Mlinganyo una idadi isiyo na kikomo ya masuluhisho ikiwa. Kesi tatu wakati wa kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

1. Mifumo ya milinganyo ya mstari yenye kigezo

Mifumo ya milinganyo ya mstari yenye kigezo hutatuliwa kwa mbinu za kimsingi sawa na mifumo ya kawaida ya milinganyo: njia ya ubadilishanaji, njia ya kuongeza milinganyo, na njia ya picha. Ujuzi wa tafsiri ya picha ya mifumo ya mstari hufanya iwe rahisi kujibu swali kuhusu idadi ya mizizi na kuwepo kwao.

Mfano 1.

Pata maadili yote ya parameta ambayo mfumo wa equations hauna suluhisho.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Suluhisho.

Hebu tuangalie njia kadhaa za kutatua kazi hii.

1 njia. Tunatumia mali: mfumo hauna ufumbuzi ikiwa uwiano wa coefficients mbele ya x ni sawa na uwiano wa coefficients mbele ya y, lakini si sawa na uwiano wa maneno ya bure (a/a 1 = b). /b 1 ≠ c/c 1). Kisha tuna:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 au mfumo

(na 2 - 3 = 1,
(a ≠2.

Kutoka kwa equation ya kwanza 2 = 4, kwa hiyo, kwa kuzingatia hali kwamba ≠ 2, tunapata jibu.

Jibu: a = -2.

Mbinu 2. Tunatatua kwa njia mbadala.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 - y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 - y.

Baada ya kuchukua sababu ya kawaida y kutoka kwa mabano katika equation ya kwanza, tunapata:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 - y.

Mfumo hauna suluhu ikiwa equation ya kwanza haina suluhu, yaani

(na 2 - 4 = 0,
(a-2 ≠0.

Kwa wazi, a = ± 2, lakini kwa kuzingatia hali ya pili, jibu linakuja tu na jibu la minus.

Jibu: a = -2.

Mfano 2.

Pata maadili yote ya parameta ambayo mfumo wa equations una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

(8x + ay = 2,
(shoka + 2y = 1.

Suluhisho.

Kwa mujibu wa mali, ikiwa uwiano wa coefficients ya x na y ni sawa, na ni sawa na uwiano wa wanachama wa bure wa mfumo, basi ina idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi (yaani a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Kwa hiyo 8/a = a/2 = 2/1. Kutatua kila moja ya milinganyo inayotokana, tunaona kuwa a = 4 ndio jibu katika mfano huu.

Jibu: a = 4.

2. Mifumo ya equations ya busara na parameter

Mfano 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Suluhisho.

Wacha tuzidishe equation ya kwanza ya mfumo na 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Tukiondoa mlingano wa pili kutoka wa kwanza, tunapata 5|x| = 4 - a. Mlinganyo huu utakuwa na suluhisho la kipekee kwa = 4. Katika hali zingine, mlinganyo huu utakuwa na masuluhisho mawili (kwa a< 4) или ни одного (при а > 4).

Jibu: a = 4.

Mfano 4.

Pata maadili yote ya paramu ambayo mfumo wa equations una suluhisho la kipekee.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Suluhisho.

Tutasuluhisha mfumo huu kwa kutumia njia ya picha. Kwa hivyo, grafu ya equation ya pili ya mfumo ni parabola iliyoinuliwa kando ya mhimili wa Oy kwenda juu kwa sehemu moja ya kitengo. Mlinganyo wa kwanza unabainisha seti ya mistari sambamba na mstari y = -x (picha 1). Inaonekana wazi kutoka kwa takwimu kwamba mfumo una suluhisho ikiwa mstari wa moja kwa moja y = -x + a ni tangent kwa parabola kwa uhakika na kuratibu (-0.5, 1.25). Kubadilisha viwianishi hivi katika equation ya mstari wa moja kwa moja badala ya x na y, tunapata thamani ya parameta a:

1.25 = 0.5 + a;

Jibu: a = 0.75.

Mfano 5.

Kutumia njia ya uingizwaji, tafuta kwa thamani gani ya parameter a, mfumo una suluhisho la kipekee.

(shoka – y = a + 1,
(shoka + (a + 2)y = 2.

Suluhisho.

Kutoka kwa equation ya kwanza tunaelezea y na kuibadilisha hadi ya pili:

(y = shoka - a - 1,
(shoka + (a + 2)(shoka – a – 1) = 2.

Wacha tupunguze equation ya pili kwa fomu kx = b, ambayo itakuwa na suluhisho la kipekee kwa k ≠ 0. Tunayo:

shoka + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Tunawakilisha utatu wa mraba a 2 + 3a + 2 kama bidhaa ya mabano

(a + 2)(a + 1), na upande wa kushoto tunatoa x nje ya mabano:

(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Ni wazi, 2 + 3a haipaswi kuwa sawa na sifuri, kwa hivyo,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ambayo ina maana ≠ 0 na ≠ -3.

Jibu: a ≠ 0; ≠ -3.

Mfano 6.

Kwa kutumia njia ya suluhu ya kielelezo, tambua kwa thamani gani ya kigezo mfumo una suluhisho la kipekee.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Suluhisho.

Kulingana na hali, tunajenga mduara na kituo kwenye asili na radius ya sehemu 3 za kitengo; hii ndiyo iliyoelezwa na equation ya kwanza ya mfumo

x 2 + y 2 = 9. Mlinganyo wa pili wa mfumo (y = |x| + a) ni mstari uliovunjika. Kwa kutumia takwimu 2 Tunazingatia kesi zote zinazowezekana za eneo lake kuhusiana na mduara. Ni rahisi kuona kuwa a = 3.

Jibu: a = 3.

Bado una maswali? Sijui jinsi ya kutatua mifumo ya equations?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.
Somo la kwanza ni bure!

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

ni lini mfumo wa equations una masuluhisho mengi? na kupata jibu bora zaidi

Jibu kutoka CBETAET[guru]
1) wakati kuna zaidi zisizojulikana katika mfumo kuliko milinganyo
2) wakati moja ya hesabu za mfumo zinaweza kupunguzwa hadi nyingine kwa kutumia shughuli +, -*, /, bila kugawanya na kuzidisha na 0.
3) wakati kuna 2 au zaidi equations zinazofanana katika mfumo (hii ni kesi maalum ya uhakika 2).
4) wakati kuna kutokuwa na uhakika katika mfumo baada ya mabadiliko fulani.
kwa mfano x + y = x + y, yaani 0=0.
Bahati njema!
uk. usisahau kusema asante... hili ni jambo zuri sana =))
RS-232
Guru
(4061)
Nafasi tu ya matrix ya mfumo wa milinganyo ya mstari itasaidia hapa.

Jibu kutoka Asiyejulikana[mtaalam]
Je, unaweza kuwa mahususi zaidi?

Jibu kutoka Vladimir[mpya]
Wakati kiwango cha matrix ya coefficients SL ni chini ya idadi ya haijulikani.

Jibu kutoka Mgeni kutoka zamani[guru]
Ikiwa tunazungumzia juu ya mfumo wa equations mbili na haijulikani mbili, basi angalia takwimu.

Jibu kutoka RS-232[guru]
Wakati kiwango cha matriki ya mfumo wa milinganyo ya mstari ni chini ya idadi ya vigezo.

Jibu kutoka Mtumiaji amefutwa[guru]

Jibu kutoka Artem Kurguzov[mpya]
Mfumo thabiti wa milinganyo ya mstari haujabainishwa, yaani, una suluhisho nyingi, ikiwa kiwango cha mfumo thabiti ni chini ya idadi ya haijulikani.
Ili mfumo uendane, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix ya mfumo huu iwe sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa. (Nadharia ya Kronecker-Capelli)

Jibu kutoka 2 majibu[guru]

Habari! Hapa kuna uteuzi wa mada zilizo na majibu kwa swali lako: ni lini mfumo wa milinganyo una masuluhisho mengi?

Amua ikiwa mfumo wa milinganyo ya mstari unatumia sawa Nadharia za Kronecker-Capelli mara nyingi inaweza kuwa haraka kuliko njia ya Gaussian, ambapo haijulikani lazima iondolewe kwa mfuatano. Nadharia hii inategemea matumizi ya safu ya matrix.

Nadharia ya Kronecker-Capelli juu ya uoanifu wa mfumo. Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari ni sawa ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matriki ya mfumo huu ni sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa, yaani, ili.

Safu za matrices hizi zinahusiana na kukosekana kwa usawa, na safu ya matrix KATIKA inaweza kuwa kitengo kimoja tu kikubwa kuliko kiwango cha matrix A.

Muhtasari wa nadharia ya Kronecker-Capelli juu ya idadi ya suluhisho. Wacha kwa mfumo m milinganyo ya mstari na n haijulikani kukidhi hali ya utangamano, yaani, cheo cha matrix ya coefficients ya mfumo ni sawa na cheo cha matrix yake iliyopanuliwa. Kisha yafuatayo ni kweli.

Ikiwa kiwango cha matrix ya mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa na idadi ya milinganyo, yaani, basi mfumo huo ni sawa kwa masharti yoyote ya bure. Katika kesi hii, kiwango cha matrix iliyopanuliwa pia ni sawa na m, kwa kuwa safu ya matrix haiwezi kuwa kubwa kuliko idadi ya safu mlalo zake.

Wakati wa uthibitisho wa nadharia ya Kronecker-Capelli, fomula wazi za suluhisho za mfumo (katika kesi ya utangamano wake) zilipatikana. Ikiwa tayari inajulikana kuwa mfumo ni thabiti, basi kupata suluhisho zake ni muhimu:

1) pata kwenye matrix ya mfumo A cheo tofauti na mpangilio mdogo wa sifuri sawa na cheo cha matrix ya mfumo, yaani, cheo r;

2) tupa milinganyo ambayo inalingana na safu za matrix A, haijajumuishwa katika mdogo;

3) uhamishaji wa masharti na mgawo ambao haujajumuishwa ndani, kwa upande wa kulia, na kisha, ukitoa zisizojulikana kwa maadili ya kiholela, amua zile zilizobaki kwa kutumia fomula za Cramer. r haijulikani kutoka kwa mfumo r milinganyo yenye kiambishi nonzero.

Mfano 1.

Suluhisho. Tunahesabu kiwango cha matrix ya mfumo huu na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Katika hali zote mbili ni sawa na 3. Kwa hiyo, mfumo wa equations linear ni thabiti. Kwa kuwa kiwango cha matrix ya mfumo ni chini ya idadi ya haijulikani, mfumo una suluhisho nyingi sana: moja isiyojulikana inaweza kuchukuliwa kiholela. Ndogo

ni tofauti na sufuri, kwa hivyo tunatupa mlingano wa mwisho na kuwapa wasiojulikana thamani ya kiholela.

Zisizojulikana zilizobaki zimedhamiriwa kutoka kwa mfumo

Kutatua mfumo wa mwisho kwa kutumia formula za Cramer au kwa njia nyingine, tunapata

Kwa kuongeza hapa, tunapata masuluhisho yote ya mfumo huu wa milinganyo ya mstari.

Mfano 2. Kufuatia nadharia ya Kronecker-Capelli, tambua kama mfumo wa milinganyo ni thabiti

Ikiwa mfumo ni thabiti, basi utatue.

Mifumo ya utatuzi ya milinganyo ya aljebra ya mstari (SLAEs) bila shaka ndiyo mada muhimu zaidi katika kozi ya aljebra ya mstari. Idadi kubwa ya shida kutoka kwa matawi yote ya hisabati huja katika kutatua mifumo ya hesabu za mstari. Mambo haya yanaeleza sababu ya makala hii. Nyenzo za kifungu zimechaguliwa na zimeundwa ili kwa msaada wake uweze

chagua njia bora ya kutatua mfumo wako wa milinganyo ya algebraic,
soma nadharia ya njia iliyochaguliwa,
suluhisha mfumo wako wa milinganyo ya mstari kwa kuzingatia masuluhisho ya kina kwa mifano na matatizo ya kawaida.

Maelezo mafupi ya nyenzo za makala.

Kwanza, tunatoa ufafanuzi wote muhimu, dhana na utangulizi wa vidokezo.

Ifuatayo, tutazingatia njia za kutatua mifumo ya milinganyo ya algebra ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na ambavyo vina suluhisho la kipekee. Kwanza, tutazingatia njia ya Cramer, pili, tutaonyesha njia ya matrix ya kutatua mifumo hiyo ya equations, na tatu, tutachambua njia ya Gauss (njia ya kuondokana na mlolongo wa vigezo visivyojulikana). Ili kuunganisha nadharia, hakika tutatatua SLAE kadhaa kwa njia tofauti.

Baada ya hayo, tutaendelea na kutatua mifumo ya milinganyo ya algebraic ya mstari wa fomu ya jumla, ambayo idadi ya equations hailingani na idadi ya vigezo visivyojulikana au matrix kuu ya mfumo ni umoja. Hebu tuunde nadharia ya Kronecker-Capelli, ambayo inaruhusu sisi kuanzisha utangamano wa SLAEs. Wacha tuchambue suluhisho la mifumo (ikiwa inaendana) kwa kutumia dhana ya msingi mdogo wa matrix. Pia tutazingatia njia ya Gauss na kuelezea kwa undani ufumbuzi wa mifano.

Kwa hakika tutakaa juu ya muundo wa suluhisho la jumla la mifumo ya homogeneous na inhomogeneous ya milinganyo ya algebraic ya mstari. Hebu tupe dhana ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi na kuonyesha jinsi ufumbuzi wa jumla wa SLAE umeandikwa kwa kutumia vectors ya mfumo wa msingi wa ufumbuzi. Kwa ufahamu bora, hebu tuangalie mifano michache.

Kwa kumalizia, tutazingatia mifumo ya equations ambayo inaweza kupunguzwa kwa zile za mstari, pamoja na shida mbali mbali katika suluhisho ambalo SLAEs huibuka.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi, dhana, sifa.

Tutazingatia mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari na n vijiwezo visivyojulikana (p inaweza kuwa sawa na n) ya fomu.

Vigezo visivyojulikana, - coefficients (baadhi ya nambari halisi au ngumu), - maneno ya bure (pia nambari halisi au ngumu).

Njia hii ya kurekodi SLAE inaitwa kuratibu.

KATIKA fomu ya matrix kuandika mfumo huu wa milinganyo una namna,
Wapi - tumbo kuu la mfumo, - safu ya safu ya vigezo visivyojulikana, - safu ya safu ya maneno ya bure.

Ikiwa tutaongeza safu-wima ya maneno bila malipo kwenye matrix A kama safu wima ya (n+1), tunapata kinachojulikana kama safu wima. matrix iliyopanuliwa mifumo ya milinganyo ya mstari. Kawaida, matrix iliyopanuliwa inaonyeshwa na herufi T, na safu ya maneno ya bure hutenganishwa na safu wima kutoka kwa safu zilizobaki, ambayo ni,

Kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari inayoitwa seti ya maadili ya anuwai zisizojulikana ambazo hubadilisha hesabu zote za mfumo kuwa vitambulisho. Mlinganyo wa matrix kwa thamani fulani za vigeu visivyojulikana pia huwa kitambulisho.

Ikiwa mfumo wa equations una angalau suluhisho moja, basi inaitwa pamoja.

Ikiwa mfumo wa equations hauna suluhisho, basi inaitwa yasiyo ya pamoja.

Ikiwa SLAE ina suluhisho la kipekee, basi inaitwa fulani; ikiwa kuna suluhisho zaidi ya moja, basi - kutokuwa na uhakika.

Ikiwa masharti ya bure ya milinganyo yote ya mfumo ni sawa na sifuri , basi mfumo unaitwa zenye homogeneous, vinginevyo - tofauti.

Kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya aljebra ya mstari.

Ikiwa idadi ya milinganyo ya mfumo ni sawa na idadi ya vigeu visivyojulikana na kibainishi cha matrix yake kuu si sawa na sifuri, basi SLAE hizo zitaitwa. msingi. Mifumo hiyo ya equations ina ufumbuzi wa pekee, na katika kesi ya mfumo wa homogeneous, vigezo vyote visivyojulikana ni sawa na sifuri.

Tulianza kusoma SLAE kama hizo katika shule ya upili. Wakati wa kuyatatua, tulichukua equation moja, tukaelezea tofauti moja isiyojulikana kwa suala la wengine na kuibadilisha katika equations iliyobaki, kisha tukachukua equation inayofuata, tukaelezea kutofautiana kwa pili isiyojulikana na kuiweka katika equations nyingine, na kadhalika. Au walitumia njia ya kuongeza, yaani, waliongeza milinganyo miwili au zaidi ili kuondoa baadhi ya vigeu visivyojulikana. Hatutakaa juu ya njia hizi kwa undani, kwani kimsingi ni marekebisho ya njia ya Gauss.

Njia kuu za kutatua mifumo ya msingi ya milinganyo ya mstari ni njia ya Cramer, njia ya matrix na njia ya Gauss. Hebu tuyatatue.

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Tuseme tunahitaji kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

ambayo idadi ya equations ni sawa na idadi ya vigezo haijulikani na determinant ya tumbo kuu ya mfumo ni tofauti na sifuri, yaani,.

Hebu iwe kiamua cha matrix kuu ya mfumo, na - viashiria vya matrices ambayo hupatikana kutoka kwa A kwa uingizwaji 1, 2, ..., nth safu mtawalia kwa safu ya washiriki huru:

Kwa nukuu hii, vigeu visivyojulikana vinakokotolewa kwa kutumia fomula za mbinu ya Cramer kama . Hivi ndivyo suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra linapatikana kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Mfano.

Njia ya Cramer .

Suluhisho.

Matrix kuu ya mfumo ina fomu . Wacha tuhesabu kiashiria chake (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Kwa kuwa kibainishi cha matrix kuu ya mfumo ni nonzero, mfumo una suluhisho la kipekee ambalo linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer.

Wacha tutunge na tuhesabu viashiria muhimu (tunapata kibainishi kwa kubadilisha safu wima ya kwanza katika matriki A na safu ya istilahi zisizolipishwa, kibainishi kwa kubadilisha safu wima ya pili na safu ya masharti huru, na kwa kubadilisha safu wima ya tatu ya matrix A na safu ya istilahi zisizolipishwa) :

Kutafuta vigeu visivyojulikana kwa kutumia fomula :

Jibu:

Hasara kuu ya njia ya Cramer (ikiwa inaweza kuitwa hasara) ni utata wa kuhesabu viambatisho wakati idadi ya milinganyo katika mfumo ni zaidi ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix (kwa kutumia matrix kinyume).

Ruhusu mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari itolewe katika umbo la matrix, ambapo matriki A ina mwelekeo wa n kwa n na kibainishi chake ni nonzero.

Kwa kuwa , matrix A haiwezi kugeuzwa, yaani, kuna matrix inverse. Ikiwa tutazidisha pande zote mbili za usawa kwa upande wa kushoto, tunapata fomula ya kutafuta safu-matrix ya vigeu visivyojulikana. Hivi ndivyo tulivyopata suluhu la mfumo wa milinganyo ya aljebra kwa kutumia mbinu ya matrix.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari njia ya matrix.

Suluhisho.

Wacha tuandike tena mfumo wa equations katika fomu ya matrix:

Kwa sababu

basi SLAE inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya matrix. Kwa kutumia matrix inverse, suluhisho la mfumo huu linaweza kupatikana kama .

Wacha tutengeneze matrix ya kinyume kwa kutumia matrix kutoka kwa nyongeza za aljebra ya vitu vya matrix A (ikiwa ni lazima, angalia kifungu):

Inabakia kuhesabu matrix ya vigezo visivyojulikana kwa kuzidisha matrix ya kinyume kwa safu-matrix ya washiriki wa bure (ikiwa ni lazima, angalia nakala):

Jibu:

au katika nukuu nyingine x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Tatizo kuu wakati wa kutafuta suluhu za mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia mbinu ya matriki ni ugumu wa kutafuta matriki kinyume, hasa kwa hesabu za mraba za mpangilio wa juu zaidi ya tatu.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss.

Tuseme tunahitaji kupata suluhu kwa mfumo wa n milinganyo ya mstari na n vijiti visivyojulikana
kiashiria cha matrix kuu ambayo ni tofauti na sifuri.

Kiini cha njia ya Gauss linajumuisha kuondoa kwa mpangilio tofauti tofauti zisizojulikana: kwanza, x 1 imetengwa kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia ya pili, kisha x 2 imetengwa kutoka kwa hesabu zote, kuanzia ya tatu, na kadhalika, hadi tu kutofautisha haijulikani x n kubaki. katika mlinganyo wa mwisho. Mchakato huu wa kubadilisha milinganyo ya mfumo ili kuondoa vijiumbe visivyojulikana kwa mpangilio huitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gaussian, x n hupatikana kutoka kwa equation ya mwisho, kwa kutumia thamani hii kutoka kwa equation ya penultimate, x n-1 imehesabiwa, na kadhalika, x 1 hupatikana kutoka kwa equation ya kwanza. Mchakato wa kuhesabu vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm ya kuondoa vigezo visivyojulikana.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa hesabu zote za mfumo, kuanzia na ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, imeongezeka kwa , kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeonyesha x 1 kulingana na vigeu vingine visivyojulikana katika mlingano wa kwanza wa mfumo na kubadilisha usemi unaotokana na milinganyo mingine yote. Kwa hivyo, tofauti x 1 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na , kwa equation ya nne tunaongeza pili, kuzidishwa na , na kadhalika, kwa equation ya nth tunaongeza pili, kuongezeka kwa . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na . Kwa hivyo, tofauti x 2 haijajumuishwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea na kuondoa haijulikani x 3, wakati tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya mfumo iliyowekwa kwenye takwimu.

Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa equation ya mwisho kama , kwa kutumia thamani iliyopatikana ya x n tunapata x n-1 kutoka kwa equation ya penultimate, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza. .

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari Njia ya Gauss.

Suluhisho.

Wacha tuondoe tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo ya pili na ya tatu ya mfumo. Ili kufanya hivyo, kwa pande zote mbili za equation ya pili na ya tatu tunaongeza sehemu zinazolingana za equation ya kwanza, iliyozidishwa na na, kwa mtiririko huo:

Sasa tunaondoa x 2 kutoka kwa equation ya tatu kwa kuongeza pande zake za kushoto na kulia za kushoto na kulia za equation ya pili, ikizidishwa na:

Hii inakamilisha kiharusi cha mbele cha njia ya Gauss tunaanza kiharusi cha nyuma.

Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo unaotokana wa equations tunapata x 3:

Kutoka kwa equation ya pili tunapata.

Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata tofauti iliyobaki isiyojulikana na kwa hivyo kukamilisha kinyume cha njia ya Gauss.

Jibu:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Mifumo ya kutatua ya milinganyo ya aljebra ya mstari wa fomu ya jumla.

Kwa ujumla, idadi ya equations ya mfumo p hailingani na idadi ya vigezo visivyojulikana n:

SLAE kama hizo zinaweza kukosa suluhu, kuwa na suluhisho moja, au kuwa na suluhisho nyingi sana. Taarifa hii pia inatumika kwa mifumo ya milinganyo ambayo matrix kuu ni mraba na umoja.

Nadharia ya Kronecker-Capelli.

Kabla ya kupata suluhisho la mfumo wa equations za mstari, ni muhimu kuanzisha utangamano wake. Jibu la swali wakati SLAE inaendana na wakati haiendani hutolewa na Nadharia ya Kronecker-Capelli:
Ili mfumo wa equations p na n haijulikani (p inaweza kuwa sawa na n) kuwa thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix kuu ya mfumo iwe sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, ambayo ni. , Cheo(A)=Cheo(T).

Wacha tuzingatie, kama mfano, matumizi ya nadharia ya Kronecker-Capelli ili kubaini utangamano wa mfumo wa milinganyo ya mstari.

Mfano.

Jua ikiwa mfumo wa milinganyo ya mstari unao ufumbuzi.

Suluhisho.

. Wacha tutumie njia ya kupakana na watoto. Ndogo ya utaratibu wa pili tofauti na sifuri. Wacha tuangalie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo:

Kwa kuwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, kiwango cha matrix kuu ni sawa na mbili.

Kwa upande wake, kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni sawa na tatu, kwa kuwa mdogo ni wa utaratibu wa tatu

tofauti na sifuri.

Hivyo, Rang(A), kwa hivyo, kwa kutumia nadharia ya Kronecker–Capelli, tunaweza kuhitimisha kuwa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari haulingani.

Jibu:

Mfumo hauna suluhu.

Kwa hiyo, tumejifunza kuanzisha kutofautiana kwa mfumo kwa kutumia nadharia ya Kronecker-Capelli.

Lakini jinsi ya kupata suluhisho kwa SLAE ikiwa utangamano wake umeanzishwa?

Ili kufanya hivyo, tunahitaji dhana ya msingi mdogo wa matrix na nadharia kuhusu kiwango cha matrix.

Kidogo cha utaratibu wa juu wa matrix A, tofauti na sifuri, inaitwa msingi.

Kutoka kwa ufafanuzi wa msingi mdogo inafuata kwamba utaratibu wake ni sawa na cheo cha matrix. Kwa matrix isiyo ya sifuri A kunaweza kuwa na watoto wa msingi kadhaa daima kuna msingi mmoja mdogo.

Kwa mfano, fikiria matrix .

Watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni sawa na sifuri, kwani vipengele vya safu ya tatu ya matrix hii ni jumla ya vipengele vinavyolingana vya safu ya kwanza na ya pili.

Watoto wafuatayo wa pili ni wa msingi, kwa kuwa sio sifuri

Watoto wadogo sio msingi, kwani ni sawa na sifuri.

Nadharia ya kiwango cha Matrix.

Ikiwa kiwango cha matrix ya mpangilio p kwa n ni sawa na r, basi vipengele vyote vya safu (na safu) vya matrix ambavyo havifanyi msingi uliochaguliwa huonyeshwa kwa mstari kulingana na safu mlalo (na safu) vipengele vinavyounda. msingi mdogo.

Nadharia ya kiwango cha matrix inatuambia nini?

Ikiwa, kulingana na nadharia ya Kronecker-Capelli, tumeanzisha utangamano wa mfumo, basi tunachagua msingi wowote mdogo wa matrix kuu ya mfumo (mpangilio wake ni sawa na r), na kuwatenga kutoka kwa mfumo milinganyo yote inayofanya. sio kuunda msingi uliochaguliwa mdogo. SLAE iliyopatikana kwa njia hii itakuwa sawa na ile ya asili, kwa kuwa milinganyo iliyotupwa bado haina maana (kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix, ni mchanganyiko wa mstari wa milinganyo iliyobaki).

Matokeo yake, baada ya kukataa equations zisizohitajika za mfumo, kesi mbili zinawezekana.

Ikiwa idadi ya equations r katika mfumo unaosababisha ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi itakuwa ya uhakika na suluhisho pekee linaweza kupatikana kwa njia ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

Mfano.

Suluhisho.

Cheo cha tumbo kuu la mfumo ni sawa na mbili, kwani mdogo ni wa mpangilio wa pili tofauti na sifuri. Nafasi Iliyoongezwa ya Matrix pia ni sawa na mbili, kwani agizo la tatu pekee ni sifuri

na mdogo wa mpangilio wa pili unaozingatiwa hapo juu ni tofauti na sifuri. Kulingana na nadharia ya Kronecker–Capelli, tunaweza kuthibitisha upatanifu wa mfumo asilia wa milinganyo ya mstari, kwa kuwa Cheo(A)=Cheo(T)=2.

Kama msingi mdogo tunachukua . Inaundwa na coefficients ya equations ya kwanza na ya pili:

Equation ya tatu ya mfumo haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo tunaitenga kutoka kwa mfumo kulingana na nadharia ya kiwango cha matrix:

Hivi ndivyo tulivyopata mfumo msingi wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Wacha tuitatue kwa kutumia njia ya Cramer:

Jibu:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ikiwa idadi ya equations r katika SLAE inayosababisha ni chini ya idadi ya vigezo visivyojulikana n, basi kwenye pande za kushoto za equations tunaacha masharti ambayo huunda msingi mdogo, na tunahamisha masharti yaliyobaki kwa pande za kulia za hesabu. milinganyo ya mfumo na ishara kinyume.

Vigezo visivyojulikana (r kati yao) vilivyobaki kwenye pande za kushoto za equations huitwa kuu.

Vigezo visivyojulikana (kuna vipande vya n - r) vilivyo kwenye pande za kulia huitwa bure.

Sasa tunaamini kwamba vigeu visivyojulikana vya bure vinaweza kuchukua maadili ya kiholela, wakati r vigeu kuu visivyojulikana vitaonyeshwa kupitia vigeu visivyojulikana visivyolipishwa kwa njia ya kipekee. Usemi wao unaweza kupatikana kwa kutatua SLAE inayotokana kwa kutumia njia ya Cramer, njia ya matrix, au njia ya Gauss.

Hebu tuitazame kwa mfano.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari .

Suluhisho.

Wacha tupate kiwango cha matrix kuu ya mfumo kwa njia ya mpaka watoto. Wacha tuchukue 1 1 = 1 kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto ambaye sio sifuri wa agizo la pili linalopakana na mtoto huyu:

Hivi ndivyo tulivyopata mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa pili. Wacha tuanze kutafuta mtoto asiye na sifuri anayepakana na agizo la tatu:

Kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu ni tatu. Kiwango cha matrix iliyopanuliwa pia ni sawa na tatu, ambayo ni, mfumo ni thabiti.

Tunachukua iliyopatikana isiyo ya sifuri ndogo ya mpangilio wa tatu kama msingi.

Kwa uwazi, tunaonyesha vitu ambavyo huunda msingi mdogo:

Tunaacha masharti yanayohusika katika msingi mdogo upande wa kushoto wa milinganyo ya mfumo, na kuhamisha yaliyosalia na ishara tofauti kwa pande za kulia:

Wacha tupe viwango vya bure visivyojulikana x 2 na x 5 maadili ya kiholela, ambayo ni, tunakubali. , nambari za kiholela ziko wapi. Katika kesi hii, SLAE itachukua fomu

Wacha tusuluhishe mfumo wa msingi unaotokana wa milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kutumia njia ya Cramer:

Kwa hivyo,.

Katika jibu lako, usisahau kuashiria anuwai zisizojulikana za bure.

Jibu:

Nambari za kiholela ziko wapi.

Fanya muhtasari.

Ili kutatua mfumo wa milinganyo ya jumla ya mstari wa aljebra, kwanza tunabainisha upatanifu wake kwa kutumia nadharia ya Kronecker–Capelli. Ikiwa kiwango cha matrix kuu sio sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunahitimisha kuwa mfumo hauendani.

Ikiwa kiwango cha matrix kuu ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa, basi tunachagua msingi mdogo na kutupa hesabu za mfumo ambazo hazishiriki katika uundaji wa msingi uliochaguliwa mdogo.

Ikiwa utaratibu wa msingi mdogo ni sawa na idadi ya vigezo visivyojulikana, basi SLAE ina suluhisho la pekee, ambalo linaweza kupatikana kwa njia yoyote inayojulikana kwetu.

Ikiwa mpangilio wa msingi mdogo ni chini ya idadi ya vijiti visivyojulikana, basi upande wa kushoto wa hesabu za mfumo tunaacha masharti na vigezo kuu visivyojulikana, kuhamisha maneno yaliyobaki kwa pande za kulia na kutoa maadili ya kiholela. vigezo vya bure visivyojulikana. Kutoka kwa mfumo unaotokana wa milinganyo ya mstari tunapata vigezo kuu visivyojulikana kwa kutumia mbinu ya Cramer, njia ya tumbo au njia ya Gauss.

Njia ya Gauss ya kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya aljebra ya laini ya fomu ya jumla.

Mbinu ya Gauss inaweza kutumika kutatua mifumo ya milinganyo ya aljebra ya aina yoyote bila kuijaribu kwanza kwa uthabiti. Mchakato wa uondoaji wa mlolongo wa vigezo visivyojulikana hufanya iwezekanavyo kuteka hitimisho kuhusu utangamano na kutokubaliana kwa SLAE, na ikiwa suluhisho lipo, inafanya uwezekano wa kuipata.

Kwa mtazamo wa hesabu, njia ya Gaussian inafaa zaidi.

Tazama maelezo yake ya kina na mifano iliyochanganuliwa katika makala Mbinu ya Gauss ya kutatua mifumo ya milinganyo ya jumla ya mstari wa aljebra.

Kuandika suluhisho la jumla kwa mifumo ya algebra yenye usawa na isiyo sawa kwa kutumia vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho.

Katika sehemu hii tutazungumza juu ya mifumo ya wakati mmoja ya usawa na isiyo sawa ya milinganyo ya aljebra ya mstari ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Hebu kwanza tushughulike na mifumo ya homogeneous.

Mfumo wa msingi wa suluhisho mfumo wa homogeneous wa p linear aljebra equations na n vigezo visivyojulikana ni mkusanyiko wa (n - r) ufumbuzi wa kujitegemea wa mfumo huu, ambapo r ni utaratibu wa msingi mdogo wa matrix kuu ya mfumo.

Ikiwa tunaashiria masuluhisho huru ya mstari ya SLAE yenye usawa kama X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ni safu wima za mwelekeo n. na 1) , basi suluhisho la jumla la mfumo huu wa homogeneous linawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za mfumo wa msingi wa suluhisho na coefficients ya kiholela ya mara kwa mara C 1, C 2, ..., C (n-r), yaani, .

Je, neno suluhu la jumla la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya aljebra ya mstari (oroslau) inamaanisha nini?

Maana ni rahisi: formula inabainisha suluhisho zote zinazowezekana za SLAE ya asili, kwa maneno mengine, kuchukua seti yoyote ya maadili ya viunga vya kiholela C 1, C 2, ..., C (n-r), kwa kutumia formula tutafanya. pata mojawapo ya suluhu za SLAE ya asili ya homogeneous.

Kwa hivyo, ikiwa tutapata mfumo wa kimsingi wa suluhisho, basi tunaweza kufafanua suluhisho zote za SLAE hii ya homogeneous kama .

Wacha tuonyeshe mchakato wa kuunda mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa SLAE yenye homogeneous.

Tunachagua msingi mdogo wa mfumo wa asili wa milinganyo ya mstari, ukiondoa milinganyo mingine yote kutoka kwa mfumo na kuhamisha masharti yote yaliyo na vigeu visivyojulikana vya bure kwa pande za kulia za hesabu za mfumo zilizo na ishara tofauti. Wacha tupe vigeu vya bure visivyojulikana maadili 1,0,0,...,0 na kuhesabu haijulikani kuu kwa kutatua mfumo wa msingi wa equations za mstari kwa njia yoyote, kwa mfano, kwa kutumia njia ya Cramer. Hii itasababisha X (1) - suluhisho la kwanza la mfumo wa kimsingi. Ikiwa tutatoa zisizojulikana za bure maadili 0,1,0,0,…,0 na kuhesabu zisizojulikana kuu, tunapata X (2) . Nakadhalika. Ikiwa tunapeana maadili 0.0,...,0.1 kwa anuwai zisizojulikana na kuhesabu zisizojulikana kuu, tunapata X (n-r) . Kwa njia hii, mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE yenye homogeneous utajengwa na ufumbuzi wake wa jumla unaweza kuandikwa kwa fomu.

Kwa mifumo isiyo ya moja kwa moja ya milinganyo ya algebraic ya mstari, suluhisho la jumla linawakilishwa katika fomu, ambapo ni suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous, na ni suluhisho maalum la SLAE ya asili isiyo ya kawaida, ambayo tunapata kwa kutoa thamani zisizojulikana. 0,0,...,0 na kuhesabu maadili ya mambo kuu yasiyojulikana.

Hebu tuangalie mifano.

Mfano.

Pata mfumo wa kimsingi wa suluhisho na suluhisho la jumla la mfumo wa usawa wa milinganyo ya algebraic ya mstari. .

Suluhisho.

Kiwango cha matrix kuu ya mifumo ya homogeneous ya milinganyo ya mstari daima ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Wacha tupate kiwango cha matrix kuu kwa kutumia njia ya kupakana na watoto. Kama mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa kwanza, tunachukua kipengele 1 1 = 9 cha matrix kuu ya mfumo. Wacha tupate mpaka usio na sifuri mdogo wa agizo la pili:

Kidogo cha utaratibu wa pili, tofauti na sifuri, kimepatikana. Wacha tupitie watoto wa mpangilio wa tatu wanaopakana nayo ili kutafuta isiyo ya sifuri:

Watoto wote wa mpaka wa tatu ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix kuu na iliyopanuliwa ni sawa na mbili. Hebu tuchukue. Kwa uwazi, hebu tuangalie vipengele vya mfumo vinavyounda:

Equation ya tatu ya SLAE ya asili haishiriki katika uundaji wa msingi mdogo, kwa hivyo, inaweza kutengwa:

Tunaacha masharti yaliyo na mambo kuu yasiyojulikana kwenye pande za kulia za hesabu, na kuhamisha masharti na yasiyojulikana ya bure kwa pande za kulia:

Wacha tuunde mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo wa asili wa usawa wa milinganyo ya mstari. Mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa SLAE hii una ufumbuzi mbili, kwa kuwa SLAE ya awali ina vigezo vinne visivyojulikana, na utaratibu wa msingi wake mdogo ni sawa na mbili. Ili kupata X (1), tunatoa vigezo vya bure visivyojulikana maadili x 2 = 1, x 4 = 0, kisha tunapata haijulikani kuu kutoka kwa mfumo wa equations.
.

Walakini, katika mazoezi kesi mbili zaidi zimeenea:

- Mfumo hauendani (hauna suluhisho);
- Mfumo ni thabiti na una suluhisho nyingi sana.

Kumbuka : Neno "uthabiti" linamaanisha kuwa mfumo una angalau suluhisho. Katika idadi ya matatizo, ni muhimu kwanza kuchunguza mfumo kwa utangamano jinsi ya kufanya hivyo, angalia makala cheo cha matrices.

Kwa mifumo hii, njia zote za suluhisho hutumiwa - Njia ya Gaussian. Kwa kweli, njia ya "shule" pia itasababisha jibu, lakini katika hisabati ya juu ni desturi kutumia njia ya Gaussian ya kuondokana na mlolongo wa haijulikani. Wale ambao hawafahamu kanuni ya mbinu ya Gaussian, tafadhali soma somo kwanza Njia ya Gaussian kwa dummies.

Mabadiliko ya msingi ya matrix yenyewe ni sawa, tofauti itakuwa katika mwisho wa suluhisho. Kwanza, hebu tuangalie mifano michache wakati mfumo hauna suluhu (zisizoendana).

Mfano 1

Ni nini kinachovutia macho yako mara moja kuhusu mfumo huu? Idadi ya equations ni chini ya idadi ya vigezo. Ikiwa idadi ya equations ni chini ya idadi ya vigezo, basi tunaweza kusema mara moja kwamba mfumo huo hauendani au una suluhisho nyingi sana. Na kilichobaki ni kujua.

Mwanzo wa suluhisho ni wa kawaida kabisa - tunaandika matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, kuleta kwa fomu ya hatua:

(1) Kwenye hatua ya juu kushoto tunahitaji kupata +1 au -1. Hakuna nambari kama hizo kwenye safu wima ya kwanza, kwa hivyo kupanga tena safu hakutafanya chochote. Kitengo kitalazimika kujipanga, na hii inaweza kufanywa kwa njia kadhaa. Nilifanya hivi: Kwa mstari wa kwanza tunaongeza mstari wa tatu, uliozidishwa na -1.

(2) Sasa tunapata sufuri mbili kwenye safu ya kwanza. Kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na 3. Kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na 5.

(3) Baada ya mabadiliko kukamilika, daima inashauriwa kuona ikiwa inawezekana kurahisisha kamba zinazosababisha? Unaweza. Tunagawanya mstari wa pili kwa 2, wakati huo huo kupata required -1 kwenye hatua ya pili. Gawanya mstari wa tatu kwa -3.

(4) Ongeza mstari wa pili kwenye mstari wa tatu.

Labda kila mtu aligundua mstari mbaya ambao ulitokana na mabadiliko ya kimsingi: . Ni wazi kwamba hii haiwezi kuwa hivyo. Hakika, hebu tuandike tena matrix inayosababisha kurudi kwenye mfumo wa milinganyo ya mstari:

Ikiwa, kama matokeo ya mabadiliko ya msingi, kamba ya fomu inapatikana, ambapo ni nambari nyingine isipokuwa sifuri, basi mfumo haufanani (hauna ufumbuzi).

Jinsi ya kuandika mwisho wa kazi? Hebu tuchore na chaki nyeupe: "kama matokeo ya mabadiliko ya msingi, kamba ya fomu , ambapo "inapatikana na kutoa jibu: mfumo hauna ufumbuzi (usio sawa).

Ikiwa, kulingana na hali hiyo, inahitajika KUTAFITI mfumo kwa utangamano, basi ni muhimu kurasimisha suluhisho kwa mtindo thabiti zaidi kwa kutumia dhana. cheo cha matrix na nadharia ya Kronecker-Capelli.

Tafadhali kumbuka kuwa hakuna mabadiliko ya algorithm ya Gaussian hapa - hakuna suluhisho na hakuna chochote cha kupata.

Mfano 2

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo. Ninakukumbusha tena kwamba suluhisho lako linaweza kutofautiana na suluhisho langu;

Kipengele kingine cha kiufundi cha suluhisho: mabadiliko ya kimsingi yanaweza kusimamishwa Mara moja, mara tu mstari kama , wapi . Wacha tuchunguze mfano wa masharti: tuseme kwamba baada ya mabadiliko ya kwanza matrix hupatikana . Matrix bado haijapunguzwa kwa fomu ya echelon, lakini hakuna haja ya mabadiliko zaidi ya msingi, kwa kuwa mstari wa fomu umeonekana, wapi. Jibu linapaswa kutolewa mara moja kwamba mfumo hauendani.

Wakati mfumo wa equations linear hauna ufumbuzi, hii ni karibu zawadi, kutokana na ukweli kwamba ufumbuzi mfupi hupatikana, wakati mwingine halisi katika hatua 2-3.

Lakini kila kitu katika ulimwengu huu ni sawa, na shida ambayo mfumo una suluhisho nyingi ni ndefu zaidi.

Mfano 3

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari

Kuna milinganyo 4 na 4 zisizojulikana, kwa hivyo mfumo unaweza kuwa na suluhisho moja, au hauna suluhu, au kuwa na masuluhisho mengi sana. Iwe hivyo, njia ya Gaussian kwa hali yoyote itatuongoza kwenye jibu. Huu ni uchangamano wake.

Mwanzo ni tena kiwango. Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

Hiyo ndiyo yote, na uliogopa.

(1) Tafadhali kumbuka kuwa nambari zote kwenye safu wima ya kwanza zinaweza kugawanywa na 2, kwa hivyo 2 ni sawa kwenye hatua ya juu kushoto. Kwa mstari wa pili tunaongeza mstari wa kwanza, unaozidishwa na -4. Kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa kwanza, unaozidishwa na -2. Kwa mstari wa nne tunaongeza mstari wa kwanza, unaozidishwa na -1.

Tahadhari! Wengi wanaweza kujaribiwa na mstari wa nne ondoa mstari wa kwanza. Hii inaweza kufanyika, lakini si lazima uzoefu unaonyesha kwamba uwezekano wa makosa katika mahesabu huongezeka mara kadhaa. Ongeza tu: Kwa mstari wa nne ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na -1 - hasa!

(2) Mistari mitatu ya mwisho ni sawia, miwili kati yao inaweza kufutwa.

Hapa tena tunahitaji kuonyesha kuongezeka kwa umakini, lakini je, mistari ni sawia? Ili kuwa katika upande salama (hasa kwa buli), lingekuwa wazo nzuri kuzidisha mstari wa pili kwa -1, na kugawanya mstari wa nne na 2, na kusababisha mistari mitatu inayofanana. Na tu baada ya hayo ondoa mbili kati yao.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, matrix iliyopanuliwa ya mfumo hupunguzwa kwa fomu ya hatua kwa hatua:

Wakati wa kuandika kazi katika daftari, ni vyema kufanya maelezo sawa katika penseli kwa uwazi.

Wacha tuandike upya mfumo unaolingana wa equations:

Hakuna harufu ya suluhisho la "kawaida" moja kwa mfumo hapa. Hakuna mstari mbaya pia. Hii inamaanisha kuwa hii ni kesi ya tatu iliyobaki - mfumo una suluhisho nyingi sana. Wakati mwingine, kwa mujibu wa hali hiyo, ni muhimu kuchunguza utangamano wa mfumo (yaani kuthibitisha kuwa suluhisho lipo kabisa), unaweza kusoma kuhusu hili katika aya ya mwisho ya kifungu. Jinsi ya kupata kiwango cha matrix? Lakini kwa sasa hebu tuchunguze mambo ya msingi:

Seti isiyo na mwisho ya ufumbuzi wa mfumo imeandikwa kwa ufupi kwa namna ya kinachojulikana suluhisho la jumla la mfumo .

Tunapata suluhisho la jumla la mfumo kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian.

Kwanza tunahitaji kufafanua ni vigeu gani tunavyo msingi, na ni vigezo gani bure. Sio lazima kujisumbua na masharti ya algebra ya mstari, kumbuka tu kuwa kuna vile vigezo vya msingi Na vigezo vya bure.

Vigezo vya msingi daima "hukaa" madhubuti kwenye hatua za matrix.
Katika mfano huu, vigezo vya msingi ni na

Vigezo vya bure ni kila kitu iliyobaki vigezo ambavyo havikupokea hatua. Kwa upande wetu, kuna mbili kati yao: - vigezo vya bure.

Sasa unahitaji Wote vigezo vya msingi kueleza kupitia tu vigezo vya bure.

Kinyume cha algoriti ya Gaussian kijadi hufanya kazi kutoka chini kwenda juu.
Kutoka kwa equation ya pili ya mfumo tunaelezea tofauti ya msingi:

Sasa angalia equation ya kwanza: . Kwanza tunabadilisha usemi uliopatikana ndani yake:

Inabakia kuelezea kutofautisha kwa msingi kwa suala la anuwai za bure:

Mwishowe tulipata kile tulichohitaji - Wote vigezo vya msingi ( na ) vinaonyeshwa kupitia tu Vigezo vya bure:

Kwa kweli, suluhisho la jumla liko tayari:

Jinsi ya kuandika suluhisho la jumla kwa usahihi?
Vigezo vya bure vimeandikwa kwenye suluhisho la jumla "kwa wenyewe" na madhubuti katika maeneo yao. Katika kesi hii, vigezo vya bure vinapaswa kuandikwa katika nafasi ya pili na ya nne:
.

Maneno yanayotokana na vigezo vya msingi na ni wazi inahitaji kuandikwa katika nafasi ya kwanza na ya tatu:

Kutoa vigezo vya bure maadili holela, unaweza kupata nyingi sana suluhisho za kibinafsi. Maadili maarufu zaidi ni zero, kwani suluhisho fulani ndio rahisi kupata. Wacha tubadilishe katika suluhisho la jumla:

- suluhisho la kibinafsi.

Jozi nyingine tamu ni zile, wacha tuzibadilishe kwenye suluhisho la jumla:

- suluhisho lingine la kibinafsi.

Ni rahisi kuona kwamba mfumo wa equations una suluhisho nyingi sana(kwani tunaweza kutoa vigeu vya bure yoyote maadili)

Kila moja suluhu mahususi lazima liridhishe kwa kila mmoja equation ya mfumo. Huu ndio msingi wa hundi ya "haraka" ya usahihi wa suluhisho. Chukua, kwa mfano, suluhu fulani na uibadilishe katika upande wa kushoto wa kila mlinganyo wa mfumo asilia:

Kila kitu lazima kiwe pamoja. Na kwa ufumbuzi wowote unaopokea, kila kitu kinapaswa pia kukubaliana.

Lakini, kwa kusema madhubuti, kuangalia suluhisho fulani wakati mwingine ni kudanganya, i.e. suluhu fulani fulani linaweza kutosheleza kila mlinganyo wa mfumo, lakini suluhu la jumla lenyewe kwa kweli linapatikana kimakosa.

Kwa hiyo, uthibitishaji wa suluhisho la jumla ni wa kina zaidi na wa kuaminika. Jinsi ya kuangalia suluhisho la jumla linalosababisha ?

Sio ngumu, lakini inachosha sana. Tunahitaji kuchukua misemo msingi vigezo, katika kesi hii na , na kuzibadilisha katika upande wa kushoto wa kila mlinganyo wa mfumo.

Kwa upande wa kushoto wa equation ya kwanza ya mfumo:

Kwa upande wa kushoto wa equation ya pili ya mfumo:

Upande wa kulia wa equation ya awali hupatikana.

Mfano 4

Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian. Tafuta suluhisho la jumla na mbili maalum. Angalia suluhisho la jumla.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Hapa, kwa njia, tena idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani, ambayo ina maana ni wazi mara moja kwamba mfumo utakuwa na kutofautiana au kuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi. Ni nini muhimu katika mchakato wa uamuzi yenyewe? Tahadhari, na tahadhari tena. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Na mifano michache zaidi ya kuimarisha nyenzo

Mfano 5

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari. Ikiwa mfumo una suluhisho nyingi sana, pata masuluhisho mawili mahususi na uangalie suluhisho la jumla

Suluhisho: Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

(1) Ongeza mstari wa kwanza kwenye mstari wa pili. Kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na 2. Kwa mstari wa nne tunaongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na 3.
(2) Kwa mstari wa tatu tunaongeza mstari wa pili, umeongezeka kwa -5. Kwa mstari wa nne tunaongeza mstari wa pili, umeongezeka kwa -7.
(3) Mstari wa tatu na wa nne ni sawa, tunafuta moja yao.

Huu ni uzuri kama huu:

Vigezo vya msingi vinakaa kwenye hatua, kwa hiyo - vigezo vya msingi.
Kuna tofauti moja tu ya bure ambayo haikupata hatua:

Nyuma:
Wacha tuonyeshe vijiti vya msingi kupitia utofauti wa bure:
Kutoka kwa equation ya tatu:

Wacha tuzingatie equation ya pili na tubadilishe usemi uliopatikana ndani yake:

Wacha tuzingatie equation ya kwanza na tubadilishe misemo iliyopatikana na ndani yake:

Ndio, kikokotoo kinachohesabu sehemu za kawaida bado kinafaa.

Kwa hivyo suluhisho la jumla ni:

Kwa mara nyingine tena, ilikuwaje? Tofauti ya bure iko peke yake katika nafasi yake ya nne inayofaa. Maneno yaliyotokana na vigeu vya msingi pia yalichukua nafasi zao za kawaida.

Wacha tuangalie mara moja suluhisho la jumla. Kazi ni ya weusi, lakini tayari nimeshaifanya, kwa hivyo ipate =)

Tunabadilisha mashujaa watatu , , katika upande wa kushoto wa kila mlinganyo wa mfumo:

Pande zinazolingana za mkono wa kulia wa milinganyo hupatikana, kwa hivyo suluhisho la jumla linapatikana kwa usahihi.

Sasa kutoka kwa suluhisho la jumla lililopatikana tunapata masuluhisho mawili mahususi. Tofauti pekee ya bure hapa ni mpishi. Hakuna haja ya kusumbua akili zako.

Hebu iwe basi - suluhisho la kibinafsi.
Hebu iwe basi - suluhisho lingine la kibinafsi.

Jibu: Uamuzi wa kawaida: , suluhisho za kibinafsi: , .

Sikupaswa kukumbuka kuhusu weusi ... ... kwa sababu kila aina ya nia ya kusikitisha ilikuja kichwani mwangu na nikakumbuka photoshop maarufu ambayo Ku Klux Klansmen katika mavazi meupe wanakimbia kwenye uwanja baada ya mchezaji wa mpira wa miguu mweusi. Ninakaa na kutabasamu kimya kimya. Unajua jinsi ya kusumbua ...

Hisabati nyingi ni hatari, kwa hivyo mfano wa mwisho kama huo wa kusuluhisha mwenyewe.

Mfano 6

Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari.

Tayari nimeangalia suluhisho la jumla, jibu linaweza kuaminiwa. Suluhisho lako linaweza kutofautiana na suluhisho langu, jambo kuu ni kwamba suluhisho la jumla linapatana.

Labda, watu wengi waliona wakati mbaya katika suluhisho: mara nyingi sana, wakati wa njia ya nyuma ya njia ya Gaussian, ilibidi tuzungumze na sehemu za kawaida. Katika mazoezi, hii ni kweli kesi ambapo hakuna sehemu ni ya kawaida sana. Kuwa tayari kiakili na, muhimu zaidi, kiufundi.

Nitakaa juu ya huduma zingine za suluhisho ambazo hazikupatikana katika mifano iliyotatuliwa.

Suluhisho la jumla la mfumo wakati mwingine linaweza kujumuisha mara kwa mara (au mara kwa mara), kwa mfano:. Hapa moja ya vigezo vya msingi ni sawa na idadi ya mara kwa mara:. Hakuna kitu kigeni kuhusu hili, hutokea. Kwa wazi, katika kesi hii, suluhisho lolote litakuwa na tano katika nafasi ya kwanza.

Mara chache, lakini kuna mifumo ambayo idadi ya milinganyo ni kubwa kuliko idadi ya vigezo. Njia ya Gaussian inafanya kazi katika hali kali zaidi; Mfumo kama huo unaweza kuwa haufanani, unaweza kuwa na suluhisho nyingi sana, na, isiyo ya kawaida, inaweza kuwa na suluhisho moja.