingawa katika msingi - ni kinyume cha logarithm ambayo tumepata hivi punde:

8 kumbukumbu x + 1 2 = 8 (1/logi 2 (x + 1)) = 8/logi 2 (x + 1)

Neno linalofuata ni logi 2 8. Hii ni mara kwa mara, kwani hoja zote mbili na msingi ni nambari za kawaida. Wacha tupate thamani:

kumbukumbu 2 8 = logi 2 2 3 = 3

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na logarithm ya mwisho:

Sasa hebu tuandike tena mlinganyo wa asili:

1/2 logi 2 (x + 1) + 8/logi 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;

logi 2 (x + 1)/2 + 8/logi 2 (x + 1) − 4 = 0

Wacha tulete kila kitu kwa dhehebu la kawaida:

Tena tunayo mlingano wa kimantiki wa sehemu. Wacha tuanzishe kigezo kipya:

t = logi 2 (x + 1)

Wacha tuandike tena equation kwa kuzingatia utofauti mpya:

Kuwa mwangalifu: katika hatua hii nilibadilisha masharti. Nambari ya sehemu ina mraba wa tofauti:

Kama hapo awali, sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari yake ni sifuri na denominator yake sio sifuri:

(t - 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Tumepokea mzizi mmoja ambao unakidhi mahitaji yote, kwa hivyo tunarudi kwa kutofautisha x:

logi 2 (x + 1) = 4;

logi 2 (x + 1) = logi 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

Hiyo ndiyo yote, tumesuluhisha equation. Lakini kwa kuwa kulikuwa na logarithms kadhaa katika equation ya awali, ni muhimu kuandika uwanja wa ufafanuzi.

Kwa hivyo, usemi x + 1 uko kwenye hoja ya logariti. Kwa hiyo x + 1 > 0. Kwa upande mwingine, x + 1 pia iko katika msingi, i.e. x + 1 ≠ 1. Jumla:

0 ≠ x > −1

Je, mzizi uliopatikana unakidhi mahitaji haya? Bila shaka. Kwa hivyo, x = 15 ni suluhisho la mlinganyo wa asili wa logarithmic.

Hatimaye, ningependa kusema yafuatayo: ukiangalia equation na kuelewa kwamba unapaswa kutatua kitu ngumu na isiyo ya kawaida, jaribu kutambua miundo imara ambayo baadaye itateuliwa na kutofautiana mwingine. Ikiwa baadhi ya maneno hayana utofauti wa x kabisa, mara nyingi yanaweza kuhesabiwa kwa urahisi.

Hiyo ndiyo yote nilitaka kuzungumza juu ya leo. Natumai somo hili litakusaidia katika kutatua milinganyo changamano ya logarithmic. Tazama mafunzo mengine ya video, pakua na utatue matatizo yako mwenyewe, na tuonane kwenye video inayofuata!

mali kuu.

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

misingi inayofanana

Log6 4 + log6 9.

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.

Mifano ya kutatua logarithms

Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Mpito kwa msingi mpya

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Tazama pia:

Tabia za kimsingi za logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mali ya msingi ya logarithms

Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Mifano ya logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

Mfano 2. Tafuta x kama

Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa bila wao. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.

Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.

Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Tazama pia:

Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika

Tabia za kimsingi za logarithm

Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Sifa zingine za kigeni zinaweza kupatikana kupitia upotoshaji wa hisabati na fomula hizi

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika kazi kadhaa zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.

Kesi za kawaida za logarithms

Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni sawa na kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).

Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano

Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na

Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha

Logarithm muhimu au kizuia derivative imedhamiriwa na uhusiano

Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka kwa mtaala wa shule na vyuo vikuu.

Mifano ya logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo

3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata

Usemi unaoonekana kuwa changamano hurahisishwa kuunda kwa kutumia sheria kadhaa

Kupata thamani za logarithm

Mfano 2. Tafuta x kama

Suluhisho. Kwa hesabu, tunaomba kwa muhula wa mwisho wa 5 na 13 mali

Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza

Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo

Logarithms. Kiwango cha kuingia.

Acha thamani ya logariti itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.

Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mada nyingine muhimu - usawa wa logarithmic ...

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

1. Suluhisho ni la kawaida - hebu tumia kanuni ya kuzidisha kwa 1:

Sasa tunaondoa logarithms:

Wacha tuzidishe kwa njia tofauti:

Uchunguzi

Inafaa!

Uchunguzi

Na inafaa hapa! Labda nilikosea, na mizizi inafaa kila wakati? Hebu tuangalie mfano unaofuata!

Mfano Nambari 2

Wacha tuwakilishe mara tatu kwa kutumia njia tunayopenda katika fomu

Upande wa kushoto na kulia tutatumia formula kwa jumla ya logarithms.

Mfano Nambari 3

Suluhisho ni sawa na mfano uliojadiliwa hapo awali: Wacha tugeuze kitengo cha kulia kuwa (hebu nikumbushe kwamba - logariti ya desimali, au logariti kwa msingi), na tufanye shughuli kati ya logariti upande wa kushoto na kulia:

Sasa hebu tuondoe logarithms upande wa kushoto na kulia:

\kushoto((x) -2 \kulia)\kushoto((x) -3 \kulia)=2

Uchunguzi:

Tena, logariti zote mbili upande wa kushoto hazijafafanuliwa, kwani zinachukuliwa kutoka kwa nambari hasi. Kisha sio mzizi.

tangu wakati huo

Jibu:

Natumai kuwa mifano iliyopewa hivi punde itakuondoa kabisa kutoka kwa kuruka ukaguzi wakati wa kusuluhisha milinganyo ya logarithmic. Ni lazima!

Mlinganyo wa logarithmic wenye msingi unaobadilika

Sasa ningependa kuangalia aina nyingine (changamano zaidi) ya milinganyo ya logarithmic na wewe. Haya yatakuwa milinganyo yenye msingi unaobadilika.

Kabla ya hili, tulizingatia tu kesi ambapo besi zilikuwa za mara kwa mara: nk Lakini hakuna kitu kinachowazuia kuwa baadhi ya kazi za, kwa mfano, nk.

Lakini usiogope! Ikiwa, wakati wa kutatua usawa wa logarithmic, msingi wa kutofautiana husababisha usumbufu mwingi, basi Hii haina athari kwa ugumu wa kutatua equation! Jihukumu mwenyewe:

Mfano Nambari 1

Tunaendelea kama hapo awali: tumia njia ya "zidisha moja" kwa nambari:

Kisha equation ya asili inabadilishwa kuwa fomu:

nitaomba formula tofauti ya mraba:

Uchunguzi:

Tunafikia hitimisho gani? Si sahihi! Nambari sio mzizi wa mlinganyo kwa sababu msingi wa logariti hauwezi kuwa nambari hasi au sawa na moja!

Jibu: .

Kama unavyoona, katika kesi ya equations hakuna tofauti ya kimsingi ikiwa besi zetu zinabadilika au la. Katika suala hili, tunaweza kusema kwamba kuamua mlinganyo wa logarithmic kawaida ni rahisi zaidi kuliko kutatua usawa wa logarithmic!

Hebu sasa tujaribu kutatua mfano mwingine "wa ajabu".

Mfano Nambari 2

Tutafanya kama kawaida - tutageuza upande wa kulia kuwa logarithm, kama hii gumu:

Kisha mlinganyo wa asili wa logarithmic utakuwa sawa na mlinganyo huu (ingawa logarithmic tena)

Nitasuluhisha equation hii tena kwa kutumia tofauti za mraba:

Wacha tusuluhishe ya kwanza kwanza, ya pili itatatuliwa kwa takriban njia sawa:

Itatumika tena "kuzidisha kwa 1":

Vivyo hivyo kwa equation ya pili:

Sasa inakuja sehemu ya kufurahisha: uthibitishaji. Wacha tuanze na mzizi wa kwanza

Msingi wa logarithm "kubwa" ni sawa na

Kwa hivyo sio mzizi.

Wacha tuangalie nambari ya pili:

nambari hiyo ndio mzizi wa mlingano asilia.

Jibu:

Nilitoa kwa makusudi mfano mgumu kukuonyesha kuwa haupaswi kuogopa logarithm kubwa na za kutisha.

Inatosha kujua fomula chache (ambazo tayari nimekupa hapo juu) na unaweza kupata njia ya kutoka kwa hali yoyote (karibu)!

Naam, nimekupa mbinu za msingi za kutatua milinganyo ya logarithmic (mbinu za "hakuna frills"), ambayo itawawezesha kukabiliana na mifano mingi (hasa kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja).

Sasa ni wakati wako wa kuonyesha ulichojifunza. Jaribu kutatua yafuatayo mwenyewe milinganyo ya logarithmic, na kisha tutalinganisha matokeo na wewe.

Mifano saba kwa kazi ya kujitegemea

Mbinu zilizojadiliwa katika kazi hii, bila shaka, hazizima njia zote zinazowezekana za kutatua equations za logarithmic.

Katika baadhi ya matukio, tunahitaji kuwa wabunifu kweli ili kutafuta njia ya kupata mizizi ya mlingano wa hila.

Walakini, haijalishi mlinganyo wa awali ni mgumu kiasi gani, matokeo yake utapunguzwa hadi mlinganyo wa aina ambayo wewe na mimi tumejifunza kutatua!

Majibu ya mifano kwa kazi ya kujitegemea

1. Kazi rahisi kabisa: wacha tutumie mali:

katika subtrahend:

Kisha tunapata:

Hebu tuangalie:

(Tayari nimekuelezea mpito huu hapo juu)

Jibu: 9

2. Pia hakuna kisicho cha kawaida: Sitaki kugawanya, kwa hivyo nitasogeza neno na "minus" kulia: sasa nina logarithm za desimali upande wa kushoto na kulia, na ninaziondoa:

Ninaangalia:

usemi ulio chini ya ishara ya logariti hauwezi kuwa hasi, kwa hivyo nambari sio mzizi wa equation.

Uchunguzi

Jibu:

Hapa tunahitaji kufanya kazi kidogo: ni wazi kwamba nitatumia tena formula (sio muhimu sana?):

Ninahitaji kufanya nini kabla ya kutumia fomula ya nyongeza ya logarithm? Ndio, ninahitaji kuondoa kizidishi. Kuna njia mbili: ya kwanza ni kuiingiza moja kwa moja kwenye logarithm kwa kutumia formula:

Kimsingi, njia hii ina haki ya kuwepo, lakini ni nini mbaya kuhusu hilo? Ni mbaya kushughulika na usemi wa fomu ("shahada isiyo kamili" daima haipendezi. Kwa hivyo ni nini kingine tunaweza kufanya? Tunawezaje kuondokana na "shahada isiyo ya nambari kamili" kama hiyo? Hebu tuzidishe kwa mlinganyo wetu:

Kweli, sasa wacha tuweke sababu zote mbili kwenye logarithm:

basi nitabadilisha sifuri na

Na mwishowe ninapata:

Je, unakumbuka fomula hii ya shule "isiyopendwa" inaitwaje? Hii tofauti ya mchemraba! Labda hii ni wazi zaidi?

Acha nikukumbushe kuwa tofauti ya cubes imedhamiriwa kama hii:

na hapa kuna nyingine ikiwa tu:

Kuhusiana na hali yetu, hii itatoa:

Equation ya kwanza ina mzizi, lakini ya pili haina mizizi (tazama mwenyewe!).

Nitakuachia ujiangalie na uhakikishe kuwa nambari hiyo ndio mzizi wa mlinganyo wetu.

Kama katika mfano uliopita, tunaandika tena

Tena, sitaki mapunguzo yoyote (na mgawanyiko unaofuata) na kwa hivyo nitahamisha usemi unaosababishwa kulia:

Sasa ninaondoa logarithm upande wa kushoto na kulia:

Tulipata equation isiyo na mantiki, ambayo natumai tayari unajua jinsi ya kutatua. Acha nikukumbushe tu kwamba tuna mraba pande zote mbili:

Kazi yako sasa ni kuhakikisha kuwa sio mzizi, lakini ni.

Jibu:

Kila kitu ni wazi: tunatumia formula ya jumla ya logarithms upande wa kushoto:

basi tunaondoa logarithm pande zote mbili:

Uchunguzi:

Jibu: ;

Kila kitu hakiwezi kuwa rahisi zaidi: equation tayari imepunguzwa kwa fomu yake rahisi. Tunachotakiwa kufanya ni kusawazisha

Hebu tuangalie:

Lakini wakati msingi wa logarithms ni sawa na:

Na sio mzizi.

Jibu:

Niliacha mfano huu kwa dessert. Ingawa hakuna kitu ngumu sana juu yake pia.

Wacha tufikirie sifuri kama

Kisha mimi na wewe tutapata hii mlinganyo wa logarithmic:

Na tunaondoa "ngozi" ya kwanza - logarithms za nje.

Wacha tuwakilishe kitengo kama

Kisha equation yetu itachukua fomu:

Sasa tunaondoa "ngozi ya pili" na kufikia msingi:

Hebu tuangalie:

Jibu: .

MBINU 3 ZA KUTATUA MALIngano wa LOGARITHM. NGAZI YA JUU

Sasa, baada ya kusoma kifungu cha kwanza juu ya milinganyo ya logarithmic, umejua kiwango cha chini cha maarifa kinachohitajika kutatua mifano rahisi zaidi.

Sasa naweza kuendelea kuchanganua zaidi mbinu tatu kutatua milinganyo ya logarithmic:

njia ya kuanzisha tofauti mpya (au uingizwaji)
njia ya logarithm
njia ya mpito kwa msingi mpya.

Njia ya kwanza- moja ya mara nyingi kutumika katika mazoezi. Inasuluhisha shida nyingi "ngumu" zinazohusiana na kutatua milinganyo ya logarithmic (na sio tu).

Njia ya pili hutumika kusuluhisha milinganyo mchanganyiko ya kielelezo-logarithmic, mwishowe inapunguza shida kwa kuchagua tofauti nzuri ya uingizwaji (hiyo ni, kwa njia ya kwanza).

Mbinu ya tatu yanafaa kwa ajili ya kutatua baadhi ya milinganyo ambapo logariti zenye besi tofauti hutokea.

Nitaanza kwa kuangalia njia ya kwanza.

Njia ya kuanzisha kibadilishaji kipya (mifano 4)

Kama vile ulivyoelewa tayari kutoka kwa jina, kiini cha njia hii ni kuanzisha mabadiliko kama hayo ya kutofautisha kwamba equation yako ya logarithmic itabadilika kimiujiza kuwa moja ambayo unaweza kutatua kwa urahisi.

Kinachobaki kwako baada ya kutatua "mlinganyo uliorahisishwa" ni kufanya "uingizwaji wa nyuma": yaani, kurudi kutoka kwa kubadilishwa hadi kubadilishwa.

Wacha tuonyeshe kile tulichosema hivi karibuni kwa mfano rahisi sana:

Katika mfano huu, uingizwaji unajipendekeza! Baada ya yote, ni wazi kwamba ikiwa tutabadilisha na, basi equation yetu ya logarithmic itageuka kuwa ya busara:

Unaweza kuitatua kwa urahisi kwa kuipunguza hadi mraba:

(ili dhehebu lisirudishe kwa sifuri kwa bahati mbaya!)

Kurahisisha usemi unaosababishwa, hatimaye tunapata:

Sasa tunafanya uingizwaji wa kinyume: , kisha inafuata kutoka kwa hiyo, na kutoka tunapata

Sasa, kama hapo awali, ni wakati wa kuangalia:

Hebu iwe mwanzoni, kwa sababu basi ni kweli!

Sasa, basi, kila kitu ni sawa!

Kwa hivyo, nambari ni mizizi ya equation yetu ya asili.

Jibu: .

Hapa kuna mfano mwingine na uingizwaji dhahiri:

Kwa kweli, wacha tuibadilishe mara moja

basi equation yetu ya asili ya logarithmic itageuka kuwa quadratic:

Ubadilishaji wa nyuma:

Angalia mwenyewe, hakikisha kwamba katika kesi hii nambari zote mbili tulizopata ni mizizi.

Nadhani umepata wazo kuu. Sio mpya na inatumika sio tu kwa milinganyo ya logarithmic.

Jambo lingine ni kwamba wakati mwingine ni ngumu sana "kuona" uingizwaji mara moja. Hii inahitaji uzoefu fulani, ambao utakuja kwako baada ya juhudi fulani kwa upande wako.

Wakati huo huo, fanya mazoezi ya kutatua mifano ifuatayo:

Tayari? Wacha tuangalie ulichonacho:

Hebu tutatue mfano wa pili kwanza.

Anakuonyesha tu kuwa haiwezekani kila wakati kuchukua nafasi, kama wanasema, "kichwa-juu".

Kwanza tunahitaji kubadilisha equation yetu kidogo: tumia fomula ya tofauti ya logariti kwenye nambari ya sehemu ya kwanza, na uchukue nguvu katika nambari ya pili.

Kwa kufanya hivi, utapokea:

Sasa uingizwaji umekuwa wazi, sivyo? Wacha tuifanye:.

Sasa hebu tulete sehemu kwa dhehebu la kawaida na kurahisisha.

Kisha tunapata:

Baada ya kusuluhisha equation ya mwisho, utapata mizizi yake: wapi.

Jichunguze mwenyewe na uhakikishe kuwa hizi ndio mizizi ya mlinganyo wetu wa asili.

Sasa hebu tujaribu kutatua equation ya tatu.

Kweli, kwanza kabisa, ni wazi kuwa haitatuumiza kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo. Hakuna ubaya, lakini faida ni dhahiri.

Sasa hebu tufanye mbadala. Ulidhani tutachukua nafasi gani, sivyo? Hiyo ni kweli, tuseme. Kisha equation yetu itachukua fomu ifuatayo:

(mizizi yote miwili inatufaa!)

Sasa uingizwaji wa kinyume: , kutoka, kutoka. Mlinganyo wetu wa asili una mizizi kama minne! Hakikisha hii, wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana kwenye equation. Tunaandika jibu:

Jibu: .

Nadhani sasa wazo la kuchukua nafasi ya kutofautisha liko wazi kabisa kwako? Sawa, basi tusiishie hapo na tuendelee na njia nyingine ya kutatua hesabu za logarithmic: njia ya mpito kwa msingi mpya.

Njia ya mpito kwa msingi mpya

Wacha tuzingatie equation ifuatayo:

Tunaona nini? Logarithmu mbili zinadaiwa "kinyume" kwa kila mmoja. Nifanye nini? Kila kitu ni rahisi: tunahitaji tu kuamua moja ya fomula mbili:

Kimsingi, hakuna kinachonizuia kutumia mojawapo ya fomula hizi mbili, lakini kwa sababu ya muundo wa equation, itakuwa rahisi kwangu kutumia ya kwanza: Nitaondoa msingi wa kutofautisha wa logarithm katika muhula wa pili. kwa kuibadilisha na. Sasa ni rahisi kuona kwamba kazi imepunguzwa kwa uliopita: kuchagua uingizwaji. Kubadilisha, napata equation ifuatayo:

Kutoka hapa. Unachohitajika kufanya ni kubadilisha nambari zilizopatikana kwenye equation ya asili na uhakikishe kuwa kweli ni mizizi.

Hapa kuna mfano mwingine ambapo inaeleweka kuhamia msingi mpya:

Walakini, kama unaweza kuangalia kwa urahisi, ikiwa wewe na mimi tutahamia msingi mpya mara moja, hii haitatoa athari inayotaka. Tunahitaji kufanya nini katika kesi hii? Hebu kurahisisha kila kitu iwezekanavyo, na kisha chochote kinachotokea.
Kwa hivyo ninachotaka kufanya ni kufikiria jinsi ya, jinsi ya, kuchukua nguvu hizi mbele ya logariti, na pia kuchukua mraba wa X katika logarithm ya kwanza. Tutaona baadaye.

Kumbuka, inaweza kuwa ngumu zaidi kufanya urafiki na msingi kuliko kwa usemi chini ya ishara ya logarithm!

Kufuatia sheria hii, nitabadilisha na na. Kisha nitapata:

Kweli, hatua zinazofuata tayari zinajulikana kwako. Badilisha na utafute mizizi!

Kama matokeo, utapata mizizi miwili ya equation ya asili:

Ni wakati wa kukuonyesha ulichojifunza!

Kwanza jaribu kutatua mifano ifuatayo (sio rahisi zaidi) peke yako:

1. Kila kitu hapa ni cha kawaida kabisa: Nitajaribu kupunguza equation yangu ya asili ili uingizwaji uwe rahisi. Ninahitaji nini kwa hili? Kwanza, badilisha usemi wa kwanza upande wa kushoto (ondoa nguvu ya nne ya mbili kabla ya logarithm) na uondoe nguvu ya mbili kutoka kwa msingi wa logarithm ya pili. Kisha nitapata:

Kilichobaki ni "kugeuza" logarithm ya kwanza!

\frac(12)(\logi_(2)(x))=3(\logi )_(2))x

(kwa urahisi, nilihamisha logarithm ya pili kutoka kushoto kwenda upande wa kulia wa equation)

Tatizo ni karibu kutatuliwa: unaweza kufanya uingizwaji. Baada ya kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida, napata equation ifuatayo:

Baada ya kufanya ubadilishaji wa nyuma, haitakuwa ngumu kwako kuhesabu kuwa:

Hakikisha kwamba maadili yaliyopatikana ni mizizi ya equation yetu.

2. Hapa pia nitajaribu "kufaa" equation yangu kwa uingizwaji unaokubalika. Ipi? Labda itanifaa.

Kwa hivyo tusipoteze wakati na tuanze kubadilika!

((\logi )_(x))5((x)^(2))\cdot \logi \frac(2)(5)x=1

Kweli, sasa unaweza kuibadilisha kwa usalama! Halafu, kwa heshima na utofauti mpya, tunapata equation ifuatayo:

Wapi. Tena, kuhakikisha kuwa nambari hizi zote mbili ni mizizi imeachwa kwako kama zoezi.

3. Hapa haijulikani hata mara moja tutabadilisha nini. Kuna kanuni moja ya dhahabu - Ikiwa hujui la kufanya, fanya unachoweza! Hiyo ndiyo nitakayotumia!

Sasa "nitageuza" logariti zote na kutumia fomula ya logariti tofauti kwa ile ya kwanza, na jumla ya logarithm kwa mbili za mwisho:

Hapa pia nilitumia ukweli kwamba (saa) na mali ya kuchukua nguvu kutoka kwa logarithm. Naam, sasa tunaweza kuomba uingizwaji unaofaa:. Nina hakika kuwa tayari unajua jinsi ya kutatua milinganyo ya busara, hata aina hii ya kutisha. Kwa hivyo, nitajiruhusu mara moja kuandika matokeo:

Inabakia kutatua milinganyo miwili:. Tayari umejitambulisha na njia za kutatua hesabu "karibu rahisi" katika sehemu iliyopita. Kwa hivyo nitaandika suluhisho za mwisho mara moja:

Hakikisha kuwa nambari mbili tu kati ya hizi ndizo mizizi ya equation yangu! Yaani, ni na, wakati sio mzizi!

Mfano huu ni mgumu zaidi, hata hivyo, nitajaribu kuusuluhisha bila kutumia uingizwaji wa kutofautisha hata kidogo! Hebu tufanye tena, hebu tufanye kile tunachoweza: kwanza, tunaweza kupanua logarithm upande wa kushoto kulingana na formula ya logarithm ya uwiano, na pia kuweka mbili mbele ya logarithm katika mabano. Mwishowe nitapata:

Kweli, sasa formula ile ile ambayo tumetumia tayari! Kwa hiyo, hebu tufupishe upande wa kulia! Sasa kuna deu tu hapo! Wacha tuhamishe moja kwake kutoka kushoto, na mwishowe tunapata:

Tayari unajua jinsi ya kutatua milinganyo kama hii. Mzizi hupatikana bila shida, na ni sawa. Nakukumbusha kuangalia!

Kweli, sasa, kama ninavyotumai, umejifunza kutatua shida ngumu ambazo huwezi kushinda "kichwa"! Lakini milinganyo ya logarithmic inaweza kuwa ya siri zaidi! Hapa kuna baadhi ya mifano:

Hapa, ole, suluhisho la awali halitatoa matokeo yanayoonekana. Kwa nini unafikiri? Ndiyo, hakuna tena "usawa" wowote wa logariti hapa. Kesi hii ya jumla, kwa kweli, inaweza pia kutatuliwa, lakini tayari tunatumia fomula ifuatayo:

Fomula hii haijali kama una "kinyume" au la. Unaweza kuuliza, kwa nini kuchagua msingi? Jibu langu ni kwamba haijalishi. Jibu hatimaye halitategemea hii. Kijadi, ama logarithm asili au decimal hutumiwa. Ingawa hii sio muhimu. Kwa mfano, nitatumia decimal:

Kuacha jibu katika fomu hii ni aibu kabisa! Ngoja kwanza niandike kwa ufafanuzi huo

Sasa ni wakati wa kutumia: ndani ya mabano - kitambulisho kikuu cha logarithmic, na nje (hadi kiwango) - geuza uwiano kuwa logarithm moja: basi hatimaye tunapata "ajabu" hii jibu: .

Urahisishaji zaidi, ole, haupatikani tena kwetu.

Wacha tuangalie pamoja:

Sawa! Kwa njia, kumbuka tena kile ambacho usawa wa mwisho katika mlolongo unafuata kutoka!

Kimsingi, suluhisho la mfano huu pia linaweza kupunguzwa kwa mpito kwa logarithm kulingana na msingi mpya, lakini unapaswa kuwa na hofu ya kile kitakachotokea mwishoni. Wacha tujaribu kufanya jambo la busara zaidi: badilisha upande wa kushoto bora iwezekanavyo.

Kwa njia, unafikiri nilipataje mtengano wa mwisho? Hiyo ni kweli, nilitumia nadharia juu ya kuunda trinomial ya quadratic, ambayo ni:

Ikiwa, ni mizizi ya equation, basi:

Kweli, sasa nitaandika tena mlinganyo wangu wa asili katika fomu hii:

Lakini tuna uwezo kabisa wa kutatua shida kama hiyo!

Kwa hivyo, wacha tuanzishe mbadala.

Kisha equation yangu ya awali itachukua fomu hii rahisi:

Mizizi yake ni sawa na:, basi

Mlinganyo huu unatoka wapi? haina mizizi.

Unachohitajika kufanya ni kuangalia!

Jaribu kutatua equation ifuatayo mwenyewe. Kuchukua muda wako na kuwa makini, basi bahati itakuwa upande wako!

Tayari? Hebu tuone kile tulichonacho.

Kwa kweli, mfano huo unatatuliwa kwa hatua mbili:

1. Badilisha

2. sasa upande wa kulia nina usemi ambao ni sawa na

Kwa hivyo, equation ya asili ilipunguzwa hadi rahisi zaidi:

Jaribio linaonyesha kuwa nambari hii ndio mzizi wa mlinganyo.

Mbinu ya Logarithm

Na mwishowe, nitajadili kwa ufupi sana njia za kutatua hesabu zilizochanganyika. Kwa kweli, sijishughulishi kufunika hesabu zote zilizochanganywa, lakini nitaonyesha njia za kutatua zile rahisi zaidi.

Kwa mfano,

Equation kama hiyo inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya logarithm. Unachohitajika kufanya ni kuchukua logarithm ya pande zote mbili.

Ni wazi kwamba kwa kuwa tayari tuna logariti kwa msingi, nitachukua logarithm kwa msingi sawa:

Sasa nitachukua nguvu kutoka kwa usemi ulio upande wa kushoto:

na ubadilishe usemi kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba:

Kuangalia, kama kawaida, ni juu ya dhamiri yako.

Jaribu kutatua mfano wa mwisho katika makala hii mwenyewe!

Wacha tuangalie: chukua logarithm kwenye msingi wa pande zote mbili za equation:

Ninachukua digrii upande wa kushoto na kuigawanya kwa kutumia fomula ya jumla kulia:

Tunadhani moja ya mizizi: ni mzizi.

Katika makala juu ya kutatua hesabu za kielelezo, nilizungumza juu ya jinsi ya kugawanya polynomial moja na "kona" na nyingine.

Hapa tunahitaji kugawanya kwa.

Kama matokeo, tunapata:

Ikiwezekana, fanya ukaguzi mwenyewe (ingawa katika kesi hii, haswa na mizizi miwili ya mwisho, haitakuwa rahisi).

LOGARITHMIC EQUATIONS. KIWANGO CHA JUU

Kwa kuongezea nyenzo ambazo tayari zimewasilishwa, ninapendekeza kwamba wewe na mimi tuzingatie njia nyingine ya kutatua hesabu zilizochanganywa zilizo na logarithm, lakini hapa nitazingatia hesabu ambazo haiwezi kutatuliwa kwa njia iliyojadiliwa hapo awali ya kuchukua logariti za pande zote mbili. Njia hii inaitwa mini-max.

Njia ya Mini-max

Njia hii haitumiki tu kwa kutatua equations mchanganyiko, lakini pia inageuka kuwa muhimu wakati wa kutatua usawa fulani.

Kwa hivyo, kwanza tunatanguliza ufafanuzi wa kimsingi ufuatao ambao ni muhimu kutumia njia ya mini-max.

Picha rahisi zinaonyesha ufafanuzi huu:

Chaguo za kukokotoa upande wa kushoto zinaongezeka mara kwa mara, na upande wa kulia hupungua kimonotoni. Sasa wacha tugeuke kwa kazi ya logarithmic, inajulikana kuwa yafuatayo ni kweli:

Kielelezo kinaonyesha mifano ya utendaji kazi wa logarithmic unaoongezeka mara moja na kupungua kwa monotoni.

Hebu tueleze moja kwa moja njia ya mini-max. Nadhani unaelewa jina hili linatoka kwa maneno gani?

Hiyo ni kweli, kutoka kwa maneno ya chini na ya juu. Kwa kifupi, njia inaweza kuwakilishwa kama:

Lengo letu muhimu zaidi ni kupata hii mara kwa mara ili kupunguza zaidi equation hadi mbili rahisi zaidi.

Kwa kusudi hili, sifa za monotonicity za kazi ya logarithmic iliyoandaliwa hapo juu inaweza kuwa muhimu.

Sasa hebu tuangalie mifano maalum:

1. Hebu tuangalie upande wa kushoto kwanza.

Kuna logarithm iliyo na msingi kidogo. Kulingana na nadharia iliyoandaliwa hapo juu, kazi ni nini? Inapungua. Wakati huo huo, ambayo inamaanisha. Kwa upande mwingine, kwa ufafanuzi wa mzizi:. Hivyo, mara kwa mara hupatikana na sawa. Halafu equation ya asili ni sawa na mfumo:

Equation ya kwanza ina mizizi, na ya pili:. Kwa hivyo, mzizi wa kawaida ni sawa, na mzizi huu utakuwa mzizi wa equation ya awali. Ikiwezekana, fanya hundi ili uhakikishe.

Jibu:

Hebu tufikirie mara moja juu ya kile kilichoandikwa hapa?

Ninamaanisha muundo wa jumla. Inasema hapa kwamba jumla ya miraba miwili ni sifuri.

Hili linawezekana lini?

Ni wakati tu nambari zote mbili ni sawa na sifuri. Kisha tuendelee kwenye mfumo ufuatao:

Equations ya kwanza na ya pili haina mizizi ya kawaida, basi equation ya awali haina mizizi.

Jibu: hakuna masuluhisho.

Hebu tuangalie upande wa kulia kwanza - ni rahisi zaidi. Kwa ufafanuzi wa sine:

Kutoka wapi, na kisha Kwa hiyo

Sasa wacha turudi upande wa kushoto: fikiria usemi chini ya ishara ya logarithm:

Kujaribu kupata mizizi ya equation haitasababisha matokeo mazuri. Lakini hata hivyo, ninahitaji kwa namna fulani kutathmini usemi huu. Wewe, bila shaka, unajua njia kama kuchagua mraba kamili. Nitaitumia hapa.

Kwa kuwa ni kazi inayoongezeka, inafuata hiyo. Hivyo,

Kisha equation yetu ya asili ni sawa na mfumo ufuatao:

Sijui ikiwa unafahamu au hujui kusuluhisha hesabu za trigonometric, kwa hivyo nitafanya hivi: nitasuluhisha equation ya kwanza (ina upeo wa mizizi miwili), kisha nitabadilisha matokeo kuwa ya pili:

(unaweza kuangalia na kuhakikisha kuwa nambari hii ndio mzizi wa equation ya kwanza ya mfumo)

Sasa nitaibadilisha katika equation ya pili:

Jibu:

Kweli, sasa mbinu ya kutumia njia ya mini-max imekuwa wazi kwako? Kisha jaribu kutatua mfano ufuatao mwenyewe.

Tayari? Hebu tuangalie:

Upande wa kushoto ni jumla ya idadi mbili zisizo hasi (umoja na moduli) na kwa hivyo upande wa kushoto sio chini ya moja, na ni sawa na moja tu wakati.

Wakati huo huo, upande wa kulia ni modulus (maana yake ni kubwa kuliko sifuri) ya bidhaa ya cosines mbili (maana yake si zaidi ya moja), basi:

Halafu equation ya asili ni sawa na mfumo:

Ninapendekeza tena kusuluhisha equation ya kwanza na kubadilisha matokeo kuwa ya pili:

Mlinganyo huu hauna mizizi.

Kisha equation ya awali pia haina mizizi.

Jibu: hakuna suluhu.

KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU. NJIA 6 ZA KUTATUA MALIngano wa LOGARITHM

Mlinganyo wa logarithmic- equation ambayo vigezo visivyojulikana viko ndani ya logarithms.

Mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ni mlinganyo wa fomu.

Mchakato wa kusuluhisha mlingano wowote wa logarithmic unakuja hadi kupunguza mlingano wa logarithmic hadi fomu , na kusonga kutoka kwa mlinganyo wenye logarithmu hadi mlinganyo bila wao: .

ODZ kwa equation ya logarithmic:

Njia za msingi za kutatua hesabu za logarithmic:

1 mbinu. Kutumia ufafanuzi wa logarithm:

Mbinu 2. Kutumia sifa za logarithm:

Mbinu 3. Utangulizi wa tofauti mpya (badala):

uingizwaji huturuhusu kupunguza mlingano wa logarithmic hadi mlinganyo rahisi wa aljebra kwa t.

Mbinu 4 Mpito kwa msingi mpya:

5 mbinu. Logarithm:

chukua logariti ya pande za kulia na kushoto za mlinganyo.

6 mbinu. Upeo mdogo:

Sasa tunataka kusikia kutoka kwako...

Tulijaribu kuandika kwa urahisi na kwa kina iwezekanavyo kuhusu milinganyo ya logarithmic.

Sasa ni zamu yako!

Andika jinsi unavyokadiria makala yetu? Je, ulimpenda?

Labda tayari unajua jinsi ya kutatua milinganyo ya logarithmic?

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika juu yake katika maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Katika somo hili tutapitia ukweli wa kimsingi wa kinadharia kuhusu logariti na kuzingatia kusuluhisha milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic.

Wacha tukumbuke ufafanuzi wa kati - ufafanuzi wa logarithm. Inajumuisha kutatua mlingano wa kielelezo. Equation hii ina mzizi mmoja, inaitwa logarithm ya b kuweka msingi a:

Ufafanuzi:

Logariti ya b hadi msingi a ni kipeo ambacho msingi lazima uinulishwe ili kupata b.

Hebu tukumbushe kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Usemi (maneno 1) ndio mzizi wa mlinganyo (maneno 2). Badilisha thamani x kutoka kwa usemi 1 badala ya x kwenye usemi 2 na upate kitambulisho kikuu cha logarithmic:

Kwa hivyo tunaona kwamba kila thamani inahusishwa na thamani. Tunaashiria b kwa x(), c na y, na kwa hivyo kupata kazi ya logarithmic:

Kwa mfano:

Hebu tukumbuke sifa za msingi za kazi ya logarithmic.

Wacha tuzingatie tena, hapa, kwani chini ya logarithm kunaweza kuwa na usemi mzuri kabisa, kama msingi wa logarithm.

Mchele. 1. Grafu ya kazi ya logarithmic yenye besi tofauti

Grafu ya chaguo la kukokotoa imeonyeshwa kwa rangi nyeusi. Mchele. 1. Hoja ikiongezeka kutoka sufuri hadi infinity, chaguo za kukokotoa huongezeka kutoka minus hadi plus infinity.

Grafu ya chaguo la kukokotoa kwenye imeonyeshwa kwa rangi nyekundu. Mchele. 1.

Sifa za kipengele hiki:

Upeo:;

Msururu wa maadili:;

Kazi ni monotonic katika kikoa chake chote cha ufafanuzi. Wakati monotonically (madhubuti) inapoongezeka, thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa. Wakati monotonically (madhubuti) inapungua, thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo la kukokotoa.

Sifa za kitendakazi cha logarithmic ndio ufunguo wa kusuluhisha aina mbalimbali za milinganyo ya logarithmic.

Wacha tuzingatie equation rahisi zaidi ya logarithmic;

Kwa kuwa misingi ya logariti na logariti zenyewe ni sawa, kazi zilizo chini ya logariti pia ni sawa, lakini hatupaswi kukosa kikoa cha ufafanuzi. Nambari chanya pekee inaweza kuonekana chini ya logarithm, tuna:

Tuligundua kuwa kazi za f na g ni sawa, kwa hivyo inatosha kuchagua ukosefu wowote wa usawa ili kuzingatia ODZ.

Kwa hivyo, tuna mfumo mchanganyiko ambao kuna usawa na usawa:

Kama sheria, si lazima kutatua usawa; inatosha kutatua equation na kubadilisha mizizi iliyopatikana kwa usawa, na hivyo kufanya ukaguzi.

Wacha tutengeneze njia ya kutatua hesabu rahisi zaidi za logarithmic:

Sawazisha misingi ya logarithms;

Sawazisha kazi za sublogarithmic;

Fanya ukaguzi.

Hebu tuangalie mifano maalum.

Mfano 1 - suluhisha equation:

Misingi ya logariti mwanzoni ni sawa, tuna haki ya kusawazisha misemo ya sublogarithmic, usisahau kuhusu ODZ, tunachagua logarithm ya kwanza kutunga usawa:

Mfano wa 2 - suluhisha equation:

Equation hii inatofautiana na ile ya awali kwa kuwa misingi ya logarithms ni chini ya moja, lakini hii haiathiri suluhisho kwa njia yoyote:

Wacha tupate mzizi na tuibadilishe kwa usawa:

Tulipokea usawa usio sahihi, ambayo ina maana kwamba mzizi uliopatikana haukidhi ODZ.

Mfano wa 3 - suluhisha equation:

Misingi ya logarithms hapo awali ni sawa, tuna haki ya kusawazisha misemo ya sublogarithmic, usisahau kuhusu ODZ, tunachagua logarithm ya pili kutunga usawa:

Wacha tupate mzizi na tuibadilishe kwa usawa:

Ni wazi, mzizi wa kwanza tu ndio unaokidhi DD.