Equation inayoelezea oscillations ya harmonic. Mwendo wa oscillatory

Inatofautiana kwa muda kulingana na sheria ya sinusoidal:

Wapi X- thamani ya kiasi kinachobadilika kwa wakati t, A- amplitude, ω - mzunguko wa mzunguko, φ - awamu ya awali ya oscillations; φt + φ ) - awamu kamili ya oscillations. Wakati huo huo, maadili A, ω Na φ - kudumu.

Kwa vibrations ya mitambo ya ukubwa unaobadilika X ni, hasa, uhamisho na kasi, kwa vibrations umeme - voltage na sasa.

Oscillations ya Harmonic inachukua nafasi maalum kati ya aina zote za oscillations, kwa kuwa hii ndiyo aina pekee ya oscillations ambayo sura haijapotoshwa wakati wa kupitia njia yoyote ya homogeneous, yaani, mawimbi yanayoenea kutoka kwa chanzo cha oscillations ya harmonic pia yatakuwa ya usawa. Oscillation yoyote isiyo ya harmonic inaweza kuwakilishwa kama jumla (muhimu) ya oscillations mbalimbali za harmonic (katika mfumo wa wigo wa oscillations ya harmonic).

Mabadiliko ya nishati wakati wa mitetemo ya harmonic.

Wakati wa mchakato wa oscillation, uhamisho wa nishati unaowezekana hutokea Wp kwa kinetic Wk na kinyume chake. Katika nafasi ya kupotoka kwa kiwango cha juu kutoka kwa nafasi ya usawa, nishati inayowezekana ni ya juu, nishati ya kinetic ni sifuri. Inaporudi kwenye nafasi ya usawa, kasi ya mwili wa oscillating huongezeka, na kwa hiyo nishati ya kinetic pia huongezeka, kufikia kiwango cha juu katika nafasi ya usawa. Nishati inayowezekana inashuka hadi sifuri. Harakati zaidi hutokea kwa kupungua kwa kasi, ambayo hushuka hadi sifuri wakati deflection inafikia upeo wake wa pili. Nishati inayowezekana hapa inaongezeka hadi thamani yake ya awali (kiwango cha juu) (bila kukosekana kwa msuguano). Kwa hivyo, oscillations ya nishati ya kinetic na uwezo hutokea kwa mara mbili ya mzunguko (ikilinganishwa na oscillations ya pendulum yenyewe) na iko katika antiphase (yaani, kuna mabadiliko ya awamu kati yao sawa na π ) Jumla ya nishati ya mtetemo W inabaki bila kubadilika. Kwa mwili unaozunguka chini ya hatua ya nguvu ya elastic, ni sawa na:

Wapi v m- kasi ya juu ya mwili (katika nafasi ya usawa), x m = A- amplitude.

Kutokana na kuwepo kwa msuguano na upinzani wa kati, vibrations bure hupunguza: nguvu zao na amplitude hupungua kwa muda. Kwa hiyo, katika mazoezi, oscillations ya kulazimishwa hutumiwa mara nyingi zaidi kuliko ya bure.

Tulichunguza mifumo kadhaa tofauti kabisa ya kimwili, na tukahakikisha kwamba milinganyo ya mwendo imepunguzwa kwa fomu sawa

Tofauti kati ya mifumo ya kimwili inaonekana tu katika ufafanuzi tofauti wa wingi na katika hisia tofauti za kimwili za kutofautiana x: hii inaweza kuwa kuratibu, pembe, malipo, sasa, nk Kumbuka kwamba katika kesi hii, kama ifuatavyo kutoka kwa muundo wa equation (1.18), wingi daima huwa na mwelekeo wa wakati wa kinyume.

Equation (1.18) inaelezea kinachojulikana vibrations za harmonic.

Mlinganyo wa mtetemo wa harmonic (1.18) ni mlinganyo wa utofauti wa mstari wa mpangilio wa pili (kwa kuwa una derivative ya pili ya kutofautisha. x). Mstari wa mlinganyo unamaanisha hivyo

ikiwa kazi fulani x(t) ni suluhisho la mlinganyo huu, kisha kazi Cx(t) pia itakuwa suluhisho lake ( C- mara kwa mara ya kiholela);

ikiwa kazi x 1 (t) Na x 2(t) ni suluhisho la mlinganyo huu, kisha jumla yao x 1 (t) + x 2 (t) pia itakuwa suluhisho kwa mlinganyo huo huo.

Nadharia ya hisabati pia imethibitishwa, kulingana na ambayo equation ya mpangilio wa pili ina masuluhisho mawili ya kujitegemea. Suluhisho zingine zote, kulingana na mali ya mstari, zinaweza kupatikana kama mchanganyiko wao wa mstari. Ni rahisi kuthibitisha kwa upambanuzi wa moja kwa moja kwamba kitendakazi huru na kutosheleza mlinganyo (1.18). Hii inamaanisha kuwa suluhisho la jumla la equation hii lina fomu:

Wapi C 1,C 2- mara kwa mara ya kiholela. Suluhisho hili linaweza kuwasilishwa kwa fomu nyingine. Hebu tuingize thamani

na kuamua angle na mahusiano:

Kisha suluhisho la jumla (1.19) limeandikwa kama

Kulingana na fomula za trigonometry, usemi katika mabano ni sawa na

Hatimaye tunakuja suluhisho la jumla la equation ya vibration ya harmonic kama:

Thamani isiyo hasi A kuitwa amplitude ya vibration, - awamu ya awali ya oscillation. Hoja nzima ya cosine - mchanganyiko - inaitwa awamu ya oscillation.

Maneno (1.19) na (1.23) ni sawa kabisa, kwa hivyo tunaweza kutumia yoyote kati yao, kwa kuzingatia uzingatiaji wa unyenyekevu. Suluhu zote mbili ni kazi za mara kwa mara za wakati. Hakika, sine na kosine ni za mara kwa mara na kipindi . Kwa hiyo, majimbo mbalimbali ya mfumo unaofanya oscillations ya harmonic hurudiwa baada ya muda t*, wakati ambapo awamu ya oscillation inapokea nyongeza ambayo ni nyingi ya :

Inafuata hiyo

Angalau ya nyakati hizi

kuitwa kipindi cha oscillation (Mchoro 1.8), na - yake mviringo (mzunguko) masafa.

Mchele. 1.8.

Pia wanatumia masafa kushuka kwa thamani

Ipasavyo, mzunguko wa mviringo ni sawa na idadi ya oscillations kwa sekunde

Kwa hivyo, ikiwa mfumo kwa wakati t inayojulikana na thamani ya kutofautiana x(t), basi kutofautiana kutakuwa na thamani sawa baada ya kipindi cha muda (Mchoro 1.9), yaani

Maana sawa itakuwa kawaida kurudiwa baada ya muda 2T, ZT na kadhalika.

Mchele. 1.9. Kipindi cha oscillation

Suluhisho la jumla ni pamoja na viunga viwili vya kiholela ( C 1, C 2 au A, a), maadili ambayo lazima yaamuliwe na mbili masharti ya awali. Kawaida (ingawa sio lazima) jukumu lao linachezwa na maadili ya awali ya kutofautisha x(0) na derivative yake.

Hebu tutoe mfano. Hebu suluhisho (1.19) la equation ya oscillations ya harmonic ielezee mwendo wa pendulum ya spring. Thamani za viwango vya kiholela hutegemea jinsi tulivyoleta pendulum nje ya usawa. Kwa mfano, tulivuta chemchemi kwa mbali na akatoa mpira bila kasi ya awali. Kwa kesi hii

Kubadilisha t = 0 katika (1.19), tunapata thamani ya mara kwa mara C 2

Suluhisho kwa hivyo linaonekana kama:

Tunapata kasi ya mzigo kwa kutofautisha kwa heshima na wakati

Kubadilisha hapa t = 0, pata ya kudumu C 1:

Hatimaye

Ukilinganisha na (1.23), tunapata hiyo ni amplitude ya oscillations, na awamu yake ya awali ni sifuri:.

Wacha sasa tusawazishe pendulum kwa njia nyingine. Wacha tupige mzigo ili ipate kasi ya awali, lakini kivitendo haisogei wakati wa athari. Kisha tunayo masharti mengine ya awali:

ufumbuzi wetu inaonekana kama

Kasi ya mzigo itabadilika kulingana na sheria:

Hebu tubadilishe hapa:

Harakati ambazo zina viwango tofauti vya kurudia huitwa kushuka kwa thamani.

Ikiwa maadili ya idadi ya mwili ambayo hubadilika wakati wa harakati yanarudiwa kwa vipindi sawa vya wakati, basi harakati kama hiyo inaitwa. mara kwa mara. Kulingana na hali ya mwili ya mchakato wa oscillatory, oscillations ya mitambo na sumakuumeme hutofautishwa. Kulingana na njia ya msisimko, vibrations imegawanywa katika: bure(yenyewe), ikitokea katika mfumo uliowasilishwa yenyewe karibu na nafasi ya usawa baada ya athari fulani ya awali; kulazimishwa- kutokea chini ya ushawishi wa nje wa mara kwa mara.

Masharti ya tukio la oscillations ya bure: a) wakati mwili unapoondolewa kwenye nafasi ya usawa, nguvu lazima itokee katika mfumo, ikielekea kurudi kwenye nafasi ya usawa; b) nguvu za msuguano katika mfumo lazima ziwe ndogo vya kutosha.

A amplitude A ni moduli ya kupotoka kwa upeo wa hatua ya oscillating kutoka kwa nafasi ya usawa.

Oscillations ya hatua ambayo hutokea kwa amplitude ya mara kwa mara huitwa bila kizuizi, na oscillations na amplitude kupungua hatua kwa hatua – kufifia.

Wakati ambapo oscillation kamili hutokea inaitwa kipindi(T).

Mzunguko oscillations mara kwa mara ni idadi ya oscillations kamili kufanywa kwa kitengo cha muda:

Kitengo cha masafa ya vibration - hertz(Hz). Hertz ni mzunguko wa oscillations ambao kipindi chake ni sawa na Sek 1: 1 Hz = 1 s -1.

Mzungukoau mzunguko wa mzunguko oscillations mara kwa mara ni idadi ya oscillations kamili uliofanywa wakati 2p na: . =rad/s.

Harmonic- hizi ni oscillations ambazo zinaelezewa na sheria ya mara kwa mara:

au (1)

ambapo ni kiasi kinachobadilika mara kwa mara (kuhamishwa, kasi, nguvu, nk), A ni amplitude.

Mfumo ambao sheria ya mwendo ina fomu (1) inaitwa oscillator ya harmonic . Hoja ya Sine au cosine kuitwa awamu ya oscillation. Awamu ya oscillation huamua uhamisho kwa wakati t. Awamu ya awali huamua kuhamishwa kwa mwili wakati muda unapoanza.

Fikiria kukabiliana x mwili unaozunguka unaohusiana na nafasi yake ya usawa. Mlinganyo wa mtetemo wa Harmonic:

Derivative ya kwanza ya wakati inatoa usemi wa kasi ya harakati ya mwili: ; (2)

Kasi hufikia thamani yake ya juu kwa wakati ambapo =1: . Uhamisho wa hatua kwa wakati huu ni mapema hadi sifuri = 0 (Mchoro 17.1, b).

Kuongeza kasi pia hubadilika kwa wakati kulingana na sheria ya harmonic:

iko wapi thamani ya juu ya kuongeza kasi. Ishara ya minus ina maana kwamba kuongeza kasi inaelekezwa kwa mwelekeo kinyume na uhamisho, i.e. kuongeza kasi na mabadiliko ya uhamisho katika antiphase (Mchoro 17.1 V) Inaweza kuonekana kuwa kasi hufikia thamani yake ya juu wakati hatua ya oscillating inapita nafasi ya usawa. Kwa wakati huu uhamishaji na kuongeza kasi ni sifuri.

1.18. Mtetemo WA HARMONIC NA TABIA ZAKE

Ufafanuzi wa vibrations harmonic. Tabia za oscillations ya harmonic: kuhama kutoka kwa nafasi ya usawa, amplitude ya oscillations, awamu ya oscillation, mzunguko na kipindi cha oscillations. Kasi na kuongeza kasi ya hatua ya oscillating. Nishati ya oscillator ya harmonic. Mifano ya oscillators ya harmonic: hisabati, spring, torsional na kimwili Pendulum za Kichina.

Acoustics, uhandisi wa redio, optics na matawi mengine ya sayansi na teknolojia ni msingi wa utafiti wa oscillations na mawimbi. Nadharia ya vibrations ina jukumu muhimu katika mechanics, hasa katika mahesabu ya nguvu ya ndege, madaraja, na aina fulani za mashine na vipengele.

Oscillations ni michakato ambayo hurudia kwa vipindi vya kawaida (na sio michakato yote ya kurudia ni oscillations!). Kulingana na hali ya kimwili ya mchakato wa kurudia, vibrations hutofautishwa kati ya mitambo, umeme, electromechanical, nk. Wakati wa vibrations za mitambo, nafasi na kuratibu za miili hubadilika mara kwa mara.

kurejesha nguvu - nguvu chini ya ushawishi ambao mchakato wa oscillatory hutokea. Nguvu hii inaelekea kurudisha mwili au sehemu ya nyenzo, ikitoka kwenye nafasi yake ya kupumzika, hadi nafasi yake ya asili.

Kulingana na hali ya athari kwenye mwili unaozunguka, tofauti hufanywa kati ya mitikisiko ya bure (au ya asili) na mitetemo ya kulazimishwa.

Kulingana na asili ya athari kwenye mfumo wa oscillating, oscillations ya bure, oscillations ya kulazimishwa, oscillations binafsi na oscillations parametric wanajulikana.

Bure (mwenyewe) oscillations ni wale oscillations ambayo hutokea katika mfumo wa kushoto kwa yenyewe baada ya kupewa kushinikiza, au imeondolewa kwenye nafasi ya usawa, i.e. wakati tu nguvu ya kurejesha inafanya kazi kwenye mwili unaozunguka Mfano ni oscillation ya mpira iliyosimamishwa kwenye thread. Ili kusababisha vibrations, lazima ama kusukuma mpira au, kusonga kwa upande, kutolewa. Katika tukio ambalo hakuna uharibifu wa nishati hutokea, oscillations ya bure ni undamped. Hata hivyo, taratibu halisi za oscillatory zinapungua, kwa sababu mwili unaozunguka unakabiliwa na nguvu za kupinga mwendo (hasa nguvu za msuguano).

· Kulazimishwa huitwa oscillations vile, wakati ambapo mfumo wa oscillating ni wazi kwa nguvu ya nje mara kwa mara kubadilisha (kwa mfano, oscillations ya daraja ambayo hutokea wakati watu kutembea pamoja nayo, kutembea kwa hatua). Katika hali nyingi, mifumo hupitia oscillations ambayo inaweza kuzingatiwa kuwa ya usawa.

· Kujifanya oscillations , kama oscillations ya kulazimishwa, yanaambatana na ushawishi wa nguvu za nje kwenye mfumo wa oscillating, hata hivyo, wakati wa wakati ambapo athari hizi hutokea huwekwa na mfumo wa oscillating yenyewe. Hiyo ni, mfumo yenyewe unadhibiti mvuto wa nje. Mfano wa mfumo wa kujizunguka ni saa ambayo pendulum hupokea mshtuko kutokana na nishati ya uzito ulioinuliwa au chemchemi iliyopotoka, na mishtuko hii hutokea wakati pendulum inapita katikati.

· Parametric oscillations hutokea wakati vigezo vya mfumo wa oscillating mabadiliko ya mara kwa mara (mtu swing juu ya swing mara kwa mara huinua na kupunguza kituo chake cha mvuto, na hivyo kubadilisha vigezo vya mfumo). Chini ya hali fulani, mfumo unakuwa imara - kupotoka kwa random kutoka kwa nafasi ya usawa husababisha kuibuka na kuongezeka kwa oscillations. Jambo hili linaitwa msisimko wa parametric wa oscillations (yaani, oscillations ni msisimko kwa kubadilisha vigezo vya mfumo), na oscillations wenyewe huitwa parametric.

Licha ya asili yao tofauti ya kimwili, vibrations ni sifa ya mifumo sawa, ambayo inasomwa na mbinu za jumla. Tabia muhimu ya kinematic ni sura ya vibrations. Imedhamiriwa na aina ya kazi ya wakati ambayo inaelezea mabadiliko katika moja au nyingine ya wingi wa kimwili wakati wa oscillations. Mabadiliko muhimu zaidi ni yale ambayo kiasi kinachobadilika hubadilika kwa wakati. kwa mujibu wa sheria ya sine au cosine . Wanaitwa harmonic .

Mitetemo ya Harmonic huitwa oscillations ambayo oscillating kimwili wingi mabadiliko kulingana na sheria ya sine (au cosine).

Aina hii ya oscillation ni muhimu hasa kwa sababu zifuatazo. Kwanza, mitetemo katika asili na teknolojia mara nyingi huwa na tabia karibu sana na harmonic. Pili, michakato ya mara kwa mara ya fomu tofauti (iliyo na utegemezi tofauti wa wakati) inaweza kuwakilishwa kama nafasi ya juu, au nafasi ya juu, ya oscillations ya harmonic.

Mlinganyo wa Oscillator wa Harmonic

Oscillation ya Harmonic inaelezewa na sheria ya mara kwa mara:

Mchele. 18.1. Oscillation ya Harmonic

Z

hapa
- sifa mabadiliko kiasi chochote cha kimwili wakati wa oscillations (kuhamishwa kwa nafasi ya pendulum kutoka nafasi ya usawa; voltage kwenye capacitor katika mzunguko wa oscillatory, nk), A - amplitude ya vibration ,
- awamu ya oscillation , - awamu ya awali ,
- mzunguko wa mzunguko ; ukubwa
pia inaitwa mwenyewe mzunguko wa vibration. Jina hili linasisitiza kwamba mzunguko huu umewekwa na vigezo vya mfumo wa oscillatory. Mfumo ambao sheria ya mwendo ina fomu (18.1) inaitwa oscillator moja ya mwelekeo wa harmonic . Mbali na idadi iliyoorodheshwa, dhana za kipindi , i.e. wakati wa oscillation moja.

(Kipindi cha oscillation T ni muda mfupi zaidi baada ya hapo majimbo ya mfumo wa oscillating hurudiwa (oscillation moja kamili imekamilika) na awamu ya oscillation inapata ongezeko la 2p).

Na masafa
, ambayo huamua idadi ya oscillations kwa muda wa kitengo. Kitengo cha mzunguko ni mzunguko wa oscillation vile, kipindi ambacho ni 1 s. Kitengo hiki kinaitwa hertz (Hz ).

Mzunguko wa oscillationn ni mshikamano wa kipindi cha oscillation - idadi ya oscillations kamili iliyofanywa kwa muda wa kitengo.

Amplitude- thamani ya juu ya uhamisho au mabadiliko katika kutofautiana wakati wa mwendo wa oscillatory au wimbi.

Awamu ya oscillation- hoja ya kazi ya mara kwa mara au moja inayoelezea mchakato wa oscillatory wa harmonic (ω - mzunguko wa angular, t- wakati, - awamu ya awali ya oscillations, yaani, awamu ya oscillations wakati wa awali wa wakati t = 0).

Viingilio vya mara ya kwanza na ya pili ya idadi inayozunguka kwa usawa pia hufanya oscillations ya masafa sawa:

Katika kesi hii, equation ya oscillations ya harmonic iliyoandikwa kulingana na sheria ya cosine inachukuliwa kama msingi. Katika kesi hii, ya kwanza ya equations (18.2) inaelezea sheria kulingana na ambayo kasi ya hatua ya oscillating nyenzo (mwili) inabadilika, equation ya pili inaelezea sheria kulingana na ambayo kuongeza kasi ya hatua ya oscillating (mwili) inabadilika.

Amplitudes
Na
ni sawa kwa mtiririko huo
Na
. Kusitasita
mbele
kwa awamu kwa; na kusitasita
mbele
juu . Maadili A Na inaweza kuamua kutoka kwa masharti ya awali
Na
:

,
. (18.3)

Nishati ya oscillator oscillations

P

Mchele.

18.2. Pendulum ya spring Hebu sasa tuone nini kitatokea . nishati ya vibration Kama mfano wa oscillations harmonic, fikiria oscillation moja-dimensional kufanywa na mwili wa molekuli. m Chini ya ushawishi elastic
nguvu (kwa mfano, pendulum ya spring, ona Mchoro 18.2). Nguvu za asili tofauti kuliko elastic, lakini ambayo hali F = -kx imeridhika, inaitwa quasi-elastiki.

Chini ya ushawishi wa nguvu hizi, miili pia hufanya vibrations za harmonic. Wacha iwe:
upendeleo:
kasi:

kuongeza kasi:
Wale. equation ya oscillations vile ina fomu (18.1) na mzunguko wa asili . Nguvu ya quasi-elastic ni . kihafidhina Kwa hiyo, nishati ya jumla ya oscillations vile harmonic lazima kubaki mara kwa mara. Wakati wa mchakato wa oscillations, nishati ya kinetic inabadilishwa E Kwa Kwa hiyo, nishati ya jumla ya oscillations vile harmonic lazima kubaki mara kwa mara. Wakati wa mchakato wa oscillations, nishati ya kinetic inabadilishwa katika uwezo P

na kinyume chake, na wakati wa kupotoka zaidi kutoka kwa nafasi ya usawa, jumla ya nishati ni sawa na thamani ya juu ya nishati inayoweza kutokea, na wakati mfumo unapita kwenye nafasi ya usawa, jumla ya nishati ni sawa na thamani ya juu. nishati ya kinetic. Wacha tujue jinsi nishati ya kinetic na inayowezekana inabadilika kwa wakati:

Nishati ya Kinetic:

(18.5)

Nishati inayowezekana:

Kwa hivyo, nishati ya jumla ya oscillation ya harmonic inageuka kuwa mara kwa mara. Kutoka kwa mahusiano (18.4) na (18.5) pia inafuata kwamba maadili ya wastani ya nishati ya kinetic na uwezo ni sawa na kila mmoja na nusu ya jumla ya nishati, kwani maadili ya wastani.
Na
kwa kila kipindi ni sawa na 0.5. Kwa kutumia fomula za trigonometriki, tunaweza kupata mabadiliko hayo ya nishati ya kinetiki na yanayoweza kutokea kwa mzunguko
, i.e. na mzunguko mara mbili ya mzunguko wa vibration ya harmonic.

Mifano ya oscillator ya harmonic ni pamoja na pendulum za spring, pendulum za kimwili, pendulum za hisabati, na pendulum za torsion.

1. Pendulum ya spring- hii ni mzigo wa molekuli m, ambayo imesimamishwa kwenye chemchemi ya elastic kabisa na hufanya oscillations ya harmonic chini ya hatua ya nguvu ya elastic F = -kx, ambapo k ni ugumu wa spring. Equation ya mwendo wa pendulum ina fomu au (18.8) Kutoka kwa formula (18.8) inafuata kwamba pendulum ya spring hufanya oscillations ya harmonic kulingana na sheria x = Асos (ω 0 t + φ) na mzunguko wa mzunguko.

(18.9) na kipindi

(18.10) Mfumo (18.10) ni kweli kwa mitetemo ya elastic ndani ya mipaka ambayo sheria ya Hooke imeridhika, yaani, ikiwa uzito wa chemchemi ni mdogo ikilinganishwa na wingi wa mwili. Nishati inayowezekana ya pendulum ya chemchemi, kwa kutumia (18.9) na fomula inayoweza kutokea ya sehemu iliyotangulia, ni sawa na (ona 18.5)

2. Pendulum ya kimwili ni mwili imara unaozunguka chini ya ushawishi wa mvuto karibu na mhimili uliowekwa wa usawa unaopita kupitia hatua O, ambayo hailingani na katikati ya molekuli C ya mwili (Mchoro 1).

Kielelezo 18.3 Pendulum ya kimwili

Ikiwa pendulum imegeuzwa kutoka kwa nafasi ya usawa kwa pembe fulani α, basi, kwa kutumia equation ya mienendo ya mwendo wa mzunguko wa mwili mgumu, wakati M wa nguvu ya kurejesha (18.11) ambapo J ni wakati wa hali ya hewa. pendulum inayohusiana na mhimili unaopitia hatua ya kusimamishwa O, l ni umbali kati ya mhimili na katikati ya wingi wa pendulum, F τ ≈ -mgsinα ≈ -mgα ni nguvu ya kurejesha (ishara ya minus inaonyesha kwamba maelekezo ya F τ na α daima ni kinyume; sinα ≈ α kwa kuwa oscillations ya pendulum inachukuliwa kuwa ndogo, yaani, pendulum inapotoshwa kutoka kwa nafasi ya usawa na pembe ndogo). Tunaandika equation (18.11) kama

Au Kuchukua (18.12) tunapata equation

Sawa na (18.8), suluhisho ambalo litapatikana na kuandikwa kama:

(18.13) Kutoka kwa formula (18.13) inafuata kwamba kwa oscillations ndogo pendulum kimwili hufanya oscillations harmonic na mzunguko wa mzunguko ω 0 na kipindi

(18.14) ambapo thamani L=J/(m l)-. Uhakika O" juu ya muendelezo wa mstari wa moja kwa moja wa OS, ambayo iko katika umbali wa urefu uliopewa L kutoka kwa hatua O ya kusimamishwa kwa pendulum, inaitwa. kituo cha swing pendulum ya kimwili (Mchoro 18.3). Kutumia nadharia ya Steiner kwa wakati wa hali ya mhimili, tunapata

Hiyo ni, OO" daima ni kubwa kuliko OS. Sehemu ya kusimamishwa O ya pendulum na katikati ya swing O" ina mali ya kubadilishana: ikiwa hatua ya kusimamishwa imehamishwa katikati ya swing, basi hatua ya awali ya kusimamishwa O itakuwa kituo kipya cha swing, na kipindi cha oscillation ya pendulum ya kimwili haitabadilika.

3. Pendulum ya hisabati ni mfumo ulioboreshwa unaojumuisha sehemu ya nyenzo ya m misa, ambayo imesimamishwa kwenye uzi usio na uzito usio na uzani, na ambao huzunguka chini ya ushawishi wa mvuto. Ukadiriaji mzuri wa pendulum ya hisabati ni mpira mdogo mzito ambao umesimamishwa kwenye uzi mwembamba mrefu. Wakati wa hali ya pendulum ya hisabati

(8) wapi l- urefu wa pendulum.

Kwa kuwa pendulum ya hisabati ni kesi maalum ya pendulum ya kimwili, ikiwa tunadhani kwamba misa yake yote imejilimbikizia wakati mmoja - katikati ya misa, basi, kwa kubadilisha (8) ndani ya (7), tunapata usemi wa kipindi hicho. ya oscillations ndogo ya pendulum ya hisabati (18.15) Kulinganisha fomula (18.13 ) na (18.15), tunaona kwamba ikiwa urefu uliopunguzwa L wa pendulum ya kimwili ni sawa na urefu. l pendulum ya hisabati, basi vipindi vya oscillation ya pendulum hizi ni sawa. Ina maana, urefu uliopunguzwa wa pendulum ya kimwili- hii ni urefu wa pendulum ya hisabati ambayo kipindi cha oscillation kinafanana na kipindi cha oscillation ya pendulum ya kimwili iliyotolewa. Kwa pendulum ya hisabati (hatua ya nyenzo yenye wingi Kama mfano wa oscillations harmonic, fikiria oscillation moja-dimensional kufanywa na mwili wa molekuli., imesimamishwa kwenye uzi usio na uzito usio na urefu wa urefu l katika uwanja wa mvuto na kuongeza kasi ya kuanguka bure sawa na g) kwa pembe ndogo za kupotoka (usiozidi digrii 5-10 za angular) kutoka kwa nafasi ya usawa, mzunguko wa asili wa oscillations:
.

4. Mwili uliosimamishwa kwenye thread ya elastic au kipengele kingine cha elastic, kinachozunguka katika ndege ya usawa, ni. pendulum ya torsional.

Huu ni mfumo wa oscillatory wa mitambo ambayo hutumia nguvu za deformation ya elastic. Katika Mtini. Kielelezo 18.4 kinaonyesha analog ya angular ya oscillator ya harmonic ya mstari inayofanya oscillations ya torsional. Diski iliyoko kwa usawa hutegemea uzi wa elastic uliowekwa katikati ya misa. Wakati diski inazungushwa kupitia pembe θ, wakati wa nguvu hutokea M Udhibiti wa deformation ya elastic torsional:

Wapi I = IC ni wakati wa inertia ya diski kuhusiana na mhimili, kupita katikati ya wingi, ε ni kuongeza kasi ya angular.

Kwa mlinganisho na mzigo kwenye chemchemi, unaweza kupata.

Maelezo ya jumla kuhusu vibrations

Sura ya 6 Mwendo wa oscillatory

Oscillations michakato ambayo hutofautiana katika viwango tofauti vya kurudiwa huitwa michakato.

Sifa hii ya kurudia inamilikiwa, kwa mfano, kwa swinging ya pendulum ya saa, vibrations ya kamba au miguu ya uma tuning, voltage kati ya sahani ya capacitor katika mzunguko wa redio mpokeaji, nk.

Kulingana na hali ya kimwili ya mchakato wa kurudia, vibrations zinajulikana:

- mitambo;

- sumakuumeme;

- electromechanical, nk.

Kulingana na asili ya athari kwenye mfumo wa oscillating, zifuatazo zinajulikana:

- bure (au kumiliki);

- kulazimishwa;

- oscillations binafsi;

- oscillations ya parametric.

Bure au mwenyewe huitwa oscillations vile hutokea katika mfumo ulioachwa yenyewe baada ya kupewa msukumo au kutolewa nje ya nafasi yake ya usawa. Mfano ni oscillation ya mpira kusimamishwa kwenye thread (pendulum).

Kulazimishwa huitwa oscillations vile, wakati ambapo mfumo wa oscillating unakabiliwa na nguvu ya nje ya kubadilisha mara kwa mara.

Kujifanya oscillations hufuatana na ushawishi wa nguvu za nje kwenye mfumo wa oscillating, hata hivyo, wakati wa wakati ambapo mvuto huu unafanywa umewekwa na mfumo wa oscillating yenyewe - mfumo yenyewe unadhibiti ushawishi wa nje. Mfano wa mfumo wa kujizunguka ni saa ambayo pendulum hupokea mshtuko kutokana na nishati ya uzito ulioinuliwa au chemchemi iliyopotoka, na mishtuko hii hutokea wakati pendulum inapita katikati.

Katika parametric Katika oscillations, kutokana na mvuto wa nje, mabadiliko ya mara kwa mara katika baadhi ya parameter ya mfumo hutokea, kwa mfano, urefu wa thread ya pendulum.

Rahisi zaidi ni vibrations za harmonic, yaani, mizunguko kama hiyo ambapo kiasi cha oscillating (kwa mfano, mchepuko wa pendulum) hubadilika kwa wakati kulingana na sheria ya sine au cosine.

Muhimu zaidi kati ya harakati za oscillatory ni kinachojulikana rahisi au harmonic oscillatory harakati.

Hali ya harakati hiyo inafunuliwa vyema kwa kutumia mfano wa kinematic unaofuata. Hebu tuchukue kwamba hatua ya kijiometri M huzunguka kwa usawa kuzunguka mduara wa radius a na kasi ya angular mara kwa mara (Mchoro 6.1). Makadirio yake N kwa kipenyo, kwa mfano kwa ekseli X, itafanya harakati ya oscillatory kutoka nafasi kali hadi nafasi nyingine kali na nyuma. Oscillation kama hiyo ya uhakika N inayoitwa vibration rahisi au harmonic.

Ili kuielezea, unahitaji kupata kuratibu x pointi N kama kazi ya wakati t. Wacha tuchukue kwamba wakati wa mwanzo wa wakati radius OM iliundwa na mhimili X kona. Baada ya muda t, pembe hii itaongezeka na kuwa sawa. Kutoka Mtini. 6.1. ni wazi kwamba

. (6.1)

Fomula hii inaelezea kwa uchanganuzi mwendo wa oscillatory wa usawa wa uhakika N kando ya kipenyo.

Ukubwa a inatoa kupotoka kwa upeo wa hatua ya oscillating kutoka kwa nafasi ya usawa. Inaitwa amplitude kushuka kwa thamani. Thamani 0 inaitwa mzunguko wa mzunguko. Kiasi kinaitwa awamu oscillations, na thamani yake katika , yaani ukubwa - msingi awamu. Baada ya muda kupita

awamu inapata ongezeko, na hatua ya oscillating inarudi kwenye nafasi yake ya awali wakati wa kudumisha mwelekeo wa awali wa harakati. Wakati T kinachoitwa kipindi cha oscillation.

Kasi ya hatua ya oscillating inaweza kupatikana kwa kutofautisha usemi (6.1) kwa heshima na wakati. Hii inatoa

Kutofautisha mara ya pili, tunapata kuongeza kasi

au, kwa kutumia (6.1),

Nguvu inayofanya kazi kwenye sehemu ya nyenzo wakati wa mtetemo wa harmonic ni sawa na

. (6.6)

Ni sawia na mkengeuko x na ina mwelekeo kinyume. Daima huelekezwa kwenye nafasi ya usawa.

Wacha tuzingatie oscillations ya usawa ya mzigo kwenye chemchemi, ambayo mwisho wake umewekwa, na mwili wa misa umesimamishwa kutoka kwa mwingine. Kama mfano wa oscillations harmonic, fikiria oscillation moja-dimensional kufanywa na mwili wa molekuli.(Mchoro 6.2). Wacha iwe urefu wa chemchemi isiyobadilika. Ikiwa chemchemi imeinuliwa au kukandamizwa kwa urefu l, basi nguvu hutokea F, kutafuta kurudisha mwili kwenye nafasi ya usawa. Kwa kunyoosha ndogo ni halali Sheria ya Hooke– nguvu ni sawia na kunyoosha ya spring:. Chini ya hali hizi, equation ya mwendo wa mwili ina fomu

Mara kwa mara k kuitwa mgawo elasticity au ugumu wa spring. ishara minus ina maana kwamba nguvu F kuelekezwa katika mwelekeo kinyume na uhamishaji x, yaani kwa nafasi ya usawa.

Wakati wa kupata equation (6.7), ilichukuliwa kuwa hakuna nguvu zingine zinazofanya kazi kwenye mwili. Hebu tuonyeshe kwamba mlinganyo huo huo unasimamia mwendo wa mwili uliosimamishwa kwenye chemchemi katika uwanja wa mvuto unaofanana. Katika kesi hii tunaashiria kwa barua X elongation ya spring, yaani tofauti. Chemchemi huchota mzigo juu kwa nguvu, na nguvu ya mvuto huivuta chini. Mlinganyo wa mwendo una fomu

Acha kuashiria urefu wa chemchemi katika nafasi ya usawa. Kisha . Ukiondoa uzito, tunapata . Tunatumia nukuu , kisha equation ya mwendo itachukua fomu sawa (6.7). Thamani x bado inamaanisha uhamishaji wa mzigo kutoka kwa nafasi ya usawa. Hata hivyo, nafasi ya usawa hubadilika chini ya ushawishi wa mvuto. Kwa kuongeza, mbele ya mvuto, maana ya wingi hubadilika. Sasa ina maana matokeo ya nguvu za mvutano wa spring na uzito wa mzigo. Lakini yote haya hayaathiri upande wa hisabati wa mchakato. Kwa hiyo, mtu anaweza kusababu kana kwamba hakuna mvuto hata kidogo. Hiyo ndiyo tutafanya.

Nguvu inayotokana ina fomu sawa na nguvu katika kujieleza (6.6). Ikiwa tutaweka , basi equation (6.7) inakuwa

. (6.8)

Mlinganyo huu unaambatana na mlinganyo (6.5). Kazi (6.1) ni suluhisho la equation kama hiyo kwa maadili yoyote ya viunga a na a. Hili ndilo suluhisho la jumla. Kutoka hapo juu inafuata kwamba mzigo kwenye chemchemi utafanya oscillations ya harmonic na mzunguko wa mviringo

na kipindi

. (6.10)

Oscillations ilivyoelezwa na equation (6.8) ni bure(au mwenyewe).

Uwezo na nguvu za kinetic za mwili hutolewa na misemo

. (6.11)

Kila mmoja wao hubadilika kwa wakati. Walakini, jumla yao Kwa hiyo, nishati ya jumla ya oscillations vile harmonic lazima kubaki mara kwa mara. Wakati wa mchakato wa oscillations, nishati ya kinetic inabadilishwa lazima ibaki thabiti kwa wakati:

(6.12)

Kila kitu kilichoelezwa hapa kinatumika kwa mitetemo ya harmonic ya mifumo yoyote ya mitambo yenye kiwango kimoja cha uhuru. Msimamo wa papo hapo wa mfumo wa mitambo na kiwango kimoja cha uhuru unaweza kuamua kwa kutumia kiasi chochote q, inayoitwa uratibu wa jumla, kwa mfano, angle ya mzunguko, uhamisho kwenye mstari fulani, nk. Derivative ya kuratibu ya jumla kwa heshima na wakati inaitwa kasi ya jumla. Wakati wa kuzingatia oscillations ya mifumo ya mitambo na kiwango kimoja cha uhuru, ni rahisi zaidi kuchukua kama ya awali sio equation ya Newton ya mwendo, lakini equation ya nishati. Wacha tufikirie kuwa mfumo wa mitambo ni kwamba uwezo wake na nguvu za kinetic zinaonyeshwa na fomula za fomu.

, (6.14)

ambapo d na b ni vipengele vyema (vigezo vya mfumo). Kisha sheria ya uhifadhi wa nishati inaongoza kwa equation

. (6.15)

Inatofautiana na equation (6.12) tu katika nukuu, ambayo haijalishi inazingatiwa kihisabati. Kutoka kwa utambulisho wa hisabati wa equations (6.12) na (6.15) inafuata kwamba ufumbuzi wao wa jumla ni sawa. Kwa hiyo, ikiwa equation ya nishati imepunguzwa kwa fomu (6.15), basi

, (6.16)

yaani uratibu wa jumla q hufanya oscillation ya harmonic na mzunguko wa mviringo