Ujumbe kuhusu nambari zipi. Ni aina gani za nambari, dhana na operesheni zipo?

Nambari kamili

Nambari zinazotumiwa katika kuhesabu zinaitwa nambari za asili. Kwa mfano, $1,2,3$, nk. Nambari za asili huunda seti ya nambari asilia, ambayo inaashiria $N$ Jina hili linatokana na neno la Kilatini asili - asili.

Nambari zinazopingana

Ufafanuzi 1

Ikiwa nambari mbili zinatofautiana kwa ishara tu, zinaitwa hisabati nambari zinazopingana.

Kwa mfano, nambari $5$ na $-5$ ni nambari zinazopingana, kwa sababu Wanatofautiana kwa ishara tu.

Kumbuka 1

Kwa nambari yoyote kuna nambari tofauti, na moja tu.

Kumbuka 2

Nambari sifuri ni kinyume chake yenyewe.

Nambari nzima

Ufafanuzi 2

Nzima nambari ni nambari asilia, vinyume vyake, na sifuri.

Seti ya nambari inajumuisha seti ya nambari za asili na wapinzani wao.

Onyesha nambari kamili $Z.$

Nambari za sehemu

Nambari za fomu $\frac(m)(n)$ zinaitwa sehemu au nambari za sehemu. Nambari za vipande zinaweza pia kuandikwa kwa fomu ya decimal, i.e. kwa namna ya sehemu za decimal.

Kwa mfano: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ n.k.

Kama vile nambari nzima, nambari za sehemu zinaweza kuwa chanya au hasi.

Nambari za busara

Ufafanuzi 3

Nambari za busara ni seti ya nambari iliyo na seti ya nambari kamili na sehemu.

Nambari yoyote ya kimantiki, kamili na ya sehemu, inaweza kuwakilishwa kama sehemu $\frac(a)(b)$, ambapo $a$ ni nambari kamili na $b$ ni nambari asilia.

Kwa hivyo, nambari sawa ya busara inaweza kuandikwa kwa njia tofauti.

Kwa mfano,

Hii inaonyesha kwamba nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu kamili ya desimali au sehemu isiyo na kikomo ya upimaji ya desimali.

Seti ya nambari za busara inaonyeshwa na $Q$.

Kama matokeo ya kufanya operesheni yoyote ya hesabu kwenye nambari za busara, jibu linalotokana litakuwa nambari ya busara. Hii inathibitishwa kwa urahisi, kwa sababu ya ukweli kwamba wakati wa kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya sehemu za kawaida, unapata sehemu ya kawaida.

Nambari zisizo na mantiki

Wakati wa kusoma kozi ya hisabati, mara nyingi unapaswa kushughulika na nambari ambazo sio za busara.

Kwa mfano, ili kuthibitisha kuwepo kwa seti ya nambari isipokuwa zile za busara, hebu tutatue mlinganyo $x^2=6$ Mizizi ya mlinganyo huu itakuwa nambari $\surd 6$ na $\surd 6$ . Nambari hizi hazitakuwa za busara.

Pia, tunapopata diagonal ya mraba na upande wa $ 3 $, tunatumia nadharia ya Pythagorean na kupata kwamba diagonal itakuwa sawa na $\surd 18$. Nambari hii pia haina mantiki.

Nambari kama hizo zinaitwa isiyo na mantiki.

Kwa hivyo, nambari isiyo na mantiki ni sehemu ya desimali isiyo ya muda isiyo na kikomo.

Mojawapo ya nambari zisizo na mantiki zinazokutana mara kwa mara ni nambari $\pi $

Wakati wa kufanya shughuli za hesabu na nambari zisizo na maana, matokeo yanaweza kuwa ya busara au nambari isiyo na maana.

Wacha tuthibitishe hili kwa kutumia mfano wa kupata bidhaa ya nambari zisizo na maana. Hebu tupate:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Kwa uamuzi

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Mfano huu unaonyesha kuwa matokeo yanaweza kuwa nambari ya busara au isiyo na mantiki.

Ikiwa nambari za busara na zisizo na maana zinahusika katika shughuli za hesabu kwa wakati mmoja, basi matokeo yatakuwa nambari isiyo na maana (isipokuwa, bila shaka, kuzidisha kwa $ 0 $).

Nambari halisi

Seti ya nambari halisi ni seti iliyo na seti ya nambari za busara na zisizo na mantiki.

Seti ya nambari halisi inaonyeshwa na $R$. Kiishara, seti ya nambari halisi inaweza kuashiria kwa $(-?;+?).$

Tulisema awali kwamba nambari isiyo na mantiki ni sehemu isiyo na kikomo ya desimali isiyo ya muda, na nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya desimali yenye kikomo au sehemu isiyo na kikomo ya upimaji ya desimali, kwa hivyo sehemu yoyote ya desimali yenye kikomo na isiyo na kikomo itakuwa nambari halisi.

Wakati wa kufanya shughuli za algebra, sheria zifuatazo zitafuatwa:

Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari chanya, nambari inayotokana itakuwa chanya
Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari hasi, nambari inayotokana itakuwa chanya
Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari hasi na chanya, nambari inayotokana itakuwa mbaya

Nambari za kweli zinaweza pia kulinganishwa na kila mmoja.

Wazo la nambari halisi: nambari halisi- (nambari halisi), nambari yoyote isiyo hasi au hasi au sifuri. Nambari halisi hutumiwa kuelezea vipimo vya kila wingi wa kimwili.

Kweli, au nambari halisi iliibuka kutokana na hitaji la kupima idadi ya kijiometri na kimwili ya dunia. Kwa kuongeza, kwa kufanya shughuli za uchimbaji wa mizizi, kuhesabu logarithms, kutatua equations za algebraic, nk.

Nambari za asili ziliundwa na maendeleo ya kuhesabu, na nambari za busara na hitaji la kusimamia sehemu za jumla, basi nambari halisi (halisi) hutumiwa kupima idadi inayoendelea. Kwa hivyo, upanuzi wa hisa za nambari zinazozingatiwa zilisababisha seti ya nambari halisi, ambayo, pamoja na nambari za busara, ina vitu vingine vinavyoitwa. nambari zisizo na mantiki.

Seti ya nambari halisi(iliyoashiria R) ni seti za nambari za kimantiki na zisizo na mantiki zilizokusanywa pamoja.

Nambari halisi zimegawanywa nabusara Na isiyo na mantiki.

Seti ya nambari halisi inaonyeshwa na mara nyingi huitwa halisi au mstari wa nambari. Nambari halisi zinajumuisha vitu rahisi: mzima Na nambari za busara.

Nambari ambayo inaweza kuandikwa kama uwiano, wapim ni nambari kamili, na n- nambari ya asili, ninambari ya busara.

Nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kwa urahisi kama sehemu isiyo na kikomo au sehemu isiyo na kikomo ya decimal ya upimaji.

Mfano,

Desimali isiyo na kikomo, ni sehemu ya desimali ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya tarakimu baada ya nukta ya desimali.

Nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa katika fomu ni nambari zisizo na mantiki.

Mfano:

Nambari yoyote isiyo na mantiki inaweza kuwakilishwa kwa urahisi kama sehemu ya desimali isiyo ya muda.

Mfano,

Nambari za busara na zisizo na maana huunda seti ya nambari halisi. Nambari zote halisi zinahusiana na hatua moja kwenye mstari wa kuratibu, unaoitwa mstari wa nambari.

Kwa seti za nambari, nukuu ifuatayo hutumiwa:

N- seti ya nambari za asili;
Z- seti ya integers;
Q- seti ya nambari za busara;
R- seti ya nambari halisi.

Nadharia ya sehemu za desimali zisizo na kikomo.

Nambari halisi inafafanuliwa kama desimali isiyo na mwisho, yaani:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n ...

ambapo ± ni moja ya alama + au -, ishara ya nambari,

0 ni nambari chanya,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… ni mfuatano wa sehemu za desimali, i.e. vipengele vya seti ya nambari {0,1,…9}.

Sehemu ya desimali isiyo na kikomo inaweza kuelezewa kama nambari ambayo iko kati ya alama za busara kwenye mstari wa nambari kama vile:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n Na ±(a 0,a 1 a 2 …a n +10 −n) kwa wote n=0,1,2,...

Ulinganisho wa nambari halisi kama sehemu za desimali zisizo na kikomo hutokea kwa busara. Kwa mfano, tuseme tumepewa nambari 2 chanya:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n ...

Kama ya 0, Hiyo α<β ; Kama a 0 > b 0 Hiyo α>β . Lini a 0 =b 0 Wacha tuendelee kwenye ulinganisho wa kategoria inayofuata. Na kadhalika. Lini α≠β , ambayo ina maana kwamba baada ya idadi ndogo ya hatua tarakimu ya kwanza itakutana n, vile vile a n ≠b n. Kama n n, Hiyo α<β ; Kama a n > b n Hiyo α>β .

Lakini ni ngumu kuzingatia ukweli kwamba nambari a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Kwa hivyo, ikiwa rekodi ya moja ya nambari zinazolinganishwa, kuanzia nambari fulani, ni sehemu ya decimal ya mara kwa mara na 9 katika kipindi hicho, basi lazima ibadilishwe na rekodi sawa na sifuri katika kipindi hicho.

Operesheni za hesabu zilizo na sehemu za desimali zisizo na kikomo ni mwendelezo endelevu wa shughuli zinazolingana na nambari za busara. Kwa mfano, jumla ya nambari halisi α Na β ni nambari halisi α+β , ambayo inakidhi masharti yafuatayo:

∀ a′,b′,b′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′)⇒ (a+b⩽ α + β ⩽ a′+b′)

Uendeshaji wa kuzidisha sehemu za desimali zisizo na kikomo hufafanuliwa vile vile.

Nambari katika nambari za tarakimu nyingi zimegawanywa kutoka kulia kwenda kushoto katika vikundi vya tarakimu tatu kila moja. Vikundi hivi vinaitwa madarasa. Katika kila darasa, nambari kutoka kulia kwenda kushoto zinaonyesha vitengo, makumi na mamia ya darasa hilo:

Darasa la kwanza kulia linaitwa darasa la vitengo, pili - elfu, cha tatu - mamilioni, nne - mabilioni, tano - trilioni, sita - quadrillion, saba - quintillions, nane - sextillions.

Ili iwe rahisi kusoma nukuu ya nambari ya nambari nyingi, nafasi ndogo imesalia kati ya madarasa. Kwa mfano, kusoma nambari 148951784296, tunaangazia madarasa ndani yake:

na usome idadi ya vitengo vya kila darasa kutoka kushoto kwenda kulia:

bilioni 148 milioni 951 784 elfu 296.

Wakati wa kusoma darasa la vitengo, neno vitengo kawaida si aliongeza mwishoni.

Kila tarakimu katika nukuu ya nambari ya tarakimu nyingi inachukua mahali fulani - nafasi. Mahali (nafasi) katika rekodi ya nambari ambayo tarakimu imesimama inaitwa kutokwa.

Kuhesabu tarakimu huenda kutoka kulia kwenda kushoto. Hiyo ni, tarakimu ya kwanza upande wa kulia katika nambari inaitwa tarakimu ya kwanza, tarakimu ya pili upande wa kulia ni tarakimu ya pili, n.k. Kwa mfano, katika darasa la kwanza la nambari 148,951,784,296, tarakimu 6 ni tarakimu ya kwanza. 9 ni tarakimu ya pili, 2 - tarakimu ya tatu:

Vitengo, makumi, mamia, maelfu, nk pia huitwa vitengo kidogo:
vitengo vinaitwa vitengo vya kitengo cha 1 (au vitengo rahisi)
makumi huitwa vitengo vya nambari ya 2
mamia huitwa vitengo vya tarakimu 3, nk.

Vitengo vyote isipokuwa vitengo rahisi vinaitwa vitengo vinavyounda. Kwa hivyo, kumi, mia, elfu, nk ni vitengo vya mchanganyiko. Kila vitengo 10 vya safu yoyote hujumuisha kitengo kimoja cha safu inayofuata (ya juu). Kwa mfano, mia ina makumi 10, kumi ina kumi kuu.

Kitengo chochote cha kiwanja kikilinganishwa na kitengo kingine kidogo kuliko kinavyoitwa kitengo cha kitengo cha juu zaidi, na kwa kulinganisha na kitengo kikubwa kuliko kinachoitwa kitengo cha kategoria ya chini kabisa. Kwa mfano, mia ni kitengo cha hali ya juu kinachohusiana na kumi na kitengo cha chini kinachohusiana na elfu.

Ili kujua ni vitengo ngapi vya nambari yoyote vilivyo katika nambari, unahitaji kutupa nambari zote zinazowakilisha vitengo vya nambari za chini na usome nambari iliyoonyeshwa na nambari zilizobaki.

Kwa mfano, unahitaji kujua ni mamia ngapi katika nambari 6284, i.e. ni mamia ngapi katika maelfu na mamia ya nambari fulani pamoja.

Katika nambari 6284, nambari 2 iko katika nafasi ya tatu katika darasa la vitengo, ambayo inamaanisha kuna mamia kuu mbili katika nambari hiyo. Nambari inayofuata upande wa kushoto ni 6, ikimaanisha maelfu. Kwa kuwa kila elfu ina mamia 10, elfu 6 ina 60 kati yao, kwa hivyo, nambari hii ina mamia 62.

Nambari 0 katika tarakimu yoyote inamaanisha kutokuwepo kwa vitengo katika tarakimu hii. Kwa mfano, nambari 0 katika sehemu ya kumi inamaanisha kutokuwepo kwa makumi, katika mamia mahali - kutokuwepo kwa mamia, nk Katika mahali ambapo kuna 0, hakuna kinachosemwa wakati wa kusoma nambari:

172 526 - mia moja sabini na mbili elfu mia tano ishirini na sita.
102 026 - laki mbili ishirini na sita.

Wazo la angavu la nambari ni la zamani kama ubinadamu yenyewe, ingawa kwa kanuni haiwezekani kufuata kwa uhakika hatua zote za mwanzo za ukuaji wake. Kabla ya mwanadamu kujifunza kuhesabu au kuja na maneno ya kuashiria nambari, bila shaka alikuwa na wazo la kuona, angavu la nambari ambalo lilimruhusu kutofautisha kati ya mtu mmoja na watu wawili, au kati ya watu wawili na wengi. Kwamba watu wa awali mwanzoni walijua “mmoja,” “wawili,” na “wengi” tu inathibitishwa na uhakika wa kwamba katika lugha fulani, kama vile Kigiriki, kuna namna tatu za kisarufi: umoja, uwili na wingi. Baadaye, mwanadamu alijifunza kutofautisha kati ya miti miwili na mitatu na kati ya watu watatu na wanne. Kuhesabu awali kulihusishwa na seti maalum ya vitu, na majina ya kwanza kabisa ya nambari yalikuwa vivumishi. Kwa mfano, neno "tatu" lilitumiwa tu katika mchanganyiko "miti mitatu" au "watu watatu"; wazo kwamba seti hizi zina kitu sawa - dhana ya utatu - inahitaji kiwango cha juu cha uondoaji. Hesabu hiyo ilitokea kabla ya kuonekana kwa kiwango hiki cha uondoaji inathibitishwa na ukweli kwamba maneno "moja" na "kwanza", na "mbili" na "pili", katika lugha nyingi hawana kitu sawa na kila mmoja. , wakati amelala zaidi ya hesabu ya awali ya "moja", "mbili", "nyingi", maneno "tatu" na "tatu", "nne" na "nne" yanaonyesha wazi uhusiano kati ya namba za kardinali na ordinal.

Majina ya nambari, yanayoonyesha mawazo ya kufikirika sana, yalionekana, bila shaka, baadaye kuliko alama za kwanza zisizo na maana za kuonyesha idadi ya vitu kwenye mkusanyiko fulani. Katika nyakati za zamani, rekodi za nambari za zamani zilifanywa kwa namna ya noti kwenye fimbo, vifungo kwenye kamba, vilivyowekwa kwenye safu ya kokoto, na ilieleweka kuwa kulikuwa na mawasiliano ya moja kwa moja kati ya vipengele vya seti ikihesabiwa na alama za rekodi ya nambari. Lakini majina ya nambari hayakutumiwa moja kwa moja kusoma rekodi hizo za nambari. Siku hizi tunatambua mara ya kwanza mkusanyiko wa vipengele viwili, vitatu na vinne; Seti zinazojumuisha vipengele vitano, sita au saba ni vigumu zaidi kutambua kwa mtazamo wa kwanza. Na zaidi ya mpaka huu ni vigumu kuanzisha idadi yao kwa jicho, na uchambuzi unahitajika ama kwa njia ya kuhesabu au katika muundo fulani wa vipengele. Kuhesabu vitambulisho inaonekana kuwa ndiyo mbinu ya kwanza kutumika katika hali kama hizi: noti kwenye vitambulisho zilipangwa katika vikundi fulani, kama vile wakati wa kuhesabu karatasi za kura mara nyingi huwekwa katika pakiti za tano au kumi. Kuhesabu vidole kulienea sana, na inawezekana kabisa kwamba majina ya nambari fulani hutoka kwa usahihi kutoka kwa njia hii ya kuhesabu.

Kipengele muhimu cha kuhesabu ni uunganisho wa majina ya nambari na mpango maalum wa kuhesabu. Kwa mfano, neno “ishirini na tatu” si neno tu linalomaanisha kundi lililofafanuliwa vizuri (kwa idadi ya vipengele) la vitu; ni neno lenye mchanganyiko linalomaanisha “mbili mara kumi na tatu.” Hapa jukumu la nambari kumi kama kitengo cha pamoja au msingi linaonekana wazi; na kwa kweli, watu wengi huhesabu katika makumi, kwa sababu, kama Aristotle alibainisha, tuna vidole kumi na vidole. Misingi mitano au ishirini ilitumika kwa sababu hiyo hiyo. Katika hatua za awali sana za maendeleo ya historia ya mwanadamu, nambari 2, 3 au 4 zilichukuliwa kama msingi wa mfumo wa nambari; wakati mwingine besi 12 na 60 zilitumika kwa baadhi ya vipimo au hesabu.

Mwanadamu alianza kuhesabu muda mrefu kabla ya kujifunza kuandika, kwa hiyo hakuna hati yoyote iliyoandikwa ambayo imesalia inayothibitisha maneno ambayo yalitumiwa kuonyesha nambari katika nyakati za kale. Makabila ya kuhamahama yana sifa ya majina ya simulizi ya nambari; kama ilivyoandikwa, hitaji lao liliibuka tu na mabadiliko ya maisha ya kukaa na malezi ya jamii za kilimo. Haja ya mfumo wa kurekodi nambari pia iliibuka, na hapo ndipo msingi ulipowekwa kwa maendeleo ya hisabati.

Aina za msingi za nambari

Tofauti na pweza, sedenions S hawana mali ya mbadala, lakini kuhifadhi mali ya ushirika wa nguvu.

Ili kuwakilisha nambari chanya ya x kwenye kumbukumbu ya kompyuta, inabadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya binary. Nambari ya binary x 2 inayotokana ni nukuu ya mashine ya nambari ya desimali inayolingana x 10. Kuandika nambari hasi, kinachojulikana. msimbo wa ziada wa nambari, ambao hupatikana kwa kuongeza moja kwa uwakilishi uliogeuzwa wa moduli ya nambari fulani hasi katika mfumo wa nambari ya binary.

Uwakilishi wa nambari halisi katika kumbukumbu ya kompyuta (katika kompyuta, neno nambari ya hatua inayoelea hutumiwa kuziashiria) ina mapungufu fulani yanayohusiana na mfumo wa nambari unaotumiwa, pamoja na kumbukumbu ndogo iliyotengwa kwa nambari. Kwa hivyo, baadhi tu ya nambari halisi zinaweza kuwakilishwa kwa usahihi kwenye kumbukumbu ya kompyuta bila kupoteza. Katika mpango wa kawaida, nambari ya sehemu ya kuelea imeandikwa kama kizuizi cha bits, ambazo zingine zinawakilisha mantissa ya nambari, zingine - nguvu, na kidogo imetengwa kuwakilisha ishara ya nambari (ikiwa ni lazima, alama ndogo inaweza kuwa haipo).

Tafuta alama kwenye duara la nambari na abscissa uliyopewa. Kuratibu. Mali ya kuratibu za uhakika. Katikati ya mduara wa nambari. Kutoka kwa mduara hadi trigonometer. Tafuta alama kwenye mduara wa nambari. Dots na abscissa. Trigonometer. Weka alama kwenye mduara wa nambari. Mduara wa nambari kwenye ndege ya kuratibu. Mzunguko wa nambari. Pointi zilizo na mpangilio. Toa uratibu wa hoja. Taja mstari na uratibu wa uhakika.

""Derivatives" aljebra ya daraja la 10" - Utumiaji wa viini katika utendakazi wa kusoma. Derivative ni sifuri. Tafuta pointi. Hebu tufanye muhtasari wa habari. Hali ya monotonicity ya kazi. Utumiaji wa derivative katika utafiti wa kazi. Joto-up ya kinadharia. Kamilisha taarifa. Chagua kauli sahihi. Nadharia. Linganisha. Derivative ni chanya. Linganisha uundaji wa nadharia. Kazi huongezeka. Masharti ya kutosha kwa waliokithiri.

""Milinganyo ya Trigonometric" daraja la 10" - Maadili kutoka kwa muda. X= tani x. Kutoa mizizi. Je, usawa ni kweli? Mfululizo wa mizizi. Equation kitanda t = a. Ufafanuzi. Kwa 4x. Tafuta mizizi ya equation. Equation tg t = a. Dhambi x. Je, usemi huo una maana? Dhambi x =1. Kamwe usifanye usichokijua. Endelea sentensi. Hebu tuchukue sampuli ya mizizi. Tatua mlinganyo. Ctg x = 1. Milinganyo ya Trigonometric. Mlinganyo.

"Aljebra "Derivatives" - Mlinganyo wa Tangent. Asili ya masharti. Tatua tatizo. Derivative. Pointi ya nyenzo. Fomula za kutofautisha. Maana ya mitambo ya derivative. Vigezo vya tathmini. Utendakazi wa derivative. Tanji kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa. Ufafanuzi wa derivative. Mlinganyo wa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa. Algorithm ya kutafuta derivative. Mfano wa kutafuta derivative. Muundo wa somo la mada. Hatua hiyo inasonga kwa mstari wa moja kwa moja.

"Njia fupi" - Njia katika digrafu. Mfano wa grafu mbili tofauti. Grafu zilizoelekezwa. Mifano ya grafu iliyoelekezwa. Upatikanaji. Njia fupi zaidi kutoka kwa kipeo A hadi kipeo D. Maelezo ya algoriti. Faida za orodha ya hierarchical. Grafu zilizopimwa. Njia kwenye grafu. Mpango wa ProGraph. Vipeo vya karibu na kingo. Shahada ya juu. Matrix ya ukaribu. Urefu wa njia katika grafu yenye uzito. Mfano wa matrix ya karibu. Kutafuta njia fupi zaidi.

"Historia ya Trigonometry" - Jacob Bernoulli. Mbinu za kufanya kazi na kazi za trigonometric. Mafundisho ya kupima polihedra. Leonard Euler. Maendeleo ya trigonometry kutoka karne ya 16 hadi leo. Mwanafunzi anapaswa kukutana na trigonometry mara tatu. Hadi sasa, trigonometry imeundwa na kuendelezwa. Ujenzi wa mfumo wa jumla wa ujuzi wa trigonometric na kuhusiana. Muda unapita, na trigonometry inarudi kwa watoto wa shule.