Jedwali la kutafuta kipeo. Maana ya nambari e

Katika makala hii tutajadili nini kielelezo ni katika Excel na, muhimu zaidi, kwa nini inaweza kuwa muhimu katika maisha ya kawaida au katika biashara.

Wakati wa miaka yangu ya mwanafunzi mara nyingi nilisikia misemo kama: "Kwa nini hata tunajifunza 'hii', hatutahitaji kamwe 'hii' maishani." Mojawapo ya hizi ‘ni’ mara nyingi ilikuwa kielezi au, kwa mfano, . Nilikuwa dhaifu hisabati ya juu wakati wa elimu yangu ya kwanza, ambayo ninajuta. Na sasa lazima nipate mada ambayo nilikosa hapo awali. Ninashiriki urejeshaji wa maarifa yangu.

Tunajua kwamba ulimwengu wetu umeelezewa sayansi halisi-yaani. seti ya kanuni na sheria zinazoelezea kwa usahihi zaidi au kidogo kile kinachotokea. Katika hali nyingi, chaguo za kukokotoa/fomula husaidia na hili. Kwa asili, matukio ya kielelezo ni ya kawaida kabisa (yaliyofafanuliwa na kielezi) kwa fomula yenye nambari. e, na y = e kwa nguvu ya x tayari itakuwa kazi ya kielelezo:

Nambari e- hii ndiyo inayoitwa Nambari ya Euler takriban sawa na 2.72. Inastahili kuzingatiwa kwa kuwa derivative ya chaguo hili la kukokotoa ni sawa na chaguo za kukokotoa zenyewe exp(x)` = exp(x).

Haya yote yanahusu nini, na yanamaanisha nini kwetu?

Bora zaidi, hatua ya kielelezo kinaonyeshwa kwenye grafu hapa chini:

Kazi mbili: y = 2 katika x na y = e kwa nguvu ya x, ambapo x = wakati, kwa mfano. Tunaona kwamba kasi ya ukuaji wa grafu ya kielelezo huongezeka kwa kasi zaidi. Na kwa nini wote? Kwa sababu derivative (kiwango cha ukuaji au kupungua) ya kazi ni sawa na kazi yenyewe, i.e. kiwango ambacho kazi huongezeka ni sawa na thamani ya chaguo la kukokotoa.

Ili kuiweka wazi, kwa asili, hii hutokea mara nyingi - seli zaidi zinagawanyika, kwa kasi huwa kubwa. Kadiri unavyokuwa na pesa nyingi benki, ndivyo faida inavyozalisha. Kwa mfano:

Umewekeza rubles 1,000. kwa benki, mwaka mmoja baadaye walileta rubles zao 100. asilimia, baada ya mwaka mwingine tayari una wafanyakazi 2 wanaofanya kazi kwako rubles 1,000. na 100 kusugua. na kadhalika mpaka utoe fedha au mgogoro wa benki hutokea.

Kwa njia, idadi ya watu kwenye sayari ya Dunia pia inakua kwa kasi;)

Kanuni ya Pareto na kielelezo

Je, umesikia kuhusu kanuni hii? Nadhani ndiyo. "20% ya juhudi huleta 80% ya matokeo." Huyu ndiye. Ufafanuzi bora kwa kukariri, inaonekana kwangu:

20% ya wanywaji bia hunywa 80% ya bia zote

Imejengwa kwa kanuni ya Pareto Uchambuzi wa ABC hisa, kwa mfano.

Kanuni hii ya Pareto ni mfano mwingine wa kielelezo.

Kwa njia, sheria ya haki sana katika maisha halisi, Ninathibitisha na uzoefu wangu Mara moja kwenye mradi wangu wa kwanza, niliona kwamba karibu 20% ya muda unaunda 80% ya bidhaa (kwa maneno ya kiasi), basi unafanya kazi kwa ubora. Wale. Mwingine 80% ya wakati unapomaliza, tafuta makosa, sanidi. Nimesikia hata watu wakisema "maendeleo yako katika hatua ya kielelezo" - i.e. katika mchakato wa kukaribia bora.

Wakati wa "kumaliza" mradi kama huu, ni muhimu kuacha kwa wakati, kwa sababu bidhaa haitakuwa kamilifu. Kwa hiyo, amua mapema ni ubora gani ungependa kupokea mwishoni. Ikiwa hujifanyii mwenyewe, hakikisha kukusanya mahitaji kutoka kwa mteja. Kanuni inaonekana kama hii:

Kipeo (nambari e) - nambari isiyo na mantiki, takriban sawa na 2.71828. Nambari e ina jukumu kubwa katika kutofautisha na hesabu muhimu na inatumika karibu yote nyanja za kisayansi. Hivyo kavu ufafanuzi wa hisabati haifichui kiini hata kidogo hisia ya kimwili waonyeshaji. Hebu tuangalie kwa karibu.

Maana ya nambari e

Nambari ya Pi sio tu nambari isiyo na maana sawa na 3.1415, lakini uwiano sawa wa mduara hadi kipenyo katika matukio yote. Kwa njia hiyo hiyo, nambari e ina maana yake mwenyewe.

Ufafanuzi ni uhusiano wa msingi wa ukuaji kwa michakato yote ya kukua. Nambari yoyote inaweza kuchukuliwa kuwa kitengo kilichopimwa, mraba wowote unaweza kuchukuliwa kuwa mraba wa kitengo cha ukubwa, yoyote pembetatu ya usawa- kama kuongezeka au kupungua pembetatu ya kawaida, vizuri, mgawo wowote wa ukuaji unaweza kuwakilishwa kama mgawo uliopimwa e.

Ni utendakazi wenye nambari e utakaokupa fursa ya kubainisha kiwango cha ukuaji katika hali kama vile ongezeko la watu, ongezeko la riba kwenye amana, au nusu ya maisha ya dutu ya mionzi.

Ukuaji tofauti

Mfano wa msingi wa mfumo wa mara mbili unaoendelea ni kuenea kwa bakteria, ambayo mara mbili kila siku. Ikiwa mara mbili hutokea mara moja, basi hisabati tunapata 2 kwa nguvu ya kwanza, yaani, 2 tu. Ikiwa ni mara mbili mara x, basi mwisho tunapata 2 kwa nguvu za bakteria x, pesa au nzuri yoyote.

Hata hivyo, mfumo hauwezi kubadilika kwa mara 2, lakini kwa mfano kwa 20% au 120%. Katika kesi hii, tunaweza kufikiria kuongeza sio mbili, lakini kama 1+1 au 1+100%. Katika rekodi kama hii, tunaweza kubadilisha mgawo wowote wa ukuaji na kupata fomula ya ukuaji kama:

Ukuaji = (1 + ukuaji) x,

ambapo x ni idadi ya mizunguko ya nyongeza.

Shukrani kwa fomula hii, tunaweza kujua ni bakteria ngapi tutapata kutoka kwa seli moja baada ya siku 30. Walakini, bakteria hugawanyika kwa uwazi, yaani, hadi seli mpya itengenezwe ndani ya masaa 24, haitaweza kutoa viumbe vipya. Kutumia formula hii kwa pesa, tunapata matokeo tofauti kabisa.

Ukuaji unaoendelea

Wakati wa kuhesabu riba kwa pesa, hakuna tofauti, lakini ukuaji endelevu. Mara tu faida ya senti kadhaa inapowekwa kwenye amana, pesa hizi huanza kutoa faida. Hakuna haja ya kusubiri dola nzima "kuzaliwa", ambayo itaanza kugawanyika kwa mfano wa bakteria. Inatosha kwa senti kuunda, ambayo itaanza kuzalisha faida yake ndogo.

Hebu tufikirie kuwa tuliwekeza $1 katika biashara inayotuahidi faida ya 100% kwa mwaka. Hii ina maana kwamba tutapata ongezeko:

Mapato = (1 + 1) 1 = 2

$ 2 tu - sio nyingi. Hata hivyo, tukigawanya mwaka katika nusu miaka miwili, tunapata senti 50 kwa kila nusu mwaka. Senti zilizopokelewa tayari zinaweza kutoa faida peke yao, na kisha fomula itabadilika.

Mapato = (1 + 0.5) 2 = 2.25

Kwa kuwa sasa tuna vipindi viwili maradufu, tuliongeza ongezeko hilo na kupata mapato ya ziada ya senti 25. Ikiwa tutagawanya faida yetu katika sehemu 5 za senti 20 kila moja, itageuka kuvutia zaidi:

Mapato = (1 + 0.2) 5 = 2.4883

Labda tunaweza kugawanya faida kwa muda usiojulikana idadi kubwa sehemu ndogo na kupata faida isiyoisha? Ole, hapana. Hata tukigawanya dola yetu katika sehemu 100,000, mapato yatakuwa:

Mapato = (1 + 0.00001) 100,000 = 2.71826

Kwa mgawanyiko usio na mwisho wa dola, faida itaongezeka kwa maeneo laki ya decimal. Faida yetu ya $2.71826 itaelekea kwenye thamani ya 2.718281828, ambayo si zaidi ya nambari E.

Na yote yanamaanisha nini

Kielelezo ni matokeo ya juu zaidi ya uwezekano wa ukuaji wa 100% kwa kipindi fulani cha muda. Ndiyo, awali tunaahidiwa faida ya 100%, yaani, $ 2 tu, lakini kila senti huleta gawio lake na mwisho tuna faida ya $ 2.71828. Nambari e ndio kiwango cha juu tunachoweza kupata tunapogawanya faida katika jumla ya kiasi kisicho na kikomo.

Hii ina maana kwamba tukiwekeza $1 katika biashara tukiwa na uwezekano wa kupata faida ya 100%, tutapokea $2,718 katika faida halisi. Ikiwa $2, basi tutapokea faida 2x halisi, na ikiwa $100, basi faida yetu itakuwa 100x. Kwa hivyo, e ni kikomo cha mara kwa mara ambacho kinapunguza michakato ya ukuaji kwa njia sawa na kwamba kasi ya mwanga inapunguza mwendo wa habari katika nafasi. Nambari ya e ndio matokeo ya juu zaidi, ambayo ni ngumu kufikia katika mazoezi, kwa hivyo kwa ukweli michakato mingi inaelezewa kwa kutumia sehemu za kielelezo.

Kutumia kielelezo katika mazoezi

Kwa mtazamo wa kwanza, ukuaji unaonyeshwa kama ongezeko la 1%, hata hivyo, kihesabu ongezeko kama hilo linaonyeshwa kama kuzidisha na 1.01. Kwa hivyo, wakati wa kufanya shughuli na nambari e, tunatumia nguvu au mizizi. Au logarithms asili, ikiwa tunahitaji uendeshaji kinyume. Chochote cha ukuaji tunachochukua, itamaanisha nguvu kwa nambari e. Kwa mfano, ikiwa tunajua kuwa ndani ya miaka 3 tutapata faida ya 200%, basi tunazidisha ukuaji (e 2) kwa vipindi 3 na kupata. :

Ukuaji = (e 3) 2 = e 6

Kwa ufahamu bora Hebu tuangalie mifano.

Amana ya benki

Hebu tuseme tuliweka $100 katika benki kwa kiwango cha kila mwaka cha 8%. Benki iliyochaguliwa inatupa mtaji kamili wa riba, tutapata faida gani katika miaka 5? Kwa kuwa benki hutupatia ukuaji endelevu wa pesa, katika miaka 5 akaunti yetu itakuwa tayari kuwa na:

Faida = 100 × e (0.08 × 5) = 149.1

Kushangaza, sawa? Kwa bahati mbaya, benki za kweli hazitumii mara chache maslahi ya kiwanja, na ikiwa wanahesabu mtaji, basi kulingana na fomula zao wenyewe, ambazo ni tofauti kidogo na kielelezo cha classical.

Maisha ya nusu

Fikiria kuwa una kilo 5 za uranium ya mionzi ambayo huoza kwa kiwango cha 100% kwa mwaka. Je, baada ya miaka 2 utakuwa umebakisha uranium kiasi gani? Kwa nadharia, uranium yote inapaswa kuoza katika mwaka wa kwanza, lakini hii sivyo. Baada ya miezi 6, utakuwa na kilo 2.5 tu za uranium iliyobaki, ambayo nayo itaanza kuoza kwa kiwango cha kilo 2.5 tu kwa mwaka. Katika miezi michache mingine, kilo 1 ya urani itabaki kwenye hifadhi yako, lakini pia itaoza na zaidi. kasi ya chini kwa kiwango cha kilo 1 kwa mwaka. Baada ya muda, unapoteza mafuta ya mionzi, na kiwango cha kuoza hupungua. Kwa hivyo, baada ya miaka 2 utakuwa na:

Mabaki ya mionzi = 5 × e-2 = 0.676

Hitimisho

Kielelezo kinatumika sana katika hali ambapo kitu kinakua mfululizo au tofauti. Unaweza kutumia kikokotoo cha umeme kukokotoa matokeo ya ukuaji wa mchakato wowote unaoendelea.

Hesabu maadili kazi za hisabati. Kiongozi, ambaye kipeo chake kinahitaji kuhesabiwa. Kisha bonyeza tu kwenye kitufe cha kielelezo. Kwenye vikokotoo vingi inaonekana kama "exp" au "e" yenye "x" ndogo iliyo juu kidogo na kulia kwa "e". Matokeo yataonekana mara moja kwenye kiashiria cha calculator (hakuna haja ya kushinikiza kitufe cha "=").

Ili kuhesabu kipeo kwenye kompyuta yako, tumia kikokotoo cha kawaida cha Windows. Ili kufanya hivyo, uzindua programu ya "calculator" (bofya kitufe cha "Anza", kisha "Run", chapa "calc" kwenye dirisha inayoonekana na ubofye "Sawa"). Ikiwa kibodi ya kikokotoo pepe haina funguo za kukokotoa vitendaji vya hisabati, kisha ubadilishe hadi modi ya uhandisi (chagua kipengee cha menyu ya "Angalia" kisha uelekeze kwenye "Uhandisi").

Sasa andika nambari ambayo kipeo chake unataka kuhesabu. Kisha angalia kisanduku cha "Inv" na ubofye kitufe cha kuhesabu "ln". Tafadhali kumbuka kuwa baada ya kuhesabu, kisanduku cha "Inv" kinawekwa upya kiotomatiki na lazima kiwekwe tena. Usitumie kitufe kilichoandikwa "exp" kukokotoa kipeo! Katika calculator ya Windows, kifungo hiki kinatumika kwa madhumuni tofauti kabisa.

Kuna aina tatu za noti za uhandisi: zenye nukuu za kinyume za Kipolandi, hesabu na fomula. Pia kuna vikokotoo vinavyotumia kubadilisha mbinu za kuingiza sauti. Matumizi ya kila mmoja wao ina sifa zake.

Maagizo

Bainisha ni njia gani ya kuingiza faili yako. Ikiwa hakuna ufunguo wenye ishara sawa, lakini kuna ufunguo wenye mshale unaoelekea juu, una taipureta iliyo na nukuu ya Kipolandi kinyume. Uwepo wa ufunguo wenye ishara sawa unaonyesha kuwa kifaa kinatumia mbinu ya kuingiza. Mwishowe, ikiwa kiashiria cha kikokotoo, pamoja na utambuzi wa sehemu, pia kina zile za matrix, basi kifaa kimeundwa kwa nukuu ya fomula. KATIKA kesi ya mwisho, badala ya ishara sawa, "EXE" au "Ingiza" inaweza kuchapishwa kwenye ufunguo unaofanana.

Kuhesabu kwa kikokotoo na nukuu ya Kipolishi ya kinyume, lazima kwanza uamue mpangilio wa vitendo. Hii inafanywa kulingana na sheria za hesabu zinazokubaliwa kwa ujumla. Fanya vitendo na operesheni mbili kama ifuatavyo. Ingiza operand ya kwanza. Bonyeza kitufe cha kishale cha juu ili kuisogeza juu rejista moja ya rafu. Ingiza operesheni ya pili, na kisha tu bonyeza kitufe cha hesabu. Kiashiria kitaonyesha matokeo ya hesabu Kufanya kitendo na operand moja, ingiza tu, na kisha bonyeza kitufe kinacholingana nayo.

Kwenye kikokotoo kilicho na nukuu ya hesabu, fanya shughuli na operesheni mbili kwa njia sawa na kwenye kikokotoo cha kawaida. Tekeleza vitendo kwa operesheni moja kwa njia sawa na kwenye tapureta yenye nukuu ya Kipolandi iliyo kinyume Ikiwa kibodi ina funguo zilizo na mabano, hakuna haja ya kubainisha mpangilio wa hesabu. Walakini, haupaswi kuzidi kiwango cha kuota kwa mabano yaliyoainishwa katika maagizo. Kwa kukosekana kwa maagizo, hii inaweza kuamua kwa majaribio kwa kushinikiza ufunguo na bracket ya ufunguzi mara kadhaa na kubainisha baada ya hapo hitilafu ilitokea kulingana na idadi ya waandishi wa habari.

Usemi huingizwa kwenye kikokotoo na nukuu ya fomula kwa njia ile ile kama ilivyoandikwa kwenye karatasi. Ikiwa sehemu ya ingizo ni ya mstari mmoja, fomula zilizo na sehemu hubadilishwa kuwa fomula za mstari mmoja kwa kutumia mabano na ishara ya mgawanyiko. Ikiwa ni lazima, usemi ulioingia unaweza kusahihishwa kwa kutumia funguo za mshale za usawa, pamoja na vifungo vya "Ingiza", "Backspace" na "Futa" (zinaweza kutofautiana kwenye calculators tofauti). Kisha bonyeza kitufe cha "EXE" au "Ingiza" na matokeo. Ikiwa matokeo haya yanahitajika kuwekwa katika fomula ifuatayo, tumia kitufe cha "ANS".

Katika vikokotoo vingi, baadhi ya funguo zinaweza kufanya kazi zaidi ya moja. Kubonyeza tu kitufe kunalingana na kufanya operesheni iliyoonyeshwa moja kwa moja juu yake. Shughuli nyingine zinaonyeshwa karibu na kifungo katika rangi moja au nyingine. Ili kulazimisha kihesabu kufanya kazi kama hiyo, lazima kwanza ubonyeze kitufe cha kujiandikisha ambacho kina rangi sawa (inaweza kuitwa "F", "2ndF", "S"), na kisha kitufe karibu na ambayo operesheni unayofanya. haja imeonyeshwa.

Video kwenye mada

Kutoka kwa mfululizo wa jumla logarithmu mbili zimeangaziwa - hii ndio logarithm ya msingi 10 (desimali) na msingi, idadi sawa"e" ni nambari inayoitwa "Euler number". Hii mara kwa mara ni nambari isiyo na maana, yaani, haina thamani halisi, lakini inawakilisha sehemu isiyo na mwisho. Logarithmu iliyo na msingi kama huo inaitwa asili na ina matumizi makubwa zaidi katika calculus muhimu na tofauti kuliko logarithm ya desimali.

Maagizo

Tumia -calculator bora zaidi njia ya haraka mahesabu ya asili

Chaguo za kukokotoa za Exp katika Pascal (na lugha nyingine nyingi za programu) hukokotoa kipeo. Sintaksia:

kazi Exp(X: ValReal) : ValReal;

Chaguo za kukokotoa za Exp X hukokotoa na kurudisha kipeo cha X.

Kukokotoa kipeo ni kukokotoa nambari e kwa nguvu ya X. Hiyo ni,

Kwa maelezo, tazama video na usome makala hapa chini.

Kitendakazi Inverse Ln

Ikiwa unakumbuka basi unakumbuka pia kwamba inahesabu logarithm asili.

Kwa hivyo, kazi ya kinyume ya Exp ni kazi ya Ln. Kwa maneno mengine, utendaji wa kinyume kipengele cha kukokotoa (kipeo) ni logariti asilia. Hiyo ni:

Logi e (Y) = Ln (Y) = X

e X = Y = Exp(X)

e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y

Kuna pia formula hii muhimu:

x Y = e Y ln(x) = Mwisho (Y * Ln(X))

Inafuata kutokana na hili kwamba kwa kutumia vipengele vya Ln na Exp, tunaweza kuongeza nambari yoyote kwa nguvu yoyote. Unaweza kufanya hivyo, kwa mfano, kama hii:

P:= Mwisho (Y * Ln(X))

Ikiwa unaelezea lugha ya hisabati, basi usemi hapo juu utakuwa sawa na nukuu ifuatayo:

Kweli, ni lazima kusema kwamba kuna nuances hapa. Kuna matukio maalum wakati usemi hapo juu utatoa matokeo yasiyo sahihi. Kwa mfano, wakati Y au X nambari hasi, au zinapokuwa sawa na sifuri. Hali kama hizo zinahitaji kushughulikiwa zaidi. Walakini, nakala hii sio juu ya udhihirisho, kwa hivyo tutaangalia kesi hizi maalum katika nakala nyingine.

Mfano wa nambari ya chanzo ambapo kitendakazi cha Exp kinatumika:

programu funcexp; hutumia Hisabati; var x, y: moja; anza y:= Exp(2); //y = Exp(2) = 7.39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4);