Njia za kutatua mfumo wa equations. Kutatua mifumo ngumu ya milinganyo

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Mifumo ya milinganyo. Njia ya uingizwaji, njia ya kuongeza, njia ya kuanzisha tofauti mpya"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 9
Simulator ya vitabu vya kiada na Atanasyan L.S. Simulator ya vitabu vya kiada Pogorelova A.V.

Njia za kutatua mifumo ya usawa

Jamani, tumesoma mifumo ya milinganyo na kujifunza jinsi ya kuisuluhisha kwa kutumia grafu. Sasa hebu tuone ni njia gani zingine za kutatua mifumo zipo?
Karibu njia zote za kuzitatua hazina tofauti na zile tulizosoma katika darasa la 7. Sasa tunahitaji kufanya marekebisho kadhaa kulingana na milinganyo ambayo tumejifunza kutatua.
Kiini cha njia zote zilizoelezewa katika somo hili, huu ni uingizwaji wa mfumo na mfumo sawa na zaidi mtazamo rahisi na njia ya suluhisho. Guys, kumbuka ni mfumo gani unaofanana.

Mbinu ya uingizwaji

Njia ya kwanza ya kutatua mifumo ya equations na vigezo viwili inajulikana kwetu - hii ni njia ya uingizwaji. Tulitumia njia hii kutatua milinganyo ya mstari. Sasa hebu tuone jinsi ya kutatua equations katika kesi ya jumla?

Unapaswa kuendeleaje unapofanya uamuzi?
1. Eleza moja ya vigezo katika suala la mwingine. Vigezo vinavyotumika mara nyingi katika milinganyo ni x na y. Katika moja ya milinganyo tunaelezea kigezo kimoja katika suala la kingine. Kidokezo: Angalia milinganyo yote miwili kwa makini kabla ya kuanza kusuluhisha, na uchague ile ambapo ni rahisi kueleza kigezo.
2. Badilisha usemi unaotokana na mlinganyo wa pili, badala ya kigezo kilichoonyeshwa.
3. Tatua mlinganyo ambao tulipata.
4. Badilisha suluhisho linalosababisha katika equation ya pili. Ikiwa kuna suluhisho kadhaa, basi unahitaji kuzibadilisha kwa mlolongo ili usipoteze suluhisho kadhaa.
5. Kwa sababu hiyo, utapokea jozi ya nambari $(x;y)$, ambazo lazima ziandikwe kama jibu.

Mfano.
Tatua mfumo na mbili njia ya kutofautiana mabadilisho: $\anza(kesi)x+y=5, \\xy=6\end(kesi)$.

Suluhisho.
Wacha tuangalie kwa karibu milinganyo yetu. Ni wazi, kuelezea y katika suala la x katika equation ya kwanza ni rahisi zaidi.
$\anza(kesi)y=5-x, \\xy=6\end(kesi)$.
Wacha tubadilishe usemi wa kwanza kwenye mlinganyo wa pili $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(kesi)$.
Wacha tusuluhishe equation ya pili kando:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Tulipata masuluhisho mawili ya mlingano wa pili $x_1=2$ na $x_2=3$.
Badilisha kwa kufuatana katika mlinganyo wa pili.
Ikiwa $x=2$, basi $y=3$. Ikiwa $x=3$, basi $y=2$.
Jibu litakuwa jozi mbili za nambari.
Jibu: $(2;3)$ na $(3;2)$.

Mbinu ya kuongeza algebra

Pia tulisoma njia hii katika daraja la 7.
Inajulikana kuwa mlinganyo wa busara kutoka kwa vigezo viwili tunaweza kuzidisha kwa nambari yoyote, bila kusahau kuzidisha pande zote mbili za equation. Tulizidisha moja ya equations kwa nambari fulani ili wakati wa kuongeza equation inayotokana na equation ya pili ya mfumo, moja ya vigezo viliharibiwa. Kisha equation ilitatuliwa kwa kutofautiana iliyobaki.
Njia hii bado inafanya kazi, ingawa si mara zote inawezekana kuharibu moja ya vigezo. Lakini hukuruhusu kurahisisha kwa kiasi kikubwa fomu ya moja ya equations.

Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(kesi)$.

Suluhisho.
Wacha tuzidishe mlinganyo wa kwanza kwa 2.
$\anza(kesi)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kesi)$.
Wacha tutoe ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kama unaweza kuona, fomu ya equation inayosababishwa ni rahisi zaidi kuliko ile ya asili. Sasa tunaweza kutumia njia mbadala.
$\anza(kesi)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\mwisho(kesi)$.
Wacha tueleze x kulingana na y katika mlinganyo unaotokana.
$\anza(kesi)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kesi)$.
Tulipata $y=-1$ na $y=-3$.
Wacha tubadilishe maadili haya kwa mpangilio kwenye equation ya kwanza. Tunapata jozi mbili za nambari: $(1;-1)$ na $(-1;-3)$.
Jibu: $(1;-1)$ na $(-1;-3)$.

Mbinu ya kutambulisha kigezo kipya

Pia tulijifunza njia hii, lakini hebu tuangalie tena.

Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(kesi)$.

Suluhisho.
Wacha tuanzishe kibadala $t=\frac(x)(y)$.
Wacha tuandike tena mlingano wa kwanza kwa kigezo kipya: $t+\frac(2)(t)=3$.
Wacha tusuluhishe equation inayosababishwa:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Tulipata $t=2$ au $t=1$. Wacha tuanzishe mabadiliko ya nyuma $t=\frac(x)(y)$.
Tulipata: $x=2y$ na $x=y$.

Kwa kila moja ya maneno, mfumo asili lazima utatuliwe tofauti:
$\anza(kesi)x=2y, \\2x^2-y^2=1\mwisho(kesi)$. $\anza(kesi)x=y, \\2x^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\8y^2-y^2=1\mwisho(kesi)$. $\anza(kesi)x=y, \\2y^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\7y^2=1\mwisho(kesi)$. $\anza(kesi)x=2y, \\y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kesi)$. $\anza(kesi)x=y, \\y=±1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kesi)$. $\anza(kesi)x=±1, \\y=±1\mwisho(kesi)$.
Tulipokea jozi nne za suluhisho.
Jibu: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kesi)$.

Suluhisho.
Wacha tuanzishe uingizwaji: $z=\frac(2)(x-3y)$ na $t=\frac(3)(2x+y)$.
Wacha tuandike tena hesabu za asili na anuwai mpya:
$\anza(kesi)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kesi)$.
Hebu tumia mbinu nyongeza ya algebra:
$\anza(kesi)3z+3t=6, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)7z=7, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)z=1, \\-3t=1-4\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)z=1, \\t=1\end(kesi)$.
Wacha tuanzishe ubadilishaji wa kinyume:
$\anza(kesi)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x-3y=2, \\2x+y=3\mwisho(kesi)$.
Wacha tutumie njia mbadala:
$\anza(kesi)x=2+3y, \\4+6y+y=3\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2+3y, \\7y=-1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(kesi)$.
$\anza(kesi)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(kesi)$.
Jibu: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Shida kwenye mifumo ya milinganyo kwa suluhisho huru

Tatua mifumo:
1. $\anza(kesi)2x-2y=6,\\xy =-2\mwisho(kesi)$.
2. $\anza(kesi)x+y^2=3, \\xy^2=4\mwisho(kesi)$.
3. $\anza(kesi)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\mwisho(kesi)$.
4. $\anza(kesi)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ mwisho(kesi)$.
5. $\anza(kesi)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(kesi)$.

Mfumo milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana ni milinganyo miwili au zaidi ya mstari ambayo ni muhimu kupata masuluhisho yao yote ya kawaida. Tutazingatia mifumo ya milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana. Fomu ya jumla mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na mbili zisizojulikana zimewasilishwa kwenye takwimu hapa chini:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Hapa x na y ni vigeu visivyojulikana, a1,a2,b1,b2,c1,c2 ni baadhi nambari za kweli. Suluhisho la mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika vitu viwili visivyojulikana ni jozi ya nambari (x,y) hivi kwamba ikiwa tutabadilisha nambari hizi kwenye milinganyo ya mfumo, basi kila milinganyo ya mfumo inageuka kuwa usawa wa kweli. Kuna njia kadhaa za kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari. Hebu fikiria mojawapo ya njia za kutatua mfumo wa equations za mstari, yaani njia ya kuongeza.

Algorithm ya kusuluhisha kwa njia ya kuongeza

Algorithm ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana kwa kutumia njia ya kuongeza.

1. Ikihitajika, kwa mabadiliko sawa kusawazisha mgawo wa mojawapo ya vigeu visivyojulikana katika milinganyo yote miwili.

2. Kwa kuongeza au kupunguza milinganyo inayotokana, pata usawa wa mstari na usiojulikana

3. Tatua equation inayotokana na moja isiyojulikana na kupata moja ya vigezo.

4. Badilisha usemi unaotokana na milinganyo yoyote kati ya mbili za mfumo na usuluhishe mlingano huu, na hivyo kupata tofauti ya pili.

5. Angalia suluhisho.

Mfano wa suluhisho kwa kutumia njia ya kuongeza

Kwa uwazi zaidi, hebu tutatue kwa kutumia njia ya kuongeza mfumo ufuatao milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana:

(3 * x + 2 * y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Kwa kuwa hakuna vigeuzo vyovyote vilivyo na mgawo unaofanana, tunasawazisha mgawo wa kigezo y. Ili kufanya hivyo, zidisha equation ya kwanza na tatu, na equation ya pili kwa mbili.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Tunapata mfumo ufuatao wa milinganyo:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sasa tunaondoa kwanza kutoka kwa equation ya pili. Tunawasilisha masharti yanayofanana na kutatua equation ya mstari inayosababisha.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Tunabadilisha thamani inayotokana na kuwa mlingano wa kwanza kutoka kwa mfumo wetu asilia na kutatua mlingano unaotokana.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Matokeo yake ni jozi ya nambari x=6 na y=14. Tunaangalia. Hebu tufanye mbadala.

(3 * x + 2 * y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Kama unaweza kuona, tulipata usawa mbili sahihi, kwa hivyo, tulipata suluhisho sahihi.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kulingana na maswali ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Mifumo ya equations hutumiwa sana katika sekta ya uchumi katika mfano wa hisabati michakato mbalimbali. Kwa mfano, wakati wa kutatua matatizo ya usimamizi na mipango ya uzalishaji, njia za vifaa ( tatizo la usafiri) au uwekaji wa vifaa.

Mifumo ya equations haitumiwi tu katika hisabati, lakini pia katika fizikia, kemia na biolojia, wakati wa kutatua matatizo ya kutafuta ukubwa wa idadi ya watu.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni milinganyo miwili au zaidi yenye vigezo kadhaa ambavyo ni muhimu kupata suluhisho la kawaida. Msururu kama huo wa nambari ambao milinganyo yote inakuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kuwa mfuatano huo haupo.

Mlinganyo wa mstari

Milinganyo ya fomu ax+by=c inaitwa linear. Majina x, y ni majina yasiyojulikana ambayo thamani yake lazima ipatikane, b, a ni mgawo wa viambajengo, c ni neno lisilolipishwa la mlinganyo.
Kutatua equation kwa kupanga njama itaonekana kama mstari wa moja kwa moja, pointi zote ambazo ni suluhisho kwa polynomial.

Aina za mifumo ya milinganyo ya mstari

Mifano rahisi zaidi inachukuliwa kuwa mifumo ya milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili X na Y.

F1(x, y) = 0 na F2(x, y) = 0, ambapo F1,2 ni vitendaji na (x, y) ni vigezo vya chaguo za kukokotoa.

Tatua mfumo wa milinganyo - hii inamaanisha kupata thamani (x, y) ambapo mfumo unageuka kuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kwamba thamani zinazofaa za x na y hazipo.

Jozi ya maadili (x, y), iliyoandikwa kama kuratibu za nukta, inaitwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari.

Ikiwa mifumo ina suluhisho moja la kawaida au hakuna suluhisho lipo, huitwa sawa.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya mstari ni mifumo sehemu ya kulia ambayo ni sawa na sifuri. Ikiwa sehemu ya kulia baada ya ishara sawa ina thamani au imeonyeshwa na chaguo za kukokotoa, mfumo kama huo ni tofauti.

Idadi ya vigezo inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi tunapaswa kuzungumza juu ya mfano wa mfumo wa equations linear na vigezo tatu au zaidi.

Wakati wanakabiliwa na mifumo, watoto wa shule wanadhani kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya haijulikani, lakini hii sivyo. Idadi ya milinganyo katika mfumo haitegemei vigeuzo;

Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

Hakuna njia ya jumla ya uchambuzi ya kutatua mifumo inayofanana, njia zote zinategemea ufumbuzi wa nambari. KATIKA kozi ya shule hisabati, mbinu kama vile vibali, nyongeza za aljebra, uingizwaji, na vile vile kielelezo na njia ya matrix, suluhisho kwa njia ya Gaussian.

Kazi kuu wakati wa kufundisha njia za suluhisho ni kufundisha jinsi ya kuchambua kwa usahihi mfumo na kupata algorithm mojawapo suluhisho kwa kila mfano. Jambo kuu sio kukariri mfumo wa sheria na vitendo kwa kila njia, lakini kuelewa kanuni za kutumia njia fulani.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari wa programu ya daraja la 7 shule ya Sekondari rahisi sana na kuelezewa kwa kina sana. Katika kitabu chochote cha hisabati, sehemu hii inapewa umakini wa kutosha. Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss na Cramer inasomwa kwa undani zaidi katika miaka ya kwanza ya elimu ya juu.

Kutatua mifumo kwa kutumia njia mbadala

Vitendo vya njia ya uingizwaji vinalenga kuelezea thamani ya kigezo kimoja katika suala la pili. Usemi huo hubadilishwa kuwa mlinganyo uliobaki, kisha hupunguzwa kuwa fomu yenye kigezo kimoja. Kitendo kinarudiwa kulingana na idadi ya haijulikani kwenye mfumo

Wacha tutoe suluhisho kwa mfano wa mfumo wa hesabu za mstari wa darasa la 7 kwa kutumia njia mbadala:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, kigezo cha x kilionyeshwa kupitia F(X) = 7 + Y. Usemi uliotokana, uliowekwa badala ya mlingano wa 2 wa mfumo badala ya X, ulisaidia kupata kigezo kimoja cha Y katika mlingano wa 2. . Suluhisho mfano huu haisababishi ugumu na hukuruhusu kupata thamani ya Y Hatua ya mwisho ni kuangalia maadili yaliyopatikana.

Si mara zote inawezekana kutatua mfano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kubadilisha. Milinganyo inaweza kuwa changamano na kuelezea kutofautisha katika suala la pili isiyojulikana itakuwa ngumu sana kwa hesabu zaidi. Wakati kuna zaidi ya 3 haijulikani katika mfumo, kutatua kwa uingizwaji pia siofaa.

Suluhisho la mfano wa mfumo wa milinganyo isiyo na usawa ya mstari:

Suluhisho kwa kutumia nyongeza ya algebra

Wakati wa kutafuta suluhisho kwa mifumo kwa kutumia njia ya kuongeza, hufanya nyongeza ya muda baada ya muda na kuzidisha milinganyo kwa nambari tofauti. Lengo kuu la shughuli za hisabati ni mlinganyo katika kigezo kimoja.

Kwa Maombi njia hii mazoezi na uchunguzi unahitajika. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza wakati kuna vigeu 3 au zaidi si rahisi. Nyongeza ya aljebra ni rahisi kutumia wakati milinganyo ina sehemu na desimali.

Algorithm ya suluhisho:

Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari fulani. Matokeo yake operesheni ya hesabu moja ya mgawo wa kutofautisha lazima iwe sawa na 1.
Ongeza neno linalotokana na usemi kwa muhula na upate mojawapo ya yasiyojulikana.
Badilisha thamani inayotokana na mlingano wa 2 wa mfumo ili kupata kigezo kilichosalia.

Njia ya suluhisho kwa kuanzisha kigezo kipya

Tofauti mpya inaweza kuletwa ikiwa mfumo unahitaji kutafuta suluhisho kwa si zaidi ya milinganyo miwili;

Njia hiyo hutumiwa kurahisisha mojawapo ya milinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya. Equation mpya inatatuliwa kwa iliyoanzishwa haijulikani, na thamani inayotokana hutumiwa kuamua kutofautiana kwa asili.

Mfano unaonyesha kuwa kwa kuanzisha kibadilishaji kipya cha t, iliwezekana kupunguza equation ya 1 ya mfumo hadi ile ya kawaida. quadratic trinomial. Unaweza kutatua polynomial kwa kutafuta kibaguzi.

Ni muhimu kupata thamani ya kibaguzi kwa formula inayojulikana: D = b2 - 4*a*c, ambapo D ni kibaguzi kinachohitajika, b, a, c ni sababu za polynomial. KATIKA kupewa mfano a=1, b=16, c=39, kwa hivyo D=100. Ikiwa mbaguzi Juu ya sifuri, basi kuna ufumbuzi mbili: t = -b±√D / 2*a, ikiwa kibaguzi ni chini ya sifuri, basi kuna suluhisho moja: x = -b / 2*a.

Suluhisho la mifumo inayotokana hupatikana kwa njia ya kuongeza.

Njia ya kuona ya kutatua mifumo

Inafaa kwa mifumo 3 ya equation. Mbinu ni kujenga juu mhimili wa kuratibu grafu za kila mlinganyo uliojumuishwa kwenye mfumo. Kuratibu za pointi za makutano ya curves na itakuwa uamuzi wa jumla mifumo.

Njia ya graphical ina idadi ya nuances. Wacha tuangalie mifano kadhaa ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa njia ya kuona.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, kwa kila mstari pointi mbili zilijengwa, maadili ya kutofautiana x yalichaguliwa kiholela: 0 na 3. Kulingana na maadili ya x, maadili ya y yalipatikana: 3 na 0. Pointi zilizo na kuratibu (0, 3) na (3, 0) ziliwekwa alama kwenye grafu na kuunganishwa na mstari.

Hatua lazima zirudiwe kwa equation ya pili. Hatua ya makutano ya mistari ni suluhisho la mfumo.

Mfano ufuatao unahitaji kupatikana suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari: 0.5x-y+2=0 na 0.5x-y-1=0.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, mfumo hauna suluhisho, kwa sababu grafu ni sawa na haziingiliani kwa urefu wao wote.

Mifumo kutoka kwa mifano 2 na 3 ni sawa, lakini inapojengwa inakuwa dhahiri kuwa suluhisho zao ni tofauti. Inapaswa kukumbuka kuwa si mara zote inawezekana kusema ikiwa mfumo una suluhisho au la, daima ni muhimu kujenga grafu.

Matrix na aina zake

Matrices hutumiwa kwa noti fupi mifumo ya milinganyo ya mstari. Matrix ni meza aina maalum kujazwa na nambari. n*m ina n - safu mlalo na safu wima m.

Matrix ni mraba wakati idadi ya safu wima na safu ni sawa. Vekta ya matrix ni matrix ya safu wima moja isiyo na mwisho nambari inayowezekana mistari. Matrix iliyo na zile kando ya moja ya diagonals na vitu vingine vya sifuri inaitwa utambulisho.

Matrix inverse ni matrix inapozidishwa ambayo ya asili inabadilika kuwa matrix ya kitengo;

Sheria za kubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa matrix

Kuhusiana na mifumo ya milinganyo, mgawo na masharti ya bure ya milinganyo huandikwa kama nambari za matrix;

Safu mlalo ya matriki inasemekana kuwa nonzero ikiwa angalau kipengele kimoja cha safu mlalo si sifuri. Kwa hiyo, ikiwa katika equations yoyote idadi ya vigezo hutofautiana, basi ni muhimu kuingia sifuri mahali pa kukosa haijulikani.

Safu wima za matrix lazima zilingane kabisa na vigeuzo. Hii ina maana kwamba coefficients ya kutofautiana x inaweza kuandikwa tu katika safu moja, kwa mfano ya kwanza, mgawo wa y haijulikani - tu kwa pili.

Wakati wa kuzidisha matrix, vitu vyote vya matrix huzidishwa kwa mpangilio na nambari.

Chaguzi za kutafuta matrix inverse

Njia ya kupata matrix inverse ni rahisi sana: K -1 = 1 / |K|, ambapo K -1 - matrix ya kinyume, na |K| ni kiashiria cha matrix. |K| lazima isiwe sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho.

Kiamuzi kinahesabiwa kwa urahisi kwa matrix mbili kwa mbili unahitaji tu kuzidisha vipengele vya diagonal kwa kila mmoja. Kwa chaguo la "tatu kwa tatu", kuna fomula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Unaweza kutumia fomula, au unaweza kukumbuka kuwa unahitaji kuchukua kipengee kimoja kutoka kwa kila safu na kila safu ili nambari za safu na safu za vitu zisirudiwe kwenye kazi.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Njia ya matrix ya kupata suluhisho hukuruhusu kupunguza maingizo magumu wakati wa kutatua mifumo na kiasi kikubwa vigezo na milinganyo.

Katika mfano, nm ni coefficients ya equations, matrix ni vector x n ni vigezo, na b n ni masharti ya bure.

Mifumo ya kutatua kwa kutumia njia ya Gaussian

KATIKA hisabati ya juu Njia ya Gaussian inasomwa pamoja na njia ya Cramer, na mchakato wa kutafuta ufumbuzi wa mifumo inaitwa njia ya ufumbuzi wa Gauss-Cramer. Njia hizi hutumiwa kupata mifumo ya kutofautiana na idadi kubwa ya milinganyo ya mstari.

Njia ya Gauss inafanana sana na suluhu kwa kubadilisha na kuongeza aljebra, lakini ni ya kimfumo zaidi. Katika kozi ya shule, suluhisho kwa njia ya Gaussian hutumiwa kwa mifumo ya 3 na 4 equations. Madhumuni ya njia ni kupunguza mfumo kwa fomu ya trapezoid inverted. Na mabadiliko ya algebra na uingizwaji, thamani ya kigezo kimoja hupatikana katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo. Mlinganyo wa pili ni usemi ulio na 2 zisizojulikana, wakati 3 na 4 ziko, mtawaliwa, na 3 na 4 anuwai.

Baada ya kuleta mfumo kwa fomu iliyoelezwa, suluhisho zaidi linapunguzwa kwa uingizaji wa mfululizo wa vigezo vinavyojulikana katika equations ya mfumo.

Katika vitabu vya kiada vya shule kwa darasa la 7, mfano wa suluhisho kwa njia ya Gauss umeelezewa kama ifuatavyo:

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, katika hatua (3) milinganyo miwili ilipatikana: 3x 3 -2x 4 = 11 na 3x 3 +2x 4 =7. Kutatua milinganyo yoyote itakuruhusu kujua moja ya vigeuzo x n.

Nadharia ya 5, ambayo imetajwa katika maandishi, inasema kwamba ikiwa moja ya equations ya mfumo inabadilishwa na sawa, basi mfumo wa matokeo pia utakuwa sawa na wa awali.

Mbinu ya Gauss ni ngumu kwa wanafunzi kuelewa sekondari, lakini ni mojawapo ya njia za kuvutia zaidi za kuendeleza ujuzi wa watoto wanaosoma chini ya programu utafiti wa kina katika madarasa ya hisabati na fizikia.

Kwa urahisi wa kurekodi, mahesabu kawaida hufanywa kama ifuatavyo:

Coefficients ya equations na maneno ya bure yameandikwa kwa namna ya matrix, ambapo kila safu ya matrix inafanana na moja ya equations ya mfumo. hutenganisha upande wa kushoto wa equation kutoka kulia. Nambari za Kirumi zinaonyesha nambari za milinganyo kwenye mfumo.

Kwanza, andika matrix ya kufanyia kazi, kisha vitendo vyote vinavyofanywa na safu moja ya safu. Matrix inayosababishwa imeandikwa baada ya ishara ya "mshale" na shughuli muhimu za algebra zinaendelea hadi matokeo yanapatikana.

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ambayo moja ya diagonals ni sawa na 1, na coefficients nyingine zote ni sawa na sifuri, yaani, tumbo hupunguzwa kwa fomu ya kitengo. Hatupaswi kusahau kufanya mahesabu na nambari za pande zote za equation.

Njia hii ya kurekodi sio ngumu sana na hukuruhusu usikengeushwe kwa kuorodhesha mengi yasiyojulikana.

Matumizi ya bure ya njia yoyote ya ufumbuzi itahitaji huduma na uzoefu fulani. Sio njia zote ni za asili ya kutumika. Njia zingine za kupata suluhisho zinapendekezwa zaidi katika eneo fulani la shughuli za wanadamu, wakati zingine zipo kwa madhumuni ya kielimu.

Na video hii ninaanza mfululizo wa masomo yaliyotolewa kwa mifumo ya milinganyo. Leo tutazungumza juu ya kutatua mifumo ya equations za mstari njia ya kuongeza- hii ni moja ya wengi njia rahisi, lakini wakati huo huo moja ya ufanisi zaidi.

Njia ya kuongeza ina hatua tatu rahisi:

Angalia mfumo na uchague kigeu ambacho kina mgawo sawa (au kinyume) katika kila equation;
Tekeleza uondoaji wa algebra(Kwa nambari zinazopingana- nyongeza) ya equations kutoka kwa kila mmoja, na kisha kuleta masharti sawa;
Tatua mlingano mpya uliopatikana baada ya hatua ya pili.

Ikiwa kila kitu kimefanywa kwa usahihi, basi kwenye pato tutapata equation moja yenye kigezo kimoja- haitakuwa ngumu kuitatua. Halafu kilichobaki ni kubadilisha mzizi uliopatikana kwenye mfumo asilia na kupata jibu la mwisho.

Walakini, katika mazoezi kila kitu sio rahisi sana. Kuna sababu kadhaa za hii:

Kutatua milinganyo kwa kutumia mbinu ya kuongeza kunamaanisha kuwa mistari yote lazima iwe na viambajengo vilivyo na mgawo sawa/kinyume. Nini cha kufanya ikiwa hitaji hili halijafikiwa?
Si mara zote, baada ya kuongeza / kupunguza equations kwa njia iliyoonyeshwa, tunapata ujenzi mzuri ambao unaweza kutatuliwa kwa urahisi. Je, inawezekana kwa namna fulani kurahisisha mahesabu na kuharakisha mahesabu?

Ili kupata jibu la maswali haya, na wakati huo huo kuelewa hila chache za ziada ambazo wanafunzi wengi hufeli, tazama somo langu la video:

Kwa somo hili tunaanza mfululizo wa mihadhara inayotolewa kwa mifumo ya milinganyo. Na tutaanza kutoka kwa rahisi zaidi yao, ambayo ni pamoja na equations mbili na vigezo viwili. Kila moja yao itakuwa ya mstari.

Mifumo ni nyenzo ya darasa la 7, lakini somo hili pia litakuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili ambao wanataka kufafanua ujuzi wao wa mada hii.

Kwa ujumla, kuna njia mbili za kutatua mifumo kama hii:

Njia ya kuongeza;
Njia ya kuelezea kigezo kimoja katika suala la kingine.

Leo tutashughulika na njia ya kwanza - tutatumia njia ya kutoa na kuongeza. Lakini kwa kufanya hivyo, unahitaji kuelewa ukweli ufuatao: mara moja una equations mbili au zaidi, unaweza kuchukua yoyote kati yao na kuongeza kwa kila mmoja. Wanaongezwa mwanachama na mwanachama, i.e. "X" huongezwa kwa "X" na zinazofanana hupewa, "Y" na "Y" zinafanana tena, na kile kilicho upande wa kulia wa ishara sawa pia huongezwa kwa kila mmoja, na zinazofanana pia hutolewa hapo. .

Matokeo ya mifumo hiyo itakuwa equation mpya, ambayo, ikiwa ina mizizi, hakika itakuwa kati ya mizizi ya equation ya awali. Kwa hivyo, kazi yetu ni kutoa au kuongeza kwa njia ambayo ama $x$ au $y$ itatoweka.

Jinsi ya kufikia hili na ni chombo gani cha kutumia kwa hili - tutazungumzia kuhusu hili sasa.

Kutatua matatizo rahisi kwa kutumia nyongeza

Kwa hiyo, tunajifunza kutumia njia ya kuongeza kwa kutumia mfano wa maneno mawili rahisi.

Kazi nambari 1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Kumbuka kuwa $y$ ina mgawo wa $-4$ katika mlinganyo wa kwanza, na $+4$ katika pili. Ziko kinyume, kwa hivyo ni busara kudhani kwamba ikiwa tutaziongeza, basi kwa jumla inayosababisha "michezo" itaharibiwa pande zote. Ongeza na upate:

Wacha tutatue muundo rahisi zaidi:

Kubwa, tumepata "x". Tufanye nini nayo sasa? Tuna haki ya kuibadilisha katika milinganyo yoyote. Wacha tubadilishe ya kwanza:

\[-4y=12\kushoto| :\kushoto(-4 \kulia) \kulia.\]

Jibu: $\left(2;-3 \kulia)$.

Tatizo namba 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Hali hapa ni sawa kabisa, tu na "X". Wacha tuwaongeze:

Tunayo equation rahisi zaidi ya mstari, wacha tuitatue:

Sasa tupate $x$:

Jibu: $\left(-3;3 \kulia)$.

Pointi muhimu

Kwa hivyo, tumesuluhisha mifumo miwili rahisi ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza. Mambo muhimu tena:

Ikiwa kuna coefficients kinyume kwa moja ya vigezo, basi ni muhimu kuongeza vigezo vyote katika equation. Katika kesi hii, mmoja wao ataharibiwa.
Tunabadilisha kigezo kilichopatikana katika milinganyo yoyote ya mfumo ili kupata ya pili.
Rekodi ya mwisho ya majibu inaweza kuwasilishwa kwa njia tofauti. Kwa mfano, kama hii - $x=...,y=...$, au kwa namna ya kuratibu za pointi - $\left(...;... \right)$. Chaguo la pili ni bora zaidi. Jambo kuu la kukumbuka ni kwamba kuratibu kwanza ni $x$, na pili ni $y$.
Sheria ya kuandika jibu kwa namna ya kuratibu za uhakika haitumiki kila wakati. Kwa mfano, haiwezi kutumika wakati vigezo si $x$ na $y$, lakini, kwa mfano, $a$ na $b$.

Katika matatizo yafuatayo tutazingatia mbinu ya kutoa wakati coefficients si kinyume.

Kutatua matatizo rahisi kwa kutumia njia ya kutoa

Kazi nambari 1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Kumbuka kuwa hakuna coefficients tofauti hapa, lakini kuna zinazofanana. Kwa hivyo, tunaondoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza:

Sasa tunabadilisha thamani $x$ kwenye milinganyo yoyote ya mfumo. Twende kwanza:

Jibu: $\left(2;5\right)$.

Tatizo namba 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tunaona tena mgawo sawa wa $5$ kwa $x$ katika mlinganyo wa kwanza na wa pili. Kwa hivyo, ni busara kudhani kuwa unahitaji kutoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza:

Tumehesabu kigezo kimoja. Sasa hebu tutafute ya pili, kwa mfano, kwa kubadilisha thamani $y$ kwenye ujenzi wa pili:

Jibu: $\left(-3;-2 \kulia)$.

Nuances ya suluhisho

Kwa hiyo tunaona nini? Kimsingi, mpango huo sio tofauti na suluhisho la mifumo ya zamani. Tofauti pekee ni kwamba hatuongezi milinganyo, lakini tunaiondoa. Tunatoa algebraic.

Kwa maneno mengine, mara tu unapoona mfumo unaojumuisha equations mbili katika haijulikani mbili, jambo la kwanza unahitaji kuangalia ni coefficients. Ikiwa ni sawa mahali popote, equations hupunguzwa, na ikiwa ni kinyume, njia ya kuongeza hutumiwa. Hii inafanywa kila wakati ili mmoja wao kutoweka, na katika equation ya mwisho, ambayo inabaki baada ya kutoa, tofauti moja tu inabaki.

Bila shaka, hiyo sio yote. Sasa tutazingatia mifumo ambayo milinganyo kwa ujumla haiendani. Wale. Hakuna vigezo ndani yao ambavyo ni sawa au kinyume. Katika kesi hii, ili kutatua mifumo hiyo, tunatumia dozi ya ziada, yaani, kuzidisha kila milinganyo kwa mgawo maalum. Jinsi ya kuipata na jinsi ya kutatua mifumo hiyo kwa ujumla, tutazungumzia kuhusu hili sasa.

Kutatua matatizo kwa kuzidisha kwa mgawo

Mfano #1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tunaona kwamba si kwa $x$ wala kwa $y$ miraba si kinyume tu, lakini pia haihusiani kwa njia yoyote na mlinganyo mwingine. Coefficients hizi hazitapotea kwa njia yoyote, hata ikiwa tutaongeza au kupunguza milinganyo kutoka kwa kila mmoja. Kwa hiyo, ni muhimu kuomba kuzidisha. Hebu tujaribu kuondoa tofauti ya $y$. Ili kufanya hivyo, tunazidisha mlinganyo wa kwanza kwa mgawo wa $y$ kutoka kwa mlinganyo wa pili, na mlinganyo wa pili kwa mgawo wa $y$ kutoka kwa mlinganyo wa kwanza, bila kugusa ishara. Tunazidisha na kupata mfumo mpya:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Wacha tuitazame: kwa $y$ hesabu ziko kinyume. Katika hali hiyo, ni muhimu kutumia njia ya kuongeza. Hebu tuongeze:

Sasa tunahitaji kupata $y$. Ili kufanya hivyo, badilisha $x$ kwenye usemi wa kwanza:

\[-9y=18\kushoto| :\kushoto(-9 \kulia) \kulia.\]

Jibu: $\left(4;-2 \kulia)$.

Mfano Nambari 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Tena, coefficients kwa hakuna vigezo ni thabiti. Hebu tuzidishe kwa coefficients ya $y$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 11x+4y=-18\kushoto| 6 \kulia. \\& 13x-6y=-32\kushoto| 4 \kulia. \\\mwisho(panga) \kulia .\]

\[\kushoto\( \anza(panga)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Yetu mfumo mpya ni sawa na ile ya awali, hata hivyo, hesabu za $y$ ni kinyume, na kwa hivyo ni rahisi kutumia njia ya kuongeza hapa:

Sasa hebu tutafute $y$ kwa kubadilisha $x$ kwenye mlingano wa kwanza:

Jibu: $\left(-2;1 \kulia)$.

Nuances ya suluhisho

Kanuni kuu hapa ni ifuatayo: sisi daima tunazidisha tu kwa nambari chanya- hii itakuokoa kutokana na makosa ya kijinga na ya kukera yanayohusiana na mabadiliko ya ishara. Kwa ujumla, mpango wa suluhisho ni rahisi sana:

Tunaangalia mfumo na kuchambua kila equation.
Ikiwa tutaona kuwa si $y$ wala $x$ vigawo vinavyolingana, i.e. hawana sawa wala kinyume, basi tunafanya zifuatazo: tunachagua kutofautiana ambayo tunahitaji kuondokana nayo, na kisha tunaangalia coefficients ya equations hizi. Ikiwa tutazidisha equation ya kwanza na mgawo kutoka kwa pili, na ya pili, sawasawa, kuzidisha kwa mgawo kutoka kwa kwanza, basi mwisho tutapata mfumo ambao ni sawa kabisa na uliopita, na coefficients ya $. y$ itakuwa thabiti. Matendo au mabadiliko yetu yote yanalenga tu kupata kigeu kimoja katika mlinganyo mmoja.
Tunapata variable moja.
Tunabadilisha tofauti iliyopatikana katika mojawapo ya milinganyo miwili ya mfumo na kupata ya pili.
Tunaandika jibu kwa namna ya kuratibu za pointi ikiwa tuna vigezo $x$ na $y$.

Lakini hata algorithm rahisi kama hiyo ina hila zake, kwa mfano, coefficients ya $ x $ au $ y $ inaweza kuwa sehemu na nambari zingine "mbaya". Sasa tutazingatia kesi hizi tofauti, kwa sababu ndani yao unaweza kutenda tofauti kuliko kulingana na algorithm ya kawaida.

Kutatua shida na sehemu

Mfano #1

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Kwanza, angalia kwamba mlinganyo wa pili una sehemu. Lakini kumbuka kuwa unaweza kugawa $4$ kwa $0.8$. Tutapata $5$. Wacha tuzidishe mlinganyo wa pili kwa $5$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Tunaondoa milinganyo kutoka kwa kila mmoja:

Tulipata $n$, sasa hebu tuhesabu $m$:

Jibu: $n=-4;m=5$

Mfano Nambari 2

\[\kushoto\( \anza(patanisha)& 2.5p+1.5k=-13\kushoto| 4 \kulia. \\& 2p-5k=2\kushoto| 5 \kulia. \\\mwisho(patanisha)\ haki.\]

Hapa, kama katika mfumo uliopita, kuna tabia mbaya za sehemu, hata hivyo, kwa hakuna kigeu chochote ambapo mgawo unalingana na kila mmoja idadi kamili ya nyakati. Kwa hiyo, tunatumia algorithm ya kawaida. Ondoa $p$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tunatumia njia ya kutoa:

Wacha tupate $p$ kwa kubadilisha $k$ kwenye ujenzi wa pili:

Jibu: $p=-4;k=-2$.

Nuances ya suluhisho

Hayo yote ni uboreshaji. Katika mlingano wa kwanza, hatukuzidisha kwa chochote, lakini tulizidisha mlinganyo wa pili kwa $5$. Kwa hivyo, tulipata mlinganyo thabiti na hata sawa kwa kigezo cha kwanza. Katika mfumo wa pili tulifuata algorithm ya kawaida.

Lakini unapataje nambari za kuzidisha milinganyo? Baada ya yote, ikiwa unazidisha kwa nambari za sehemu, tutapata sehemu mpya. Kwa hivyo, sehemu lazima ziongezwe kwa nambari ambayo inaweza kutoa nambari mpya kamili, na baada ya hapo vigeu lazima viongezwe na mgawo, kwa kufuata algoriti ya kawaida.

Kwa kumalizia, ningependa kuteka mawazo yako kwa umbizo la kurekodi jibu. Kama nilivyosema tayari, kwa kuwa hapa hatuna $x$ na $y$, lakini maadili mengine, tunatumia nukuu isiyo ya kawaida ya fomu:

Kutatua mifumo ngumu ya milinganyo

Kama dokezo la mwisho kwa somo la video la leo, hebu tuangalie michache ya kweli mifumo tata. Ugumu wao utajumuisha ukweli kwamba watakuwa na vijiti upande wa kushoto na kulia. Kwa hiyo, ili kuyatatua tutalazimika kuomba preprocessing.

Mfumo nambari 1

\[\kushoto\( \anza(linganisha)&3\kushoto(2x-y \kulia)+5=-2\kushoto(x+3y\\kulia)+4 \\& 6\kushoto(y+1 \kulia )-1=5\kushoto(2x-1 \kulia)+8 \\\mwisho(patanisha) \kulia.\]

Kila mlinganyo hubeba utata fulani. Kwa hivyo, wacha tuchukue kila usemi kama na muundo wa kawaida wa mstari.

Kwa jumla, tunapata mfumo wa mwisho, ambao ni sawa na ule wa asili:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Hebu tuangalie viambajengo vya $y$: $3$ inalingana na $6$ mara mbili, kwa hivyo hebu tuzidishe mlingano wa kwanza kwa $2$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Migawo ya $y$ sasa ni sawa, kwa hivyo tunaondoa ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza: $$

Sasa tupate $y$:

Jibu: $\left(0;-\frac(1)(3) \kulia)$

Mfumo nambari 2

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4\kushoto(a-3b \kulia)-2a=3\kushoto(b+4 \kulia)-11 \\& -3\kushoto(b-2a \kulia )-12=2\kushoto(a-5 \kulia)+b \\\mwisho(patanisha) \kulia.\]

Wacha tubadilishe usemi wa kwanza:

Wacha tushughulike na ya pili:

\[-3\kushoto(b-2a \kulia)-12=2\kushoto(a-5 \kulia)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Kwa jumla, mfumo wetu wa awali utachukua fomu ifuatayo:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\malizia(panga) \kulia.\]

Tukiangalia coefficients ya $a$, tunaona kwamba mlinganyo wa kwanza unahitaji kuzidishwa kwa $2$:

\[\kushoto\( \anza(panga)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\mwisho(panga) \kulia.\]

Ondoa ya pili kutoka kwa ujenzi wa kwanza:

Sasa hebu tupate $a$:

Jibu: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \kulia)$.

Ni hayo tu. Natumai somo hili la video litakusaidia kuelewa mada hii ngumu, ambayo ni kutatua mifumo ya milinganyo rahisi ya mstari. Kutakuwa na masomo mengi zaidi juu ya mada hii: tutaangalia zaidi mifano tata, ambapo kutakuwa na vigezo zaidi, na equations zenyewe tayari zitakuwa zisizo za mstari. Tuonane tena!