Somo "Jinsi ya kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(kx), ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) inajulikana." Mabadiliko ya Grafu

Nyenzo zilizowasilishwa kwenye somo la video ni mwendelezo wa mada ya kuunda grafu za kazi kwa kutumia mabadiliko anuwai. Tutaangalia jinsi grafu ya kazi inavyopangwa y=f(kx), ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa inajulikana y=f(x) . KATIKA kwa kesi hii k- yoyote nambari halisi, si sawa na sifuri.

Hebu kwanza fikiria kesi wakati k- nambari chanya. Kwa mfano, hebu tujenge grafu ya chaguo la kukokotoa y=f(3 x) , ikiwa ni grafu ya kitendakazi y=f(X) tuna. Takwimu inaonyesha grafu kwenye mhimili wa kuratibu y=f(X), ambayo kuna pointi na kuratibu A na B. Kuchagua maadili ya kiholela X na kuzibadilisha katika utendaji y=f(3 x), pata maadili yanayolingana ya kazi katika. Kwa hivyo, tunapata alama za grafu za kazi y=f(3 x) A 1 na B 1, ambao waratibu wao ni sawa na wale wa pointi A na B. Hiyo ni, tunaweza kusema kwamba kutoka kwa grafu ya kazi. y=f(x) kwa kukandamiza na mgawo k kwa mhimili wa kuratibu unaweza kupata grafu ya chaguo la kukokotoa y=f(kx) . Ni muhimu kutambua kwamba pointi za makutano na mhimili wa kuratibu wakati wa ukandamizaji hubakia mahali sawa.

Iwapo k- nambari hasi, grafu ya kazi y=f(kx) imebadilishwa kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwa kunyoosha kutoka kwa mhimili wa y kwa mgawo 1/ k.

1) kwanza, sehemu ya wimbi la grafu ya kazi imepangwa y =dhambiX(tazama picha);

2) kwa sababu k= 2, grafu ya kazi imebanwa y=sinx kwa mhimili wa kuratibu, uwiano wa compression ni 2. Pata hatua ya makutano na mhimili x. Kwa sababu grafu ya kipengele y =dhambiX hukatiza mhimili wa x katika hatua π, kisha grafu ya chaguo za kukokotoa y =dhambi 2X hukatiza mhimili wa x kwenye hatua π/k = π/2 Pointi zingine zote kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa zinapatikana kwa njia sawa y =dhambi 2x na grafu nzima imejengwa kutoka kwa vidokezo hivi.

Hebu fikiria mfano wa 2 - kupanga kazi y =cos(x/2).

1) jenga sehemu ya grafu ya wimbi la kazi y = cos X(tazama picha);

2) kwa sababu k=1/2, nyosha grafu ya chaguo la kukokotoa y =dhambiX kutoka kwa mhimili wa kuratibu wenye kipengele cha ½.

Pata hatua ya makutano ya grafu na mhimili X. Kwa sababu grafu ya kipengele y =cosX hukatiza mhimili wa x kwenye hatua π/2, kisha grafu ya chaguo za kukokotoa y =cos(x/2) hukatiza mhimili wa x katika hatua π. Kwa njia hiyo hiyo tunapata vidokezo vingine vyote vya grafu ya kazi y =cos(x/2), wacha tujenge grafu nzima kulingana na vidokezo hivi.

Ifuatayo, fikiria chaguo la kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa y= f(kx), Wapi k- nambari ni hasi. Kwa mfano, lini k= -1 kazi y= f(kx) = f(- x). Mchoro unaonyesha grafu y=f(X), ambayo kuna alama zilizo na viwianishi A na B. Kwa kuchagua maadili ya kiholela ya x na kuzibadilisha kwenye chaguo la kukokotoa. y= f(- x), pata maadili ya kazi yanayolingana katika. Wacha tupate alama za grafu za kazi y= f(- x) A 1 na B 1, ambayo itakuwa linganifu kwa pointi A na B zinazohusiana na mhimili wa kuratibu. Hiyo ni, wakati wa kutumia ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu kutoka kwa grafu ya kazi y=f(kx) tunapata grafu ya kazi y=f(- x).

Wacha tuendelee kupanga kazi y= f(kx) kwa k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) wacha tupange sehemu ya wimbi la grafu y =dhambiX;

2) kwa sababu k= 4, hebu tunyooshe nusu ya wimbi la grafu kuhusiana na mhimili wa abscissa, ambapo sababu ya kunyoosha ni 4;

3) fanya mabadiliko ya ulinganifu kuhusiana na mhimili wa abscissa;

4) kunyoosha kutoka kwa mhimili wa kuratibu (mgawo wa kunyoosha ni 2);

5) kukamilisha ujenzi wa grafu nzima.

Katika somo hili la video tuliangalia kwa undani jinsi unavyoweza kuunda grafu ya kazi hatua kwa hatua y=f(kx) kwa maadili tofauti k.

KUSUMBUA MAANDIKO:

Leo tutafahamiana na mabadiliko ambayo yatakusaidia kujifunza jinsi ya kuchora kazi y = f (kx)

(y ni sawa na eff ya hoja inayowakilisha bidhaa ya ka na x), ikiwa grafu ya fomula y = f (x) inajulikana (y ni sawa na ef ya x), ambapo ka nambari yoyote halisi (isipokuwa sifuri)."

1) Fikiria kesi wakati k ni nambari nzuri kwa kutumia mfano maalum, wakati k = 3. Hiyo ni, unahitaji kupanga kazi.

y = f (3x) (y ni sawa na eff ya tatu x), ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa y = f (x) inajulikana. Hebu kuwe na uhakika A kwenye grafu ya kazi y = f (x) na kuratibu (6; 5) na B na kuratibu (-3; 2). Hii ina maana kwamba f (6) = 5 na f (- 3) = 2 (ef ya sita ni tano na ef ya minus tatu ni mbili). Wacha tufuate harakati za vidokezo hivi wakati wa kuunda grafu ya kazi y = f (3x).

Hebu tuchukue thamani ya kiholela x = 2, tuhesabu y kwa kubadilisha thamani ya x kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (3x), tunapata hiyo y = 5. (kwenye skrini: y = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) Hiyo ni, kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa y = f (3x) kuna nukta iliyo na viwianishi vya A 1 (2; 5). Ikiwa x = - 1, kisha kubadilisha thamani ya x kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (3x), tunapata thamani y = 2.

(Kwenye skrini: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Hiyo ni, kwenye grafu ya kazi y = f (3x) kuna uhakika na kuratibu B 1 (- 1; 2). Kwa hiyo, kwenye grafu ya kazi y = f (3x) kuna pointi zilizo na kuratibu sawa na kwenye grafu ya kazi y = f (x), wakati abscissa ya uhakika ni mara mbili ndogo kwa thamani kamili.

Vile vile itakuwa kweli kwa pointi nyingine kwenye grafu ya kazi y = f (x), tunapoendelea kwenye grafu ya kazi y = f (3x).

Kawaida, mabadiliko kama haya huitwa compression kwa mhimili y (y-axis) na sababu ya 3.

Kwa hivyo, grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (kx) hupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x) kwa kuibana kwenye mhimili wa y na mgawo k. Kumbuka kwamba kwa mabadiliko hayo, hatua ya makutano ya grafu ya kazi y = f (x) na kuratibu inabaki mahali.

Ikiwa k ni chini ya moja, basi hatuzungumzii juu ya ukandamizaji na mgawo wa k, lakini juu ya kunyoosha kutoka kwa mhimili wa y na mgawo (hiyo ni, ikiwa k = , basi tunazungumza juu ya kunyoosha na mgawo wa 4. )

MFANO 1. Tengeneza grafu ya kitendakazi y = dhambi 2x (y ni sawa na sine ya mbili x).

Suluhisho. Kwanza, hebu tuunde nusu-wimbi la grafu y = sin x katika muda kutoka sifuri hadi pi. Kwa kuwa mgawo ni sawa na mbili, ambayo ina maana k ni nambari nzuri zaidi kuliko moja, tutapunguza grafu ya kazi y = sin x kwa mhimili wa kuratibu na mgawo wa 2. Tafuta hatua ya makutano na mhimili wa OX. . Ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = sin x inakatiza mhimili wa OX kwenye hatua π, basi grafu ya chaguo za kukokotoa y = sin 2x itapita katikati (π: k =π: 2 =) (pi iliyogawanywa na pi ni sawa. pi iliyogawanywa na mbili sawa na pi kwa mbili) . Vivyo hivyo, tutapata vidokezo vingine vyote vya grafu ya kazi y = sin2 x. Kwa hivyo, hatua kwenye grafu ya kazi y = dhambi x na kuratibu (;1) itafanana na hatua kwenye grafu ya kazi y = dhambi 2x na kuratibu (;1). Kwa hivyo, tunapata nusu ya wimbi la grafu ya kazi y = dhambi 2x. Kwa kutumia upimaji wa kazi, tutaunda grafu nzima.

MFANO 2. Tengeneza grafu ya kazi y = cos (y ni sawa na cosine ya mgawo wa x na mbili).

Suluhisho. Kwanza, hebu tuunde nusu-wimbi la grafu y = cos x. Kwa kuwa k ni nambari chanya chini ya umoja wa e, tutanyoosha grafu ya chaguo za kukokotoa y = cos x kutoka kwa kuratibu kwa kipengele cha 2.

Wacha tupate mahali pa makutano na mhimili wa OX. Ikiwa grafu ya kazi y = cos x inaingiliana na mhimili wa OX kwa uhakika, basi grafu ya kazi y = cos itapita kwenye hatua π. (: k =π: = π). Kwa njia sawa, tutapata pointi nyingine zote kwenye grafu ya kazi y = cos. Kwa hivyo, tunapata nusu ya wimbi la grafu inayotaka ya kazi. Kwa kutumia upimaji wa kazi, tutaunda grafu nzima.

Wacha tuzingatie kesi wakati k ni sawa na minus moja. Hiyo ni, unahitaji kujenga grafu ya kazi y = f (-x) (y ni sawa na eff ya minus x), ikiwa grafu ya kazi y = f (x) inajulikana. Acha kuwe na nukta A kwenye grafu yenye viwianishi (4; 5) na nukta B (-5; 1). Hii ina maana kwamba f(4) = 5 na f(-5) = 1.

Kwa kuwa tunapobadilisha y = f (-x) badala ya x = - 4 kwenye fomula tunapata y = f (4) = 5, kisha kwenye grafu ya kazi y = f (-x) kuna uhakika na kuratibu A1

(- 4; 5) (minus nne, tano). Vile vile, grafu ya kazi y = f (-x) ni ya uhakika B 1 (5; 1) Hiyo ni, grafu ya kazi y = f (x) ni ya pointi A (4; 5) na B). (-5; 1), na grafu kazi y = f (-x) ni ya pointi A 1 (- 4; 5) na B 1 (5; 1). Jozi hizi za pointi zina ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu.

Kwa hivyo, grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (-x) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x) kwa kutumia mabadiliko ya ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu.

3) Na mwishowe, fikiria kesi wakati k ni nambari hasi. Kwa kuzingatia kwamba usawa f (kx) = f (- |k|x) (eff kutoka kwa bidhaa ya ka kwa x ni sawa na eff kutoka kwa bidhaa ya kuondoa moduli ya ka na x) ni sawa, basi. tunazungumzia kuhusu kuunda grafu ya kazi y = f (- |k|x), ambayo inaweza kujengwa hatua kwa hatua:

1) jenga grafu ya kazi y = f (x);

2) weka grafu iliyojengwa kwa mgandamizo au kunyoosha hadi kwenye mhimili wa kuratibu kwa kutumia mgawo |k| (moduli ka);

3) fanya mabadiliko ya ulinganifu kuhusu mhimili wa y

(Y) iliyopatikana katika aya ya pili ya grafu.

MFANO 3. Tengeneza grafu ya kitendakazi y = 4 dhambi (-) (y ni sawa na nne iliyozidishwa na sine ya nukuu minus x kwa mbili).

Suluhisho. Kwanza kabisa, kumbuka kwamba dhambi(- t) = -sint (sine ya minus te ni sawa na minus sine te), ambayo ina maana y = dhambi 4 (-) = - 4 dhambi (y ni sawa na minus mara nne. sine ya sehemu x kwa mbili). Tutaijenga kwa hatua:

1) Wacha tujenge nusu ya wimbi la grafu ya kazi у= sinх.

2) Wacha tunyooshe grafu iliyojengwa kutoka kwa mhimili wa x na sababu ya 4 na tupate nusu ya wimbi la grafu ya kazi.

y = 4sinx (E ni sawa na sine x mara nne).

3) Tumia mabadiliko ya ulinganifu kuhusiana na mhimili wa x(x) kwa nusu-wimbi iliyojengwa ya grafu ya kazi y= 4sinх na upate nusu ya wimbi la grafu ya kazi y= - 4sinx.

4) Kwa nusu ya wimbi la grafu ya kazi y = - 4sinх, tutanyoosha kutoka kwa mhimili wa kuratibu na kipengele cha 2; tunapata nusu ya wimbi la grafu ya kazi - 4 dhambi.

5) Kwa kutumia nusu-wimbi inayosababisha, tutajenga grafu nzima.

>> Jinsi ya kuunda grafu ya kazi y = f (kx), ikiwa grafu ya kazi inajulikana

§13. Jinsi ya kuchora kitendakazi y = f(kx), ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa inajulikana

Katika sehemu hii tutafahamiana na mabadiliko mengine ambayo inaruhusu, kujua ratiba kazi y = f(x), jenga haraka sana grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(Ax), ambapo k ni nambari yoyote halisi (isipokuwa sifuri). Hebu fikiria kesi kadhaa.

Jukumu la 1. Kujua grafu ya kazi y = f (x), jenga grafu ya kazi y - f (kx), ambapo k ni nambari nzuri.
Ili iwe rahisi kwako kuelewa kiini cha jambo hilo, fikiria mfano maalum, wakati k =2. Jinsi ya kuunda grafu ya kazi y = f (2x) ikiwa grafu ya kazi y = f (x) inajulikana?

Acha grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) iwe na pointi (4; 7) na (-2; 3). Hii ina maana kwamba f(4) = 7 na f(-2) = 3. Alama husogea wapi tunapochora kitendakazi y = f(2x)? Angalia (Mchoro 50): ikiwa x = 2, basi y = f (2x) = f (2 2) = f (4) = 7. Hii ina maana kwamba kwenye grafu ya kazi y = f (2x) kuna hatua (2; 7). Zaidi ya hayo, ikiwa x = -1, basi y = f (2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Hii ina maana kwamba kwenye grafu ya kazi y = f (2x) kuna uhakika. (-1; 3). Kwa hivyo, kwenye grafu ya kazi y = f (x) kuna pointi (4; 7) na (-2; 3), na kwenye grafu ya kazi y = f (2x) kuna pointi (2; 7). ) na (- 1; 3) , i.e. pointi na kuratibu sawa.

lakini ndogo mara mbili (kwa thamani kamili) kama abscissa. Vile vile ni sawa na pointi nyingine kwenye grafu ya kazi y = f (x), tunapoendelea kwenye grafu ya kazi y = f (2x) (Mchoro 51). Mabadiliko haya kwa kawaida huitwa mgandamizo kwa mhimili wa y wenye mgawo 1 wa 2.

Kwa ujumla, grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(kx) hupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y-f(x) kwa mgandamizo hadi mhimili wa y na mgawo k. Kumbuka kuwa kwa mabadiliko haya hatua ya makutano ya grafu ya kazi y = f(x) na mhimili y (ikiwa x = 0, basi kx = 0).

Walakini, ikiwa< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Mfano 1. Jenga grafu za utendaji:

Suluhisho: a) Hebu tutengeneze grafu ya nusu-wimbi ya kazi y = dhambi x na kuinyoosha kutoka kwa mhimili wa y na kipengele cha 2; tunapata nusu ya wimbi la grafu inayotaka ya kazi (Mchoro 52). Kisha tutajenga grafu nzima (Mchoro 53).

b) Hebu tutengeneze grafu ya nusu-wimbi ya kazi y = cos x na kuibana kwa mhimili wa y na kipengele cha 2; tunapata nusu ya wimbi la grafu inayotaka ya kazi y = cos 2x (Mchoro 54). Kisha tutajenga grafu nzima (Mchoro 55).

Jukumu la 2. Kujua grafu ya kazi y = f (x), jenga grafu ya kazi y = f (kx), ambapo k = -1. Kwa maneno mengine, tunazungumza juu ya kuunda grafu ya kazi y = f (-x).

Tuseme kwamba kwenye grafu ya kazi y = f (x) kuna pointi (3; 5) na (-6; 1). Hii ina maana kwamba f(3) = 5, na f(-6) = 1. Ipasavyo, kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(-x) kuna nukta (-3; 5), kwani wakati wa kubadilisha katika fomula y = f(-x) thamani = = -3 tunapata y = f(3) = 5. Vile vile, tuna hakika kwamba grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(-x) ni ya uhakika (6; 1). )

Kwa hiyo, hatua (3; 5), mali ya grafu ya kazi y = f (x), inalingana na uhakika (-3; 5), mali ya grafu ya kazi y = f (-x); uhakika (-6; 1), inayomilikiwa na grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x), inalingana na uhakika (6; 1), inayomilikiwa na grafu ya chaguo la kukokotoa y = f(-x). Jozi hizi za pointi zina ulinganifu kuhusu mhimili wa y (Mchoro 56).

Kwa muhtasari wa hoja hizi, tunafikia hitimisho lifuatalo: grafu ya kazi y = f(-x) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa "y = f(x) kwa kutumia mabadiliko ya ulinganifu kuhusu mhimili wa y.

Maoni. Ikiwa tunazungumza juu ya kupanga chaguo za kukokotoa y = f(-x), basi kwa kawaida tunaangalia kwanza ikiwa kazi y = f(x) ni sawa au isiyo ya kawaida. Ikiwa y = f(x) - kazi hata, i.e. f(-x)= f(x), kisha grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(-x) inapatana na grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x). Ikiwa y = f(x) - kazi isiyo ya kawaida, i.e. f(-x) = -f(x), basi badala ya grafu ya kazi y = f(-x), unaweza kutengeneza grafu ya kazi y = -f(x).

Jukumu la 3. Kujua grafu ya kazi y = f (x), jenga grafu ya kazi y = f (kx), ambapo k ni nambari hasi.
Kwa kuwa katika kesi hii usawa f (kx) = f(-\k\x) ni kweli, basi tunazungumzia juu ya kujenga grafu ya kazi y = f(-\k\x). Hii inaweza kufanywa kwa hatua tatu:

1) jenga grafu ya kazi y = f (x);
2) kutekeleza mgandamizo wake (au kunyoosha) kuelekea mhimili wa y na mgawo | kwa |;
3) inaweka grafu iliyobanwa (au iliyonyoshwa) kwa mabadiliko ya ulinganifu kuhusu mhimili wa y.

Mfano 2. Tengeneza grafu ya chaguo za kukokotoa y = -3 cos (~2x).

Suluhisho. Kumbuka kwanza kabisa kwamba cos (-2x) = cos2x.
1) Hebu tujenge grafu ya kazi y = cozx, au kwa usahihi, nusu ya wimbi la grafu (Mchoro 57a. Miundo yote ya awali inaonyeshwa kwa mistari ya dotted).
2) Hebu tunyooshe grafu iliyojengwa kutoka kwa mhimili wa x na kipengele cha 3; tunapata nusu ya wimbi la grafu ya kazi y = 3cos x.
3) Hebu tuweke chini ya wimbi la nusu iliyojengwa ya grafu ya kazi y = 3 cos x kwa mabadiliko ya ulinganifu kuhusu mhimili wa x; tunapata nusu ya wimbi la grafu ya kazi y = -Зсоs x.
4) Kwa nusu ya wimbi la grafu ya kazi y = -3cos x, hebu tuifanye kwa mhimili wa y na mgawo wa 2; tunapata nusu ya wimbi la grafu ya kazi y = -Зсоs2х (mstari imara katika Mchoro 57a).
5) Kwa kutumia nusu-wimbi inayosababisha, tutajenga grafu nzima (Mchoro 576).

A.G. Mordkovich Algebra daraja la 10

Upangaji wa mada ya kalenda katika hisabati, video katika hisabati mtandaoni, Hisabati shuleni pakua

Maudhui ya somo maelezo ya somo kusaidia mbinu za kuongeza kasi za uwasilishaji wa somo la fremu teknolojia shirikishi Fanya mazoezi kazi na mazoezi warsha za kujipima, mafunzo, kesi, maswali ya majadiliano ya kazi ya nyumbani maswali ya balagha kutoka kwa wanafunzi Vielelezo sauti, klipu za video na multimedia picha, picha, michoro, majedwali, michoro, ucheshi, hadithi, vichekesho, vichekesho, mafumbo, misemo, maneno mtambuka, nukuu Viongezi muhtasari makala tricks for the curious cribs vitabu vya kiada msingi na ziada kamusi ya maneno mengine Kuboresha vitabu vya kiada na masomokurekebisha makosa katika kitabu kusasisha kipande katika kitabu cha maandishi, vitu vya uvumbuzi katika somo, kubadilisha maarifa ya zamani na mpya. Kwa walimu pekee masomo kamili mpango wa kalenda kwa mwaka miongozo programu za majadiliano Masomo Yaliyounganishwa

2. Ikiwa 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Mchoro 3.8). Kwa hivyo, grafu ya kazi imesisitizwa au kunyoosha.

Y Y

y

y

0 x 0 x X

Mchele. 3.7 Mtini. 3.8

Kanuni ya 2. Acha k > 1. Kisha grafu ya kitendakazi f(kx) hupatikana kutoka kwa grafu ya kitendakazi f(x) kwa kuibana kando ya mhimili wa OX kwa mara k (kwa maneno mengine: kwa kuibana kwa mhimili wa OY kwa k mara).

Acha 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Mifano. Tengeneza grafu za kukokotoa: 1)
Na
;

2)
Na
.

Y Y

uk/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Mchele. 3.9 Mtini. 3.10

Maoni. Tafadhali kumbuka: kipindi , iliyo kwenye mhimili wa OY, inabaki mahali. Kwa kweli, kwa kila nukta N(0, y) ya grafu f(x) inalingana na nukta
michorof(kx).

Grafu ya kipengele
kupatikana kwa kunyoosha grafu ya kazi
kutoka kwa mhimili wa OY kwa mara 2. Wakati huo huo, onyesha tena inabakia bila kubadilika (curve (3) katika Mchoro 3.9).

Kuchora Kazi y=f(-x).

Vipengele vya kukokotoa f(x) na f(-x) huchukua thamani sawa kwa thamani tofauti za hoja x. Kwa hivyo, pointi N(x;y) na M(-x;y) za grafu zao zitakuwa na ulinganifu kuhusu mhimili wa OY.

Kanuni ya 3. Ili kuunda grafu ya f(-x), unahitaji kuakisi grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) kwa heshima na mhimili wa OY.

Mifano. Vitendaji vya grafu
Na
.

Suluhisho zinaonyeshwa kwenye Mtini. 3.11 na 3.12.

Y
Y

Mchele. 3.11 Mtini. 3.12

Kuchora Kazi y=f(-kx), ambapo k > 0.

Kanuni ya 4. Tunajenga grafu ya kazi y = f (kx) kwa mujibu wa kanuni ya 2. Grafu ya kazi f (kx) inaonyeshwa kutoka kwa mhimili wa OY kwa mujibu wa sheria.

chakavu 3. Matokeo yake, tunapata grafu ya kazi f (-kx).

Mifano. Vitendaji vya grafu

Suluhisho zinaonyeshwa kwenye Mtini. 3.13 na 3.14.

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Mchele. 3.13 Mtini. 3.14

Kuchora Kazi
, ambapo A > 0. Ikiwa A > 1, basi kwa kila thamani
kuratibu kazi iliyopewa Mara nyingi zaidi kuliko kuratibu za chaguo za kukokotoa kuu f(x). Katika kesi hii, grafu f(x) imenyoshwa mara A kwenye mhimili wa OY (kwa maneno mengine: kutoka kwa mhimili wa OX).

Ikiwa 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в mara kando ya mhimili wa OY (au kutoka kwa mhimili wa OX).

Kanuni ya 5. Hebu A > 1. Kisha grafu ya kazi
hupatikana kutoka kwa grafu f(x) kwa kuinyoosha mara A kwenye mhimili wa OY (au kutoka kwa mhimili wa OX).

Acha 0< A < 1. Тогда график функции
hupatikana kutoka kwa grafu f(x) kwa kuibana ndani mara kando ya mhimili wa OY (au kwa mhimili wa OX).

Mifano. Tengeneza grafu za kukokotoa 1)
,
na 2)
,

Y
Y

1
0 p/2 p/3 p x

Mchele. 3.15 Mtini. 3.16

Kuchora Kazi
.

Kwa kila
pointi N(x,y) za chaguo za kukokotoa f(x) na M(x, -y) za chaguo za kukokotoa -f(x) zina ulinganifu kwa heshima na mhimili wa OX, kwa hivyo tunapata sheria.

Kanuni ya 6. Kuchora chaguo za kukokotoa
Nahitaji ratiba
kioo kwa heshima na mhimili wa OX.

Mifano. Vitendaji vya grafu
Na
(Mchoro 3.17 na 3.18).

Y Y

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Mchele. 3.17 Mtini. 3.18

Kuchora Kazi
, ambapo A>0.

Kanuni ya 7. Kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa
, ambapo A>0, kwa mujibu wa kanuni ya 5. Grafu inayotokana inaakisiwa kutoka kwa mhimili wa OX kwa mujibu wa kanuni ya 6.

Kuchora Kazi
.

Ikiwa B>0, basi kwa kila moja
kiratibu cha chaguo la kukokotoa lililotolewa ni vizio B kubwa kuliko kiratibu cha f(x). Ikiwa B<0, то для каждого
mpangilio wa kitendakazi cha kwanza umepunguzwa na vitengo ikilinganishwa na ordinatef(x). Kwa hivyo, tunapata kanuni.

Kanuni ya 8. Kupanga utendaji
kulingana na grafu y=f(x), grafu hii lazima isogezwe kando ya mhimili wa OY kwa vitengo B kwenda juu, ikiwa B>0, au vitengo chini ifB<0.

Mifano. Jenga grafu za kazi: 1) na

2)
(Mchoro 3.19 na 3.20).

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Mchele. 3.19 Mtini. 3.20

Mpango wa kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa .

Kwanza kabisa, tunaandika equation ya kazi katika fomu
na kuashiria
. Kisha tunaunda grafu ya kazi kulingana na mpango unaofuata.

Tunaunda grafu ya kazi kuu f(x).

Kwa mujibu wa kanuni ya 1, tunajenga grafu f (x-a).

Kwa kukandamiza au kunyoosha grafu f (x-a) kwa kuzingatia ishara ya k, kulingana na sheria 2-4, tunaunda grafu ya kazi f.

Tafadhali kumbuka: grafu f(x-a) imebanwa au kunyoshwa kulingana na mstari ulionyooka x=a (kwanini?)

Tafadhali kumbuka: katika kila hatua ya ujenzi, grafu ya awali hufanya kama grafu ya kazi kuu.

Mfano. Kitendaji cha grafu
. Hapa=-2, hivyo
. Imepewa usawa usio wa kawaida
, tuna
.

(Mchoro 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Mchele. 3.21 Mtini. 3.22

Y Y

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Mchele. 3.23 Mtini. 3.24

Jukumu la 2.

Kupanga grafu za vitendakazi vilivyo na ishara ya moduli.

Suluhisho la tatizo hili pia lina hatua kadhaa. Katika kesi hii, unahitaji kukumbuka ufafanuzi wa moduli:

Kuchora Kazi
.

Kwa maadili hayo
, kwa ajili yake
, mapenzi
. Kwa hivyo, hapa kuna michoro za kazi
na f(x) ni sawa. Kwa sawa
, ambayo f(x)<0, будет
. Lakini -f(x) grafu hupatikana kutoka kwa f(x) kwa kuakisi kioo kutoka kwa mhimili wa OX. Tunapata sheria ya kuunda grafu ya kazi
.

Kanuni ya 9. Tunaunda grafu ya kazi y=f(x). Baada ya hayo, sehemu hiyo ya grafu f(x), wapi
, tunaiacha bila kubadilika, na sehemu hiyo ambapo f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Maoni. Tafadhali kumbuka kuwa ratiba
daima iko juu ya mhimili wa OX au kuigusa.

Mifano. Vitendaji vya grafu

(Mchoro 3.24, 3.25, 3.26).

Y Y

Mchele. 3.25 Mtini. 3.26

Kuchora Kazi
.

Kwa sababu
, Hiyo
, yaani, kitendakazi hata kimetolewa ambacho grafu yake ina ulinganifu kuhusu mhimili wa OY.

Kanuni ya 10. Tunapanga kazi y=f(x) kwa
. Tunatafakari grafu iliyojengwa kutoka kwa mhimili wa OY. Kisha mchanganyiko wa curves mbili zilizopatikana zitatoa grafu ya kazi
.

Mifano. Vitendaji vya grafu

(Mchoro 3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Mchele. 3.27 Mtini. 3.28 Mtini. 3.29

Kuchora Kazi
.

Kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa
kwa mujibu wa kanuni ya 10.

Kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa
kwa mujibu wa kanuni ya 9.

Mifano. Vitendaji vya grafu
Na
.

Sehemu hasi ya grafu inaonekana kutoka kwa mhimili wa OX. Ratiba
inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 3.30.

Y Y

2 0 2 x -1 0 1 x

Mchele. 3.30 Mtini. 3.31

2. Jenga grafu ya kazi
(Mchoro 3.29).

Tunaakisi sehemu hasi ya grafu kutoka kwa mhimili wa OX. Ratiba
inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 3.31.

Wakati wa kupanga grafu ya kazi iliyo na ishara za moduli, ni muhimu sana kujua vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya kazi. Kwa hiyo, suluhisho la kila tatizo lazima lianze kwa kuamua vipindi hivi.

Mfano. Kitendaji cha grafu
.

Kikoa. Semi x+1 na x-1 hubadilisha ishara zake katika nukta x=-1 na x=1. Kwa hivyo, tunagawanya kikoa cha ufafanuzi katika vipindi vinne:

Kwa kuzingatia ishara x+1 na x-1, tunazo

;

Kwa hivyo, kazi inaweza kuandikwa bila ishara za moduli kama ifuatavyo:

Kazi
yanahusiana na hyperbolas, na kazi y = 2 inalingana na mstari wa moja kwa moja. Ujenzi zaidi unaweza kufanywa na pointi (Mchoro 3.32).

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Maoni. Kumbuka kuwa wakati x=0 kazi haijafafanuliwa. Shughuli inasemekana kuteseka kutoendelea kwa wakati huu. Katika Mtini. 3.32 hii ina alama ya mishale.

Jukumu la 3. Kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa iliyofafanuliwa na misemo kadhaa ya uchanganuzi.

Katika mfano uliopita, kazi
tumeiwasilisha katika misemo kadhaa ya uchanganuzi. Ndiyo, katikati
inabadilika kulingana na sheria ya hyperbola
; kwa muda
, isipokuwa x=0, hii ni kazi ya mstari; kwa muda
tuna hyperbole tena
. Vitendaji sawia vitakabiliwa mara kwa mara katika siku zijazo. Hebu tuangalie mfano rahisi.

Njia ya treni kutoka kituo A hadi kituo B ina sehemu tatu. Katika sehemu ya kwanza, yeye huchukua kasi, yaani, katika muda
kasi yake
, Wapi
. Katika sehemu ya pili inakwenda kwa kasi ya mara kwa mara, yaani, v = c, ikiwa
. Hatimaye, wakati wa kuvunja, kasi yake itakuwa
. Kwa hivyo, kati
kasi ya harakati inabadilika kulingana na sheria

Uhamisho sambamba.

TAFSIRI PAMOJA NA mhimili wa Y

f(x) => f(x) - b
Tuseme unataka kujenga grafu ya kazi y = f(x) - b. Ni rahisi kuona kwamba viwianishi vya grafu hii kwa thamani zote za x kwenye |b| vizio chini ya saniti zinazolingana za grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa b>0 na |b| vitengo zaidi - kwa b 0 au juu kwa b Ili kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa y + b = f(x), unapaswa kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) na usogeze mhimili wa x hadi |b| vitengo hadi b>0 au kwa |b| vitengo chini kwa b

HAMISHA PAMOJA NA mhimili wa ABSCISS

f(x) => f(x + a)
Tuseme unataka kupanga kazi y = f(x + a). Zingatia chaguo la kukokotoa y = f(x), ambalo wakati fulani x = x1 huchukua thamani y1 = f(x1). Kwa wazi, kazi y = f (x + a) itachukua thamani sawa katika hatua x2, uratibu ambao umeamua kutoka kwa usawa x2 + a = x1, i.e. x2 = x1 - a, na usawa unaozingatiwa ni halali kwa jumla ya maadili yote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Kwa hivyo, grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x + a) inaweza kupatikana kwa kusogeza sambamba grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) kando ya mhimili wa x kwenda kushoto kwa |a| vitengo kwa > 0 au kulia kwa |a| vitengo vya a Ili kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x + a), unapaswa kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) na usogeze mhimili wa kuratibu hadi |a| vitengo kulia wakati a>0 au kwa |a| vitengo upande wa kushoto kwa a

Mifano:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Tafakari.

UJENZI WA GRAFU YA KAZI YA FOMU Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Ni dhahiri kwamba kazi y = f(-x) na y = f(x) huchukua maadili sawa katika pointi ambazo abscissas ni sawa katika thamani kamili, lakini kinyume katika ishara. Kwa maneno mengine, ratibu za grafu ya kazi y = f(-x) katika eneo la maadili chanya (hasi) ya x itakuwa sawa na ratibu za grafu ya kazi y = f(x) kwa maadili hasi (chanya) yanayolingana ya x katika thamani kamili. Kwa hivyo, tunapata kanuni ifuatayo.
Ili kupanga kazi y = f(-x), unapaswa kupanga kazi y = f (x) na kuionyesha kuhusiana na kuratibu. Grafu inayotokana ni grafu ya kazi y = f(-x)

UJENZI WA GRAFU YA KAZI YA FOMU Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Viwango vya grafu ya chaguo za kukokotoa y = - f(x) kwa thamani zote za hoja ni sawa kwa thamani kamili, lakini kinyume katika ishara na ratibu za grafu ya kazi y = f (x) ya maadili sawa ya hoja. Kwa hivyo, tunapata kanuni ifuatayo.
Ili kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa y = - f (x), unapaswa kupanga grafu ya kazi y = f (x) na kuionyesha kuhusiana na mhimili wa x.

Mifano:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformation.

UKENGEUFU WA RAFU KANDO YA mhimili wa Y

f(x) => k f(x)
Fikiria kazi ya fomu y = k f(x), ambapo k > 0. Ni rahisi kuona kwamba wakati maadili sawa hoja, ratibu za grafu ya chaguo hili la kukokotoa zitakuwa kubwa mara k kuliko ratibu za grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa k > mara 1 au 1/k chini ya ratibu za grafu ya chaguo la kukokotoa y. = f(x) kwa k Ili kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa y = k f(x) unapaswa kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) na kuongeza viunga vyake kwa mara k kwa k > 1 (nyoosha grafu pamoja. mhimili wa kuratibu) au punguza viunga vyake kwa mara 1/k kwa k
k> 1- kunyoosha kutoka kwa mhimili wa Ox
0 - compression kwa mhimili OX

UKENGEUFU WA GRAPH KANZA Mhimili wa ABSCISS

f(x) => f(k x)
Hebu iwe muhimu kujenga grafu ya kazi y = f (kx), ambapo k>0. Fikiria chaguo za kukokotoa y = f(x), ambayo ndani hatua ya kiholela x = x1 inachukua thamani y1 = f(x1). Ni dhahiri kwamba kazi y = f(kx) inachukua thamani sawa katika hatua x = x2, kuratibu ambayo imedhamiriwa na usawa x1 = kx2, na usawa huu ni halali kwa jumla ya maadili yote ya x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Kwa hivyo, grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(kx) inageuka kuwa imebanwa (kwa k 1) kando ya mhimili wa abscissa unaohusiana na grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x). Kwa hivyo, tunapata kanuni.
Ili kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(kx), unapaswa kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) na kupunguza abscissas yake kwa mara k kwa k>1 (finyaza grafu kwenye mhimili wa abscissa) au uongeze. abscissas yake kwa mara 1/k kwa k
k> 1- compression kwa Oy mhimili
0 - kunyoosha kutoka kwa mhimili wa OY