Kwa kweli, ili kupata eneo la takwimu, hauitaji ujuzi mwingi wa ujumuishaji usio na kipimo na dhahiri. Kazi "kuhesabu eneo kwa kutumia kiunganishi cha uhakika" daima inahusisha kujenga kuchora, kwa hivyo ujuzi wako na ustadi wa kuchora itakuwa suala muhimu zaidi. Katika suala hili, ni muhimu kuburudisha kumbukumbu yako ya grafu za kazi za kimsingi za kimsingi, na, kwa kiwango cha chini, uweze kuunda mstari wa moja kwa moja na hyperbola.

Trapezoidi iliyopinda ni kielelezo bapa kinachopakana na mhimili, mistari iliyonyooka, na grafu ya chaguo za kukokotoa inayoendelea kwenye sehemu ambayo haibadilishi ishara kwenye muda huu. Hebu takwimu hii iko si kidogo mhimili wa x:

Kisha eneo la curvilinear trapezoid ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri. Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri.

Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA.

Hiyo ni, kiunga fulani (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Kwa mfano, fikiria kiunga cha uhakika. Mchanganyiko hufafanua curve kwenye ndege iliyo juu ya mhimili (wale wanaotaka wanaweza kutengeneza mchoro), na kiunga cha uhakika yenyewe ni nambari sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.

Mfano 1

Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Hatua ya kwanza na muhimu zaidi ya uamuzi ni ujenzi wa kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.

Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi nyingine. Ni faida zaidi kujenga grafu za kazi hatua kwa hatua.

Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.
Wacha tuchore mchoro (kumbuka kuwa equation inafafanua mhimili):

Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, Ndiyo maana:

Jibu:

Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, "kwa jicho" tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Mfano 3

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari na kuratibu shoka.

Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili(au angalau sio juu zaidi mhimili uliopewa), basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Kwa kesi hii:

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndiyo maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.

Mfano 4

Tafuta eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari, .

Suluhisho: Kwanza unahitaji kukamilisha kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ujumuishaji ni, kikomo cha juu cha ujumuishaji ni.

Ikiwezekana, ni bora kutotumia njia hii..

Ni faida zaidi na haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana). Na pia tutazingatia mfano kama huo.

Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:

Na sasa formula ya kufanya kazi: Ikiwa kuna utendakazi unaoendelea kwenye sehemu kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea , basi eneo la takwimu lililofungwa na grafu za kazi hizi na mistari , , inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Hapa hauitaji tena kufikiria ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, na, kwa kusema, ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo CHINI.

Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.

Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.
Kwenye sehemu, kulingana na formula inayolingana:

Jibu:

Mfano 4

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari , , , .

Suluhisho: Kwanza, hebu tufanye mchoro:

Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, "glitch" mara nyingi hutokea kwamba unahitaji kupata eneo la takwimu ambalo lina kivuli kijani!

Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri.

Kweli:

1) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya mstari wa moja kwa moja;

2) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya hyperbola.

Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:

Tatizo 1(kuhusu kuhesabu eneo la trapezoid iliyopindika).

Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian xOy, takwimu inatolewa (tazama takwimu) iliyofungwa na mhimili wa x, mistari iliyonyooka x = a, x = b (a na trapezoid ya curvilinear. Inahitajika kuhesabu eneo la curvilinear. trapezoid.
Suluhisho. Jiometri inatupa mapishi ya kuhesabu maeneo ya poligoni na baadhi ya sehemu za duara (sekta, sehemu). Kwa kutumia mambo ya kijiometri, tunaweza tu kupata takriban thamani ya eneo linalohitajika, tukizingatia kama ifuatavyo.

Wacha tugawanye sehemu [a; b] (msingi wa trapezoid iliyopinda) katika sehemu n sawa; ugawaji huu unafanywa kwa kutumia pointi x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Wacha tuchore mistari iliyonyooka kupitia nukta hizi sambamba na mhimili wa y. Kisha trapezoid ya curvilinear iliyotolewa itagawanywa katika sehemu za n, katika safu n nyembamba. Eneo la trapezoid nzima ni sawa na jumla ya maeneo ya nguzo.

Hebu tuzingalie safu ya k-th tofauti, i.e. trapezoid iliyopinda ambayo msingi wake ni sehemu. Wacha tuibadilishe na mstatili na msingi sawa na urefu sawa na f(x k) (tazama takwimu). Eneo la mstatili ni sawa na \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), ambapo \(\Delta x_k \) ni urefu wa sehemu; Ni kawaida kuzingatia bidhaa inayotokana kama thamani ya takriban ya eneo la safu ya kth.

Ikiwa sasa tutafanya vivyo hivyo na safu zingine zote, tutakuja kwa matokeo yafuatayo: eneo S la trapezoid ya curvilinear iliyopewa ni takriban sawa na eneo la S n la kielelezo cha kupitiwa kinachoundwa na mistatili n (angalia takwimu):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Hapa, kwa ajili ya usawa wa notation, tunadhani kwamba a = x 0, b = x n; \(\ Delta x_0 \) - urefu wa sehemu, \(\ Delta x_1 \) - urefu wa sehemu, nk; katika kesi hii, kama tulivyokubaliana hapo juu, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Kwa hivyo, \(S \takriban S_n \), na takriban usawa huu ni sahihi zaidi, kubwa n.
Kwa ufafanuzi, inaaminika kuwa eneo linalohitajika la trapezoid ya curvilinear ni sawa na kikomo cha mlolongo (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tatizo 2(kuhusu kusonga hatua)
Sehemu ya nyenzo husogea kwa safu moja kwa moja. Utegemezi wa kasi kwa wakati unaonyeshwa na formula v = v (t). Tafuta mwendo wa nukta kwa muda fulani [a; b].
Suluhisho. Ikiwa harakati ilikuwa sare, basi tatizo lingetatuliwa kwa urahisi sana: s = vt, i.e. s = v(b-a). Kwa harakati zisizo sawa, unapaswa kutumia mawazo sawa ambayo suluhisho la tatizo la awali lilikuwa msingi.
1) Gawanya muda wa muda [a; b] katika n sehemu sawa.
2) Fikiria kipindi cha muda na kudhani kwamba katika kipindi hiki cha muda kasi ilikuwa mara kwa mara, sawa na wakati t k. Kwa hivyo tunadhani kuwa v = v (t k).
3) Hebu tutafute takriban thamani ya mwendo wa hatua kwa muda fulani; tutaashiria thamani hii kama s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Tafuta takriban thamani ya uhamishaji s:
\(s \takriban S_n \) wapi
\(S_n = s_0 + \vitone + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \vitone + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Uhamisho unaohitajika ni sawa na kikomo cha mlolongo (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hebu tufanye muhtasari. Ufumbuzi wa matatizo mbalimbali ulipunguzwa kwa mfano huo wa hisabati. Matatizo mengi kutoka kwa nyanja mbalimbali za sayansi na teknolojia husababisha mfano huo katika mchakato wa ufumbuzi. Hii ina maana kwamba mtindo huu wa hisabati lazima usomewe hasa.

Dhana ya kiunganishi dhahiri

Wacha tutoe maelezo ya kihisabati ya modeli ambayo ilijengwa katika shida tatu zilizozingatiwa kwa chaguo la kukokotoa y = f(x), endelevu (lakini sio lazima sio hasi, kama ilivyodhaniwa katika shida zinazozingatiwa) kwa muda [a; b]:
1) gawanya sehemu [a; b] katika sehemu n sawa;
2) tengeneza jumla $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hesabu $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Katika kipindi cha uchanganuzi wa hisabati ilithibitishwa kuwa kikomo hiki kipo katika kesi ya kazi inayoendelea (au inayoendelea kwa sehemu). Anaitwa kiungo fulani cha chaguo za kukokotoa y = f(x) juu ya sehemu [a; b] na kuashiria kama ifuatavyo:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Nambari a na b huitwa mipaka ya ushirikiano (chini na juu, kwa mtiririko huo).

Wacha turudi kwenye kazi zilizojadiliwa hapo juu. Ufafanuzi wa eneo uliotolewa katika Tatizo la 1 sasa unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hapa S ni eneo la trapezoid iliyopotoka iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu. Hii ni maana ya kijiometri ya kiungo dhahiri.

Ufafanuzi wa uhamishaji wa sehemu inayosogea katika mstari ulionyooka na kasi v = v(t) kwa kipindi cha muda kutoka t = a hadi t = b, iliyotolewa katika Tatizo la 2, inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

Fomula ya Newton-Leibniz

Kwanza, hebu tujibu swali: kuna uhusiano gani kati ya kiunganishi dhahiri na kizuia derivative?

Jibu linaweza kupatikana katika Tatizo la 2. Kwa upande mmoja, uhamishaji s wa hatua inayohamia kwenye mstari wa moja kwa moja na kasi ya v = v (t) kwa kipindi cha muda kutoka t = a hadi t = b imehesabiwa na fomula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Kwa upande mwingine, uratibu wa hatua ya kusonga ni antiderivative kwa kasi - wacha tuonyeshe s (t); hii inamaanisha kuwa uhamishaji s unaonyeshwa na fomula s = s(b) - s(a). Kama matokeo, tunapata:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ambapo s(t) ni kinza derivative ya v(t).

Nadharia ifuatayo ilithibitishwa wakati wa uchambuzi wa hisabati.
Nadharia. Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) ni endelevu kwa muda [a; b], basi fomula ni halali
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ambapo F(x) ni kinza derivative ya f(x).

Fomula iliyotolewa kawaida huitwa Fomula ya Newton-Leibniz kwa heshima ya mwanafizikia wa Kiingereza Isaac Newton (1643-1727) na mwanafalsafa wa Ujerumani Gottfried Leibniz (1646-1716), ambaye aliipokea kwa kujitegemea na karibu wakati huo huo.

Kwa mazoezi, badala ya kuandika F(b) - F(a), wanatumia nukuu \(\left. F(x)\right|_a^b \) (wakati mwingine huitwa uingizwaji mara mbili) na, ipasavyo, andika upya fomula ya Newton-Leibniz katika fomu hii:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kushoto. F(x)\kulia|_a^b \)

Wakati wa kuhesabu kiunga cha uhakika, kwanza pata kizuia derivative, na kisha ufanye uingizwaji mara mbili.

Kulingana na fomula ya Newton-Leibniz, tunaweza kupata sifa mbili za kiunganishi dhahiri.

Mali 1. Muhimu wa jumla ya kazi ni sawa na jumla ya viambatanisho:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara muhimu:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri

Kutumia kiunganishi, unaweza kuhesabu maeneo sio tu ya trapezoids ya curvilinear, lakini pia ya takwimu za ndege za aina ngumu zaidi, kwa mfano, ile iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Takwimu P imepunguzwa na mistari ya moja kwa moja x = a, x = b na grafu za kazi zinazoendelea y = f (x), y = g (x), na kwenye sehemu [a; b] ukosefu wa usawa \(g(x) \leq f(x) \) unaoshikilia. Ili kuhesabu eneo la S la takwimu kama hiyo, tutaendelea kama ifuatavyo:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Kwa hivyo, eneo S la kielelezo lililofungwa na mistari iliyonyooka x = a, x = b na grafu za vitendakazi y = f(x), y = g(x), inayoendelea kwenye sehemu na vile vile kwa x yoyote kutoka kwa sehemu. [a; b] ukosefu wa usawa \(g(x) \leq f(x) \) umeridhika, unaokokotolewa na fomula.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Jedwali la viambatanisho visivyojulikana (vizuia derivatives) vya baadhi ya vipengele

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Kazi Nambari 3. Fanya mchoro na uhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Utumiaji wa muhimu kwa suluhisho la shida zilizotumika

Uhesabuji wa eneo

Kiunganishi dhahiri cha chaguo endelevu cha chaguo za kukokotoa zisizo hasi f(x) kiidadi sawa na eneo la trapezoid ya curvilinear iliyopakana na curve y = f (x), mhimili wa O x na mistari iliyonyooka x = a na x = b. Kwa mujibu wa hili, formula ya eneo imeandikwa kama ifuatavyo:

Hebu tuangalie baadhi ya mifano ya kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege.

Kazi Nambari 1. Kuhesabu eneo lililofungwa na mistari y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Suluhisho. Wacha tujenge takwimu ambayo tutalazimika kuhesabu eneo.

y = x 2 + 1 ni parabola ambayo matawi yake yanaelekezwa juu, na parabola huhamishwa juu na kitengo kimoja kinachohusiana na mhimili wa O y (Mchoro 1).

Kielelezo 1. Grafu ya kazi y = x 2 + 1

Kazi Nambari 2. Kokotoa eneo lililofungwa na mistari y = x 2 - 1, y = 0 katika safu kutoka 0 hadi 1.

Suluhisho. Grafu ya kazi hii ni parabola ya matawi ambayo yanaelekezwa juu, na parabola inabadilishwa kuhusiana na mhimili wa O y chini na kitengo kimoja (Mchoro 2).

Kielelezo 2. Grafu ya kazi y = x 2 - 1

Kazi Nambari 3. Fanya mchoro na uhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

y = 8 + 2x - x 2 na y = 2x - 4.

Suluhisho. Ya kwanza ya mistari hii miwili ni parabola na matawi yake yanaelekezwa chini, kwani mgawo wa x 2 ni hasi, na mstari wa pili ni mstari wa moja kwa moja unaoingiliana na axes zote mbili za kuratibu.

Ili kuunda parabola, tunapata kuratibu za vertex yake: y'=2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - abscissa ya vertex; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ni mratibu wake, N (1;9) ni kipeo.

Sasa hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja kwa kutatua mfumo wa equations:

Kusawazisha pande za kulia za mlinganyo ambao pande zake za kushoto ni sawa.

Tunapata 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 au x 2 - 12 = 0, kutoka wapi .

Kwa hiyo, pointi ni pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja (Mchoro 1).

Kielelezo 3 Grafu za kazi y = 8 + 2x - x 2 na y = 2x - 4

Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja y = 2x - 4. Inapita kupitia pointi (0;-4), (2;0) kwenye axes za kuratibu.

Ili kuunda parabola, unaweza pia kutumia sehemu zake za makutano na mhimili wa 0x, ambayo ni, mizizi ya equation 8 + 2x - x 2 = 0 au x 2 - 2x - 8 = 0. Kutumia nadharia ya Vieta, ni rahisi. kupata mizizi yake: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kielelezo cha 3 kinaonyesha kielelezo (sehemu ya kimfano M 1 N M 2) iliyofungwa na mistari hii.

Sehemu ya pili ya shida ni kupata eneo la takwimu hii. Eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia kiunganishi cha uhakika kulingana na fomula .

Kuhusiana na hali hii, tunapata muhimu:

2 Hesabu ya kiasi cha mwili wa mzunguko

Kiasi cha mwili kilichopatikana kutokana na kuzunguka kwa curve y = f(x) kuzunguka mhimili wa O x huhesabiwa kwa fomula:

Wakati wa kuzunguka mhimili wa O y, fomula inaonekana kama:

Kazi nambari 4. Tambua kiasi cha mwili kilichopatikana kutokana na mzunguko wa trapezoid iliyopigwa iliyofungwa na mistari ya moja kwa moja x = 0 x = 3 na curve y = karibu na mhimili wa O x.

Suluhisho. Hebu tuchore picha (Kielelezo 4).

Kielelezo 4. Grafu ya kazi y =

Kiasi kinachohitajika ni

Kazi nambari 5. Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kutoka kwa mzunguko wa trapezoid iliyopigwa iliyofungwa na y = x 2 na mistari ya moja kwa moja y = 0 na y = 4 karibu na mhimili wa O y.

Suluhisho. Tuna:

Kagua maswali

A)

Suluhisho.

Hatua ya kwanza na muhimu zaidi ya uamuzi ni ujenzi wa kuchora.

Wacha tufanye mchoro:

Mlinganyo y=0 huweka mhimili wa "x";

- x=-2 Na x=1 - sawa, sambamba na mhimili OU;

- y=x 2 +2 - parabola, matawi ambayo yanaelekezwa juu, na vertex kwa uhakika (0;2).

Maoni. Ili kujenga parabola, inatosha kupata pointi za makutano yake na axes za kuratibu, i.e. kuweka x=0 pata makutano na mhimili OU na kutatua mlinganyo wa quadratic unaolingana, pata makutano na mhimili Oh .

Kipeo cha parabola kinaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Unaweza pia kujenga mistari hatua kwa hatua.

Kwenye muda [-2;1] grafu ya chaguo za kukokotoa y=x 2 +2 iko juu ya mhimili Ng'ombe , Ndiyo maana:

Jibu: S = vitengo 9 vya mraba

Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, "kwa jicho" tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili Oh?

b) Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y=-e x , x=1 na kuratibu shoka.

Suluhisho.

Hebu tufanye kuchora.

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili Oh , basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Jibu: S=(e-1) sq. vitengo" 1.72 sq. vitengo

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndiyo maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu iko katika ndege ya juu na ya chini ya nusu.

na) Pata eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari y=2x-x 2, y=-x.

Suluhisho.

Kwanza unahitaji kukamilisha kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola na moja kwa moja Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi.

Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano a=0 , kikomo cha juu cha ushirikiano b=3 .

Tunajenga mistari iliyotolewa: 1. Parabola - vertex kwa uhakika (1;1); makutano ya mhimili Oh - pointi (0;0) na (0;2). 2. Mstari wa moja kwa moja - bisector ya 2 na 4 ya kuratibu pembe. Na sasa Makini! Ikiwa kwenye sehemu [ a;b] utendakazi fulani endelevu f(x) kubwa kuliko au sawa na utendakazi fulani endelevu g(x), basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula: . Na haijalishi takwimu iko wapi - juu ya mhimili au chini ya mhimili, lakini cha muhimu ni grafu ipi ni ya JUU (inayohusiana na grafu nyingine) na ambayo iko CHINI. Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.

Unaweza kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana).

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.

Kwenye sehemu , kulingana na fomula inayolingana:

Jibu: S = 4.5 sq. vitengo

Katika nakala hii utajifunza jinsi ya kupata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari kwa kutumia mahesabu muhimu. Kwanza tunakutana na uundaji wa shida kama hiyo katika shule ya upili, wakati tumemaliza kusoma viunganisho dhahiri na ni wakati wa kuanza tafsiri ya kijiometri ya maarifa yaliyopatikana katika mazoezi.

Kwa hivyo, ni nini kinachohitajika ili kufanikiwa kutatua shida ya kupata eneo la takwimu kwa kutumia viunga:

• Uwezo wa kufanya michoro zinazofaa;
• Uwezo wa kutatua kiunga cha uhakika kwa kutumia formula inayojulikana ya Newton-Leibniz;
• Uwezo wa "kuona" chaguo la suluhisho la faida zaidi - i.e. kuelewa jinsi katika kesi moja au nyingine itakuwa rahisi zaidi kutekeleza ushirikiano? Kando ya mhimili wa x (OX) au mhimili y (OY)?
• Naam, tungekuwa wapi bila mahesabu sahihi?) Hii inajumuisha kuelewa jinsi ya kutatua aina hiyo nyingine ya viambatanisho na hesabu sahihi za nambari.

Algorithm ya kutatua shida ya kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

1. Tunatengeneza mchoro. Inashauriwa kufanya hivyo kwenye karatasi ya checkered, kwa kiwango kikubwa. Tunatia saini jina la chaguo hili kwa penseli juu ya kila grafu. Kusaini grafu hufanyika tu kwa urahisi wa mahesabu zaidi. Baada ya kupokea grafu ya takwimu inayotaka, katika hali nyingi itakuwa wazi mara moja ambayo mipaka ya ushirikiano itatumika. Hivyo, sisi kutatua tatizo graphically. Walakini, hutokea kwamba maadili ya mipaka ni ya sehemu au isiyo na maana. Kwa hiyo, unaweza kufanya mahesabu ya ziada, nenda kwa hatua ya pili.

2. Ikiwa mipaka ya ujumuishaji haijabainishwa wazi, basi tunapata alama za makutano ya grafu na kila mmoja na kuona ikiwa suluhisho letu la picha linalingana na la uchanganuzi.

3. Ifuatayo, unahitaji kuchambua mchoro. Kulingana na jinsi grafu za kazi zimepangwa, kuna njia tofauti za kupata eneo la takwimu. Wacha tuangalie mifano tofauti ya kupata eneo la takwimu kwa kutumia viunga.

3.1. Toleo la kawaida na rahisi zaidi la shida ni wakati unahitaji kupata eneo la trapezoid iliyopotoka. Trapezoid iliyopinda ni nini? Hiki ni kielelezo bapa kilichopunguzwa na mhimili wa x (y = 0), moja kwa moja x = a, x = b na curve yoyote inayoendelea kwenye muda kutoka a kabla b. Zaidi ya hayo, takwimu hii sio hasi na haiko chini ya mhimili wa x. Katika kesi hii, eneo la trapezoid ya curvilinear ni sawa na nambari fulani, iliyohesabiwa kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz:

Mfano 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Je, takwimu imepakana na mistari gani? Tuna parabola y = x2 - 3x + 3, ambayo iko juu ya mhimili OH, sio hasi, kwa sababu pointi zote za parabola hii zina maadili mazuri. Ifuatayo, ukipewa mistari iliyonyooka x = 1 Na x = 3, ambayo inaendana sambamba na mhimili OU, ni mistari ya mipaka ya takwimu upande wa kushoto na kulia. Vizuri y = 0, pia ni mhimili wa x, unaoweka kikomo kielelezo kutoka chini. Mchoro unaosababishwa umetiwa kivuli, kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu upande wa kushoto. Katika kesi hii, unaweza kuanza mara moja kutatua tatizo. Mbele yetu ni mfano rahisi wa trapezoid iliyopinda, ambayo tunatatua zaidi kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz.

3.2. Katika aya iliyotangulia ya 3.1, tulichunguza kesi wakati trapezoid iliyopotoka iko juu ya mhimili wa x. Sasa fikiria kesi wakati hali ya shida ni sawa, isipokuwa kwamba kazi iko chini ya mhimili wa x. Minus imeongezwa kwenye fomula ya kawaida ya Newton-Leibniz. Tutazingatia jinsi ya kutatua shida kama hiyo hapa chini.

Mfano 2 . Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Katika mfano huu tuna parabola y = x2 + 6x + 2, ambayo hutoka kwa mhimili OH, moja kwa moja x = -4, x = -1, y = 0. Hapa y = 0 hupunguza takwimu inayotaka kutoka juu. Moja kwa moja x = -4 Na x = -1 hii ndio mipaka ambayo kiunganishi dhahiri kitahesabiwa. Kanuni ya kutatua tatizo la kupata eneo la takwimu karibu inafanana kabisa na mfano namba 1. Tofauti pekee ni kwamba kazi iliyotolewa sio nzuri, na pia inaendelea kwa muda. [-4; -1] . Unamaanisha nini sio chanya? Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, takwimu ambayo iko ndani ya x iliyotolewa ina viwianishi vya "hasi", ambavyo ndivyo tunahitaji kuona na kukumbuka wakati wa kutatua shida. Tunatafuta eneo la takwimu kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz, tu na ishara ya minus mwanzoni.

Makala hayajakamilika.