Tatua mfumo wa milinganyo kwa kutumia kikokotoo cha mbinu ya matrix. Mbinu ya Matrix mtandaoni

Mfumo wa milinganyo ya mstari na n isiyojulikana inayoitwa mfumo wa fomu

Wapi ij Na b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ni baadhi ya nambari zinazojulikana, na x 1 ,…,x n- haijulikani. Katika uteuzi wa coefficients ij index ya kwanza i inaashiria nambari ya equation, na ya pili j- nambari ya haijulikani ambayo mgawo huu unasimama.

Tutaandika coefficients kwa haijulikani kwa namna ya matrix , ambayo tutaita matrix ya mfumo.

Nambari zilizo upande wa kulia wa milinganyo ni b 1 ,…,b m zinaitwa wanachama huru.

Jumla n nambari c 1 ,…,c n kuitwa uamuzi ya mfumo fulani, ikiwa kila equation ya mfumo inakuwa usawa baada ya kubadilisha nambari ndani yake c 1 ,…,c n badala ya zile zisizojulikana zinazolingana x 1 ,…,x n.

Kazi yetu itakuwa kutafuta suluhisho kwa mfumo. Katika kesi hii, hali tatu zinaweza kutokea:

Mfumo wa milinganyo ya mstari ambayo ina angalau suluhisho moja inaitwa pamoja. Vinginevyo, i.e. ikiwa mfumo hauna suluhisho, basi inaitwa yasiyo ya pamoja.

Hebu fikiria njia za kupata ufumbuzi wa mfumo.

NJIA YA MATRIX YA KUTATUA MIFUMO YA MLINGANIFU WA LINEAR

Matrices hufanya iwezekane kuandika kwa ufupi mfumo wa milinganyo ya mstari. Wacha mfumo wa milinganyo 3 na vitu vitatu visivyojulikana upewe:

Fikiria matrix ya mfumo na safu wima za masharti yasiyojulikana na ya bure

Hebu tutafute kazi

hizo. kama matokeo ya bidhaa, tunapata pande za kushoto za hesabu za mfumo huu. Kisha, kwa kutumia ufafanuzi wa usawa wa tumbo, mfumo huu unaweza kuandikwa kwa fomu

au mfupi zaidi A∙X=B.

Hapa kuna matrices A Na B wanajulikana, na tumbo X haijulikani. Inahitajika kuipata, kwa sababu ... vipengele vyake ni suluhisho la mfumo huu. Equation hii inaitwa mlinganyo wa matrix.

Acha kibainishi cha matrix kiwe tofauti na sifuri | A| ≠ 0. Kisha equation ya matrix inatatuliwa kama ifuatavyo. Zidisha pande zote mbili za mlinganyo upande wa kushoto kwa matriki A-1, kinyume cha matrix A:. Kwa sababu ya A -1 A = E Na E∙X = X, basi tunapata suluhisho la usawa wa tumbo katika fomu X = A -1 B .

Kumbuka kuwa kwa kuwa matrix inverse inaweza kupatikana tu kwa matrices ya mraba, mbinu ya matrix inaweza tu kutatua mifumo ambayo idadi ya milinganyo inalingana na idadi ya zisizojulikana. Walakini, kurekodi matrix ya mfumo pia kunawezekana katika kesi wakati idadi ya equations si sawa na idadi ya haijulikani, basi matrix. A haitakuwa mraba na kwa hiyo haiwezekani kupata suluhisho la mfumo katika fomu X = A -1 B.

Mifano. Tatua mifumo ya milinganyo.

KANUNI YA CRAMER

Fikiria mfumo wa milinganyo 3 ya mstari na mambo matatu yasiyojulikana:

Kiamuzi cha mpangilio wa tatu kinacholingana na matrix ya mfumo, i.e. linajumuisha coefficients kwa haijulikani,

kuitwa kiashiria cha mfumo.

Wacha tutunge viashiria vingine vitatu kama ifuatavyo: badilisha safu wima 1, 2 na 3 kwa mpangilio D na safu wima ya maneno bila malipo.

Kisha tunaweza kuthibitisha matokeo yafuatayo.

Theorem (utawala wa Cramer). Ikiwa kiashiria cha mfumo Δ ≠ 0, basi mfumo unaozingatiwa una suluhisho moja tu, na

Ushahidi. Kwa hivyo, hebu tuzingatie mfumo wa milinganyo 3 na tatu zisizojulikana. Hebu tuzidishe mlingano wa 1 wa mfumo kwa kijalizo cha aljebra A 11 kipengele ya 11, mlinganyo wa 2 - umewashwa A 21 na 3 - juu A 31:

Wacha tuongeze milinganyo hii:

Wacha tuangalie kila mabano na upande wa kulia wa mlinganyo huu. Kwa nadharia juu ya upanuzi wa kiashiria katika vipengele vya safu ya 1

Vile vile, inaweza kuonyeshwa kuwa na.

Hatimaye, ni rahisi kutambua hilo

Kwa hivyo, tunapata usawa: .

Kwa hivyo,.

Usawa na huchukuliwa sawa, ambayo kauli ya theorem inafuata.

Kwa hivyo, tunaona kwamba ikiwa kiashiria cha mfumo Δ ≠ 0, basi mfumo una suluhisho la kipekee na kinyume chake. Ikiwa kiashiria cha mfumo ni sawa na sifuri, basi mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi au hauna ufumbuzi, i.e. zisizopatana.

Mifano. Tatua mfumo wa milinganyo

NJIA YA GAUSS

Njia zilizojadiliwa hapo awali zinaweza kutumika kutatua mifumo hiyo tu ambayo idadi ya equations inalingana na idadi ya haijulikani, na kiashiria cha mfumo lazima kiwe tofauti na sifuri. Njia ya Gauss ni ya ulimwengu wote zaidi na inafaa kwa mifumo iliyo na idadi yoyote ya milinganyo. Inajumuisha uondoaji thabiti wa haijulikani kutoka kwa milinganyo ya mfumo.

Fikiria tena mfumo wa milinganyo mitatu yenye vitu vitatu visivyojulikana:

Tutaacha equation ya kwanza bila kubadilika, na kutoka 2 na 3 tutatenga masharti yaliyo na x 1. Ili kufanya hivyo, gawanya equation ya pili na A 21 na kuzidisha kwa - A 11, na kisha uiongeze kwenye mlinganyo wa 1. Vile vile, tunagawanya equation ya tatu na A 31 na zidisha kwa - A 11, na kisha uiongeze na ya kwanza. Kama matokeo, mfumo wa asili utachukua fomu:

Sasa kutoka kwa equation ya mwisho tunaondoa neno lenye x 2. Ili kufanya hivyo, gawanya equation ya tatu kwa, kuzidisha na kuongeza na pili. Kisha tutakuwa na mfumo wa equations:

Kutoka hapa, kutoka kwa equation ya mwisho ni rahisi kupata x 3, kisha kutoka kwa equation ya 2 x 2 na hatimaye, kutoka 1 - x 1.

Wakati wa kutumia njia ya Gaussian, milinganyo inaweza kubadilishwa ikiwa ni lazima.

Mara nyingi, badala ya kuandika mfumo mpya wa hesabu, wanajiwekea kikomo cha kuandika matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

na kisha ulete kwa fomu ya pembe tatu au ya diagonal kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi.

KWA mabadiliko ya msingi matrices ni pamoja na mabadiliko yafuatayo:

kupanga upya safu au nguzo;
kuzidisha kamba kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;
kuongeza mistari mingine kwenye mstari mmoja.

Mifano: Tatua mifumo ya milinganyo kwa kutumia njia ya Gauss.

Kwa hivyo, mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Hili ni wazo ambalo linajumuisha shughuli zote zinazowezekana zinazofanywa na matrices. Matrix ya hisabati - meza ya vipengele. Kuhusu meza ambapo m mistari na n safu wima, matrix hii inasemekana kuwa na kipimo m juu n.

Mtazamo wa jumla wa matrix:

Kwa ufumbuzi wa matrix Inahitajika kuelewa matrix ni nini na kujua vigezo vyake kuu. Vipengele kuu vya matrix:

Ulalo kuu, unaojumuisha vipengele miaka 11, 22 ....
Ulalo wa upande unaojumuisha vipengele a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Aina kuu za matrices:

Mraba ni matrix ambapo idadi ya safu = idadi ya safu wima ( m=n).
Sifuri - ambapo vipengele vyote vya matrix = 0.
Matrix iliyopitishwa - tumbo KATIKA, ambayo ilipatikana kutoka kwa tumbo la asili A kwa kubadilisha safu na safu wima.
Umoja - vitu vyote vya diagonal kuu = 1, vingine vyote = 0.
Matrix inverse ni matrix ambayo, inapozidishwa na matrix asili, husababisha matrix ya utambulisho.

Matrix inaweza kuwa ya ulinganifu kwa heshima na diagonal kuu na sekondari. Hiyo ni, ikiwa 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, basi tumbo ni ulinganifu kuhusu diagonal kuu. Matrices ya mraba pekee yanaweza kuwa linganifu.

Njia za kutatua matrices.

Karibu wote njia za kutatua matrix inajumuisha kutafuta kibainishi chake n-th ili na nyingi ni ngumu sana. Ili kupata kibainishi cha mpangilio wa 2 na wa 3 kuna njia zingine za busara zaidi.

Kutafuta viashiria vya agizo la 2.

Ili kukokotoa kibainishi cha matrix A Agizo la 2, inahitajika kuondoa bidhaa ya vitu vya ulalo wa sekondari kutoka kwa bidhaa za vitu vya diagonal kuu:

Njia za kupata viambatisho vya agizo la 3.

Zifuatazo ni kanuni za kutafuta kibainishi cha agizo la 3.

Kanuni iliyorahisishwa ya pembetatu kama mojawapo ya kanuni njia za kutatua matrix, inaweza kuonyeshwa kwa njia hii:

Kwa maneno mengine, bidhaa ya vipengele katika kiashiria cha kwanza ambacho kinaunganishwa na mistari ya moja kwa moja inachukuliwa na ishara "+"; Pia, kwa kiashiria cha 2, bidhaa zinazolingana huchukuliwa na ishara "-", ambayo ni, kulingana na mpango ufuatao:

Katika kutatua matrices kwa kutumia sheria ya Sarrus, kwa haki ya kiashiria, ongeza nguzo 2 za kwanza na bidhaa za vipengele vinavyolingana kwenye diagonal kuu na kwenye diagonals ambazo zinafanana nayo zinachukuliwa kwa ishara "+"; na bidhaa za vitu vinavyolingana vya diagonal ya sekondari na diagonal zinazofanana nayo, na ishara "-":

Mtengano wa kibainishi katika safu mlalo au safu wima wakati wa kutatua matrices.

Kiamuzi ni sawa na jumla ya bidhaa za vipengee vya safu mlalo ya kiambishi na nyongeza zao za aljebra. Kwa kawaida safu mlalo/safu iliyo na sufuri huchaguliwa. Safu au safu ambayo mtengano unafanywa itaonyeshwa kwa mshale.

Kupunguza kiashiria hadi umbo la pembetatu wakati wa kutatua matrices.

Katika kutatua matrices njia ya kupunguza kiashiria kuwa fomu ya pembetatu, hufanya kazi kama hii: kwa kutumia mabadiliko rahisi zaidi kwenye safu au safu, kiashiria kinakuwa cha pembetatu kwa fomu na kisha thamani yake, kwa mujibu wa mali ya kibainishi, itakuwa sawa na bidhaa. ya vipengele vilivyo kwenye diagonal kuu.

Nadharia ya Laplace ya kutatua matrices.

Wakati wa kutatua matrices kwa kutumia theorem ya Laplace, unahitaji kujua theorem yenyewe. Nadharia ya Laplace: Hebu Δ - hii ni kiashiria n- utaratibu. Tunachagua yoyote k safu (au safu wima), zinazotolewa k≤ n - 1. Katika kesi hii, jumla ya bidhaa za watoto wote k-th mpangilio zilizomo katika kuchaguliwa k safu mlalo (safu wima), kwa viambishi vyake vya aljebra zitakuwa sawa na kiambishi.

Kutatua matrix ya kinyume.

Mlolongo wa vitendo kwa suluhisho za matrix inverse:

Amua ikiwa matrix uliyopewa ni ya mraba. Ikiwa jibu ni hasi, inakuwa wazi kuwa hakuwezi kuwa na matrix ya kinyume chake.
Tunahesabu nyongeza za algebra.
Tunaunda matrix ya umoja (kuheshimiana, karibu). C.
Tunatunga matrix inverse kutoka kwa nyongeza za aljebra: vipengele vyote vya matriki ya pamoja C gawanya kwa kibainishi cha matrix ya awali. Tumbo la mwisho litakuwa matrix ya kinyume inayohitajika inayohusiana na ile iliyotolewa.
Tunaangalia kazi iliyofanywa: kuzidisha matrix ya awali na matrix inayosababisha, matokeo yanapaswa kuwa matrix ya utambulisho.

Kutatua mifumo ya matrix.

Kwa ufumbuzi wa mifumo ya matrix Njia ya Gaussian hutumiwa mara nyingi.

Njia ya Gauss ni njia ya kawaida ya kutatua mifumo ya equations ya algebraic ya mstari (SLAEs) na inajumuisha ukweli kwamba vigezo vinaondolewa kwa mlolongo, i.e., kwa msaada wa mabadiliko ya kimsingi, mfumo wa equations huletwa kwa mfumo sawa wa triangular. fomu na kutoka kwake, sequentially, kuanzia mwisho (kwa nambari), pata kila kipengele cha mfumo.

Njia ya Gauss ndicho chombo chenye matumizi mengi na bora zaidi cha kutafuta suluhu za matrix. Ikiwa mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi au mfumo hauendani, basi hauwezi kutatuliwa kwa kutumia utawala wa Cramer na njia ya matrix.

Njia ya Gauss pia ina maana ya moja kwa moja (kupunguza tumbo iliyopanuliwa kwa fomu ya hatua kwa hatua, yaani, kupata zero chini ya diagonal kuu) na kinyume (kupata zero juu ya diagonal kuu ya tumbo iliyopanuliwa) hatua. Kusonga mbele ni njia ya Gauss, hatua ya nyuma ni njia ya Gauss-Jordan. Njia ya Gauss-Jordan inatofautiana na njia ya Gauss tu katika mlolongo wa kuondoa vigezo.

Equations kwa ujumla, hesabu za algebraic za mstari na mifumo yao, pamoja na njia za kuzitatua, huchukua nafasi maalum katika hisabati, kinadharia na kutumika.

Hii ni kutokana na ukweli kwamba idadi kubwa ya matatizo ya kimwili, kiuchumi, kiufundi na hata ya ufundishaji yanaweza kuelezewa na kutatuliwa kwa kutumia aina mbalimbali za equations na mifumo yao. Hivi majuzi, modeli za hesabu zimepata umaarufu fulani kati ya watafiti, wanasayansi na watendaji katika karibu maeneo yote ya somo, ambayo inaelezewa na faida zake dhahiri juu ya njia zingine zinazojulikana na zilizothibitishwa za kusoma vitu vya asili anuwai, haswa, kinachojulikana kama tata. mifumo. Kuna aina kubwa ya ufafanuzi tofauti wa mfano wa hisabati iliyotolewa na wanasayansi kwa nyakati tofauti, lakini kwa maoni yetu, mafanikio zaidi ni taarifa ifuatayo. Mfano wa hisabati ni wazo linaloonyeshwa na equation. Kwa hivyo, uwezo wa kutunga na kutatua equations na mifumo yao ni sifa muhimu ya mtaalamu wa kisasa.

Ili kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari, mbinu zinazotumiwa sana ni Cramer, Jordan-Gauss na mbinu ya matrix.

Mbinu ya suluhu ya Matrix ni mbinu ya kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra yenye mstari na kiangazio kisichokuwa cha sauti kwa kutumia matrix kinyume.

Ikiwa tutaandika mgawo wa idadi isiyojulikana xi kwenye matrix A, kukusanya idadi isiyojulikana kwenye safu ya vekta X, na masharti ya bure kwenye safu ya vekta B, basi mfumo wa milinganyo ya algebra ya mstari inaweza kuandikwa kwa njia ya ifuatayo mlinganyo wa matriki A · X = B, ambayo ina suluhu la kipekee wakati tu kibainishi cha matriki A si sawa na sifuri. Katika kesi hii, suluhisho la mfumo wa equations linaweza kupatikana kwa njia ifuatayo X = A-1 · B, Wapi A-1 ni matrix inverse.

Njia ya suluhisho la matrix ni kama ifuatavyo.

Wacha tupewe mfumo wa milinganyo ya mstari na n haijulikani:

Inaweza kuandikwa tena katika fomu ya matrix: AX = B, Wapi A- matrix kuu ya mfumo, B Na X- safu za washiriki wa bure na suluhisho za mfumo, mtawaliwa:

Wacha tuzidishe mlinganyo huu wa matrix kutoka kushoto hadi A-1 - inverse ya matrix ya tumbo A: A -1 (AX) = A -1 B

Kwa sababu A -1 A = E, tunapata X= A -1 B. Upande wa kulia wa mlinganyo huu utatoa safu ya suluhisho la mfumo asilia. Masharti ya utumiaji wa njia hii (pamoja na uwepo wa jumla wa suluhisho kwa mfumo usio na usawa wa milinganyo ya mstari na idadi ya milinganyo sawa na idadi ya zisizojulikana) ni kutokuwepo kwa matrix. A. Hali ya lazima na ya kutosha kwa hili ni kwamba kiashiria cha matrix sio sawa na sifuri A:det A≠ 0.

Kwa mfumo wa homogeneous wa equations linear, yaani, wakati vector B = 0 , hakika sheria kinyume: mfumo AX = 0 ina suluhisho lisilo la maana (hiyo ni, isiyo ya sifuri) ikiwa tu ni det A= 0. Uhusiano huo kati ya ufumbuzi wa mifumo ya homogeneous na inhomogeneous ya milinganyo ya mstari inaitwa mbadala wa Fredholm.

Mfano suluhu kwa mfumo usio sawa wa milinganyo ya aljebra ya mstari.

Wacha tuhakikishe kuwa kiambishi cha matriki, kinachojumuisha mgawo wa zisizojulikana za mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari, si sawa na sifuri.

Hatua inayofuata ni kukokotoa nyongeza za aljebra kwa vipengele vya tumbo vinavyojumuisha coefficients ya zisizojulikana. Watahitajika kupata matrix inverse.

Matumizi ya milinganyo yameenea katika maisha yetu. Zinatumika katika mahesabu mengi, ujenzi wa miundo na hata michezo. Mwanadamu alitumia equations katika nyakati za kale, na tangu wakati huo matumizi yao yameongezeka tu. Mbinu ya matrix hukuruhusu kupata suluhu kwa SLAEs (mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari) ya utata wowote. Mchakato mzima wa kutatua SLAEs unakuja chini kwa hatua kuu mbili:

Uamuzi wa matrix ya kinyume kulingana na matrix kuu:

Kuzidisha matrix inverse inayosababisha kwa vekta ya safu wima ya suluhu.

Tuseme tumepewa SLAE ya fomu ifuatayo:

\[\kushoto\(\anza(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \mwisho(matrix)\kulia.\]

Wacha tuanze kusuluhisha equation hii kwa kuandika matrix ya mfumo:

Matrix ya upande wa kulia:

Wacha tufafanue matrix ya kinyume. Unaweza kupata matrix ya utaratibu wa 2 kama ifuatavyo: 1 - tumbo yenyewe lazima iwe isiyo ya umoja; 2 - vipengele vyake vilivyo kwenye diagonal kuu vinabadilishwa, na kwa vipengele vya diagonal ya sekondari tunabadilisha ishara kwa moja kinyume, baada ya hapo tunagawanya vipengele vinavyotokana na kiashiria cha tumbo. Tunapata:

\[\anza(pmatrix) 7 \\ 9 \mwisho(pmatrix)=\anza(pmatrix) -11 \\ 31 \mwisho(pmmatrix)\Rightarrow \anza(pmatrix) x_1 \\ x_2 \mwisho(pmmatrix) =\ start(pmmatrix) -11 \\ 31 \mwisho(pmmatrix) \]

Matrices 2 huchukuliwa kuwa sawa ikiwa vipengele vyao vinavyolingana ni sawa. Kama matokeo, tunayo jibu lifuatalo kwa suluhisho la SLAE:

Ninaweza kutatua wapi mfumo wa hesabu kwa kutumia njia ya matrix mkondoni?

Unaweza kutatua mfumo wa equations kwenye tovuti yetu. Kitatuzi cha bure mtandaoni kitakuruhusu kutatua milinganyo ya mtandaoni ya utata wowote katika suala la sekunde. Unachohitaji kufanya ni kuingiza data yako kwenye kisuluhishi. Unaweza pia kujua jinsi ya kutatua equation kwenye wavuti yetu. Na ikiwa bado una maswali, unaweza kuwauliza katika kikundi chetu cha VKontakte.

Kikokotoo hiki cha mtandaoni hutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix. Suluhisho la kina sana linatolewa. Ili kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari, chagua idadi ya vigezo. Chagua mbinu ya kuhesabu matriki kinyume. Kisha ingiza data kwenye seli na bofya kitufe cha "Mahesabu".

Onyo

Ungependa kufuta visanduku vyote?

Funga Wazi

Maagizo ya kuingiza data. Nambari huwekwa kama nambari kamili (mifano: 487, 5, -7623, n.k.), desimali (mf. 67., 102.54, nk.) au sehemu. Sehemu lazima iingizwe katika fomu a/b, ambapo a na b ni nambari kamili au desimali. Mifano 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, nk.

Njia ya Matrix ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

Fikiria mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:

Kwa kuzingatia ufafanuzi wa matrix inverse, tunayo A −1 A=E, Wapi E- matrix ya kitambulisho. Kwa hivyo (4) inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, ili kutatua mfumo wa equations za mstari (1) (au (2)), inatosha kuzidisha kinyume cha A matrix kwa vector ya kizuizi b.

Mifano ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Mfano 1. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix:

Wacha tupate kinyume cha matrix A kwa kutumia njia ya Jordan-Gauss. Kwenye upande wa kulia wa matrix A Wacha tuandike matrix ya kitambulisho:

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 1 ya matrix chini ya diagonal kuu. Ili kufanya hivyo, ongeza mistari 2,3 na mstari wa 1, ikizidishwa na -1/3, -1/3, mtawaliwa:

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 2 ya matrix chini ya diagonal kuu. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa 3 na mstari wa 2 uliozidishwa na -24/51:

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 2 ya matrix juu ya diagonal kuu. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa 1 na mstari wa 2 uliozidishwa na -3/17:

Tenganisha upande wa kulia wa tumbo. Matrix inayosababisha ni matrix inverse ya A :

Aina ya matrix ya kuandika mfumo wa milinganyo ya mstari: Shoka=b, Wapi

Wacha tuhesabu nyongeza zote za aljebra za matrix A: