Mkengeuko wa kawaida

Tabia kamili zaidi ya tofauti ni kupotoka kwa maana ya mraba, ambayo inaitwa kiwango (au kupotoka kwa kawaida). Mkengeuko wa kawaida() ni sawa na mzizi wa mraba wa kupotoka wastani wa mraba wa maadili ya mtu binafsi ya sifa kutoka kwa maana ya hesabu:

Kupotoka kwa kawaida ni rahisi:

Mkengeuko wa kawaida uliopimwa hutumika kwa data iliyojumuishwa:

Uwiano ufuatao hufanyika kati ya mikengeuko ya wastani ya mraba na wastani ya mstari chini ya hali ya kawaida ya usambazaji: ~ 1.25.

Mkengeuko wa kawaida, kuwa kuu kipimo kamili tofauti, hutumiwa katika kuamua maadili ya kuratibu ya curve ya kawaida ya usambazaji, katika mahesabu yanayohusiana na shirika. uchunguzi wa sampuli na kuanzisha usahihi wa sifa za sampuli, na pia wakati wa kutathmini mipaka ya tofauti ya sifa katika idadi ya watu sawa.

18. Tofauti, aina zake, kupotoka kwa kawaida.

Tofauti ya tofauti ya nasibu- kipimo cha kuenea kwa iliyotolewa kutofautiana nasibu, yaani mikengeuko yake kutoka matarajio ya hisabati. Katika takwimu, nukuu au hutumiwa mara nyingi. Mzizi wa mraba wa tofauti kawaida huitwa kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa kawaida au kuenea kwa kawaida.

Jumla ya tofauti (σ 2) hupima utofauti wa sifa kwa ukamilifu wake chini ya ushawishi wa mambo yote yaliyosababisha tofauti hii. Wakati huo huo, shukrani kwa njia ya kikundi, inawezekana kutambua na kupima tofauti kutokana na tabia ya kikundi na tofauti inayotokea chini ya ushawishi wa mambo yasiyohesabiwa.

Tofauti kati ya vikundi (σ 2 m.gr) ina sifa ya kutofautiana kwa utaratibu, i.e. tofauti katika thamani ya sifa iliyosomwa ambayo hutokea chini ya ushawishi wa sifa - jambo ambalo huunda msingi wa kikundi.

Mkengeuko wa kawaida(sawe: kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa mraba; masharti yanayohusiana: kupotoka kwa kawaida, kuenea kwa kiwango) - katika nadharia ya uwezekano na takwimu, kiashiria cha kawaida zaidi cha mtawanyiko wa maadili ya kutofautiana kwa random kuhusiana na matarajio yake ya hisabati. Kwa safu ndogo za sampuli za maadili, badala ya matarajio ya hisabati, maana ya hesabu ya seti ya sampuli hutumiwa.

Mkengeuko wa kawaida hupimwa katika vitengo vya kigeugeu chenyewe na hutumika katika hesabu kosa la kawaida maana ya hesabu, wakati wa kujenga vipindi vya kujiamini, katika upimaji wa takwimu hypotheses wakati wa kupima uhusiano wa mstari kati ya vigezo vya nasibu. Inafafanuliwa kama Kipeo kutoka kwa tofauti ya kutofautiana kwa nasibu.

Mkengeuko wa kawaida:

Mkengeuko wa kawaida(makadirio ya wastani kupotoka kwa mraba kutofautiana nasibu x kuhusiana na matarajio yake ya hisabati kulingana na makadirio yasiyopendelea ya tofauti zake):

mtawanyiko uko wapi; - i kipengele cha uteuzi; - ukubwa wa sampuli; - maana ya hesabu ya sampuli:

Ikumbukwe kwamba makadirio yote mawili yana upendeleo. KATIKA kesi ya jumla Haiwezekani kuunda makadirio yasiyo na upendeleo. Katika kesi hii, makadirio kulingana na makadirio ya tofauti yasiyopendelea ni thabiti.

19. Kiini, upeo na utaratibu wa kuamua mode na wastani.

Mbali na wastani wa nguvu katika takwimu kwa sifa za jamaa za thamani ya tabia tofauti na muundo wa ndani mfululizo wa usambazaji hutumia njia za kimuundo, ambazo zinawakilishwa hasa na mtindo na wastani.

Mitindo- Hiki ndicho kibadala cha kawaida zaidi cha mfululizo. Mtindo hutumiwa, kwa mfano, katika kuamua ukubwa wa nguo na viatu ambazo zinahitajika sana kati ya wateja. Hali ya mfululizo tofauti ni lahaja iliyo na masafa ya juu zaidi. Wakati wa kuhesabu hali ya muda mfululizo wa mabadiliko Ni muhimu sana kuamua kwanza muda wa modal (kwa frequency ya juu), na kisha - thamani ya thamani ya modal ya sifa kwa kutumia formula:

§ - maana ya mtindo

§ - kikomo cha chini cha muda wa modal

§ - thamani ya muda

§ - mzunguko wa muda wa modal

§ - mzunguko wa muda uliotangulia modal

§ - mzunguko wa muda unaofuata modal

wastani - thamani hii ya sifa, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ iko katika msingi wa safu iliyoorodheshwa na inagawanya safu hii katika sehemu mbili sawa kwa idadi.

Ili kuamua wastani V mfululizo tofauti ikiwa masafa yanapatikana, kwanza hesabu nusu ya jumla ya masafa , na kisha uamue ni thamani gani ya lahaja inayoangukia juu yake. (Ikiwa safu iliyopangwa ina nambari isiyo ya kawaida sifa, basi nambari ya wastani huhesabiwa kwa kutumia fomula:

M e = (n (idadi ya vipengele kwa jumla) + 1)/2,

katika kesi ya idadi hata ya vipengele, wastani itakuwa sawa na wastani wa vipengele viwili katikati ya safu).

Wakati wa kuhesabu wastani kwa mfululizo wa mabadiliko ya muda Kwanza, tambua muda wa wastani ambao wastani unapatikana, na kisha uamua thamani ya wastani kwa kutumia fomula:

§ - wastani unaohitajika

§ - kikomo cha chini cha muda ambacho kina wastani

§ - thamani ya muda

§ - jumla ya masafa au idadi ya masharti ya mfululizo

§ - jumla ya masafa ya kusanyiko ya vipindi kabla ya wastani

§ - mzunguko wa muda wa kati

Mfano. Pata hali na wastani.

Suluhisho: KATIKA katika mfano huu muda wa modal ni ndani ya kikundi cha umri wa miaka 25-30, kwa kuwa muda huu unahesabu masafa ya juu zaidi (1054).

Wacha tuhesabu ukubwa wa modi:

Hii inamaanisha kuwa umri wa kawaida wa wanafunzi ni miaka 27.

Wacha tuhesabu wastani. Muda wa wastani umeingia kikundi cha umri Miaka 25-30, kwa kuwa ndani ya muda huu kuna chaguo͵ ambayo inagawanya idadi ya watu katika sehemu mbili sawa (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Ifuatayo, tunabadilisha data muhimu ya nambari kwenye fomula na kupata thamani ya wastani:

Hii ina maana kwamba nusu ya wanafunzi wako chini ya miaka 27.4, na nusu nyingine wana zaidi ya miaka 27.4.

Mbali na hali na wastani, viashiria kama vile quartiles hutumiwa, kugawanya safu zilizowekwa katika sehemu 4 sawa, deciles - sehemu 10 na percentiles - katika sehemu 100.

20. Dhana ya uchunguzi wa sampuli na upeo wake.

Uchunguzi wa kuchagua inatumika wakati matumizi ya ufuatiliaji unaoendelea kimwili haiwezekani kutokana na kiasi kikubwa cha data au haiwezekani kiuchumi. Kutowezekana kwa mwili hutokea, kwa mfano, wakati wa kusoma mtiririko wa abiria, bei za soko, na bajeti za familia. Upungufu wa kiuchumi hutokea wakati wa kutathmini ubora wa bidhaa zinazohusiana na uharibifu wao, kwa mfano, kuonja, kupima matofali kwa nguvu, nk.

Vitengo vya takwimu vilivyochaguliwa kwa uchunguzi ni sampuli ya idadi ya watu au sampuli, na safu yao yote - idadi ya watu kwa ujumla(GS). Ambapo idadi ya vitengo katika sampuli kuashiria n, na katika HS nzima - N. Mtazamo n/N kawaida huitwa saizi ya jamaa au hisa ya mfano.

Ubora wa matokeo ya uchunguzi wa sampuli hutegemea uwakilishi wa mfano, yaani, jinsi inavyowakilisha katika GS. Ili kuhakikisha uwakilishi wa sampuli, ni muhimu sana kuzingatia kanuni ya uteuzi random wa vitengo, ambayo inadhania kuwa ujumuishaji wa kitengo cha HS katika sampuli hauwezi kuathiriwa na sababu yoyote isipokuwa bahati nasibu.

Ipo Njia 4 za uteuzi wa nasibu kwa sampuli:

1. Kwa kweli nasibu uteuzi au ʼlotto mbinuʼʼ, wakati thamani za takwimu zimetolewa nambari za serial, kuwekwa kwenye vitu fulani (kwa mfano, mapipa), ambayo huchanganywa kwenye chombo (kwa mfano, kwenye mfuko) na kuchaguliwa kwa nasibu. Juu ya mazoezi njia hii inafanywa kwa kutumia jenereta nambari za nasibu au majedwali ya hisabati ya nambari nasibu.
2. Mitambo uteuzi kulingana na ambayo kila ( N/n)-th wingi idadi ya watu. Kwa mfano, ikiwa ina maadili 100,000, na unahitaji kuchagua 1,000, basi kila 100,000 / 1000 = thamani ya 100 itajumuishwa kwenye sampuli. Zaidi ya hayo, ikiwa hawajawekwa, basi wa kwanza huchaguliwa kwa nasibu kutoka kwa mia ya kwanza, na nambari za wengine zitakuwa mia moja zaidi. Kwa mfano, ikiwa kitengo cha kwanza kilikuwa Nambari 19, basi ijayo inapaswa kuwa Nambari 119, basi Nambari 219, kisha Nambari 319, nk. Ikiwa vitengo vya idadi ya watu vimewekwa, basi Nambari 50 huchaguliwa kwanza, basi Nambari 150, kisha Nambari 250, na kadhalika.
3. Uteuzi wa maadili kutoka kwa safu tofauti za data hufanywa tabaka(stratified) mbinu, wakati idadi ya watu imegawanywa kwa mara ya kwanza vikundi vya homogeneous, ambayo uteuzi wa nasibu au wa mitambo hutumiwa.
4. Njia maalum ya sampuli ni mfululizo uteuzi, ambao kwa nasibu au kwa kiufundi huchagua sio maadili ya mtu binafsi, lakini safu zao (mlolongo kutoka nambari fulani hadi nambari fulani mfululizo), ambayo uchunguzi unaoendelea unafanywa.

Ubora wa uchunguzi wa sampuli pia unategemea aina ya sampuli: mara kwa mara au isiyoweza kurudiwa. Katika uteuzi upya imejumuishwa katika sampuli idadi ya takwimu au mfululizo wao baada ya matumizi hurudishwa kwa idadi ya watu kwa ujumla, kuwa na nafasi ya kujumuishwa katika sampuli mpya. Zaidi ya hayo, thamani zote katika idadi ya watu kwa ujumla zina uwezekano sawa wa kujumuishwa katika sampuli. Uchaguzi usio na kurudia inamaanisha kuwa thamani za takwimu au safu zao zilizojumuishwa kwenye sampuli hazirudi kwa idadi ya jumla baada ya matumizi, na kwa hivyo kwa thamani zilizobaki za mwisho uwezekano wa kujumuishwa katika sampuli inayofuata huongezeka.

Uteuzi usio wa kurudia unatoa zaidi matokeo sahihi, kuhusiana na hili hutumiwa mara nyingi zaidi. Lakini kuna hali wakati haiwezi kutumika (kusoma mtiririko wa abiria, mahitaji ya watumiaji, nk) na kisha uteuzi unaorudiwa unafanywa.

21. Hitilafu ya sampuli ya uchunguzi wa pembeni, kosa la wastani sampuli, utaratibu wa hesabu zao.

Hebu fikiria kwa undani mbinu za malezi zilizoorodheshwa hapo juu sampuli ya idadi ya watu na makosa yanayotokana na uwakilishi. Vizuri random sampuli inategemea kuchagua vitengo kutoka kwa idadi ya watu bila mpangilio bila vipengele vyovyote vya utaratibu. Kitaalam, uteuzi halisi wa nasibu unafanywa kwa kuchora kura (kwa mfano, bahati nasibu) au kutumia jedwali la nambari za nasibu.

Uteuzi sahihi wa nasibu ʼv fomu safiʼʼ haitumiki sana katika mazoezi ya uchunguzi wa kuchagua, lakini ni ya asili kati ya aina zingine za uteuzi; Hebu tuchunguze baadhi ya masuala ya kinadharia njia ya sampuli na fomula za makosa kwa sampuli rahisi nasibu.

Upendeleo wa sampuli- ϶ᴛᴏ tofauti kati ya thamani ya kigezo katika idadi ya jumla ya watu na thamani yake iliyokokotwa kutoka kwa matokeo ya uchunguzi wa sampuli. Ni muhimu kutambua kwamba kwa wastani tabia ya kiasi hitilafu ya sampuli imedhamiriwa

Kiashiria kawaida huitwa kosa kubwa sampuli. Maana ya sampuli ni kigezo cha nasibu ambacho kinaweza kuchukua maana tofauti kulingana na vitengo gani vilijumuishwa kwenye sampuli. Kwa hivyo, makosa ya sampuli pia ni anuwai ya nasibu na inaweza kuchukua maadili tofauti. Kwa sababu hii, amua wastani wa makosa yanayowezekana – wastani wa makosa ya sampuli, ambayo inategemea:

· saizi ya sampuli: kuliko nambari zaidi, ndogo makosa ya wastani;

· kiwango cha mabadiliko katika sifa inayosomwa: jinsi tofauti ya tabia inavyopungua, na hivyo basi, mtawanyiko, ndivyo makosa ya wastani ya sampuli yanavyopungua.

Katika uteuzi upya bila mpangilio kosa la wastani limehesabiwa. Kivitendo tofauti ya jumla haijulikani haswa, lakini imethibitishwa katika nadharia ya uwezekano kwamba . Kwa kuwa thamani ya n kubwa ya kutosha inakaribia 1, tunaweza kudhani kuwa . Kisha kosa la wastani la sampuli linapaswa kuhesabiwa:. Lakini katika kesi ya sampuli ndogo (na n<30) коэффициент крайне важно учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле .

Katika usampulishaji nasibu usio na marudio fomula zilizotolewa hurekebishwa na thamani . Halafu kosa la wastani la sampuli lisilorudiwa ni: Na . Kwa sababu daima ni less than , basi kizidishi () daima ni chini ya 1. Hii ina maana kwamba makosa ya wastani na uteuzi unaorudiwa daima huwa chini ya uteuzi unaorudiwa. Sampuli za mitambo hutumika wakati idadi ya watu kwa ujumla imeagizwa kwa njia fulani (kwa mfano, orodha za wapiga kura kwa mpangilio wa alfabeti, nambari za simu, nambari za nyumba na nyumba). Uteuzi wa vitengo unafanywa kwa muda fulani, ambao ni sawa na thamani ya kinyume ya asilimia ya sampuli. Kwa hiyo, kwa sampuli ya 2%, kila kitengo cha 50 = 1/0.02 kinachaguliwa, na sampuli ya 5%, kila 1/0.05 = 20 kitengo cha idadi ya watu.

Hatua ya kumbukumbu imechaguliwa kwa njia tofauti: nasibu, kutoka katikati ya muda, na mabadiliko katika hatua ya kumbukumbu. Jambo kuu ni kuepuka makosa ya utaratibu. Kwa mfano, na sampuli ya 5%, ikiwa kitengo cha kwanza ni cha 13, basi kinachofuata ni 33, 53, 73, nk.

Kwa upande wa usahihi, uteuzi wa mitambo uko karibu na sampuli halisi za nasibu. Kwa sababu hii, ili kuamua kosa la wastani la sampuli za mitambo, fomula sahihi za uteuzi wa nasibu hutumiwa.

Katika uteuzi wa kawaida idadi ya watu inayochunguzwa hapo awali imegawanywa katika vikundi sawa, sawa. Kwa mfano, wakati wa kupima makampuni ya biashara, haya ni viwanda, sekta ndogo wakati wa kusoma idadi ya watu, hizi ni mikoa, kijamii au makundi ya umri. Ifuatayo, uteuzi huru kutoka kwa kila kikundi hufanywa kwa njia ya kiufundi au kwa nasibu.

Sampuli za kawaida hutoa matokeo sahihi zaidi kuliko njia zingine. Kuandika idadi ya watu kwa ujumla huhakikisha kwamba kila kikundi cha typological kinawakilishwa katika sampuli, ambayo inafanya uwezekano wa kuondoa athari za tofauti za vikundi kwenye makosa ya wastani ya sampuli. Kwa hivyo, wakati wa kupata hitilafu ya sampuli ya kawaida kulingana na sheria ya kuongeza tofauti (), ni muhimu sana kuzingatia tu wastani wa tofauti za kikundi. Kisha wastani wa hitilafu ya sampuli: kwa sampuli zinazorudiwa, na sampuli zisizorudiwa , Wapi - wastani wa tofauti za ndani ya kikundi katika sampuli.

Uteuzi wa serial (au kiota). hutumika wakati idadi ya watu imegawanywa katika mfululizo au vikundi kabla ya kuanza kwa uchunguzi wa sampuli. Mfululizo huu ni pamoja na ufungashaji wa bidhaa zilizokamilishwa, vikundi vya wanafunzi, na brigedi. Mfululizo wa uchunguzi huchaguliwa kwa mitambo au kwa nasibu, na ndani ya mfululizo uchunguzi unaoendelea wa vitengo unafanywa. Kwa sababu hii, kosa la wastani la sampuli inategemea tu tofauti za kikundi (kati ya safu), ambayo huhesabiwa kwa kutumia fomula: ambapo r ni idadi ya mfululizo uliochaguliwa; - wastani wa mfululizo wa i-th. Hitilafu ya wastani ya sampuli za mfululizo huhesabiwa: kwa sampuli zinazorudiwa, na sampuli zisizorudiwa. , ambapo R ni jumla ya idadi ya mfululizo. Pamoja uteuzi ni mchanganyiko wa mbinu za uteuzi zinazozingatiwa.

Hitilafu ya wastani ya sampuli kwa mbinu yoyote ya sampuli inategemea hasa ukubwa kamili wa sampuli na, kwa kiasi kidogo, kwa asilimia ya sampuli. Hebu tufikiri kwamba uchunguzi 225 unafanywa katika kesi ya kwanza kutoka kwa idadi ya vitengo 4,500 na kwa pili kutoka kwa idadi ya vitengo 225,000. Tofauti katika kesi zote mbili ni sawa na 25. Kisha katika kesi ya kwanza, na uteuzi wa 5%, hitilafu ya sampuli itakuwa: Katika kesi ya pili, na uteuzi wa 0.1%, itakuwa sawa na:

Hata hivyo, wakati asilimia ya sampuli ilipunguzwa kwa mara 50, kosa la sampuli liliongezeka kidogo, kwani ukubwa wa sampuli haukubadilika. Wacha tufikirie kuwa saizi ya sampuli imeongezeka hadi uchunguzi 625. Katika kesi hii, kosa la sampuli ni: Kuongeza sampuli kwa mara 2.8 na idadi sawa ya watu hupunguza saizi ya hitilafu ya sampuli kwa zaidi ya mara 1.6.

22.Mbinu na mbinu za kuunda sampuli ya idadi ya watu.

Katika takwimu, mbinu mbalimbali za kuunda idadi ya sampuli hutumiwa, ambayo imedhamiriwa na malengo ya utafiti na inategemea maalum ya kitu cha utafiti.

Sharti kuu la kufanya uchunguzi wa sampuli ni kuzuia kutokea kwa makosa ya kimfumo yanayotokana na ukiukaji wa kanuni ya fursa sawa kwa kila kitengo cha idadi ya watu kujumuishwa kwenye sampuli. Uzuiaji wa makosa ya kimfumo hupatikana kwa kutumia mbinu za kisayansi za kuunda sampuli ya idadi ya watu.

Kuna njia zifuatazo za kuchagua vitengo kutoka kwa idadi ya watu: 1) uteuzi wa mtu binafsi - vitengo vya mtu binafsi huchaguliwa kwa sampuli; 2) uteuzi wa kikundi - sampuli inajumuisha vikundi vyenye usawa au safu ya vitengo vinavyosomwa; 3) uteuzi wa pamoja ni mchanganyiko wa uteuzi wa mtu binafsi na kikundi. Mbinu za uteuzi zimedhamiriwa na sheria za kuunda idadi ya sampuli.

Sampuli inapaswa kuwa:

• kwa kweli nasibu inajumuisha ukweli kwamba idadi ya sampuli huundwa kama matokeo ya uteuzi wa nasibu (bila kukusudia) wa vitengo vya mtu binafsi kutoka kwa idadi ya jumla. Katika kesi hii, idadi ya vitengo vilivyochaguliwa katika idadi ya sampuli kawaida huamuliwa kulingana na uwiano wa sampuli unaokubalika. Uwiano wa sampuli ni uwiano wa idadi ya vitengo katika sampuli ya idadi ya watu n kwa idadi ya vitengo katika idadi ya jumla N, ᴛ.ᴇ.

• mitambo inajumuisha ukweli kwamba uteuzi wa vitengo katika idadi ya sampuli hufanywa kutoka kwa idadi ya watu, imegawanywa katika vipindi sawa (vikundi). Katika kesi hii, ukubwa wa muda katika idadi ya watu ni sawa na uwiano wa sehemu ya sampuli. Kwa hiyo, kwa sampuli ya 2%, kila kitengo cha 50 kinachaguliwa (1: 0.02), na sampuli ya 5%, kila kitengo cha 20 (1: 0.05), nk. Walakini, kwa mujibu wa sehemu inayokubalika ya uteuzi, idadi ya watu, kama ilivyokuwa, imegawanywa katika vikundi sawa. Kutoka kwa kila kikundi, kitengo kimoja tu huchaguliwa kwa sampuli.
• kawaida - ambapo idadi ya jumla imegawanywa kwanza katika vikundi vya kawaida vya homogeneous. Ifuatayo, kutoka kwa kila kikundi cha kawaida, sampuli ya nasibu au ya kimakanika hutumiwa kuchagua vitengo kwa sampuli ya idadi ya watu. Kipengele muhimu cha sampuli ya kawaida ni kwamba inatoa matokeo sahihi zaidi ikilinganishwa na mbinu nyingine za kuchagua vitengo katika idadi ya sampuli;
• mfululizo- ambayo idadi ya watu imegawanywa katika vikundi vya ukubwa sawa - mfululizo. Mfululizo huchaguliwa katika idadi ya sampuli. Ndani ya mfululizo, uchunguzi unaoendelea wa vitengo vilivyojumuishwa katika mfululizo unafanywa;
• pamoja- sampuli inapaswa kuwa ya hatua mbili. Katika kesi hii, idadi ya watu kwanza imegawanywa katika vikundi. Ifuatayo, vikundi vinachaguliwa, na ndani ya mwisho, vitengo vya mtu binafsi vinachaguliwa.

Katika takwimu, njia zifuatazo zinajulikana za kuchagua vitengo katika sampuli ya idadi ya watu:

• hatua moja sampuli - kila kitengo kilichochaguliwa kinachunguzwa mara moja kulingana na kigezo fulani (sampuli sahihi ya random na serial);
• hatua nyingi sampuli - uteuzi hufanywa kutoka kwa idadi ya jumla ya vikundi vya watu binafsi, na vitengo vya mtu binafsi huchaguliwa kutoka kwa vikundi (sampuli za kawaida na njia ya mitambo ya kuchagua vitengo katika idadi ya sampuli).

Kwa kuongeza, kuna:

• uteuzi upya- kulingana na mpango wa mpira uliorejeshwa. Katika hali hii, kila kitengo au mfululizo uliojumuishwa kwenye sampuli hurejeshwa kwa idadi ya jumla na kwa hivyo ina nafasi ya kujumuishwa kwenye sampuli tena;
• uteuzi usio na kurudia- kulingana na mpango wa mpira ambao haujarejeshwa. Ina matokeo sahihi zaidi yenye ukubwa wa sampuli sawa.

23. Uamuzi wa saizi muhimu sana ya sampuli (kwa kutumia jedwali la t la Mwanafunzi).

Moja ya kanuni za kisayansi katika nadharia ya sampuli ni kuhakikisha kwamba idadi ya kutosha ya vitengo imechaguliwa. Kinadharia, umuhimu mkubwa wa kuzingatia kanuni hii unawasilishwa katika uthibitisho wa nadharia za kikomo katika nadharia ya uwezekano, ambayo inafanya uwezekano wa kutambua ni kiasi gani cha vitengo kinapaswa kuchaguliwa kutoka kwa idadi ya watu ili kutosha na kuhakikisha uwakilishi wa sampuli.

Kupungua kwa kosa la kawaida la sampuli, na kwa hiyo kuongezeka kwa usahihi wa makadirio, daima huhusishwa na ongezeko la ukubwa wa sampuli, kwa hiyo, tayari katika hatua ya kuandaa uchunguzi wa sampuli, ni muhimu kuamua ni ukubwa gani ya sampuli ya idadi ya watu inapaswa kuwa ili kuhakikisha usahihi unaohitajika wa matokeo ya uchunguzi. Hesabu ya ujazo wa sampuli muhimu sana hutengenezwa kwa kutumia fomula zinazotokana na fomula za makosa ya juu zaidi ya sampuli (A), inayolingana na aina fulani na mbinu ya uteuzi. Kwa hivyo, kwa saizi ya sampuli inayorudiwa bila mpangilio (n) tunayo:

Kiini cha fomula hii ni kwamba kwa sampuli za nasibu zinazorudiwa za nambari muhimu sana, saizi ya sampuli inalingana moja kwa moja na mraba wa mgawo wa uaminifu. (t2) na utofauti wa sifa tofauti (?2) na inawiana kinyume na mraba wa makosa ya juu zaidi ya sampuli (?2). Hasa, pamoja na ongezeko la kosa la juu kwa sababu ya mbili, ukubwa wa sampuli unaohitajika unapaswa kupunguzwa kwa nne. Kati ya vigezo vitatu, mbili (t na?) zimewekwa na mtafiti. Wakati huo huo, mtafiti, kulingana na lengo

na matatizo ya uchunguzi wa sampuli lazima kutatua swali: katika mchanganyiko gani wa kiasi ni bora kujumuisha vigezo hivi ili kuhakikisha chaguo mojawapo? Katika hali moja, anaweza kuwa na kuridhika zaidi na kuaminika kwa matokeo yaliyopatikana (t) kuliko kwa kipimo cha usahihi (?), Kwa mwingine - kinyume chake. Ni vigumu zaidi kutatua suala kuhusu thamani ya kosa la juu la sampuli, kwa kuwa mtafiti hana kiashiria hiki katika hatua ya kubuni uchunguzi wa sampuli; , kwa kawaida ndani ya 10% ya kiwango cha wastani kinachotarajiwa cha sifa . Kuanzisha wastani wa makadirio kunaweza kushughulikiwa kwa njia tofauti: kutumia data kutoka kwa tafiti sawa za awali, au kutumia data kutoka kwa fremu ya sampuli na kufanya sampuli ndogo ya majaribio.

Jambo gumu zaidi kuanzisha wakati wa kubuni uchunguzi wa sampuli ni parameta ya tatu katika fomula (5.2) - tofauti ya idadi ya sampuli. Katika kesi hii, ni muhimu sana kutumia taarifa zote zinazopatikana kwa mtafiti, zilizopatikana katika tafiti za awali zinazofanana na za majaribio.

Swali la kubainisha ukubwa wa sampuli muhimu sana linakuwa gumu zaidi ikiwa uchunguzi wa sampuli unahusisha utafiti wa sifa kadhaa za vitengo vya sampuli. Katika kesi hii, viwango vya wastani vya kila sifa na tofauti zao, kama sheria, ni tofauti, na katika suala hili, kuamua ni tofauti gani kati ya sifa za kutoa upendeleo inawezekana tu kwa kuzingatia madhumuni na malengo. ya uchunguzi.

Wakati wa kuunda uchunguzi wa sampuli, thamani iliyoamuliwa mapema ya hitilafu inayoruhusiwa ya sampuli inachukuliwa kwa mujibu wa malengo ya utafiti fulani na uwezekano wa hitimisho kulingana na matokeo ya uchunguzi.

Kwa ujumla, formula ya makosa ya juu ya wastani wa sampuli inaruhusu sisi kuamua:

‣‣‣ ukubwa wa uwezekano wa kupotoka kwa viashiria vya idadi ya watu kwa ujumla kutoka kwa viashiria vya idadi ya sampuli;

‣‣‣ ukubwa unaohitajika wa sampuli ili kuhakikisha usahihi unaohitajika, ambapo mipaka ya kosa iwezekanavyo haizidi thamani fulani maalum;

‣‣‣ uwezekano kwamba hitilafu katika sampuli itakuwa na kikomo maalum.

Usambazaji wa wanafunzi katika nadharia ya uwezekano, ni familia ya parameta moja ya usambazaji unaoendelea kabisa.

24. Mfululizo wa nguvu (muda, muda), kufunga mfululizo wa nguvu.

Mfululizo wa Dynamics- haya ni maadili ya viashiria vya takwimu ambavyo vinawasilishwa kwa mlolongo fulani wa mpangilio.

Kila mfululizo wa wakati una vipengele viwili:

1) viashiria vya vipindi vya wakati(miaka, robo, miezi, siku au tarehe);

2) viashiria vinavyoashiria kitu kinachochunguzwa kwa vipindi vya wakati au tarehe zinazolingana, ambazo huitwa viwango vya mfululizo.

Viwango vya mfululizo vinaonyeshwa kwa thamani kamili na wastani au jamaa. Kwa kuzingatia utegemezi wa asili ya viashiria, mfululizo wa nguvu wa maadili kamili, jamaa na wastani hujengwa. Mfululizo wa nguvu wa maadili ya jamaa na wastani hujengwa kwa msingi wa safu inayotokana ya maadili kamili. Kuna mfululizo wa muda na wakati wa mienendo.

Mfululizo wa muda unaobadilika ina maadili ya viashiria kwa vipindi fulani vya wakati. Katika mfululizo wa muda, viwango vinaweza kujumlishwa ili kupata ujazo wa jambo hilo kwa muda mrefu, au zile zinazojulikana kuwa jumla zilizokusanywa.

Mfululizo wa matukio ya nguvu huonyesha maadili ya viashiria kwa wakati fulani (tarehe ya wakati). Katika mfululizo wa muda mfupi, mtafiti anaweza tu kupendezwa na tofauti ya matukio ambayo yanaonyesha mabadiliko katika kiwango cha mfululizo kati ya tarehe fulani, kwa kuwa jumla ya viwango hapa haina maudhui halisi. Jumla ya jumla haijahesabiwa hapa.

Hali muhimu zaidi kwa ajili ya ujenzi sahihi wa mfululizo wa wakati ni ulinganifu wa viwango vya mfululizo wa vipindi tofauti. Viwango lazima viwasilishwe kwa idadi sawa, na lazima kuwe na ukamilifu sawa wa chanjo ya sehemu tofauti za jambo.

Ili kuepuka kupotosha kwa mienendo halisi, katika utafiti wa takwimu mahesabu ya awali hufanyika (kufunga mfululizo wa mienendo), ambayo hutangulia uchambuzi wa takwimu wa mfululizo wa wakati. Chini ya kufunga mfululizo wa mienendo Inakubaliwa kwa ujumla kuelewa mchanganyiko katika safu moja ya safu mbili au zaidi, ambazo viwango vyake huhesabiwa kwa kutumia mbinu tofauti au hazilingani na mipaka ya eneo, nk. Kufunga mfululizo wa mienendo kunaweza pia kumaanisha kuleta viwango kamili vya mfululizo wa mienendo kwa msingi wa kawaida, ambao unapunguza kutolinganishwa kwa viwango vya mfululizo wa mienendo.

25. Dhana ya ulinganifu wa mfululizo wa mienendo, coefficients, viwango vya ukuaji na ukuaji.

Mfululizo wa Dynamics- hizi ni mfululizo wa viashiria vya takwimu vinavyoonyesha maendeleo ya matukio ya asili na ya kijamii kwa muda. Mikusanyiko ya takwimu iliyochapishwa na Kamati ya Takwimu ya Jimbo la Urusi ina idadi kubwa ya mfululizo wa mienendo katika fomu ya jedwali. Mfululizo wa nguvu hufanya iwezekane kutambua mifumo ya maendeleo ya matukio yanayosomwa.

Mfululizo wa Dynamics una aina mbili za viashirio. Viashiria vya wakati(miaka, robo, miezi, nk) au pointi kwa wakati (mwanzoni mwa mwaka, mwanzoni mwa kila mwezi, nk). Viashiria vya kiwango cha safu. Viashiria vya viwango vya safu ya mienendo vinaweza kuonyeshwa kwa maadili kamili (uzalishaji wa bidhaa kwa tani au rubles), maadili ya jamaa (sehemu ya wakazi wa mijini katika%) na maadili ya wastani (mshahara wa wastani wa wafanyikazi wa tasnia kwa mwaka. , na kadhalika.). Katika fomu ya jedwali, mfululizo wa wakati una safu wima mbili au safu mbili.

Ujenzi sahihi wa safu ya wakati unahitaji utimilifu wa mahitaji kadhaa:

1. viashiria vyote vya idadi ya mienendo lazima vithibitishwe kisayansi na kuaminika;
2. viashiria vya mfululizo wa mienendo lazima vilinganishwe baada ya muda, ᴛ.ᴇ. lazima ihesabiwe kwa vipindi sawa vya wakati au kwa tarehe sawa;
3. viashiria vya idadi ya mienendo lazima vilinganishwe katika eneo lote;
4. viashiria vya mfululizo wa mienendo lazima vilingane katika maudhui, ᴛ.ᴇ. kuhesabiwa kulingana na mbinu moja, kwa njia sawa;
5. viashiria vya idadi ya mienendo vinapaswa kulinganishwa katika anuwai ya mashamba yanayozingatiwa. Viashiria vyote vya mfululizo wa mienendo lazima vitolewe katika vitengo sawa vya kipimo.

Viashirio vya takwimu vinaweza kubainisha matokeo ya mchakato unaochunguzwa kwa muda fulani, au hali ya jambo linalochunguzwa kwa wakati fulani, ᴛ.ᴇ. viashiria vinaweza kuwa vya muda (vipindi) na vya kitambo. Ipasavyo, awali mfululizo wa mienendo ni ama muda au muda. Mfululizo wa Moment dynamics, kwa upande wake, huja na vipindi sawa na visivyo sawa.

Mfululizo wa asili wa mienendo unaweza kubadilishwa kuwa safu ya maadili ya wastani na safu ya maadili ya jamaa (mnyororo na msingi). Msururu wa wakati kama huo huitwa mfululizo wa wakati unaotokana.

Mbinu ya kuhesabu kiwango cha wastani katika mfululizo wa mienendo ni tofauti, kulingana na aina ya mfululizo wa mienendo. Kwa kutumia mifano, tutazingatia aina za mfululizo wa mienendo na fomula za kuhesabu kiwango cha wastani.

Inaongezeka kabisa (Δy) onyesha ni vitengo ngapi ngazi inayofuata ya mfululizo imebadilika ikilinganishwa na ya awali (gr. 3. - ongezeko la mnyororo kabisa) au ikilinganishwa na kiwango cha awali (gr. 4. - ongezeko la msingi kabisa). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Wakati maadili kamili ya safu yanapungua, kutakuwa na "kupungua" au "kupungua", mtawaliwa.

Viashiria vya ukuaji kamili vinaonyesha kuwa, kwa mfano, mnamo 1998. uzalishaji wa bidhaa "A" uliongezeka ikilinganishwa na 1997. kwa tani elfu 4, na ikilinganishwa na 1994 ᴦ. - kwa tani elfu 34; kwa miaka mingine, tazama jedwali. 11.5 gr.
Iliyotumwa kwenye ref.rf
3 na 4.

Kiwango cha ukuaji inaonyesha mara ngapi kiwango cha mfululizo kimebadilika ikilinganishwa na uliopita (gr. 5 - coefficients ya mnyororo wa ukuaji au kupungua) au ikilinganishwa na kiwango cha awali (gr. 6 - coefficients ya msingi ya ukuaji au kupungua). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Viwango vya ukuaji onyesha asilimia ngapi ngazi inayofuata ya mfululizo inalinganishwa na uliopita (gr. 7 - viwango vya ukuaji wa mnyororo) au ikilinganishwa na kiwango cha awali (gr. 8 - viwango vya ukuaji wa msingi). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, kwa mfano, mnamo 1997. kiasi cha uzalishaji wa bidhaa "A" ikilinganishwa na 1996 ᴦ. ilifikia 105.5% (

Kiwango cha ukuaji onyesha ni asilimia ngapi kiwango cha kipindi cha kuripoti kiliongezeka ikilinganishwa na awali (safu ya 9 - viwango vya ukuaji wa mnyororo) au ikilinganishwa na kiwango cha awali (safu ya 10 - viwango vya ukuaji wa kimsingi). Njia za kuhesabu zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

T pr = T r - 100% au T pr = ukuaji kamili / kiwango cha kipindi cha awali * 100%

Kwa hivyo, kwa mfano, mnamo 1996. ikilinganishwa na 1995 ᴦ. Bidhaa "A" ilitolewa zaidi kwa 3.8% (103.8% - 100%) au (8:210) x 100%, na ikilinganishwa na 1994 ᴦ. - kwa 9% (109% - 100%).

Ikiwa viwango kamili katika safu hupungua, basi kiwango kitakuwa chini ya 100% na, ipasavyo, kutakuwa na kiwango cha kupungua (kiwango cha ongezeko na ishara ya minus).

Thamani kamili ya ongezeko la 1%.(gr.
Iliyotumwa kwenye ref.rf
11) inaonyesha ni vitengo ngapi vinahitajika kuzalishwa katika kipindi fulani ili kiwango cha kipindi cha awali kinaongezeka kwa 1%. Katika mfano wetu, mwaka wa 1995 ᴦ. ilihitajika kuzalisha tani elfu 2.0, na mwaka wa 1998 ᴦ. - tani elfu 2.3, ᴛ.ᴇ. kubwa zaidi.

Thamani kamili ya ukuaji wa 1% inaweza kuamuliwa kwa njia mbili:

§ kiwango cha kipindi cha awali kilichogawanywa na 100;

§ Ongezeko kamili la mlolongo hugawanywa na viwango vya ukuaji wa mnyororo.

Thamani kamili ya ongezeko la 1% =

Katika mienendo, hasa kwa muda mrefu, uchambuzi wa pamoja wa kiwango cha ukuaji na maudhui ya kila ongezeko la asilimia au kupungua ni muhimu.

Kumbuka kuwa mbinu inayozingatiwa ya kuchambua safu ya wakati inatumika kwa safu za wakati, viwango ambavyo vinaonyeshwa kwa maadili kamili (t, rubles elfu, idadi ya wafanyikazi, n.k.), na kwa safu ya wakati, viwango vyao. huonyeshwa kwa viashiria vya jamaa (% ya kasoro, % maudhui ya majivu ya makaa ya mawe, nk) au maadili ya wastani (mavuno ya wastani katika c/ha, wastani wa mshahara, nk).

Pamoja na viashiria vya uchambuzi vinavyozingatiwa, vilivyohesabiwa kwa kila mwaka kwa kulinganisha na kiwango cha awali au cha awali, wakati wa kuchambua mfululizo wa mienendo, ni muhimu sana kuhesabu viashiria vya wastani vya uchambuzi kwa kipindi hicho: kiwango cha wastani cha mfululizo, wastani wa mwaka kamili. ongezeko (kupungua) na wastani wa kiwango cha ukuaji wa kila mwaka na kasi ya ukuaji .

Mbinu za kuhesabu kiwango cha wastani cha mfululizo wa mienendo zilijadiliwa hapo juu. Katika mfululizo wa mienendo ya muda tunaozingatia, kiwango cha wastani cha mfululizo kinakokotolewa kwa kutumia fomula rahisi ya maana ya hesabu:

Kiwango cha wastani cha uzalishaji wa bidhaa kwa mwaka wa 1994-1998. jumla ya tani 218.4 elfu.

Ukuaji wa wastani wa kila mwaka pia huhesabiwa kwa kutumia fomula ya maana ya hesabu

Kupotoka kwa kawaida - dhana na aina. Uainishaji na vipengele vya kategoria "Mchepuko wa maana wa mraba" 2017, 2018.

Moja ya zana kuu za uchambuzi wa takwimu ni hesabu ya kupotoka kwa kawaida. Kiashiria hiki hukuruhusu kukadiria kupotoka kwa kawaida kwa sampuli au kwa idadi ya watu. Hebu tujifunze jinsi ya kutumia fomula ya kawaida ya kupotoka katika Excel.

Hebu tufafanue mara moja nini wastani kupotoka kwa kawaida na fomula yake inaonekanaje. Kiasi hiki ni mzizi wa mraba wa maana ya hesabu ya miraba ya tofauti kati ya wingi wote katika mfululizo na maana yake ya hesabu. Kuna jina linalofanana kwa kiashiria hiki - kupotoka kwa kawaida. Majina yote mawili ni sawa kabisa.

Lakini, kwa kawaida, katika Excel mtumiaji haipaswi kuhesabu hii, kwa kuwa mpango unafanya kila kitu kwa ajili yake. Hebu tujifunze jinsi ya kuhesabu kupotoka kwa kawaida katika Excel.

Kuhesabu katika Excel

Unaweza kuhesabu thamani maalum katika Excel kwa kutumia kazi mbili maalum STDEV.V(kulingana na sampuli ya idadi ya watu) na STDEV.G(kulingana na idadi ya watu kwa ujumla). Kanuni ya uendeshaji wao ni sawa kabisa, lakini wanaweza kuitwa kwa njia tatu, ambazo tutajadili hapa chini.

Njia ya 1: Mchawi wa Kazi

Njia ya 2: Kichupo cha Fomula

Njia ya 3: Kuingiza fomula kwa mikono

Pia kuna njia ambayo hautahitaji kupiga dirisha la hoja hata kidogo. Ili kufanya hivyo, lazima uweke fomula kwa mikono.

Kama unaweza kuona, utaratibu wa kuhesabu kupotoka kwa kawaida katika Excel ni rahisi sana. Mtumiaji anahitaji tu kuingiza nambari kutoka kwa idadi ya watu au marejeleo ya seli zilizomo. Mahesabu yote yanafanywa na programu yenyewe. Ni vigumu zaidi kuelewa kiashiria kilichohesabiwa ni nini na jinsi matokeo ya hesabu yanaweza kutumika katika mazoezi. Lakini kuelewa hili tayari kunahusiana zaidi na uwanja wa takwimu kuliko kujifunza kufanya kazi na programu.

Mkengeuko wa kawaida ni kiashirio cha kawaida cha utofauti kutoka kwa takwimu za maelezo.

Mkengeuko wa kawaida, kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa kawaida, kupotoka kwa sampuli ya kawaida (eng. kupotoka kwa kawaida, STD, STDev) - kiashiria cha kawaida sana cha mtawanyiko katika takwimu za maelezo. Lakini, kwa sababu uchambuzi wa kiufundi ni sawa na takwimu; kiashiria hiki kinaweza (na kinapaswa) kutumika katika uchanganuzi wa kiufundi kugundua kiwango cha mtawanyiko wa bei ya chombo kilichochambuliwa kwa wakati. Inaonyeshwa na ishara ya Kigiriki Sigma "σ".

Asante kwa Carl Gauss na Pearson kwa kuturuhusu kutumia mkengeuko wa kawaida.

Kutumia kupotoka kwa kawaida katika uchambuzi wa kiufundi, tunageuza hii "index ya utawanyiko""V "kiashiria cha tete", kudumisha maana, lakini kubadilisha maneno.

Mkengeuko wa kawaida ni nini

Lakini kando na mahesabu ya msaidizi wa kati, kupotoka kwa kawaida kunakubalika kwa hesabu huru na maombi katika uchambuzi wa kiufundi. Kama msomaji hai wa jarida letu burdock alivyosema, " Bado sielewi kwa nini mkengeuko wa kawaida haujajumuishwa katika seti ya viashirio vya kawaida vya vituo vya biashara vya ndani.«.

Kweli, kupotoka kwa kawaida kunaweza kupima utofauti wa chombo kwa njia ya kawaida na "safi".. Lakini kwa bahati mbaya, kiashiria hiki sio kawaida sana katika uchambuzi wa dhamana.

Inatumia mkengeuko wa kawaida

Kuhesabu kwa mikono mkengeuko wa kawaida haipendezi sana, lakini ni muhimu kwa uzoefu. Mkengeuko wa kawaida unaweza kuonyeshwa formula STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , ambayo inaonekana kama mzizi wa jumla ya tofauti za mraba kati ya vipengele vya sampuli na wastani, ikigawanywa na idadi ya vipengele katika sampuli.

Ikiwa idadi ya vipengele katika sampuli inazidi 30, basi denominator ya sehemu chini ya mzizi inachukua thamani n-1. Vinginevyo n inatumika.

Hatua kwa hatua hesabu ya kawaida ya kupotoka:

1. kukokotoa wastani wa hesabu wa sampuli ya data
2. toa wastani huu kutoka kwa kila kipengele cha sampuli
3. sisi mraba tofauti zote kusababisha
4. muhtasari wa viwanja vyote vinavyotokana
5. gawanya kiasi kinachotokana na idadi ya vipengele kwenye sampuli (au kwa n-1, ikiwa n>30)
6. hesabu mzizi wa mraba wa mgawo unaotokana (unaoitwa utawanyiko)

Utawanyiko. Mkengeuko wa kawaida

Utawanyiko ni maana ya hesabu ya mikengeuko ya mraba ya kila thamani ya sifa kutoka wastani wa jumla. Kulingana na data ya chanzo, tofauti inaweza kuwa isiyo na uzito (rahisi) au kupimwa.

Tofauti huhesabiwa kwa kutumia fomula zifuatazo:

· kwa data isiyojumuishwa

· kwa data ya makundi

Utaratibu wa kuhesabu tofauti za uzani:

1. kuamua wastani wa uzani wa hesabu

2. mikengeuko ya lahaja kutoka wastani imedhamiriwa

3. mraba kupotoka kwa kila chaguo kutoka kwa wastani

4. zidisha miraba ya mikengeuko kwa uzani (masafa)

5. muhtasari wa bidhaa zinazosababisha

6. kiasi kinachotokana kinagawanywa na jumla ya mizani

Njia ya kuamua tofauti inaweza kubadilishwa kuwa fomula ifuatayo:

- rahisi

Utaratibu wa kuhesabu tofauti ni rahisi:

1. kuamua maana ya hesabu

2. mraba maana ya hesabu

3. mraba kila chaguo katika safu

4. pata jumla ya chaguo la miraba

5. kugawanya jumla ya mraba kwa idadi yao, i.e. kuamua mraba wa kati

6. kuamua tofauti kati ya mraba wa maana wa sifa na mraba wa wastani

Pia, fomula ya kuamua tofauti iliyopimwa inaweza kubadilishwa kuwa fomula ifuatayo:

hizo. utawanyiko ni sawa na tofauti kati ya wastani wa maadili ya mraba ya sifa na mraba wa maana ya hesabu. Wakati wa kutumia formula iliyobadilishwa, utaratibu wa ziada wa kuhesabu kupotoka kwa maadili ya mtu binafsi kutoka kwa x huondolewa na kosa katika hesabu inayohusishwa na kuzunguka kwa kupotoka huondolewa.

Utawanyiko una idadi ya mali, ambayo baadhi yake hurahisisha kukokotoa:

1) kutawanyika thamani ya kudumu sawa na sifuri;

2) ikiwa anuwai zote za maadili ya sifa zimepunguzwa na nambari sawa, basi tofauti haitapungua;

3) ikiwa anuwai zote za maadili ya sifa zimepunguzwa kwa idadi sawa ya nyakati (kunja), basi tofauti itapungua kwa sababu fulani.

Mkengeuko wa kawaida S- inawakilisha mzizi wa mraba wa tofauti:

· kwa data isiyojumuishwa:

;

· kwa mfululizo wa mabadiliko:

Aina mbalimbali, wastani wa mstari na mkengeuko wa kawaida huitwa idadi. Wana vitengo sawa vya kipimo kama maadili ya mtu binafsi ishara.

Tofauti na kupotoka kwa kawaida ni hatua zinazotumiwa sana za tofauti. Hii inaelezewa na ukweli kwamba wamejumuishwa katika nadharia nyingi za nadharia ya uwezekano, ambayo hutumika kama msingi. takwimu za hisabati. Kwa kuongeza, tofauti zinaweza kugawanywa katika vipengele vyake vya sehemu, kuruhusu mtu kutathmini ushawishi. mambo mbalimbali, na kusababisha kutofautiana kwa sifa.

Hesabu ya viashiria tofauti kwa benki zilizowekwa kwa kiasi cha faida imeonyeshwa kwenye jedwali.

Kiasi cha faida, rubles milioni.	Idadi ya benki	viashiria vilivyohesabiwa
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Jumla:			121,70		17,640	23,126

Mkengeuko wa wastani wa mstari na kawaida unaonyesha ni kiasi gani thamani ya sifa hubadilikabadilika kwa wastani kati ya vitengo na idadi ya watu inayochunguzwa. Kwa hiyo, katika kwa kesi hii thamani ya wastani kushuka kwa thamani kwa kiasi cha faida ni: kulingana na kupotoka wastani wa mstari, rubles milioni 0.882; kwa kupotoka kwa kawaida - rubles milioni 1.075. Mkengeuko wa kawaida huwa mkubwa kila wakati kuliko ukengeushaji wastani wa mstari. Ikiwa usambazaji wa tabia ni karibu na kawaida, basi kuna uhusiano kati ya S na d: S=1.25d, au d=0.8S. Mkengeuko wa kawaida unaonyesha jinsi wingi wa vitengo vya idadi ya watu unapatikana kulingana na wastani wa hesabu. Bila kujali sura ya usambazaji, maadili 75 ya sifa huanguka katika muda wa x 2S, na angalau 89 ya maadili yote huanguka katika muda wa x 3S (nadharia ya P.L. Chebyshev).

Xi - vigezo vya nasibu (vya sasa);

X̅– thamani ya wastani ya vigeu vya nasibu kwa sampuli huhesabiwa kwa kutumia fomula:

Kwa hiyo, tofauti ni wastani wa mraba wa mikengeuko . Hiyo ni, thamani ya wastani ni ya kwanza kuhesabiwa, kisha inachukuliwa tofauti kati ya kila thamani halisi na wastani ni mraba , huongezwa na kisha kugawanywa na idadi ya maadili katika idadi ya watu.

Tofauti kati ya thamani tofauti na wastani huonyesha kipimo cha kupotoka. Imewekwa mraba ili mikengeuko yote iwe ya kipekee nambari chanya na kuepuka uharibifu wa pande zote wa mikengeuko chanya na hasi wakati wa kuzijumlisha. Kisha, kwa kuzingatia mikengeuko ya mraba, tunahesabu tu maana ya hesabu.

Suluhisho neno la uchawi"mtawanyiko" unajumuisha maneno haya matatu tu: maana - mraba - mikengeuko.

Mkengeuko wa kawaida (MSD)

Kuchukua mzizi wa mraba wa tofauti, tunapata kinachojulikana kama " kupotoka kwa kawaida". Kuna majina "mkengeuko wa kawaida" au "sigma" (kutoka kwa jina barua ya Kigirikiσ .). Fomula ya kupotoka kwa kawaida ni:

Kwa hiyo, mtawanyiko ni sigma mraba, au ni mkengeuko wa kawaida wa mraba.

Mkengeuko wa kawaida, ni wazi, pia ni sifa ya kipimo cha utawanyiko wa data, lakini sasa (tofauti na utawanyiko) inaweza kulinganishwa na data ya asili, kwa kuwa wana vitengo sawa vya kipimo (hii ni wazi kutoka kwa fomula ya hesabu). Upeo wa tofauti ni tofauti kati ya maadili yaliyokithiri. Mkengeuko wa kawaida, kama kipimo cha kutokuwa na uhakika, pia unahusika katika hesabu nyingi za takwimu. Kwa msaada wake, kiwango cha usahihi wa makadirio na utabiri mbalimbali imedhamiriwa. Ikiwa tofauti ni kubwa sana, basi kupotoka kwa kawaida pia itakuwa kubwa, na kwa hiyo utabiri hautakuwa sahihi, ambao utaonyeshwa, kwa mfano, katika vipindi vingi vya kujiamini.

Kwa hiyo, katika mbinu usindikaji wa takwimu data katika tathmini ya mali isiyohamishika, kulingana na usahihi unaohitajika wa kazi, sheria ya sigma mbili au tatu hutumiwa.

Ili kulinganisha sheria ya sigma mbili na sheria ya sigma tatu, tunatumia fomula ya Laplace:

F - F ,

ambapo Ф(x) ni kazi ya Laplace;

Thamani ya chini

β = thamani ya juu

s = thamani ya sigma (mkengeuko wa kawaida)

a = wastani

Katika kesi hii, hutumiwa mtazamo wa kibinafsi Fomula ya Laplace wakati mipaka α na β ya thamani za kigezo cha nasibu X imepangwa kwa usawa kutoka katikati ya usambazaji a = M(X) kwa thamani fulani d: a = a-d, b = a+d. Au (1) Mfumo wa (1) huamua uwezekano wa mkengeuko fulani wa d ya tofauti ya nasibu X c sheria ya kawaida usambazaji kutoka kwa matarajio yake ya hisabati M(X) = a. Ikiwa katika formula (1) tunachukua sequentially d = 2s na d = 3s, tunapata: (2), (3).

Sheria mbili za sigma

Inaweza kuwa karibu kutegemewa (kwa uwezekano wa kujiamini wa 0.954) kwamba thamani zote za mabadiliko ya nasibu X yenye sheria ya kawaida ya usambazaji kupotoka kutoka kwa matarajio yake ya hisabati M(X) = a kwa kiasi kisichozidi 2s (michepuko miwili ya kawaida). ) Uwezekano wa kujiamini (Pd) ni uwezekano wa matukio ambayo yanakubaliwa kikawaida kuwa yanategemewa (uwezekano wao uko karibu na 1).

Wacha tuonyeshe sheria ya-sigma mbili kijiometri. Katika Mtini. Mchoro wa 6 unaonyesha mkunjo wa Gaussian na kituo cha usambazaji a. Eneo linalopakana na curve nzima na mhimili wa Ox ni 1 (100%), na eneo hilo. trapezoid iliyopinda kati ya abscissas a-2s na + 2s, kwa mujibu wa sheria ya sigma mbili, ni sawa na 0.954 (95.4% ya jumla ya eneo). Eneo la maeneo yenye kivuli ni 1-0.954 = 0.046 (»5% ya eneo lote). Maeneo haya yanaitwa eneo muhimu la utofauti wa nasibu. Maadili ya mabadiliko ya nasibu yanayoanguka katika eneo muhimu hayawezekani na kwa mazoezi yanakubaliwa kawaida kuwa haiwezekani.

Uwezekano wa maadili yasiyowezekana kwa masharti inaitwa kiwango cha umuhimu cha kutofautisha bila mpangilio. Kiwango cha umuhimu kinahusiana na uwezekano wa kujiamini kwa fomula:

ambapo q ni kiwango cha umuhimu kinachoonyeshwa kama asilimia.

Sheria tatu za sigma

Wakati wa kutatua maswala ambayo yanahitaji kuegemea zaidi, wakati uwezekano wa kujiamini (Pd) unachukuliwa sawa na 0.997 (kwa usahihi zaidi, 0.9973), badala ya sheria ya sigma mbili, kulingana na formula (3), sheria hutumiwa. sigma tatu

Kulingana na kanuni tatu za sigma katika uwezekano wa kujiamini 0.9973 eneo muhimu litakuwa eneo la maadili ya sifa nje ya muda (a-3s, a+3s). Kiwango cha umuhimu ni 0.27%.

Kwa maneno mengine, uwezekano huo thamani kamili kupotoka kutazidi mara tatu ya kawaida kupotoka, ndogo sana, yaani sawa na 0.0027 = 1-0.9973. Hii inamaanisha kuwa ni 0.27% tu ya kesi zitatokea. Matukio hayo, kwa kuzingatia kanuni ya kutowezekana kwa matukio yasiyowezekana, yanaweza kuchukuliwa kuwa haiwezekani. Wale. sampuli ni sahihi sana.

Hiki ndicho kiini cha kanuni tatu za sigma:

Ikiwa tofauti ya nasibu inasambazwa kwa kawaida, basi thamani kamili ya kupotoka kwake kutoka kwa matarajio ya hisabati haizidi mara tatu ya kupotoka kwa kawaida (MSD).

Kwa mazoezi, sheria ya sigma tatu inatumika kama ifuatavyo: ikiwa usambazaji wa utofauti wa nasibu unaosomwa haujulikani, lakini hali iliyoainishwa katika sheria iliyo hapo juu imefikiwa, basi kuna sababu ya kudhani kuwa utofauti unaosomwa husambazwa kawaida. ; vinginevyo si kawaida kusambazwa.

Kiwango cha umuhimu kinachukuliwa kulingana na kiwango kinachoruhusiwa cha hatari na kazi inayohusika. Kwa hesabu ya mali isiyohamishika, sampuli isiyo sahihi zaidi kawaida hupitishwa, kufuata sheria ya sigma mbili.