Ni katika hali gani formula ya Bernoulli inatumiwa? Sifa za nambari za kigezo cha nasibu kinachosambazwa kulingana na sheria ya binomial

1

1. Bogolyubov A.N. Wanahisabati. Mechanics: kitabu cha kumbukumbu ya wasifu. - Kyiv: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Uchambuzi na tathmini ya kipaumbele cha sehemu za taaluma za hesabu zilizosomwa na wanafunzi wa utaalam wa kiuchumi. vyuo vikuu vya kilimo// Bulletin ya AIC ya Stavropol. - 2013. - Nambari 1 (9). – Uk. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Matarajio ya maombi mbinu za hisabati V utafiti wa kiuchumi// Sayansi ya kilimo, ubunifu, ukuaji. - 2013. - P. 255-257.

Katika hisabati, mara nyingi kuna matatizo ambayo kuna idadi kubwa ya marudio ya hali sawa, jaribio au jaribio. Matokeo ya kila mtihani yatazingatiwa kuwa tofauti kabisa na ya awali. Pia hakutakuwa na utegemezi katika matokeo. Kama matokeo ya mtihani, uwezekano kadhaa wa matokeo ya kimsingi unaweza kutofautishwa: kutokea kwa tukio (A) au tukio la tukio ambalo linakamilisha A.

Basi hebu tujaribu kudhani kuwa uwezekano wa kutokea kwa tukio P (A) ni wa kawaida na sawa na p (0).<р<1).

Mifano ya mtihani huo inaweza kuwa idadi kubwa ya kazi, kama vile kurusha sarafu, kuchora mipira nyeusi na nyeupe kutoka kwenye mfuko wa giza, au kuzaa sungura nyeusi na nyeupe.

Jaribio hili linaitwa muundo wa majaribio huru unaorudiwa au muundo wa Bernoulli.

Jacob Bernoulli alizaliwa katika familia ya mfamasia. Baba alijaribu kuweka mtoto wake kwenye njia ya matibabu, lakini J. Bernoulli alipendezwa na hisabati peke yake, na baadaye ikawa taaluma yake. Anamiliki nyara mbalimbali katika kazi za mada katika nadharia ya uwezekano na nambari, mfululizo na calculus tofauti. Baada ya kusoma nadharia ya uwezekano kutoka kwa moja ya kazi za Huygens "Kwenye Mahesabu katika Kamari," Jacob alipendezwa nayo. Hakukuwa na hata ufafanuzi wazi wa dhana ya "uwezekano" katika kitabu hiki. Ilikuwa ni J. Bernoulli aliyeingiza dhana nyingi za kisasa za nadharia ya uwezekano katika hisabati. Bernoulli pia alikuwa wa kwanza kuelezea toleo lake la sheria ya idadi kubwa. Kazi mbalimbali, nadharia na mipango hubeba jina la Jacob: "Nambari za Bernoulli", "Bernoulli Polynomial", "Bernoulli Differential Equation", "Bernoulli Distribution" na "Bernoulli Equation".

Turudi kwa wawakilishi. Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kama matokeo ya majaribio anuwai, matokeo mawili yanawezekana: ama tukio A litatokea, au kinyume cha tukio hili. Mpango wa Bernoulli yenyewe unaashiria utengenezaji wa nambari ya n-th ya majaribio ya kawaida ya bure, na katika kila moja ya majaribio haya tukio A tunalohitaji linaweza kuonekana (uwezekano wa tukio hili unajulikana: P (A) = p), uwezekano. ya tukio kinyume na tukio A inaonyeshwa na q = P( A)=1-p. Inahitajika kuamua uwezekano kwamba wakati wa kupima idadi isiyojulikana, tukio A litaonekana mara k haswa.

Ni muhimu kukumbuka hali kuu wakati wa kutatua matatizo kwa kutumia mpango wa Bernoulli - hii ni mara kwa mara. Bila hivyo, mpango huo unapoteza maana yote.

Mpango huu unaweza kutumika kutatua matatizo ya ngazi mbalimbali za utata: kutoka rahisi (sarafu sawa) hadi ngumu (maslahi). Walakini, mara nyingi zaidi mpango wa Bernoulli hutumiwa katika kutatua shida zinazojumuisha ufuatiliaji wa mali ya bidhaa anuwai na kujiamini katika mifumo mbali mbali. Ili tu kutatua shida, hali zote na maadili lazima yajulikane mapema kabla ya kuanza kazi.

Sio matatizo yote katika nadharia ya uwezekano yanapunguzwa kwa uthabiti katika hali. Hata ikiwa tunachukua mipira nyeusi na nyeupe kwenye begi la giza kama mfano: wakati mpira mmoja unapotolewa, uwiano wa nambari na rangi za mipira kwenye begi hubadilika, ambayo inamaanisha kuwa uwezekano wenyewe pia hubadilika.

Walakini, ikiwa hali zetu ni za kila wakati, basi tunaweza kuamua kwa usahihi uwezekano unaohitajika kwetu kwamba tukio A litatokea haswa mara k nje ya n iwezekanavyo.

Jacob Bernoulli alikusanya ukweli huu katika nadharia, ambayo baadaye ilianza kuitwa baada yake. "Nadharia ya Bernoulli" ni mojawapo ya nadharia kuu katika nadharia ya uwezekano. Ilichapishwa kwa mara ya kwanza katika kazi ya J. Bernoulli "Sanaa ya Assumptions." Nadharia hii ni nini? “Ikiwa uwezekano p wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni thabiti, basi uwezekano Pk,n kwamba tukio litatokea mara k katika majaribio n ambayo hayategemei ni sawa na: , ambapo q=1-p .”

Matatizo yanaweza kutajwa ili kuthibitisha ufanisi wa fomula.

Jukumu #1:

Kutoka kwa mitungi ya glasi, k kuvunja wakati wa mwezi wa kuhifadhi. Tulichukua m makopo bila mpangilio. Pata uwezekano kwamba kati ya makopo haya hayatavunja. n=250, k=10, m=8, l=4.

Suluhisho: Tunayo mpango wa Bernoulli na maadili:

p=10/250=0.04 (uwezekano kwamba mitungi itavunjika);

n=8 (idadi ya majaribio);

k=8-4=4 (idadi ya makopo yaliyovunjika).

Tunatumia formula ya Bernoulli

Nimepata:

Jibu: 0.0141

Kazi #2:

Uwezekano wa kuzalisha bidhaa yenye kasoro katika uzalishaji ni 0.2. Tafuta uwezekano kwamba kati ya bidhaa 10 zinazotengenezwa katika tovuti hii ya uzalishaji k zinapaswa kuwa katika mpangilio mzuri wa kufanya kazi. Tatua kwa k = 0, 1, 10.

Tunavutiwa na tukio A - utengenezaji wa sehemu zinazoweza kutumika, ambayo hufanyika mara moja kwa saa na uwezekano p=1-0.2=0.8. Tunahitaji kupata uwezekano kwamba tukio hili litatokea mara k. Kinyume cha tukio A ni tukio "si A", i.e. kutengeneza bidhaa yenye kasoro.

Kwa hiyo, tunayo: n=10; p=0.8; q=0.2.

Matokeo yake, tutapata uwezekano kwamba kati ya bidhaa 10 zinazotengenezwa bidhaa zote ni mbovu (k=0), kwamba bidhaa moja inafanya kazi (k=1), kwamba hakuna zenye kasoro kabisa (k=10):

Kwa kumalizia, ningependa kutambua kwamba katika nyakati za kisasa wanasayansi wengi wanajaribu kuthibitisha kwamba "formula ya Bernoulli" hailingani na sheria za asili na kwamba matatizo yanaweza kutatuliwa bila kuitumia. Kwa kweli, hii inawezekana, shida nyingi katika nadharia ya uwezekano zinaweza kukamilika bila formula ya Bernoulli, jambo kuu sio kuchanganyikiwa kwa idadi kubwa ya nambari.

Kiungo cha bibliografia

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNOULLI FORMULA IN PROBABILITY THEORY // Taarifa ya Kisayansi ya Wanafunzi wa Kimataifa. - 2015. - Nambari 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (tarehe ya ufikiaji: 03/12/2019). Tunakuletea magazeti yaliyochapishwa na shirika la uchapishaji "Chuo cha Sayansi ya Asili"

Nadharia fupi

Nadharia ya uwezekano inahusika na majaribio ambayo yanaweza kurudiwa (angalau kinadharia) idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Hebu jaribio fulani lirudiwe mara moja, na matokeo ya kila marudio hayategemei matokeo ya marudio ya awali. Msururu kama huo wa marudio huitwa majaribio huru. kesi maalum ya vipimo vile ni vipimo vya kujitegemea vya Bernoulli, ambayo ni sifa ya hali mbili:

1) matokeo ya kila mtihani ni mojawapo ya matokeo mawili yanayowezekana, inayoitwa "mafanikio" au "kushindwa," kwa mtiririko huo.

2) uwezekano wa "mafanikio" katika kila mtihani unaofuata hautegemei matokeo ya vipimo vya awali na inabaki mara kwa mara.

Nadharia ya Bernoulli

Ikiwa mfululizo wa majaribio ya kujitegemea ya Bernoulli yanafanywa, katika kila moja ambayo "mafanikio" yanaonekana kwa uwezekano , basi uwezekano kwamba "mafanikio" yanaonekana mara moja katika majaribio yanaonyeshwa na fomula:

uko wapi uwezekano wa "kushindwa".

- idadi ya michanganyiko ya vitu kwa (tazama kanuni za msingi za mchanganyiko)

Fomula hii inaitwa Fomula ya Bernoulli.

Fomu ya Bernoulli inakuwezesha kuondokana na idadi kubwa ya mahesabu - kuongeza na kuzidisha uwezekano - na idadi kubwa ya kutosha ya vipimo.

Mpango wa mtihani wa Bernoulli pia huitwa mpango wa binomial, na uwezekano unaofanana huitwa binomial, ambayo inahusishwa na matumizi ya coefficients ya binomial.

Usambazaji kulingana na mpango wa Bernoulli huruhusu, haswa, kupata idadi inayowezekana zaidi ya tukio la tukio.

Ikiwa idadi ya vipimo n ni kubwa, kisha tumia:

Mfano wa suluhisho la shida

Kazi

Kiwango cha kuota kwa baadhi ya mbegu za mimea ni 70%. Kuna uwezekano gani kwamba kati ya mbegu 10 zilizopandwa: 8, angalau 8; angalau 8?

Suluhisho la tatizo

Wacha tutumie formula ya Bernoulli:

Kwa upande wetu

Acha tukio liwe kwamba kati ya mbegu 10 8 zichipue:

Acha tukio liwe angalau 8 (hiyo inamaanisha 8, 9 au 10)

Acha tukio liinuke angalau 8 (hii inamaanisha 8,9 au 10)

Jibu

Wastani gharama ya kutatua mtihani ni 700 - 1200 rubles (lakini si chini ya 300 rubles kwa utaratibu mzima). Bei inathiriwa sana na uharaka wa uamuzi (kutoka siku hadi saa kadhaa). Gharama ya usaidizi wa mtandaoni kwa mtihani / mtihani ni kutoka kwa rubles 1000. kwa kutatua tikiti.

Unaweza kuacha ombi moja kwa moja kwenye gumzo, ukiwa umetuma masharti ya kazi hapo awali na kukujulisha tarehe za mwisho za suluhu unayohitaji. Wakati wa kujibu ni dakika chache.

Majaribio huru yanayorudiwa huitwa majaribio ya Bernoulli ikiwa kila jaribio lina matokeo mawili tu yanayowezekana na uwezekano wa matokeo kubaki sawa katika majaribio yote.

Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa. uk Na q. Ni wazi kwamba uk 0, q³ 0 na uk+q=1.

Nafasi matukio ya msingi kila jaribio lina matukio mawili U na H.

Nafasi ya matukio ya msingi n vipimo vya Bernoulli Ω ina 2 n matukio ya msingi, ambayo ni mfuatano (minyororo) ya n alama U na N. Kila tukio la msingi ni mojawapo ya matokeo yanayowezekana ya mlolongo n vipimo vya Bernoulli. Kwa kuwa vipimo vinajitegemea, basi, kulingana na nadharia ya kuzidisha, uwezekano unazidishwa, ambayo ni, uwezekano wa mlolongo wowote maalum ni bidhaa inayopatikana kwa kuchukua nafasi ya alama U na H na. uk Na q ipasavyo, yaani, kwa mfano: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Kumbuka kuwa matokeo ya jaribio la Bernoulli mara nyingi huonyeshwa na 1 na 0, na kisha tukio la msingi katika mlolongo. n Vipimo vya Bernoulli - kuna mlolongo unaojumuisha zero na zile. Kwa mfano:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Vipimo vya Bernoulli vinawakilisha mpango muhimu zaidi unaozingatiwa katika nadharia ya uwezekano. Mpango huu unaitwa jina la mwanahisabati wa Uswizi J. Bernoulli (1654-1705), ambaye alisoma kwa kina mfano huu katika kazi zake.

Tatizo kuu ambalo litatuvutia hapa ni: kuna uwezekano gani wa tukio hilo n Vipimo vya Bernoulli vilifanyika m mafanikio?

Ikiwa masharti maalum yametimizwa, uwezekano kwamba wakati wa majaribio ya kujitegemea tukio hilo itazingatiwa haswa m nyakati (bila kujali ni majaribio gani), imedhamiriwa na Fomula ya Bernoulli:

(21.1)

Wapi - uwezekano wa kutokea katika kila mtihani, na
- uwezekano kwamba katika jaribio fulani tukio hilo Haikutokea.

Ikiwa tutazingatia P n (m) kama kipengele m, basi inabainisha usambazaji wa uwezekano, unaoitwa binomial. Wacha tuchunguze utegemezi huu P n (m) kutoka m, 0£ m£ n.

Matukio B m ( m = 0, 1, ..., n), inayojumuisha idadi tofauti ya matukio ya tukio A V n vipimo haviendani na huunda kikundi kamili. Kwa hivyo,
.

Hebu fikiria uwiano:

=
=
=
.

Inafuata hiyo P n (m+1)>P n (m), Kama (n- m) p> (m+1)q, i.e. kazi P n (m) huongezeka ikiwa m< n.p- q. Vile vile, P n (m+1)< P n (m), Kama (n- m) p< (m+1)q, i.e. P n (m) itapungua ikiwa m> n.p- q.

Kwa hivyo kuna nambari m 0, ambapo P n (m) inafikia thamani yake kuu. Tutapata m 0 .

Kulingana na maana ya nambari m 0 tunayo P n (m 0)³ P n (m 0 -1) na P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), kutoka hapa

, (21.2)

. (21.3)

Kutatua kukosekana kwa usawa (21.2) na (21.3) kuhusiana na m 0, tunapata:

uk/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p+ uk,

q/(n- m 0 ) ³ uk/(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p- q.

Kwa hivyo, nambari inayotakiwa m 0 inakidhi ukosefu wa usawa

n.p- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Kwa sababu uk+q=1, basi urefu wa muda unaofafanuliwa na ukosefu wa usawa (21.4) ni sawa na moja na kuna angalau nambari moja kamili. m 0 kutosheleza usawa (21.4):

1) ikiwa n.p - q ni nambari kamili, basi kuna maadili mawili m 0, yaani: m 0 = n.p - q Na m 0 = n.p - q + 1 = n.p + uk;

2) ikiwa n.p - q- sehemu, basi kuna nambari moja m 0 , yaani nambari kamili iliyomo kati ya nambari za sehemu, iliyopatikana kutokana na usawa (21.4);

3) ikiwa n.p ni nambari kamili, kisha kuna nambari moja m 0, yaani m 0 = n.p.

Nambari m 0 inaitwa thamani inayowezekana zaidi au inayowezekana zaidi (idadi) ya tukio la tukio A katika mfululizo wa n vipimo vya kujitegemea.

Katika somo hili tutapata uwezekano wa tukio kutokea katika majaribio huru wakati wa kurudia majaribio . Majaribio huitwa huru ikiwa uwezekano wa tokeo moja au jingine la kila jaribio hautegemei matokeo ya majaribio mengine yalikuwa na. . Vipimo vya kujitegemea vinaweza kufanywa chini ya hali sawa na chini ya hali tofauti. Katika kesi ya kwanza, uwezekano wa tukio la tukio fulani ni sawa katika majaribio yote, katika kesi ya pili inatofautiana kutoka kwa majaribio hadi majaribio.

Mifano ya majaribio huru :

• moja ya node za kifaa au nodes mbili au tatu zitashindwa, na kushindwa kwa kila node haitegemei node nyingine, na uwezekano wa kushindwa kwa node moja ni mara kwa mara katika vipimo vyote;
• zinazozalishwa katika baadhi ya mara kwa mara hali ya kiteknolojia sehemu, au tatu, nne, tano, zitageuka kuwa zisizo za kawaida, na sehemu moja inaweza kugeuka kuwa isiyo ya kawaida bila kujali sehemu nyingine yoyote na uwezekano kwamba sehemu hiyo itageuka kuwa isiyo ya kawaida. ni mara kwa mara katika vipimo vyote;
• kutoka kwa risasi kadhaa kwenye shabaha, risasi moja, tatu au nne hupiga shabaha bila kujali matokeo ya risasi nyingine na uwezekano wa kugonga lengo ni mara kwa mara katika majaribio yote;
• wakati wa kuangusha sarafu, mashine itafanya kazi kwa usahihi mara moja, mbili au nyingine, bila kujali matokeo ya matone mengine ya sarafu, na uwezekano kwamba mashine itafanya kazi kwa usahihi ni mara kwa mara katika majaribio yote.

Matukio haya yanaweza kuelezewa katika mchoro mmoja. Kila tukio hutokea katika kila jaribio na uwezekano sawa, ambao haubadilika ikiwa matokeo ya majaribio ya awali yanajulikana. Vipimo vile huitwa kujitegemea, na mzunguko unaitwa Mpango wa Bernoulli . Inachukuliwa kuwa vipimo vile vinaweza kurudiwa mara nyingi kama unavyotaka.

Ikiwa uwezekano uk kutokea kwa tukio A ni mara kwa mara katika kila jaribio, basi uwezekano kwamba in n tukio la majaribio ya kujitegemea A Nitakuja m nyakati, iko kwa Fomula ya Bernoulli :

(wapi q= 1 – uk- uwezekano kwamba tukio halitatokea)

Wacha tuweke kazi - kupata uwezekano kwamba tukio la aina hii ndani n majaribio ya kujitegemea yatakuja m mara moja.

Fomula ya Bernoulli: mifano ya utatuzi wa shida

Mfano 1. Tafuta uwezekano kwamba kati ya sehemu tano zilizochukuliwa bila mpangilio, mbili ni za kawaida, ikiwa uwezekano kwamba kila sehemu inageuka kuwa ya kawaida ni 0.9.

Suluhisho. Uwezekano wa tukio A, inayojumuisha ukweli kwamba sehemu iliyochukuliwa bila mpangilio ni ya kawaida, iko uk=0.9 , na kuna uwezekano kwamba sio ya kawaida q=1–uk=0.1. Tukio lililoainishwa katika taarifa ya tatizo (tunaashiria kwa KATIKA) itatokea ikiwa, kwa mfano, sehemu mbili za kwanza zinageuka kuwa za kawaida, na tatu zifuatazo sio za kawaida. Lakini tukio KATIKA itatokea pia ikiwa sehemu ya kwanza na ya tatu itageuka kuwa ya kawaida na iliyobaki sio ya kawaida, au ikiwa sehemu ya pili na ya tano ni ya kawaida na iliyobaki sio ya kawaida. Kuna uwezekano mwingine wa tukio kutokea KATIKA. Yoyote kati yao anajulikana na ukweli kwamba kati ya sehemu tano zilizochukuliwa, mbili, zikichukua nafasi yoyote kati ya tano, zitageuka kuwa za kawaida. Kwa hivyo, jumla ya nambari uwezekano mbalimbali wa kutokea kwa tukio KATIKA ni sawa na idadi ya uwezekano wa kuweka sehemu mbili za kawaida katika maeneo tano, i.e. ni sawa na idadi ya mchanganyiko wa vipengele vitano kwa mbili, na .

Uwezekano wa kila uwezekano, kwa mujibu wa nadharia ya uwezekano wa kuzidisha, ni sawa na bidhaa ya mambo matano, ambayo mawili, sambamba na kuonekana sehemu za kawaida ni sawa na 0.9, na tatu zilizobaki, zinazofanana na kuonekana kwa sehemu zisizo za kawaida, ni sawa na 0.1, i.e. uwezekano huu ni. Kwa kuwa uwezekano huu kumi ni matukio yasiyolingana, kulingana na nadharia ya kuongeza, uwezekano wa tukio KATIKA, ambayo tunaashiria

Mfano 2. Uwezekano kwamba mashine itahitaji umakini wa mfanyakazi ndani ya saa moja ni 0.6. Kwa kudhani kwamba matatizo kwenye mashine ni ya kujitegemea, pata uwezekano kwamba ndani ya saa moja tahadhari ya mfanyakazi itahitaji mashine yoyote kati ya nne anazoendesha.

Suluhisho. Kutumia Fomula ya Bernoulli katika n=4 , m=1 , uk=0.6 na q=1–uk=0.4, tunapata

Mfano 3. Kwa operesheni ya kawaida ya gari la gari, lazima kuwe na angalau magari nane kwenye mstari, na kuna kumi kati yao. Uwezekano wa kila gari kutoingia kwenye mstari ni 0.1. Pata uwezekano wa operesheni ya kawaida ya depo ya gari katika siku inayofuata.

Suluhisho. Carpool itafanya kazi kawaida (tukio F), ikiwa wanane au wanane wanakuja kwenye mstari (tukio A), au tisa (tukio KATIKA), au tukio la magari yote kumi (tukio C) Kulingana na nadharia ya kuongeza uwezekano,

Tunapata kila neno kulingana na formula ya Bernoulli. Hapa n=10 , m=8; 10 na uk=1-0.1=0.9, tangu uk inapaswa kuonyesha uwezekano wa gari kuingia kwenye mstari; Kisha q=0.1 . Matokeo yake tunapata

Mfano 4. Acha uwezekano kwamba mteja anahitaji viatu vya wanaume vya ukubwa wa 41 uwe 0.25. Tafuta uwezekano kwamba kati ya wanunuzi sita, angalau wawili wanahitaji viatu vya ukubwa wa 41.

Ufafanuzi wa vipimo vya kujitegemea vinavyorudiwa. Fomula za Bernoulli za kukokotoa uwezekano na nambari inayowezekana zaidi. Fomula zisizo na dalili za fomula ya Bernoulli (ya ndani na muhimu, nadharia za Laplace). Kwa kutumia nadharia muhimu. Njia ya Poisson ya matukio yasiyowezekana ya nasibu.

Vipimo huru vinavyorudiwa

Kwa mazoezi, tunapaswa kushughulika na kazi ambazo zinaweza kuwakilishwa kwa njia ya majaribio ya kurudia mara kwa mara, kama matokeo ya kila tukio ambalo A linaweza kuonekana au lisionekane. Katika kesi hii, sio matokeo ya kila mtihani wa mtu binafsi ambayo ni ya riba, lakini jumla matukio ya tukio A kama matokeo ya idadi fulani ya majaribio. Katika shida kama hizi, unahitaji kuwa na uwezo wa kuamua uwezekano wa nambari yoyote ya m ya matukio ya tukio A kama matokeo ya majaribio ya n. Fikiria kesi wakati majaribio ni huru na uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni mara kwa mara. Vipimo vile huitwa hurudiwa huru.

Mfano wa majaribio ya kujitegemea ni kuangalia kufaa kwa bidhaa zilizochukuliwa kutoka kwa idadi ya batches. Ikiwa asilimia ya kasoro katika kura hizi ni sawa, basi uwezekano kwamba bidhaa iliyochaguliwa itakuwa na kasoro ni nambari ya mara kwa mara katika kila kesi.

Fomula ya Bernoulli

Hebu tumia dhana tukio tata, ambayo ina maana mchanganyiko wa matukio kadhaa ya kimsingi yanayojumuisha mwonekano au kutotokea kwa tukio A katika jaribio la i-th. Hebu n majaribio huru yafanyike, katika kila tukio ambalo A linaweza kutokea kwa uwezekano p au lisionekane kwa uwezekano q=1-p. Fikiria tukio B_m, ambalo ni tukio A litatokea mara m haswa katika majaribio haya ya n na, kwa hivyo, halitatokea mara (n-m) haswa. Hebu kuashiria A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) kutokea kwa tukio A, \ overline(A)_i - kutotokea kwa tukio A katika jaribio la i-th. Kwa sababu ya uthabiti wa masharti ya mtihani, tunayo

Tukio A linaweza kuonekana mara m katika mfuatano au michanganyiko tofauti, ikipishana na tukio kinyume\jumla(A) . Nambari michanganyiko inayowezekana aina hii ni sawa na idadi ya mchanganyiko wa vipengele vya n kwa m, yaani C_n^m. Kwa hivyo, tukio B_m linaweza kuwakilishwa kama jumla ya matukio changamano ambayo hayawiani, na idadi ya maneno ni sawa na C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

ambapo kila bidhaa ina tukio mara A m, na \overline(A) - (n-m) mara.

Uwezekano wa kila tukio changamano uliojumuishwa katika fomula (3.1), kulingana na nadharia ya kuzidisha ya uwezekano wa matukio ya kujitegemea ni sawa na p^(m)q^(n-m) . Kwa kuwa jumla ya idadi ya matukio kama haya ni sawa na C_n^m, basi, kwa kutumia nadharia ya kuongeza uwezekano kwa matukio yasiyolingana, tunapata uwezekano wa tukio B_m (tunaashiria P_(m,n))

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \maandishi(au)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Mfumo (3.2) unaitwa Fomula ya Bernoulli, na majaribio yanayorudiwa ambayo yanakidhi hali ya uhuru na uthabiti wa uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika kila moja yao huitwa. vipimo vya Bernoulli, au mpango wa Bernoulli.

Mfano 1. Uwezekano wa kwenda zaidi ya eneo la uvumilivu wakati wa usindikaji wa sehemu kwenye lathe ni 0.07. Amua uwezekano kwamba kati ya sehemu tano zilizochaguliwa kwa nasibu wakati wa mabadiliko, moja ina vipimo vya kipenyo ambavyo haviendani na uvumilivu maalum.

Suluhisho. Hali ya tatizo inakidhi mahitaji ya mpango wa Bernoulli. Kwa hiyo, kudhani n=5,\,m=1,\,p=0,\!07

, kwa kutumia fomula (3.2) tunapata

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\takriban0,\!262.

Mfano 2. Uchunguzi umethibitisha kuwa katika eneo fulani kuna siku 12 za mvua mnamo Septemba. Je, kuna uwezekano gani kwamba kati ya siku 8 zilizochaguliwa bila mpangilio mwezi huu, siku 3 zitakuwa na mvua?

Suluhisho.^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

P_(3;8)=C_8^3(\kushoto(\frac(12)(30)\kulia)\

Uwezekano mkubwa zaidi wa idadi ya matukio ya tukio Uwezekano mkubwa zaidi wa tarehe ya kutokea

tukio A katika majaribio huru huitwa nambari m_0 ambayo uwezekano unaolingana na nambari hii unazidi au, angalau, sio chini ya uwezekano wa kila moja ya nambari zingine zinazowezekana za kutokea kwa tukio A. Kuamua idadi inayowezekana zaidi, si lazima kuhesabu uwezekano wa idadi inayowezekana ya matukio ya tukio; inatosha kujua idadi ya majaribio n na uwezekano wa tukio A katika jaribio tofauti. Wacha tuonyeshe P_(m_0,n) uwezekano unaolingana na nambari inayowezekana zaidi m_0. Kwa kutumia formula (3.2), tunaandika{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n

Kwa mujibu wa ufafanuzi wa idadi inayowezekana zaidi, uwezekano wa tukio la tukio A, kwa mtiririko huo m_0+1 na m_0-1 mara, lazima angalau usizidi uwezekano wa P_(m_0,n), i.e.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Kubadilisha thamani P_(m_0,n) na usemi wa uwezekano P_(m_0+1,n) na P_(m_0-1,n) kuwa ukosefu wa usawa, tunapata.

Kutatua ukosefu huu wa usawa kwa m_0, tunapata

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p) Kuchanganya usawa wa mwisho, tunapata usawa maradufu

, ambayo hutumiwa kuamua nambari inayowezekana zaidi:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Kwa kuwa urefu wa muda ulioelezwa na kutofautiana (3.4) ni sawa na moja, i.e.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

na tukio linaweza kutokea katika majaribio n idadi kamili ya nyakati, basi inapaswa kukumbukwa kwamba:

2) ikiwa np-q ni nambari ya sehemu, basi kuna nambari moja inayowezekana zaidi, yaani: nambari pekee iliyomo kati ya nambari za sehemu zilizopatikana kutoka kwa usawa (3.4);

3) ikiwa np ni nambari kamili, basi kuna nambari moja inayowezekana zaidi, ambayo ni: m_0=np.

Katika maadili makubwa n ni usumbufu kutumia fomula (3.3) kukokotoa uwezekano unaolingana na nambari inayowezekana zaidi. Ikiwa tutabadilisha fomula ya Stirling kuwa usawa (3.3)

N!\takriban(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

halali kwa n kubwa ya kutosha, na kuchukua nambari inayowezekana zaidi m_0=np, kisha tunapata fomula ya makadirio ya hesabu ya uwezekano unaolingana na nambari inayowezekana zaidi:

P_(m_0,n)\takriban\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Mfano 2. Inajulikana kuwa \frac(1)(15) sehemu ya bidhaa zinazotolewa na mtambo kwa msingi wa biashara haikidhi mahitaji yote ya kiwango. Kundi la vitu 250 lilitolewa kwa msingi. Tafuta idadi inayowezekana zaidi ya bidhaa zinazokidhi mahitaji ya kiwango na uhesabu uwezekano kwamba kundi hili litakuwa na idadi inayowezekana ya bidhaa.

Suluhisho. Kwa hali n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15)

. Kulingana na usawa (3.4) tunayo

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15) wapi 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26

. Kwa hivyo, idadi inayowezekana ya bidhaa zinazokidhi mahitaji ya kiwango katika kundi la pcs 250. sawa na 234. Kubadilisha data katika fomula (3.5), tunakokotoa uwezekano wa kuwa na idadi inayowezekana zaidi ya bidhaa kwenye kundi:

P_(234,250)\takriban\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Nadharia ya eneo la Laplace Ni ngumu sana kutumia formula ya Bernoulli kwa maadili makubwa ya n. Kwa mfano, ikiwa n=50,\,m=30,\,p=0,\!1

, kisha kupata uwezekano P_(30.50) ni muhimu kuhesabu thamani ya usemi.{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

P_(30.50)=\frac(50 Kwa kawaida, swali linatokea: inawezekana kuhesabu uwezekano wa riba bila kutumia formula ya Bernoulli? Inageuka kuwa inawezekana. Nadharia ya ndani

Nadharia 3.1. Ikiwa uwezekano p wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni thabiti na tofauti na sufuri na moja, basi uwezekano P_(m,n) tukio hilo A litatokea mara m haswa katika majaribio n ni takriban sawa (sahihi zaidi, kubwa n) kwa thamani ya chaguo za kukokotoa

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) katika .

Kuna majedwali ambayo yana maadili ya utendakazi \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), inayolingana na maadili chanya ya hoja x. Kwa maadili hasi hoja hutumia jedwali sawa, kwani kazi \varphi(x) ni sawa, i.e. \varphi(-x)=\varphi(x).

Kwa hivyo, takriban uwezekano kwamba tukio A litaonekana mara m haswa katika majaribio n

P_(m,n)\takriban\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Wapi x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Mfano 3. Tafuta uwezekano kwamba tukio A litatokea mara 80 haswa katika majaribio 400 ikiwa uwezekano wa tukio A kutokea katika kila jaribio ni 0.2.

Suluhisho. n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Wacha tutumie formula ya Laplace isiyo na dalili:

P_(80,400)\takriban\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

Wacha tuhesabu thamani x iliyoamuliwa na data ya kazi:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Kulingana na jedwali adj 1 tunapata \varphi(0)=0,\!3989. Uwezekano unaohitajika

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Njia ya Bernoulli inaongoza kwa takriban matokeo sawa (mahesabu yameachwa kwa sababu ya ugumu wao):

P_(80,100)=0,\!0498.

Nadharia muhimu ya Laplace

Tuseme kwamba n majaribio ya kujitegemea yanafanywa, katika kila moja ambayo uwezekano wa kutokea kwa tukio A ni mara kwa mara na sawa na p. Ni muhimu kukokotoa uwezekano P_((m_1,m_2),n) kwamba tukio A litaonekana katika majaribio n angalau m_1 na mara nyingi zaidi m_2 (kwa ufupi tutasema "kutoka m_1 hadi mara m_2"). Hii inaweza kufanywa kwa kutumia nadharia muhimu ya Laplace.

Nadharia 3.2. Ikiwa uwezekano p wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni thabiti na tofauti na sufuri na moja, basi takriban uwezekano P_((m_1,m_2),n) tukio hilo A litaonekana katika majaribio kutoka mara m_1 hadi m_2,

P_((m_1,m_2),n)\takriban\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Wapi.

Wakati wa kutatua matatizo ambayo yanahitaji matumizi ya theorem muhimu ya Laplace, meza maalum hutumiwa, tangu muunganisho usio na kikomo \int(e^(-x^2/2)\,dx) haijaonyeshwa kupitia kazi za msingi. Jedwali kwa muunganisho \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz iliyotolewa katika kiambatisho. 2, ambapo thamani za chaguo za kukokotoa \Phi(x) zimetolewa maadili chanya x, kwa x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 tunaweza kuchukua \Phi(x)=0,\!5 .

Kwa hivyo, takriban uwezekano kwamba tukio A litatokea katika majaribio huru kutoka mara m_1 hadi m_2 ni

P_((m_1,m_2),n)\takriban\Phi(x"")-\Phi(x"), Wapi x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Mfano 4. Uwezekano kwamba sehemu imetengenezwa kinyume na viwango ni p=0,\!2. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 400 zilizochaguliwa kwa nasibu, kutakuwa na sehemu 70 hadi 100 zisizo za kawaida.

Suluhisho. p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Wacha tutumie nadharia muhimu ya Laplace:

P_((70,100),400)\takriban\Phi(x"")-\Phi(x").

Wacha tuhesabu mipaka ya ujumuishaji:

chini

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

juu

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Hivyo

P_((70,100),400)\takriban\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Kwa mujibu wa jedwali adj. 2 tunapata

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Uwezekano unaohitajika

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Utumiaji wa nadharia muhimu ya Laplace

Ikiwa nambari m (idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio huru ya n) itabadilika kutoka m_1 hadi m_2, basi sehemu hiyo \frac(m-np)(\sqrt(npq)) zitatofautiana kutoka \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" kabla \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Kwa hivyo, nadharia muhimu ya Laplace pia inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

P\kushoto\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Wacha tuweke kazi ya kutafuta uwezekano kwamba kupotoka kwa masafa ya jamaa \frac(m)(n) kutoka kwa uwezekano wa mara kwa mara p kwa thamani kamili haizidi nambari maalum \varepsilon>0 . Kwa maneno mengine, tunapata uwezekano wa ukosefu wa usawa \kushoto|\frac(m)(n)-p\kulia|\leqslant\varepsilon, ambayo ni sawa -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Tutaashiria uwezekano huu kama ifuatavyo: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Kwa kuzingatia fomula (3.6) ya uwezekano huu tunapata

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\haki).

Mfano 5. Uwezekano kwamba sehemu hiyo si ya kawaida ni p=0,\!1. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 400 zilizochaguliwa kwa nasibu, marudio ya jamaa ya kutokea kwa sehemu zisizo za kawaida zitatoka kwenye uwezekano p=0,\!1 katika thamani kamili kwa si zaidi ya 0.03.

Suluhisho. n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Tunahitaji kupata uwezekano P\kushoto\(\kushoto|\frac(m)(400)-0,\!1\kulia|\leqslant0,\!03\kulia\). Kwa kutumia formula (3.7), tunapata

P\kushoto\(\kushoto|\frac(m)(400)-0,\!1\kulia|\leqslant0,\!03\kulia\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\kulia)=2\Phi(2)

Kwa mujibu wa jedwali adj. 2 tunapata \Phi(2)=0,\!4772 , kwa hiyo, 2\Phi(2)=0,\!9544 . Kwa hivyo, uwezekano unaohitajika ni takriban 0.9544. Maana ya matokeo ni kama ifuatavyo: ikiwa unachukua idadi kubwa ya kutosha ya sampuli za sehemu 400 kila moja, basi katika takriban 95.44% ya sampuli hizi kupotoka kwa mzunguko wa jamaa kutoka kwa uwezekano wa mara kwa mara p=0.\!1 kabisa. thamani haitazidi 0.03.

Njia ya Poisson kwa matukio yasiyowezekana

Ikiwa uwezekano p wa tukio la tukio katika jaribio tofauti ni karibu na sifuri, basi hata na idadi kubwa tests n, lakini kwa thamani ndogo ya bidhaa np, thamani za uwezekano P_(m,n) zilizopatikana kutoka kwa fomula ya Laplace si sahihi vya kutosha na kuna haja ya fomula nyingine ya kukadiria.

Nadharia 3.3. Ikiwa uwezekano p wa tukio la tukio A katika kila jaribio ni mara kwa mara lakini ndogo, idadi ya majaribio ya kujitegemea n ni kubwa ya kutosha, lakini thamani ya bidhaa np=\lambda inabakia ndogo (si zaidi ya kumi), basi uwezekano tukio hilo A litatokea mara m katika majaribio haya ni

P_(m,n)\takriban\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Ili kurahisisha mahesabu kwa kutumia fomula ya Poisson, jedwali la maadili ya kazi ya Poisson limeundwa. \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(tazama kiambatisho 3).

Mfano 6. Hebu uwezekano wa kuzalisha sehemu isiyo ya kawaida iwe 0.004. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 1000 kutakuwa na 5 zisizo za kawaida.

Suluhisho. Hapa n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4 . Nambari zote tatu zinakidhi mahitaji ya Nadharia 3.3, kwa hivyo, kupata uwezekano wa tukio linalohitajika P_(5,1000), tunatumia fomula ya Poisson. Kutoka kwa jedwali la maadili ya kazi ya Poisson (Kiambatisho 3) na \lambda=4;m=5 tunapata.

P_(5,1000)\takriban0,\!1563

Wacha tupate uwezekano wa tukio moja kwa kutumia fomula ya Laplace. Ili kufanya hivyo, kwanza tunahesabu thamani ya x inayolingana na m=5:

Kwa hiyo, kulingana na formula ya Laplace, uwezekano unaohitajika

P_(5,1000)\takriban\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\takriban\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

na kwa mujibu wa formula ya Bernoulli thamani yake halisi ni

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552.

Hivyo, kosa la jamaa kuhesabu uwezekano wa P_(5,1000) kwa kutumia takriban fomula ya Laplace ni

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196, au 13.\!6\%

na kulingana na fomula ya Poisson -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007, au 0.\!7\%

Hiyo ni, mara nyingi chini.
Nenda kwenye sehemu inayofuata
Vigezo vya nasibu vyenye mwelekeo mmoja Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!