Washa somo hili kuongeza na kutoa kutashughulikiwa sehemu za algebra Na madhehebu tofauti. Tayari tunajua jinsi ya kuongeza na kutoa sehemu za kawaida na denomineta tofauti. Ili kufanya hivyo, sehemu lazima zipunguzwe dhehebu la kawaida. Inabadilika kuwa sehemu za algebraic hufuata sheria sawa. Wakati huo huo, tayari tunajua jinsi ya kupunguza sehemu za algebraic kwa denominator ya kawaida. Kuongeza na kutoa sehemu zenye madhehebu tofauti ni mojawapo ya mada muhimu na ngumu katika kozi ya daraja la 8. Ambapo mada hii itaonekana katika mada nyingi za kozi za aljebra ambazo utasoma katika siku zijazo. Kama sehemu ya somo, tutasoma sheria za kuongeza na kutoa sehemu za algebra na madhehebu tofauti, na pia kuchambua. mstari mzima mifano ya kawaida.

Hebu tuzingatie mfano rahisi zaidi kwa sehemu za kawaida.

Mfano 1. Ongeza sehemu: .

Suluhisho:

Wacha tukumbuke sheria ya kuongeza sehemu. Kuanza, sehemu lazima zipunguzwe kwa denominator ya kawaida. Denominator ya kawaida kwa sehemu za kawaida ni angalau nyingi za kawaida(LCM) ya madhehebu ya awali.

Ufafanuzi

Nambari ndogo kabisa asilia ambayo inaweza kugawanywa kwa nambari zote mbili na .

Ili kupata LCM ni muhimu kutenganisha denominators ndani sababu kuu, na kisha uchague mambo yote makuu ambayo yamejumuishwa katika upanuzi wa madhehebu yote mawili.

; . Kisha LCM ya nambari lazima iwe na mbili mbili na mbili tatu:.

Baada ya kupata dhehebu la kawaida, unahitaji kupata sababu ya ziada kwa kila sehemu (kwa kweli, ugawanye denominator ya kawaida na denominator ya sehemu inayofanana).

Kila sehemu basi huzidishwa na sababu ya ziada inayosababisha. Tunapata sehemu zilizo na madhehebu sawa, ambayo tulijifunza kuongeza na kupunguza katika masomo yaliyopita.

Tunapata: .

Jibu:.

Wacha sasa tuzingatie nyongeza ya sehemu za aljebra na madhehebu tofauti. Kwanza, hebu tuangalie sehemu ambazo madhehebu yake ni nambari.

Mfano 2. Ongeza sehemu: .

Suluhisho:

Algorithm ya suluhisho ni sawa kabisa na mfano uliopita. Ni rahisi kupata dhehebu la kawaida la sehemu hizi: na mambo ya ziada kwa kila mmoja wao.

.

Jibu:.

Kwa hivyo, wacha tutengeneze algorithm ya kuongeza na kutoa sehemu za aljebra na madhehebu tofauti:

1. Tafuta dhehebu la chini kabisa la sehemu.

2. Tafuta mambo ya ziada kwa kila sehemu (kwa kugawanya dhehebu ya kawaida na denominator ya sehemu iliyotolewa).

3. Zidisha nambari kwa mambo ya ziada yanayolingana.

4. Ongeza au ondoa visehemu kwa kutumia sheria za kuongeza na kutoa sehemu kwa kutumia madhehebu kama hayo.

Wacha sasa tuchunguze mfano na sehemu ambazo denominator yake ina maneno halisi.

Mfano 3. Ongeza sehemu: .

Suluhisho:

Kwa kuwa maneno ya herufi katika madhehebu yote mawili ni sawa, unapaswa kupata dhehebu la kawaida kwa nambari. Denominator ya mwisho ya kawaida itaonekana kama:. Kwa hivyo suluhisho mfano huu ina fomu:.

Jibu:.

Mfano 4. Ondoa sehemu: .

Suluhisho:

Ikiwa huwezi "kudanganya" wakati wa kuchagua denominator ya kawaida (huwezi kuhesabu au kutumia fomula za kuzidisha zilizofupishwa), basi unapaswa kuchukua bidhaa ya denominator ya sehemu zote mbili kama denominator ya kawaida.

Jibu:.

Kwa ujumla, wakati wa kuamua mifano inayofanana, wengi kazi ngumu ni kutafuta dhehebu la kawaida.

Hebu tuangalie mfano tata zaidi.

Mfano 5. Rahisisha: .

Suluhisho:

Wakati wa kupata dhehebu la kawaida, lazima kwanza ujaribu kuainisha madhehebu ya sehemu za asili (ili kurahisisha dhehebu la kawaida).

Katika kesi hii maalum:

Basi ni rahisi kuamua dhehebu la kawaida: .

Tunaamua mambo ya ziada na kutatua mfano huu:

Jibu:.

Sasa hebu tuanzishe sheria za kuongeza na kupunguza sehemu na madhehebu tofauti.

Mfano 6. Rahisisha: .

Suluhisho:

Jibu:.

Mfano 7. Rahisisha: .

Suluhisho:

.

Jibu:.

Wacha sasa tuchunguze mfano ambao sio mbili, lakini sehemu tatu zinaongezwa (baada ya yote, sheria za kuongeza na kutoa kwa zaidi sehemu zinabaki sawa).

Mfano 8. Rahisisha: .

Zingatia sehemu $\frac63$. Thamani yake ni 2, kwani $\frac63 =6:3 = 2$. Nini kitatokea ikiwa nambari na denominata zitazidishwa na 2? $\frac63 \mara 2=\frac(12)(6)$. Ni wazi, thamani ya sehemu haijabadilika, kwa hivyo $\frac(12)(6)$ kama y pia ni sawa na 2. Unaweza kuzidisha nambari na denominator kwa 3 na upate $\frac(18)(9)$, au kwa 27 na upate $\frac(162)(81)$, au kwa 101 na upate $\frac(606)(303)$. Katika kila moja ya matukio haya, thamani ya sehemu ambayo tunapata kwa kugawanya nambari na denominator ni 2. Hii ina maana kwamba haijabadilika.

Mfano huo unazingatiwa katika kesi ya sehemu nyingine. Ikiwa nambari na denominator ya sehemu $\frac(120)(60)$ (sawa na 2) imegawanywa na 2 (matokeo ni $\frac(60)(30)$), au kwa 3 (matokeo yake ni $\frac(40)(20) $), au kwa 4 (matokeo $\frac(30)(15)$) na kadhalika, basi katika kila kisa thamani ya sehemu inabakia bila kubadilika na ni sawa na 2.

Sheria hii pia inatumika kwa sehemu ambazo si sawa Namba nzima.

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu $\frac(1)(3)$ inazidishwa na 2, tunapata $\frac(2)(6)$, yaani, thamani ya sehemu haijabadilika. Na kwa kweli, ikiwa unagawanya pai katika sehemu 3 na kuchukua moja yao, au kuigawanya katika sehemu 6 na kuchukua sehemu 2, utapata kiasi sawa cha pie katika matukio yote mawili. Kwa hivyo, nambari $\frac(1)(3)$ na $\frac(2)(6)$ zinafanana. Wacha tutengeneze kanuni ya jumla.

Nambari na denominator ya sehemu yoyote inaweza kuzidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa bila kubadilisha thamani ya sehemu.

Sheria hii inageuka kuwa muhimu sana. Kwa mfano, inaruhusu katika baadhi ya matukio, lakini si mara zote, ili kuepuka uendeshaji na idadi kubwa.

Kwa mfano, tunaweza kugawanya nambari na denominator ya sehemu $\frac(126)(189)$ na 63 na kupata sehemu $\frac(2)(3)$, ambayo ni rahisi zaidi kukokotoa nayo. Mfano mmoja zaidi. Tunaweza kugawanya nambari na denominator ya sehemu $\frac(155)(31)$ na 31 na kupata sehemu $\frac(5)(1)$ au 5, tangu 5:1=5.

Katika mfano huu, tulikutana kwanza sehemu ambayo denominator yake ni 1. Sehemu kama hizo hucheza jukumu muhimu wakati wa mahesabu. Ikumbukwe kwamba nambari yoyote inaweza kugawanywa na 1 na thamani yake haitabadilika. Hiyo ni, $\frac(273)(1)$ ni sawa na 273; $\frac(509993)(1)$ ni sawa na 509993 na kadhalika. Kwa hivyo, sio lazima tugawanye nambari kwa , kwa kuwa kila nambari inaweza kuwakilishwa kama sehemu na denominator ya 1.

Na sehemu kama hizo, dhehebu ambalo ni 1, unaweza kufanya vivyo hivyo shughuli za hesabu, kama ilivyo kwa visehemu vingine vyote: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \mara \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Unaweza kuuliza kuna faida gani ikiwa tunawakilisha nambari kamili kama sehemu iliyo na kitengo chini ya mstari, kwani ni rahisi zaidi kufanya kazi na nambari kamili. Lakini ukweli ni kwamba kuwakilisha nambari nzima kama sehemu huturuhusu kutoa kwa ufanisi zaidi vitendo mbalimbali, tunaposhughulika na nambari kamili na sehemu kwa wakati mmoja. Kwa mfano, kujifunza ongeza sehemu na madhehebu tofauti. Tuseme tunahitaji kuongeza $\frac(1)(3)$ na $\frac(1)(5)$.

Tunajua kwamba tunaweza tu kuongeza sehemu ambazo madhehebu yake ni sawa. Hii ina maana kwamba tunahitaji kujifunza jinsi ya kupunguza sehemu kwa fomu ambapo denomineta zao ni sawa. Katika kesi hii, tutahitaji tena ukweli kwamba tunaweza kuzidisha nambari na denominator ya sehemu kwa nambari sawa bila kubadilisha thamani yake.

Kwanza, zidisha nambari na denominator ya sehemu $\frac(1)(3)$ na 5. Tunapata $\frac(5)(15)$, thamani ya sehemu haijabadilika. Kisha tunazidisha nambari na denominator ya sehemu $\frac(1)(5)$ na 3. Tunapata $\frac(3)(15)$, tena thamani ya sehemu haijabadilika. Kwa hiyo, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Sasa hebu tujaribu kutumia mfumo huu kwa kuongeza nambari zilizo na sehemu kamili na za sehemu.

Tunahitaji kuongeza $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Kwanza, hebu tubadilishe masharti yote kuwa sehemu na tupate: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sasa tunahitaji kuleta sehemu zote kwa dhehebu la kawaida, kwa hili tunazidisha nambari na dhehebu ya sehemu ya kwanza na 12, ya pili na 4, na ya tatu kwa 3. Matokeo yake, tunapata $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, ambayo ni sawa na $\frac(55)(12)$. Ikiwa unataka kujiondoa sehemu isiyofaa, inaweza kugeuzwa kuwa nambari inayojumuisha nambari kamili na sehemu: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ au $4\frac(7 )(12)$.

Sheria zote zinazoruhusu shughuli na sehemu, ambayo tumejifunza tu, pia ni halali katika kesi ya nambari hasi. Kwa hivyo, -1: 3 inaweza kuandikwa kama $\frac(-1)(3)$, na 1: (-3) kama $\frac(1)(-3)$.

Kwa kuwa wote wanagawanya nambari hasi kwa nambari chanya na kugawanya nambari chanya kwa matokeo hasi katika nambari hasi, katika hali zote mbili jibu litakuwa nambari hasi. Hiyo ni

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ au $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Alama ya kutoa inapoandikwa kwa njia hii inarejelea sehemu nzima, na sio tofauti kwa nambari au denominator.

Kwa upande mwingine, (-1) : (-3) inaweza kuandikwa kama $\frac(-1)(-3)$, na kwa kuwa kugawanya nambari hasi na nambari hasi tunapata. nambari chanya, kisha $\frac(-1)(-3)$ inaweza kuandikwa kama $+\frac(1)(3)$.

Kuongeza na kutoa sehemu hasi hufanywa kwa njia sawa na kuongeza na kutoa sehemu chanya. Kwa mfano, $1- 1\frac13$ ni nini? Wacha tuwakilishe nambari zote mbili kama sehemu na tupate $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Wacha tulete sehemu hizo kwa dhehebu la kawaida na tupate $\frac(1 \mara 3)(1 \mara 3)-\frac(4)(3)$, yaani, $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, au $-\frac(1)(3)$.

Kikokotoo cha mtandaoni.
Kutathmini usemi na sehemu za nambari.
Kuzidisha, kupunguza, kugawanya, kuongeza na kupunguza sehemu na madhehebu tofauti.

Kwa kikokotoo hiki cha mtandaoni unaweza zidisha, toa, gawanya, ongeza na punguza visehemu kwa madhehebu tofauti.

Programu inafanya kazi na sehemu za nambari za kawaida, zisizofaa na zilizochanganywa.

Programu hii (kikokotoo cha mtandaoni) inaweza:
- fanya nyongeza ya sehemu zilizochanganywa na madhehebu tofauti
- fanya utoaji wa sehemu zilizochanganywa na denominators tofauti
- gawanya sehemu zilizochanganywa na madhehebu tofauti
- kuzidisha sehemu zilizochanganywa na madhehebu tofauti
- kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida
- Badilisha sehemu zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa
- kupunguza sehemu

Unaweza pia kuingiza sio usemi na sehemu, lakini sehemu moja.
Katika kesi hii, sehemu itapunguzwa na sehemu nzima itatenganishwa na matokeo.

Kikokotoo cha mkondoni cha kuhesabu misemo na sehemu za nambari haitoi tu jibu la shida, inatoa ufumbuzi wa kina kwa maelezo, i.e. inaonyesha mchakato wa kutafuta suluhisho.

Programu hii inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au aljebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii unaweza kutumia yako mafunzo mwenyewe na/au kuwafunza ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.

Ikiwa haujafahamu sheria za kuingiza misemo na sehemu za nambari, tunapendekeza ujijulishe nazo.

Sheria za kuingiza misemo na sehemu za nambari

Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.

Denominator haiwezi kuwa hasi.

Wakati wa kuingiza sehemu ya nambari, nambari hutenganishwa na dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Ingizo: -2/3 + 7/5
Matokeo: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Sehemu nzima imetenganishwa na sehemu na ishara ya ampersand: &
Ingizo: -1&2/3 * 5&8/3
Matokeo: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Mgawanyiko wa sehemu huletwa na ishara ya koloni:
Ingizo: -9&37/12: -3&5/14
Matokeo: \(-9\frac(37)(12) : \kushoto(-3\frac(5)(14) \kulia) \)
Kumbuka kwamba huwezi kugawanya kwa sifuri!

Unaweza kutumia mabano unapoingiza misemo yenye sehemu za nambari.
Ingizo: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Matokeo: \(-\frac(2)(3) \cdot \kushoto(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \kulia) : 2\frac(1)(4) + \frak(1)(3)\)

Weka usemi ukitumia sehemu za nambari.

Kokotoa

Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

JavaScript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.

Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...

Ikiwa wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Sehemu za kawaida. Mgawanyiko na salio

Ikiwa tunahitaji kugawanya 497 na 4, basi wakati wa kugawanya tutaona kwamba 497 haipatikani kwa usawa na 4, i.e. sehemu iliyobaki ya mgawanyiko inabaki. Katika hali kama hizi inasemekana kuwa imekamilika mgawanyiko na salio, na suluhisho limeandikwa kama ifuatavyo:
497: 4 = 124 (1 salio).

Vipengele vya mgawanyiko upande wa kushoto wa usawa huitwa sawa na mgawanyiko bila salio: 497 - gawio, 4 - mgawanyiko. Matokeo ya mgawanyiko wakati umegawanywa na salio inaitwa faragha isiyo kamili. Kwa upande wetu, hii ni namba 124. Na hatimaye, sehemu ya mwisho, ambayo si katika mgawanyiko wa kawaida, ni. salio. Katika hali ambapo hakuna salio, nambari moja inasemekana kugawanywa na nyingine bila kuwaeleza, au kabisa. Inaaminika kuwa kwa mgawanyiko kama huo salio ni sifuri. Kwa upande wetu, iliyobaki ni 1.

Salio daima ni chini ya kigawanyaji.

Mgawanyiko unaweza kuangaliwa kwa kuzidisha. Ikiwa, kwa mfano, kuna usawa 64: 32 = 2, basi hundi inaweza kufanywa kama hii: 64 = 32 * 2.

Mara nyingi katika hali ambapo mgawanyiko na salio hufanywa, ni rahisi kutumia usawa
a = b * n + r,
ambapo a ni mgao, b ni mgawanyiko, n ni mgawo wa sehemu, r ni salio.

Gawanya mgawo nambari za asili inaweza kuandikwa kama sehemu.

Nambari ya sehemu ni mgao, na denominator ni kigawanyiko.

Kwa kuwa nambari ya sehemu ni mgawanyiko na denominator ni kigawanyaji, amini kwamba mstari wa sehemu unamaanisha hatua ya mgawanyiko. Wakati mwingine ni rahisi kuandika mgawanyiko kama sehemu bila kutumia ":" ishara.

Sehemu ya mgawanyo wa nambari asilia m na n inaweza kuandikwa kama sehemu \(\frac(m)(n) \), ambapo nambari m ni mgao, na dhehebu n ni kigawanyiko:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Sheria zifuatazo ni kweli:

Ili kupata sehemu \(\frac(m)(n)\), unahitaji kugawanya moja kwa n sehemu sawa(hisa) na kuchukua sehemu kama hizo.

Ili kupata sehemu \(\frac(m)(n)\), unahitaji kugawanya nambari m kwa nambari n.

Ili kupata sehemu ya jumla, unahitaji kugawanya nambari inayolingana na nzima na dhehebu na kuzidisha matokeo na nambari ya sehemu inayoonyesha sehemu hii.

Ili kupata nzima kutoka kwa sehemu yake, unahitaji kugawanya nambari inayolingana na sehemu hii na nambari na kuzidisha matokeo na dhehebu la sehemu inayoonyesha sehemu hii.

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu zinazidishwa kwa nambari sawa (isipokuwa sifuri), thamani ya sehemu haitabadilika:
\(\kubwa \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu imegawanywa na nambari sawa (isipokuwa sifuri), thamani ya sehemu haitabadilika:
\(\kubwa \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b:m) \)
Mali hii inaitwa mali kuu ya sehemu.

Mabadiliko mawili ya mwisho yanaitwa kupunguza sehemu.

Ikiwa sehemu zinahitaji kuwakilishwa kama sehemu na denominator sawa, basi hatua hii inaitwa kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.

Sehemu zinazofaa na zisizofaa. Nambari zilizochanganywa

Tayari unajua kuwa sehemu inaweza kupatikana kwa kugawanya nzima katika sehemu sawa na kuchukua sehemu kadhaa kama hizo. Kwa mfano, sehemu \(\frac(3)(4)\) inamaanisha robo tatu ya moja. Katika matatizo mengi katika aya iliyotangulia, sehemu ndogo zilitumiwa kuwakilisha sehemu za jumla. Akili ya kawaida inapendekeza kwamba sehemu inapaswa kuwa chini ya nzima kila wakati, lakini vipi kuhusu sehemu kama vile, kwa mfano, \(\frac(5)(5)\) au \(\frac(8)(5)\)? Ni wazi kuwa hii sio sehemu ya kitengo tena. Labda hii ndio sababu sehemu ambazo nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator huitwa sehemu zisizofaa. Sehemu nyingine, yaani, sehemu ambazo nambari yake chini ya dhehebu, kuitwa sehemu sahihi.

Kama unavyojua, yoyote sehemu ya kawaida, sahihi na si sahihi, inaweza kuzingatiwa kama matokeo ya kugawanya nambari na denominator. Kwa hiyo, katika hisabati, tofauti lugha ya kawaida, neno "sehemu isiyofaa" haimaanishi kwamba tulifanya jambo baya, lakini tu kwamba nambari ya sehemu hii ni kubwa kuliko au sawa na denominator.

Ikiwa nambari ina sehemu kamili na sehemu, basi vile sehemu huitwa mchanganyiko.

Kwa mfano:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ni sehemu kamili, na \(\frac(2)(3) \) ni sehemu ya sehemu.

Ikiwa nambari ya sehemu \(\frac(a)(b)\) inaweza kugawanywa na nambari asilia n, basi ili kugawanya sehemu hii na n, nambari yake lazima igawanywe kwa nambari hii:
\(\kubwa \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ikiwa nambari ya sehemu \(\frac(a)(b)\) haiwezi kugawanywa na nambari asilia n, basi ili kugawanya sehemu hii na n, unahitaji kuzidisha dhehebu lake kwa nambari hii:
\(\kubwa \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Kumbuka kuwa sheria ya pili pia ni kweli wakati nambari inaweza kugawanywa na n. Kwa hiyo, tunaweza kuitumia wakati ni vigumu kuamua kwa mtazamo wa kwanza ikiwa nambari ya sehemu inaweza kugawanywa na n au la.

Vitendo vilivyo na sehemu. Kuongeza sehemu.

Unaweza kufanya shughuli za hesabu kwa nambari za sehemu, kama vile nambari asilia. Hebu tuangalie kuongeza sehemu kwanza. Ni rahisi kuongeza sehemu na denominators kama. Hebu tupate, kwa mfano, jumla ya \(\frac(2)(7)\) na \(\frac(3)(7)\). Ni rahisi kuelewa kwamba \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Ili kuongeza sehemu na denominators sawa, unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha denominator sawa.

Kwa kutumia herufi, sheria ya kuongeza sehemu zilizo na kama dhehebu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
\(\kubwa \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ikiwa unahitaji kuongeza sehemu na madhehebu tofauti, lazima kwanza zipunguzwe kwa kawaida. Kwa mfano:
\(\kubwa \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Kwa sehemu, kama kwa nambari za asili, sifa za kubadilisha na za ushirika za nyongeza ni halali.

Kuongeza sehemu zilizochanganywa

Vidokezo kama vile \(2\frac(2)(3)\) vinaitwa sehemu zilizochanganywa. Katika kesi hii, nambari ya 2 inaitwa sehemu nzima sehemu iliyochanganywa, na nambari \(\frac(2)(3)\) ni yake sehemu ya sehemu. Ingizo \(2\frac(2)(3)\) linasomeka kama ifuatavyo: "theluthi mbili na mbili."

Wakati wa kugawanya nambari 8 kwa nambari 3, unaweza kupata majibu mawili: \(\frac(8)(3)\) na \(2\frac(2)(3)\). Zinaonyesha nambari ya sehemu sawa, yaani \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Kwa hivyo, sehemu isiyofaa \(\frac(8)(3)\) inawakilishwa kama sehemu mchanganyiko \(2\frac(2)(3)\). Katika hali kama hizi wanasema kutoka kwa sehemu isiyofaa iliangazia sehemu nzima.

Kutoa sehemu (nambari za sehemu)

Kutoa nambari za sehemu, kama nambari asilia, imedhamiriwa kwa msingi wa hatua ya kuongeza: kutoa nyingine kutoka kwa nambari moja inamaanisha kupata nambari ambayo, ikiongezwa kwa pili, inatoa ya kwanza. Kwa mfano:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) tangu \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frak(8)(9)\)

Sheria ya kutoa sehemu na dhehebu kama ni sawa na sheria ya kuongeza sehemu kama hizo:
Ili kupata tofauti kati ya sehemu zilizo na madhehebu sawa, unahitaji kutoa nambari ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na kuacha dhehebu sawa.

Kwa kutumia herufi, sheria hii imeandikwa kama hii:
\(\kubwa \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Kuzidisha sehemu

Ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari na denominators zao na uandike bidhaa ya kwanza kama nambari, na ya pili kama dhehebu.

Kutumia herufi, sheria ya kuzidisha sehemu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
\(\kubwa \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Kwa kutumia kanuni iliyoundwa, unaweza kuzidisha sehemu kwa nambari asilia, kwa sehemu iliyochanganywa, na pia kuzidisha sehemu zilizochanganywa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuandika nambari asilia kama sehemu na dhehebu la 1, sehemu iliyochanganywa - kama sehemu isiyofaa.

Matokeo ya kuzidisha yanapaswa kurahisishwa (ikiwezekana) kwa kupunguza sehemu na kutenganisha sehemu nzima ya sehemu isiyofaa.

Kwa sehemu, kama kwa nambari za asili, mali ya kubadilisha na ya pamoja ya kuzidisha, na vile vile mali ya usambazaji ya kuzidisha inayohusiana na kuongeza, ni halali.

Mgawanyiko wa sehemu

Hebu tuchukue sehemu \(\frac(2)(3)\) na "kuipindua", tukibadilishana nambari na denominator. Tunapata sehemu \(\frac(3)(2)\). Sehemu hii inaitwa kinyume sehemu \(\frac(2)(3)\).

Ikiwa sasa "tutageuza" sehemu \(\frac(3)(2)\), tutapata sehemu asili \(\frac(2)(3)\). Kwa hivyo, sehemu kama \(\frac(2)(3)\) na \(\frac(3)(2)\) huitwa. kinyume.

Kwa mfano, sehemu \(\frac(6)(5) \) na \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) na \(\frac (18) )(7)\).

Kwa kutumia herufi, sehemu zinazofanana zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo: \(\frac(a)(b) \) na \(\frac(b)(a) \)

Ni wazi kwamba bidhaa ya sehemu za kubadilishana ni sawa na 1. Kwa mfano: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Kwa kutumia sehemu zinazofanana, unaweza kupunguza mgawanyiko wa sehemu ili kuzidisha.

Kanuni ya kugawanya sehemu kwa sehemu ni:
Ili kugawanya sehemu moja na nyingine, unahitaji kuzidisha mgawanyiko kwa upatanisho wa mgawanyiko.

Maneno ya sehemu ni ngumu kwa mtoto kuelewa. Watu wengi wana shida na. Wakati wa kusoma mada "kuongeza sehemu na nambari nzima," mtoto huanguka kwenye usingizi, na kupata shida kutatua shida. Katika mifano mingi, kabla ya kufanya kitendo, mfululizo wa mahesabu lazima ufanyike. Kwa mfano, badilisha sehemu au ubadilishe sehemu isiyofaa kuwa sehemu inayofaa.

Hebu tueleze kwa uwazi kwa mtoto. Hebu tuchukue apples tatu, mbili ambazo zitakuwa nzima, na kukata tatu katika sehemu 4. Tenganisha kipande kimoja kutoka kwa apple iliyokatwa, na kuweka tatu iliyobaki karibu na matunda mawili nzima. Tunapata ¼ ya apple upande mmoja na 2 ¾ kwa upande mwingine. Ikiwa tunawaunganisha, tunapata apples tatu. Wacha tujaribu kupunguza maapulo 2 ¾ kwa ¼, ambayo ni, ondoa kipande kingine, tunapata maapulo 2 2/4.

Wacha tuangalie kwa karibu utendakazi na sehemu ambazo zina nambari kamili:

Kwanza, hebu tukumbuke kanuni ya kuhesabu maneno ya sehemu na dhehebu la kawaida:

Kwa mtazamo wa kwanza, kila kitu ni rahisi na rahisi. Lakini hii inatumika tu kwa maneno ambayo hayahitaji uongofu.

Jinsi ya kupata thamani ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti

Katika kazi zingine unahitaji kupata maana ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti. Wacha tuangalie kesi maalum:
3 2/7+6 1/3

Wacha tupate thamani ya usemi huu kwa kutafuta dhehebu la kawaida la sehemu mbili.

Kwa nambari 7 na 3, hii ni 21. Tunaacha sehemu kamili sawa, na kuleta sehemu za sehemu hadi 21, kwa hili tunazidisha sehemu ya kwanza na 3, ya pili na 7, tunapata:
6/21+7/21, usisahau kwamba sehemu nzima haiwezi kubadilishwa. Kama matokeo, tunapata sehemu mbili na dhehebu moja na kuhesabu jumla yao:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Nini ikiwa matokeo ya nyongeza ni sehemu isiyofaa ambayo tayari ina sehemu kamili:
2 1/3+3 2/3
KATIKA kwa kesi hii Tunaongeza sehemu zote na sehemu za sehemu, tunapata:
5 3/3, kama unavyojua, 3/3 ni moja, ambayo ina maana 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Kupata jumla ni wazi, wacha tuangalie kutoa:

Kutoka kwa yote ambayo yamesemwa, sheria ya hatua imeisha nambari mchanganyiko, ambayo inasikika kama hii:

• Ikiwa unahitaji kutoa nambari kamili kutoka kwa usemi wa sehemu, hauitaji kuwakilisha nambari ya pili kama sehemu, inatosha kufanya operesheni tu kwenye sehemu kamili.

Wacha tujaribu kuhesabu maana ya misemo sisi wenyewe:

Hebu tuyatatue mfano zaidi chini ya herufi "m":

4 5/11-2 8/11, nambari ya sehemu ya kwanza ni chini ya ya pili. Ili kufanya hivyo, tunakopa nambari moja kutoka kwa sehemu ya kwanza, tunapata,
3 5/11+11/11=3 nzima 16/11, toa ya pili kutoka sehemu ya kwanza:
3 16/11-2 8/11=1 nzima 8/11

• Kuwa mwangalifu wakati wa kukamilisha kazi, usisahau kubadilisha sehemu zisizofaa kwenye mchanganyiko, ikionyesha sehemu nzima. Ili kufanya hivyo, unahitaji kugawanya thamani ya nambari kwa thamani ya dhehebu, kisha kinachotokea kinachukua nafasi ya sehemu nzima, iliyobaki itakuwa nambari, kwa mfano:

19/4=4 ¾, hebu tuangalie: 4*4+3=19, denominator 4 bado haijabadilika.

Fanya muhtasari:

Kabla ya kuanza kazi inayohusiana na sehemu, inahitajika kuchambua ni aina gani ya usemi, ni mabadiliko gani yanahitajika kufanywa kwenye sehemu ili suluhisho liwe sahihi. Tafuta suluhisho la busara zaidi. Usiende kwa njia ngumu. Panga vitendo vyote, amua kwanza ndani rasimu, kisha uhamishe kwenye daftari lako la shule.

Ili kuzuia machafuko wakati wa kutatua misemo ya sehemu, lazima ufuate sheria ya uthabiti. Amua kila kitu kwa uangalifu, bila kukimbilia.

Katika makala tutaonyesha jinsi ya kutatua sehemu kwenye rahisi mifano wazi. Wacha tujue sehemu ni nini na tuzingatie kutatua sehemu!

Dhana sehemu inaingizwa katika kozi za hisabati kuanzia darasa la 6 la shule ya upili.

Sehemu zina umbo: ±X/Y, ambapo Y ni dhehebu, inaeleza ni sehemu ngapi sehemu nzima iligawanywa, na X ni nambari, inaeleza ni sehemu ngapi kama hizo zilichukuliwa. Kwa uwazi, wacha tuchukue mfano na keki:

Katika kesi ya kwanza, keki ilikatwa kwa usawa na nusu moja ilichukuliwa, i.e. 1/2. Katika kesi ya pili, keki ilikatwa katika sehemu 7, ambazo sehemu 4 zilichukuliwa, i.e. 4/7.

Ikiwa sehemu ya kugawanya nambari moja na nyingine sio nambari nzima, imeandikwa kama sehemu.

Kwa mfano, usemi 4:2 = 2 unatoa nambari kamili, lakini 4:7 haiwezi kugawanywa kwa ujumla, kwa hivyo usemi huu umeandikwa kama sehemu 4/7.

Kwa maneno mengine sehemu ni usemi unaoashiria mgawanyo wa nambari au misemo mbili, na ambao umeandikwa kwa kutumia mkato wa sehemu.

Ikiwa nambari ni chini ya dhehebu, sehemu hiyo ni sawa, ikiwa kinyume chake, ni sehemu isiyofaa. Sehemu inaweza kuwa na nambari nzima.

Kwa mfano, 5 nzima 3/4.

Ingizo hili linamaanisha kwamba ili kupata 6 nzima, sehemu moja ya nne haipo.

Ikiwa unataka kukumbuka, jinsi ya kutatua sehemu kwa daraja la 6, unahitaji kuelewa hilo kutatua sehemu, kimsingi, inakuja kwa kuelewa mambo machache rahisi.

• Sehemu kimsingi ni usemi wa sehemu. Hiyo ni usemi wa nambari ni sehemu gani thamani iliyopewa kutoka nzima moja. Kwa mfano, sehemu ya 3/5 inaeleza kwamba ikiwa tutagawanya kitu kizima katika sehemu 5 na idadi ya hisa au sehemu za hii nzima ni tatu.
• Sehemu inaweza kuwa chini ya 1, kwa mfano 1/2 (au kimsingi nusu), basi ni sahihi. Ikiwa sehemu ni kubwa kuliko 1, kwa mfano 3/2 (nusu tatu au moja na nusu), basi sio sahihi na kurahisisha suluhisho, ni bora kwetu kuchagua sehemu nzima 3/2 = 1 nzima 1. /2.
• Sehemu ni nambari sawa na 1, 3, 10, na hata 100, nambari tu sio nambari nzima lakini sehemu. Unaweza kufanya shughuli zote sawa nao kama na nambari. Kuhesabu sehemu sio ngumu zaidi, na zaidi mifano maalum tutaionyesha.

Jinsi ya kutatua sehemu. Mifano.

Aina mbalimbali za shughuli za hesabu zinatumika kwa sehemu.

Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Kwa mfano, unahitaji kulinganisha sehemu 3/4 na 4/5.

Ili kutatua tatizo, kwanza tunapata kiwango cha chini cha kawaida, i.e. nambari ndogo zaidi, ambayo inaweza kugawanywa bila salio na kila moja ya madhehebu ya sehemu

Kiwango cha chini kabisa cha kawaida (4.5) = 20

Kisha denominator ya sehemu zote mbili hupunguzwa hadi chini kabisa ya kawaida

Jibu: 15/20

Kuongeza na kupunguza sehemu

Ikiwa ni muhimu kuhesabu jumla ya sehemu mbili, kwanza huletwa kwa denominator ya kawaida, kisha nambari zinaongezwa, wakati denominator inabakia bila kubadilika. Tofauti kati ya sehemu huhesabiwa kwa njia ile ile, tofauti pekee ni kwamba nambari zinatolewa.

Kwa mfano, unahitaji kupata jumla ya sehemu 1/2 na 1/3

Sasa hebu tupate tofauti kati ya sehemu 1/2 na 1/4

Kuzidisha na kugawanya sehemu

Hapa kutatua sehemu sio ngumu, kila kitu ni rahisi sana hapa:

• Kuzidisha - nambari na madhehebu ya sehemu huzidishwa pamoja;
• Mgawanyiko - kwanza tunapata inverse ya sehemu ya sehemu ya pili, i.e. Tunabadilisha nambari yake na denominator, baada ya hapo tunazidisha sehemu zinazosababisha.

Kwa mfano:

Hiyo ni juu yake jinsi ya kutatua sehemu, Wote. Ikiwa bado una maswali yoyote kuhusu kutatua sehemu, ikiwa kitu haijulikani, andika kwenye maoni na hakika tutakujibu.

Ikiwa wewe ni mwalimu, basi inawezekana kupakua uwasilishaji kwa Shule ya msingi(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) itakusaidia.