Aina za vekta. Vekta

Vector ni sehemu iliyoelekezwa ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi ya Euclidean, mwisho mmoja ambao (hatua A) inaitwa mwanzo wa vector, na mwisho mwingine (kumweka B) mwisho wa vector (Mchoro 1). Vectors huteuliwa:

Ikiwa mwanzo na mwisho wa vector sanjari, basi vector inaitwa vekta sifuri na imeteuliwa 0 .

Mfano. Hebu mwanzo wa vector katika nafasi mbili-dimensional kuwa na kuratibu A(12.6) , na mwisho wa vekta ni kuratibu B(12.6). Kisha vector ni vector sifuri.

Urefu wa sehemu AB kuitwa moduli (urefu, kawaida) vekta na inaonyeshwa na | a|. Vekta ya urefu sawa na moja inaitwa vekta ya kitengo. Mbali na moduli, vector ina sifa ya mwelekeo: vector ina mwelekeo kutoka A Kwa B. Vekta inaitwa vekta, kinyume vekta.

Vekta mbili zinaitwa colinear, ikiwa wanalala kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana. Katika picha Mtini. Vectors 3 nyekundu ni collinear, kwa sababu wanalala kwenye mstari huo wa moja kwa moja, na vectors bluu ni collinear, kwa sababu wanalala kwenye mistari sambamba. Vekta mbili za collinear zinaitwa kuelekezwa kwa usawa, ikiwa ncha zao ziko upande huo huo wa mstari wa moja kwa moja unaounganisha mwanzo wao. Vekta mbili za collinear zinaitwa iliyoelekezwa kinyume, ikiwa ncha zao ziko kwenye pande tofauti za mstari wa moja kwa moja unaounganisha mwanzo wao. Ikiwa vekta mbili za collinear ziko kwenye mstari mmoja ulionyooka, basi huitwa kuelekezwa sawa ikiwa moja ya miale inayoundwa na vekta moja ina kabisa miale iliyoundwa na vekta nyingine. Vinginevyo, vekta zinasemekana kuelekezwa kinyume. Katika Mchoro wa 3, vectors za bluu zinaelekezwa kwa usawa, na vectors nyekundu zinaelekezwa kinyume.

Vekta mbili zinaitwa sawa ikiwa wana moduli sawa na maelekezo sawa. Katika Mchoro 2, vekta ni sawa kwa sababu moduli zao ni sawa na zina mwelekeo sawa.

Vectors huitwa coplanar, ikiwa wanalala kwenye ndege moja au katika ndege zinazofanana.

KATIKA n Katika nafasi ya vekta ya mwelekeo, fikiria seti ya vekta zote ambazo mahali pa kuanzia inalingana na asili ya kuratibu. Kisha vekta inaweza kuandikwa kwa fomu ifuatayo:

(1)

Wapi x 1 , x 2 , ..., x n kuratibu za mwisho za vekta x.

Vekta iliyoandikwa kwa fomu (1) inaitwa vekta ya safu, na vekta iliyoandikwa kwa fomu

(2)

kuitwa vekta ya safu.

Nambari n kuitwa mwelekeo (ili) vekta. Kama basi vector inaitwa vekta sifuri(tangu mwanzo wa vector ) Vekta mbili x Na y ni sawa ikiwa na tu ikiwa vipengele vyao vinavyolingana ni sawa.

Wakati wa kusoma matawi anuwai ya fizikia, mechanics na sayansi ya kiufundi, idadi hukutana ambayo imedhamiriwa kabisa kwa kutaja maadili yao ya nambari. Kiasi kama hicho huitwa scalar au, kwa kifupi, makovu.

Kiasi cha scalar ni urefu, eneo, kiasi, wingi, joto la mwili, nk Mbali na kiasi cha scalar, katika matatizo mbalimbali kuna kiasi ambacho, pamoja na thamani yao ya nambari, ni muhimu pia kujua mwelekeo wao. Kiasi kama hicho huitwa vekta. Mifano ya kimwili ya kiasi cha vekta inaweza kuwa uhamisho wa hatua ya nyenzo inayohamia kwenye nafasi, kasi na kasi ya hatua hii, pamoja na nguvu inayofanya juu yake.

Kiasi cha vekta kinawakilishwa kwa kutumia vekta.

Ufafanuzi wa Vector. Vekta ni sehemu iliyoelekezwa ya mstari wa moja kwa moja ambayo ina urefu fulani.

Vector ina sifa ya pointi mbili. Hatua moja ni hatua ya mwanzo ya vector, hatua nyingine ni hatua ya mwisho ya vector. Ikiwa tunaashiria mwanzo wa vector na dot A , na mwisho wa vector ni uhakika KATIKA , basi vekta yenyewe inaashiria. Vekta pia inaweza kuashiria kwa herufi moja ndogo ya Kilatini na bar juu yake (kwa mfano,).

Kwa mchoro, vekta inaonyeshwa na sehemu iliyo na mshale mwishoni.

Mwanzo wa vector inaitwa hatua yake ya matumizi. Ikiwa uhakika A ni mwanzo wa vector , basi tutasema kwamba vector inatumika kwa uhakika A.

Vector ina sifa ya idadi mbili: urefu na mwelekeo.

Urefu wa Vector – umbali kati ya sehemu ya kuanzia A na sehemu ya mwisho B. Jina lingine la urefu wa vekta ni moduli ya vekta. na inaonyeshwa na ishara . Moduli ya vekta imeonyeshwa Vekta , ambayo urefu wake ni 1 inaitwa vekta ya kitengo. Hiyo ni, hali ya vector ya kitengo

Vekta yenye urefu wa sifuri inaitwa vekta sifuri (iliyoonyeshwa na). Kwa wazi, vector ya sifuri ina pointi sawa za mwanzo na mwisho. Vector ya sifuri haina mwelekeo maalum.

Ufafanuzi wa vekta za collinear. Vectors na ziko kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana huitwa collinear .

Kumbuka kuwa vekta za collinear zinaweza kuwa na urefu tofauti na mwelekeo tofauti.

Uamuzi wa vectors sawa. Vekta mbili zinasemekana kuwa sawa ikiwa ni collinear, zina urefu sawa na mwelekeo sawa.

Katika kesi hii, wanaandika:

Maoni. Kutoka kwa ufafanuzi wa usawa wa vectors ifuatavyo kwamba vector inaweza kuhamishwa kwa sambamba kwa kuweka asili yake wakati wowote katika nafasi (hasa, ndege).

Vectors zote za sifuri zinachukuliwa kuwa sawa.

Uamuzi wa vectors kinyume. Vectors mbili huitwa kinyume ikiwa ni collinear, zina urefu sawa, lakini mwelekeo kinyume.

Katika kesi hii, wanaandika:

Kwa maneno mengine, vekta iliyo kinyume na vekta inaonyeshwa kama .

Ukurasa wa 1 kati ya 2

Swali 1. Vekta ni nini? Je, vekta huteuliwaje?
Jibu. Tutaita sehemu iliyoelekezwa vector (Mchoro 211). Mwelekeo wa vector umeamua kwa kuonyesha mwanzo na mwisho wake. Katika kuchora, mwelekeo wa vector unaonyeshwa na mshale. Ili kuashiria vekta tutatumia herufi ndogo za Kilatini a, b, c, .... Unaweza pia kuashiria vekta kwa kuonyesha mwanzo na mwisho wake. Katika kesi hii, mwanzo wa vector huwekwa mahali pa kwanza. Badala ya neno "vekta", mshale au mstari wakati mwingine huwekwa juu ya muundo wa barua ya vekta. Vekta katika Mchoro 211 inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) au \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Swali la 2. Ni vekta gani zinazoitwa zinazoelekezwa sawa (zinazoelekezwa)?
Jibu. Vekta \(\overline(AB)\) na \(\overline(CD)\) inasemekana kuelekezwa sawa ikiwa mistari nusu AB na CD zimeelekezwa kwa usawa.
Vekta \(\overline(AB)\) na \(\overline(CD)\) inasemekana kuelekezwa kinyume ikiwa mistari nusu AB na CD zimeelekezwa kinyume.
Katika Mchoro 212, vekta \(\ overline(a)\) na \(\ overline(b)\) zimeelekezwa kwa usawa, na vekta \(\overline(a)\) na \(\overline(c)\) ) zimeelekezwa kinyume.

Swali la 3. Ni ukubwa gani kabisa wa vekta?
Jibu. Thamani kamili (au moduli) ya vekta ni urefu wa sehemu inayowakilisha vekta. Thamani kamili ya vekta \(\overline(a)\) inaashiriwa na |\(\overline(a)\)|.

Swali la 4. Je, vekta batili ni nini?
Jibu. Mwanzo wa vector unaweza sanjari na mwisho wake. Tutaita vekta kama hiyo vekta ya sifuri. Vekta ya sifuri inaonyeshwa na sifuri na dashi (\(\ overline(0)\)). Hawazungumzi juu ya mwelekeo wa vector ya sifuri. Thamani kamili ya vector ya sifuri inachukuliwa kuwa sawa na sifuri.

Swali la 5. Ni vekta gani zinazoitwa sawa?
Jibu. Vekta mbili zinasemekana kuwa sawa ikiwa zimeunganishwa na tafsiri sambamba. Hii ina maana kwamba kuna tafsiri sambamba ambayo inachukua mwanzo na mwisho wa vekta moja hadi mwanzo na mwisho wa vekta nyingine, kwa mtiririko huo.

Swali la 6. Thibitisha kuwa vekta sawa zina mwelekeo sawa na ni sawa kwa thamani kamili. Na kinyume chake: vekta zilizoelekezwa sawa ambazo ni sawa kwa thamani kamili ni sawa.
Jibu. Wakati wa kutafsiri sambamba, vector huhifadhi mwelekeo wake, pamoja na thamani yake kamili. Hii ina maana kwamba vekta sawa zina maelekezo sawa na ni sawa kwa thamani kamili.
Hebu \(\overline(AB)\) na \(\overline(CD)\) iwe vekta zinazoelekezwa kwa kufanana, sawa na thamani kamili (Mchoro 213). Tafsiri sambamba inayosogeza nukta C hadi A inachanganya CD ya mstari nusu na mstari wa nusu AB, kwa kuwa zina mwelekeo sawa. Na kwa kuwa sehemu za AB na CD ni sawa, basi hatua D inafanana na hatua B, i.e. tafsiri sambamba hubadilisha vekta \(\overline(CD)\) kuwa vekta \(\overline(AB)\). Hii ina maana kwamba vekta \(\overline(AB)\) na \(\overline(CD)\) ni sawa, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Swali la 7. Thibitisha kuwa kutoka kwa hatua yoyote unaweza kupanga vekta sawa na vekta fulani, na moja tu.
Jibu. Acha CD iwe mstari, na vekta \(\overline(CD)\) iwe sehemu ya CD ya mstari. Acha AB iwe mstari wa moja kwa moja ambao CD ya mstari wa moja kwa moja huenda wakati wa uhamishaji sambamba, \(\overline(AB)\) iwe vekta ambayo vekta \(\overline(CD)\) huenda wakati wa uhamishaji sambamba, na kwa hivyo vekta \(\ overline(AB)\) na \(\overline(CD)\) ni sawa, na mistari ya moja kwa moja AB na CD ni sambamba (ona Mchoro 213). Kama tunavyojua, kupitia hatua ambayo haijalala kwenye mstari fulani, inawezekana kuchora kwenye ndege kwa zaidi ya mstari mmoja wa moja kwa moja sambamba na uliopewa (axiom ya mistari inayofanana). Hii ina maana kwamba kupitia nukta A mstari mmoja unaweza kuchorwa sambamba na CD ya mstari. Kwa kuwa vekta \(\overline(AB)\) ni sehemu ya mstari AB, basi kupitia hatua A mtu anaweza kuchora vekta moja \(\overline(AB)\), sawa na vector \(\overline(CD)\). )

Swali la 8. Viwianishi vya vekta ni nini? Je, ni thamani gani kabisa ya vekta iliyo na kuratibu 1, a 2?
Jibu. Acha vekta \(\overline(a)\) iwe na sehemu ya kuanzia A 1 (x 1 ; y 1), na sehemu ya mwisho A 2 (x 2; y 2). Kuratibu za vekta \(\overline(a)\) zitakuwa nambari a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Tutaweka viwianishi vya vekta karibu na jina la barua ya vekta, katika kesi hii \(\overline(a)\) (a 1; a 2) au kwa urahisi \((\overline(a 1; a 2) )\). Kuratibu za vector ya sifuri ni sawa na sifuri.
Kutoka kwa formula inayoonyesha umbali kati ya pointi mbili kupitia kuratibu zao, inafuata kwamba thamani kamili ya vector na kuratibu 1 , 2 ni sawa na \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).

Swali la 9. Thibitisha kuwa vekta sawa zina viwianishi sawa, na vekta zilizo na viwianishi sawa ni sawa.
Jibu. Acha A 1 (x 1 ; y 1) na A 2 (x 2 ; y 2) iwe mwanzo na mwisho wa vekta \(\overline(a)\). Kwa kuwa vekta \(\ overline(a)\) sawa nayo hupatikana kutoka kwa vekta \(\overline(a)\) kwa tafsiri sambamba, mwanzo na mwisho wake utakuwa A" 1 (x 1 + c; y 1) + d) mtawalia ), A" 2 (x 2 + c; y 2+ + d). Hii inaonyesha kwamba vekta zote \(\overline(a)\) na \(\overline(a")\) zina kuratibu sawa: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
Hebu sasa tuthibitishe kauli ya mazungumzo. Acha viwianishi vinavyolingana vya vekta \(\ overline(A 1 A 2 )\) na \(\overline(A" 1 A" 2 )\) ziwe sawa. Hebu tuthibitishe kwamba vectors ni sawa.
Acha x" 1 na y" 1 ziwe viwianishi vya nukta A" 1, na x" 2, y" 2 viwe viwianishi vya nukta A" 2. Kulingana na masharti ya nadharia, x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Kwa hivyo x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Uhamisho sambamba unaotolewa na fomula

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

huhamisha hatua A 1 hadi A" 1, na uhakika A 2 hadi A" 2, i.e. vekta \(\overline(A 1 A 2 )\) na \(\overline(A" 1 A" 2 )\) ni sawa, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Swali la 10. Fafanua jumla ya vekta.
Jibu. Jumla ya vekta \(\overline(a)\) na \(\overline(b)\) yenye kuratibu a 1 , a 2 na b 1 , b 2 inaitwa vekta \(\overline(c)\) na inaratibu 1 + b 1, a 2 + b a 2, i.e.

\(\ overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).