Mpira katika nafasi ya 4-dimensional. Mzunguko wa 4D na ufungashaji wa tufe

Vipengele na hali ya hewa

Sayansi na teknolojia

Matukio yasiyo ya kawaida

Ufuatiliaji wa asili

Sehemu za mwandishi

Kugundua hadithi

Ulimwengu uliokithiri

Rejeleo la habari

Kumbukumbu ya faili

Majadiliano

Huduma

Habari mbele

Taarifa kutoka NF OKO

Usafirishaji wa RSS

Viungo muhimu

Mada Muhimu

Mnamo 1904, Henri Poincaré alipendekeza kwamba kitu chochote chenye mwelekeo-tatu ambacho kina sifa fulani za nyanja-3 kinaweza kubadilishwa kuwa nyanja-3. Ilichukua miaka 99 kuthibitisha nadharia hii. (Tahadhari: Tufe yenye sura tatu sivyo unavyofikiri.) Mwanahisabati Mrusi Grigory Perelman alithibitisha dhana ya miaka mia moja ya Poincaré na kukamilisha orodha ya maumbo katika nafasi zenye mielekeo mitatu.

Poincaré alipendekeza kuwa tufe 3 ni ya kipekee na hakuna kompakt nyingine 3-mbalimbali (Njia zisizo za kompakt hazina kikomo au zina kingo. Hapa chini, manifolds fupi tu ndiyo yanazingatiwa) ina sifa zinazoifanya iwe rahisi sana. Mikunjo tata zaidi 3 ina mipaka inayosimama kama ukuta wa matofali, au miunganisho mingi kati ya maeneo fulani, kama njia ya msitu ambayo hujichimbia na kuunganishwa tena. Kitu chochote chenye mwelekeo-tatu chenye sifa za nyanja-3 kinaweza kubadilishwa kuwa yenyewe, kwa hivyo kwa wataalamu wa hali ya juu inaonekana kuwa nakala yake tu. Uthibitisho wa Perelman pia huturuhusu kujibu swali la tatu na kuainisha aina zote 3 zilizopo.
Utahitaji kiasi cha kutosha cha mawazo ili kufikiria nyanja-3. Kwa bahati nzuri, ina mengi sawa na 2-sphere, mfano wa kawaida ambao ni mpira wa puto ya pande zote: ni mbili-dimensional, kwa kuwa hatua yoyote juu yake inaelezwa na kuratibu mbili tu - latitudo na longitudo. Ikiwa utachunguza sehemu yake ndogo chini ya glasi yenye nguvu ya kukuza, itaonekana kama kipande cha karatasi ya gorofa. Kwa mdudu mdogo anayetambaa kwenye puto, itaonekana kuwa uso wa gorofa. Lakini ikiwa booger itasogea kwa mstari ulionyooka kwa muda wa kutosha, hatimaye itarudi kwenye hatua yake ya kuondoka. Vivyo hivyo, tungeona tufe 3 saizi ya Ulimwengu wetu kama nafasi ya "kawaida" ya pande tatu. Ikiwa tungeruka mbali vya kutosha katika mwelekeo wowote, hatimaye "tungezunguka" na kuishia kurudi kwenye mahali petu pa kuanzia.
Kama unavyoweza kukisia, tufe ya n-dimensional inaitwa n-tufe. Kwa mfano, nyanja 1 inajulikana kwa kila mtu: ni duara tu.

Wanahisabati ambao wanathibitisha nadharia kuhusu nafasi za juu-dimensional hawana kufikiria kitu cha utafiti: wanahusika na mali ya kufikirika, inayoongozwa na intuitions kulingana na analogies na vipimo vichache (analogi kama hizo lazima zichukuliwe kwa tahadhari na zisichukuliwe halisi). Tutazingatia pia nyanja 3, kulingana na mali ya vitu vilivyo na vipimo vichache.
1. Hebu tuanze kwa kuangalia duara na mduara wake unaozingira. Kwa wanahisabati, duara ni mpira wa pande mbili, na duara ni nyanja ya mwelekeo mmoja. Zaidi ya hayo, mpira wa ukubwa wowote ni kitu kilichojazwa, kinachofanana na watermelon, na nyanja ni uso wake, zaidi kama puto. Mduara una sura moja kwa sababu nafasi ya nukta juu yake inaweza kubainishwa na nambari moja.

2. Kutoka kwa miduara miwili tunaweza kujenga tufe yenye pande mbili, na kugeuza moja yao katika Ulimwengu wa Kaskazini na nyingine katika Ulimwengu wa Kusini. Kinachobaki ni kuziunganisha pamoja, na nyanja 2 iko tayari.

3. Fikiria mchwa akitambaa kutoka Ncha ya Kaskazini pamoja na duara kubwa linaloundwa na meridians kuu na 180 (upande wa kushoto). Ikiwa tutapanga njia yake kwenye miduara miwili ya asili (upande wa kulia), tunaona kwamba wadudu husogea kwa mstari ulionyooka (1) hadi ukingo wa duara la kaskazini (a), kisha huvuka mpaka, hugonga sehemu inayolingana. mduara wa kusini na inaendelea kufuata mstari wa moja kwa moja (2 na 3). Kisha chungu tena hufikia ukingo (b), huvuka na hujikuta tena kwenye mzunguko wa kaskazini, kukimbilia kuelekea mahali pa kuanzia - Ncha ya Kaskazini (4). Kumbuka kwamba wakati wa kusafiri duniani kote kwenye 2-sphere, mwelekeo wa harakati hubadilishwa wakati wa kusonga kutoka kwa mduara mmoja hadi mwingine.

4. Sasa fikiria nyanja yetu 2 na kiasi kilichomo ndani yake (mpira wa tatu-dimensional) na ufanye sawa nao kama kwa mduara na mduara: kuchukua nakala mbili za mpira na gundi mipaka yao pamoja. Haiwezekani na sio lazima kuonyesha wazi jinsi mipira inavyopotoshwa katika vipimo vinne na kugeuka kuwa analog ya hemispheres. Inatosha kujua kwamba pointi zinazofanana kwenye nyuso, i.e. Nyanja 2 zimeunganishwa kwa kila mmoja kwa njia sawa na katika kesi ya miduara. Matokeo ya kuunganisha mipira miwili ni nyanja 3 - uso wa mpira wa nne-dimensional. (Katika vipimo vinne, ambapo nyanja 3 na mpira 4 zipo, uso wa kitu ni wa pande tatu.) Hebu tuite mpira mmoja ulimwengu wa kaskazini na mwingine ulimwengu wa kusini. Kwa kulinganisha na miduara, nguzo sasa ziko katikati ya mipira.

5. Fikiria kwamba mipira katika swali ni maeneo makubwa tupu ya nafasi. Hebu tuseme mwanaanga anapaa kutoka Ncha ya Kaskazini kwa roketi. Baada ya muda, inafika ikweta (1), ambayo sasa ni tufe inayozunguka mpira wa kaskazini. Kuivuka, roketi inaingia kwenye ulimwengu wa kusini na kusonga kwa mstari wa moja kwa moja kupitia kituo chake - Ncha ya Kusini - kwa upande mwingine wa ikweta (2 na 3). Huko mpito kwa ulimwengu wa kaskazini hutokea tena, na msafiri anarudi kwenye Ncha ya Kaskazini, i.e. hadi mahali pa kuanzia (4). Hii ndio hali ya safari ya kuzunguka ulimwengu kwenye uso wa mpira wa 4-dimensional! Tufe ya pande tatu inayozingatiwa ni nafasi inayorejelewa katika dhana ya Poincaré. Labda Ulimwengu wetu ni nyanja 3 haswa.

Hoja inaweza kupanuliwa hadi vipimo vitano na kuunda nyanja 4, lakini hii ni ngumu sana kufikiria. Ukigonga mipira miwili ya n kando ya (n-1)-tufe zinazozizunguka, unapata n-tufe inayofunga (n+1)-ball.

Nusu karne ilipita kabla ya suala la dhana ya Poincaré kuanza. Katika miaka ya 60 Karne ya XX wanahisabati wamethibitisha taarifa zinazofanana kwa nyanja za vipimo vitano au zaidi. Katika kila kisa, n-tufe ndiyo njia pekee na rahisi zaidi ya n. Cha ajabu, iligeuka kuwa rahisi kupata matokeo ya nyanja nyingi kuliko 3- na 4-sphere. Uthibitisho wa vipimo vinne ulionekana mwaka wa 1982. Na tu dhana ya awali ya Poincaré kuhusu nyanja ya 3 ilibakia bila kuthibitishwa.
Hatua ya uamuzi ilichukuliwa mnamo Novemba 2002, wakati Grigory Perelman, mtaalamu wa hisabati kutoka tawi la St. Petersburg la Taasisi ya Hisabati. Steklov, alituma makala kwenye tovuti www.arxiv.org, ambapo wanafizikia na wanahisabati kutoka duniani kote wanajadili matokeo ya shughuli zao za kisayansi. Wataalamu wa hali ya juu walielewa mara moja uhusiano kati ya kazi ya mwanasayansi wa Urusi na dhana ya Poincaré, ingawa mwandishi hakutaja moja kwa moja.

Kwa kweli, uthibitisho wa Perelman, usahihi ambao hakuna mtu bado ameweza kuhoji, hutatua masuala mengi zaidi kuliko dhana ya Poincaré yenyewe. Utaratibu wa uwekaji jiometri uliopendekezwa na William P. Thurston wa Chuo Kikuu cha Cornell unaruhusu uainishaji kamili wa mikunjo 3 kulingana na nyanja-3, ya kipekee katika unyenyekevu wake wa hali ya juu. Ikiwa dhana ya Poincaré ilikuwa ya uongo, i.e. Ikiwa kungekuwa na nafasi nyingi rahisi kama tufe, basi uainishaji wa 3-manifolds ungegeuka kuwa kitu ngumu zaidi. Shukrani kwa Perelman na Thurston, tuna orodha kamili ya aina zote zinazowezekana kihisabati za nafasi ya pande tatu ambazo Ulimwengu wetu unaweza kuchukua (ikiwa tutazingatia tu nafasi bila wakati).

Ili kuelewa vyema dhana ya Poincaré na uthibitisho wa Perelman, unapaswa kuangalia kwa karibu topolojia. Katika tawi hili la hisabati, sura ya kitu haijalishi, kana kwamba imetengenezwa kwa unga ambao unaweza kunyooshwa, kukandamizwa na kuinama kwa njia yoyote. Kwa nini tufikirie juu ya vitu au nafasi zilizotengenezwa kwa unga wa kuwaziwa? Ukweli ni kwamba sura halisi ya kitu - umbali kati ya pointi zake zote - inahusu ngazi ya kimuundo inayoitwa jiometri. Kwa kuchunguza kitu kutoka kwa mtihani, topologists kutambua mali yake ya msingi ambayo haitegemei muundo wa kijiometri. Kusoma topolojia ni kama kutafuta sifa za kawaida ambazo watu wanazo kwa kuangalia "mtu wa plastiki" ambaye anaweza kugeuzwa kuwa mtu yeyote mahususi.
Katika maandiko maarufu, mara nyingi kuna taarifa ya hackneyed kwamba, kutoka kwa mtazamo wa juu, kikombe sio tofauti na donut. Ukweli ni kwamba kikombe cha unga kinaweza kugeuka kuwa donut kwa kuponda tu nyenzo, i.e. bila kupofusha chochote au kutengeneza mashimo. Kwa upande mwingine, ili kutengeneza donut kutoka kwa mpira, hakika unahitaji kufanya shimo ndani yake au kuifunga kwenye silinda na kuunda mwisho, hivyo mpira sio donut kabisa.
Wataalamu wa hali ya juu wanavutiwa zaidi na nyanja na nyuso za donut. Kwa hiyo, badala ya miili imara, unapaswa kufikiria balloons. Topolojia yao bado ni tofauti kwa sababu puto ya spherical haiwezi kubadilishwa kuwa pete-umbo, ambayo inaitwa torus. Kwanza, wanasayansi waliamua kujua ni vitu ngapi vyenye topolojia tofauti vipo na jinsi vinaweza kutambuliwa. Kwa 2-manifolds, ambayo tulikuwa tunaita nyuso, jibu ni kifahari na rahisi: kila kitu kinatambuliwa na idadi ya "mashimo" au, ni nini sawa, idadi ya vipini. Mwishoni mwa karne ya 19. Wanahisabati waligundua jinsi ya kuainisha nyuso na kuamua kuwa rahisi zaidi kati yao ni nyanja. Kwa kawaida, wataalam wa juu walianza kufikiria juu ya aina 3: ni nyanja 3 ya kipekee katika unyenyekevu wake? Historia ya karne nzima ya kutafuta jibu imejaa makosa na ushahidi potofu.
Henri Poincaré alishughulikia suala hili kwa karibu. Alikuwa mmoja wa wanahisabati wawili wenye nguvu zaidi wa mwanzo wa karne ya 20. (mwingine alikuwa David Gilbert). Aliitwa mwanasayansi wa mwisho wa ulimwengu wote - alifanya kazi kwa mafanikio katika maeneo yote ya hesabu safi na iliyotumika. Kwa kuongezea, Poincaré alitoa mchango mkubwa katika ukuzaji wa mechanics ya mbinguni, nadharia ya sumaku-umeme, na pia kwa falsafa ya sayansi, ambayo aliandika vitabu kadhaa maarufu.
Poincaré akawa mwanzilishi wa topolojia ya algebra na, kwa kutumia mbinu zake, mwaka wa 1900 alitengeneza tabia ya juu ya kitu, inayoitwa homotopy. Kuamua homotopy ya aina nyingi, unahitaji kuzama kiakili kitanzi kilichofungwa ndani yake. Kisha unapaswa kujua ikiwa inawezekana kila wakati kukandamiza kitanzi kwa uhakika kwa kuisonga ndani ya anuwai. Kwa torus, jibu litakuwa hasi: ikiwa utaweka kitanzi karibu na mzunguko wa torus, huwezi kuimarisha kwa uhakika, kwa sababu. "shimo" la donut litapata njia. Homotopy ni idadi ya njia tofauti zinazoweza kuzuia kitanzi kuambukizwa.

Kwenye n-tufe, kitanzi chochote, hata kilichosokotwa kwa ustadi, kinaweza kufunuliwa na kuvutwa pamoja kwa uhakika. (Kitanzi kinaruhusiwa kupita chenyewe.) Poincaré alidhani kuwa tufe 3 ni sehemu 3 pekee ambapo kitanzi chochote kinaweza kuunganishwa kwa uhakika. Kwa bahati mbaya, hakuweza kuthibitisha dhana yake, ambayo baadaye ilijulikana kama dhana ya Poincaré.

Uchambuzi wa Perelman wa 3-manifolds unahusiana kwa karibu na utaratibu wa kijiometri. Jiometri inahusika na sura halisi ya vitu na manifolds, sio tena ya unga, lakini ya keramik. Kwa mfano, kikombe na donati ni tofauti kijiometri kwa sababu nyuso zao zimepinda kwa njia tofauti. Inasemekana kuwa kikombe na donati ni mifano miwili ya torasi ya juu ambayo hupewa maumbo tofauti ya kijiometri.
Ili kuelewa kwa nini Perelman alitumia jiometri, fikiria uainishaji wa 2-manifolds. Kila uso wa kitolojia hupewa jiometri ya kipekee ambayo mkunjo wake unasambazwa sawasawa katika sehemu mbalimbali. Kwa mfano, kwa nyanja, hii ni uso wa spherical kikamilifu. Jiometri nyingine inayowezekana kwa nyanja ya topolojia ni yai, lakini mzingo wake haujasambazwa sawasawa kila mahali: mwisho mkali umepindika zaidi kuliko ncha butu.
2-manifolds huunda aina tatu za kijiometri. Tufe ina sifa ya curvature chanya. Torasi iliyo na kijiometri ni bapa na ina mkunjo sufuri. Nyingine zote 2 zilizo na "mashimo" mbili au zaidi zina mikunjo hasi. Zinalingana na uso unaofanana na tandiko, ambalo linapinda juu mbele na nyuma, na kushuka chini upande wa kushoto na kulia. Poincaré alianzisha uainishaji huu wa kijiometri (jiometri) wa mikunjo 2 pamoja na Paul Koebe na Felix Klein, ambao chupa ya Klein imepewa jina lake.

Kuna hamu ya asili ya kutumia njia sawa na 3-manifolds. Inawezekana kupata kwa kila mmoja wao usanidi wa kipekee ambao curvature ingesambazwa sawasawa katika anuwai nzima?
Ilibadilika kuwa 3-manifolds ni ngumu zaidi kuliko wenzao wa pande mbili na wengi wao hawawezi kupewa jiometri ya homogeneous. Wanapaswa kugawanywa katika sehemu zinazolingana na moja ya jiometri nane za kisheria. Utaratibu huu unakumbusha kuoza nambari kuwa sababu kuu.

Ni vipi vingi vinaweza kuorodheshwa kwa jiometri na kupewa curvature sare kila mahali? Unahitaji kuchukua jiometri ya kiholela na protrusions na mapumziko kadhaa, na kisha lainisha makosa yote. Katika miaka ya 90 ya mapema. Karne ya XX Hamilton alianza kuchanganua mafungu-3 kwa kutumia mlinganyo wa mtiririko wa Ricci, uliopewa jina la mwanahisabati Gregorio Ricci-Curbastro. Inafanana kwa kiasi fulani na mlingano wa upitishaji joto, ambao unaelezea mtiririko wa joto unaopita katika mwili wenye joto usio sawa hadi joto lake liwe sawa kila mahali. Kwa njia hiyo hiyo, usawa wa mtiririko wa Ricci unabainisha mabadiliko katika curvature ya aina nyingi ambayo inaongoza kwa usawa wa protrusions zote na mapumziko. Kwa mfano, ikiwa utaanza na yai, hatua kwa hatua itakuwa spherical.

Perelman aliongeza neno jipya kwa mlinganyo wa mtiririko wa Ricci. Mabadiliko haya hayakuondoa shida ya upekee, lakini yaliruhusu uchambuzi wa kina zaidi. Mwanasayansi wa Kirusi ameonyesha kuwa operesheni ya "upasuaji" inaweza kufanywa kwa aina nyingi za umbo la dumbbell: kata bomba nyembamba kwa pande zote za kizuizi kinachojitokeza na kuziba zilizopo wazi zinazojitokeza kutoka kwa mipira yenye kofia za spherical. Kisha unapaswa kuendelea kubadilisha aina mbalimbali "zinazoendeshwa" kwa mujibu wa mlinganyo wa mtiririko wa Ricci, na utumie utaratibu ulio hapo juu kwa vizuizi vyote vinavyojitokeza. Perelman pia alionyesha kuwa sifa za umbo la sigara haziwezi kuonekana. Kwa hivyo, 3-mbalimbali yoyote inaweza kupunguzwa kwa seti ya sehemu na jiometri ya homogeneous.
Wakati mtiririko wa Ricci na "upasuaji" unatumika kwa aina zote 3 zinazowezekana, yoyote kati yao, ikiwa ni rahisi kama nyanja 3 (kwa maneno mengine, inayojulikana na homotopy sawa), lazima ipunguzwe kwa jiometri sawa ya homogeneous. kama na 3-tufe. Hii ina maana, kutoka kwa mtazamo wa topolojia, aina nyingi zinazohusika ni nyanja 3. Kwa hivyo, nyanja 3 ni ya kipekee.

Thamani ya vifungu vya Perelman haipo tu katika uthibitisho wa dhana ya Poincaré, lakini pia katika mbinu mpya za uchambuzi. Wanasayansi duniani kote tayari wanatumia matokeo yaliyopatikana na mwanahisabati wa Kirusi katika kazi zao na kutumia mbinu alizotengeneza katika maeneo mengine. Ilibadilika kuwa mtiririko wa Ricci unahusishwa na kikundi kinachojulikana kama kurekebisha tena, ambayo huamua jinsi nguvu ya mwingiliano inavyobadilika kulingana na nishati ya mgongano wa chembe. Kwa mfano, kwa nishati ya chini nguvu ya mwingiliano wa sumakuumeme ina sifa ya nambari 0.0073 (takriban 1/137). Walakini, elektroni mbili zinapogongana uso kwa uso kwa karibu kasi ya mwanga, nguvu hukaribia 0.0078. Hisabati ambayo inaelezea mabadiliko katika nguvu za kimwili ni sawa na hisabati ambayo inaelezea jiometri ya manifolds.
Kuongeza nishati ya mgongano ni sawa na kusoma nguvu katika umbali mdogo. Kwa hiyo, kikundi cha kurekebisha upya ni sawa na darubini yenye sababu ya kukuza kutofautiana, ambayo inakuwezesha kujifunza mchakato katika viwango tofauti vya undani. Vile vile, mtiririko wa Ricci ni darubini ya kutazama aina mbalimbali. Protrusions na depressions inayoonekana katika ukuzaji mmoja kutoweka katika mwingine. Kuna uwezekano kwamba kwa kipimo cha urefu wa Planck (karibu 10 -35 m), nafasi tunayoishi inaonekana kama povu na muundo tata wa kitolojia. Kwa kuongeza, equations ya relativity ya jumla, ambayo inaelezea sifa za mvuto na muundo mkubwa wa Ulimwengu, inahusiana kwa karibu na equation ya mtiririko wa Ricci. Kwa kushangaza, neno Perelman lililoongezwa kwa usemi uliotumiwa na Hamilton linatokana na nadharia ya kamba, ambayo inadaiwa kuwa nadharia ya quantum ya mvuto. Inawezekana kwamba katika vifungu vya mtaalam wa hesabu wa Kirusi, wanasayansi watapata habari nyingi muhimu sio tu juu ya aina 3 za kawaida, lakini pia juu ya nafasi tunayoishi.

Wakati fulani uliopita, karatasi mbili zilionekana kwenye tovuti ya preprint arXiv.org, iliyojitolea kwa tatizo la upakiaji mnene zaidi wa mipira katika nafasi za vipimo 8 na 24. Hadi sasa, matokeo sawa yalijulikana tu kwa vipimo 1, 2 na 3 (na sio kila kitu ni rahisi sana hapa, lakini zaidi juu ya hiyo hapa chini). Mafanikio - na tunazungumza juu ya mafanikio ya kweli ya mapinduzi - yaliwezekana shukrani kwa kazi ya Marina Vyazovskaya, mtaalam wa hesabu wa asili ya Kiukreni, ambaye sasa anafanya kazi nchini Ujerumani. Tutasimulia hadithi ya mafanikio haya katika hadithi fupi kumi.

1.

Katika karne ya 16, mtu maarufu wa mahakama na mshairi Sir Walter Raleigh aliishi Uingereza. Alikuwa maarufu, kwanza kabisa, kwa ukweli kwamba wakati mmoja alitupa vazi lake la gharama kubwa kwenye dimbwi mbele ya malkia ili ukuu asichafue miguu yake. Lakini si ndiyo sababu anatuvutia.

Sir Walter Raleigh alikuwa na shauku - alipenda kuiba meli za Uhispania na kutafuta El Dorado. Na kisha siku moja Raleigh aliona rundo la mizinga iliyorundikwa kwenye meli. Na nilidhani (hii ilitokea kwa wakuu wa Uingereza), wanasema, itakuwa nzuri ikiwa inawezekana kujua ni cores ngapi kwenye lundo bila kuhesabu. Faida ya maarifa kama haya, haswa ikiwa unapenda kupora meli za Uhispania, ni dhahiri.

Walter Raleigh

Raleigh mwenyewe hakuwa mzuri sana katika hesabu, kwa hivyo alikabidhi shida hii kwa msaidizi wake Thomas Herriot. Yeye, kwa upande wake, alikuwa na nguvu katika hisabati (Harriott, kwa njia, ndiye mvumbuzi wa ishara ">" na "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

Kwa maoni, alimgeukia mwanahisabati maarufu wa wakati wake, Johannes Kepler - wakati huo msaidizi wa Tycho Brahe. Kepler hakutoa jibu, lakini alikumbuka shida. Mnamo 1611, alichapisha brosha ndogo ambayo alijadili maswali manne: kwa nini nyuki wana masega ya asali ya hexagonal, kwa nini petals za maua mara nyingi huwekwa katika tano? Kepler labda alimaanisha tuRosaceae - takriban. N+1), kwa nini nafaka za garnet zina sura ya dodecahedron (pamoja na isiyo ya kawaida) na kwa nini, hatimaye, theluji za theluji zina sura ya hexagons.

Johannes Kepler

Broshua hiyo ilikusudiwa kuwa zawadi, kwa hiyo ilikuwa usomaji wa kifalsafa na wa kuburudisha kuliko kazi halisi ya kisayansi. Kepler alihusisha jibu la swali la kwanza na hali mbili - haipaswi kuwa na mapungufu kati ya seli, na jumla ya maeneo ya seli inapaswa kuwa ndogo. Mwandishi aliunganisha swali la pili na nambari za Fibonacci, na mazungumzo kuhusu vipande vya theluji yalimfanya Kepler azungumze kuhusu ulinganifu wa atomiki.

Swali la tatu lilizua dhana kwamba kufunga hexagonal karibu(iko kwenye picha hapa chini) ni mnene zaidi (ambayo ina maana hii kwa maana ya hisabati pia iko chini). Kwa kweli, Kepler hakuona kuwa ni muhimu kurejelea Harriot. Kwa hiyo, taarifa hii inaitwa hypothesis ya Kepler. Sheria ya Stigler - pia inajulikana kama kanuni ya Arnold - inafanya kazi.

Ndiyo, miaka 7 baada ya kuchapishwa kwa broshua hii, Sir Walter Raleigh alikatwa kichwa. Walakini, hii haikuwa na uhusiano wowote na shida ya kufunga mnene.

2.

Kwa viwango vya kisasa, tatizo ambalo Harriot alitatua halikuwa gumu. Kwa hiyo, hebu tuchambue kwa undani zaidi. Na wakati huo huo, tutaelewa vizuri jinsi ufungaji wa karibu wa hexagonal unavyofanya kazi.

Kwa hivyo, hali kuu ni kwamba rundo la kernels haitoi wakati wa kusonga. Kwa hivyo, tunaweka kernels kwenye safu kwenye staha. Tunaweka kernels kwenye safu inayofuata ili mipira iwekwe kwenye mapungufu kati ya nyanja za safu ya kwanza. Ikiwa kuna mipira ya n katika safu ya kwanza, basi kuna n - 1 kwenye safu ya pili (kwa sababu kuna mapungufu machache kati ya mipira kuliko mipira yenyewe). Safu inayofuata itakuwa na msingi mmoja mdogo. Na kadhalika hadi tupate pembetatu kama hii (ikiwa unatazama mpangilio kutoka juu):

Wale wanaokumbuka maendeleo ya hesabu ni nini wanaweza kuhesabu kwa urahisi kwamba ikiwa kulikuwa na n mipira kwenye safu ya kwanza, basi kuna mipira ya n (n + 1)/2 kwa jumla katika pembetatu kama hiyo. Ikiwa unatazama kutoka juu, kuna grooves rahisi kati ya mipira. Hapa ndipo tutaweka safu ya pili ya mipira. Matokeo yake ni pembetatu iliyopangwa kama ya kwanza, tu na mpira mmoja kidogo upande. Hii inamaanisha tuliongeza mipira n(n - 1)/2 kwenye lundo.

Wacha tuendelee kuongeza tabaka hadi tupate safu ya mpira mmoja. Tulipata piramidi ya pembe tatu ya viini. Ili kujua ni cores ngapi kwa jumla, unahitaji kuongeza idadi ya cores katika kila safu. Ikiwa safu ya kwanza ilikuwa na upande n, basi tunapata tabaka za n, ambazo kwa jumla zitatoa n (n + 1) (n + 2)/6. Msomaji mdadisi atagundua kuwa hii ndiyo mgawo wa binomial C 3 n + 2. Sadfa hii ya pamoja sio bila sababu, lakini hatutaingia ndani yake.

Kwa njia, pamoja na kazi hii, Herriot aliweza kuamua takriban ni sehemu gani ya kernels inachukua kwenye chombo kikubwa cha kutosha, ikiwa tutachukua sura ya mwisho kama mchemraba. Ilibadilika kuwa sehemu ni π/(3√2) ≈ 0.74048.

3.

Neno linamaanisha nini mnene zaidi katika taarifa ya tatizo? Raleigh, Harriot, na Kepler mwenyewe hawakutoa jibu kamili kwa hili. Ilimaanisha mnene zaidi kwa maana fulani inayofaa. Hata hivyo, uundaji huu haufai kwa hisabati. Inahitaji kufafanuliwa.

Hebu kwanza tushuke mwelekeo mmoja na tuone jinsi kila kitu kinavyofanya kazi kwenye ndege. Kwa kesi mbili-dimensional, tatizo linageuka kuwa hili: basi ndege ipewe seti isiyo na mipaka ya miduara ambayo haiingii ndani ya mambo ya ndani (lakini ikiwezekana kugusa - yaani, kuwa na hatua ya kawaida kwenye mpaka). Hebu tuchore mraba. Hebu tuhesabu jumla ya maeneo ya vipande vya miduara ambayo huanguka ndani ya mraba. Wacha tuchukue uwiano wa jumla hii kwa eneo la mraba, na tutaongeza upande wa mraba, tukiangalia mabadiliko katika uwiano.

Tunapata kazi f(a), Wapi a- upande wa mraba. Ikiwa tuna bahati, basi kazi hii na ukuaji hoja itakaribia bila dalili kwa nambari fulani. Nambari hii inaitwa wiani wa kifurushi fulani. Ni muhimu kwamba kitendakazi chenyewe kwa wakati fulani kinaweza kutoa thamani kubwa kuliko msongamano. Hakika, ikiwa mraba ni mdogo, basi inafaa kabisa katika mduara na uwiano fulani ni sawa na 1. Lakini tunavutiwa na wiani kwa wastani, yaani, kuzungumza kwa njia isiyo rasmi, "kwa mraba yenye upande mkubwa wa kutosha. ”

Kati ya wiani wote kama huo, kiwango cha juu kinaweza kupatikana. Ni hii, pamoja na ufungaji unaoitekeleza, ambayo itaitwa densest.

"Ufungashaji wa karibu zaidi sio lazima pekee (kwa maana ya asymptotic). Kuna idadi isiyo na kikomo ya vifungashio mnene katika nafasi ya 3-dimensional, na Kepler alijua hili," anasema Oleg Musin kutoka Chuo Kikuu cha Texas huko Brownsville.

Baada ya kufafanua dhana ya kufunga kwa karibu zaidi, ni rahisi kuelewa kwamba ufafanuzi huo unaweza kupanuliwa kwa urahisi kwa nafasi ya mwelekeo wa kiholela n. Hakika, hebu tubadilishe miduara na mipira ya mwelekeo unaofanana, yaani, seti ya pointi, umbali kutoka kwa uhakika uliowekwa (kinachoitwa kituo) hauzidi thamani fulani inayoitwa radius ya mpira. Wacha tuwapange tena ili zote mbili, bora, ziguse, na mbaya zaidi, hazina alama za kawaida kabisa. Hebu tufafanue kazi sawa na katika kesi ya awali, kuchukua kiasi cha mchemraba wa n-dimensional na jumla ya kiasi cha mipira inayofanana ya n-dimensional.

4.

Kwa hivyo, tunaelewa kuwa nadharia ya Kepler ni tatizo kuhusu ufungashaji mnene zaidi wa mipira ya pande tatu katika nafasi ya pande tatu. Vipi kuhusu ndege (tangu tumeanza nayo)? Au hata kutoka kwa mstari wa moja kwa moja? Kwa mstari wa moja kwa moja, kila kitu ni rahisi: mpira kwenye mstari wa moja kwa moja ni sehemu. Mstari wa moja kwa moja unaweza kufunikwa kabisa na sehemu zinazofanana zinazoingiliana kwenye ncha. Kwa chanjo kama hiyo, kazi f(a) ni thabiti na ni sawa na 1.

Kwenye ndege kila kitu kiligeuka kuwa ngumu zaidi. Kwa hiyo, hebu tuanze na seti ya pointi kwenye ndege. Tunasema kwamba seti hii ya pointi huunda kimiani ikiwa tunaweza kupata jozi ya vekta v na w hivi kwamba pointi zote zinapatikana kama N*v + M*w, ambapo N na M ni nambari kamili. Vivyo hivyo, kimiani kinaweza kufafanuliwa katika nafasi ya vipimo vikubwa vya kiholela - inahitaji tu vekta zaidi.

Latti ni muhimu kwa sababu nyingi (kwa mfano, tovuti za kimiani ni mahali ambapo atomi hupendelea kuwa iko linapokuja suala la nyenzo imara), lakini kwa wanahisabati ni nzuri kwa sababu ni rahisi sana kufanya kazi nao. Kwa hivyo, kutoka kwa vifurushi vyote, darasa linatofautishwa kando ambayo vituo vya mipira viko kwenye nodi za kimiani. Ikiwa tunajizuia kwa kesi hii, basi kuna aina tano tu za lati kwenye ndege. Ufungashaji mnene zaidi wao hutolewa na moja ambayo vidokezo vimepangwa kwenye wima ya hexagons za kawaida - kama masega ya asali katika nyuki au atomi kwenye graphene. Ukweli huu ulithibitishwa na Lagrange mnamo 1773. Kwa usahihi: Lagrange hakuwa na nia ya kufunga mnene, lakini alikuwa na nia ya fomu za quadratic. Tayari katika XX ikawa wazi kwamba kutokana na matokeo yake juu ya fomu matokeo juu ya wiani wa kufunga kwa lati mbili-dimensional ifuatavyo.

"Mnamo 1831, Ludwig Sieber aliandika kitabu juu ya fomu za ternary quadratic. Kitabu hiki kilitoa dhana ambayo ni sawa na dhana ya Kepler kwa vifungashio vya kimiani. Sieber mwenyewe aliweza kudhibitisha aina dhaifu ya nadharia yake na kuijaribu kwa idadi kubwa ya mifano. Kitabu hiki kilipitiwa na mkuu Carl Friedrich Gauss. Katika hakiki hii, Gauss hutoa uthibitisho wa kushangaza kweli, ambao unalingana na mistari 40. Huu, kama tunavyosema sasa, uthibitisho wa "Olympiad" unaeleweka kwa mwanafunzi wa shule ya upili. Wanahisabati wengi wamejaribu kupata maana iliyofichwa katika uthibitisho wa Gauss, lakini hadi sasa hakuna aliyefaulu, "anasema Oleg Musin.

Ni nini hufanyika, hata hivyo, ikiwa tutaacha hali ya mtandao? Hapa kila kitu kinageuka kuwa ngumu zaidi. Jaribio la kwanza kamili la kushughulikia kesi hii lilifanywa na mwanahisabati wa Norway Axel Thue. Ukiangalia ukurasa uliowekwa kwa Thue kwenye Wikipedia, hautapata chochote kuhusu ufungashaji mkali huko. Hii inaeleweka - Thue alichapisha kazi mbili ambazo zilikumbusha zaidi insha kuliko kazi za kawaida za hesabu, ambazo, kama ilionekana kwake, alitatua kabisa shida ya upakiaji mnene. Tatizo pekee lilikuwa kwamba hakuna mtu isipokuwa Thue mwenyewe aliyesadikishwa na hoja yake.

Laszlo Fejes Toth

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Tatizo hatimaye lilitatuliwa na mwanahisabati wa Hungaria Laszlo Fejes Toth mnamo 1940. Ilibadilika, kwa njia, kwamba mpangilio wa miduara kwenye ndege ambayo inatambua kufunga zaidi mnene ni pekee.

5.

Kuhusiana kwa karibu na tatizo la kufunga kufunga ni tatizo la nambari ya mawasiliano. Hebu tuangalie tena duara kwenye ndege. Ni miduara ngapi ya radius sawa inaweza kuwekwa karibu nayo ili wote waguse moja ya kati? Jibu ni sita. Hakika, wacha tuangalie miduara miwili ya jirani inayogusa ile yetu ya kati. Wacha tuangalie umbali kutoka katikati ya duara la kati hadi katikati ya hizi mbili. Ni sawa 2R, Wapi R- radius ya mduara. Umbali kati ya vituo vya miduara ya karibu hauzidi 2R. Kuhesabu pembe katikati ya mduara wa kati kwa kutumia theorem ya cosine, tunaona kuwa sio chini ya digrii 60. Jumla ya pembe zote za kati zinapaswa kutoa digrii 360, ambayo inamaanisha kuwa kunaweza kuwa na pembe kama hizo zaidi ya 6 na tunajua eneo la miduara iliyo na pembe sita.

Nambari inayotokana inaitwa nambari ya mawasiliano ya ndege. Swali kama hilo linaweza kuulizwa kwa nafasi za kipimo chochote. Hebu unyenyekevu wa suluhisho kwenye ndege usipotoshe msomaji - tatizo la nambari za mawasiliano, ikiwa ni rahisi zaidi kuliko tatizo la kufunga kwa karibu, si rahisi sana. Lakini matokeo zaidi yamepatikana katika mwelekeo huu.

Kwa nafasi ya pande tatu, nambari ya mawasiliano ikawa mada ya mzozo wa umma kati ya Isaac Newton mwenyewe na James Gregory mnamo 1694. Wa kwanza aliamini kwamba nambari ya mawasiliano inapaswa kuwa 12, na ya pili - 13. Jambo ni kwamba si vigumu kupanga mipira 12 karibu na moja ya kati - vituo vya mipira hiyo iko kwenye wima ya icosahedron ya kawaida (yeye. ina 12 kabisa). Lakini mipira hii haigusi! Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba wanaweza kuhamishwa ili moja zaidi, mpira wa 13, uweze kupita. Hii ni kweli: ikiwa mipira imesogezwa kando kidogo, na kufanya umbali kati ya vituo vyao na katikati ya kati sio. 2R, lakini kwa jumla 2.06R, basi mipira 13 itakuwa tayari inafaa. Lakini kwa kugusa mipira Gregory alikosea - ukweli huu ulithibitishwa na van der Waarden na Schutte mnamo 1953.

Kwa mwelekeo wa 4, shida hii ilitatuliwa na Oleg Musin mnamo 2003. Nambari ya mawasiliano iligeuka kuwa 24.

6.

Mbali na vipimo hivi 1, 2, 3 na 4, nambari za mawasiliano pia zinajulikana katika vipimo vya 8 na 24. Kwa nini vipimo hivi maalum? Ukweli ni kwamba kuna lati za kuvutia sana kwao, zinazoitwa E8 na latiti ya Leach.

Kwa hivyo, tayari tumegundua latiti ni nini. Tabia muhimu ya kimiani kwa hisabati ni ulinganifu wake. Kwa ulinganifu tunamaanisha, bila shaka, sio hisia za kibinafsi (na ni nani anayeweza kufikiria kimiani hii kwa vipimo, kwa mfano, nne?), Lakini idadi ya aina tofauti za harakati za nafasi ambazo hutafsiri kimiani hii ndani yake. Hebu tueleze kwa mfano.

Hebu tuchukue latiti sawa ya hexagonal ambayo inatekeleza kufunga kwa karibu zaidi kwenye ndege. Ni rahisi kuelewa kuwa kimiani hubadilika kuwa yenyewe ikiwa inabadilishwa na vekta v na w zilizokuwa kwenye ufafanuzi. Lakini, kwa kuongeza, kimiani inaweza kuzungushwa katikati ya hexagon. Na kuna mizunguko 6 kama hii: 0, 60, 120, 180, 240, digrii 300. Kwa kuongeza, kimiani inaweza kuonyeshwa kwa ulinganifu kuhusu mhimili wowote wa ulinganifu wa hexagon ya mchanganyiko. Zoezi kidogo linaonyesha kuwa, bila kuhesabu mabadiliko, tunapata mabadiliko 12. Lati zingine zina mabadiliko machache kama haya, kwa hivyo tunasema hazina ulinganifu.

Kwa hivyo, E8 na kimiani cha Leach ni latiti zenye ulinganifu sana. E8 iko katika nafasi ya 8-dimensional. Latisi hii iligunduliwa mnamo 1877 na wanahisabati wa Urusi Korkin na Zolotarev. Inajumuisha vekta, ambazo zote kuratibu ni integers, na jumla yao ni sawa. Latiti kama hiyo, mabadiliko ya minus, ina mabadiliko 696,729,600. Gridi ya Lich ipo katika nafasi ya dimensional ishirini na nne. Inajumuisha vekta zilizo na viwianishi kamili na hali - jumla ya viwianishi ukiondoa uratibu wowote uliozidishwa na 4 umegawanywa na 8. Ina idadi kubwa ya ulinganifu - vipande 8,315,553,613,086,720,000.

Kwa hivyo, katika nafasi ya 8-dimensional na 24-dimensional, mipira iliyo kwenye wima ya lati hizi hugusa mipira 240 na 19650, kwa mtiririko huo. Kwa kushangaza, hizi ndizo nambari za mawasiliano (angalia nukta 5) kwa nafasi za mwelekeo unaolingana.

7.

Sasa hebu turudi kwenye kesi ya pande tatu na hypothesis ya Kepler (ile ile tuliyozungumzia mwanzoni kabisa). Kazi hii iligeuka kuwa ngumu mara nyingi zaidi kuliko watangulizi wake.

Wacha tuanze na ukweli kwamba kuna vifurushi vingi visivyo na wiani sawa na mnene wa hexagonal. Tulianza kuiweka, kuanzia na mipira iliyowekwa kwenye nodi za latiti ya hexagonal. Lakini unaweza kuifanya kwa njia tofauti: kwa mfano, katika ngazi ya kwanza, piga mipira ndani ya mraba, yaani, ili wima za mipira ziko kwenye nodi za kimiani tayari za mraba. Katika kesi hii, kila mpira unagusa majirani wanne. Safu ya pili, kama ilivyo kwa ile ya hexagonal, itawekwa juu kwenye mapengo kati ya mipira ya safu ya kwanza. Ufungaji huu unaitwa ufungaji wa ujazo unaozingatia uso. Hii, kwa njia, ni ufungaji pekee wa kimiani mnene zaidi katika nafasi.

Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba kufunga hii inapaswa kuwa mbaya zaidi, kwa sababu mapungufu kati ya mipira minne katika safu ya kwanza ni kubwa zaidi (inahisi kama) kuliko mapungufu katika kufunga mnene wa hexagonal. Lakini tunapoweka safu ya pili, mipira - haswa kwa sababu mapengo ni makubwa - kuzama zaidi. Kama matokeo, inageuka, wiani ni sawa na hapo awali. Kwa kweli, kwa kweli, hila ni kwamba kifurushi kama hicho kinapatikana ikiwa unatazama hexagonal kutoka kwa pembe tofauti.

Inabadilika kuwa katika nafasi ya tatu-dimensional hakuna latiti nzuri za kipekee kama, kwa mfano, hexagonal kwenye ndege au E8 katika nafasi ya 8-dimensional. Kwa mtazamo wa kwanza, haijulikani kabisa jinsi ya kutafuta ufungaji wa densest katika nafasi tatu-dimensional.

8.

Suluhisho la hypothesis ya Kepler lilizaliwa katika hatua kadhaa.

Kwanza, Fejes Tóth, Hungarian sawa ambaye alitatua tatizo la kufunga kwa karibu katika ndege isiyo ya ndege, aliweka hypothesis ifuatayo: ili kuelewa ikiwa kufunga ni karibu au la, inatosha kuzingatia makundi ya mwisho ya mipira. Kama tulivyogundua, tofauti na ndege, ikiwa mpira wa kati unagusa majirani 12, basi kuna mapungufu kati yao. Kwa hivyo, Fejes Toth alipendekeza vikundi vya kusoma vinavyojumuisha mpira wa kati, majirani zake, na majirani wa majirani.

Jambo ni kwamba dhana hii ilifanywa katika miaka ya 60 ya karne iliyopita. Na shida ya kupunguza kiasi cha nguzo kama hiyo kimsingi ni shida ya utoshelezaji isiyo ya mstari kwa kazi ya anuwai takriban 150 (kila mpira una kituo, imeainishwa na kuratibu tatu). Kwa kusema, kitendakazi kama hicho kinahitaji kupata kiwango cha chini chini ya hali zingine za ziada. Kwa upande mmoja, kazi imekuwa ya mwisho, lakini kwa upande mwingine, haiwezi kushindwa kabisa kutoka kwa mtazamo wa computational kwa wanadamu. Lakini Fejes Toth hakukasirika na alisema kwamba hivi karibuni kompyuta zitakuwa na nguvu muhimu ya kompyuta. Watasaidia.

Wanahisabati walipenda sana nadharia ya Fejes Thoth na walianza kufanya kazi kwa bidii katika mwelekeo huu. Mwanzoni mwa miaka ya 90, makadirio ya wiani wa juu wa kufunga wa nyanja katika nafasi ya tatu-dimensional walikuwa wakipungua hatua kwa hatua. Wazo lilikuwa kwamba wakati fulani makadirio yangekuwa sawa na msongamano wa ufungaji wa ujazo unaozingatia uso na, kwa hivyo, nadharia ya Kepler ingethibitishwa. Wakati huu, mwanahisabati Thomas Hales alichapisha karatasi zake za kwanza kwenye ufungaji. Kwa kazi yake, alichagua kitu kinachoitwa nyota za Delaunay (baada ya mwanahisabati wa Soviet Boris Delaunay). Hii ilikuwa hatua ya ujasiri - wakati huo, ufanisi wa vitu kama hivyo kwa kusoma shida ya ufungaji ulikuwa wa shaka.

Baada ya miaka 8 tu ya kazi ngumu, mnamo 1998, Hales alikamilisha uthibitisho wa nadharia ya Kepler. Alipunguza uthibitisho kuwa utaftaji kamili wa mchanganyiko wa miundo tofauti kama vile nyota za Delaunay. Kwa kila muundo kama huo wa mchanganyiko, ilihitajika kuongeza wiani. Kwa kuwa kompyuta inafanya kazi kwa kawaida tu na nambari kamili (kwa sababu tu katika nambari za hesabu mara nyingi ni sehemu zisizo na kikomo), basi kwa kila kisa Delaunay aliunda kiotomati ukadiriaji kutoka juu kwa kutumia hesabu za kimantiki (nambari za busara, baada ya yote, ikiwa hautazibadilisha. kwa sehemu za desimali, nambari kadhaa tu). Kwa makadirio haya, alipokea makadirio ya msongamano wa juu kutoka juu. Matokeo yake, makadirio yote yaligeuka kuwa chini ya yale yaliyotolewa na kufunga kwa ujazo unaozingatia uso.

Wanahisabati wengi, hata hivyo, walichanganyikiwa na hali ambayo kompyuta ilijengwa ili kuunda makadirio. Ili kuthibitisha kwamba hakuwa na makosa katika sehemu ya kompyuta ya uthibitisho, Hales alianza urasimishaji na uhakiki, ingawa pia kwa msaada wa kompyuta. Kazi hii, ambayo ilifanywa na timu kubwa ya kimataifa, ilikamilishwa mnamo Agosti 2014. Hakuna makosa yaliyopatikana katika uthibitisho.

9.

Uthibitisho wa vipimo 8 na 24 hauhitaji kompyuta na ni rahisi zaidi. Wakati fulani uliopita, makadirio mazuri sana yalipatikana ili kukadiria msongamano wa juu wa upakiaji katika vipimo hivi. Hii ilifanywa na wanahisabati Kohn na Elkies mnamo 2003. Kwa njia, makadirio haya (pia huitwa mpaka wa Kohn-Elkies) yalipatikana na mwanahisabati wa Kirusi Dmitry Gorbachev kutoka Tula miaka michache kabla ya Kohn na Elkies wenyewe. Walakini, alichapisha kazi hii kwa Kirusi na kwenye jarida la Tula. Kon na Elkies hawakujua kuhusu kazi hii, na walipoambiwa, wao, kwa njia, waliirejelea.

"Mipaka ya Kohn-Elkies ilionekana kwa msingi wa kazi ya Jean-Frederic Delsarte na wanahisabati wetu wa ajabu Grigory Kabatyansky na Vladimir Levenshtein. Makadirio ya asymptotic (kwa suala la ukubwa wa nafasi) ya msongamano wa ufungaji wa mipira katika nafasi ya n-dimensional, iliyopatikana na Kabatyansky na Levenshtein, imekuwa "imesimama" tangu 1978. Kwa njia, ilikuwa Levenshtein na kwa kujitegemea Wamarekani Odlyzhko na Sloan ambao walitatua shida ya nambari za mawasiliano katika vipimo 8 na 24 mnamo 1979. Walitumia moja kwa moja njia ya Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein," anasema Oleg Musin.

Makadirio ya Kohn na Elkies, kwa kweli, ni sahihi kwa vifurushi vyote, lakini katika vipimo vya 8 na 24 wanatoa makadirio mazuri sana. Kwa mfano, makadirio ya wanahisabati ni takriban asilimia 0.0001 tu zaidi ya msongamano wa E8 katika nafasi ya pande nane. Kwa hiyo, kazi iliondoka ili kuboresha tathmini hii - baada ya yote, suluhisho, inaonekana, tayari iko karibu. Zaidi ya hayo, mnamo 2012, Dmitry Gorbachev huyo huyo aliomba (na akashinda) ruzuku kutoka kwa Msingi wa Nasaba. Katika maombi, alisema kwa uwazi kwamba alipanga kuthibitisha wiani wa kufunga wa E8 katika nafasi ya nane-dimensional.

Wanasema kwamba Gorbachev alichochewa kutoa taarifa ya ujasiri kama hiyo na mwanahisabati mwingine, Andrei Bondarenko, kimsingi mshauri, mmoja wa wasimamizi wa kisayansi wa Marina Vyazovskaya, ambaye alitatua shida kwa nafasi ya 8-dimensional (na mwandishi mwenza, kwa Nafasi ya 24-dimensional). Ni Bondarenko ambaye anamshukuru mwishoni mwa kazi yake ya mafanikio. Kwa hivyo, Bondarenko na Gorbachev hawakufanikiwa, lakini Vyazovskaya alifaulu. Kwa nini?

Marina Vyazovskaya

Chuo Kikuu cha Humboldt cha Berlin

Makadirio ya Kohn-Elkies yanahusiana na msongamano wa upakiaji kwa sifa ya baadhi ya chaguo za kukokotoa kutoka kwa seti inayofaa. Kwa kusema, makadirio yanaundwa kwa kila kazi kama hiyo. Hiyo ni, kazi kuu ni kupata kazi inayofaa ili makadirio yanayotokea yawe tunayohitaji. Kwa hivyo, kiungo muhimu katika ujenzi wa Vyazovskaya ni aina za msimu. Tayari tumezitaja kuhusiana na uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat, ambayo kwayo. Hiki ni kitu cha ulinganifu ambacho huonekana kila wakati katika matawi anuwai ya hesabu. Ilikuwa zana hii ya zana ambayo ilituruhusu kupata kitendakazi tunachotaka.

Katika nafasi ya 24-dimensional, makadirio yalipatikana kwa njia sawa. Kazi hii ina waandishi zaidi, lakini inategemea mafanikio sawa ya Vyazovskaya (ingawa, bila shaka, ilichukuliwa kidogo). Kwa njia, kazi ilithibitisha ukweli mwingine wa kushangaza: kimiani cha Leach hugundua ufungashaji wa karibu wa mara kwa mara. Hiyo ni, vifurushi vingine vyote vya mara kwa mara vina msongamano chini ya hii. Kulingana na Oleg Musin, matokeo sawa ya upakiaji wa mara kwa mara yanaweza kuwa kweli katika vipimo vya 4 na 8.

10.

Kutoka kwa mtazamo wa maombi, tatizo la upakiaji mnene katika nafasi za juu-dimensional kimsingi ni tatizo la uwekaji usimbaji bora wa kusahihisha makosa.

Hebu fikiria kwamba Alice na Bob wanajaribu kuwasiliana kwa kutumia mawimbi ya redio. Alice anasema kwamba atamtumia Bob ishara inayojumuisha masafa 24 tofauti. Bob atapima amplitude ya kila mzunguko. Kama matokeo, atakuwa na seti ya amplitudes 24. Wao, bila shaka, hufafanua hatua katika nafasi ya 24-dimensional - baada ya yote, kuna 24 kati yao. Bob na Alice huchukua, tuseme, kamusi ya Dahl na kugawa kila neno seti yake ya amplitudes 24. Inabadilika kuwa tuna maneno yaliyosimba kutoka kwa kamusi ya Dahl yenye pointi katika nafasi ya 24-dimensional.

Katika ulimwengu mzuri, hakuna kitu kingine kinachohitajika. Lakini njia halisi za data zinaongeza kelele, ambayo ina maana kwamba wakati wa kusimbua Bob anaweza kupokea seti ya amplitudes ambayo hailingani na neno moja. Lakini basi anaweza kuangalia neno karibu na toleo deciphered. Ikiwa kuna moja, basi hiyo inamaanisha uwezekano mkubwa ni hii. Ili kuwa na uwezo wa kufanya hivyo kila wakati, ni muhimu kwamba pointi za nafasi ziko mbali iwezekanavyo kutoka kwa kila mmoja. Hiyo ni, kwa mfano, ikiwa kiwango cha kelele ni kwamba upotovu huletwa ambao hubadilisha matokeo na vekta ya urefu sio zaidi ya moja, basi alama mbili za nambari lazima ziwe umbali wa angalau mbili. Halafu, hata kwa upotoshaji, matokeo ya Bob yatakuwa karibu na neno moja - lile linalohitajika.

Wakati huo huo, pia sitaki kuongeza maneno mengi - tuna safu ndogo ambayo tunaweza kusambaza habari. Kwa mfano, itakuwa ya kushangaza (na sio nzuri sana) ikiwa Alice na Bob wataanza kuwasiliana katika safu ya X-ray. Kwa hivyo, kwa kweli, umbali kati ya maneno ya msimbo wa karibu unapaswa kuwa mbili haswa. Na hii ina maana kwamba maneno iko kwenye wima ya mipira ya radius 1, imefungwa vizuri katika nafasi ya 24-dimensional.

Huko nyuma nilipokuwa mwanafunzi wa mwaka wa kwanza, niligombana vikali na mmoja wa wanafunzi wenzangu. Alisema kuwa mchemraba wa nne-dimensional hauwezi kuwakilishwa kwa namna yoyote, lakini nilihakikisha kwamba inaweza kuwakilishwa kwa uwazi kabisa. Kisha hata nikafanya makadirio ya hypercube kwenye nafasi yetu ya tatu-dimensional kutoka kwa klipu za karatasi... Lakini hebu tuzungumze kuhusu kila kitu kwa utaratibu.

Je, ni hypercube na nafasi nne-dimensional

Nafasi yetu ya kawaida ina vipimo vitatu. Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, hii ina maana kwamba mistari mitatu ya perpendicular pande zote inaweza kuonyeshwa ndani yake. Hiyo ni, kwa mstari wowote unaweza kupata mstari wa pili perpendicular kwa kwanza, na kwa jozi unaweza kupata mstari wa tatu perpendicular kwa mbili za kwanza. Haitawezekana tena kupata mstari wa nne perpendicular kwa tatu zilizopo.

Nafasi ya nne-dimensional inatofautiana na yetu tu kwa kuwa ina mwelekeo mmoja zaidi wa ziada. Ikiwa tayari unayo mistari mitatu ya pande zote, basi unaweza kupata ya nne, ambayo itakuwa ya kawaida kwa zote tatu.

Hypercube ni mchemraba tu katika nafasi ya nne-dimensional.

Je, inawezekana kufikiria nafasi ya nne-dimensional na hypercube?

Swali hili ni sawa na swali: "Je, inawezekana kufikiria Mlo wa Mwisho kwa kuangalia uchoraji wa jina moja (1495-1498) na Leonardo da Vinci (1452-1519)?"

Kwa upande mmoja, wewe, kwa kweli, hautafikiria kile Yesu alichoona (ameketi akimtazama mtazamaji), haswa kwa vile hautasikia harufu ya bustani nje ya dirisha na kuonja chakula kwenye meza, hautasikia ndege. kuimba ... Huwezi kupata picha kamili ya kile kilichotokea wakati huo jioni, lakini haiwezi kusema kwamba huwezi kujifunza kitu kipya na kwamba picha haina riba.

Hali ni sawa na swali la hypercube. Haiwezekani kufikiria kikamilifu, lakini unaweza kupata karibu kuelewa jinsi ilivyo.

Ujenzi wa hypercube

mchemraba wa 0-dimensional

Wacha tuanze tangu mwanzo - na mchemraba wa 0-dimensional. Mchemraba huu una nyuso 0 za perpendicular, yaani, ni hatua tu.

1-dimensional mchemraba

Katika nafasi moja-dimensional, tuna mwelekeo mmoja tu. Tunasonga hatua katika mwelekeo huu na kupata sehemu.

Huu ni mchemraba wenye sura moja.

2 mchemraba wa dimensional

Tuna mwelekeo wa pili, tunabadilisha mchemraba wetu wa mwelekeo mmoja (sehemu) kwa mwelekeo wa mwelekeo wa pili na tunapata mraba.

Huu ni mchemraba katika nafasi ya pande mbili.

3 mchemraba wa dimensional

Pamoja na ujio wa mwelekeo wa tatu, tunafanya vivyo hivyo: tunasonga mraba na kupata mchemraba wa kawaida wa tatu-dimensional.

mchemraba wa 4-dimensional (hypercube)

Sasa tuna mwelekeo wa nne. Hiyo ni, tunayo mwelekeo wa kuzingatia zote tatu zilizopita. Wacha tuitumie kwa njia sawa. Mchemraba wa nne-dimensional utaonekana kama hii.

Kwa kawaida, cubes za pande tatu na nne haziwezi kuonyeshwa kwenye ndege ya skrini ya pande mbili. Nilichochora ni makadirio. Tutazungumza juu ya makadirio baadaye kidogo, lakini kwa sasa ukweli na takwimu chache.

Idadi ya wima, kingo, nyuso

Tafadhali kumbuka kuwa uso wa hypercube ni mchemraba wetu wa kawaida wa pande tatu. Ikiwa utaangalia kwa karibu mchoro wa hypercube, unaweza kupata cubes nane.

Makadirio na maono ya mkazi wa nafasi ya nne-dimensional

Maneno machache kuhusu maono

Tunaishi katika ulimwengu wa pande tatu, lakini tunauona kuwa wa pande mbili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba retina ya macho yetu iko katika ndege ambayo ina vipimo viwili tu. Hii ndiyo sababu tunaweza kutambua picha za pande mbili na kuzipata zinazofanana na ukweli.

(Kwa kweli, shukrani kwa malazi, jicho linaweza kukadiria umbali wa kitu, lakini hii ni athari ya upande inayohusishwa na optics iliyojengwa ndani ya macho yetu.)

Macho ya mkaaji wa nafasi ya nne-dimensional lazima iwe na retina tatu-dimensional. Kiumbe kama hicho kinaweza kuona mara moja takwimu nzima ya pande tatu: nyuso zake zote na mambo ya ndani. (Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kuona sura ya pande mbili, nyuso zake zote na mambo ya ndani.)

Kwa hivyo, kwa msaada wa viungo vyetu vya maono, hatuwezi kutambua mchemraba wa nne-dimensional jinsi mkazi wa nafasi ya nne-dimensional angeiona. Ole! Yote iliyobaki ni kutegemea jicho la akili yako na mawazo, ambayo, kwa bahati nzuri, hayana mapungufu ya kimwili.

Walakini, wakati wa kuonyesha hypercube kwenye ndege, ninalazimika tu kufanya makadirio yake kwenye nafasi ya pande mbili. Kuzingatia ukweli huu wakati wa kusoma michoro.

Makutano ya makali

Kwa kawaida, kingo za hypercube haziingiliani. Makutano yanaonekana tu kwenye michoro. Walakini, hii haipaswi kushangaza, kwa sababu kingo za mchemraba wa kawaida kwenye picha pia huingiliana.

Urefu wa mbavu

Ni muhimu kuzingatia kwamba nyuso zote na kingo za mchemraba wa nne-dimensional ni sawa. Katika takwimu zinageuka kuwa zisizo sawa tu kwa sababu ziko kwenye pembe tofauti kwa mwelekeo wa mtazamo. Hata hivyo, inawezekana kuzunguka hypercube ili makadirio yote yawe na urefu sawa.

Kwa njia, katika takwimu hii cubes nane, ambazo ni nyuso za hypercube, zinaonekana wazi.

Hypercube haina tupu ndani

Ni vigumu kuamini, lakini kati ya cubes zilizofunga hypercube, kuna nafasi fulani (kipande cha nafasi nne-dimensional).

Ili kuelewa hili vyema, hebu tuangalie makadirio ya pande mbili ya mchemraba wa kawaida wa pande tatu (niliifanya kimakusudi kuwa ya kimkakati).

Je, unaweza kukisia kuwa kuna nafasi ndani ya mchemraba? Ndiyo, lakini tu kwa kutumia mawazo yako. Jicho halioni nafasi hii.

Hii hutokea kwa sababu kingo zilizo katika mwelekeo wa tatu (ambazo haziwezi kuonyeshwa kwenye mchoro wa gorofa) sasa zimegeuka kuwa sehemu zilizo kwenye ndege ya kuchora. Hazitoi tena sauti.

Viwanja vilivyofunga nafasi ya mchemraba vilipishana. Lakini mtu anaweza kufikiria kuwa katika takwimu ya asili (mchemraba wa pande tatu) viwanja hivi vilikuwa katika ndege tofauti, na sio moja juu ya nyingine kwenye ndege moja, kama ilivyotokea kwenye takwimu.

Hali ni sawa na hypercube. Nyuso za cubes za hypercube haziingiliani kwa kweli, kama inavyoonekana kwetu kwenye makadirio, lakini ziko katika nafasi ya nne-dimensional.

Fagia

Kwa hiyo, mkazi wa nafasi ya nne-dimensional anaweza kuona kitu cha tatu-dimensional kutoka pande zote wakati huo huo. Je, tunaweza kuona mchemraba wa pande tatu kutoka pande zote kwa wakati mmoja? Kwa jicho - hapana. Lakini watu wamekuja na njia ya kuonyesha nyuso zote za mchemraba wa pande tatu kwa wakati mmoja kwenye mchoro wa gorofa. Picha kama hiyo inaitwa scan.

Maendeleo ya mchemraba wa tatu-dimensional

Kila mtu labda anajua jinsi maendeleo ya mchemraba wa tatu-dimensional huundwa. Utaratibu huu unaonyeshwa kwenye uhuishaji.

Kwa uwazi, kando ya nyuso za mchemraba hufanywa kwa uwazi.

Ikumbukwe kwamba tunaweza kuona picha hii ya pande mbili tu shukrani kwa mawazo yetu. Ikiwa tutazingatia awamu zinazojitokeza kutoka kwa mtazamo wa pande mbili, mchakato utaonekana kuwa wa kushangaza na sio wazi kabisa.

Inaonekana kama mwonekano wa taratibu wa kwanza muhtasari wa miraba iliyopotoka, na kisha kutambaa mahali pake huku ikichukua umbo linalohitajika.

Ikiwa unatazama mchemraba unaojitokeza kwa mwelekeo wa moja ya nyuso zake (kutoka kwa mtazamo huu mchemraba unaonekana kama mraba), basi mchakato wa malezi ya kufunuliwa ni wazi hata kidogo. Kila kitu kinaonekana kama miraba inayotambaa kutoka kwa mraba wa mwanzo (sio mchemraba uliofunuliwa).

Lakini sio ya kuona Scan tu kwa jicho.

Jinsi ya kuelewa nafasi ya 4-dimensional?

Ni shukrani kwa mawazo yako kwamba unaweza kukusanya habari nyingi kutoka kwake.

Maendeleo ya mchemraba wa nne-dimensional

Haiwezekani kufanya mchakato wa uhuishaji wa kufunua hypercube angalau kuonekana. Lakini mchakato huu unaweza kufikiria. (Ili kufanya hivyo, unahitaji kuiangalia kupitia macho ya kiumbe mwenye sura nne.)

Scan inaonekana kama hii.

Michemraba yote minane inayofunga hypercube inaonekana hapa.

Kingo ambazo zinapaswa kupatana wakati zimekunjwa zimepakwa rangi sawa. Nyuso ambazo jozi hazionekani zimeachwa kijivu. Baada ya kukunja, uso wa juu kabisa wa mchemraba wa juu unapaswa kuendana na makali ya chini ya mchemraba wa chini. (Kufunuliwa kwa mchemraba wa pande tatu kunaanguka kwa njia sawa.)

Tafadhali kumbuka kuwa baada ya convolution, nyuso zote za cubes nane zitawasiliana, kufunga hypercube. Na hatimaye, wakati wa kufikiria mchakato wa kukunja, usisahau kwamba wakati wa kukunja, sio kuingiliana kwa cubes hutokea, lakini kuifunga kwao karibu na eneo fulani (hypercubic) la nne-dimensional.

Salvador Dali (1904-1989) alionyesha kusulubiwa mara nyingi, na misalaba inaonekana katika picha zake nyingi. Uchoraji "The Crucifixion" (1954) unatumia uchunguzi wa hypercube.

Nafasi ya muda na nafasi ya Euclidean yenye pande nne

Natumai umeweza kufikiria hypercube. Lakini je, umeweza kukaribia kuelewa jinsi muda wa nafasi ya nne-dimensional tunamoishi hufanya kazi? Ole, sio kabisa.

Hapa tulizungumza juu ya nafasi ya Euclidean ya pande nne, lakini wakati wa nafasi una mali tofauti kabisa. Hasa, wakati wa mzunguko wowote, makundi daima hubakia kwenye mhimili wa wakati, ama kwa pembe chini ya digrii 45, au kwa pembe kubwa kuliko digrii 45.

Nilijitolea mfululizo wa maelezo kwa sifa za muda wa nafasi.

Tatu-dimensionality ya picha

Dunia ina pande tatu. Picha yake ni ya pande mbili. Kazi muhimu ya uchoraji na, sasa, kupiga picha ni kufikisha mwelekeo wa tatu wa nafasi. Warumi tayari walijua mbinu kadhaa, kisha wakasahaulika na wakaanza kurudi kwenye uchoraji wa kitamaduni na Renaissance.

Mbinu kuu ya kuunda nafasi ya tatu-dimensional katika uchoraji ni mtazamo. Reli za reli, zikisonga mbali na mtazamaji, zinaonekana nyembamba. Katika uchoraji, reli zinaweza kupunguzwa kimwili. Katika upigaji picha, mtazamo hutokea kiotomatiki: kamera itapiga picha za reli zikiwa nyembamba kama jicho linavyoziona. Hata hivyo, usiruhusu karibu karibu: haitaonekana tena kama mtazamo, lakini takwimu ya ajabu; Lazima kuwe na pengo linaloonekana kati ya reli, kando ya barabara, na kingo za mto.

Ni muhimu kuelewa kwamba mtazamo wa mstari ndio njia ya zamani zaidi, ya kweli ya kuwasilisha ulimwengu.

Urambazaji wa chapisho

Sio bahati mbaya kwamba kuonekana kwake kunahusishwa na mandhari ya maonyesho (Florensky, "Mtazamo wa Reverse"). Kawaida na unyenyekevu wa kupeleka eneo la maonyesho la kina kidogo linafaa sana kwa kupiga picha, ambayo haina mbinu mbalimbali zinazopatikana katika uchoraji.

Kuna mitazamo ambayo inavutia zaidi kuliko ile ya mstari. Katika kazi za mabwana wa Kichina kuna mtazamo wa kuelea, wakati vitu vinaonyeshwa wakati huo huo kutoka chini, juu na mbele. Haikuwa kosa la kiufundi na wasanii wasio na uwezo: mwandishi wa hadithi ya mbinu hii, Guo Xi, aliandika kwamba onyesho kama hilo huruhusu mtu kutambua ulimwengu kwa jumla. Mbinu ya uchoraji wa icon ya Kirusi ni sawa, ambayo mtazamaji anaweza kuona uso wa tabia na nyuma kwa wakati mmoja. Mbinu ya kuvutia ya uchoraji wa icon, pia hupatikana kati ya wasanii wa Ulaya Magharibi, ilikuwa mtazamo wa kinyume, ambapo vitu vya mbali, kinyume chake, ni kubwa zaidi kuliko vilivyo karibu, vinavyosisitiza umuhimu. Ni katika siku zetu tu ambayo imeanzishwa kuwa mtazamo huo ni sahihi: tofauti na vitu vya mbali, karibu-up kwa kweli huonekana kwa mtazamo wa nyuma (Rauschenbach). Kwa kutumia Photoshop, unaweza kufikia mtazamo wa kinyume kwa kupanua vitu vya mandharinyuma. Kwa mtazamaji aliyezoea sheria za kupiga picha, picha kama hiyo itaonekana ya kushangaza.

Kuanzisha kona ya jengo kwenye sura, ambayo kuta hutofautiana kwa pande zote mbili, huunda sura ya mtazamo wa isometriki. Ubongo unaelewa kuwa kuta ziko kwenye pembe za kulia na hupanga picha iliyobaki ipasavyo. Mtazamo huu una nguvu zaidi kuliko ule wa mbele na wa asili zaidi kwa wa karibu. Tambulisha tu pembe za mwisho za vitu na majengo ya karibu kwenye sura.

Kutokana na upanuzi, mtazamo wa isometriki ni mkubwa, ambayo ni mara chache yanafaa kwa picha ya classical. Mtazamo wa mstari, kwa sababu ya kupungua, huwasilisha vyema hisia ndogo.

Katika hatua ya kupiga picha, mpiga picha ana idadi ya zana zinazopatikana kwake ili kusisitiza mtazamo. Vitu vya upana sawa vinavyoenea kwa umbali (nyimbo, mitaa, nguzo, mifereji) kwa kupunguzwa kwao na hata kusonga tu huonyesha kwa mtazamaji ukubwa wa tatu wa nafasi. Athari ni kubwa zaidi ikiwa unapiga risasi kutoka kwa pembe ya chini ili kuongeza upotovu wa mtazamo. Hii inatosha kwa upigaji picha wa mazingira, lakini kwa kina kirefu cha picha kwa upigaji picha wa mambo ya ndani, athari haionekani. Inaweza kuimarishwa kidogo katika uchakataji kwa kupunguza sehemu ya juu ya picha (Mtazamo wa Kubadilisha). Hata hivyo, hata katika mazingira, mtazamo uliozidi unaweza kuonekana kuvutia.

Kina kinaweza kuwa wazi kwa maana ya picha: majengo yanatenganishwa na barabara au mto. Ulalo unasisitiza tatu-dimensionality; kwa mfano, daraja juu ya mto.

Vitu vya saizi inayojulikana kwa mtazamaji chinichini huweka kiwango na, ipasavyo, huunda mtazamo. Katika upigaji picha wa mlalo, kitu hiki kinaweza kuwa gari, lakini katika upigaji picha wa picha, jaribu kukunja mguu wako (mbali na kamera) chini ya kiti ili uonekane mdogo huku ukibaki kuonekana. Unaweza hata kufanya mguu huu kuwa mdogo katika usindikaji baada ya usindikaji.

Mapambo hayo yanatoa mtazamo kwa kuibua kupunguza vipengele. Mfano itakuwa tiles kubwa kwenye sakafu, kuashiria mistari kwenye barabara.

Kuna mbinu inayoitwa hypertrophied foreground. Kubwa bila uwiano, huunda kina katika picha. Kwa kulinganisha kiwango cha mbele na mfano, jicho linakuja kwa hitimisho kwamba mfano huo ni mbali zaidi kuliko inaonekana. Kutilia chumvi kunapaswa kubaki kuwa ndogo ili picha isichukuliwe kama hitilafu. Mbinu hii haifanyi kazi tu kwa usindikaji wa baada, lakini pia kwa risasi: kupotosha uwiano kwa risasi na lens 35 au 50mm. Kupiga risasi kwa lenzi ya pembe-pana kunyoosha nafasi, na kuimarisha umbo lake la tatu kwa kuvunja uwiano. Athari ni kubwa zaidi ikiwa utapiga mfano kwa karibu, lakini jihadharini na idadi ya kutisha: ni waandishi tu wa picha za kidini wanaweza kuonyesha mtu mkubwa kuliko jengo.

Makutano yanafanya kazi vizuri. Ikiwa apple inashughulikia sehemu ya peari, basi ubongo hautakuwa na makosa: apple iko mbele ya peari. Mfano huo hufunika samani, na hivyo kuunda kina ndani ya mambo ya ndani.

Mbadala wa matangazo ya mwanga na giza pia hutoa kina kwa picha. Ubongo unajua kutokana na uzoefu kwamba vitu vilivyo karibu huwashwa takriban sawa, kwa hivyo hutafsiri vitu vyenye mwanga tofauti kuwa viko katika umbali tofauti. Kwa athari hii, matangazo hubadilishana katika mwelekeo wa mhimili wa mtazamo - kina ndani ya picha, na sio kote. Kwa mfano, unapopiga modeli aliyelala mbali na kamera kwenye fremu ya giza, weka vivutio karibu na matako na karibu na miguu. Unaweza kurahisisha/kuweka giza maeneo katika uchakataji.

Mlolongo wa vitu vinavyozidi kuwa giza huonekana kupungua. Kwa kupiga vitu kwa hatua kwa hatua kwenye mstari wa kazi, unaweza kupata hisia ya hila ya mtazamo. Vivyo hivyo, kina hupitishwa kwa kudhoofisha mwanga: tupa ukanda wa mwanga kwenye fanicha au kwenye sakafu.

Picha ya tatu-dimensional inaweza kupatikana kutokana na si mwanga tu, lakini pia tofauti ya rangi. Mbinu hii ilijulikana kwa wachoraji wa Flemish, ambao waliweka matangazo ya rangi mkali kwenye maisha yao bado. Pomegranate nyekundu na limau ya manjano karibu na kila mmoja itaonekana ya pande tatu hata katika taa za mbele za gorofa. Watasimama vizuri sana dhidi ya asili ya zabibu za zambarau: rangi ya joto dhidi ya asili ya baridi. Nyuso za rangi mkali hutoka vizuri kutoka kwenye giza hata kwa mwanga dhaifu, mfano wa maisha bado. Tofauti ya rangi hufanya kazi vizuri na rangi za msingi: nyekundu, njano, bluu, badala ya vivuli.

Kwenye background nyeusi, njano huja mbele, bluu huficha nyuma. Kwenye historia nyeupe ni kinyume chake. Kueneza kwa rangi huongeza athari hii. Kwa nini hii inatokea? Rangi ya njano haina giza kamwe, kwa hiyo ubongo unakataa kuamini kuwa kitu cha njano kinaweza kuzamishwa kwenye historia ya giza, sio kuangazwa. Bluu, kinyume chake, ni giza.

Mtazamo wa kuboreshwa katika usindikaji wa baada ya usindikaji unakuja kwa kuiga mtazamo wa anga: vitu vya mbali vinaonekana vyepesi, blurrier, na tofauti iliyopunguzwa katika mwangaza, kueneza na sauti.

Kando na umbali mrefu, athari za angahewa huonekana asili katika ukungu wa asubuhi, ukungu, au sehemu ya moshi. Fikiria hali ya hewa: siku ya mawingu au jioni, kunaweza kusiwe na tofauti kubwa kati ya mandharinyuma na mandharinyuma.

Sababu kali zaidi ni tofauti ya mwangaza. Katika mipangilio hii ni tofauti ya kawaida. Punguza utofauti wa vitu vya mbali, ongeza utofauti wa sehemu ya mbele - na picha itakuwa laini. Hatuzungumzii juu ya tofauti kati ya mbele na ya nyuma, lakini juu ya tofauti ya mandharinyuma, ambayo inapaswa kuwa chini kuliko tofauti ya mbele. Njia hii haifai tu kwa mandhari na upigaji picha wa aina, lakini pia kwa picha za studio: kuinua tofauti ya mbele ya uso, kupunguza tofauti kwenye nywele, cheekbones, na nguo. Vichungi vya picha hufanya kitu sawa, kikitia ukungu kwenye ngozi ya mwanamitindo na kuacha macho na midomo kuwa mikali.

Marekebisho ya utofautishaji ndiyo njia rahisi zaidi ya kufanya uchakataji wa picha za 3D. Tofauti na michakato mingine, mtazamaji hatagundua mabadiliko yoyote, ambayo yataruhusu kudumisha hali ya juu zaidi.

Kuweka ukungu ni sawa na kupunguza utofautishaji, lakini ni michakato tofauti. Picha inaweza kuwa tofauti ya chini huku ikibaki kuwa kali. Kwa sababu ya kina kidogo cha uga, kutia ukungu kwa vitu vya mbali inasalia kuwa njia maarufu zaidi ya kuwasilisha mwelekeo wa pande tatu katika upigaji picha, na inaweza kuimarishwa kwa urahisi kwa kutia ukungu kwenye mada za mbali katika utayarishaji wa baada ya utengenezaji. Kwa hiyo, maelezo machache yanapaswa kuwekwa nyuma - ubongo hautarajii vitu vinavyoweza kutofautishwa kwa mbali. Wakati huo huo, kupunguza tofauti bora inalingana na mtazamo wa asili: milima ya mbali inaonekana kwa tofauti ya chini, na sio giza, kwa sababu wakati wa skanning ya mazingira, jicho linazingatiwa mara kwa mara, na tatizo la kina cha shamba ni mgeni kwake. Kwa kutia ukungu chinichini, unaweza wakati huo huo kunoa eneo la mbele. Zaidi ya hayo, katika mandhari ya mbele unaweza kuboresha mistari ya picha (Kichujio cha Juu cha Kupita au Uwazi). Ni ukali wa hali ya juu wa sehemu ya mbele ambayo inaelezea nuru ya tabia katika picha ya lenzi za ubora wa juu. Jihadharini: kwa ajili ya ongezeko kidogo la tatu-dimensionality, unaweza kufanya picha kuwa ngumu sana.

Vitu vyepesi huonekana mbali zaidi. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika asili tunaona vitu vya mbali kupitia unene wa hewa ya kueneza mwanga; milima ya mbali inaonekana kuwa nyepesi. Katika upigaji picha wa mazingira, kwa hiyo, unapaswa kuwa makini kuhusu uwekaji wa vitu vya mwanga mbele.

Angaza vitu vilivyo mbali. Kadiri wanavyokuwa mbali zaidi, ndivyo wanavyochanganyikana na mwangaza na sauti ya anga. Tafadhali kumbuka kuwa vitu vyenye usawa (ardhi, bahari) vinaangazwa vyema zaidi kuliko vilivyo wima (kuta, miti), kwa hivyo usiiongezee kwa kuangaza mwisho. Kwa hali yoyote, vitu vinapaswa kubaki nyepesi kuliko anga.

Kweli, ukigundua kuwa kukwepa ni njia nyingine ya kupunguza utofautishaji katika mwangaza wa mandharinyuma. Fanya sehemu ya mbele iwe giza kidogo ili kuongeza athari.

Inaweza kuonekana kuwa katika mambo ya ndani kila kitu ni kinyume chake. Ikiwa kwenye barabara jicho limezoea ukweli kwamba umbali ni mkali, basi katika chumba mwanga mara nyingi hujilimbikizia mtu, na mambo ya ndani yanaingizwa katika giza; ubongo umezoea taa za mbele, sio taa za nyuma.

Katika picha za ndani zenye kina kifupi cha eneo, tofauti na picha za mandhari, kielelezo kilichoangaziwa hutoka kwenye mandharinyuma meusi. Lakini pia kuna jambo kinyume: kwa 99% ya mageuzi yake, mtu aliona mtazamo katika maeneo ya wazi, na kwa ujio wa vyumba, ubongo ulikuwa bado haujapata muda wa kurekebisha. Vermeer alipendelea mandharinyuma mepesi kwa picha zake, na picha zake za picha ni maarufu sana. Taa ya mandharinyuma ya wima, iliyopendekezwa katika upigaji picha, haitenganishi tu mfano kutoka kwayo, lakini pia, kwa kuangaza nyuma, inatoa picha kidogo-dimensionality tatu. Hapa tunakabiliwa na ukweli kwamba ubongo huchambua eneo la vitu kulingana na sababu kadhaa, na zinaweza kupingana.

Taa ya studio inaonekana ya kuvutia, ambayo matangazo ya mwanga hulala kwenye maeneo ya mfano wa mbali kutoka kwa kamera. Kwa mfano, matiti ambayo ni mbali zaidi na kamera yameangaziwa.

Punguza kueneza kwa rangi kwenye vitu vya mbali: kwa sababu ya unene wa hewa inayotutenganisha, milima ya mbali imejazwa karibu na kiwango cha monochrome na kufunikwa na ukungu wa bluu. Kueneza kwa mbele kunaweza kuongezeka.

Kwa kuwa njano ni nyepesi, na bluu na nyekundu ni giza, tofauti ya rangi pia ni tofauti katika mwangaza.

Wakati wa kumaliza usuli wa mbali, usiruhusu kutoweka kutoka kwa mtazamo. Mara nyingi, kinyume chake, unahitaji kuongeza kueneza kwa mandharinyuma ili kuifunua. Hii ni muhimu zaidi kuliko tatu-dimensionality.

Ushauri mwingi wa upigaji picha wa 3D huzingatia utofautishaji wa halijoto. Kwa kweli, athari hii ni dhaifu sana na inaingiliwa kwa urahisi na tofauti ya mwangaza. Kwa kuongeza, tofauti ya joto ni ya kukasirisha na inayoonekana.

Vitu vilivyo mbali sana vinaonekana kuwa na rangi baridi zaidi kwa sababu hewa huchukua mwanga wa joto wa chungwa. Wakati wa kupiga picha ya mfano kwenye pwani na meli kwenye upeo wa macho nyuma, punguza joto la rangi ya bahari ya mbali na meli katika usindikaji baada ya usindikaji. Mfano katika suti nyekundu ya kuogelea hutoka kwenye bahari ya bluu, na mfano katika mwanga wa njano wa taa ya barabarani hutoka kwenye mwanga wa bluu.

Hii ndio kiini cha toning tofauti: tunafanya mfano wa joto, baridi ya asili. Ubongo unaelewa kuwa hakuna joto la rangi tofauti katika ndege moja, na huona picha kama hiyo ya pande tatu, ambayo mfano huo hutoka nyuma. Toni iliyogawanyika huongeza kina kwa mandhari: fanya mandhari ya mbele kuwa ya joto, mandharinyuma kuwa ya baridi.

Isipokuwa muhimu kwa toning tofauti: wakati wa jua na machweo, historia ya mbali sio baridi kabisa, lakini ni ya joto, na tani za njano na nyekundu-machungwa. Suluhisho la wazi - kutumia mfano mweupe katika swimsuit ya zambarau - haifanyi kazi kwa sababu mwanga wa jua hutupa tint ya joto kwenye mwili wa mfano pia.

Hebu tufanye muhtasari: ili kutoa picha ya pande tatu kulingana na athari za anga, ni muhimu kutofautisha mbele na mandharinyuma. Tofauti kuu inategemea tofauti ya kawaida: mbele ni ya juu-tofauti, asili ni ya chini. Tofauti ya pili ni kwa suala la ukali: mbele ni mkali, mandharinyuma ni blurry. Tofauti ya tatu ni kwa suala la wepesi: mbele ni giza, asili ni nyepesi. Tofauti ya nne ni katika suala la kueneza: rangi za mbele zimejaa, rangi za mandharinyuma zimejazwa. Tofauti ya tano ni katika hali ya joto: sehemu ya mbele ni ya joto, asili ni baridi.

Sababu zilizoorodheshwa mara nyingi ni za pande nyingi. Njano ni mkali kuliko bluu, na vitu vyepesi huonekana mbali zaidi na vile vya giza. Ingekuwa kawaida kutarajia kuwa manjano yangepungua na bluu ingekaribia mtazamaji. Kwa kweli, ni kinyume chake: rangi ya joto hutoka kwenye historia ya baridi. Hiyo ni, rangi inageuka kuwa sababu yenye nguvu zaidi kuliko mwangaza. Ambayo, kwa kutafakari, haishangazi: njano na nyekundu zinaweza kutofautishwa kwa karibu tu, na mtazamaji hatarajii kukutana nao kwa mbali sana.

Mstari wa chini: weka utofautishaji wa chinichini, umeoshwa nje, mwanga, ukiwa umejazwa, na rangi ya samawati. Na uwe tayari kwa kuwa mtazamaji, aliyezoea 3D iliyotiwa chumvi ya filamu, atapata sura tatu uliyounda kuwa haionekani au haipo kabisa.

Katika upigaji picha wa picha, ni bora kutegemea athari iliyothibitishwa ya chiaroscuro - mchezo wa mwanga na kivuli kwenye uso wa mfano, ambao utafanya picha kuwa laini kabisa. Katika upigaji picha wa aina, mtazamo hutoa athari inayoonekana zaidi ya pande tatu. Katika maisha bado, jambo kuu litakuwa makutano (kuingiliana) kwa vitu.

Usichukuliwe na matarajio; ni mandharinyuma tu ya ndege ya mbele ambayo picha yako inapepea. Katika uchoraji wa kisasa, ambao ni mbali na ukweli, mtazamo haujazingatiwa sana.

Pakua kitabu kizima: pdfepubazw3mobifb2litContents

PICHA YA GEOMETRI YA MPIRA MWENYE NNE.

Egorov Nester Alexandrovich

Mwanafunzi wa mwaka wa 4, Idara ya Algebra na Jiometri IMI NEFU, Shirikisho la Urusi, Yakutsk

E- barua: egrvnester@ barua. ru

Popov Oleg Nikolaevich

msimamizi wa kisayansi, Ph.D. teknolojia. Sayansi, Profesa Mshiriki IMI NEFU, Shirikisho la Urusi, Yakutsk

Karatasi hii inatoa uwakilishi wa mpira wa pande nne katika nafasi ya nne-dimensional kwa kutumia sehemu zake tatu-dimensional. Ili kuelezea matatizo yanayohusiana na mtazamo wa vitu katika nafasi ya nne-dimensional, njia hutumiwa ambayo inategemea kuzingatia nafasi na vipimo vya chini. Umuhimu wa mbinu hii iko katika ukweli kwamba inatuwezesha kuelewa muundo wa picha za kijiometri za nafasi ya nne-dimensional, na pia inachangia maendeleo ya mawazo ya anga na ya kufikirika. Kazi hii ni ya kupendeza kwa wanafunzi wa shule ya upili, wanafunzi wa vitivo vya sayansi ya hisabati na asilia, pamoja na walimu wa hisabati. Inawasilishwa kwa kutumia njia ya kuona, bila kutumia kanuni, kwa kuzingatia tu kozi ya jiometri ya shule.

Katika fasihi ya kisayansi na maarufu, katika vyombo vya habari, nafasi na vitu vya multidimensional hutajwa mara nyingi. Kuna nadharia mbalimbali kuhusu multidimensionality ya Ulimwengu wetu. Ni asili ya mwanadamu kuwakilisha vitu vya kijiometri katika fomu ya kuona. Kwa hivyo, wengi, baada ya kusikia maneno "mpira wa pande nne", mara moja jaribu kuiona katika mawazo yao. Tunafikiria vizuri mpira wa pande mbili (hii ni mduara uliolala kwenye ndege), mpira wa pande tatu ni kitu ambacho mara nyingi hukutana katika maisha yetu. Lakini katika kesi ya nne-dimensional, hatuwezi kwa njia yoyote kujenga katika mawazo yetu picha ya kijiometri ya mpira wa nne-dimensional. Hii ni kutokana na kuibuka kwa mwelekeo wa nne, usioweza kufikiwa kwetu.

Kuunda wazo linaloeleweka kwa msomaji juu ya picha ya kijiometri ya mpira wa pande nne ndio lengo la kazi yetu. Haitumii ufafanuzi mkali au fomula za hisabati. Dhana na maneno yote yaliyotumiwa yanaeleweka tu kwa njia ya angavu. Nyenzo zote zinawasilishwa kwa fomu maarufu.

Umuhimu wa kazi hiyo iko katika ukweli kwamba inaruhusu sisi kuelewa muundo wa picha za kijiometri za nafasi ya nne-dimensional, na pia inachangia maendeleo ya mawazo ya anga na ya kufikirika na ni ya kupendeza kwa wanafunzi wa shule ya upili, wanafunzi wa vyuo vikuu. ya sayansi ya hisabati na asilia, pamoja na walimu wa hisabati.

Kielelezo 1. a) Mstari wa moja kwa moja katika nafasi ya nne-dimensional huingilia mpira wa tatu-dimensional kwenye sehemu moja tu ya ndani; b) Mstari wa moja kwa moja kwenye ndege huingilia mpira wa pande mbili pamoja na sehemu; c) Mstari wa moja kwa moja ulio kwenye nafasi huingiliana na mpira wa pande mbili kwa hatua moja tu

Nafasi ya nne-dimensional ni, kwa kiasi fulani, nafasi isiyo ya kawaida. Tunajua kwamba katika nafasi ya tatu-dimensional mstari wa moja kwa moja huvuka kiasi kidogo cha mbonyeo chenye mwelekeo-tatu (kwa mfano, mpira) pamoja na sehemu. Isipokuwa ni wakati mstari wa moja kwa moja unagusa kitu fulani. Katika nafasi ya nne-dimensional, kila kitu kinaweza kutokea tofauti. Mstari wa moja kwa moja unaweza "kutoboa" mpira wa tatu-dimensional moja kwa moja, ukipiga hatua moja tu ya ndani bila kuvuruga mazingira yake (Mchoro 1, a)). Hii inafanya uwezekano wa mtu wa 4D (ikiwa alikuwepo) kuchukua vitu vyetu vyote kutoka kwenye mfuko bila kufungua au kuikata, ambayo inaonekana isiyo ya kawaida sana na isiyoeleweka. Ili kuelewa hili, fikiria nafasi mbili-dimensional (nafasi mbili-dimensional ni ndege iliyoingizwa kwenye nafasi ya tatu-dimensional). Mstari wa moja kwa moja kwenye ndege utapita kwenye mduara ulio kwenye ndege pamoja na sehemu, na mstari wa moja kwa moja katika nafasi iliyo nje ya ndege utaingilia mzunguko kwa hatua moja tu (Mchoro 1, b), c)).

Ili kufanya sehemu ya mambo kukosa kutoka kwenye mfuko kueleweka zaidi, hebu tuchore mtu wa pande mbili kwenye ubao, tuchore figo zake, jiwe la figo. Kisha tunachukua rag mikononi mwetu na kwa uangalifu, bila kugusa mafigo ya mtu wa pande mbili, tunaifuta jiwe (Mchoro 2). Sasa tunaweza kujipongeza kwa ukweli kwamba tumefanikiwa tu kufanya operesheni ya kuondoa jiwe la figo bila kutumia chale, na kwamba mgonjwa wetu ni mzima. Ni nini kisichoweza kudhibitiwa na daktari wa upasuaji wa pande mbili kinageuka kuwa jambo rahisi kwa mtu wa kawaida wa tatu-dimensional.

Kielelezo 2. Kuondolewa kwa jiwe kutoka kwa figo ya pande mbili na daktari wa tatu-dimensional bila hifadhi.

Zaidi ya hayo, tutatumia mbinu hii inayohusishwa na mpito kwa mwelekeo wa chini ili kuelezea matatizo yanayohusiana na mtazamo wa vitu vilivyo katika nafasi ya nne-dimensional. Ugumu wa mtazamo wa mtu wa pande mbili wakati anajaribu kuelewa ulimwengu wa pande tatu ni sawa na yetu wakati wa kuona nafasi ya nne-dimensional, kwani wameunganishwa katika hali zote mbili kwa kuonekana kwa mwelekeo mpya usioweza kufikiwa.

Nafasi mbili za pande tatu zinaweza kukatiza au kuwa sambamba katika nafasi ya nne-dimensional. Hebu fikiria kesi wakati wao intersect.

Mchoro 3. Nafasi mbili za pande tatu zinaingiliana katika nafasi ya nne-dimensional pamoja na ndege.

Ikiwa ndege mbili x na y zinaingiliana kando ya mstari wa moja kwa moja l (Mchoro 4), basi nafasi tatu-dimensional P na Q zinaingiliana kando ya ndege α (Mchoro 3). Kwa mtu mwenye sura mbili, mstari wa moja kwa moja l (ikiwa ni opaque) utakuwa ukuta unaogawanya ulimwengu wake katika sehemu mbili. Na nusu-ndege y 1 na y 2 hazipo kwa ajili yake, kwa kuwa ziko katika mwelekeo wa tatu, hazipatikani kwake. Kwa mtu wa tatu-dimensional, ukuta huo, kugawanya nafasi nzima katika sehemu mbili, itakuwa ndege α (Mchoro 3).

Kisha, fikiria ndege mbili zinazoingiliana x na y, pamoja na moja ambayo mpira wa pande mbili huzunguka (Mchoro 4). Kumbuka kuwa mtu mwenye sura mbili huona tu mstari l kutoka kwa ndege y, kwa kuwa iko kwenye nafasi yake ya x. Ndege za nusu y 1 na y 2 hazionekani kwake, hivyo mtu mwenye sura mbili iko kwenye ndege ya x ataona uhakika (mpira wa gorofa uligusa mstari), ambayo kisha hugawanyika (mpira ulivuka mstari). Zaidi ya hayo, mpira unaposonga, pointi zitatofautiana hadi mstari wa moja kwa moja wa makutano ya ndege ufanane na kipenyo cha mpira, basi kila kitu kitatokea kwa mpangilio wa nyuma.

Mchoro 4. Mtu mwenye sura mbili huona tu sehemu ya mduara na ndege yake.

Sasa si vigumu kuelewa tutachokiona, kuwa katika nafasi ya tatu-dimensional P, katika kesi wakati mpira uliozinduliwa na mguu wa mchezaji wa mpira wa miguu ulio katika Q unavuka nafasi yetu. Kwanza kwenye ndege α. hatua itaonekana, ambayo itabadilika mara moja kuwa mduara unaoongezeka kwa hatua kwa hatua, ambayo ni makutano ya ndege ya α na mpira. Baada ya kufikia upeo wake, na radius sawa na radius ya mpira wa soka, itaanza kupungua hatua kwa hatua hadi inarudi kwenye hatua na kutoweka kutoka kwa mtazamo (Mchoro 5). Tutachoona wakati mchezaji wa mpira mwenyewe anakimbia baada ya mpira, tutamwachia msomaji kufikiria. Kwa kujifurahisha, hebu fikiria nini kitatokea ikiwa mchezaji wa mpira wa miguu, kwa namna fulani ya ajabu, akiwa katika nafasi Q, kwa ajali hugeuka kwenye nafasi yetu P (angalia Mchoro 6).

Kielelezo 5. Mtazamo wa mpira unaovuka nafasi ya mwangalizi katika mienendo

Kielelezo 6. Kuonekana kwa mchezaji wa mpira wa miguu katika nafasi P kutoka nafasi Q

Katika toleo la pande mbili, ni rahisi kufikiria ndege mbili zinazofanana. Nafasi ya pande tatu inaweza kuwakilishwa kama mkusanyiko usio na kikomo wa ndege sambamba "zilizoshikamana". Wazo hili linaweza kupatikana kwa kuangalia staha ya kadi, ambapo kila kadi inahusishwa na ndege au kitabu, ambapo jukumu la ndege linachezwa na karatasi za kitabu hiki.

Nafasi ya nne-dimensional pia inawakilisha mkusanyiko wa "kushikamana pamoja", lakini tayari nafasi tatu-dimensional sambamba. Jaribu kufikiria katika mawazo yako mbili sambamba (kushikamana pamoja), i.e. ziko karibu sana na kila mmoja, nafasi tatu-dimensional. Hutafanikiwa. Nafasi ambazo tunataka kufikiria katika fikira zetu ama zinaanza kupishana au hazitaki kukaribiana, zikisukumana mbali kutoka kwa kila mmoja. Wacha tujue sababu ya kushindwa kwetu. Ili kufanya hivyo, hebu tuchambue jinsi mtu mwenye sura mbili anayeishi katika ndege ya x atajaribu kufikiria ndege mbili zinazofanana y na z ziko karibu sana. Kwa kuwa kwa mtu wa pande mbili hakuna mwelekeo wa tatu h (Mchoro 7a)), atalazimika kuwaweka kwenye nafasi yake, ingawa kwa kweli watakuwa iko perpendicularly (au kwa pembe fulani) kuingiliana na ndege ya x ( Kielelezo 7b)). Sasa mara moja inakuwa dhahiri sababu ya kushindwa kwetu ni nini. Tunajaribu kuweka nafasi mbili za tatu-dimensional katika nafasi moja ya tatu-dimensional ambayo sisi ni (Kielelezo 7c)), wakati wanapaswa kupanua kando ya mwelekeo wa nne, haiwezekani kwetu. Ni wazi kwamba hawawezi kuonekana kushikamana pamoja.

Kumbuka kwamba nafasi ya tatu-dimensional inaweza kuwakilishwa kama athari iliyoachwa na ndege kutokana na harakati zake katika mwelekeo fulani (Mchoro 8).

Kielelezo 7. a) Mtu mwenye sura mbili anajaribu kufikiria ndege mbili zinazofanana; b) Mahali halisi ya ndege sambamba; c) Tunajaribu kuweka nafasi mbili za pande tatu katika nafasi moja ya pande tatu

Mchoro 8. Nafasi ya tatu-dimensional iliyopatikana kwa harakati ya ndege

Sasa, kama hapo awali, fikiria nafasi P na Q zinazoingiliana kando ya ndege α (Mchoro 9a)). Kila moja ya nafasi inaweza kupatikana kwa kusonga ndege α kulingana na maelekezo ya axes ya kuratibu x na t. Ifuatayo, tuchore ndege β kwenye nafasi P kwa umbali wa karibu sana sambamba na ndege α. Kwa wazi, β haitakuwa katika nafasi Q. Wacha tuanze kusogeza ndege hizi kwa mwelekeo t ili wakati wowote t ndege zinazosonga ziwe sambamba na karibu kwa kila mmoja. Kisha nafasi Q na nafasi Q β iliyopatikana kwa harakati ya ndege α na β, kwa mtiririko huo, ni sambamba, na itakuwa katika umbali wa karibu sana kutoka kwa kila mmoja (kwa umbali sawa na umbali kati ya ndege α na β. , kando ya kipimo cha x). Kisha miili miwili ya tatu-dimensional, kwa mfano, mipira miwili, iko katika tofauti kabisa, lakini nafasi sambamba Q na Q β karibu na kila mmoja, inaweza kugeuka kuwa karibu sana ("kushikamana") (Mchoro 9b)).

Kielelezo 9. a) Ndege β kutoka kwa gloss P iko karibu na sambamba na α ndege na haiko angani Q ; b) Seti za ndege zilizopatikana kwa harakati za ndege α na β katika mwelekeo t , kuunda nafasi sambamba karibu na kila mmoja Q Na Q β Mipira iliyoonyeshwa iliyo katika nafasi hizi iko karibu na kila mmoja kwa kila sehemu (mipira "inata")

Nafasi zote za nne-dimensional zinaweza kuzingatiwa kama mkusanyiko wa nafasi sambamba, zilizowekwa kwa karibu sana ("zilizoshikamana") na nafasi tatu-dimensional. Ikiwa tutachukua muda kama mwelekeo wa nne, basi harakati ya mtu katika mashine ya muda itafanana na mpito kutoka nafasi moja sambamba hadi nyingine. Katika kesi hii, tofauti na nafasi za kuingiliana, tunapoona tu sehemu ya msalaba ya kitu kinachotembea kupitia nafasi ya pili, ikivuka yetu, mashine ya wakati iliyo na mtu aliyeketi ndani yake itatokea ghafla mbele yetu, ambayo itayeyuka ndani. wakati uliopita au ujao kulingana na mwelekeo wa harakati zake.

Kwa hivyo: tulielewa kwamba nafasi tatu-dimensional huingiliana kando ya ndege; nafasi ya nne-dimensional inaweza kuwakilishwa kama seti ya "kushikamana" nafasi sambamba tatu-dimensional; nilipata wazo la "kushikamana" miili yenye sura tatu iliyoko katika nafasi sambamba.

Mpira wa pande nne ni nini? Ili kujibu swali hili, hebu tuchambue jinsi mpira wetu wa kawaida wa tatu-dimensional umeundwa kutoka kwa mtazamo wa mtu wa pande mbili. Bila shaka, hawezi kuona mpira mzima katika uwanja wake wa maono kuna tufe yenye pande mbili - duara ambalo linapakana na duara la pande mbili, na ni makutano ya ulimwengu wa mtu mwenye sura mbili na mpira; (kile kilicho ndani ya mduara hakionekani kwake. Mchoro 10 a)). Wakati wa kuhamia kwenye nafasi zinazofanana, mduara utapungua mpaka itapungua kwa uhakika (Mchoro 10 b)).

Kielelezo 10. a) Mtu mwenye sura mbili anaweza kuona sehemu tu ya duara, iliyopakana na makutano ya ndege na mpira; b) Wakati mtu anahamia kwenye ndege zinazofanana, duara polepole itapungua hadi hatua

Katika kesi ya mpira wa nne-dimensional, uwanja wa maono wa mtu umepunguzwa na nafasi ambayo iko. Kwa mlinganisho, tunaweza kudhani kwamba anaona nyanja inayopakana na mpira, ambayo ni makutano ya nafasi hii ya tatu-dimensional na mpira wa nne-dimensional. Wakati wa kuhamia kwenye nafasi zinazofanana, nyanja pia itapungua kwa radius mpaka itapungua kwa uhakika (Mchoro 11 a)). Sasa tutajaribu kuelewa kwa undani zaidi ni aina gani ya mipira tunayoona na jinsi wanavyounda mpira wa nne-dimensional.

Hebu fikiria mpira wa tatu-dimensional 2 (Mchoro 11 b)) na sehemu zake kwa ndege zinazofanana. Jumla ya ndege hizi zinazofanana huunda nafasi ya tatu-dimensional na vipimo y, z, t, ambayo kila moja ya ndege hizi, pamoja na harakati zake katika mwelekeo wa x, huunda nafasi za "nata". . Ni katika nafasi hizi ambapo mipira ya tatu-dimensional iko (tazama mpira 1), ambayo tunaona wakati wa mabadiliko (yaliyoelezwa hapo juu) kwa nafasi zinazofanana (Mchoro 11a)). Mchanganyiko wa mipira hii itaunda mpira wa nne-dimensional. Kwa hivyo, mpira wa nne-dimensional ni mkusanyiko wa mipira inayoshikamana kwa pointi zote, kupungua kwa ukubwa, ambayo huunda picha ya kijiometri ya mpira wa nne-dimensional. Walakini, hatuwezi kuona picha kamili ya mpira, kwani hatuwezi kuona nje ya nafasi yetu.

Kielelezo 11. a) Mipira inayoonekana kwa wanadamu wakati wa mabadiliko katika nafasi zinazofanana, kupungua kwa ukubwa; b) Mpira wa pande nne ni mkusanyiko wa mipira "iliyounganishwa" inayopungua, ambayo ni sehemu za mpira wa nne-dimensional kwa nafasi tatu-dimensional sambamba na nafasi. P

Wacha tuangalie mpira wa pande nne kutoka pande tofauti. Mtazamaji aliye katika nafasi ya tatu-dimensional P na vipimo y, z, t na kuangalia katika mwelekeo t ataona mpira (Mchoro 12), ambayo inajumuisha sehemu za mipira inayounda mpira wa nne-dimensional (katika Mchoro 11 hii ni mpira 2).

Mtazamaji aliye katika nafasi Q na kuangalia katika mwelekeo wa x pia ataona mpira wa tatu-dimensional (Mchoro 12). Kwa hivyo, waangalizi walio katika nafasi P na Q wanaona picha sawa - mpira wa pande tatu. Hata hivyo, mipira wanayoona ni vitu tofauti vya kijiometri vilivyo katika nafasi tofauti na kuingiliana kwenye mduara wa pande mbili.

Mchoro 12. Waangalizi walio katika nafasi za kukatiza P Na Q tazama mpira wa pande tatu. Hata hivyo, kwa kweli wanatazama mipira mbalimbali ikikatiza kwenye njia

Kwa bahati mbaya, kama ilivyoonyeshwa hapo juu, uwanja wetu wa maono ni mdogo kwa nafasi ya pande tatu, kwa hivyo hatuwezi kuona picha za pande nne kwa ujumla. Hata hivyo, mwanahisabati wa Uingereza C. Hinton (1853-1907) alitengeneza njia maalum ya kujenga mifano ya takwimu za kijiometri katika nafasi ya nne-dimensional kutoka sehemu zao tatu-dimensional. Njia hii imeelezewa kwa kina katika monographs zake mbili. Hinton alidai kuwa kama matokeo ya miaka mingi ya kazi, ambayo ilitokana na njia hii maalum, alijifunza kuwakilisha kiakili picha za kijiometri katika nafasi ya nne-dimensional. Pia aliamini kwamba mtu ambaye alijua njia hii vizuri atapata ufahamu wa angavu wa nafasi ya pande nne.

Marejeleo:

1.Hinton Charles H. Enzi Mpya ya Mawazo, orig. 1888, kilichochapishwa tena 1900, na Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - uk. 240.