Kuhesabu eneo la pembetatu mkondoni. Jinsi ya kuhesabu eneo la pembetatu

Maagizo

1. Kwa miguu miwili S = a * b/2, a, b - miguu,

Chaguo la pili la eneo la kuhesabu hutumia sines za pembe zinazojulikana badala ya cotangents. Katika toleo hili mraba ni sawa na mraba wa urefu wa upande unaojulikana, unaozidishwa na sine za kila pembe na kugawanywa na sine mara mbili ya pembe hizi: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *dhambi(α + β)). Kwa mfano, kwa pembetatu sawa na upande unaojulikana wa cm 15, na karibu nayo pembe kwa 40 ° na 60 °, hesabu ya eneo itaonekana kama hii: (15 * 15 * dhambi (40) * dhambi (60)) / (2 * dhambi (40 + 60)) = 225 * 0.74511316 * (-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 sentimita za mraba.

Toleo la kuhesabu eneo la pembetatu linajumuisha pembe. Eneo litakuwa sawa na mraba wa urefu wa upande unaojulikana, ukizidishwa na tangents ya kila pembe na kugawanywa na mara mbili jumla ya tangents ya pembe hizi: S = A*A*tg(α)*tg. (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Kwa mfano, kwa pembetatu iliyotumiwa katika hatua za awali na upande wa cm 15 na karibu pembe kwa 40 ° na 60 °, hesabu ya eneo itaonekana kama hii: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60))) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 sentimita za mraba.

Pembetatu ndiyo poligoni rahisi zaidi yenye vipeo vitatu na pande tatu. Pembetatu, ambayo moja ya pembe zake ni sawa, inaitwa pembetatu ya kulia. Kwa pembetatu za kulia, fomula zote za pembetatu za jumla zinatumika. Walakini, zinaweza kubadilishwa, kwa kuzingatia mali ya pembe ya kulia.

Maagizo

Msingi wa kutafuta eneo pembetatu kupitia msingi kama ifuatavyo: S = 1/2 * b * h, ambapo b ni upande pembetatu, na h - pembetatu. Urefu pembetatu ni perpendicular inayotolewa kutoka kwa vertex pembetatu kwa mstari ulio na kinyume. Kwa mstatili pembetatu urefu k b unaendana na mguu a. Kwa njia hii utapata formula ya kuhesabu eneo hilo pembetatu yenye pembe: S = 1/2 * a * b.

Fikiria. Hebu katika mstatili a = 3, b = 4. Kisha S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Kokotoa mraba sawa pembetatu, lakini sasa acha upande mmoja tu ujulikane, b = 4. Na angle α, tan α = 3/4 pia inajulikana. Kisha, kutoka kwa usemi wa kitendakazi cha trigonometric tangent α, eleza mguu a: tg α = a/b => a = b * tan α. Weka thamani hii kwenye fomula ili kukokotoa eneo la mstatili pembetatu na tunapata: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​= 6.

Fikiria kama kesi maalum hesabu ya eneo la mstatili wa isosceles pembetatu. Pembetatu ya isosceles ni pembetatu ambayo pande mbili ni sawa kwa kila mmoja. Katika kesi ya mstatili pembetatu inageuka a = b. Andika nadharia ya Pythagorean kwa kesi hii: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Kisha, weka thamani hii katika fomula ya kukokotoa eneo kama ifuatavyo: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

Ikiwa radii ya mduara ulioandikwa r na mviringo R hujulikana, basi mraba mstatili pembetatu imehesabiwa kwa formula S = r ^ 2 + 2 * r * R. Hebu radius ya mduara iliyoandikwa katika pembetatu iwe r = 1, radius ya mzunguko wa mzunguko pembetatu mduara R = 5/2. Kisha S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.

Video kwenye mada

Ushauri muhimu

Radi ya mduara iliyozunguka pembetatu ya kulia ni sawa na nusu ya hypotenuse: R = c / 2. Radi ya mduara iliyoandikwa katika pembetatu ya kulia hupatikana kwa formula r = (a + b - c) / 2.

Hii ni moja ya takwimu rahisi za kijiometri, ambazo sehemu tatu zinazounganisha pointi tatu kwa jozi hupunguza sehemu ya ndege. Ujuzi wa baadhi ya vigezo vya pembetatu (urefu wa pande, pembe, radii ya miduara iliyoandikwa au iliyopigwa, urefu, nk) katika mchanganyiko mbalimbali inaruhusu mtu kuhesabu eneo la sehemu hii ndogo ya ndege.

Maagizo

Ikiwa urefu wa pande mbili za pembetatu (A na B) na ukubwa wa pembe yao (γ) hujulikana, basi eneo (S) la pembetatu litakuwa sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa pande na sine ya pembe inayojulikana: S=A∗B∗sin(γ)/2.

Ikiwa urefu wa pande zote tatu (A, B na C) katika pembetatu ya kiholela hujulikana, basi kuhesabu eneo lake (S) ni rahisi zaidi kuanzisha kutofautiana kwa ziada - nusu ya mzunguko (p). Tofauti hii inakokotolewa katika nusu ya jumla ya urefu wa pande zote: p=(A+B+C)/2. Kutumia kigeu hiki kunaweza kufafanuliwa kuwa mzizi wa mraba wa bidhaa ya nusu-mzunguko kwenye kigezo hiki na urefu wa pande: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Ikiwa, pamoja na urefu wa pande zote (A, B na C), urefu wa radius (R) ya duara iliyozunguka karibu na pembetatu ya kiholela pia inajulikana, basi unaweza kufanya bila mzunguko wa nusu - eneo hilo. (S) itakuwa sawa na uwiano wa bidhaa ya urefu wa pande zote kwa radius ya mara nne ya mduara: S=A ∗B∗C/(4∗R).

Ikiwa maadili ya pembe zote za pembetatu (α, β na γ) na urefu wa moja ya pande zake (A) zinajulikana, basi eneo (S) litakuwa sawa na uwiano wa bidhaa. mraba wa urefu wa upande unaojulikana kwa sine za pembe mbili zinazopakana nayo kwa sine mara mbili ya pembe moja iliyo kinyume: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

Ikiwa maadili ya pembe zote za pembetatu ya kiholela (α, β na γ) na radius (R) ya duara iliyozungushwa yanajulikana, basi eneo (S) litakuwa sawa na mraba mara mbili ya radius na sine za pembe zote: S=2∗R²∗sin(α)∗ dhambi(β)∗sin(γ).

Video kwenye mada

Kupata kiasi cha pembetatu kwa kweli ni kazi isiyo ya kawaida. Ukweli ni kwamba pembetatu ni takwimu mbili-dimensional, i.e. iko kabisa katika ndege moja, ambayo ina maana kwamba haina kiasi. Bila shaka, huwezi kupata kitu ambacho hakipo. Lakini tusikate tamaa! Tunaweza kukubali dhana ifuatayo: kiasi cha takwimu mbili-dimensional ni eneo lake. Tutatafuta eneo la pembetatu.

Utahitaji

• karatasi, penseli, mtawala, calculator

Maagizo

Chora kwenye karatasi kwa kutumia mtawala na penseli. Kwa kuchunguza kwa makini pembetatu, unaweza kuhakikisha kwamba kwa kweli haina pembetatu, kwa kuwa inatolewa kwenye ndege. Andika pande za pembetatu: basi upande mmoja uwe upande "a", upande mwingine "b", na upande wa tatu "c". Weka alama kwenye wima za pembetatu kwa herufi "A", "B" na "C".

Pima upande wowote wa pembetatu na mtawala na uandike matokeo. Baada ya hayo, kurejesha perpendicular kwa upande kipimo kutoka vertex kinyume na hayo, perpendicular vile itakuwa urefu wa pembetatu. Katika kesi iliyoonyeshwa kwenye takwimu, perpendicular "h" inarejeshwa kwa upande "c" kutoka kwa vertex "A". Pima urefu unaosababishwa na mtawala na uandike matokeo ya kipimo.

Inaweza kuwa vigumu kwako kurejesha perpendicular halisi. Katika kesi hii, unapaswa kutumia formula tofauti. Pima pande zote za pembetatu na mtawala. Baada ya hayo, hesabu nusu ya mzunguko wa pembetatu "p" kwa kuongeza urefu wa pande zote na kugawanya jumla yao kwa nusu. Ukiwa na thamani ya nusu mzunguko ulio nao, unaweza kutumia fomula ya Heron. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchukua mizizi ya mraba ya zifuatazo: p (p-a) (p-b) (p-c).

Umepata eneo linalohitajika la pembetatu. Shida ya kupata kiasi cha pembetatu haijatatuliwa, lakini kama ilivyoelezwa hapo juu, kiasi sio. Unaweza kupata kiasi ambacho kimsingi ni pembetatu katika ulimwengu wa pande tatu. Ikiwa tunafikiria kuwa pembetatu yetu ya asili imekuwa piramidi ya pande tatu, basi kiasi cha piramidi kama hiyo itakuwa bidhaa ya urefu wa msingi wake na eneo linalosababishwa la pembetatu.

Tafadhali kumbuka

Unapopima kwa uangalifu zaidi, ndivyo mahesabu yako yatakuwa sahihi zaidi.

Vyanzo:

• Kikokotoo "Kila kitu kwa kila kitu" - lango la maadili ya marejeleo
• kiasi cha pembetatu

Unaweza kupata fomula zaidi ya 10 za kuhesabu eneo la pembetatu kwenye mtandao, nyingi hutumiwa katika shida na pande zinazojulikana na pembe za pembetatu. Walakini, kuna idadi ya mifano ngumu ambapo, kwa mujibu wa masharti ya mgawo huo, upande mmoja tu na pembe za pembetatu zinajulikana, au radius ya mduara uliozunguka au ulioandikwa na tabia moja zaidi. Katika hali kama hizi, formula rahisi haiwezi kutumika.

Njia zilizopewa hapa chini zitakuruhusu kutatua asilimia 95 ya shida ambazo unahitaji kupata eneo la pembetatu.
Wacha tuendelee kuzingatia fomula za eneo la kawaida.
Fikiria pembetatu iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini

Katika takwimu na chini katika fomula, uteuzi wa classical wa sifa zake zote huletwa.
a,b,c - pande za pembetatu,
R - radius ya duara iliyozungushwa,
r - radius ya mduara ulioandikwa,
h[b],h[a],h[c] - urefu uliochorwa kwa mujibu wa pande a,b,c.
alpha, beta, hamma - pembe karibu na wima.

Njia za kimsingi za eneo la pembetatu

1. Eneo hilo ni sawa na nusu ya bidhaa ya upande wa pembetatu na urefu umepungua kwa upande huu. Katika lugha ya fomula, ufafanuzi huu unaweza kuandikwa kama ifuatavyo

Kwa hivyo, ikiwa upande na urefu vinajulikana, basi kila mwanafunzi atapata eneo hilo.
Kwa njia, kutoka kwa formula hii mtu anaweza kupata uhusiano mmoja muhimu kati ya urefu

2. Ikiwa tunazingatia kwamba urefu wa pembetatu kupitia upande wa karibu unaonyeshwa na utegemezi

Kisha fomula ya eneo la kwanza inafuatwa na ya pili ya aina moja

Angalia kwa makini formula - ni rahisi kukumbuka, kwani kazi inahusisha pande mbili na angle kati yao. Ikiwa tutateua kwa usahihi pande na pembe za pembetatu (kama kwenye takwimu hapo juu), tutapata pande mbili a, b. na pembe imeunganishwa na ya tatu Na (hamma).

3. Kwa pembe za pembetatu, uhusiano ni kweli

Utegemezi hukuruhusu kutumia fomula zifuatazo za eneo la pembetatu katika mahesabu:

Mifano ya utegemezi huu ni nadra sana, lakini lazima ukumbuke kuwa kuna fomula kama hiyo.

4. Ikiwa upande na pembe mbili za karibu zinajulikana, basi eneo linapatikana kwa formula

5. Fomula ya eneo kwa suala la upande na cotangent ya pembe za karibu ni kama ifuatavyo

Kwa kupanga upya faharisi unaweza kupata utegemezi kwa vyama vingine.

6. Fomu ya eneo hapa chini hutumiwa katika matatizo wakati wima za pembetatu zinatajwa kwenye ndege na kuratibu. Katika kesi hii, eneo ni sawa na nusu ya kiashiria kilichochukuliwa modulo.

7. Fomula ya Heron hutumika katika mifano yenye pande zinazojulikana za pembetatu.
Kwanza pata nusu ya mzunguko wa pembetatu

Na kisha kuamua eneo kwa kutumia formula

au

Inatumika mara nyingi katika kanuni za programu za calculator.

8. Ikiwa urefu wote wa pembetatu hujulikana, basi eneo hilo linatambuliwa na formula

Ni vigumu kuhesabu kwenye calculator, lakini katika vifurushi vya MathCad, Mathematica, Maple eneo hilo ni "wakati wa pili".

9. Fomula zifuatazo hutumia radii inayojulikana ya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa.

Hasa, ikiwa radius na pande za pembetatu, au mzunguko wake, zinajulikana, basi eneo hilo linahesabiwa kulingana na formula.

10. Katika mifano ambapo pande na kipenyo au kipenyo cha duara iliyozungushwa hutolewa, eneo linapatikana kwa kutumia fomula.

11. Fomula ifuatayo huamua eneo la pembetatu kulingana na upande na pembe za pembetatu.

Na mwishowe - kesi maalum:
Eneo la pembetatu ya kulia na miguu a na b sawa na nusu ya bidhaa zao

Mfumo wa eneo la pembetatu ya usawa (ya kawaida).=

= moja ya nne ya bidhaa ya mraba wa upande na mzizi wa tatu.

Pembetatu ni takwimu ya kijiometri ambayo ina mistari mitatu ya moja kwa moja inayounganisha kwenye pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa. Pointi za kuunganisha za mistari ni wima za pembetatu, ambazo huteuliwa na herufi za Kilatini (kwa mfano, A, B, C). Mistari ya moja kwa moja inayounganisha ya pembetatu inaitwa sehemu, ambazo pia kawaida huonyeshwa na herufi za Kilatini. Aina zifuatazo za pembetatu zinajulikana:

• Mstatili.
• Obtuse.
• Papo hapo angular.
• Inayobadilika.
• Equilateral.
• Isosceles.

Njia za jumla za kuhesabu eneo la pembetatu

Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na urefu na urefu

S=a*h/2,
ambapo a ni urefu wa upande wa pembetatu ambao eneo lake linahitaji kupatikana, h ni urefu wa urefu unaotolewa kwenye msingi.

Fomula ya Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
ambapo √ ni mzizi wa mraba, p ni nusu mzunguko wa pembetatu, a,b,c ni urefu wa kila upande wa pembetatu. Nusu ya mzunguko wa pembetatu inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula p=(a+b+c)/2.

Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na pembe na urefu wa sehemu

S = (a*b*dhambi(α))/2,
ambapo b,c ni urefu wa pande za pembetatu, sin(α) ni sine ya pembe kati ya pande hizo mbili.

Mfumo wa eneo la pembetatu kwa kupewa radius ya duara iliyoandikwa na pande tatu

S=p*r,
ambapo p ni nusu ya mzunguko wa pembetatu ambayo eneo lake linahitaji kupatikana, r ni radius ya duara iliyoandikwa katika pembetatu hii.

Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na pande tatu na radius ya duara iliyozungushwa kuzunguka.

S= (a*b*c)/4*R,
ambapo a,b,c ni urefu wa kila upande wa pembetatu, R ni kipenyo cha duara kilichozungushwa kuzunguka pembetatu.

Mfumo wa eneo la pembetatu kwa kutumia kuratibu za alama za Cartesian

Kuratibu za alama za Cartesian ni kuratibu katika mfumo wa xOy, ambapo x ni abscissa, y ndiye mratibu. Mfumo wa kuratibu wa Cartesian xOy kwenye ndege ni shoka za nambari zinazofanana Ox na Oy zenye asili ya kawaida katika hatua O. Ikiwa viwianishi vya pointi kwenye ndege hii vimetolewa katika fomu A(x1, y1), B(x2, y2). ) na C(x3, y3), basi unaweza kuhesabu eneo la pembetatu kwa kutumia fomula ifuatayo, ambayo hupatikana kutoka kwa bidhaa ya vekta ya vekta mbili.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
wapi || inasimama kwa moduli.

Jinsi ya kupata eneo la pembetatu ya kulia

Pembetatu ya kulia ni pembetatu yenye pembe moja yenye kipimo cha digrii 90. Pembetatu inaweza kuwa na pembe moja tu kama hiyo.

Mfumo wa eneo la pembetatu ya kulia kwa pande mbili

S=a*b/2,
ambapo a,b ni urefu wa miguu. Miguu ni pande zilizo karibu na pembe ya kulia.

Mfumo wa eneo la pembetatu ya kulia kulingana na hypotenuse na angle ya papo hapo

S = a*b*dhambi(α)/ 2,
ambapo a, b ni miguu ya pembetatu, na sin(α) ni sine ya pembe ambayo mistari a, b inakatiza.

Mfumo wa eneo la pembetatu ya kulia kulingana na upande na pembe tofauti

S = a*b/2*tg(β),
ambapo a, b ni miguu ya pembetatu, tan(β) ni tanjiti ya pembe ambayo miguu a, b imeunganishwa.

Jinsi ya kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles

Pembetatu ya isosceles ni moja ambayo ina pande mbili sawa. Pande hizi huitwa pande, na upande mwingine ni msingi. Ili kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles, unaweza kutumia moja ya fomula zifuatazo.

Njia ya msingi ya kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles

S=h*c/2,
ambapo c ndio msingi wa pembetatu, h ni urefu wa pembetatu ulioshushwa hadi msingi.

Mfumo wa pembetatu ya isosceles kulingana na upande na msingi

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
ambapo c ndio msingi wa pembetatu, a ni saizi ya moja ya pande za pembetatu ya isosceles.

Jinsi ya kupata eneo la pembetatu ya usawa

Pembetatu ya usawa ni pembetatu ambayo pande zote ni sawa. Ili kuhesabu eneo la pembetatu ya usawa, unaweza kutumia formula ifuatayo:
S = (√3*a*a)/4,
ambapo a ni urefu wa upande wa pembetatu ya usawa.

Njia zilizo hapo juu zitakuruhusu kuhesabu eneo linalohitajika la pembetatu. Ni muhimu kukumbuka kuwa kuhesabu eneo la pembetatu, unahitaji kuzingatia aina ya pembetatu na data inayopatikana ambayo inaweza kutumika kwa hesabu.

Kama unavyoweza kukumbuka kutoka kwa mtaala wa jiometri ya shule yako, pembetatu ni kielelezo kilichoundwa kutoka sehemu tatu zilizounganishwa na pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari sawa sawa. Pembetatu huunda pembe tatu, kwa hiyo jina la takwimu. Ufafanuzi unaweza kuwa tofauti. Pembetatu pia inaweza kuitwa poligoni yenye pembe tatu, jibu pia litakuwa sahihi. Pembetatu imegawanywa kulingana na idadi ya pande sawa na ukubwa wa pembe katika takwimu. Kwa hivyo, pembetatu zinajulikana kama isosceles, equilateral na scalene, pamoja na mstatili, papo hapo na obtuse, kwa mtiririko huo.

Kuna njia nyingi za kuhesabu eneo la pembetatu. Chagua jinsi ya kupata eneo la pembetatu, i.e. Ni fomula gani ya kutumia ni juu yako. Lakini inafaa kuzingatia baadhi tu ya nukuu ambazo hutumiwa katika fomula nyingi za kuhesabu eneo la pembetatu. Kwa hivyo, kumbuka:

S ni eneo la pembetatu,

a, b, c ni pande za pembetatu,

h ni urefu wa pembetatu,

R ni radius ya duara iliyozungushwa,

p ni nusu ya mzunguko.

Hapa kuna vidokezo vya msingi ambavyo vinaweza kuwa muhimu kwako ikiwa umesahau kabisa kozi yako ya jiometri. Chini ni chaguzi zinazoeleweka zaidi na zisizo ngumu za kuhesabu eneo lisilojulikana na la kushangaza la pembetatu. Sio ngumu na itakuwa muhimu kwa mahitaji yako ya nyumbani na kusaidia watoto wako. Hebu tukumbuke jinsi ya kuhesabu eneo la pembetatu kwa urahisi iwezekanavyo:

Kwa upande wetu, eneo la pembetatu ni: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. Kumbuka eneo hilo hupimwa kwa sentimita za mraba (sqcm).

Pembetatu ya kulia na eneo lake.

Pembetatu ya kulia ni pembetatu ambayo pembe moja ni sawa na digrii 90 (kwa hivyo inaitwa kulia). Pembe ya kulia huundwa na mistari miwili ya perpendicular (katika kesi ya pembetatu, sehemu mbili za perpendicular). Katika pembetatu ya kulia kunaweza kuwa na pembe moja tu ya kulia, kwa sababu ... jumla ya pembe zote za pembetatu yoyote ni sawa na digrii 180. Inatokea kwamba pembe nyingine 2 zinapaswa kugawanya digrii 90 zilizobaki, kwa mfano 70 na 20, 45 na 45, nk. Kwa hivyo, unakumbuka jambo kuu, kilichobaki ni kujua jinsi ya kupata eneo la pembetatu ya kulia. Wacha tufikirie kuwa tunayo pembetatu ya kulia mbele yetu, na tunahitaji kupata eneo lake S.

1. Njia rahisi zaidi ya kuamua eneo la pembetatu ya kulia inahesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:

Kwa upande wetu, eneo la pembetatu ya kulia ni: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq.

Kimsingi, hakuna haja tena ya kudhibitisha eneo la pembetatu kwa njia zingine, kwa sababu Hii tu itakuwa muhimu na itasaidia katika maisha ya kila siku. Lakini pia kuna chaguzi za kupima eneo la pembetatu kupitia pembe za papo hapo.

2. Kwa njia nyingine za hesabu, lazima uwe na meza ya cosines, sines na tangents. Jaji mwenyewe, hapa kuna chaguzi kadhaa za kuhesabu eneo la pembetatu ya kulia ambayo bado inaweza kutumika:

Tuliamua kutumia fomula ya kwanza na bloti ndogo (tulichora kwenye daftari na kutumia mtawala wa zamani na protractor), lakini tulipata hesabu sahihi:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Tulipata matokeo yafuatayo: 3.6 = 3.7, lakini kwa kuzingatia mabadiliko ya seli, tunaweza kusamehe nuance hii.

Pembetatu ya isosceles na eneo lake.

Ikiwa unakabiliwa na kazi ya kuhesabu formula ya pembetatu ya isosceles, basi njia rahisi ni kutumia kuu na ambayo inachukuliwa kuwa fomula ya classical ya eneo la pembetatu.

Lakini kwanza, kabla ya kupata eneo la pembetatu ya isosceles, hebu tujue ni aina gani ya takwimu hii. Pembetatu ya isosceles ni pembetatu ambayo pande mbili zina urefu sawa. Pande hizi mbili zinaitwa lateral, upande wa tatu unaitwa msingi. Usichanganye pembetatu ya isosceles na pembetatu ya equilateral, i.e. pembetatu ya kawaida na pande zote tatu sawa. Katika pembetatu hiyo hakuna mwelekeo maalum kwa pembe, au tuseme kwa ukubwa wao. Hata hivyo, pembe kwenye msingi katika pembetatu ya isosceles ni sawa, lakini tofauti na pembe kati ya pande sawa. Kwa hivyo, tayari unajua formula ya kwanza na kuu; inabakia kujua ni njia gani zingine za kuamua eneo la pembetatu ya isosceles zinajulikana.

Pembetatu ni takwimu inayojulikana kwa kila mtu. Na hii licha ya aina nyingi za aina zake. Mstatili, equilateral, papo hapo, isosceles, butu. Kila mmoja wao ni tofauti kwa namna fulani. Lakini kwa mtu yeyote unahitaji kujua eneo la pembetatu.

Miundo ya kawaida kwa pembetatu zote zinazotumia urefu wa pande au urefu

Majina yaliyopitishwa ndani yao: pande - a, b, c; urefu kwenye pande zinazolingana kwenye a, n ndani, n na.

1. Eneo la pembetatu linahesabiwa kama bidhaa ya ½, upande na urefu uliotolewa kutoka humo. S = ½ * a * n a. Fomula za pande zingine mbili zinapaswa kuandikwa sawa.

2. Fomu ya Heron, ambayo mzunguko wa nusu inaonekana (kawaida inaonyeshwa na barua ndogo p, tofauti na mzunguko kamili). Mzunguko wa nusu lazima uhesabiwe kama ifuatavyo: ongeza pande zote na uzigawanye kwa 2. Fomula ya nusu ya mzunguko ni: p = (a+b+c) / 2. Kisha usawa wa eneo la takwimu inaonekana kama hii: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Ikiwa hutaki kutumia mzunguko wa nusu, basi formula ambayo ina urefu wa pande tu itakuwa muhimu: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ni ndefu kidogo kuliko ile iliyopita, lakini itasaidia ikiwa umesahau jinsi ya kupata eneo la nusu.

Fomula za jumla zinazohusisha pembe za pembetatu

Vidokezo vinavyohitajika ili kusoma fomula: α, β, γ - pembe. Wanalala pande tofauti a, b, c, kwa mtiririko huo.

1. Kulingana na hayo, nusu ya bidhaa ya pande mbili na sine ya pembe kati yao ni sawa na eneo la pembetatu. Yaani: S = ½ a * b * dhambi γ. Fomula za kesi zingine mbili zinapaswa kuandikwa kwa njia sawa.

2. Eneo la pembetatu linaweza kuhesabiwa kutoka upande mmoja na pembe tatu zinazojulikana. S = (a 2 * dhambi β * dhambi γ) / (2 dhambi α).

3. Pia kuna formula yenye upande mmoja unaojulikana na pembe mbili za karibu. Inaonekana kama hii: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Fomula mbili za mwisho sio rahisi zaidi. Ni ngumu sana kuwakumbuka.

Fomula za jumla za hali wakati radii ya miduara iliyoandikwa au iliyozunguka inajulikana

Majina ya ziada: r, R - radii. Ya kwanza hutumiwa kwa radius ya mduara ulioandikwa. Ya pili ni ya ile iliyoelezwa.

1. Fomula ya kwanza ambayo eneo la pembetatu huhesabiwa inahusiana na nusu ya mzunguko. S = r * r. Njia nyingine ya kuiandika ni: S = ½ r * (a + b + c).

2. Katika kesi ya pili, utahitaji kuzidisha pande zote za pembetatu na kugawanya kwa mara nne ya radius ya mduara unaozunguka. Katika usemi halisi inaonekana kama hii: S = (a * b * c) / (4R).

3. Hali ya tatu hukuruhusu kufanya bila kujua pande, lakini utahitaji maadili ya pembe zote tatu. S = 2 R 2 * dhambi α * dhambi β * dhambi γ.

Kesi maalum: pembetatu ya kulia

Hii ndiyo hali rahisi zaidi, kwa kuwa tu urefu wa miguu yote inahitajika. Zimeteuliwa na herufi za Kilatini a na b. Eneo la pembetatu ya kulia ni sawa na nusu ya eneo la mstatili ulioongezwa kwake.

Kihisabati inaonekana kama hii: S = ½ a * b. Ni rahisi kukumbuka. Kwa sababu inaonekana kama fomula ya eneo la mstatili, ni sehemu tu inayoonekana, inayoonyesha nusu.

Kesi maalum: pembetatu ya isosceles

Kwa kuwa ina pande mbili sawa, fomula zingine za eneo lake zinaonekana kuwa rahisi. Kwa mfano, formula ya Heron, ambayo huhesabu eneo la pembetatu ya isosceles, inachukua fomu ifuatayo:

S = ½ katika √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ukiibadilisha, itakuwa fupi. Katika kesi hii, formula ya Heron ya pembetatu ya isosceles imeandikwa kama ifuatavyo:

S = ¼ katika √(4 * a 2 - b 2).

Fomula ya eneo inaonekana rahisi zaidi kuliko pembetatu ya kiholela ikiwa pande na pembe kati yao zinajulikana. S = ½ a 2 * dhambi β.

Kesi maalum: pembetatu ya usawa

Kawaida katika matatizo upande kuhusu hilo hujulikana au inaweza kupatikana kwa namna fulani. Kisha formula ya kupata eneo la pembetatu kama hii ni kama ifuatavyo.

S = (a 2 √3) / 4.

Matatizo ya kupata eneo ikiwa pembetatu imeonyeshwa kwenye karatasi ya checkered

Hali rahisi ni wakati pembetatu ya kulia inatolewa ili miguu yake ifanane na mistari ya karatasi. Kisha unahitaji tu kuhesabu idadi ya seli zinazoingia kwenye miguu. Kisha zizidishe na ugawanye kwa mbili.

Wakati pembetatu ni ya papo hapo au butu, inahitaji kuvutwa kwa mstatili. Kisha takwimu inayotokana itakuwa na pembetatu 3. Moja ni ile iliyotolewa katika tatizo. Na nyingine mbili ni msaidizi na mstatili. Maeneo ya mbili za mwisho yanahitajika kuamua kwa kutumia njia iliyoelezwa hapo juu. Kisha uhesabu eneo la mstatili na uondoe kutoka kwake zile zilizohesabiwa kwa zile za msaidizi. Eneo la pembetatu imedhamiriwa.

Hali ambayo hakuna pande zote za pembetatu inayofanana na mistari ya karatasi inageuka kuwa ngumu zaidi. Kisha inahitaji kuandikwa kwenye mstatili ili wima ya takwimu ya awali iko kwenye pande zake. Katika kesi hii, kutakuwa na pembetatu tatu za kulia za msaidizi.

Mfano wa tatizo la kutumia fomula ya Heron

Hali. Pembetatu fulani ina pande zinazojulikana. Wao ni sawa na 3, 5 na 6 cm Unahitaji kujua eneo lake.

Sasa unaweza kuhesabu eneo la pembetatu kwa kutumia fomula hapo juu. Chini ya mizizi ya mraba ni bidhaa ya namba nne: 7, 4, 2 na 1. Hiyo ni, eneo ni √(4 * 14) = 2 √(14).

Ikiwa usahihi zaidi hauhitajiki, basi unaweza kuchukua mizizi ya mraba 14. Ni sawa na 3.74. Kisha eneo litakuwa 7.48.

Jibu. S = 2 √14 cm 2 au 7.48 cm 2.

Mfano wa shida na pembetatu ya kulia

Hali. Mguu mmoja wa pembetatu ya kulia ni 31 cm kubwa kuliko ya pili, unahitaji kujua urefu wao ikiwa eneo la pembetatu ni 180 cm 2.
Suluhisho. Tutalazimika kutatua mfumo wa milinganyo miwili. Ya kwanza inahusiana na eneo. Ya pili ni kwa uwiano wa miguu, ambayo hutolewa katika tatizo.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Kwanza, thamani ya “a” lazima ibadilishwe na kuwa mlingano wa kwanza. Inageuka: 180 = ½ (katika + 31) * ndani. Kuna idadi moja tu isiyojulikana, kwa hivyo ni rahisi kutatua. Baada ya kufungua mabano, equation ya quadratic inapatikana: 2 + 31 360 = 0. Hii inatoa maadili mawili kwa "katika": 9 na - 40. Nambari ya pili haifai kama jibu, kwa kuwa urefu wa upande. ya pembetatu haiwezi kuwa thamani hasi.

Inabakia kuhesabu mguu wa pili: ongeza 31 kwa nambari inayosababisha Inageuka 40. Hizi ni kiasi kinachotafutwa katika tatizo.

Jibu. Miguu ya pembetatu ni 9 na 40 cm.

Tatizo la kupata upande kupitia eneo, upande na pembe ya pembetatu

Hali. Eneo la pembetatu fulani ni 60 cm 2. Inahitajika kuhesabu moja ya pande zake ikiwa upande wa pili ni cm 15 na pembe kati yao ni 30º.

Suluhisho. Kulingana na nukuu iliyokubaliwa, upande unaotakiwa ni "a", upande unaojulikana ni "b", pembe iliyotolewa ni "γ". Kisha formula ya eneo inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

60 = ½ a * 15 * dhambi 30º. Hapa sine ya digrii 30 ni 0.5.

Baada ya mabadiliko, "a" inageuka kuwa sawa na 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Hiyo ni 16.

Jibu. Upande unaohitajika ni 16 cm.

Tatizo kuhusu mraba ulioandikwa katika pembetatu ya kulia

Hali. Kipeo cha mraba na upande wa cm 24 sanjari na pembe ya kulia ya pembetatu. Wengine wawili wamelala kando. Ya tatu ni ya hypotenuse. Urefu wa moja ya miguu ni 42 cm ni eneo gani la pembetatu ya kulia?

Suluhisho. Fikiria pembetatu mbili za kulia. Ya kwanza ni ile iliyoainishwa katika kazi. Ya pili inategemea mguu unaojulikana wa pembetatu ya awali. Zinafanana kwa sababu zina pembe ya kawaida na zinaundwa na mistari inayofanana.

Kisha uwiano wa miguu yao ni sawa. Miguu ya pembetatu ndogo ni sawa na 24 cm (upande wa mraba) na 18 cm (iliyopewa mguu 42 cm toa upande wa mraba 24 cm). Miguu inayolingana ya pembetatu kubwa ni 42 cm na x cm ni "x" hii ambayo inahitajika ili kuhesabu eneo la pembetatu.

18/42 = 24/x, yaani, x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Kisha eneo hilo ni sawa na bidhaa ya 56 na 42 iliyogawanywa na mbili, yaani, 1176 cm 2.

Jibu. Eneo linalohitajika ni 1176 cm 2.