Msururu wa usambazaji wa c katika x. Mifano ya kutatua shida kwenye mada "Vigezo vya nasibu"
Sura ya 1. Tofauti tofauti bila mpangilio
§ 1. Dhana za kutofautiana bila mpangilio.
Sheria ya usambazaji ya kigeu kisicho na mpangilio maalum.
Ufafanuzi : Nasibu ni kiasi ambacho, kama matokeo ya majaribio, huchukua thamani moja tu kati ya seti inayowezekana ya maadili yake, haijulikani mapema na kulingana na sababu za nasibu.
Kuna aina mbili za anuwai za nasibu: dhabiti na endelevu.
Ufafanuzi : Tofauti ya nasibu X inaitwa tofauti (isiyoendelea) ikiwa seti ya thamani zake ni ya mwisho au isiyo na kikomo lakini inaweza kuhesabika.
Kwa maneno mengine, maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio maalum yanaweza kuhesabiwa tena.
Tofauti ya nasibu inaweza kuelezewa kwa kutumia sheria yake ya usambazaji.
Ufafanuzi : Sheria ya usambazaji ya kigeu tofauti kisicho na mpangilio piga mawasiliano kati ya maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio na uwezekano wao.
Sheria ya usambazaji wa tofauti isiyo ya kawaida ya X inaweza kutajwa kwa namna ya jedwali, katika safu ya kwanza ambayo maadili yote yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu yanaonyeshwa kwa mpangilio wa kupanda, na katika safu ya pili uwezekano unaolingana wa hizi. maadili, i.e.
ambapo р1+ р2+…+ рn=1
Jedwali kama hilo linaitwa safu ya usambazaji ya anuwai ya nasibu isiyo na maana.
Ikiwa seti ya thamani zinazowezekana za kutofautisha nasibu haina kikomo, basi mfululizo p1+ p2+…+ pn+… huungana na jumla yake ni sawa na 1.
Sheria ya usambazaji ya kigezo cha nasibu cha X kinaweza kuonyeshwa kwa michoro, ambayo mstari uliovunjika hujengwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, unaounganisha pointi kwa mpangilio na viwianishi (xi; pi), i=1,2,…n. Mstari unaosababishwa unaitwa poligoni ya usambazaji (Mchoro 1).
Kemia-hai" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kemia-hai ni 0.7 na 0.8, mtawalia. Chora sheria ya usambazaji kwa mabadiliko ya nasibu X - idadi ya mitihani ambayo mwanafunzi atafaulu.
Suluhisho. Tofauti inayozingatiwa nasibu X kama matokeo ya mtihani inaweza kuchukua moja ya maadili yafuatayo: x1=0, x2=1, x3=2.
Wacha tupate uwezekano wa maadili haya.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Kwa hivyo, sheria ya usambazaji wa mabadiliko ya nasibu X inatolewa na jedwali:
Udhibiti: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. Kazi ya usambazaji
Maelezo kamili ya kigezo cha nasibu pia hutolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji.
Ufafanuzi: Chaguo za kukokotoa za ugawaji wa kigezo cha nasibu cha X inaitwa chaguo za kukokotoa F(x), ambayo huamua kwa kila thamani x uwezekano kwamba kigezo cha nasibu X kitachukua thamani chini ya x:
F(x)=P(X<х)
Kijiometri, kipengele cha kukokotoa cha usambazaji kinafasiriwa kama uwezekano kwamba kigezo bila mpangilio X kitachukua thamani ambayo inawakilishwa kwenye mstari wa nambari na nukta iliyo upande wa kushoto wa nukta x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) ni chaguo la kukokotoa lisilopungua kwenye (-∞;+∞);
3) F (x) - kuendelea upande wa kushoto kwa pointi x= xi (i=1,2,...n) na kuendelea katika pointi nyingine zote;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ikiwa sheria ya usambazaji ya tofauti isiyo ya kawaida ya X imetolewa kwa namna ya jedwali:
basi chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) huamuliwa na fomula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 kwa x≤ x1,
р1 kwa x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 kwa x2< х≤ х3
1 kwa x>xn.
Grafu yake imeonyeshwa kwenye Mchoro 2:
§ 3. Sifa za nambari za kigeu kisicho na mpangilio maalum.
Moja ya sifa muhimu za nambari ni matarajio ya hisabati.
Ufafanuzi: Matarajio ya hisabati M(X) kutofautisha bila mpangilio X ni jumla ya bidhaa za maadili yake yote na uwezekano wao unaolingana:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Matarajio ya hisabati hutumika kama sifa ya wastani wa thamani ya kigezo cha nasibu.
Tabia za matarajio ya hisabati:
1)M(C)=C, ambapo C ni thamani ya kudumu;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), ambapo X,Y ni vigeu vya nasibu vinavyojitegemea;
5)M(X±C)=M(X)±C, ambapo C ni thamani ya kudumu;
Ili kuashiria kiwango cha utawanyiko wa maadili yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu karibu na thamani yake ya wastani, utawanyiko hutumiwa.
Ufafanuzi: Tofauti D ( X ) kutofautisha bila mpangilio X ni tarajio la hisabati la mkengeuko wa mraba wa utofauti wa nasibu kutoka kwa matarajio yake ya hisabati:
Tabia za utawanyiko:
1)D(C)=0, ambapo C ni thamani isiyobadilika;
2)D(X)>0, ambapo X ni kigezo cha nasibu;
3)D(C X)=C2 D(X), ambapo C ni thamani ya kudumu;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ambapo X,Y ni vigeu vya nasibu vinavyojitegemea;
Ili kuhesabu tofauti mara nyingi ni rahisi kutumia formula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
ambapo M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Lahaja D(X) ina kipimo cha kigezo cha nasibu chenye mraba, ambacho si rahisi kila wakati. Kwa hivyo, thamani √D(X) pia inatumika kama kiashiria cha mtawanyiko wa maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio.
Ufafanuzi: Mkengeuko wa kawaida σ(X) kutofautisha bila mpangilio X kunaitwa mzizi wa mraba wa tofauti:
Kazi nambari 2. Tofauti isiyo ya kawaida ya X imeainishwa na sheria ya usambazaji:
Pata P2, kazi ya usambazaji F (x) na upange grafu yake, pamoja na M (X), D (X), σ (X).
Suluhisho: Kwa kuwa jumla ya uwezekano wa maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio X ni sawa na 1, basi
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
Hebu tutafute chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)=P(X Kijiometri, usawa huu unaweza kufasiriwa kama ifuatavyo: F(x) ni uwezekano kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani ambayo inawakilishwa kwenye mhimili wa nambari na nukta iliyo upande wa kushoto wa nukta x. Ikiwa x≤-1, basi F(x)=0, kwa kuwa hakuna thamani moja ya utofauti huu wa nasibu kwenye (-∞;x); Ikiwa -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ikiwa 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) kuna maadili mawili x1=-1 na x2=0; Ikiwa 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ikiwa 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ikiwa x>3, basi F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, kwa sababu thamani nne x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 huanguka kwenye muda (-∞;x) na x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 kwa x≤-1, 0.1 kwa -1<х≤0, 0.2 kwa 0<х≤1, F(x)= 0.5 kwa 1<х≤2, 0.7 saa 2<х≤3, 1 kwa x>3 Wacha tuwakilishe chaguo la kukokotoa F(x) kimchoro (Kielelezo 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Sheria ya usambazaji wa Binomial tofauti tofauti bila mpangilio, sheria ya Poisson. Ufafanuzi: Binomial
inaitwa sheria ya usambazaji wa kigezo kisicho na mpangilio X - idadi ya matukio ya tukio A katika n majaribio huru yanayorudiwa, katika kila tukio A linaweza kutokea kwa uwezekano p au kutotokea kwa uwezekano q = 1-p. Kisha P(X=m) - uwezekano wa kutokea kwa tukio A mara m haswa katika majaribio n huhesabiwa kwa kutumia fomula ya Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Matarajio ya hisabati, mtawanyiko na mkengeuko wa kawaida wa kigezo cha nasibu X kinachosambazwa kulingana na sheria ya jozi hupatikana, mtawalia, kwa kutumia fomula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Uwezekano wa tukio A - "kutoa tano" katika kila jaribio ni sawa na ni sawa na 1/6. , yaani P(A)=p=1/6, kisha P(A)=1-p=q=5/6, wapi - "kushindwa kupata A." Tofauti ya nasibu X inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 0;1;2;3. Tunapata uwezekano wa kila moja ya maadili yanayowezekana ya X kwa kutumia fomula ya Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Hiyo. sheria ya usambazaji ya mabadiliko ya nasibu X ina fomu: Udhibiti: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Wacha tupate sifa za nambari za kutofautisha bila mpangilio X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Kazi nambari 4. Mashine ya kiotomatiki hupiga mihuri sehemu. Uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa itakuwa na kasoro ni 0.002. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 1000 zilizochaguliwa kutakuwa na: a) 5 kasoro; b) angalau moja ina kasoro. Suluhisho:
Nambari n=1000 ni kubwa, uwezekano wa kutoa sehemu yenye kasoro p=0.002 ni ndogo, na matukio yanayozingatiwa (sehemu inageuka kuwa na kasoro) ni huru, kwa hivyo formula ya Poisson inashikilia: Рn(m)= e-
λ
λm Wacha tupate λ=np=1000 0.002=2. a) Tafuta uwezekano kwamba kutakuwa na sehemu 5 zenye kasoro (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Tafuta uwezekano kwamba kutakuwa na angalau sehemu moja yenye kasoro. Tukio A - "angalau sehemu moja iliyochaguliwa ina kasoro" ni kinyume cha tukio - "sehemu zote zilizochaguliwa hazina kasoro." Kwa hivyo, P(A) = 1-P(). Kwa hivyo uwezekano unaotaka ni sawa na: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. Kazi za kazi ya kujitegemea.
1.1
1.2.
Tofauti ya X iliyotawanywa imebainishwa na sheria ya usambazaji: Pata p4, kazi ya usambazaji F (X) na upange grafu yake, pamoja na M (X), D (X), σ (X). 1.3.
Kuna alama 9 kwenye kisanduku, 2 kati yake haziandiki tena. Chukua alama 3 bila mpangilio. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya alama za uandishi kati ya zile zilizochukuliwa. Chora sheria ya usambazaji wa kigezo bila mpangilio. 1.4.
Kuna vitabu 6 vya kiada vilivyopangwa kwa nasibu kwenye rafu ya maktaba, 4 kati yao imefungwa. Msimamizi wa maktaba huchukua vitabu 4 vya kiada bila mpangilio. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya vitabu vya kiada vilivyofungwa kati ya vile vilivyochukuliwa. Chora sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu. 1.5.
Kuna kazi mbili kwenye tikiti. Uwezekano wa kutatua kwa usahihi tatizo la kwanza ni 0.9, pili ni 0.7. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya matatizo yaliyotatuliwa kwa usahihi katika tiketi. Chora sheria ya usambazaji, hesabu matarajio ya hisabati na tofauti ya tofauti hii isiyo ya kawaida, na pia pata chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) na uunde grafu yake. 1.6.
Wapiga risasi watatu wanalenga shabaha. Uwezekano wa kupiga shabaha kwa risasi moja ni 0.5 kwa mpiga risasi wa kwanza, 0.8 kwa pili, na 0.7 kwa tatu. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya vibao kwenye lengo ikiwa wafyatuaji watapiga risasi moja kwa wakati mmoja. Tafuta sheria ya usambazaji, M(X),D(X). 1.7.
Mchezaji wa mpira wa vikapu hutupa mpira kwenye kikapu na uwezekano wa kupiga kila risasi ya 0.8. Kwa kila hit, anapokea pointi 10, na ikiwa atakosa, hakuna pointi zinazotolewa kwake. Tengeneza sheria ya usambazaji kwa mabadiliko ya nasibu X - idadi ya pointi zilizopokelewa na mchezaji wa mpira wa vikapu katika mikwaju 3. Tafuta M(X),D(X), pamoja na uwezekano kwamba anapata zaidi ya pointi 10. 1.8.
Barua zimeandikwa kwenye kadi, jumla ya vokali 5 na konsonanti 3. Kadi 3 huchaguliwa bila mpangilio, na kila wakati kadi iliyochukuliwa inarudishwa. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya vokali kati ya hizo zilizochukuliwa. Chora sheria ya usambazaji na utafute M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Kwa wastani, chini ya 60% ya mikataba, kampuni ya bima hulipa kiasi cha bima kuhusiana na tukio la tukio la bima. Tengeneza sheria ya usambazaji kwa mabadiliko ya nasibu X - idadi ya mikataba ambayo kiasi cha bima kililipwa kati ya mikataba minne iliyochaguliwa bila mpangilio. Pata sifa za nambari za wingi huu. 1.10.
Kituo cha redio hutuma ishara za simu (sio zaidi ya nne) kwa vipindi fulani hadi mawasiliano ya njia mbili yataanzishwa. Uwezekano wa kupokea jibu kwa ishara ya simu ni 0.3. Tofauti isiyo ya kawaida X ni nambari ya ishara za simu zilizotumwa. Chora sheria ya usambazaji na utafute F(x). 1.11.
Kuna funguo 3, ambayo moja tu inafaa kufuli. Tengeneza sheria ya usambazaji wa nambari ya X-ya nasibu ya majaribio ya kufungua kufuli, ikiwa ufunguo uliojaribiwa haushiriki katika majaribio yanayofuata. Tafuta M(X),D(X). 1.12.
Vipimo vya kujitegemea vya mfululizo wa vifaa vitatu vinafanywa kwa kuaminika. Kila kifaa kinachofuata kinajaribiwa tu ikiwa kilichotangulia kiligeuka kuwa cha kuaminika. Uwezekano wa kupita mtihani kwa kila kifaa ni 0.9. Tengeneza sheria ya usambazaji kwa nambari ya X isiyo na mpangilio ya vifaa vilivyojaribiwa. 1.13
. Kigezo tofauti cha nasibu X kina thamani tatu zinazowezekana: x1=1, x2, x3, na x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Kifaa cha elektroniki kina vitu 100 vinavyofanana. Uwezekano wa kushindwa kwa kila kipengele wakati wa T ni 0.002. Vipengele hufanya kazi kwa kujitegemea. Tafuta uwezekano kwamba hakuna zaidi ya vitu viwili vitashindwa wakati wa T. 1.15.
Kitabu hicho kilichapishwa katika mzunguko wa nakala 50,000. Uwezekano kwamba kitabu cha maandishi kimefungwa vibaya ni 0.0002. Tafuta uwezekano kwamba mzunguko una: a) vitabu vinne vyenye kasoro; b) chini ya vitabu viwili vyenye kasoro. 1
.16.
Idadi ya simu zinazofika kwa PBX kila dakika inasambazwa kwa mujibu wa sheria ya Poisson kwa kigezo λ=1.5. Tafuta uwezekano kwamba baada ya dakika moja yafuatayo yatafika: a) simu mbili; b) angalau simu moja. 1.17.
Tafuta M(Z),D(Z) ikiwa Z=3X+Y. 1.18.
Sheria za usambazaji wa anuwai mbili huru za nasibu zimepewa: Tafuta M(Z),D(Z) ikiwa Z=X+2Y. Majibu:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; 0 kwa x≤-2, 0.3 kwa -2<х≤0, F(x)= 0.5 kwa 0<х≤2, 0.9 kwa 2<х≤5, 1 kwa x> 5 0.3 kwa -1<х≤0, 0.4 kwa 0<х≤1, F(x)= 0.6 kwa 1<х≤2, 0.7 saa 2<х≤3, 1 kwa x>3 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 kwa x≤0, 0.03 kwa 0<х≤1, F(x)= 0.37 kwa 1<х≤2, 1 kwa x>2 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 e-0.2≈0.999 1.15.
a)0.0189; b) 0.00049 1.16.
a)0.0702; b) 0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Sura ya 2. Tofauti inayoendelea bila mpangilio
Ufafanuzi: Kuendelea
ni kiasi ambacho thamani zake zote zinazowezekana hujaza kikamilifu muda usio na kikomo wa mstari wa nambari. Ni wazi, idadi ya maadili yanayowezekana ya tofauti inayoendelea ya nasibu haina kikomo. Tofauti inayoendelea bila mpangilio inaweza kubainishwa kwa kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji. Ufafanuzi: F kitendakazi cha usambazaji
utofauti unaoendelea wa nasibu X huitwa chaguo za kukokotoa F(x), ambayo huamua kwa kila thamani xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Chaguo za kukokotoa za usambazaji wakati mwingine huitwa chaguo za kukokotoa za usambazaji limbikizi. Sifa za kitendakazi cha usambazaji:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Kwa tofauti inayoendelea ya nasibu, kazi ya usambazaji inaendelea wakati wowote na inaweza kutofautishwa kila mahali, isipokuwa, labda, kwa pointi za kibinafsi. 3) Uwezekano wa mabadiliko ya nasibu X kuanguka katika mojawapo ya vipindi (a;b), [a;b], [a;b], ni sawa na tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa F(x) kwa pointi a na b, i.e. R(a)<Х 4) Uwezekano kwamba mabadiliko ya nasibu ya X yanayoendelea yatachukua thamani moja tofauti ni 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Kubainisha utofauti unaoendelea bila mpangilio kwa kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji sio njia pekee. Wacha tuanzishe dhana ya wiani wa usambazaji wa uwezekano (wiani wa usambazaji). Ufafanuzi
:
Msongamano wa usambazaji wa uwezekano
f
(
x
)
ya mabadiliko ya nasibu ya X yanayoendelea ni derivative ya chaguo lake la kukokotoa la usambazaji, yaani: Chaguo za kukokotoa za msongamano wakati mwingine huitwa chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti au sheria ya usambazaji tofauti. Grafu ya uwezekano wa usambazaji wa wiani f(x) inaitwa mkondo wa usambazaji wa uwezekano
.
Sifa za usambazaji wa wiani wa uwezekano:
1) f(x) ≥0, katika xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK13"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=sekunde 8; b) Inajulikana kuwa F(x)= ∫ f(x)dx Kwa hivyo, x ikiwa x≤2, basi F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 ikiwa x>6, basi F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Hivyo, 0 kwa x≤2, F(x)= (x-2)2/16 saa 2<х≤6, 1 kwa x> 6. Grafu ya kazi F (x) imeonyeshwa kwenye Mchoro 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 at x≤0, F(x)= (3 aktani x)/π saa 0<х≤√3, 1 kwa x>√3. Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti f(x) Suluhisho:
Kwa kuwa f(x)= F’(x), basi DIV_ADBLOCK14"> · Matarajio ya hisabati M (X)
utofauti unaoendelea wa X huamuliwa na usawa: M(X)= ∫ x f(x)dx, ili mradi muunganisho huu uungane kabisa. · Utawanyiko
D
(
X
)
Tofauti inayoendelea ya X imedhamiriwa na usawa: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, au D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Mkengeuko wa kawaida σ(Х)
utofauti unaoendelea wa nasibu huamuliwa na usawa: Sifa zote za matarajio ya hisabati na mtawanyiko, zilizojadiliwa hapo awali kwa vigeu vya nasibu vilivyotawanywa, pia ni halali kwa zile zinazoendelea. Kazi nambari 3. Tofauti ya nasibu X inabainishwa na chaguo za kukokotoa f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P (1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Matatizo kwa ajili ya ufumbuzi wa kujitegemea.
2.1.
Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji: 0 kwa x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 kwa x≤ π/6, F(x)= - cos 3x kwa π/6<х≤ π/3, 1 kwa x> π/3. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti f(x), na pia Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 kwa x≤2, f(x)= c x saa 2<х≤4, 0 kwa x> 4. 2.4.
Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inabainishwa na msongamano wa usambazaji: 0 kwa x≤0, f(x)= c √x saa 0<х≤1, 0 kwa x> 1. Tafuta: a) nambari c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> kwa x, 0 kwa x. Tafuta: a) F(x) na ujenge grafu yake; b) M(X),D(X), σ(X); c) uwezekano kwamba katika majaribio manne huru thamani ya X itachukua mara 2 ya thamani ya muda (1;4). 2.6.
Msongamano wa usambazaji wa uwezekano wa utofauti unaoendelea wa X umepewa: f(x)= 2(x-2) saa x, 0 kwa x. Tafuta: a) F(x) na ujenge grafu yake; b) M(X),D(X), σ (X); c) uwezekano kwamba katika majaribio matatu huru thamani ya X itachukua mara 2 ya thamani inayomilikiwa na sehemu . 2.7.
Kazi f(x) imetolewa kama: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Kazi f(x) imetolewa kama: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Tafuta: a) thamani ya c mara kwa mara ambapo chaguo za kukokotoa zitakuwa uwezekano wa msongamano wa baadhi ya mabadiliko ya nasibu X; b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x). 2.9.
Kigezo cha nasibu X, kilichokolezwa kwenye muda (3;7), kinabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)= . Tafuta uwezekano huo utofauti wa nasibu X utachukua thamani: a) chini ya 5, b) si chini ya 7. 2.10.
Tofauti ya nasibu X, iliyojikita kwenye muda (-1;4), inatolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)= . Tafuta uwezekano huo mabadiliko ya nasibu X itachukua thamani: a) chini ya 2, b) si chini ya 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Tafuta: a) nambari c; b) M(X); c) uwezekano P(X> M(X)). 2.12.
Tofauti nasibu inabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Tafuta: a) M(X); b) uwezekano P(X≤M(X)) 2.13.
Usambazaji wa Rem unatolewa na wiani wa uwezekano: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> kwa x ≥0. Thibitisha kuwa f(x) hakika ni chaguo za kukokotoa za uwezekano. 2.14.
Msongamano wa usambazaji wa uwezekano wa utofauti unaoendelea wa X umepewa: DIV_ADBLOCK17"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Mchoro 5) 2.16.
Tofauti ya random X inasambazwa kulingana na sheria ya "pembetatu ya kulia" katika muda (0;4) (Mchoro 5). Tafuta usemi wa uchanganuzi wa wiani wa uwezekano f(x) kwenye mstari mzima wa nambari. Majibu
0 kwa x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 kwa x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x at π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 kwa x≤a, f(x)= kwa a<х 0 kwa x≥b. Grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) imeonyeshwa kwenye Mtini. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Kazi nambari 1. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa usawa kwenye sehemu. Tafuta: a) wiani wa usambazaji wa uwezekano f(x) na kuupanga; b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) na kuipanga; c) M(X),D(X), σ(X). Suluhisho:
Kwa kutumia fomula zilizojadiliwa hapo juu, na a=3, b=7, tunapata: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> at 3≤х≤7, 0 kwa x> 7 Wacha tujenge grafu yake (Mchoro 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 at x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Kielelezo 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 kwa x<0, f(x)= λе-λх kwa x≥0. Kazi ya usambazaji ya mabadiliko ya nasibu X, iliyosambazwa kulingana na sheria ya kielelezo, inatolewa na fomula: DIV_ADBLOCK19"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Kielelezo 6 Matarajio ya hisabati, tofauti na mkengeuko wa kawaida wa usambazaji wa kielelezo ni sawa na: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Kwa hivyo, matarajio ya hisabati na kupotoka kwa kawaida kwa usambazaji wa kielelezo ni sawa kwa kila mmoja. Uwezekano wa X kuanguka katika muda (a;b) unakokotolewa na fomula: P (a<Х Kazi nambari 2. Wastani wa muda wa kufanya kazi bila kushindwa kwa kifaa ni saa 100 kwa kuchukulia kuwa muda wa uendeshaji bila kushindwa wa kifaa una sheria ya usambazaji wa kielelezo, tafuta: a) wiani wa usambazaji wa uwezekano; b) kazi ya usambazaji; c) uwezekano kwamba muda wa uendeshaji bila kushindwa kwa kifaa utazidi saa 120. Suluhisho:
Kulingana na hali, usambazaji wa hisabati M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 kwa x<0, a) f(x)= 0.01e -0.01x kwa x≥0. b) F(x)= 0 kwa x<0, 1-e -0.01x saa x≥0. c) Tunapata uwezekano unaotaka kwa kutumia kipengele cha kukokotoa cha usambazaji: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Sheria ya kawaida ya usambazaji Ufafanuzi:
Tofauti inayoendelea ya X ina sheria ya usambazaji wa kawaida (sheria ya Gauss),
ikiwa msongamano wake wa usambazaji una fomu: ambapo m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Curve ya kawaida ya usambazaji inaitwa kawaida au curve ya Gaussian
(Mtini.7) Kazi ya usambazaji ya mabadiliko ya nasibu X, iliyosambazwa kulingana na sheria ya kawaida, inaonyeshwa kupitia kazi ya Laplace Ф (x) kulingana na fomula: kazi ya Laplace iko wapi. Maoni:
Kazi Ф(x) ni isiyo ya kawaida (Ф(-х)=-Ф(х)), kwa kuongeza, kwa x> 5 tunaweza kudhani Ф(х) ≈1/2. Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) imeonyeshwa kwenye Mtini. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Uwezekano kwamba thamani kamili ya mkengeuko ni chini ya nambari chanya δ inakokotolewa na fomula: Hasa, kwa m=0 usawa ufuatao unashikilia: "Sheria tatu za Sigma"
Ikiwa mabadiliko ya nasibu X ina sheria ya kawaida ya usambazaji na vigezo m na σ, basi ni karibu hakika kwamba thamani yake iko katika muda (a-3σ; a+3σ), kwa sababu https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Wacha tutumie fomula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Kutoka kwa jedwali la maadili ya kazi Ф(х) tunapata Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Kwa hivyo, uwezekano unaohitajika: P(28 Kazi za kazi ya kujitegemea
3.1.
Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa usawa katika muda (-3;5). Tafuta: b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x); c) sifa za nambari; d) uwezekano wa P (4<х<6). 3.2.
Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa usawa kwenye sehemu. Tafuta: a) msongamano wa usambazaji f(x); b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x); c) sifa za nambari; d) uwezekano wa P(3≤х≤6). 3.3.
Kuna taa ya trafiki kiotomatiki kwenye barabara kuu, ambayo taa ya kijani huwaka kwa dakika 2, njano kwa sekunde 3, nyekundu kwa sekunde 30, nk. Gari huendesha kwenye barabara kuu kwa wakati usio na mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba gari litapita taa ya trafiki bila kuacha. 3.4.
Treni za Subway huendesha mara kwa mara kwa muda wa dakika 2. Abiria anaingia kwenye jukwaa kwa wakati nasibu. Je, kuna uwezekano gani kwamba abiria atalazimika kusubiri zaidi ya sekunde 50 kwa treni? Pata matarajio ya hisabati ya mabadiliko ya nasibu X - muda wa kusubiri kwa treni. 3.5.
Pata tofauti na mkengeuko wa kawaida wa usambazaji wa kielelezo unaotolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji: F(x)= 0 kwa x<0, 1-8x kwa x≥0. 3.6.
Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inabainishwa na wiani wa usambazaji wa uwezekano: f(x)= 0 kwa x<0, 0.7 e-0.7x saa x≥0. a) Taja sheria ya usambazaji wa kigezo cha nasibu kinachozingatiwa. b) Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji F(X) na sifa za nambari za mabadiliko ya nasibu X. 3.7.
Tofauti ya nasibu X inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo iliyobainishwa na msongamano wa usambazaji wa uwezekano: f(x)= 0 kwa x<0, 0.4 e-0.4 x saa x≥0. Pata uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani kutoka kwa muda (2.5;5). 3.8.
Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo iliyobainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji: F(x)= 0 kwa x<0, 1-0.6x kwa x≥0 Pata uwezekano kwamba, kama matokeo ya jaribio, X itachukua thamani kutoka kwa sehemu. 3.9.
Thamani inayotarajiwa na mkengeuko wa kawaida wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida ni 8 na 2, mtawalia. a) msongamano wa usambazaji f(x); b) uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani kutoka kwa muda (10;14). 3.10.
Tofauti nasibu X kwa kawaida husambazwa kwa matarajio ya hisabati ya 3.5 na tofauti ya 0.04. Tafuta: a) msongamano wa usambazaji f(x); b) uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani kutoka kwa sehemu. 3.11.
Tofauti ya nasibu X kwa kawaida husambazwa na M(X)=0 na D(X)=1. Ni lipi kati ya matukio: |X|≤0.6 au |X|≥0.6 linawezekana zaidi? 3.12.
Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa kawaida na M(X)=0 na D(X)=1 kutoka kwa muda gani (-0.5;-0.1) au (1;2) kuna uwezekano mkubwa wa kuchukua thamani wakati wa jaribio moja? 3.13.
Bei ya sasa kwa kila hisa inaweza kutengenezwa kwa kutumia sheria ya kawaida ya usambazaji na M(X)=10 den. vitengo na σ (X) = shimo 0.3. vitengo Tafuta: a) uwezekano kwamba bei ya sasa ya hisa itakuwa kutoka den 9.8. vitengo hadi siku 10.4 vitengo; b) kwa kutumia "sheria tatu za sigma", pata mipaka ambayo bei ya sasa ya hisa itakuwa iko. 3.14.
Dutu hii hupimwa bila makosa ya utaratibu. Hitilafu za uzani za nasibu zinategemea sheria ya kawaida yenye uwiano wa wastani wa mraba σ=5g. Pata uwezekano kwamba katika majaribio manne huru hitilafu katika vipimo vitatu haitatokea kwa thamani kamili 3r. 3.15.
Tofauti ya nasibu X kwa kawaida husambazwa na M(X)=12.6. Uwezekano wa tofauti nasibu kuanguka katika muda (11.4;13.8) ni 0.6826. Pata mkengeuko wa kawaida σ. 3.16.
Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa kawaida na M(X)=12 na D(X)=36 Tafuta muda ambao kigezo cha nasibu X kitaangukia kama matokeo ya jaribio na uwezekano wa 0.9973. 3.17.
Sehemu iliyotengenezwa na mashine ya kiotomatiki inachukuliwa kuwa na kasoro ikiwa kupotoka kwa X ya kigezo chake kinachodhibitiwa kutoka kwa thamani ya kawaida huzidi modulo 2 za kipimo. Inachukuliwa kuwa utofauti wa nasibu X kawaida husambazwa na M(X)=0 na σ(X)=0.7. Je, mashine hutoa asilimia ngapi ya sehemu zenye kasoro? 3.18.
Kigezo cha X cha sehemu hiyo kinasambazwa kwa kawaida na matarajio ya hisabati ya 2 sawa na thamani ya nominella na kupotoka kwa kiwango cha 0.014. Pata uwezekano kwamba kupotoka kwa X kutoka kwa thamani ya kawaida haitazidi 1% ya thamani ya kawaida. Majibu
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 kwa x≤-3, F(x)= left"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Mifano ya kutatua matatizo kwenye mada "Vigezo vya nasibu".
Kazi 1
. Kuna tikiti 100 zilizotolewa kwa bahati nasibu. Ushindi mmoja wa 50 USD ulitolewa. na ushindi kumi wa USD 10 kila moja. Pata sheria ya usambazaji wa thamani X - gharama ya ushindi unaowezekana. Suluhisho. Thamani zinazowezekana za X: x 1
= 0; x 2
= 10 na x 3
= 50. Kwa kuwa kuna tiketi 89 "tupu", basi uk 1
= 0.89, uwezekano wa kushinda $10. (Tiketi 10) - uk 2
= 0.10 na kushinda 50 USD -p 3
= 0.01. Hivyo: 0,89
0,10
0,01
Rahisi kudhibiti:. Kazi 2.
Uwezekano kwamba mnunuzi amesoma tangazo la bidhaa mapema ni 0.6 (p = 0.6). Udhibiti wa kuchagua wa ubora wa utangazaji unafanywa na wanunuzi wa uchunguzi kabla ya yule wa kwanza ambaye amesoma utangazaji mapema. Chora mfululizo wa usambazaji kwa idadi ya wanunuzi waliofanyiwa utafiti. Suluhisho. Kwa mujibu wa hali ya tatizo, p = 0.6. Kutoka: q=1 -p = 0.4. Kubadilisha maadili haya, tunapata: na uunda safu ya usambazaji: p i 0,24
Kazi 3.
Kompyuta ina vipengele vitatu vinavyofanya kazi kwa kujitegemea: kitengo cha mfumo, kufuatilia na kibodi. Kwa ongezeko moja kali la voltage, uwezekano wa kushindwa kwa kila kipengele ni 0.1. Kulingana na usambazaji wa Bernoulli, tengeneza sheria ya usambazaji kwa idadi ya vipengele vilivyoshindwa wakati wa kuongezeka kwa nguvu kwenye mtandao. Suluhisho. Hebu tuzingatie Usambazaji wa Bernoulli(au binomial): uwezekano huo n vipimo, tukio A litaonekana haswa k mara moja: q n uk n KATIKA Turudi kwenye kazi. Thamani zinazowezekana za X (idadi ya kushindwa): x 0 =0 - hakuna vipengele vilivyoshindwa; x 1 = 1 - kushindwa kwa kipengele kimoja; x 2 = 2 - kushindwa kwa vipengele viwili; x 3 =3 - kushindwa kwa vipengele vyote. Kwa kuwa, kwa hali, p = 0.1, basi q = 1 - p = 0.9. Kwa kutumia formula ya Bernoulli, tunapata , ,
, .
Udhibiti:. Kwa hivyo, sheria ya usambazaji inayohitajika: 0,729
0,243
0,027
0,001
Tatizo 4. raundi 5,000 zinazozalishwa. Uwezekano kwamba cartridge moja ina kasoro Suluhisho. Inatumika Usambazaji wa poisson: Usambazaji huu unatumiwa kuamua uwezekano kwamba, kwa kubwa sana idadi ya vipimo (majaribio ya wingi), katika kila moja ambayo uwezekano wa tukio A ni mdogo sana, tukio A litatokea mara k: Hapa n = 5000, p = 0.0002, k = 3. Tunapata, basi uwezekano unaohitajika: Tatizo 5. Wakati wa kurusha hadi pigo la kwanza na uwezekano wa hit p
= 0.6 wakati wa kurusha, unahitaji kupata uwezekano kwamba hit itatokea kwenye risasi ya tatu. Suluhisho. Hebu tutumie usambazaji wa kijiometri: basi majaribio ya kujitegemea yafanyike, katika kila tukio ambalo A ina uwezekano wa tukio p (na yasiyo ya kutokea q = 1 - p). Jaribio linaisha mara tu tukio A linapotokea. Chini ya hali kama hizi, uwezekano kwamba tukio A litatokea kwenye jaribio la kth huamuliwa na fomula:. Hapa p = 0.6; q = 1 - 0.6 = 0.4;k = 3. Kwa hiyo,. Tatizo 6. Wacha sheria ya usambazaji ya tofauti ya X ipewe: Pata matarajio ya hisabati. Suluhisho. . Kumbuka kuwa maana ya uwezekano wa matarajio ya hisabati ni thamani ya wastani ya tofauti nasibu.. Pata utofauti wa utofauti wa nasibu X na sheria ifuatayo ya usambazaji: Suluhisho. Hapa
.
Sheria ya usambazaji ya thamani ya mraba ya X 2
:
X 2
Tofauti inayohitajika:. Mtawanyiko ni sifa ya kipimo cha mkengeuko (mtawanyiko) wa kigeuzo nasibu kutoka kwa matarajio yake ya kihisabati. Tatizo 8. Acha utofauti wa nasibu upewe na usambazaji: 10m Tafuta sifa zake za nambari. Suluhisho: m, m 2
,
M 2
, m. Kuhusu mabadiliko ya nasibu X tunaweza kusema ama: matarajio yake ya hisabati ni 6.4 m na tofauti ya 13.04 m 2
, au - matarajio yake ya hisabati ni 6.4 m na kupotoka kwa m. Uundaji wa pili ni wazi zaidi. Kazi 9.
Thamani ya nasibu X iliyotolewa na kipengele cha kukokotoa cha usambazaji: Pata uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio thamani X itachukua thamani iliyomo katika muda Suluhisho. Uwezekano kwamba X itachukua thamani kutoka kwa muda fulani ni sawa na ongezeko la chaguo la kukokotoa katika muda huu, i.e. . Kwa upande wetu na, kwa hivyo Kazi 10.
Tofauti tofauti bila mpangilio X iliyotolewa na sheria ya usambazaji: Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x ) na kupanga. Suluhisho. Tangu kazi ya usambazaji, katika ; katika ; katika ; katika ; Chati husika: Tatizo 11. Tofauti inayoendelea bila mpangilio X iliyotolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti: Pata uwezekano wa hit X kwa muda Suluhisho. Kumbuka kuwa hii ni kesi maalum ya sheria ya usambazaji wa kielelezo. Wacha tutumie formula: Kazi 12.
Pata sifa za nambari za tofauti isiyo ya kawaida ya X iliyoainishwa na sheria ya usambazaji: –5
X2: X 2 .
,
Wapi Thamani za chaguo hili za kukokotoa zinapatikana kwa kutumia jedwali. Kwa upande wetu:. Kutoka kwa jedwali tunapata: , kwa hivyo: Ufafanuzi 1 Tofauti ya nasibu $X$ inaitwa discrete (isiyoendelea) ikiwa seti ya thamani zake haina mwisho au haina mwisho lakini inaweza kuhesabika. Kwa maneno mengine, idadi inaitwa discrete ikiwa maadili yake yanaweza kuhesabiwa. Tofauti ya nasibu inaweza kuelezewa kwa kutumia sheria ya usambazaji. Sheria ya usambazaji ya tofauti isiyo ya kawaida $X$ inaweza kutajwa katika mfumo wa jedwali, mstari wa kwanza ambao unaonyesha maadili yote yanayowezekana ya kutofautiana kwa nasibu katika mpangilio wa kupanda, na mstari wa pili una uwezekano unaofanana wa haya. maadili: Picha 1. ambapo $ р1+ р2+ ... + рn = 1$. Jedwali hili ni karibu na usambazaji wa kigeu tofauti cha nasibu. Ikiwa seti ya maadili yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu haina kikomo, basi mfululizo $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ huungana na jumla yake itakuwa sawa na $1$. Sheria ya usambazaji ya kigezo kisicho na mpangilio cha $X$ kinaweza kuwakilishwa kwa njia ya picha, ambayo mstari uliovunjika hujengwa katika mfumo wa kuratibu (mstatili), ambao huunganisha pointi na viwianishi $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Mstari tuliopata unaitwa poligoni ya usambazaji. Kielelezo cha 2. Sheria ya usambazaji ya tofauti tofauti isiyo ya kawaida $X$ pia inaweza kuwakilishwa kwa uchanganuzi (kwa kutumia fomula): $P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$. Wakati wa kutatua matatizo mengi katika nadharia ya uwezekano, ni muhimu kutekeleza shughuli za kuzidisha kutofautiana kwa nasibu kwa mara kwa mara, na kuongeza vigezo viwili vya random, kuzidisha, na kuinua kwa nguvu. Katika kesi hizi, ni muhimu kuzingatia sheria zifuatazo kwa wingi wa random discrete: Ufafanuzi 3 Kuzidisha ya tofauti ya nasibu isiyobadilika $X$ na $K$ isiyobadilika ni kigezo cha nasibu kisichobadilika $Y=KX,$ ambacho huamuliwa na usawa: $y_i=Kx_i,\\p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$ Ufafanuzi 4 Vigezo viwili vya nasibu $x$ na $y$ vinaitwa kujitegemea, ikiwa sheria ya usambazaji wa mmoja wao haitegemei ni maadili gani yanayowezekana ya kiasi cha pili kilichopatikana. Ufafanuzi 5 Kiasi anuwai mbili huru za nasibu $X$ na $Y$ zinaitwa kigeu cha nasibu $Z=X+Y,$ huamuliwa na usawa: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\kulia)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$. Ufafanuzi 6 Kuzidisha vijiumbe viwili huru vya nasibu $X$ na $Y$ vinaitwa utofauti wa nasibu $Z=XY,$ huamuliwa na usawa: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\kulia) =P\left( x_i\kulia)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$. Hebu tuzingatie kwamba baadhi ya bidhaa $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ zinaweza kuwa sawa. Katika kesi hii, uwezekano wa kuongeza bidhaa ni sawa na jumla ya uwezekano unaolingana. Kwa mfano, ikiwa $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $basi uwezekano wa $x_2y_3$ (au $x_5y_7$ sawa) utakuwa sawa na $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$ Ya juu pia inatumika kwa kiasi. Ikiwa $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ basi uwezekano wa $x_1+\ y_2$ (au $x_4+\ y_6$ sawa) utakuwa sawa na $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $ Vigezo vya nasibu $X$ na $Y$ vimebainishwa na sheria za usambazaji: Kielelezo cha 3. Ambapo $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Kisha sheria ya usambazaji wa jumla $X+Y$ itakuwa na fomu. Kielelezo cha 4. Na sheria ya usambazaji wa bidhaa $XY$ itakuwa na fomu Kielelezo cha 5. Maelezo kamili ya kigezo cha nasibu pia hutolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji. Kijiometri, kipengele cha kukokotoa cha usambazaji kinafafanuliwa kama uwezekano kwamba kigezo cha nasibu $X$ kinachukua thamani ambayo inawakilishwa kwenye mstari wa nambari na nukta iliyo upande wa kushoto wa nukta $x$. Tunaweza kuangazia sheria za kawaida za usambazaji wa anuwai tofauti za nasibu: Kwa ugawaji uliopewa wa anuwai za nasibu, hesabu ya uwezekano wa maadili yao, pamoja na sifa za nambari (matarajio ya hisabati, tofauti, nk) hufanywa kwa kutumia "fomula" fulani. Kwa hiyo, ni muhimu sana kujua aina hizi za usambazaji na mali zao za msingi. Tofauti ya nasibu ya $X$ inategemea sheria ya usambazaji wa uwezekano wa binomial ikiwa itachukua thamani$0,\ 1,\ 2,\\dots ,\ n$ na uwezekano $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kushoto(1-p\kulia))^(n-k)$. Kwa kweli, tofauti ya nasibu $X$ ni idadi ya matukio ya tukio $A$ katika majaribio huru ya $n$. Sheria ya uwezekano wa usambazaji wa tofauti nasibu $X$: $\anza(safu)(|c|c|) Kwa utofauti huo wa nasibu, matarajio ya kihesabu ni $M\left(X\right)=np$, tofauti ni $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$. Mfano
. Familia ina watoto wawili. Kwa kuchukulia uwezekano wa kuwa na mvulana na msichana sawa na $0.5$, pata sheria ya usambazaji wa kigeu cha nasibu $\xi$ - idadi ya wavulana katika familia. Acha tofauti isiyo ya kawaida $\xi $ iwe idadi ya wavulana katika familia. Maadili ambayo $\xi inaweza kuchukua:\ 0,\ 1,\ 2$. Uwezekano wa maadili haya unaweza kupatikana kwa kutumia fomula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, ambapo $n =2$ ni idadi ya majaribio huru, $p=0.5$ ni uwezekano wa tukio kutokea katika mfululizo wa majaribio $n$. Tunapata: $P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$ $P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$ $P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\kulia))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$ Halafu sheria ya usambazaji ya tofauti ya nasibu $\xi $ ni mawasiliano kati ya maadili $0,\ 1,\ 2$ na uwezekano wao, ambayo ni: $\anza(safu)(|c|c|) Jumla ya uwezekano katika sheria ya usambazaji inapaswa kuwa sawa na $1$, yaani, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1. Matarajio $M\left(\xi \kulia)=np=2\cdot 0.5=1$, tofauti $D\left(\xi \kulia)=np\left(1-p\kulia)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, mkengeuko wa kawaida $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\takriban $0.707. Ikiwa kigezo tofauti cha nasibu $X$ kinaweza tu kuchukua thamani kamili zisizo hasi$0,\ 1,\ 2,\\dots ,\ n$ na uwezekano $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!} Maoni. Upekee wa usambazaji huu ni kwamba, kwa msingi wa data ya majaribio, tunapata makadirio $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ikiwa makadirio yaliyopatikana yanakaribiana, basi tunayo. sababu ya kudai kuwa kutofautisha bila mpangilio kunategemea sheria ya usambazaji ya Poisson. Mfano
. Mifano ya vigeu vya nasibu vilivyo chini ya sheria ya usambazaji wa Poisson inaweza kuwa: idadi ya magari ambayo yatahudumiwa na kituo cha mafuta kesho; idadi ya vitu vyenye kasoro katika bidhaa za viwandani. Mfano
. Kiwanda kilituma $500 $ ya bidhaa kwa msingi. Uwezekano wa uharibifu wa bidhaa katika usafiri ni $0.002$. Pata sheria ya usambazaji wa mabadiliko ya nasibu $X$ sawa na idadi ya bidhaa zilizoharibiwa; ni nini $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$. Acha kigezo cha nasibu cha $X$ kiwe idadi ya bidhaa zilizoharibiwa. Tofauti kama hiyo ya nasibu iko chini ya sheria ya usambazaji ya Poisson iliyo na kigezo $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Uwezekano wa maadili ni sawa na $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!} $P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!} $P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!} $P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!} $P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!} $P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!} $P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!} $P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!} $P\kushoto(X=k\kulia)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!} Sheria ya usambazaji ya tofauti ya nasibu $X$: $\anza(safu)(|c|c|) Kwa utofauti huo wa nasibu, matarajio ya hisabati na tofauti ni sawa na kila mmoja na sawa na parameta $\lambda $, yaani, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =$1. Ikiwa kigezo tofauti cha nasibu $X$ kinaweza tu kuchukua thamani asili$1,\ 2,\\dots ,\ n$ na uwezekano $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ kulia)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, kisha wanasema kwamba kigezo cha nasibu $X$ kinategemea sheria ya kijiometri ya usambazaji wa uwezekano. Kwa kweli, usambazaji wa kijiometri ni mtihani wa Bernoulli hadi mafanikio ya kwanza. Mfano
. Mifano ya vigeu vya nasibu ambavyo vina mgawanyo wa kijiometri inaweza kuwa: idadi ya picha kabla ya kugonga kwa mara ya kwanza kwenye lengo; idadi ya vipimo vya kifaa hadi kushindwa kwa kwanza; idadi ya sarafu za sarafu mpaka kichwa cha kwanza kinakuja, nk. Matarajio ya hisabati na tofauti ya somo la nasibu la usambazaji wa kijiometri ni sawa na $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2. Mfano
. Katika njia ya harakati ya samaki kwenye tovuti ya kuzaa kuna lock ya $ 4$. Uwezekano wa samaki kupita kwenye kila kufuli ni $p=3/5$. Tengeneza msururu wa usambazaji wa kigezo cha nasibu $X$ - idadi ya kufuli zilizopitishwa na samaki kabla ya kufungwa kwa mara ya kwanza kwenye kufuli. Pata $M\kushoto(X\kulia),\ D\left(X\kulia),\\sigma \left(X\right)$. Acha utofauti wa nasibu $X$ uwe nambari ya kufuli zilizopitishwa na samaki kabla ya kukamatwa kwa mara ya kwanza kwenye kufuli. Tofauti hiyo ya nasibu inategemea sheria ya kijiometri ya usambazaji wa uwezekano. Thamani ambazo mabadiliko ya nasibu $X yanaweza kuchukua:$ 1, 2, 3, 4. Uwezekano wa thamani hizi huhesabiwa kwa kutumia fomula: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, ambapo: $ p=2/5$ - uwezekano wa samaki kuzuiliwa kupitia kufuli, $q=1-p=3/5$ - uwezekano wa samaki kupita kwenye kufuli, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$. $P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ zaidi ya (5))=0.4;$ $P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ zaidi ya (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$ $P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\juu ya (5))\kulia))^4=((27)\juu ya (125))=0.216.$ $\anza(safu)(|c|c|) Thamani inayotarajiwa: $M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$ Utawanyiko: $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\kulia))^2+0,24\cdot (\kushoto(2-2,176\kulia))^2+0,144\cdot (\kushoto(3-2,176\kulia))^2+$ $+\0.216\cdot (\kushoto(4-2,176\kulia))^2\takriban 1.377.$ Mkengeuko wa kawaida: $\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\takriban 1,173.$ Ikiwa vitu $N$, kati ya vitu hivyo $m$ vina mali fulani. $n$ vitu hutolewa kwa nasibu bila kurejea, kati ya hizo kulikuwa na vitu $k$ ambavyo vina mali fulani. Usambazaji wa kijiometri huwezesha kukadiria uwezekano kwamba vitu vya $k$ haswa kwenye sampuli vina mali fulani. Acha utofauti wa nasibu $X$ uwe idadi ya vitu kwenye sampuli ambavyo vina mali fulani. Halafu uwezekano wa maadili ya kutofautisha bila mpangilio $X$: $P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$ Maoni. Kazi ya takwimu HYPERGEOMET ya mchawi wa kukokotoa wa Excel $f_x$ hukuruhusu kuamua uwezekano kwamba idadi fulani ya majaribio itafaulu. $f_x\to$ takwimu$\kwa$ HPERGEOMET$\kwa$ sawa. Sanduku la mazungumzo litaonekana ambalo unahitaji kujaza. Katika safu Idadi_ya_mafanikio_katika_sampuli onyesha thamani $k$. sampuli_saizi sawa na $n$. Katika safu Idadi_ya_mafanikio_pamoja onyesha thamani $m$. idadi_ya_idadi ni sawa na $N$. Matarajio ya hisabati na tofauti ya kigezo cha nasibu cha $X$, kulingana na sheria ya usambazaji wa kijiometri, ni sawa na $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$. Mfano
. Idara ya mikopo ya benki hiyo imeajiri wataalamu 5 wenye elimu ya juu ya fedha na wataalamu 3 wenye elimu ya juu ya sheria. Uongozi wa benki uliamua kutuma wataalam 3 ili kuboresha sifa zao, na kuwachagua kwa utaratibu wa nasibu. a) Tengeneza safu ya usambazaji kwa idadi ya wataalam walio na elimu ya juu ya kifedha ambao wanaweza kutumwa ili kuboresha ujuzi wao; b) Tafuta sifa za nambari za usambazaji huu. Acha utofauti wa nasibu $X$ uwe idadi ya wataalamu walio na elimu ya juu ya kifedha kati ya watatu waliochaguliwa. Thamani ambazo $X inaweza kuchukua: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Tofauti hii ya nasibu $X$ inasambazwa kulingana na usambazaji wa jiometria yenye vigezo vifuatavyo: $N=8$ - ukubwa wa idadi ya watu, $m=5$ - idadi ya mafanikio katika idadi ya watu, $n=3$ - saizi ya sampuli, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - idadi ya mafanikio katika sampuli. Kisha uwezekano $P\left(X=k\kulia)$ unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ zaidi ya C_( N)^(n) ) $. Tuna: $P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\takriban 0.018;$ $P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\takriban 0.268;$ $P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\takriban 0.536;$ $P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\takriban 0.179.$ Kisha safu ya usambazaji ya kutofautisha bila mpangilio $X$: $\anza(safu)(|c|c|) Wacha tuhesabu sifa za nambari za kibadilishaji nasibu $X$ kwa kutumia fomula za jumla za usambazaji wa jiometri. $M\left(X\right)=(((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$ $D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \juu (N-1))=((3\cdot 5\cdot \kushoto(1-(5)\juu ya (8))\kulia)\cdot \kushoto(1-(3)\juu (8 ))\kulia))\over (8-1))=((225)\over (448))\takriban 0.502.$ $\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\takriban 0.7085.$ X; maana F(5); uwezekano kwamba kutofautiana kwa nasibu X itachukua maadili kutoka kwa sehemu. Tengeneza poligoni ya usambazaji. Weka sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu X kwa namna ya meza. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kibadilishaji nasibu X. Jenga grafu za kazi na . Kokotoa matarajio ya hisabati, tofauti, hali na wastani wa kigezo cha nasibu X. Sampuli A: 6 9 7 6 4 4 Sampuli B: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Chaguo 17. Kuhesabu matarajio yake ya hisabati na tofauti. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kibadilishaji nasibu X. Jenga grafu za kazi na . Kokotoa matarajio ya hisabati, tofauti, hali na wastani wa kigezo cha nasibu X. · wastani wa sampuli; · sampuli tofauti; Njia na wastani; Sampuli A: 0 0 2 2 1 4 · wastani wa sampuli; · sampuli tofauti; kupotoka kwa sampuli ya kawaida; · hali na wastani; Sampuli B: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Chaguo 18. Kuhesabu matarajio yake ya hisabati na tofauti. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo cha nasibu X. Chora grafu za vitendakazi na . Kokotoa matarajio ya hisabati, tofauti, hali na wastani wa kigezo cha nasibu X. · wastani wa sampuli; · sampuli tofauti; kupotoka kwa sampuli ya kawaida; · hali na wastani; Sampuli A: 4 7 6 3 3 4 · wastani wa sampuli; · sampuli tofauti; kupotoka kwa sampuli ya kawaida; · hali na wastani; Sampuli B: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Chaguo 19. 1. Kuna wanawake 16 na wanaume 5 wanaofanya kazi kwenye tovuti. Watu 3 walichaguliwa bila mpangilio kwa kutumia nambari zao za wafanyikazi. Tafuta uwezekano kwamba watu wote waliochaguliwa watakuwa wanaume. 2. Sarafu nne zinatupwa. Pata uwezekano kwamba sarafu mbili tu zitakuwa na "kanzu ya silaha". 3. Neno “SAIKOLOJIA” limeundwa na kadi, ambazo kila moja ina herufi moja iliyoandikwa juu yake. Kadi huchanganyika na kutolewa moja baada ya nyingine bila kurudi. Tafuta uwezekano kwamba herufi zilizochukuliwa zinaunda neno: a) SAIKOLOJIA; b) WAFANYAKAZI. 4. Mkojo una mipira 6 nyeusi na 7 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna: a. Mipira 3 nyeupe; b. chini ya mipira 3 nyeupe; c. angalau mpira mmoja mweupe. 5. Uwezekano wa tukio kutokea A katika jaribio moja ni sawa na 0.5. Tafuta uwezekano wa matukio yafuatayo: a. tukio A inaonekana mara 3 katika mfululizo wa majaribio 5 ya kujitegemea; b. tukio A itaonekana angalau mara 30 na si zaidi ya mara 40 katika mfululizo wa majaribio 50. 6. Kuna mashine 100 za nguvu sawa, zinazofanya kazi kwa kujitegemea kwa hali sawa, ambayo gari lao linawashwa kwa saa 0.8 za kazi. Kuna uwezekano gani kwamba kwa wakati wowote kutoka kwa mashine 70 hadi 86 zitawashwa? 7. Mkojo wa kwanza una mipira 4 nyeupe na 7 nyeusi, na uni ya pili ina mipira 8 nyeupe na 3 nyeusi. Mipira 4 hutolewa kwa nasibu kutoka kwa urn ya kwanza, na mpira 1 kutoka kwa pili. Pata uwezekano kwamba kati ya mipira inayotolewa kuna mipira 4 tu nyeusi. 8. Maonyesho ya mauzo ya gari hupokea magari ya bidhaa tatu kila siku kwa kiasi: "Moskvich" - 40%; "Sawa" - 20%; "Volga" - 40% ya magari yote ya nje. Miongoni mwa magari ya Moskvich, 0.5% wana kifaa cha kupambana na wizi, Oka - 0.01%, Volga - 0.1%. Tafuta uwezekano kwamba gari lililochukuliwa kwa ukaguzi lina kifaa cha kuzuia wizi. 9. Nambari na huchaguliwa kwa nasibu kwenye sehemu. Tafuta uwezekano kwamba nambari hizi zinakidhi ukosefu wa usawa. 10. Sheria ya usambazaji wa kutofautiana kwa nasibu hutolewa X: Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kibadilishaji nasibu X; maana F(2); uwezekano kwamba kutofautiana kwa nasibu X itachukua maadili kutoka kwa muda. Tengeneza poligoni ya usambazaji.
1.2.
p4=0.1; 0 kwa x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 kwa x≤a,
,
Mviringo wa kawaida una ulinganifu kwa kuzingatia mstari ulionyooka x=m, una upeo wa juu katika x=a, sawa na .
,
, au:
. Kuna uwezekano gani kwamba kutakuwa na katuni 3 zenye kasoro kwenye kundi zima?
, Wapi.
.
.
.
.
Kwa 
, Hiyo
.
.
- Kazi ya laplace.
Operesheni juu ya uwezekano tofauti
Kitendaji cha usambazaji
1. Sheria ya usambazaji wa Binomial.
\ mstari
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\ mstari
p_i & P_n\kushoto(0\kulia) & P_n\kushoto(1\kulia) & \vidoti & P_n\kushoto(n\kulia) \\
\ mstari
\mwisho(safu)$
\ mstari
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\ mstari
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\ mstari
\mwisho(safu)$2. Sheria ya usambazaji wa Poisson.
\ mstari
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\ mstari
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\ mstari
\mwisho(safu)$3. Sheria ya usambazaji wa kijiometri.
\ mstari
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\ mstari
P\kushoto(X_i\kulia) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\ mstari
\mwisho(safu)$4. Sheria ya usambazaji wa kijiometri.
\ mstari
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\ mstari
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\ mstari
\mwisho(safu)$ X
–28
–20
–12
–4
uk
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
uk
0,1
0,2
0,3
0,4
Tatizo la ushawishi wa mwalimu kwa mwanafunzi
Ni katika neno gani herufi inayoashiria sauti ya vokali iliyosisitizwa imeangaziwa kwa usahihi?
Riwaya bora za kihistoria Ni riwaya zipi za kihistoria