Tangu , basi tumbo A- haiwezi kugeuzwa, yaani, kuna matrix inverse. Ikiwa tutazidisha pande zote mbili za usawa upande wa kushoto, tunapata fomula ya kutafuta safu-matriki ya vigeu visivyojulikana. Hivi ndivyo tulivyopata suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa kutumia mbinu ya matrix.

njia ya matrix.

Wacha tuandike tena mfumo wa hesabu katika fomu ya matrix:

Kwa sababu basi SLAE inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya tumbo. Kwa kutumia matrix inverse, suluhisho la mfumo huu linaweza kupatikana kama .

Wacha tutengeneze matrix ya kinyume kwa kutumia matrix kutoka kwa vikamilisha vya aljebra ya vipengele vya matrix A(ikiwa ni lazima, angalia njia za makala za kupata matrix inverse):

Inabakia kuhesabu matrix ya vigezo visivyojulikana kwa kuzidisha matrix ya kinyume kwa safu wima ya matrix ya washiriki wasiolipishwa (ikihitajika, angalia utendakazi wa makala kwenye matrices):

au kwenye chapisho lingine x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Tatizo kuu wakati wa kutafuta suluhu za mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya matriki ni ugumu wa kutafuta matriki kinyume, hasa kwa hesabu za mraba za mpangilio wa juu zaidi ya tatu.

Kwa maelezo ya kina zaidi ya nadharia na mifano ya ziada, angalia mbinu ya matrix ya makala kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari.

Juu ya ukurasa

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss.

Tuseme tunahitaji kupata suluhisho la mfumo kutoka n milinganyo ya mstari na n vigezo visivyojulikana kibainishi cha matrix kuu ambayo ni tofauti na sifuri.

Kiini cha njia ya Gauss inajumuisha kuondoa kwa kufuatana kwa vigezo visivyojulikana: kwanza kuondoa x 1 kutoka kwa equations zote za mfumo, kuanzia pili, ni zaidi kutengwa x 2 kutoka kwa equations zote, kuanzia na ya tatu, na kadhalika, mpaka kutofautiana tu haijulikani kubaki katika equation ya mwisho x n. Mchakato huu wa kubadilisha milinganyo ya mfumo ili kuondoa vijiumbe visivyojulikana kwa mpangilio huitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha uendelezaji wa mbele wa njia ya Gaussian, kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunapata x n, kwa kutumia thamani hii kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunaohesabu x n-1, na kadhalika, kutoka kwa equation ya kwanza tunayopata x 1 . Mchakato wa kuhesabu vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm ya kuondoa vigezo visivyojulikana.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Ondoa tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo, kuanzia ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na, kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na, na kadhalika, kwa nth kwa equation tunaongeza ya kwanza iliyozidishwa na. Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu wapi na .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeelezea x 1 kupitia vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na usemi unaotokana ulibadilishwa kuwa milinganyo mingine yote. Hivyo kutofautiana x 1 kutengwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na, kwa equation ya nne tunaongeza ya pili, kuzidishwa na, na kadhalika, kwa nth kwa equation tunaongeza ya pili, ikizidishwa na. Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu wapi na . Hivyo kutofautiana x 2 haijajumuishwa kwenye milinganyo yote kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea na kuondoa haijulikani x 3 , katika kesi hii tunafanya sawa na sehemu ya mfumo uliowekwa kwenye takwimu

Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa mlinganyo wa mwisho kama, kwa kutumia thamani iliyopatikana x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya mwisho, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari Njia ya Gauss.

Ondoa tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa equations ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa pande zote mbili za equation ya pili na ya tatu tunaongeza sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, iliyozidishwa na na kwa mtiririko huo:

Sasa hebu tuondoe kutoka kwa equation ya tatu x 2 , ikiongeza kwa upande wake wa kushoto na kulia pande za kushoto na kulia za equation ya pili, ikizidishwa na:

Hii inakamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gauss tunaanza kiharusi cha nyuma.

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo unaosababishwa wa equations tunapata x 3 :

Kutoka kwa equation ya pili tunapata.

Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata tofauti iliyobaki isiyojulikana na kwa hivyo kukamilisha kinyume cha njia ya Gauss.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Kwa maelezo zaidi na mifano ya ziada, angalia sehemu ya kusuluhisha mifumo ya msingi ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss.

Juu ya ukurasa

Wacha tupewe mfumo wa milinganyo ya mstari na haijulikani:

Tutafikiri kwamba tumbo kuu yasiyo ya kuzorota. Kisha, kwa Theorem 3.1, kuna matrix inverse
Kuzidisha mlinganyo wa matrix
kwa tumbo
upande wa kushoto, kwa kutumia Ufafanuzi 3.2, na pia taarifa ya 8) ya Theorem 1.1, tunapata fomula ambayo njia ya matrix ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari inategemea:

Maoni. Kumbuka kuwa njia ya matrix ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari, tofauti na njia ya Gauss, ina matumizi mdogo: njia hii inaweza tu kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo, kwanza, idadi ya haijulikani ni sawa na idadi ya equations, na. pili, matrix kuu sio umoja.

Mfano. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix.

Mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na tatu zisizojulikana hutolewa
Wapi

Matrix kuu ya mfumo wa equations sio umoja, kwani kiashiria chake sio sifuri:

Matrix ya kinyume
Wacha tutunge kwa kutumia moja ya njia zilizoelezewa katika aya ya 3.

Kutumia fomula ya njia ya matrix ya kutatua mifumo ya hesabu za mstari, tunapata

5.3. Mbinu ya Cramer

Njia hii, kama njia ya matrix, inatumika tu kwa mifumo ya milinganyo ya mstari ambapo idadi ya zisizojulikana inalingana na idadi ya milinganyo. Njia ya Cramer inategemea nadharia ya jina moja:

Nadharia 5.2. Mfumo milinganyo ya mstari na haijulikani

ambayo matrix kuu sio ya umoja, ina suluhisho la kipekee ambalo linaweza kupatikana kwa kutumia fomula

Wapi
kibainishi cha matriki inayotokana na matriki ya msingi mfumo wa milinganyo kwa kuibadilisha
safu wima iliyo na safu ya washiriki huru.

Mfano. Wacha tupate suluhisho la mfumo wa hesabu za mstari zilizozingatiwa katika mfano uliopita kwa kutumia njia ya Cramer. Matrix kuu ya mfumo wa equations sio uharibifu, tangu
Wacha tuhesabu viashiria

Kutumia fomula zilizowasilishwa katika Theorem 5.2, tunahesabu maadili ya haijulikani:

6. Utafiti wa mifumo ya milinganyo ya mstari.

Suluhisho la msingi

Kusoma mfumo wa milinganyo ya mstari kunamaanisha kubainisha kama mfumo huu unaendana au hauoani, na kama unaoana, ili kujua kama mfumo huu ni wa uhakika au usio na kikomo.

Hali ya utangamano kwa mfumo wa milinganyo ya mstari inatolewa na nadharia ifuatayo

Nadharia 6.1 (Kronecker–Capelli).

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matriki kuu ya mfumo ni sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa:

Kwa mfumo wa wakati mmoja wa milinganyo ya mstari, swali la uhakika wake au kutokuwa na uhakika hutatuliwa kwa kutumia nadharia zifuatazo.

Nadharia 6.2. Ikiwa kiwango cha matrix kuu ya mfumo wa pamoja ni sawa na idadi ya haijulikani, basi mfumo ni dhahiri.

Nadharia 6.3. Ikiwa cheo cha matrix kuu ya mfumo wa pamoja ni chini ya idadi ya haijulikani, basi mfumo hauna uhakika.

Kwa hivyo, kutoka kwa nadharia zilizoundwa hufuata njia ya kusoma mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari. Hebu n- idadi ya watu wasiojulikana;

Kisha:

Ufafanuzi 6.1. Suluhisho la msingi la mfumo usio na kikomo wa milinganyo ya mstari ni suluhu ambayo mambo yote yasiyojulikana ya bure ni sawa na sifuri.

Mfano. Chunguza mfumo wa milinganyo ya mstari. Ikiwa mfumo hauna uhakika, pata suluhisho lake la msingi.

Wacha tuhesabu safu kuu na matrices kupanuliwa ya mfumo huu wa equations, ambayo tunaleta matrix iliyopanuliwa (na wakati huo huo kuu) ya mfumo kwa fomu ya hatua:

Ongeza safu mlalo ya pili ya matrix kwa safu yake ya kwanza, ikizidishwa na mstari wa tatu - na mstari wa kwanza umezidishwa na
na mstari wa nne - na wa kwanza, umeongezeka kwa tunapata matrix

Kwa safu ya tatu ya matrix hii tunaongeza safu ya pili iliyozidishwa na
na kwa mstari wa nne - wa kwanza, kuongezeka kwa
Kama matokeo, tunapata matrix

kuondoa safu ya tatu na ya nne ambayo tunapata matrix ya hatua

Hivyo,

Kwa hivyo, mfumo huu wa milinganyo ya mstari ni thabiti, na kwa kuwa thamani ya kiwango ni chini ya idadi ya zisizojulikana, mfumo hauna uhakika

Haijulikani Na ndio kuu, na haijulikani Na
bure. Kwa kugawa maadili ya sifuri kwa zisizojulikana za bure, tunapata suluhisho la msingi kwa mfumo huu wa milinganyo ya mstari.

Kusudi la huduma. Kwa kutumia kikokotoo hiki cha mtandaoni, haijulikani (x 1, x 2, ..., x n) huhesabiwa katika mfumo wa milinganyo. Uamuzi unafanywa njia ya matrix inverse. Ambapo:

kiashiria cha matrix A kinahesabiwa;
kupitia nyongeza za algebraic matrix inverse A -1 inapatikana;
template ya suluhisho imeundwa katika Excel;

Uamuzi huo unafanywa moja kwa moja kwenye tovuti (mkondoni) na ni bure. Matokeo ya hesabu yanawasilishwa katika ripoti katika umbizo la Neno.

Maagizo. Ili kupata suluhisho kwa kutumia njia ya matrix inverse, unahitaji kutaja kipimo cha matrix. Ifuatayo, katika kisanduku kipya cha mazungumzo, jaza matrix A na vekta ya matokeo B.

Kumbuka kuwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari ni seti yoyote ya nambari (x 1, x 2, ..., x n), uingizwaji wa mfumo huu badala ya zisizojulikana zinazolingana hubadilisha kila mlinganyo wa mfumo kuwa kitambulisho. .
Mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa kawaida huandikwa kama (kwa vigeu 3): Tazama pia Kutatua milinganyo ya matriki.

Algorithm ya suluhisho

Kiamuzi cha matrix A kinahesabiwa. Ikiwa kiashiria ni sifuri, basi suluhisho limekwisha. Mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.
Wakati kibainishi ni tofauti na sifuri, matriki ya kinyume A -1 hupatikana kupitia nyongeza za aljebra.
Vekta ya suluhisho X =(x 1, x 2, ..., x n) hupatikana kwa kuzidisha matrix ya kinyume na vekta B ya matokeo.

Mfano Nambari 1. Pata suluhisho kwa mfumo kwa kutumia njia ya matrix. Wacha tuandike matrix katika fomu:

Nyongeza za algebra.

A 1,1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1.3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3.2 = (-1) 3+2

2	1
3	2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Uchunguzi:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Mfano Nambari 2. Tatua SLAE kwa kutumia mbinu ya matrix kinyume.
2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2
5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3
4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Wacha tuandike matrix katika fomu:

Vekta B:
B T = (1,2,3,4)
Kiamuzi kikuu
Ndogo kwa (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Ndogo kwa (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Ndogo kwa (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Ndogo kwa (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Uamuzi wa madogo
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Mfano Nambari 4. Andika mfumo wa milinganyo katika umbo la matrix na usuluhishe kwa kutumia matriki ya kinyume.
Suluhisho: xls

Mfano Nambari 5. Mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na vitu vitatu visivyojulikana hutolewa. Inahitajika: 1) pata suluhisho lake kwa kutumia fomula za Cramer; 2) andika mfumo katika fomu ya matrix na usuluhishe kwa kutumia calculus ya matrix.
Miongozo. Baada ya kusuluhisha kwa mbinu ya Cramer, pata kitufe cha "Kutatua kwa njia ya matrix kinyume kwa data chanzo". Utapokea suluhisho linalofaa. Kwa hivyo, hutalazimika kujaza data tena.
Suluhisho. Hebu tuonyeshe kwa A matrix ya coefficients kwa haijulikani; X - safu ya matrix ya haijulikani; B - safu wima ya matrix ya wanachama wa bure:

-1	3	0
3	-2	1
2	1	-1

Vekta B:
B T =(4,-3,-3)
Kwa kuzingatia nukuu hizi, mfumo huu wa milinganyo huchukua fomu ya matriki ifuatayo: A*X = B.
Ikiwa matrix A haijaharibika (kiazi chake ni tofauti na sifuri, basi ina matrix ya kinyume A -1. Kuzidisha pande zote mbili za equation na A -1, tunapata: A -1 *A*X = A - 1 *B, A -1 * A=E.
Usawa huu unaitwa nukuu ya matriki ya suluhisho kwa mfumo wa milinganyo ya mstari. Ili kupata suluhisho la mfumo wa equations, ni muhimu kuhesabu matrix inverse A -1.
Mfumo utakuwa na suluhu ikiwa kibainishi cha matrix A ni nonzero.
Wacha tupate kiashiria kuu.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Kwa hivyo, kibainishi ni 14 ≠ 0, kwa hivyo tunaendelea na suluhisho. Ili kufanya hivyo, tunapata matrix inverse kupitia nyongeza za algebra.
Wacha tuwe na matrix A isiyo ya umoja:
Tunahesabu nyongeza za algebra.

A 1,1 =(-1) 1+1

-2	1
1	-1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1) 1+2

3	1
0	-1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1.3 =(-1) 1+3

3	-2
0	1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2,1 =(-1) 2+1

3	2
1	-1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 =(-1) 2+2

-1	2
0	-1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 =(-1) 2+3

-1	3
0	1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3.1 =(-1) 3+1

3	2
-2	1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

-3

X=1/14

-3))

Kiamuzi kikuu
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Matrix iliyopitishwa
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1) 1+2

1	3
-1	1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1.3 =(-1) 1+3

1	0
-1	-2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2,1 =(-1) 2+1

2	0
-2	1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 =(-1) 2+2

4	0
-1	1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 =(-1) 2+3

4	2
-1	-2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3.1 =(-1) 3+1

2	0
0	3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3.2 =(-1) 3+2

4	0
1	3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3.3 =(-1) 3+3

1/16

6	-4	-2
-2	4	6
6	-12	-2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16	0	0
0	16	0
0	0	16

A*A -1 =

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Mfano Nambari 7. Kutatua milinganyo ya matrix.
Hebu tuashiria:

3	0	5
2	1	4
-1	3	0

Nyongeza za algebra

A 1,1 = (-1) 1+1

1	3
4	0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1+2

0	3
5	0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1.3 = (-1) 1+3

0	1
5	4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2,1 = (-1) 2+1

2	-1
4	0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

3	-1
5	0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1) 2+3

3	2
5	4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

2	-1
1	3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
· 1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vekta B:
B T =(31,13,10)

X T =(4.05,6.13,7.54)
x 1 = 158 / 39 =4.05
x 2 = 239 / 39 =6.13
x 3 = 294 / 39 =7.54
Uchunguzi.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Mfano Nambari 9. Hebu tuonyeshe kwa A matrix ya coefficients kwa haijulikani; X - safu ya matrix ya haijulikani; B - safu wima ya matrix ya wanachama huru:

-2	1	6
1	-1	2
2	4	-3

Vekta B:
B T =(31,13,10)

X T =(5.21,4.51,6.15)
x 1 = 276 / 53 =5.21
x 2 = 239 / 53 =4.51
x 3 = 326 / 53 =6.15
Uchunguzi.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Mfano Nambari 10. Kutatua milinganyo ya matrix.
Hebu tuashiria:

Nyongeza za algebra
A 11 = (-1) 1+1 ·-3 = -3; A 12 = (-1) 1+2 ·3 = -3; A 21 = (-1) 2+1 ·1 = -1; A 22 = (-1) 2+2 ·2 = 2;
Matrix ya kinyume A -1 .
· 1/-9

-3	-3
-1	2

1	-2
1	1

Jibu:

X =

1	-2
1	1

Kulingana na fomula za Cramer;

Njia ya Gauss;

Suluhisho: Nadharia ya Kronecker-Capelli. Mfumo ni thabiti ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix ya mfumo huu ni sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa, i.e. r(A)=r(A 1), wapi

Matrix iliyopanuliwa ya mfumo inaonekana kama hii:

Zidisha mstari wa kwanza kwa ( –3 ), na ya pili kwa ( 2 ); Baada ya hayo, ongeza vipengele vya mstari wa kwanza kwa vipengele vinavyolingana vya mstari wa pili; toa ya tatu kutoka mstari wa pili. Katika matrix inayosababisha, tunaacha safu ya kwanza bila kubadilika.

6 ) na ubadilishe mistari ya pili na ya tatu:

Zidisha mstari wa pili kwa ( –11 ) na uongeze kwenye vipengele vinavyolingana vya mstari wa tatu.

Gawanya vipengele vya mstari wa tatu na ( 10 ).

Wacha tupate kiamua cha matrix A.

Kwa hivyo, r(A)=3 . Cheo cha matrix iliyopanuliwa r(A 1) pia ni sawa 3 , i.e.

r(A)=r(A 1)=3 Þ Mfumo ni wa ushirikiano.

1) Wakati wa kukagua mfumo kwa uthabiti, matrix iliyopanuliwa ilibadilishwa kwa kutumia njia ya Gaussian.

Njia ya Gaussian ni kama ifuatavyo.

1. Kupunguza tumbo kwa fomu ya triangular, yaani, kuwe na zero chini ya diagonal kuu (mwendo wa moja kwa moja).

2. Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunapata x 3 na kuibadilisha kuwa ya pili, tunapata x 2, na kujua x 3, x 2 tunazibadilisha katika mlinganyo wa kwanza, tunapata x 1(nyuma).

Wacha tuandike tumbo lililopanuliwa la Gaussian

katika mfumo wa equations tatu:

Þ x 3 =1

x 2 = x 3Þ x 3 =1

2x 1 =4+x 2 +x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 =6 Þ x 1 =3

2) Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia fomula za Cramer: ikiwa kiashiria cha mfumo wa equations Δ ni tofauti na sifuri, basi mfumo una suluhisho la kipekee, ambalo linapatikana kwa kutumia fomula.

Wacha tuhesabu kiashiria cha mfumo Δ:

Kwa sababu Ikiwa kiashiria cha mfumo ni tofauti na sifuri, basi kwa mujibu wa utawala wa Cramer, mfumo una suluhisho la pekee. Hebu tuhesabu viashiria Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Wao hupatikana kutoka kwa kiashiria cha mfumo Δ kwa kubadilisha safu inayofanana na safu ya coefficients ya bure.

Tunapata haijulikani kwa kutumia fomula:

Jibu: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .

3) Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia hesabu ya matrix, i.e. kwa kutumia matrix inverse.

A×X=B Þ X=A -1 × B, Wapi A -1- matrix inverse kwa A,

Safu ya wanachama huru,

Safu ya Matrix ya haijulikani.

Matrix ya kinyume huhesabiwa kwa kutumia formula:

Wapi D- kiashiria cha matrix A, A ij– viambajengo vya aljebra vya kipengele a ij matrices A. D= 60 (kutoka aya iliyotangulia). Kiamuzi ni nonzero, kwa hivyo, matrix A haiwezi kugeuzwa, na matriki yake kinyume yanaweza kupatikana kwa kutumia fomula (*). Wacha tupate nyongeza za aljebra kwa vitu vyote vya matrix A kwa kutumia fomula:

Na ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 iligeuza kila mlinganyo kuwa utambulisho, kisha walipatikana kwa usahihi.

Mfano 6. Tatua mfumo kwa kutumia mbinu ya Gaussian na utafute baadhi ya masuluhisho mawili ya msingi kwa mfumo.