Tofauti nasibu inabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji. Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)

Tofauti na tofauti tofauti ya nasibu, vigeu vya nasibu vinavyoendelea haviwezi kubainishwa katika mfumo wa jedwali la sheria yake ya usambazaji kwani haiwezekani kuorodhesha na kuandika maadili yake yote katika mlolongo fulani. Njia moja iwezekanayo ya kubainisha kigezo kisichobadilika kinachoendelea ni kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji.

UFAFANUZI. Chaguo za kukokotoa za usambazaji ni chaguo la kukokotoa ambalo huamua uwezekano kwamba kigezo bila mpangilio kitachukua thamani ambayo inawakilishwa kwenye mhimili wa nambari na nukta iliyo upande wa kushoto wa nukta x, i.e.

Wakati mwingine badala ya neno "Kazi ya Usambazaji" neno "Kazi muhimu" hutumiwa.

Sifa za kitendakazi cha usambazaji:

1. Thamani za chaguo za kukokotoa za usambazaji ni za sehemu: 0F(x)1
2. F (x) ni kazi isiyopungua, i.e. F(x 2)F(x 1), ikiwa x 2 >x 1

Muhimu 1. Uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kitachukua thamani iliyo katika muda (a,b) ni sawa na ongezeko la chaguo za kukokotoa za usambazaji kwenye kipindi hiki:

P (aX

Mfano 9. Kigezo cha X kinatolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji:

Pata uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani ya muda (0;2): P(0)

Suluhisho: Kwa kuwa kwa muda (0;2) kwa hali, F(x)=x/4+1/4, kisha F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Kwa hivyo P (0

Ujazo wa 2. Uwezekano kwamba kigezo endelevu cha X kitachukua thamani moja mahususi ni sifuri.

Muhimu 3. Ikiwezekana thamani za kigezo cha nasibu ni za muda (a;b), basi: 1) F(x)=0 kwa xa; 2) F(x)=1 kwa xb.
Mahusiano ya kikomo yafuatayo ni halali:

Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji iko kwenye bendi iliyopunguzwa na mistari iliyonyooka y=0, y=1 (mali ya kwanza). Kadiri x inavyoongezeka katika muda (a;b), ambayo ina thamani zote zinazowezekana za utofauti wa nasibu, grafu "huinuka". Katika xa, ratibu za grafu ni sawa na sifuri; kwa xb kuratibu za grafu ni sawa na moja:

Picha 1

Mfano 10. Tofauti ya nasibu ya X inatolewa na jedwali la usambazaji:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Pata kitendakazi cha usambazaji na upange.
Suluhisho: Kazi ya usambazaji inaweza kuandikwa kwa uchanganuzi kama ifuatavyo:

Kielelezo-2

UFAFANUZI: Msongamano wa usambaaji wa uwezekano wa kigezo kisichobadilika cha X ni chaguo za kukokotoa f(x) - kitomio cha kwanza cha chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x): f(x)=F"(x)

Kutoka kwa ufafanuzi huu inafuata kwamba chaguo za kukokotoa za usambazaji ni kipingamizi cha msongamano wa usambazaji.

Nadharia. Uwezekano kwamba mabadiliko ya nasibu ya X yanayoendelea yatachukua thamani ya muda (a;b) ni sawa na kiungo fulani cha msongamano wa usambazaji, unaochukuliwa katika masafa kutoka a hadi b:

(8)

Sifa za usambazaji wa wiani wa uwezekano:

1. Msongamano wa uwezekano ni chaguo za kukokotoa zisizo hasi: f(x)0.
2. Kiunganishi dhahiri kutoka -∞ hadi +∞ cha msongamano wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea ni sawa na 1: f(x)dx=1.
3. Kiunganishi dhahiri kutoka -∞ hadi x cha msongamano wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea ni sawa na chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigezo hiki: f(x)dx=F(x)

Mfano wa 11. Msongamano wa uwezekano wa usambazaji wa kigezo cha nasibu X umetolewa

Pata uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani ya muda (0.5;1).

Suluhisho: Uwezekano unaohitajika:

Wacha tuongeze ufafanuzi wa sifa za nambari za idadi tofauti hadi idadi inayoendelea. Acha kigezo endelevu cha X kibainishwe na msongamano wa usambazaji f(x).

UFAFANUZI. Matarajio ya hisabati ya mabadiliko yasiyo ya kawaida ya X, maadili yanayowezekana ambayo ni ya sehemu , inaitwa kiungo dhahiri:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ikiwezekana maadili ni ya mhimili mzima wa Ox, basi:

M(x)=xf(x)dx (10)

Hali ya M 0 (X) ya mabadiliko ya nasibu ya X ni thamani yake inayowezekana ambayo upeo wa ndani wa msongamano wa usambazaji unalingana.

Wastani wa M e (X) wa utofauti unaoendelea wa X ni thamani yake inayowezekana, ambayo imedhamiriwa na usawa:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

UFAFANUZI. Tofauti ya utofauti unaoendelea wa nasibu ni matarajio ya hisabati ya mraba wa mkengeuko wake. Ikiwezekana maadili ya X ni ya sehemu , basi:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
au
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ikiwa maadili yanayowezekana ni ya mhimili wote wa x, basi.

Tofauti bila mpangilio ni tofauti ambayo inaweza kuchukua maadili fulani kulingana na hali mbalimbali, na kutofautiana kwa nasibu kunaitwa kuendelea , ikiwa inaweza kuchukua thamani yoyote kutoka kwa muda wowote mdogo au usio na kikomo. Kwa tofauti inayoendelea ya nasibu, haiwezekani kuashiria maadili yote yanayowezekana, kwa hivyo tunateua vipindi vya maadili haya ambayo yanahusishwa na uwezekano fulani.

Mifano ya vigeu vya nasibu vinavyoendelea ni pamoja na: kipenyo cha sehemu inayosagwa kwa saizi fulani, urefu wa mtu, safu ya ndege ya projectile, n.k.

Kwa kuwa kwa vibadala vya nasibu vinavyoendelea kazi F(x), Tofauti tofauti tofauti za nasibu, haina kuruka popote, basi uwezekano wa thamani yoyote ya mtu binafsi ya kutofautiana kwa nasibu inayoendelea ni sifuri.

Hii inamaanisha kuwa kwa utofauti unaoendelea wa nasibu haina maana kuzungumza juu ya usambazaji wa uwezekano kati ya maadili yake: kila moja ina uwezekano wa sifuri. Walakini, kwa maana, kati ya maadili ya kutofautisha kwa nasibu kuna "zaidi na chini ya uwezekano". Kwa mfano, hakuna mtu anayeweza kutilia shaka kuwa thamani ya kutofautisha kwa nasibu - urefu wa mtu aliyekutana nasibu - 170 cm - ina uwezekano zaidi ya cm 220, ingawa maadili yote mawili yanaweza kutokea kwa mazoezi.

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kigeuzo kisicho na mpangilio na msongamano wa uwezekano

Kama sheria ya usambazaji ambayo ina mantiki tu kwa anuwai zinazoendelea za nasibu, dhana ya msongamano wa usambazaji au wiani wa uwezekano huletwa. Wacha tuikaribie kwa kulinganisha maana ya chaguo za kukokotoa za usambazaji kwa utofauti unaoendelea wa nasibu na kwa tofauti tofauti isiyo ya kawaida.

Kwa hivyo, kazi ya usambazaji ya tofauti ya nasibu (yote tofauti na inayoendelea) au kazi muhimu inaitwa chaguo la kukokotoa ambalo huamua uwezekano kuwa thamani ya kigezo cha nasibu X chini ya au sawa na thamani ya kikomo X.

Kwa kutofautisha kwa nasibu kwa alama za maadili yake x1 , x 2 , ..., x mimi,... wingi wa uwezekano ni kujilimbikizia uk1 , uk 2 , ..., uk mimi,..., na jumla ya raia wote ni sawa na 1. Hebu tuhamishe tafsiri hii kwa kesi ya kutofautiana kwa nasibu mfululizo. Wacha tufikirie kuwa misa sawa na 1 haijasisitizwa katika sehemu za kibinafsi, lakini "hupigwa" kila wakati kwenye mhimili wa abscissa. Oh na msongamano fulani usio sawa. Uwezekano wa kutofautiana nasibu kuanguka katika eneo lolote Δ x itafasiriwa kama misa kwa kila sehemu, na msongamano wa wastani katika sehemu hiyo kama uwiano wa misa kwa urefu. Tumeanzisha dhana muhimu hivi punde katika nadharia ya uwezekano: msongamano wa usambazaji.

Uwezekano wiani f(x) ya utofauti unaoendelea bila mpangilio ni derivative ya chaguo za kukokotoa za usambazaji:

.

Kujua chaguo za kukokotoa za msongamano, unaweza kupata uwezekano kwamba thamani ya utofauti unaoendelea ni wa muda uliofungwa [ a; b]:

uwezekano wa kutofautiana kwa nasibu endelevu X itachukua thamani yoyote kutoka kwa muda [ a; b], ni sawa na kiunganishi fulani cha msongamano wake wa uwezekano kuanzia a kabla b:

.

Katika kesi hii, formula ya jumla ya kazi F(x) usambaaji wa uwezekano wa kigezo endelevu cha nasibu, ambacho kinaweza kutumika ikiwa kazi ya kukokotoa ya msongamano inajulikana f(x) :

.

Grafu ya msongamano wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea kinaitwa mkunjo wake wa usambazaji (takwimu hapa chini).

Sehemu ya takwimu (iliyo na kivuli kwenye takwimu) iliyofungwa na curve, mistari iliyonyooka kutoka kwa vidokezo. a Na b perpendicular kwa mhimili wa x, na mhimili Oh, huonyesha kwa picha uwezekano kwamba thamani ya kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea X iko ndani ya safu ya a kabla b.

Sifa za kitendakazi cha uwezekano wa msongamano wa kigeu kisicho na mpangilio kinachoendelea

1. Uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kitachukua thamani yoyote kutoka kwa muda (na eneo la kielelezo ambalo limezuiwa na grafu ya chaguo za kukokotoa. f(x) na mhimili Oh) ni sawa na moja:

2. Chaguo za kukokotoa za uwezekano haziwezi kuchukua thamani hasi:

na nje ya kuwepo kwa usambazaji thamani yake ni sifuri

Uzito wa usambazaji f(x), pamoja na chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x), ni moja wapo ya aina za sheria ya usambazaji, lakini tofauti na chaguo za kukokotoa za usambazaji, sio za ulimwengu wote: msongamano wa usambazaji upo tu kwa anuwai za nasibu zinazoendelea.

Hebu tutaje aina mbili muhimu zaidi za usambazaji wa kutofautiana kwa nasibu kwa mazoezi.

Ikiwa chaguo za kukokotoa za msongamano wa usambazaji f(x) utofauti unaoendelea wa nasibu katika muda fulani [ a; b] inachukua thamani isiyobadilika C, na nje ya muda inachukua thamani sawa na sifuri, basi hii usambazaji unaitwa sare .

Ikiwa grafu ya kazi ya msongamano wa usambazaji ni ya ulinganifu juu ya kituo, maadili ya wastani yanajilimbikizia karibu na kituo, na wakati wa kusonga kutoka katikati, tofauti zaidi na wastani hukusanywa (grafu ya kazi inafanana na sehemu. ya kengele), basi hii usambazaji inaitwa kawaida .

Mfano 1. Chaguo la kukokotoa la usambazaji wa uwezekano wa kigezo endelevu cha nasibu kinajulikana:

Tafuta kipengele f(x) msongamano wa uwezekano wa kigeu kisicho na mpangilio kinachoendelea. Tengeneza grafu za vitendaji vyote viwili. Tafuta uwezekano kwamba utofauti unaoendelea wa nasibu utachukua thamani yoyote katika muda kutoka 4 hadi 8: .

Suluhisho. Tunapata chaguo za kukokotoa za uwezekano wa msongamano kwa kutafuta densi ya chaguo za kukokotoa za usambaaji:

Grafu ya kipengele F(x) - parabola:

Grafu ya kipengele f(x) - moja kwa moja:

Wacha tupate uwezekano kwamba utofauti unaoendelea wa nasibu utachukua thamani yoyote katika masafa kutoka 4 hadi 8:

Mfano 2. Kazi ya msongamano wa uwezekano wa kigezo kisichobadilika kinachoendelea kinatolewa kama:

Hesabu mgawo C. Tafuta kipengele F(x) uwezekano wa usambazaji wa kigeu kisicho na mpangilio kinachoendelea. Tengeneza grafu za vitendaji vyote viwili. Pata uwezekano kwamba kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea kitachukua thamani yoyote katika masafa kutoka 0 hadi 5: .

Suluhisho. Mgawo C tunapata, kwa kutumia mali 1 ya chaguo la kukokotoa la uwezekano:

Kwa hivyo, kitendakazi cha msongamano wa uwezekano wa kutofautisha bila mpangilio ni:

Kwa kuunganisha, tunapata kazi F(x) uwezekano wa usambazaji. Kama x < 0 , то F(x) = 0 . Ikiwa 0< x < 10 , то

.

x> 10, basi F(x) = 1 .

Kwa hivyo, rekodi kamili ya chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano ni:

Grafu ya kipengele f(x) :

Grafu ya kipengele F(x) :

Wacha tupate uwezekano kwamba utofauti unaoendelea wa nasibu utachukua thamani yoyote katika masafa kutoka 0 hadi 5:

Mfano 3. Uwezekano msongamano wa kutofautiana kwa nasibu endelevu X inatolewa kwa usawa, na. Tafuta mgawo A, uwezekano wa kutofautiana kwa nasibu endelevu X itachukua thamani yoyote kutoka kwa muda ]0, 5[, chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kibadilika kisichobadilika kisichobadilika X.

Suluhisho. Kwa hali tunafikia usawa

Kwa hivyo, kutoka wapi. Kwa hiyo,

.

Sasa tunapata uwezekano kwamba mabadiliko ya nasibu endelevu X itachukua thamani yoyote kutoka kwa muda ]0, 5[:

Sasa tunapata kazi ya usambazaji ya utofauti huu wa nasibu:

Mfano 4. Pata msongamano wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea X, ambayo inachukua tu thamani zisizo hasi, na kazi yake ya usambazaji .

Sura ya 1. Tofauti tofauti bila mpangilio

§ 1. Dhana za kutofautiana bila mpangilio.

Sheria ya usambazaji ya kigeu kisicho na mpangilio maalum.

Ufafanuzi : Nasibu ni kiasi ambacho, kama matokeo ya majaribio, huchukua thamani moja tu kati ya seti inayowezekana ya maadili yake, haijulikani mapema na kulingana na sababu za nasibu.

Kuna aina mbili za anuwai za nasibu: dhabiti na endelevu.

Ufafanuzi : Tofauti ya nasibu X inaitwa tofauti (isiyoendelea) ikiwa seti ya thamani zake ni ya mwisho au isiyo na kikomo lakini inaweza kuhesabika.

Kwa maneno mengine, maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio maalum yanaweza kuhesabiwa tena.

Tofauti ya nasibu inaweza kuelezewa kwa kutumia sheria yake ya usambazaji.

Ufafanuzi : Sheria ya usambazaji ya kigeu kisicho na mpangilio maalum piga mawasiliano kati ya maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio na uwezekano wao.

Sheria ya usambazaji wa tofauti isiyo ya kawaida ya X inaweza kutajwa kwa namna ya jedwali, katika safu ya kwanza ambayo maadili yote yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu yanaonyeshwa kwa mpangilio wa kupanda, na katika safu ya pili uwezekano unaolingana wa hizi. maadili, i.e.

ambapo р1+ р2+…+ рn=1

Jedwali kama hilo linaitwa safu ya usambazaji ya anuwai ya nasibu isiyo na maana.

Ikiwa seti ya thamani zinazowezekana za kutofautisha nasibu haina kikomo, basi mfululizo p1+ p2+…+ pn+… huungana na jumla yake ni sawa na 1.

Sheria ya usambazaji ya kigezo cha nasibu cha X kinaweza kuonyeshwa kwa michoro, ambayo mstari uliovunjika hujengwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, unaounganisha pointi kwa mpangilio na viwianishi (xi; pi), i=1,2,…n. Mstari unaosababishwa unaitwa poligoni ya usambazaji (Mchoro 1).

Kemia-hai" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">kemia-hai ni 0.7 na 0.8, mtawalia. Chora sheria ya usambazaji kwa mabadiliko ya nasibu X - idadi ya mitihani ambayo mwanafunzi atafaulu.

Suluhisho. Tofauti inayozingatiwa nasibu X kama matokeo ya mtihani inaweza kuchukua moja ya maadili yafuatayo: x1=0, x2=1, x3=2.

Wacha tupate uwezekano wa maadili haya.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Kwa hivyo, sheria ya usambazaji wa mabadiliko ya nasibu X inatolewa na jedwali:

Udhibiti: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. Kazi ya usambazaji

Maelezo kamili ya kigezo cha nasibu pia hutolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji.

Ufafanuzi: Chaguo za kukokotoa za ugawaji wa kigezo cha nasibu cha X inaitwa chaguo za kukokotoa F(x), ambayo huamua kwa kila thamani x uwezekano kwamba kigezo cha nasibu X kitachukua thamani chini ya x:

F(x)=P(X<х)

Kijiometri, kipengele cha kukokotoa cha usambazaji kinafasiriwa kama uwezekano kwamba kigezo bila mpangilio X kitachukua thamani ambayo inawakilishwa kwenye mstari wa nambari na nukta iliyo upande wa kushoto wa nukta x.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) ni chaguo la kukokotoa lisilopungua kwenye (-∞;+∞);

3) F (x) - kuendelea upande wa kushoto kwa pointi x= xi (i=1,2,...n) na kuendelea katika pointi nyingine zote;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ikiwa sheria ya usambazaji ya tofauti isiyo ya kawaida ya X imetolewa kwa namna ya jedwali:

basi chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) huamuliwa na fomula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 kwa x≤ x1,

р1 kwa x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 kwa x2< х≤ х3

1 kwa x>xn.

Grafu yake imeonyeshwa kwenye Mchoro 2:

§ 3. Sifa za nambari za kigeu kisicho na mpangilio maalum.

Moja ya sifa muhimu za nambari ni matarajio ya hisabati.

Ufafanuzi: Matarajio ya hisabati M(X) kutofautisha bila mpangilio X ni jumla ya bidhaa za maadili yake yote na uwezekano wao unaolingana:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matarajio ya hisabati hutumika kama sifa ya thamani ya wastani ya kigezo cha nasibu.

Tabia za matarajio ya hisabati:

1)M(C)=C, ambapo C ni thamani ya kudumu;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), ambapo X,Y ni vigeu vya nasibu vinavyojitegemea;

5)M(X±C)=M(X)±C, ambapo C ni thamani ya kudumu;

Ili kuashiria kiwango cha mtawanyiko wa maadili yanayowezekana ya tofauti isiyo ya kawaida karibu na thamani yake ya wastani, tumia utawanyiko.

Ufafanuzi: Tofauti D ( X ) kutofautisha bila mpangilio X ni tarajio la hisabati la mkengeuko wa mraba wa kigezo bila mpangilio kutoka kwa matarajio yake ya hisabati:

Tabia za utawanyiko:

1)D(C)=0, ambapo C ni thamani isiyobadilika;

2)D(X)>0, ambapo X ni kigezo cha nasibu;

3)D(C X)=C2 D(X), ambapo C ni thamani ya kudumu;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ambapo X,Y ni vigeu vya nasibu vinavyojitegemea;

Ili kuhesabu tofauti mara nyingi ni rahisi kutumia formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

ambapo M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Lahaja D(X) ina kipimo cha kigezo cha nasibu chenye mraba, ambacho si rahisi kila wakati. Kwa hivyo, thamani √D(X) pia inatumika kama kiashiria cha mtawanyiko wa maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio.

Ufafanuzi: Mkengeuko wa kawaida σ(X) kutofautisha bila mpangilio X kunaitwa mzizi wa mraba wa tofauti:

Kazi nambari 2. Tofauti isiyo ya kawaida ya X imeainishwa na sheria ya usambazaji:

Pata P2, kazi ya usambazaji F (x) na upange grafu yake, pamoja na M (X), D (X), σ (X).

Suluhisho: Kwa kuwa jumla ya uwezekano wa maadili yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio X ni sawa na 1, basi

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

Hebu tutafute kitendakazi cha usambazaji F(x)=P(X

Kijiometri, usawa huu unaweza kufasiriwa kama ifuatavyo: F(x) ni uwezekano kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani ambayo inawakilishwa kwenye mhimili wa nambari na nukta iliyo upande wa kushoto wa nukta x.

Ikiwa x≤-1, basi F(x)=0, kwa kuwa hakuna thamani moja ya utofauti huu wa nasibu kwenye (-∞;x);

Ikiwa -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Ikiwa 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) kuna maadili mawili x1=-1 na x2=0;

Ikiwa 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Ikiwa 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Ikiwa x>3, basi F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, kwa sababu thamani nne x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 huanguka kwenye muda (-∞;x) na x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 kwa x≤-1,

0.1 kwa -1<х≤0,

0.2 kwa 0<х≤1,

F(x)= 0.5 kwa 1<х≤2,

0.7 saa 2<х≤3,

1 kwa x>3

Wacha tuwakilishe chaguo la kukokotoa F(x) kimchoro (Kielelezo 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Sheria ya usambazaji wa Binomial

tofauti tofauti bila mpangilio, sheria ya Poisson.

Ufafanuzi: Binomial inaitwa sheria ya usambazaji wa kigezo kisicho na mpangilio X - idadi ya matukio ya tukio A katika n majaribio huru yanayorudiwa, katika kila tukio A linaweza kutokea kwa uwezekano p au kutotokea kwa uwezekano q = 1-p. Kisha P(X=m) - uwezekano wa kutokea kwa tukio A mara m haswa katika majaribio n huhesabiwa kwa kutumia fomula ya Bernoulli:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Matarajio ya hisabati, mtawanyiko na mkengeuko wa kawaida wa kigezo cha nasibu X kinachosambazwa kulingana na sheria ya jozi hupatikana, mtawalia, kwa kutumia fomula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Uwezekano wa tukio A - "kutoa tano" katika kila jaribio ni sawa na ni sawa na 1/6. , yaani P(A)=p=1/6, kisha P(A)=1-p=q=5/6, wapi

- "kuanguka kati ya watano."

Tofauti ya nasibu X inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 0;1;2;3.

Tunapata uwezekano wa kila moja ya maadili yanayowezekana ya X kwa kutumia fomula ya Bernoulli:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Hiyo. sheria ya usambazaji ya mabadiliko ya nasibu X ina fomu:

Udhibiti: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Wacha tupate sifa za nambari za kutofautisha bila mpangilio X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Kazi nambari 4. Mashine ya kiotomatiki hupiga mihuri sehemu. Uwezekano kwamba sehemu iliyotengenezwa itakuwa na kasoro ni 0.002. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 1000 zilizochaguliwa kutakuwa na:

a) 5 kasoro;

b) angalau moja ina kasoro.

Suluhisho: Nambari n=1000 ni kubwa, uwezekano wa kutoa sehemu yenye kasoro p=0.002 ni ndogo, na matukio yanayozingatiwa (sehemu inageuka kuwa na kasoro) ni huru, kwa hivyo formula ya Poisson inashikilia:

Рn(m)= e- λ λm

Wacha tupate λ=np=1000 0.002=2.

a) Tafuta uwezekano kwamba kutakuwa na sehemu 5 zenye kasoro (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Tafuta uwezekano kwamba kutakuwa na angalau sehemu moja yenye kasoro.

Tukio A - "angalau sehemu moja iliyochaguliwa ina kasoro" ni kinyume cha tukio - "sehemu zote zilizochaguliwa hazina kasoro." Kwa hivyo, P(A) = 1-P(). Kwa hivyo uwezekano unaotaka ni sawa na: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0.13534≈0.865.

Kazi za kazi ya kujitegemea.

1.1

1.2. Tofauti ya X iliyotawanywa imebainishwa na sheria ya usambazaji:

Pata p4, kazi ya usambazaji F (X) na upange grafu yake, pamoja na M (X), D (X), σ (X).

1.3. Kuna alama 9 kwenye kisanduku, 2 kati yake haziandiki tena. Chukua alama 3 bila mpangilio. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya alama za uandishi kati ya zile zilizochukuliwa. Chora sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu.

1.4. Kuna vitabu 6 vya kiada vilivyopangwa kwa nasibu kwenye rafu ya maktaba, 4 kati yao imefungwa. Msimamizi wa maktaba huchukua vitabu 4 vya kiada bila mpangilio. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya vitabu vya kiada vilivyofungwa kati ya vile vilivyochukuliwa. Chora sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu.

1.5. Kuna kazi mbili kwenye tikiti. Uwezekano wa kutatua kwa usahihi tatizo la kwanza ni 0.9, pili ni 0.7. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya matatizo yaliyotatuliwa kwa usahihi katika tiketi. Chora sheria ya usambazaji, hesabu matarajio ya hisabati na tofauti ya tofauti hii isiyo ya kawaida, na pia pata chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) na uunde grafu yake.

1.6. Washambuliaji watatu wanalenga shabaha. Uwezekano wa kugonga lengo kwa risasi moja ni 0.5 kwa mpiga risasi wa kwanza, 0.8 kwa pili, na 0.7 kwa tatu. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya vibao kwenye lengo ikiwa wafyatuaji watapiga risasi moja kwa wakati mmoja. Tafuta sheria ya usambazaji, M(X),D(X).

1.7. Mchezaji wa mpira wa vikapu hutupa mpira kwenye kikapu na uwezekano wa kupiga kila risasi ya 0.8. Kwa kila hit, anapokea pointi 10, na ikiwa atakosa, hakuna pointi zinazotolewa kwake. Chora sheria ya usambazaji wa nambari ya nambari ya X ya alama zilizopokelewa bila mpangilio mchezaji wa mpira wa kikapu katika 3 kutupa. Tafuta M(X),D(X), pamoja na uwezekano kwamba anapata zaidi ya pointi 10.

1.8. Barua zimeandikwa kwenye kadi, jumla ya vokali 5 na konsonanti 3. Kadi 3 huchaguliwa bila mpangilio, na kila wakati kadi iliyochukuliwa inarudishwa. Tofauti isiyo ya kawaida X ni idadi ya vokali kati ya hizo zilizochukuliwa. Chora sheria ya usambazaji na utafute M(X),D(X),σ(X).

1.9. Kwa wastani, chini ya 60% ya mikataba, kampuni ya bima hulipa kiasi cha bima kuhusiana na tukio la tukio la bima. Tengeneza sheria ya usambazaji kwa mabadiliko ya nasibu X - idadi ya mikataba ambayo kiasi cha bima kililipwa kati ya mikataba minne iliyochaguliwa bila mpangilio. Pata sifa za nambari za wingi huu.

1.10. Kituo cha redio hutuma ishara za simu (sio zaidi ya nne) kwa vipindi fulani hadi mawasiliano ya njia mbili yataanzishwa. Uwezekano wa kupokea jibu kwa ishara ya simu ni 0.3. Tofauti isiyo ya kawaida X ni nambari ya ishara za simu zilizotumwa. Chora sheria ya usambazaji na utafute F(x).

1.11. Kuna funguo 3, ambayo moja tu inafaa kufuli. Tengeneza sheria ya usambazaji wa nambari ya X-ya nasibu ya majaribio ya kufungua kufuli, ikiwa ufunguo uliojaribiwa haushiriki katika majaribio yanayofuata. Tafuta M(X),D(X).

1.12. Vipimo vya kujitegemea vya mfululizo wa vifaa vitatu vinafanywa kwa kuaminika. Kila kifaa kinachofuata kinajaribiwa tu ikiwa kilichotangulia kiligeuka kuwa cha kuaminika. Uwezekano wa kupita mtihani kwa kila kifaa ni 0.9. Tengeneza sheria ya usambazaji kwa nambari ya X isiyo na mpangilio ya vifaa vilivyojaribiwa.

1.13 . Kigezo tofauti cha nasibu X kina thamani tatu zinazowezekana: x1=1, x2, x3, na x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Kifaa cha elektroniki kina vitu 100 vinavyofanana. Uwezekano wa kushindwa kwa kila kipengele wakati wa T ni 0.002. Vipengele hufanya kazi kwa kujitegemea. Pata uwezekano kwamba hakuna zaidi ya vitu viwili vitashindwa wakati wa T.

1.15. Kitabu hicho kilichapishwa katika mzunguko wa nakala 50,000. Uwezekano kwamba kitabu cha maandishi kimefungwa vibaya ni 0.0002. Tafuta uwezekano kwamba mzunguko una:

a) vitabu vinne vyenye kasoro;

b) chini ya vitabu viwili vyenye kasoro.

1 .16. Idadi ya simu zinazofika kwa PBX kila dakika inasambazwa kulingana na sheria ya Poisson kwa kigezo λ=1.5. Tafuta uwezekano kwamba baada ya dakika moja yafuatayo yatafika:

a) simu mbili;

b) angalau simu moja.

1.17.

Tafuta M(Z),D(Z) ikiwa Z=3X+Y.

1.18. Sheria za usambazaji wa anuwai mbili huru za nasibu zimepewa:

Tafuta M(Z),D(Z) ikiwa Z=X+2Y.

Majibu:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 kwa x≤-2,

0.3 kwa -2<х≤0,

F(x)= 0.5 kwa 0<х≤2,

0.9 kwa 2<х≤5,

1 kwa x> 5

1.2. p4=0.1; 0 kwa x≤-1,

0.3 kwa -1<х≤0,

0.4 kwa 0<х≤1,

F(x)= 0.6 kwa 1<х≤2,

0.7 saa 2<х≤3,

1 kwa x>3

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 kwa x≤0,

0.03 kwa 0<х≤1,

F(x)= 0.37 kwa 1<х≤2,

1 kwa x>2

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 e-0.2≈0.999

1.15. a)0.0189; b) 0.00049

1.16. a)0.0702; b) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Sura ya 2. Tofauti inayoendelea bila mpangilio

Ufafanuzi: Kuendelea ni kiasi ambacho thamani zake zote zinazowezekana hujaza kikamilifu muda usio na kikomo wa mstari wa nambari.

Ni wazi, idadi ya maadili yanayowezekana ya tofauti inayoendelea ya nasibu haina kikomo.

Tofauti inayoendelea bila mpangilio inaweza kubainishwa kwa kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji.

Ufafanuzi: F kipengele cha kukokotoa cha usambazaji utofauti unaoendelea wa nasibu X huitwa chaguo za kukokotoa F(x), ambayo huamua kwa kila thamani xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R

Chaguo za kukokotoa za usambazaji wakati mwingine huitwa chaguo za kukokotoa za usambazaji limbikizi.

Sifa za kitendakazi cha usambazaji:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Kwa tofauti inayoendelea ya nasibu, kazi ya kukokotoa ya usambazaji inaendelea wakati wowote na kutofautishwa kila mahali, isipokuwa, labda, kwa pointi za mtu binafsi.

3) Uwezekano wa mabadiliko ya nasibu X kuanguka katika mojawapo ya vipindi (a;b), [a;b], [a;b], ni sawa na tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa F(x) kwa pointi a na b, i.e. R(a)<Х

4) Uwezekano kwamba kigezo endelevu cha X kitachukua thamani moja tofauti ni 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Kubainisha utofauti unaoendelea bila mpangilio kwa kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji sio njia pekee. Wacha tuanzishe dhana ya wiani wa usambazaji wa uwezekano (wiani wa usambazaji).

Ufafanuzi : Msongamano wa usambazaji wa uwezekano f ( x ) ya mabadiliko ya nasibu ya X yanayoendelea ni derivative ya chaguo lake la kukokotoa la usambazaji, yaani:

Kazi ya wiani wa uwezekano wakati mwingine huitwa tofauti kazi ya usambazaji au sheria ya usambazaji tofauti.

Grafu ya uwezekano wa usambazaji wa wiani f(x) inaitwa mkondo wa usambazaji wa uwezekano .

Sifa za usambazaji wa wiani wa uwezekano:

1) f(x) ≥0, katika xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" urefu = "62 src="> 0 kwa x≤2,

f(x)= c(x-2) saa 2<х≤6,

0 kwa x> 6.

Tafuta: a) thamani ya c; b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) na kuipanga; c) P(3≤x<5)

Suluhisho:

+ ∞

a) Tunapata thamani ya c kutoka kwa hali ya kuhalalisha: ∫ f(x)dx=1.

Kwa hivyo, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

ikiwa 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 kwa x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 saa 2<х≤6,

1 kwa x> 6.

Grafu ya kazi F (x) imeonyeshwa kwenye Mchoro 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 at x≤0,

F(x)= (3 aktani x)/π saa 0<х≤√3,

1 kwa x>√3.

Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti f(x)

Suluhisho: Kwa kuwa f(x)= F’(x), basi

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Sifa zote za matarajio ya hisabati na mtawanyiko, zilizojadiliwa hapo awali kwa vigeu vya nasibu vilivyotawanywa, pia ni halali kwa zinazoendelea.

Kazi nambari 3. Tofauti ya nasibu X inabainishwa na chaguo za kukokotoa f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P (1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Matatizo kwa ajili ya ufumbuzi wa kujitegemea.

2.1. Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji:

0 kwa x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 kwa x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x kwa π/6<х≤ π/3,

1 kwa x> π/3.

Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti f(x), na pia

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 kwa x≤2,

f(x)= c x saa 2<х≤4,

0 kwa x> 4.

2.4. Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inabainishwa na msongamano wa usambazaji:

0 kwa x≤0,

f(x)= c √x saa 0<х≤1,

0 kwa x> 1.

Tafuta: a) nambari c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> kwa x,

0 kwa x.

Tafuta: a) F(x) na ujenge grafu yake; b) M(X),D(X), σ(X); c) uwezekano kwamba katika majaribio manne huru thamani ya X itachukua mara 2 ya thamani ya muda (1;4).

2.6. Msongamano wa usambazaji wa uwezekano wa utofauti unaoendelea wa X umepewa:

f(x)= 2(x-2) saa x,

0 kwa x.

Tafuta: a) F(x) na ujenge grafu yake; b) M(X),D(X), σ (X); c) uwezekano kwamba katika majaribio matatu huru thamani ya X itachukua mara 2 ya thamani inayomilikiwa na sehemu .

2.7. Kazi f(x) imetolewa kama:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Kazi f(x) imetolewa kama:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Tafuta: a) thamani ya c mara kwa mara ambapo chaguo za kukokotoa zitakuwa uwezekano wa msongamano wa baadhi ya mabadiliko ya nasibu X; b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x).

2.9. Kigezo cha nasibu X, kilichokolezwa kwenye muda (3;7), kinabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)= . Tafuta uwezekano huo

utofauti wa nasibu X utachukua thamani: a) chini ya 5, b) si chini ya 7.

2.10. Tofauti ya nasibu X, iliyojikita kwenye muda (-1;4),

inatolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x)= . Tafuta uwezekano huo

mabadiliko ya nasibu X itachukua thamani: a) chini ya 2, b) si chini ya 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Tafuta: a) nambari c; b) M(X); c) uwezekano P(X> M(X)).

2.12. Tofauti nasibu inabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji tofauti:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Tafuta: a) M(X); b) uwezekano P(X≤M(X))

2.13. Usambazaji wa Rem unatolewa na wiani wa uwezekano:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> kwa x ≥0.

Thibitisha kuwa f(x) hakika ni chaguo za kukokotoa za uwezekano.

2.14. Msongamano wa usambazaji wa uwezekano wa utofauti unaoendelea wa X umepewa:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Kielelezo 4) (Mtini.5)

2.16. Tofauti ya random X inasambazwa kulingana na sheria ya "pembetatu ya kulia" katika muda (0;4) (Mchoro 5). Tafuta usemi wa uchanganuzi wa wiani wa uwezekano f(x) kwenye mstari mzima wa nambari.

Majibu

0 kwa x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 kwa x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x at π/6<х≤ π/3,

0 kwa x> π/3. Tofauti inayoendelea ya X ina sheria ya usambazaji sare kwa muda fulani (a;b), ambayo ina thamani zote zinazowezekana za X, ikiwa wiani wa usambazaji wa uwezekano f(x) ni thabiti kwenye kipindi hiki na ni sawa na 0 nje yake. , i.e.

0 kwa x≤a,

f(x)= kwa a<х

0 kwa x≥b.

Grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) imeonyeshwa kwenye Mtini. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 kwa x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Kazi nambari 1. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa usawa kwenye sehemu. Tafuta:

a) wiani wa usambazaji wa uwezekano f(x) na kuupanga;

b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) na kuipanga;

c) M(X),D(X), σ(X).

Suluhisho: Kwa kutumia fomula zilizojadiliwa hapo juu, na a=3, b=7, tunapata:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> at 3≤х≤7,

0 kwa x> 7

Wacha tujenge grafu yake (Mchoro 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 at x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Kielelezo 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 kwa x<0,

f(x)= λе-λх kwa x≥0.

Kazi ya usambazaji ya mabadiliko ya nasibu X, iliyosambazwa kulingana na sheria ya kielelezo, inatolewa na fomula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Kwa hivyo, matarajio ya hisabati na kupotoka kwa kawaida kwa usambazaji wa kielelezo ni sawa kwa kila mmoja.

Uwezekano wa X kuanguka katika muda (a;b) unakokotolewa na fomula:

P (a<Х

Kazi nambari 2. Wastani wa muda wa kufanya kazi bila kushindwa kwa kifaa ni saa 100 kwa kuchukulia kuwa muda wa uendeshaji bila kushindwa wa kifaa una sheria ya usambazaji wa kielelezo, tafuta:

a) wiani wa usambazaji wa uwezekano;

b) kazi ya usambazaji;

c) uwezekano kwamba muda wa uendeshaji bila kushindwa kwa kifaa utazidi saa 120.

Suluhisho: Kulingana na hali, usambazaji wa hisabati M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 kwa x<0,

a) f(x)= 0.01e -0.01x kwa x≥0.

b) F(x)= 0 kwa x<0,

1-e -0.01x saa x≥0.

c) Tunapata uwezekano unaotaka kwa kutumia kipengele cha kukokotoa cha usambazaji:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Sheria ya kawaida ya usambazaji

Ufafanuzi: Tofauti inayoendelea ya X ina sheria ya kawaida ya usambazaji (sheria ya Gauss), ikiwa msongamano wake wa usambazaji una fomu:

,

ambapo m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Curve ya kawaida ya usambazaji inaitwa kawaida au curve ya Gaussian (Mtini.7)

Mviringo wa kawaida una ulinganifu kwa kuzingatia mstari ulionyooka x=m, una upeo wa juu katika x=a, sawa na .

Kazi ya usambazaji ya mabadiliko ya nasibu X, iliyosambazwa kulingana na sheria ya kawaida, inaonyeshwa kupitia kazi ya Laplace Ф (x) kulingana na fomula:

,

kazi ya Laplace iko wapi.

Maoni: Kazi Ф(x) ni isiyo ya kawaida (Ф(-х)=-Ф(х)), kwa kuongeza, kwa x> 5 tunaweza kudhani Ф(х) ≈1/2.

Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) imeonyeshwa kwenye Mtini. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Uwezekano kwamba thamani kamili ya mkengeuko ni chini ya nambari chanya δ inakokotolewa na fomula:

Hasa, kwa m=0 usawa ufuatao unashikilia:

"Sheria tatu za Sigma"

Ikiwa mabadiliko ya nasibu X ina sheria ya kawaida ya usambazaji na vigezo m na σ, basi ni karibu hakika kwamba thamani yake iko katika muda (a-3σ; a+3σ), kwa sababu

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Wacha tutumie fomula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Kutoka kwa jedwali la maadili ya kazi Ф(х) tunapata Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Kwa hivyo, uwezekano unaohitajika:

P(28

Kazi za kazi ya kujitegemea

3.1. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa usawa katika muda (-3;5). Tafuta:

b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x);

c) sifa za nambari;

d) uwezekano wa P (4<х<6).

3.2. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa usawa kwenye sehemu. Tafuta:

a) msongamano wa usambazaji f(x);

b) chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x);

c) sifa za nambari;

d) uwezekano wa P(3≤х≤6).

3.3. Kuna taa ya trafiki kiotomatiki kwenye barabara kuu, ambayo taa ya kijani huwaka kwa dakika 2, njano kwa sekunde 3, nyekundu kwa sekunde 30, nk. Gari huendesha kwenye barabara kuu kwa wakati usio na mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba gari litapita taa ya trafiki bila kuacha.

3.4. Treni za Subway huendesha mara kwa mara kwa muda wa dakika 2. Abiria anaingia kwenye jukwaa kwa wakati nasibu. Je, kuna uwezekano gani kwamba abiria atalazimika kusubiri zaidi ya sekunde 50 kwa treni? Pata matarajio ya hisabati ya mabadiliko ya nasibu X - muda wa kusubiri kwa treni.

3.5. Pata tofauti na mkengeuko wa kawaida wa usambazaji wa kielelezo unaotolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji:

F(x)= 0 kwa x<0,

1-8x kwa x≥0.

3.6. Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inabainishwa na wiani wa usambazaji wa uwezekano:

f(x)= 0 kwa x<0,

0.7 e-0.7x saa x≥0.

a) Taja sheria ya usambazaji ya kigezo cha nasibu kinachozingatiwa.

b) Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji F(X) na sifa za nambari za mabadiliko ya nasibu X.

3.7. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo iliyobainishwa na msongamano wa usambazaji wa uwezekano:

f(x)= 0 kwa x<0,

0.4 e-0.4 x saa x≥0.

Pata uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani kutoka kwa muda (2.5;5).

3.8. Tofauti inayoendelea bila mpangilio X inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo iliyobainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji:

F(x)= 0 kwa x<0,

1-0.6x kwa x≥0

Pata uwezekano kwamba, kama matokeo ya jaribio, X itachukua thamani kutoka kwa sehemu.

3.9. Thamani inayotarajiwa na mkengeuko wa kawaida wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida ni 8 na 2, mtawalia.

a) msongamano wa usambazaji f(x);

b) uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani kutoka kwa muda (10;14).

3.10. Tofauti ya nasibu X kwa kawaida husambazwa kwa matarajio ya hisabati ya 3.5 na tofauti ya 0.04. Tafuta:

a) msongamano wa usambazaji f(x);

b) uwezekano kwamba kama matokeo ya jaribio X itachukua thamani kutoka kwa sehemu.

3.11. Tofauti ya nasibu X kwa kawaida husambazwa na M(X)=0 na D(X)=1. Ni lipi kati ya matukio: |X|≤0.6 au |X|≥0.6 linawezekana zaidi?

3.12. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa kawaida na M(X)=0 na D(X)=1 kutoka kwa muda gani (-0.5;-0.1) au (1;2) kuna uwezekano mkubwa wa kuchukua thamani wakati wa jaribio moja?

3.13. Bei ya sasa kwa kila hisa inaweza kutengenezwa kwa kutumia sheria ya kawaida ya usambazaji na M(X)=10 den. vitengo na σ (X) = shimo 0.3. vitengo Tafuta:

a) uwezekano kwamba bei ya sasa ya hisa itakuwa kutoka den 9.8. vitengo hadi siku 10.4 vitengo;

b) kwa kutumia "sheria tatu za sigma", pata mipaka ambayo bei ya sasa ya hisa itakuwa iko.

3.14. Dutu hii hupimwa bila makosa ya utaratibu. Hitilafu za uzani za nasibu zinategemea sheria ya kawaida yenye uwiano wa wastani wa mraba σ=5g. Pata uwezekano kwamba katika majaribio manne huru hitilafu katika vipimo vitatu haitatokea kwa thamani kamili 3r.

3.15. Tofauti ya nasibu X kwa kawaida husambazwa na M(X)=12.6. Uwezekano wa tofauti nasibu kuanguka katika muda (11.4;13.8) ni 0.6826. Pata mkengeuko wa kawaida σ.

3.16. Tofauti ya nasibu X inasambazwa kwa kawaida na M(X)=12 na D(X)=36 Tafuta muda ambao kigezo cha nasibu X kitaangukia kama matokeo ya jaribio na uwezekano wa 0.9973.

3.17. Sehemu inayotengenezwa na mashine ya kiotomatiki inachukuliwa kuwa na kasoro ikiwa kupotoka kwa X ya paramu inayodhibitiwa kutoka kwa thamani ya kawaida inazidi modulo 2. vitengo. Inachukuliwa kuwa utofauti wa nasibu X kawaida husambazwa na M(X)=0 na σ(X)=0.7. Je, mashine hutoa asilimia ngapi ya sehemu zenye kasoro?

3.18. Kigezo cha X cha sehemu kinasambazwa kwa kawaida na matarajio ya hisabati ya 2 sawa na thamani ya jina na kupotoka kwa kiwango cha 0.014. Pata uwezekano kwamba kupotoka kwa X kutoka kwa thamani ya kawaida haitazidi 1% ya thamani ya kawaida.

Majibu

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 kwa x≤-3,

F(x)= left">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

MBINU ZA ​​NAFASI

Mfano 2.1. Thamani ya nasibu X iliyotolewa na chaguo za kukokotoa za usambazaji

Tafuta uwezekano huo kama matokeo ya mtihani X itachukua maadili yaliyomo katika muda (2.5; 3.6).

Suluhisho: X katika muda (2.5; 3.6) inaweza kuamuliwa kwa njia mbili:

Mfano 2.2. Kwa maadili gani ya parameta A Na KATIKA kazi F(x) = A + Kuwa - x inaweza kuwa chaguo za kukokotoa za usambazaji kwa thamani zisizo hasi za tofauti bila mpangilio X.

Suluhisho: Kwa kuwa maadili yote yanayowezekana ya kutofautisha bila mpangilio X belong to the interval , basi ili chaguo la kukokotoa liwe chaguo la kukokotoa la usambazaji X, mali lazima itimizwe:

.

Jibu: .

Mfano 2.3. Tofauti nasibu X inabainishwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji

Tafuta uwezekano kwamba, kama matokeo ya majaribio manne huru, thamani X hasa mara 3 itachukua thamani ya muda (0.25;0.75).

Suluhisho: Uwezekano wa kugonga thamani X katika muda (0.25;0.75) tunapata kutumia fomula:

Mfano 2.4. Uwezekano wa mpira kugonga kikapu kwa risasi moja ni 0.3. Chora sheria ya usambazaji kwa idadi ya vibao vilivyo na kurusha tatu.

Suluhisho: Thamani ya nasibu X- idadi ya hits kwenye kikapu na risasi tatu - inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 0, 1, 2, 3. Uwezekano kwamba X

X:

Mfano 2.5. Washambuliaji wawili kila mmoja walifyatua risasi moja kwenye shabaha. Uwezekano wa mpiga risasi wa kwanza kuipiga ni 0.5, ya pili - 0.4. Tengeneza sheria ya usambazaji kwa idadi ya vibao kwenye lengo.

Suluhisho: Wacha tupate sheria ya usambazaji wa tofauti tofauti za nasibu X- idadi ya hits kwenye lengo. Acha tukio liwe mpiga risasi wa kwanza kugonga shabaha, na acha mpigaji wa pili apige shabaha, na iwe mikosa yake, mtawalia.

Wacha tutunge sheria ya usambazaji wa uwezekano wa SV X:

Mfano 2.6. Vipengele vitatu vinajaribiwa, vinavyofanya kazi kwa kujitegemea. Muda wa muda (katika saa) wa uendeshaji bila kushindwa wa vipengele una chaguo za kukokotoa za msongamano wa usambazaji: kwa mara ya kwanza: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, kwa pili: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, kwa tatu: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Pata uwezekano kwamba katika muda wa muda kutoka saa 0 hadi 5: kipengele kimoja tu kitashindwa; vipengele viwili tu vitashindwa; vipengele vyote vitatu vitashindwa.

Suluhisho: Wacha tutumie ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za uwezekano:

Uwezekano kwamba katika majaribio huru, ambapo kwanza uwezekano wa tukio kutokea A sawa na , katika pili, nk, tukio A inaonekana mara moja haswa, sawa na mgawo katika upanuzi wa kazi ya kuzalisha katika uwezo wa . Wacha tupate uwezekano wa kutofaulu na kutofaulu, mtawaliwa, wa kipengele cha kwanza, cha pili na cha tatu katika muda wa saa kutoka 0 hadi 5:

Wacha tuunda kazi ya kutengeneza:

Mgawo wa saa ni sawa na uwezekano wa tukio A itaonekana hasa mara tatu, yaani, uwezekano wa kushindwa kwa vipengele vyote vitatu; mgawo saa ni sawa na uwezekano kwamba vipengele viwili vitashindwa; mgawo saa ni sawa na uwezekano kwamba kipengele kimoja tu kitashindwa.

Mfano 2.7. Kwa kuzingatia wiani wa uwezekano f(x) kutofautiana kwa nasibu X:

Tafuta chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x).

Suluhisho: Tunatumia formula:

.

Kwa hivyo, kazi ya usambazaji inaonekana kama:

Mfano 2.8. Kifaa kina vipengele vitatu vya kujitegemea vya uendeshaji. Uwezekano wa kushindwa kwa kila kipengele katika jaribio moja ni 0.1. Chora sheria ya usambazaji kwa idadi ya vipengele vilivyoshindwa katika jaribio moja.

Suluhisho: Thamani ya nasibu X- idadi ya vipengele vilivyoshindwa katika jaribio moja - inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 0, 1, 2, 3. Uwezekano kwamba X inachukua maadili haya, tunapata kwa kutumia formula ya Bernoulli:

Kwa hivyo, tunapata sheria ifuatayo ya usambazaji wa uwezekano wa kigezo bila mpangilio X:

Mfano 2.9. Katika kundi la sehemu 6 kuna 4 za kawaida. Sehemu 3 zilichaguliwa kwa nasibu. Chora sheria ya usambazaji kwa idadi ya sehemu za kawaida kati ya zilizochaguliwa.

Suluhisho: Thamani ya nasibu X- idadi ya sehemu za kawaida kati ya waliochaguliwa - inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 1, 2, 3 na ina usambazaji wa hypergeometric. Uwezekano huo X

Wapi -- idadi ya sehemu katika kundi;

-- idadi ya sehemu za kawaida katika kundi;

– idadi ya sehemu zilizochaguliwa;

-- idadi ya sehemu za kawaida kati ya zile zilizochaguliwa.

.

.

.

Mfano 2.10. Tofauti nasibu ina msongamano wa usambazaji

na hazijulikani, lakini, a na . Tafuta na.

Suluhisho: Katika kesi hii, kutofautiana kwa nasibu X ina usambazaji wa pembe tatu (usambazaji wa Simpson) kwenye muda [ a, b]. Sifa za nambari X:

Kwa hivyo, . Kutatua mfumo huu, tunapata jozi mbili za maadili:. Kwa kuwa kulingana na hali ya shida, hatimaye tunayo: .

Jibu: .

Mfano 2.11. Kwa wastani, chini ya 10% ya mikataba, kampuni ya bima hulipa kiasi cha bima kuhusiana na tukio la tukio la bima. Kukokotoa matarajio ya hisabati na mtawanyiko wa idadi ya mikataba hiyo kati ya nne zilizochaguliwa kwa nasibu.

Suluhisho: Matarajio ya hisabati na tofauti zinaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

.

Thamani zinazowezekana za SV (idadi ya mikataba (kati ya nne) na tukio la tukio la bima): 0, 1, 2, 3, 4.

Tunatumia fomula ya Bernoulli kukokotoa uwezekano wa idadi tofauti ya mikataba (kati ya nne) ambayo kiasi cha bima kililipwa:

.

Mfululizo wa usambazaji wa IC (idadi ya kandarasi na tukio la tukio la bima) una fomu:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Jibu:,.

Mfano 2.12. Kati ya waridi tano, mbili ni nyeupe. Chora sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu kinachoonyesha idadi ya waridi nyeupe kati ya mbili zilizochukuliwa kwa wakati mmoja.

Suluhisho: Katika uteuzi wa roses mbili, kunaweza kuwa hakuna rose nyeupe, au kunaweza kuwa na roses moja au mbili nyeupe. Kwa hiyo, kutofautiana kwa nasibu X inaweza kuchukua maadili: 0, 1, 2. Uwezekano huo X inachukua maadili haya, tunaipata kwa kutumia fomula:

Wapi -- idadi ya roses;

-- idadi ya roses nyeupe;

– idadi ya roses zilizochukuliwa kwa wakati mmoja;

-- idadi ya roses nyeupe kati ya wale kuchukuliwa.

.

.

.

Kisha sheria ya usambazaji wa kutofautisha bila mpangilio itakuwa kama ifuatavyo:

Mfano 2.13. Kati ya vitengo 15 vilivyokusanyika, 6 zinahitaji lubrication ya ziada. Chora sheria ya usambazaji kwa idadi ya vitengo vinavyohitaji ulainishaji wa ziada kati ya tano zilizochaguliwa kwa nasibu kutoka kwa jumla ya nambari.

Suluhisho: Thamani ya nasibu X- idadi ya vitengo vinavyohitaji lubrication ya ziada kati ya tano zilizochaguliwa - inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 0, 1, 2, 3, 4, 5 na ina usambazaji wa hypergeometric. Uwezekano huo X inachukua maadili haya, tunaipata kwa kutumia fomula:

Wapi -- idadi ya vitengo vilivyokusanyika;

-- idadi ya vitengo vinavyohitaji lubrication ya ziada;

– idadi ya vitengo vilivyochaguliwa;

-- idadi ya vitengo vinavyohitaji lubrication ya ziada kati ya wale waliochaguliwa.

.

.

.

.

.

.

Kisha sheria ya usambazaji wa kutofautisha bila mpangilio itakuwa kama ifuatavyo:

Mfano 2.14. Kati ya saa 10 zilizopokelewa kwa ukarabati, 7 zinahitaji kusafisha kwa jumla kwa utaratibu. Saa hazijapangwa kulingana na aina ya ukarabati. Bwana, akitaka kupata saa zinazohitaji kusafishwa, anazichunguza moja kwa moja na, baada ya kupata saa hizo, anaacha kutazama zaidi. Pata matarajio ya hisabati na tofauti ya idadi ya saa zinazotazamwa.

Suluhisho: Thamani ya nasibu X- idadi ya vitengo vinavyohitaji ulainisho wa ziada kati ya tano zilizochaguliwa - inaweza kuchukua maadili yafuatayo: 1, 2, 3, 4. Uwezekano kwamba X inachukua maadili haya, tunaipata kwa kutumia fomula:

.

.

.

.

Kisha sheria ya usambazaji wa kutofautisha bila mpangilio itakuwa kama ifuatavyo:

Sasa hebu tuhesabu sifa za nambari za wingi:

Jibu:,.

Mfano 2.15. Msajili amesahau nambari ya mwisho ya nambari ya simu anayohitaji, lakini anakumbuka kuwa ni isiyo ya kawaida. Tafuta matarajio ya hisabati na tofauti ya mara ambazo yeye hupiga nambari ya simu kabla ya kufikia nambari inayotaka, ikiwa atapiga nambari ya mwisho bila mpangilio na hatapiga nambari iliyopigwa.

Suluhisho: Tofauti nasibu inaweza kuchukua maadili yafuatayo: . Kwa kuwa msajili hapigi nambari iliyopigwa katika siku zijazo, uwezekano wa maadili haya ni sawa.

Wacha tukusanye safu ya usambazaji ya anuwai ya nasibu:

	0,2

Wacha tuhesabu matarajio ya kihesabu na tofauti ya idadi ya majaribio ya kupiga simu:

Jibu:,.

Mfano 2.16. Uwezekano wa kushindwa wakati wa majaribio ya kuaminika kwa kila kifaa katika mfululizo ni sawa na uk. Amua matarajio ya hisabati ya idadi ya vifaa ambavyo vilishindwa ikiwa vilijaribiwa N vifaa.

Suluhisho: Tofauti isiyo ya kawaida ya X ni idadi ya vifaa vilivyoshindwa N vipimo vya kujitegemea, katika kila moja ambayo uwezekano wa kushindwa ni sawa p, kusambazwa kwa mujibu wa sheria ya binomial. Matarajio ya hisabati ya usambazaji wa binomial ni sawa na idadi ya majaribio yanayozidishwa na uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio moja:

Mfano 2.17. Tofauti tofauti bila mpangilio X inachukua maadili 3 iwezekanavyo: kwa uwezekano; kwa uwezekano na kwa uwezekano. Tafuta na, ukijua kuwa M( X) = 8.

Suluhisho: Tunatumia ufafanuzi wa matarajio ya hisabati na sheria ya usambazaji ya kigezo tofauti cha nasibu:

Tunapata:.

Mfano 2.18. Idara ya udhibiti wa kiufundi hukagua bidhaa kwa viwango. Uwezekano wa kuwa bidhaa ni ya kawaida ni 0.9. Kila kundi lina bidhaa 5. Pata matarajio ya kihisabati ya kigezo cha nasibu X- idadi ya batches, ambayo kila moja ina bidhaa 4 za kawaida, ikiwa batches 50 ni chini ya ukaguzi.

Suluhisho: Katika kesi hii, majaribio yote yaliyofanywa ni ya kujitegemea, na uwezekano kwamba kila kundi lina bidhaa 4 za kawaida ni sawa, kwa hivyo, matarajio ya hisabati yanaweza kuamuliwa na formula:

,

idadi ya vyama iko wapi;

Uwezekano wa kuwa kundi lina bidhaa 4 za kawaida.

Tunapata uwezekano wa kutumia formula ya Bernoulli:

Jibu: .

Mfano 2.19. Pata utofauti wa kibadilishaji nasibu X- idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio mawili huru, ikiwa uwezekano wa kutokea kwa tukio katika majaribio haya ni sawa na inajulikana kuwa M(X) = 0,9.

Suluhisho: Tatizo linaweza kutatuliwa kwa njia mbili.

1) Thamani zinazowezekana za SV X: 0, 1, 2. Kwa kutumia fomula ya Bernoulli, tunaamua uwezekano wa matukio haya:

, , .

Kisha sheria ya usambazaji X ina fomu:

Kutoka kwa ufafanuzi wa matarajio ya hisabati, tunaamua uwezekano:

Wacha tupate utawanyiko wa SV X:

.

2) Unaweza kutumia formula:

.

Jibu: .

Mfano 2.20. Matarajio na mkengeuko wa kawaida wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida X kwa mtiririko huo sawa na 20 na 5. Pata uwezekano huo kama matokeo ya mtihani X itachukua thamani iliyo katika muda (15; 25).

Suluhisho: Uwezekano wa kupiga tofauti ya kawaida ya nasibu X kwenye sehemu kutoka kwa hadi imeonyeshwa kupitia kazi ya Laplace:

Mfano 2.21. Utendaji uliyopewa:

Kwa thamani gani ya parameta C chaguo hili la kukokotoa ni msongamano wa usambazaji wa baadhi ya tofauti zinazoendelea bila mpangilio X? Pata matarajio ya hisabati na utofauti wa kigezo cha nasibu X.

Suluhisho: Ili chaguo za kukokotoa ziwe msongamano wa usambazaji wa baadhi ya tofauti za nasibu, lazima ziwe zisizo hasi, na lazima zikidhi sifa:

.

Kwa hivyo:

Wacha tuhesabu matarajio ya kihesabu kwa kutumia formula:

.

Wacha tuhesabu tofauti kwa kutumia formula:

T ni sawa uk. Ni muhimu kupata matarajio ya hisabati na tofauti za kutofautiana kwa nasibu.

Suluhisho: Sheria ya usambazaji ya kigezo cha nasibu cha X - idadi ya matukio ya tukio katika majaribio huru, ambayo kila moja uwezekano wa tukio ni sawa na , inaitwa binomial. Matarajio ya hisabati ya usambazaji wa binomial ni sawa na bidhaa ya idadi ya majaribio na uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika jaribio moja:

.

Mfano 2.25. Risasi tatu za kujitegemea zinapigwa kwa lengo. Uwezekano wa kupiga kila risasi ni 0.25. Amua mkengeuko wa kawaida wa idadi ya vibao kwa mikwaju mitatu.

Suluhisho: Kwa kuwa majaribio matatu huru yanafanywa, na uwezekano wa kutokea kwa tukio A (pigo) katika kila jaribio ni sawa, tutafikiria kuwa tofauti isiyo ya kawaida X - idadi ya hits kwenye lengo - inasambazwa kulingana na sheria ya binomial.

Tofauti ya usambazaji wa binomial ni sawa na bidhaa ya idadi ya majaribio na uwezekano wa kutokea na kutotokea kwa tukio katika jaribio moja:

Mfano 2.26. Wastani wa idadi ya wateja wanaotembelea kampuni ya bima ndani ya dakika 10 ni tatu. Tafuta uwezekano kwamba angalau mteja mmoja atawasili katika dakika 5 zijazo.

Wastani wa idadi ya wateja wanaowasili kwa dakika 5: . .

Mfano 2.29. Muda wa kusubiri kwa ajili ya maombi katika foleni ya kichakataji hutii sheria ya usambazaji wa muda mfupi yenye thamani ya wastani ya sekunde 20. Pata uwezekano kwamba ombi linalofuata (la nasibu) litasubiri kwenye kichakataji kwa zaidi ya sekunde 35.

Suluhisho: Katika mfano huu, matarajio ya hisabati , na kiwango cha kushindwa ni sawa na .

Kisha uwezekano unaohitajika:

Mfano 2.30. Kundi la wanafunzi 15 hufanya mkutano katika ukumbi wenye safu 20 za viti 10 kila moja. Kila mwanafunzi anachukua nafasi katika ukumbi bila mpangilio. Kuna uwezekano gani kwamba si zaidi ya watu watatu watakuwa katika nafasi ya saba ya safu?

Suluhisho:

Mfano 2.31.

Halafu, kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:

Wapi -- idadi ya sehemu katika kundi;

-- idadi ya sehemu zisizo za kawaida katika kundi;

– idadi ya sehemu zilizochaguliwa;

-- idadi ya sehemu zisizo za kawaida kati ya zilizochaguliwa.

Kisha sheria ya usambazaji wa kutofautisha bila mpangilio itakuwa kama ifuatavyo.