Kuongeza na kuzidisha kwa uwezekano uwezekano wa masharti. Nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana

Uwezekano wa tukio A ni uwiano wa nambari m ya matokeo ya jaribio yanayofaa kwa utokeaji wa tukio A hadi jumla ya nambari n ya matokeo yote yasiyolingana yanawezekana: P(A)=m/n.

Uwezekano wa masharti wa tukio A (au uwezekano wa tukio A, mradi tu tukio B litokee), ni nambari P B (A) = P (AB) / P (B), ambapo A na B ni matukio mawili ya nasibu ya jaribio moja.

Kiasi nambari ya mwisho matukio Tukio linalojumuisha tukio la angalau mmoja wao linaitwa. Jumla ya matukio mawili yanaashiria A+B.

Sheria za kuongeza uwezekano :

matukio ya pamoja A na B:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), ambapo P(A) ni uwezekano wa tukio A, P(B) ni uwezekano wa tukio B, P(A+B) ) ni uwezekano wa kutokea angalau moja ya matukio mawili, P(AB) ni uwezekano wa tukio la pamoja la matukio mawili.
kanuni ya kuongeza uwezekano matukio yasiyolingana A na B:
P(A+B) = P(A)+P(B), ambapo P(A) ni uwezekano wa tukio A, P(B) ni uwezekano wa tukio B.

Bidhaa ya idadi maalum ya matukio inaitwa tukio ambalo kila mmoja wao atatokea. Matokeo ya matukio mawili yanaashiria AB.

Sheria za uwezekano wa kuzidisha :

matukio tegemezi A na B:
P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A), ambapo P A (B) - uwezekano wa masharti tukio la tukio B, ikiwa tukio A tayari limetokea, P B (A) - uwezekano wa masharti ya tukio la tukio A, ikiwa tukio B tayari limetokea;
kanuni ya kuzidisha uwezekano matukio ya kujitegemea A na B:
P(AB) = P(A)*P(B), ambapo P(A) ni uwezekano wa tukio A, P(B) ni uwezekano wa tukio B.

Mifano ya kutatua shida kwenye mada "Operesheni kwenye hafla. Sheria za kuongeza na kuzidisha uwezekano"

Tatizo 1 . Sanduku lina balbu 250 za mwanga, ambazo 100 ni 90W, 50 ni 60W, 50 ni 25W na 50 ni 15W. Bainisha uwezekano huo kwamba nguvu ya balbu yoyote iliyochukuliwa kwa nasibu haitazidi 60W.

Suluhisho.

A = (nguvu ya balbu ya mwanga ni 90 W), uwezekano P (A) = 100/250 = 0.4;
B = (nguvu ya balbu ni 60W);
C = (nguvu ya balbu ni 25W);
D = (nguvu ya balbu ni 15W).

2. Matukio A, B, C, D fomu mfumo kamili , kwa kuwa zote haziendani na moja wapo hakika itatokea ndani uzoefu huu(kuchagua balbu ya mwanga). Uwezekano wa mmoja wao kutokea ni tukio fulani, kisha P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. Matukio (nguvu ya balbu si zaidi ya 60W) (yaani chini ya au sawa na 60W), na (nguvu ya balbu ni zaidi ya 60W) (katika kwa kesi hii- 90W) ni kinyume. Kwa mali nambari zinazopingana P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Kwa kuzingatia kwamba P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), tunapata P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0.6.

Tatizo 2 . Uwezekano wa kugonga lengo kwa risasi moja na mpiga risasi wa kwanza ni 0.7, na kwa mpiga risasi wa pili - 0.9. Tafuta uwezekano huo
a) lengo litapigwa na mpiga risasi mmoja tu;
b) lengo litapigwa na angalau mpiga risasi mmoja.

Suluhisho.
1. Fikiria matukio yafuatayo:
A1 = (mpiga risasi wa kwanza anapiga lengo), P (A1) = 0.7 kutoka kwa hali ya tatizo;
Ā1 = (mchezaji wa kwanza alikosa), wakati P(A1)+P(Ā1) = 1, kwani A1 na Ā1 ni matukio tofauti. Kwa hivyo P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (mpiga risasi wa pili anapiga lengo), P (A2) = 0.9 kutoka kwa hali ya shida;
Ā2 = (mpiga risasi wa pili alikosa), wakati P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1.

2. Tukio A=(mlengwa anapigwa na mpiga risasi mmoja tu) ina maana kuwa moja ya mambo mawili yametokea Sivyo matukio ya pamoja: ama A1A2 au A1A2.
Kwa mujibu wa kanuni ya kuongeza uwezekano P (A)= P(A1A2)+P(A1A2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0.7*0.1=0.07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0.3*0.9=0.27.
Kisha P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)=0.07+0.27=0.34.

3. Tukio B=(lengo lililopigwa na angalau mpiga risasi mmoja) ina maana kwamba shabaha ilipigwa na mpiga risasi wa kwanza, au lengo lilipigwa na mpiga risasi wa pili, au lengo lilipigwa na wapigaji wote wawili.

Tukio B̄=(lengwa haligongwi na mpiga risasiji yeyote) ni kinyume cha tukio B, ambalo linamaanisha P(B)=1-P(B̄).
Tukio B linamaanisha tukio la wakati mmoja Sivyo matukio tegemeziĀ1 na Ā2, kwa hiyo Р(B̄)=Р(Ā1Ā2)= Р(Ā1)*Р(Ā2)=0.3*0.1=0.3.
Kisha P(B)= 1-P(B̄)=1-0.3=0.7.

Tatizo 3 . Tikiti ya mtihani lina maswali matatu. Uwezekano kwamba mwanafunzi atajibu swali la kwanza ni 0.7; kwa pili - 0.9; ya tatu - 0.6. Tafuta uwezekano kwamba mwanafunzi, akiwa amechagua tikiti, atajibu:
a) kwa maswali yote;
d) angalau maswali mawili.

Suluhisho. 1. Fikiria matukio yafuatayo:
A1 = (mwanafunzi alijibu swali la kwanza), P (A1) = 0.7 kutoka kwa hali ya shida;
Ā1 = (mwanafunzi hakujibu swali la kwanza), wakati P(A1)+P(Ā1) = 1, kwani A1 na Ā1 ni matukio kinyume. Kwa hivyo P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (mwanafunzi alijibu swali la pili), P (A2) = 0.9 kutoka kwa hali ya shida;
Ā2 = (mwanafunzi hakujibu swali la pili), wakati P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1;
A3 = (mwanafunzi alijibu swali la tatu), P (A3) = 0.6 kutoka kwa hali ya shida;
Ā3 = (mwanafunzi hakujibu swali la tatu), wakati P(Ā3) = 1-0.6 = 0.4.

2. Tukio A = (mwanafunzi alijibu maswali yote) inamaanisha tukio la wakati mmoja wa matukio ya kujitegemea A1, A2 na A3, i.e. P(A)= P(A1A2A3).Kulingana na kanuni ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378 .
Kisha P(A)= P(A1A2A3)=0.378.

3. Tukio D = (mwanafunzi alijibu angalau maswali mawili) ina maana kwamba maswali yoyote mawili au yote matatu yalijibiwa, i.e. moja ya matukio manne yasiyooana yalitokea: ama A1A2Ā3, au A1Ā2A3, au Ā1A2A3, au A1A2A3.
Kulingana na kanuni ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Kulingana na sheria ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0.7*0.9*0.4=0.252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0.7*0.1*0.6=0.042;
P(Ā1A2A3)= P(Ā1)*P(A2)*P(A3)= 0.3*0.9*0.6=0.162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378.
Kisha P(D)= 0.252+0.042+0.162+0.378= 0.834.

Nadharia ya kuongeza uwezekano

Wacha tuzingatie matukio ya bahati nasibu yasiyolingana.

Inajulikana kuwa matukio ya nasibu yasiyooana $A$ na $B$ katika jaribio moja yana uwezekano wa kutokea $P\left(A\right)$ na $P\left(B\right)$, mtawalia. Wacha tupate uwezekano wa jumla ya $A+B$ ya matukio haya, ambayo ni, uwezekano wa kutokea kwa angalau moja yao.

Wacha tufikirie kuwa katika jaribio fulani idadi ya yote sawa iwezekanavyo matukio ya msingi$n$. Kati ya haya, matukio $A$ na $B$ yanapendelewa na $m_(A) $ na $m_(B) $ matukio ya msingi, mtawalia. Kwa kuwa matukio $A$ na $B$ hayaoani, tukio $A+B$ linapendekezwa na $m_(A) +m_(B)$ matukio ya msingi. Tuna $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Nadharia 1

Uwezekano wa jumla ya matukio mawili yasiyolingana ni sawa na jumla ya uwezekano wao.

Kumbuka 1

Muhimu 1. Uwezekano wa jumla ya idadi yoyote ya matukio yasiyolingana ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya.

Muhimu 2. Jumla ya uwezekano wa kundi kamili la matukio yasiyolingana (jumla ya uwezekano wa matukio yote ya msingi) ni sawa na moja.

Muhimu 3. Jumla ya uwezekano wa matukio tofauti ni sawa na moja, kwani huunda kundi kamili la matukio yasiyolingana.

Mfano 1

Uwezekano kwamba mvua haitawahi kunyesha jijini kwa muda fulani ni $p=0.7$. Tafuta uwezekano wa $q$ kwamba mvua itanyesha katika jiji angalau mara moja wakati huo huo.

Matukio "kwa muda hapakuwa na mvua katika jiji" na "kwa muda fulani ilinyesha katika jiji angalau mara moja" ni kinyume. Kwa hivyo $p+q=1$, imetoka wapi $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Wacha tuzingatie matukio ya pamoja ya nasibu.

Inajulikana kuwa matukio ya pamoja ya nasibu $A$ na $B$ katika jaribio moja yana uwezekano wa kutokea $P\left(A\right)$ na $P\left(B\right)$, mtawalia. Wacha tupate uwezekano wa jumla ya $A+B$ ya matukio haya, ambayo ni, uwezekano wa kutokea kwa angalau moja yao.

Wacha tufikirie kuwa katika jaribio fulani idadi ya matukio yote ya kimsingi yanayowezekana ni $n$. Kati ya haya, matukio $A$ na $B$ yanapendelewa na $m_(A) $ na $m_(B) $ matukio ya msingi, mtawalia. Kwa kuwa matukio $A$ na $B$ yanaoana, basi kati ya jumla ya idadi ya $m_(A) +m_(B) $ matukio ya msingi, idadi fulani ya $m_(AB) $ inapendelea tukio $A. $ na tukio $B $, yaani, tukio lao la pamoja (uzalishaji wa matukio $A\cdot B$). Kiasi hiki $m_(AB) $ iliingia kwa wakati mmoja $m_(A) $ na $m_(B) $ Kwa hivyo tukio $A+B$ linapendelewa na $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ matukio ya msingi. Tuna: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ kulia) $.

Nadharia 2

Uwezekano wa jumla ya matukio mawili ya pamoja ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya ukiondoa uwezekano wa bidhaa zao.

Maoni. Ikiwa matukio $A$ na $B$ hayaendani, basi bidhaa zao $A\cdot B$ ni tukio lisilowezekana, uwezekano wake $P\left(A\cdot B\right)=0$. Kwa hivyo, fomula ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana ni kesi maalum ya fomula ya kuongeza uwezekano wa hafla za pamoja.

Mfano 2

Pata uwezekano kwamba wakati kete mbili zimefungwa wakati huo huo, nambari ya 5 itaonekana angalau mara moja.

Wakati wa kurusha kete mbili kwa wakati mmoja, idadi ya matukio yote ya msingi yanayowezekana ni $n=36$, kwani kwa kila nambari ya kifo cha kwanza nambari sita za kifo cha pili zinaweza kuonekana. Kati ya hizi, tukio $A$ - nambari 5 inayoanguka kwenye kifo cha kwanza - inafanywa mara 6, tukio $ B $ - nambari 5 inayoanguka kwenye kifo cha pili - pia inafanywa mara 6. Kati ya nyakati zote kumi na mbili, nambari 5 inaonekana mara moja kwenye kete zote mbili. Kwa hivyo, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Nadharia ya uwezekano wa kuzidisha

Wacha tuzingatie matukio huru.

Matukio $A$ na $B$ yanayotokea katika majaribio mawili mfululizo huitwa huru ikiwa uwezekano wa kutokea kwa tukio $B$ hautegemei ikiwa tukio $A$ lilitokea au halikutokea.

Kwa mfano, acha kuwe na mipira 2 nyeupe na 2 nyeusi kwenye urn. Jaribio ni kurudisha mpira. Tukio $A$ -- "limetolewa mpira mweupe katika jaribio la kwanza". Uwezekano $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Baada ya jaribio la kwanza, mpira ulirudishwa na jaribio la pili likatekelezwa. Tukio $B$ - - ``mpira mweupe umechorwa katika jaribio la pili." Uwezekano $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Uwezekano $P\left(B\right)$ hautegemei ikiwa tukio $A$ lilifanyika au la, kwa hivyo matukio $A$ na $B$ ni huru.

Inajulikana kuwa matukio huru ya nasibu $A$ na $B$ ya majaribio mawili mfululizo yana uwezekano wa kutokea $P\left(A\right)$ na $P\left(B\right)$, mtawalia. Hebu tupate uwezekano wa bidhaa $A\cdot B$ ya matukio haya, yaani, uwezekano wa tukio lao la pamoja.

Wacha tuchukue kuwa katika jaribio la kwanza idadi ya matukio yote ya kimsingi yanayowezekana ni $n_(1) $. Kati ya hizi, tukio $A$ linapendelewa na matukio ya msingi ya $m_(1)$. Wacha pia tuchukulie kuwa katika jaribio la pili idadi ya matukio yote ya kimsingi yanayowezekana ni $n_(2) $. Kati ya hizi, tukio $B$ linapendelewa na matukio ya msingi ya $m_(2)$. Sasa fikiria tukio jipya la msingi, ambalo lina matukio ya mfululizo kutoka kwa majaribio ya kwanza na ya pili. Jumla ya matukio kama haya ya kimsingi yanayowezekana ni sawa na $n_(1) \cdot n_(2) $. Kwa kuwa matukio $A$ na $B$ ni huru, basi kutoka kwa nambari hii tukio la pamoja la tukio $A$ na tukio $B$ (bidhaa ya matukio $A\cdot B$) linapendekezwa na $m_(1) \ matukio ya cdot m_(2) $ . Tunayo: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\kulia)\cdot P\left(B\right)$.

Nadharia 3

Uwezekano wa bidhaa ya matukio mawili ya kujitegemea ni sawa na bidhaa ya uwezekano wa matukio haya.

Wacha tuangalie matukio tegemezi.

Katika majaribio mawili mfululizo, matukio $A$ na $B$ hutokea. Tukio $B$ linaitwa tegemezi kwa tukio $A$ ikiwa uwezekano wa kutokea kwa tukio $B$ unategemea kama tukio $A$ lilifanyika au halikufanyika. Halafu uwezekano wa tukio $B$, ambao ulikokotolewa chini ya hali ya kuwa tukio $A$ lilifanyika, unaitwa uwezekano wa masharti wa tukio $B$ lililopewa $A$ na inaashiria $P\left(B/A\ kulia) $.

Kwa mfano, acha kuwe na mipira 2 nyeupe na 2 nyeusi kwenye urn. Mtihani ni kuondolewa kwa mpira. Tukio $A$ ni "mpira mweupe hutolewa katika jaribio la kwanza." Uwezekano $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Baada ya mtihani wa kwanza, mpira haurudishwi na mtihani wa pili unafanywa. Tukio $B$ -- ``mpira mweupe umetolewa katika jaribio la pili''. Ikiwa mpira mweupe ulichorwa katika jaribio la kwanza, basi uwezekano ni $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Ikiwa katika jaribio la kwanza mpira mweusi ulitolewa, basi uwezekano ni $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Kwa hivyo, uwezekano wa tukio $B$ unategemea ikiwa tukio $A$ lilitokea au la, kwa hivyo tukio $B$ linategemea tukio $A$.

Tuseme kwamba matukio $A$ na $B$ yanatokea katika majaribio mawili mfululizo. Inajulikana kuwa tukio $A$ lina uwezekano wa kutokea $P\left(A\right)$. Inajulikana pia kuwa tukio $B$ linategemea tukio $A$ na uwezekano wake wa masharti uliopewa $A$ ni sawa na $P\left(B/A\right)$.

Nadharia 4

Uwezekano wa bidhaa ya tukio $A$ na tukio tegemezi $B$, yaani, uwezekano wa kutokea kwao kwa pamoja, unaweza kupatikana kwa fomula $P\left(A\cdot B\right)=P\ kushoto(A\kulia)\cdot P\left(B/A\kulia)$.

Fomula ya ulinganifu $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ pia ni halali, ambapo tukio $A$ inadhaniwa kuwa tegemezi kwa tukio $ B $.

Kwa masharti mfano wa mwisho Wacha tupate uwezekano kwamba mpira mweupe utatolewa katika majaribio yote mawili. Tukio kama hilo ni zao la matukio $A$ na $B$. Uwezekano wake ni sawa na $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1) (3) =\frac(1)(6) $.

Kuongeza na kuzidisha uwezekano. Makala hii itazingatia kutatua matatizo katika nadharia ya uwezekano. Hapo awali, tayari tumechambua baadhi ya kazi rahisi zaidi; ili kuzitatua, inatosha kujua na kuelewa formula (nakushauri kurudia).

Kuna shida zingine ambazo ni ngumu zaidi; kuzitatua unahitaji kujua na kuelewa: sheria ya kuongeza uwezekano, sheria ya uwezekano wa kuzidisha, dhana za matukio tegemezi na huru, matukio tofauti, matukio yanayolingana na yasiyolingana. Usiogope na ufafanuzi, ni rahisi)).Katika makala hii tutazingatia kazi kama hizo.

Nadharia muhimu na rahisi kidogo:

zisizopatana , ikiwa kuonekana kwa mmoja wao hujumuisha kuonekana kwa wengine. Hiyo ni, tukio moja tu maalum au jingine linaweza kutokea.

Mfano wa classic: wakati wa kutupa kete, moja tu inaweza kuja, au mbili tu, au tatu tu, nk. Kila moja ya matukio haya hayaendani na mengine, na kutokea kwa moja yao haijumuishi kutokea kwa jingine (katika jaribio moja). Ni sawa na sarafu-wakati vichwa vinakuja, huondoa uwezekano wa mkia kuja.

Hii inatumika pia kwa mchanganyiko ngumu zaidi. Kwa mfano, taa mbili za taa zimewashwa. Kila mmoja wao anaweza au asichome kwa muda. Kuna chaguzi:

Ya kwanza inaungua na ya pili inawaka
Ya kwanza inaungua na ya pili haina kuchoma
Ya kwanza haiungui na ya pili inaungua
Ya kwanza haiungui na ya pili inaungua.

Chaguzi hizi zote 4 za hafla haziendani - haziwezi kutokea pamoja na hakuna hata moja kati yao na nyingine yoyote ...

Ufafanuzi: Matukio yanaitwa pamoja, ikiwa kuonekana kwa mmoja wao hakuzuii kuonekana kwa mwingine.

Mfano: malkia atachukuliwa kutoka kwenye staha ya kadi na kadi ya spades itachukuliwa kutoka kwenye staha ya kadi. Matukio mawili yanazingatiwa. Matukio haya sio ya kipekee - unaweza kuchora malkia wa jembe na kwa hivyo matukio yote mawili yatatokea.

Kuhusu jumla ya uwezekano

Jumla ya matukio mawili A na B inaitwa tukio A+B, ambayo inajumuisha ukweli kwamba tukio A au tukio B litatokea, au zote mbili kwa wakati mmoja.

Ikiwa zipo zisizopatana matukio A na B, basi uwezekano wa jumla ya matukio haya ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio:

Mfano na kete:

Tunatupa kete. Kuna uwezekano gani wa kukunja nambari chini ya nne?

Nambari chini ya nne ni 1,2,3. Tunajua kwamba uwezekano wa kupata moja ni 1/6, mbili ni 1/6, na tatu ni 1/6. Haya ni matukio yasiyolingana. Tunaweza kutumia kanuni ya kuongeza. Uwezekano wa kukunja nambari chini ya nne ni:

Hakika, ikiwa tunaendelea kutoka kwa dhana ya uwezekano wa classical: basi idadi ya matokeo iwezekanavyo ni 6 (idadi ya pande zote za mchemraba), idadi ya matokeo mazuri ni 3 (kuonekana kwa moja, mbili au tatu). Uwezekano unaohitajika ni 3 hadi 6 au 3/6 = 0.5.

*Uwezekano wa jumla wa matukio mawili ya pamoja ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya bila kuzingatia kutokea kwao kwa pamoja: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

Kuhusu uwezekano wa kuzidisha

Acha matukio mawili yasiyolingana A na B yatokee, uwezekano wao kwa mtiririko huo ni sawa na P (A) na P (B). Zao la matukio mawili A na B ni tukio A B, ambalo linajumuisha ukweli kwamba matukio haya yatatokea kwa pamoja, yaani, tukio A na tukio B litatokea. Uwezekano wa tukio hilo ni sawa na bidhaa ya uwezekano wa matukio A na B.Imehesabiwa kwa formula:

Kama ulivyoona tayari kiunganishi cha kimantiki"Na" inamaanisha kuzidisha.

Mfano na kufa sawa:Tunatupa kete mara mbili. Kuna uwezekano gani wa kukunja sita mbili?

Uwezekano wa kukunja sita mara ya kwanza ni 1/6. Mara ya pili pia ni sawa na 1/6. Uwezekano wa kukunja sita mara ya kwanza na mara ya pili ni sawa na bidhaa ya uwezekano:

Akizungumza kwa lugha rahisi: wakati katika jaribio moja tukio fulani linatokea, NA kisha lingine (mengine) kutokea, basi uwezekano kwamba yatatokea pamoja ni sawa na matokeo ya uwezekano wa matukio haya.

Tulitatua matatizo kwa kutumia kete, lakini tulitumia hoja za kimantiki tu na hatukutumia fomula ya bidhaa. Katika kazi zinazozingatiwa hapa chini, huwezi kufanya bila fomula; au tuseme, pamoja nao itakuwa rahisi na haraka kupata matokeo.

Inastahili kutaja nuance moja zaidi. Wakati wa kufikiri katika kutatua matatizo, dhana ya SAHIHIHI ya matukio hutumiwa. Matukio hutokea SAWASAWA - hii haimaanishi kwamba hutokea kwa sekunde moja (kwa wakati mmoja). Hii ina maana kwamba hutokea kwa muda fulani (ndani ya mtihani mmoja).

Kwa mfano:

Taa mbili zinawaka ndani ya mwaka (inaweza kusema - wakati huo huo ndani ya mwaka)

Mashine mbili huharibika ndani ya mwezi mmoja (mtu anaweza kusema kwa wakati mmoja ndani ya mwezi mmoja)

Kete zimevingirishwa mara tatu (alama zinaonekana kwa wakati mmoja, hii inamaanisha kwenye jaribio moja)

Biathlete alifyatua risasi tano. Matukio (risasi) hutokea wakati wa jaribio moja.

Matukio A na B HURU ikiwa uwezekano wa mojawapo yao hautegemei kutokea au kutotokea kwa tukio lingine.

Wacha tuzingatie majukumu:

Viwanda viwili vinazalisha miwani inayofanana kwa taa za gari. Kiwanda cha kwanza kinazalisha 35% ya glasi hizi, cha pili - 65%. Kiwanda cha kwanza kinazalisha 4% ya glasi yenye kasoro, na pili - 2%. Pata uwezekano kwamba glasi iliyonunuliwa kwa bahati mbaya kwenye duka itakuwa na kasoro.

Kiwanda cha kwanza kinazalisha bidhaa 0.35 (kioo). Uwezekano wa kununua glasi yenye kasoro kutoka kwa kiwanda cha kwanza ni 0.04.

Kiwanda cha pili kinazalisha glasi 0.65. Uwezekano wa kununua glasi yenye kasoro kutoka kwa kiwanda cha pili ni 0.02.

Uwezekano kwamba glasi ilinunuliwa katika kiwanda cha kwanza na kwamba inageuka kuwa na kasoro ni 0.35∙0.04 = 0.0140.

Uwezekano kwamba glasi ilinunuliwa kwenye kiwanda cha pili na kwamba inageuka kuwa na kasoro ni 0.65∙0.02 = 0.0130.

Kununua glasi yenye kasoro kwenye duka inamaanisha kuwa (glasi yenye kasoro) ilinunuliwa AMA kutoka kiwanda cha kwanza AU kutoka kwa kiwanda cha pili. Haya ni matukio yasiyolingana, ambayo ni, tunaongeza uwezekano unaosababishwa:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Jibu: 0.027

Ikiwa babu A. anacheza nyeupe, basi atashinda dhidi ya babu B. na uwezekano wa 0.62. Ikiwa A. atacheza nyeusi, basi A. atashinda dhidi ya B. na uwezekano wa 0.2. Grandmasters A. na B. hucheza michezo miwili, na katika mchezo wa pili hubadilisha rangi ya vipande. Tafuta uwezekano kwamba A. atashinda mara zote mbili.

Uwezekano wa kushinda mchezo wa kwanza na wa pili hautegemei kila mmoja. Inasemekana kuwa babu lazima kushinda mara zote mbili, yaani, kushinda mara ya kwanza NA wakati huo huo kushinda mara ya pili. Katika kesi wakati matukio ya kujitegemea yanapaswa kutokea pamoja, uwezekano wa matukio haya huongezeka, yaani, sheria ya kuzidisha hutumiwa.

Uwezekano wa bidhaa matukio maalum itakuwa sawa na 0.62∙0.2 = 0.124.

Jibu: 0.124

Katika mtihani wa jiometri, mwanafunzi anapata swali moja kutoka kwenye orodha maswali ya mtihani. Uwezekano kwamba hili ni swali la duara lililoandikwa ni 0.3. Uwezekano wa kuwa hili ni swali la Parallelogram ni 0.25. Hakuna maswali ambayo wakati huo huo yanahusiana na mada hizi mbili. Tafuta uwezekano kwamba mwanafunzi atapata swali kwenye mojawapo ya mada hizi mbili kwenye mtihani.

Hiyo ni, inahitajika kupata uwezekano kwamba mwanafunzi atapata swali AIDHA juu ya mada "Mduara Ulioandikwa" AU juu ya mada "Parallelogram". Katika kesi hii, uwezekano ni muhtasari, kwa kuwa haya ni matukio yasiyolingana na yoyote ya matukio haya yanaweza kutokea: 0.3 + 0.25 = 0.55.

*Matukio yasiyolingana ni matukio ambayo hayawezi kutokea kwa wakati mmoja.

Jibu: 0.55

Biathlete hupiga shabaha mara tano. Uwezekano wa kugonga lengo kwa risasi moja ni 0.9. Tafuta uwezekano kwamba mwanariadha anapiga shabaha mara nne za kwanza na kukosa ya mwisho. Zungusha matokeo hadi mia.

Kwa kuwa mwanariadha hupiga shabaha kwa uwezekano wa 0.9, anakosa kwa uwezekano 1 - 0.9 = 0.1

*Miss and hit ni matukio ambayo hayawezi kutokea kwa wakati mmoja kwa risasi moja; jumla ya uwezekano wa matukio haya ni sawa na 1.

Tunazungumza juu ya kutokea kwa matukio kadhaa (ya kujitegemea). Ikiwa tukio hutokea na wakati huo huo tukio lingine (linalofuata) linatokea kwa wakati mmoja (mtihani), basi uwezekano wa matukio haya huongezeka.

Uwezekano wa bidhaa ya matukio ya kujitegemea ni sawa na bidhaa ya uwezekano wao.

Kwa hivyo, uwezekano wa tukio "hit, hit, hit, hit, missed" ni 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561 = 0.06561.

Mzunguko hadi mia karibu zaidi, tunapata 0.07

Jibu: 0.07

Kuna mashine mbili za malipo kwenye duka. Kila mmoja wao anaweza kuwa na makosa na uwezekano wa 0.07, bila kujali mashine nyingine. Tafuta uwezekano kwamba angalau mashine moja inafanya kazi.

Wacha tupate uwezekano kwamba mashine zote mbili ni mbovu.

Matukio haya ni huru, ambayo inamaanisha kuwa uwezekano utakuwa sawa na bidhaa ya uwezekano wa matukio haya: 0.07∙0.07 = 0.0049.

Hii ina maana kwamba uwezekano kwamba mashine zote mbili au moja yao inafanya kazi itakuwa sawa na 1 - 0.0049 = 0.9951.

*Zote mbili zinafanya kazi na mojawapo inafanya kazi kikamilifu - inakidhi hali ya "angalau".

Mtu anaweza kuwasilisha uwezekano wa matukio yote (huru) kujaribiwa:

1. "mwenye dosari" 0.07∙0.07 = 0.0049

2. "kasoro-kasoro" 0.93∙0.07 = 0.0651

3. "kasoro-kasoro" 0.07∙0.93 = 0.0651

4. "kasoro-kasoro" 0.93∙0.93 = 0.8649

Kuamua uwezekano kwamba angalau mashine moja inafanya kazi, ni muhimu kuongeza uwezekano wa matukio ya kujitegemea 2,3 na 4: Tukio la kuaminika tukio ambalo ni hakika kutokea kama matokeo ya uzoefu huitwa. Tukio hilo linaitwa haiwezekani, ikiwa haitokei kamwe kama matokeo ya uzoefu.

Kwa mfano, ikiwa mpira mmoja hutolewa kwa nasibu kutoka kwa sanduku lililo na mipira nyekundu na ya kijani tu, basi kuonekana kwa nyeupe kati ya mipira inayotolewa ni tukio lisilowezekana. Kuonekana kwa nyekundu na kuonekana kwa mipira ya kijani huunda kundi kamili la matukio.

Ufafanuzi: Matukio hayo yanaitwa kwa usawa iwezekanavyo , isipokuwa kuna sababu ya kuamini kwamba mmoja wao ana uwezekano mkubwa wa kuonekana kama matokeo ya uzoefu.

Katika mfano hapo juu, kuonekana kwa mipira nyekundu na kijani kuna uwezekano sawa ikiwa kuna idadi sawa ya mipira nyekundu na kijani kwenye sanduku. Ikiwa kuna mipira mingi nyekundu kwenye sanduku kuliko ya kijani, basi kuonekana kwa mpira wa kijani ni tukio lisilowezekana zaidi kuliko kuonekana kwa nyekundu.

Katika tutaangalia matatizo zaidi ambapo jumla na bidhaa ya uwezekano wa matukio hutumiwa, usikose!

Ni hayo tu. Nakutakia mafanikio!

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh.

Marya Ivanovna anamkemea Vasya:
- Petrov, kwa nini haukuwa shuleni jana?!
"Mama yangu aliosha suruali yangu jana."
- Kwa hiyo?
- Na nilipita nyuma ya nyumba na nikaona kuwa yako ilikuwa ikining'inia. Nilidhani hutakuja.

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Katika Wakati wa kutathmini uwezekano wa kutokea kwa tukio lolote la nasibu, ni muhimu sana kuwa na uelewa mzuri wa kama uwezekano () wa kutokea kwa tukio ambalo tunavutiwa nalo unategemea jinsi matukio mengine yanavyokua.

Kwa upande wa mpango wa kitamaduni, wakati matokeo yote yanawezekana kwa usawa, tunaweza tayari kukadiria maadili ya uwezekano wa tukio la kibinafsi la kupendeza kwetu kwa kujitegemea. Tunaweza kufanya hivyo hata kama tukio ni mkusanyiko tata wa kadhaa matokeo ya msingi. Na ikiwa kuna kadhaa matukio ya nasibu inatokea kwa wakati mmoja au kwa mfuatano? Je, hii inaathiri vipi uwezekano wa tukio ambalo tunataka lifanyike?

Nikikunja dau mara kadhaa na kutaka sita zitokee, na nikiendelea kupata bahati mbaya, je, hiyo inamaanisha niongeze dau langu kwa sababu, kulingana na nadharia ya uwezekano, ninakaribia kupata bahati? Ole, nadharia ya uwezekano haisemi chochote kama hiki. Hakuna kete, hakuna kadi, hakuna sarafu siwezi kukumbuka walichotuonyesha mara ya mwisho. Haijalishi kwao hata kama ni mara ya kwanza au ya kumi ninajaribu bahati yangu leo. Kila wakati ninaporudia safu, najua jambo moja tu: na wakati huu uwezekano wa kupata sita ni moja ya sita tena. Kwa kweli, hii haimaanishi kuwa nambari ninayohitaji haitapatikana kamwe. Hii ina maana tu kwamba hasara yangu baada ya kutupa kwanza na baada ya kutupa nyingine yoyote ni matukio ya kujitegemea.

Matukio A na B yanaitwa kujitegemea, ikiwa utekelezaji wa mmoja wao hauathiri kwa njia yoyote uwezekano wa tukio lingine. Kwa mfano, uwezekano wa kugonga shabaha kwa silaha ya kwanza kati ya mbili hautegemei ikiwa shabaha ilipigwa na silaha nyingine, kwa hivyo matukio "silaha ya kwanza ilipiga shabaha" na "silaha ya pili ilipiga shabaha" ni. kujitegemea.

Ikiwa matukio mawili A na B yanajitegemea, na uwezekano wa kila mmoja wao unajulikana, basi uwezekano wa tukio la wakati huo huo wa tukio A na tukio B (iliyoashiria AB) inaweza kuhesabiwa kwa kutumia theorem ifuatayo.

Nadharia ya uwezekano wa kuzidisha kwa matukio huru

P(AB) = P(A)*P(B)- uwezekano kwa wakati mmoja mwanzo wa mbili kujitegemea matukio ni sawa na kazi uwezekano wa matukio haya.

Mfano.Uwezekano wa kupiga lengo wakati wa kupiga bunduki ya kwanza na ya pili ni sawa sawa: p 1 = 0.7; p 2 =0.8. Pata uwezekano wa kupigwa na salvo moja kwa bunduki zote mbili kwa wakati mmoja.

Suluhisho: kama tulivyoona tayari, matukio A (kupigwa kwa bunduki ya kwanza) na B (kupigwa na bunduki ya pili) ni huru, i.e. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.

Je, nini kinatokea kwa makadirio yetu ikiwa matukio ya awali hayajitegemei? Wacha tubadilishe mfano uliopita kidogo.

Mfano.Wapiga risasi wawili wanalenga shabaha kwenye shindano, na ikiwa mmoja wao atapiga risasi kwa usahihi, mpinzani anaanza kuwa na wasiwasi na matokeo yake yanazidi kuwa mbaya. Jinsi ya kugeuza hali hii ya kila siku kuwa tatizo la hisabati na kueleza njia za kulitatua? Ni wazi kwamba tunahitaji kwa namna fulani kutenganisha chaguzi hizo mbili maendeleo, unda kimsingi matukio mawili, mawili kazi mbalimbali. Katika kesi ya kwanza, ikiwa mpinzani amekosa, hali hiyo itakuwa nzuri kwa mwanariadha wa neva na usahihi wake utakuwa wa juu zaidi. Katika kesi ya pili, ikiwa mpinzani amechukua nafasi yake kwa heshima, uwezekano wa kugonga lengo kwa mwanariadha wa pili hupungua.

Kwa kujitenga matukio iwezekanavyo(mara nyingi huitwa hypotheses) kwa ajili ya maendeleo ya matukio, mara nyingi tutatumia mchoro wa "mti wa uwezekano". Mchoro huu una maana sawa na mti wa uamuzi ambao labda tayari umeshughulikia. Kila tawi inawakilisha hali tofauti kwa ajili ya maendeleo ya matukio, sasa tu ina thamani ya eigen kinachojulikana masharti uwezekano (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Mpango huu ni rahisi sana kwa kuchambua matukio ya nasibu mfululizo.

Inabakia kufafanua swali moja muhimu zaidi: maadili ya awali ya uwezekano hutoka wapi? hali halisi ? Baada ya yote, nadharia ya uwezekano haifanyi kazi na sarafu na kete tu? Kwa kawaida makadirio haya huchukuliwa kutoka kwa takwimu, na wakati maelezo ya takwimu hayapatikani, tunafanya utafiti wetu wenyewe. Na mara nyingi tunapaswa kuianza sio kwa kukusanya data, lakini kwa swali la habari gani tunahitaji.

Mfano.Hebu sema tunahitaji kukadiria katika jiji lenye wakazi laki moja kiasi cha soko kwa bidhaa mpya ambayo si kitu muhimu, kwa mfano, kwa balm kwa ajili ya huduma ya nywele za rangi. Hebu fikiria mchoro wa "mti wa uwezekano". Katika kesi hii, tunahitaji takriban kukadiria thamani ya uwezekano kwenye kila "tawi". Kwa hivyo, makadirio yetu ya uwezo wa soko:

1) ya wakazi wote wa jiji, 50% ni wanawake,

2) ya wanawake wote, 30% tu hupaka nywele zao mara kwa mara;

3) kati yao, 10% tu hutumia balms kwa nywele za rangi,

4) kati yao, 10% tu wanaweza kupata ujasiri wa kujaribu bidhaa mpya,

5) 70% yao kawaida hununua kila kitu sio kutoka kwetu, lakini kutoka kwa washindani wetu.

Suluhisho: Kwa mujibu wa sheria ya kuzidisha uwezekano, tunaamua uwezekano wa tukio ambalo tunapendezwa na A = (mkazi wa jiji hununua balm hii mpya kutoka kwetu) = 0.00045.

Hebu tuzidishe thamani hii ya uwezekano kwa idadi ya wakazi wa jiji. Kwa hiyo, tuna wateja 45 pekee, na kwa kuzingatia kwamba chupa moja ya bidhaa hii hudumu kwa miezi kadhaa, biashara sio ya kusisimua sana.

Na bado kuna faida fulani kutoka kwa tathmini zetu.

Kwanza, tunaweza kulinganisha utabiri wa maoni tofauti ya biashara; watakuwa na "uma" tofauti kwenye michoro, na, kwa kweli, maadili ya uwezekano pia yatakuwa tofauti.

Pili, kama tulivyokwisha sema, thamani ya nasibu Haiitwi nasibu kwa sababu haitegemei chochote hata kidogo. Yeye tu halisi maana haijulikani mapema. Tunajua kwamba wastani wa idadi ya wanunuzi inaweza kuongezeka (kwa mfano, kwa kutangaza bidhaa mpya). Kwa hivyo inaleta maana kuelekeza juhudi zetu kwenye hizo "uma" ambapo usambazaji wa uwezekano hautufai sisi haswa, kwa sababu hizo ambazo tunaweza kushawishi.

Hebu tuangalie moja zaidi mfano wa kiasi utafiti juu ya tabia ya ununuzi.

Mfano. Kwa wastani, watu 10,000 hutembelea soko la chakula kwa siku. Uwezekano wa mgeni wa soko kuingia kwenye banda la bidhaa za maziwa ni 1/2. Inafahamika kuwa banda hili linauza wastani wa kilo 500 za bidhaa mbalimbali kwa siku.

Je, tunaweza kusema kwamba ununuzi wa wastani katika banda una uzito wa g 100 tu?

Majadiliano. Bila shaka hapana. Ni wazi kuwa si kila aliyeingia kwenye banda hilo aliishia kununua kitu pale.

Kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro, kujibu swali juu ya uzito wa wastani wa ununuzi, lazima tupate jibu la swali, ni uwezekano gani kwamba mtu anayeingia kwenye banda atanunua kitu hapo. Ikiwa hatuna data kama hii, lakini tunaihitaji, itabidi tuipate sisi wenyewe kwa kuangalia wageni kwenye banda kwa muda. Hebu tuseme uchunguzi wetu ulionyesha kwamba ni tano tu ya wageni wa banda kununua kitu.

Mara tu tumepata makadirio haya, kazi inakuwa rahisi. Kati ya watu 10,000 wanaofika sokoni, 5,000 watakwenda kwenye banda la bidhaa za maziwa, kutakuwa na ununuzi 1,000 tu. Wastani wa uzito wa ununuzi ni gramu 500. Inafurahisha kutambua kwamba kujenga picha kamili ikitokea, mantiki ya "kuweka matawi" kwa masharti lazima ifafanuliwe katika kila hatua ya hoja zetu kwa uwazi kana kwamba tunafanya kazi na hali ya "halisi", na sio kwa uwezekano.

Kazi za kujipima

1. Hebu iwe mzunguko wa umeme, inayojumuisha vipengele vilivyounganishwa na mfululizo, ambayo kila mmoja hufanya kazi kwa kujitegemea na wengine.

Uwezekano wa p wa kushindwa kwa kila kipengele unajulikana. Kuamua uwezekano wa uendeshaji sahihi wa sehemu nzima ya mzunguko (tukio A).

2. Mwanafunzi anajua maswali 20 kati ya 25 ya mtihani. Tafuta uwezekano kwamba mwanafunzi anajua maswali matatu aliyopewa na mtahini.

3. Uzalishaji una hatua nne za mfululizo, kwa kila moja ambayo vifaa vinafanya kazi, ambayo uwezekano wa kushindwa kwa mwezi ujao ni sawa na p 1, p 2, p 3 na p 4, kwa mtiririko huo. Pata uwezekano kwamba hakutakuwa na kusimamishwa kwa uzalishaji kwa sababu ya hitilafu ya vifaa kwa mwezi.

Dhana za Msingi
Matukio huitwa yasiokubaliana ikiwa tukio la mojawapo halijumuishi tukio la matukio mengine katika jaribio sawa. Vinginevyo wanaitwa pamoja.
Kundi kamili ni seti ya matukio, mchanganyiko ambao ni tukio la kuaminika.
Matukio mawili pekee yanayowezekana ambayo huunda kikundi kamili yanaitwa kinyume.
Matukio huitwa tegemezi ikiwa uwezekano wa tukio la mmoja wao unategemea tukio au kutotokea kwa matukio mengine.
Matukio huitwa huru ikiwa uwezekano wa mmoja wao hautegemei tukio au kutotokea kwa wengine.
Nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana
P(A+B)=P(A)+P(B),
ambapo A, B ni matukio yasiyooani.

Nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio ya pamoja
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), ambapo A na B ni matukio ya pamoja.

Nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru
,
ambapo A na B ni matukio huru.
Nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio tegemezi
P(AB)=P(A)P A (B),
ambapo P A (B) ni uwezekano wa kutokea kwa tukio B, mradi tukio A limetokea; A na B ni matukio tegemezi.

Jukumu la 1.
Mshambuliaji anapiga risasi mbili kwa lengo. Uwezekano wa kupiga kila risasi ni 0.8. Tunga kikundi kamili cha matukio na upate uwezekano wao. Suluhisho.
Jaribio - Risasi mbili zinapigwa kwa lengo.
Tukio A- alikosa mara zote mbili.
Tukio KATIKA- piga mara moja.
Tukio NA- piga mara zote mbili.
.

Udhibiti: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Jukumu la 2.
Kulingana na utabiri wa wataalamu wa hali ya hewa, P(mvua)=0.4; P(upepo)=0.7; R(mvua na upepo)=0.2. Kuna uwezekano gani wa mvua au upepo? Suluhisho. Kwa nadharia ya kuongeza uwezekano na kwa sababu ya utangamano wa matukio yaliyopendekezwa, tunayo:
P(mvua au upepo au zote mbili)=P(mvua) +P(upepo) -P(mvua na upepo)=0.4+0.7-0.2=0.9.
Jukumu la 3.
Katika kituo cha kuondoka kuna maagizo 8 ya bidhaa za kutumwa: tano kwa usafirishaji wa ndani na tatu kwa usafirishaji. Kuna uwezekano gani kwamba maagizo mawili yaliyochaguliwa bila mpangilio yatakuwa ya matumizi ya nyumbani? Suluhisho. Tukio A- agizo la kwanza kuchukuliwa bila mpangilio liko ndani ya nchi. Tukio KATIKA- ya pili pia imekusudiwa kwa matumizi ya nyumbani. Tunahitaji kupata uwezekano. Kisha, kwa nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio tegemezi, tuna

Jukumu la 4.
Kutoka kwa kundi la bidhaa, muuzaji huchagua bila mpangilio bidhaa za daraja la juu zaidi. Uwezekano kwamba kipengee kilichochaguliwa kitakuwa cha ubora zaidi ni 0.8; daraja la kwanza - 0.7; daraja la pili - 0.5. Tafuta uwezekano kwamba kati ya bidhaa tatu zilizochaguliwa kwa nasibu kutakuwa na:
a) daraja mbili tu za malipo;
b) kila mtu ni tofauti. Suluhisho. Hebu tukio liwe bidhaa ya ubora wa juu; tukio - bidhaa ya darasa la kwanza; tukio ni bidhaa ya daraja la pili.
Kulingana na hali ya shida; ; Matukio ni huru.
a) Tukio A- bidhaa mbili tu za hali ya juu zitaonekana kama hii wakati huo

b) Tukio KATIKA- bidhaa zote tatu ni tofauti - wacha tuiweke hivi: , Kisha.
Jukumu la 5.
Uwezekano wa kugonga shabaha wakati wa kufyatua risasi kutoka kwa bunduki tatu ni kama ifuatavyo. p1= 0,8; p2=0,7; p3=0.9. Tafuta uwezekano wa angalau hit moja (tukio A) na salvo moja kutoka kwa bunduki zote. Suluhisho. Uwezekano wa kila bunduki kugonga lengo hautegemei matokeo ya kurusha kutoka kwa bunduki zingine, kwa hivyo matukio yanayozingatiwa (kupigwa na bunduki ya kwanza), (kupigwa na bunduki ya pili) na (kupigwa na bunduki ya tatu) ni huru. kwa jumla.
Uwezekano wa matukio matukio kinyume(yaani uwezekano wa kukosa) ni sawa na:

Uwezekano unaohitajika
Jukumu la 6.
Nyumba ya uchapishaji ina mashine 4 za uchapishaji. Kwa kila mashine, uwezekano kwamba inafanya kazi kwa sasa ni 0.9. Tafuta uwezekano kwamba angalau mashine moja inafanya kazi kwa sasa (tukio A). Suluhisho. Matukio "mashine inafanya kazi" na "mashine haifanyi kazi" (kwa sasa) ni kinyume, kwa hivyo jumla ya uwezekano wao ni sawa na moja:
Kwa hivyo uwezekano kwamba mashine haifanyi kazi kwa sasa ni sawa
Uwezekano unaohitajika. Tatizo 7. B chumba cha kusoma Kuna vitabu 6 vya kiada juu ya nadharia ya uwezekano, vitatu kati yao vimefungwa. Msimamizi wa maktaba alichukua vitabu viwili vya kiada bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba vitabu vyote viwili vya kiada vitafungwa.

Suluhisho. Fikiria matukio yafuatayo:
A1 - kitabu cha kwanza kilichofungwa kilichochukuliwa;
A2 ni kitabu cha pili cha maandishi kilichochukuliwa.
Tukio linalojumuisha ukweli kwamba vitabu vyote viwili vilivyochukuliwa vimefungwa. Matukio A1 na A2 yanategemeana, kwani uwezekano wa kutokea kwa tukio A2 unategemea kutokea kwa tukio A1. Ili kutatua tatizo hili, tunatumia nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio tegemezi:.
Uwezekano wa kutokea kwa tukio A1 p(A1) kwa mujibu wa ufafanuzi wa classical uwezekano:
P(A1)=m/n=3/6=0.5.
Uwezekano wa tukio la tukio A2 imedhamiriwa na uwezekano wa masharti ya tukio la tukio A2 kulingana na tukio la tukio A1, i.e. (A2)==0.4.
Kisha uwezekano unaohitajika wa tukio kutokea:
P(A)=0.5*0.4=0.2.