ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் அடிப்படையானது, எளிமையானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் வரலாறு

1

இவ்லீவ் யு.ஏ.

இருபதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் செயல்பாட்டில் செய்யப்பட்ட ஒரு அடிப்படை கணிதப் பிழையின் விளக்கத்திற்கு கட்டுரை அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிழை தேற்றத்தின் உண்மையான அர்த்தத்தை சிதைப்பது மட்டுமல்லாமல், எண்களின் சக்திகள் மற்றும் எண்களின் இயற்கையான தொடர் பற்றிய ஆய்வுக்கு ஒரு புதிய அச்சு அணுகுமுறையின் வளர்ச்சியைத் தடுக்கிறது.

1995 ஆம் ஆண்டில், ஒரு கட்டுரை வெளியிடப்பட்டது, ஒரு புத்தகத்தின் அளவைப் போன்றது, மேலும் புகழ்பெற்ற ஃபெர்மாட்டின் பெரிய (கடைசி) தேற்றத்தின் (WTF) ஆதாரத்தைப் புகாரளிக்கும் (தேற்றத்தின் வரலாறு மற்றும் அதை நிரூபிக்கும் முயற்சிகளுக்கு, பார்க்கவும், எடுத்துக்காட்டாக, ) இந்த நிகழ்விற்குப் பிறகு, பல அறிவியல் கட்டுரைகள் மற்றும் பிரபலமான அறிவியல் புத்தகங்கள் இந்த ஆதாரத்தை ஊக்குவிக்கின்றன, ஆனால் இந்த படைப்புகள் எதுவும் அதில் உள்ள அடிப்படை கணித பிழையை வெளிப்படுத்தவில்லை, இது ஆசிரியரின் தவறால் கூட ஊடுருவவில்லை, ஆனால் சில விசித்திரமான நம்பிக்கையின் காரணமாக. இந்த பிரச்சனை மற்றும் தொடர்புடைய சிக்கல்களை ஆய்வு செய்த கணிதவியலாளர்களை மனதில் கொள்கிறது. இந்த நிகழ்வின் உளவியல் அம்சங்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. நிகழ்ந்த தவறு பற்றிய விரிவான பகுப்பாய்வை இங்கே வழங்குகிறோம், இது தனிப்பட்ட இயல்புடையதல்ல, ஆனால் முழு எண்களின் சக்திகளின் பண்புகளை தவறாகப் புரிந்து கொண்டதன் விளைவாகும். காட்டப்பட்டுள்ளபடி, நவீன அறிவியலில் இதுவரை பயன்படுத்தப்படாத இந்த பண்புகளை ஆய்வு செய்வதற்கான புதிய அச்சு அணுகுமுறையில் ஃபெர்மாட்டின் சிக்கல் வேரூன்றியுள்ளது. ஆனால் ஒரு பிழையான ஆதாரம் அவரது வழியில் நின்றது, எண் கோட்பாடு வல்லுநர்களுக்கு தவறான வழிகாட்டுதல்களையும், ஃபெர்மாட்டின் பிரச்சினையின் முன்னணி ஆராய்ச்சியாளர்களையும் அதன் நேரடி மற்றும் போதுமான தீர்விலிருந்து விலகி இருந்தது. இந்த தடையை நீக்குவதற்கு இந்த பணி அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது.

1. WTF ஆதாரத்தின் போது செய்யப்பட்ட பிழையின் உடற்கூறியல்

மிக நீண்ட மற்றும் கடினமான பகுத்தறிவின் செயல்பாட்டில், ஃபெர்மட்டின் அசல் அறிக்கையானது pth டிகிரியின் டையோஃபான்டைன் சமன்பாட்டை 3 வது வரிசையின் நீள்வட்ட வளைவுகளுடன் ஒப்பிடுவதன் அடிப்படையில் மறுவடிவமைக்கப்பட்டது (தேற்றங்கள் 0.4 மற்றும் 0.5 அங்குலத்தைப் பார்க்கவும்). இந்த ஒப்பீடு, ஃபெர்மட்டின் பிரச்சனைக்கு அவர்களின் முறை மற்றும் பகுத்தறிவு இறுதித் தீர்வுக்கு வழிவகுக்கும் என்று கிட்டத்தட்ட கூட்டுச் சான்றுகளின் ஆசிரியர்களை அறிவிக்க கட்டாயப்படுத்தியது (கடந்த 90கள் வரை முழு எண்களின் தன்னிச்சையான முழு எண் அதிகாரங்களுக்கு WTF அங்கீகரிக்கப்பட்ட ஆதாரங்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. நூற்றாண்டு). மேற்கூறிய ஒப்பீட்டின் கணிதப் பிழையை நிறுவுவதும், பகுப்பாய்வின் விளைவாக, முன்வைக்கப்பட்ட நிரூபணத்தில் ஒரு அடிப்படைப் பிழையைக் கண்டறிவதும் இந்தக் கருத்தில் நோக்கமாகும்.

அ) எங்கே, என்ன பிழை?

எனவே, நாங்கள் உரையைப் பின்பற்றுவோம், அங்கு ப 448 இல் ஜி. ஃப்ரேயின் "நகைச்சுவையான யோசனை"க்குப் பிறகு, WTF ஐ நிரூபிக்கும் வாய்ப்பு திறக்கப்பட்டது. 1984 இல், ஜி. ஃப்ரே பரிந்துரைத்தார் மற்றும்

ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டின் அனுமான முழு எண் தீர்வைக் குறிக்கும் நீள்வட்ட வளைவு எனக் கூறப்படும் என்று கே. ரிபெட் பின்னர் நிரூபித்தார்.

y 2 = x(x + uப)(x - vப) (1)

மட்டு இருக்க முடியாது. இருப்பினும், ஏ. வைல்ஸ் மற்றும் ஆர். டெய்லர் பகுத்தறிவு எண்களின் புலத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு செமிஸ்டபிள் நீள்வட்ட வளைவும் மட்டு என்று நிரூபித்துள்ளனர். இது ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டின் முழு எண் தீர்வுகள் சாத்தியமற்றது என்ற முடிவுக்கு இட்டுச் சென்றது, அதன் விளைவாக, ஏ. வைல்ஸின் குறிப்பில் தேற்றம் 0.5 என எழுதப்பட்ட ஃபெர்மாட்டின் அறிக்கையின் செல்லுபடியாகும் தன்மை பற்றிய முடிவுக்கு வழிவகுத்தது: ஒரு சமத்துவம் இருக்கட்டும்

uப+ vப+ டபிள்யூப = 0 (2)

எங்கே நீ, v, டபிள்யூ- பகுத்தறிவு எண்கள், முழு எண் அடுக்கு p ≥ 3; பிறகு (2) இருந்தால் மட்டுமே திருப்தி அடையும் uvw = 0 .

இப்போது, ​​வெளிப்படையாக, நாம் திரும்பிச் சென்று, வளைவு (1) ஏன் நீள்வட்டமாகக் கருதப்பட்டது மற்றும் ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டுடன் அதன் உண்மையான தொடர்பு என்ன என்பதைப் பற்றி விமர்சன ரீதியாக சிந்திக்க வேண்டும். இந்தக் கேள்வியை எதிர்பார்த்து, A. Wiles, Y. Hellegouarch இன் வேலையைக் குறிப்பிடுகிறார், அதில் அவர் ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டை (மறைமுகமாக முழு எண்களில் தீர்க்கலாம்) ஒரு கற்பனையான மூன்றாம் வரிசை வளைவுடன் இணைக்க ஒரு வழியைக் கண்டறிந்தார். G. Frey போலல்லாமல், I. Elleguarche தனது வளைவை மட்டு வடிவங்களுடன் இணைக்கவில்லை, இருப்பினும், A. Wiles இன் ஆதாரத்தை மேலும் முன்னேற்றுவதற்கு அவரது சமன்பாடு (1) ஐப் பெறும் முறை பயன்படுத்தப்பட்டது.

வேலையைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். ஆசிரியர் தனது பகுத்தறிவை திட்ட வடிவவியலின் அடிப்படையில் நடத்துகிறார். அதன் சில குறிப்புகளை எளிமைப்படுத்தி, அவற்றை வரிசையாகக் கொண்டு வரும்போது, ​​அபிலியன் வளைவைக் காண்கிறோம்

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

Diophantine சமன்பாடு ஒப்பிடப்படுகிறது

எக்ஸ்ப+ ஒய்ப+ zப = 0 (4)

எங்கே எக்ஸ், ஒய், zஅறியப்படாத முழு எண்கள், p என்பது (2) இலிருந்து முழு எண் அடுக்கு ஆகும், மேலும் டையோஃபான்டைன் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் (4) α p , β p , γ p ஆகியவை அபெலியன் வளைவை (3) எழுதப் பயன்படுகின்றன.

இப்போது, ​​இது 3 வது வரிசையின் நீள்வட்ட வளைவு என்பதை உறுதிப்படுத்த, யூக்ளிடியன் விமானத்தில் (3) இல் உள்ள X மற்றும் Y மாறிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீள்வட்ட வளைவுகளின் எண்கணிதத்தின் நன்கு அறியப்பட்ட விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: ஒரு கன இயற்கணித வளைவில் இரண்டு பகுத்தறிவு புள்ளிகள் இருந்தால், இந்த புள்ளிகளின் வழியாக செல்லும் ஒரு கோடு இந்த வளைவை மற்றொரு புள்ளியில் வெட்டினால், பிந்தையது ஒரு பகுத்தறிவு புள்ளியாகும். . அனுமானச் சமன்பாடு (4) முறைப்படி நேர்கோட்டில் புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் சட்டத்தைக் குறிக்கிறது. நாம் மாறிகளை மாற்றினால் எக்ஸ்ப = ஏ, ஒய்ப = பி, z p = C மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் நேர்கோட்டை X அச்சில் (3) இயக்கவும், பின்னர் அது 3 வது டிகிரி வளைவை மூன்று புள்ளிகளில் வெட்டும்: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), இது அபிலியன் வளைவு (3) மற்றும் ஒத்த குறியீட்டில் (1) பிரதிபலிக்கிறது. இருப்பினும், வளைவு (3) அல்லது (1) உண்மையில் நீள்வட்டமா? வெளிப்படையாக, இல்லை, ஏனெனில் யூக்ளிடியன் கோட்டின் பகுதிகள், அதன் மீது புள்ளிகளைச் சேர்க்கும்போது, ​​ஒரு நேரியல் அல்லாத அளவில் எடுக்கப்படுகின்றன.

யூக்ளிடியன் இடத்தின் நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளுக்குத் திரும்பும்போது, ​​நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கான சூத்திரங்களிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்ட (1) மற்றும் (3) சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, (1) பின்வரும் வடிவமாக இருக்கலாம்:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - vப) (5)

இதில் ξ p = x, η p = y, மற்றும் இந்த வழக்கில் WTF ஐப் பெறுவதற்கான (1) முறையீடு முறையற்றதாகத் தெரிகிறது. நீள்வட்ட வளைவுகளின் வகுப்பிற்கான சில அளவுகோல்களை (1) பூர்த்தி செய்தாலும், இது ஒரு நேரியல் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் 3 வது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்ற மிக முக்கியமான அளவுகோலை பூர்த்தி செய்யவில்லை.

b) பிழை வகைப்பாடு

எனவே, மீண்டும் ஒருமுறை பரிசீலனையின் தொடக்கத்திற்குத் திரும்பி, WTF இன் உண்மை பற்றிய முடிவு எவ்வாறு எட்டப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம். முதலாவதாக, நேர்மறை முழு எண்களில் ஃபெர்மட்டின் சமன்பாட்டிற்கு ஏதேனும் தீர்வு இருப்பதாகக் கருதப்படுகிறது. இரண்டாவதாக, இந்த தீர்வு தன்னிச்சையாக அறியப்பட்ட வடிவத்தின் இயற்கணித வடிவத்தில் (பட்டம் 3 இன் விமான வளைவு) செருகப்படுகிறது, இதன் மூலம் பெறப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவுகள் உள்ளன (இரண்டாவது உறுதிப்படுத்தப்படாத அனுமானம்). மூன்றாவதாக, கட்டப்பட்ட குறிப்பிட்ட வளைவு மட்டுப்படுத்தப்படாதது என்பதை மற்ற முறைகள் நிரூபிப்பதால், அது இல்லை என்று அர்த்தம். இது முடிவுக்கு வழிவகுக்கிறது: ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வு இல்லை, எனவே, WTF சரியானது.

இந்த வாதங்களில் ஒரு பலவீனமான இணைப்பு உள்ளது, இது விரிவான சரிபார்ப்புக்குப் பிறகு, பிழையாக மாறிவிடும். ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டிற்கான அனுமான தீர்வு, அறியப்பட்ட வடிவத்தின் நீள்வட்ட வளைவை விவரிக்கும் 3 வது டிகிரியின் இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும் என்று கருதப்படும் போது, ​​இந்த பிழையானது ஆதார செயல்முறையின் இரண்டாவது கட்டத்தில் செய்யப்படுகிறது. சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வளைவு உண்மையில் நீள்வட்டமாக இருந்தால் அத்தகைய அனுமானம் நியாயப்படுத்தப்படும். இருப்பினும், புள்ளி 1a இலிருந்து பார்க்க முடியும்), இந்த வளைவு நேரியல் அல்லாத ஒருங்கிணைப்புகளில் வழங்கப்படுகிறது, இது "மாயை" ஆக்குகிறது, அதாவது. நேரியல் இடவியல் இடத்தில் உண்மையில் இல்லை.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிழையை தெளிவாக வகைப்படுத்த வேண்டும். நிருபிக்க வேண்டியவை ஆதார வாதமாக முன்வைக்கப்படுவதில்தான் உள்ளது. கிளாசிக்கல் தர்க்கத்தில் இந்த பிழை "தீய வட்டம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டின் முழு எண் தீர்வு ஒரு கற்பனையான, இல்லாத நீள்வட்ட வளைவுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது (வெளிப்படையாக, மறைமுகமாக தனித்துவமாக), பின்னர் இந்த வடிவத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட நீள்வட்ட வளைவை நிரூபிப்பதில் கூடுதல் பகுத்தறிவின் அனைத்து நோய்களும் செலவிடப்படுகின்றன. ஃபெர்மாட் சமன்பாட்டின் அனுமான தீர்வுகளிலிருந்து, இல்லை.

தீவிர கணிதப் பணியில் இத்தகைய அடிப்படைப் பிழை தவறவிடப்பட்டது எப்படி? இந்த வகையின் "மாயை" வடிவியல் புள்ளிவிவரங்கள் முன்னர் கணிதத்தில் ஆய்வு செய்யப்படவில்லை என்பதன் காரணமாக இது நிகழ்ந்திருக்கலாம். உண்மையில், எடுத்துக்காட்டாக, x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்ட கற்பனையான வட்டத்தில் யார் ஆர்வமாக இருக்க முடியும்? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அதன் சமன்பாடு C 2 = A 2 + B 2 இல் முழு எண் x, y, z மற்றும் n ≥ 3க்கான முழு எண் தீர்வுகள் இல்லை. நேரியல் அல்லாத ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் X மற்றும் Y இல், அத்தகைய வட்டம் நிலையான வடிவத்திற்கு மிகவும் ஒத்த ஒரு சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும்:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

A மற்றும் B ஆகியவை மாறிகள் அல்ல, ஆனால் குறிப்பிட்ட எண்கள் மேலே உள்ள மாற்றினால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. ஆனால் A மற்றும் B எண்களுக்கு அவற்றின் அசல் வடிவம் கொடுக்கப்பட்டால், அது அவற்றின் சக்தி தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள காரணிகளில் குறியீட்டின் பன்முகத்தன்மை உடனடியாக கண்ணைக் கவரும். இந்த அம்சம் யதார்த்தத்திலிருந்து மாயையை வேறுபடுத்தவும் மற்றும் நேரியல் அல்லாத ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு நகர்த்தவும் உதவுகிறது. மறுபுறம், (1) இல் உள்ளதைப் போல, மாறிகளுடன் ஒப்பிடும்போது எண்களை ஆபரேட்டர்களாகக் கருதினால், இரண்டும் ஒரே மாதிரியான அளவுகளாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. அதே பட்டங்கள் இருக்க வேண்டும்.

ஆபரேட்டர்களாக எண்களின் சக்திகளைப் பற்றிய இந்த புரிதல், ஃபெர்மாட் சமன்பாட்டை ஒரு மாயையான நீள்வட்ட வளைவுடன் ஒப்பிடுவது தெளிவற்றது அல்ல என்பதைக் காண அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, (5) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ள காரணிகளில் ஒன்றை எடுத்து, அதை p நேரியல் காரணிகளாக சிதைத்து, r p = 1 என்ற கலப்பு எண்ணை அறிமுகப்படுத்துங்கள் (உதாரணமாகப் பார்க்கவும்):

ξ p + uப = (ξ + u)(ξ + ஆர் u)(ξ + ஆர் 2 u)...(ξ + ஆர் ப-1 u) (6)

பின்னர் படிவம் (5) இயற்கணித அடையாளத்தின் வகைக்கு ஏற்ப சிக்கலான எண்களின் பிரதான காரணிகளாக சிதைவதாகக் குறிப்பிடப்படலாம் (6), இருப்பினும், பொதுவான வழக்கில் அத்தகைய சிதைவின் தனித்தன்மை கேள்விக்குரியது, ஒருமுறை கும்மர் காட்டியது. .

2. முடிவுகள்

முந்தைய பகுப்பாய்விலிருந்து, நீள்வட்ட வளைவுகளின் எண்கணிதம் WTF இன் ஆதாரத்தை எங்கு தேடுவது என்பதை வெளிச்சம் போட்டுக் காட்ட முடியவில்லை. வேலைக்குப் பிறகு, ஃபெர்மட்டின் அறிக்கை, இந்த கட்டுரையின் கல்வெட்டாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டது, இது ஒரு வரலாற்று நகைச்சுவை அல்லது புரளியாக உணரத் தொடங்கியது. எவ்வாறாயினும், உண்மையில் ஃபெர்மட் கேலி செய்தது அல்ல, ஆனால் 1984 இல் ஜெர்மனியில் ஓபர்வொல்ஃபாக்கில் ஒரு கணித சிம்போசியத்தில் கூடியிருந்த வல்லுநர்கள், ஜி. ஃப்ரே தனது நகைச்சுவையான யோசனைக்கு குரல் கொடுத்தார். இத்தகைய கவனக்குறைவான அறிக்கையின் விளைவுகள் ஒட்டுமொத்தமாக கணிதத்தை அதன் பொது நம்பிக்கையை இழக்கும் விளிம்பிற்கு கொண்டு வந்தன, இது விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சமூகத்திற்கு அறிவியல் நிறுவனங்களின் பொறுப்பு பற்றிய கேள்வியை அவசியம் எழுப்புகிறது. ஃபெர்மாட் சமன்பாட்டை ஃப்ரே வளைவுடன் (1) ஒப்பிடுவது ஃபெர்மாட்டின் தேற்றம் தொடர்பான வைல்ஸின் முழு ஆதாரத்தின் "பூட்டு" ஆகும், மேலும் ஃபெர்மாட் வளைவு மற்றும் மட்டு நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு இடையில் எந்த தொடர்பும் இல்லை என்றால், எந்த ஆதாரமும் இல்லை.

சமீபத்தில், பல்வேறு இணைய அறிக்கைகள் சில முக்கிய கணிதவியலாளர்கள் இறுதியாக ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்திற்கான வைல்ஸின் ஆதாரத்தை கண்டுபிடித்துள்ளனர், யூக்ளிடியன் விண்வெளியில் முழு எண் புள்ளிகளை "குறைந்தபட்ச" மறுகணக்கீடு வடிவில் நியாயப்படுத்தியுள்ளனர். எவ்வாறாயினும், கணிதத்தில் மனிதகுலம் ஏற்கனவே பெற்ற பாரம்பரிய முடிவுகளை எந்த புதுமைகளாலும் ரத்து செய்ய முடியாது, குறிப்பாக, எந்தவொரு வரிசை எண்ணும் அதன் அளவு ஒத்ததாக இருந்தாலும், எண்களை ஒன்றோடொன்று ஒப்பிடும் செயல்பாட்டில் அதற்கு மாற்றாக இருக்க முடியாது. தவிர்க்க முடியாத முடிவுடன் ஃப்ரே வளைவு (1) ஆரம்பத்தில் நீள்வட்டமாக இல்லை, அதாவது. வரையறையின்படி அல்ல.

பைபிளியோகிராஃபி:

1. இவ்லீவ் யு.ஏ. ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் சொந்த ஆதாரத்தின் மறுகட்டமைப்பு - யுனைடெட் சயின்டிஃபிக் ஜர்னல் (பிரிவு "கணிதம்"). ஏப்ரல் 2006 எண். 7 (167) பக். 3-9, இன்டர்நேஷனல் அகாடமி ஆஃப் இன்ஃபர்மேடிசேஷன் பிராசி லுகான்ஸ்க் கிளையையும் பார்க்கவும். உக்ரைனின் கல்வி மற்றும் அறிவியல் அமைச்சகம். Skidnoukransky தேசிய பல்கலைக்கழகம் பெயரிடப்பட்டது. V.Dal 2006 எண். 2 (13) ப.19-25.
2. இவ்லீவ் யு.ஏ. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் மிகப்பெரிய அறிவியல் மோசடி: ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் "ஆதாரம்" - இயற்கை மற்றும் பொறியியல் அறிவியல் (பிரிவு "கணிதத்தின் வரலாறு மற்றும் முறை"). ஆகஸ்ட் 2007 எண். 4 (30) ப.34-48.
3. எட்வர்ட்ஸ் ஜி. (எட்வர்ட்ஸ் எச்.எம்.) ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம். இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் மரபணு அறிமுகம். பெர். ஆங்கிலத்தில் இருந்து திருத்தியவர் B.F.Skubenko. எம்.: மிர் 1980, 484 பக்.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI ப.253-263.
5. வைல்ஸ் ஏ. மாடுலர் நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் - கணிதத்தின் அன்னல்ஸ். மே 1995 v.141 இரண்டாவது தொடர் எண். 3 ப.443-551.

நூலியல் இணைப்பு

இவ்லீவ் யு.ஏ. ஃபெர்மாவின் கடைசி கோட்பாட்டின் வில்லஸின் தவறான ஆதாரம் // அடிப்படை ஆராய்ச்சி. - 2008. - எண் 3. - பி. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (அணுகல் தேதி: 03/03/2020). "அகாடமி ஆஃப் நேச்சுரல் சயின்சஸ்" பதிப்பகத்தால் வெளியிடப்பட்ட பத்திரிகைகளை உங்கள் கவனத்திற்குக் கொண்டு வருகிறோம்.

FERMA'S GREAT Theorem - Pierre Fermat (ஒரு பிரெஞ்சு வழக்கறிஞர் மற்றும் பகுதி நேரக் கணிதவியலாளர்) ஒரு அறிக்கை, Diophantine சமன்பாடு X n + Y n = Z n, அடுக்கு n>2 உடன், n = முழு எண், நேர்மறை முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை. ஆசிரியரின் உரை: "ஒரு கனசதுரத்தை இரண்டு கனசதுரங்களாகவோ அல்லது ஒரு பைக்குவாட்ரேட்டை இரண்டு பைக்குவாட்ரேட்டுகளாகவோ அல்லது பொதுவாக இரண்டை விட அதிகமான சக்தியை ஒரே அடுக்குடன் இரண்டு சக்திகளாகவோ சிதைப்பது சாத்தியமில்லை."

"ஃபெர்மாட் மற்றும் அவரது தேற்றம்", அமேடியோ மோடிக்லியானி, 1920

பியர் மார்ச் 29, 1636 இல் இந்த தேற்றத்தை கொண்டு வந்தார். சுமார் 29 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் இறந்தார். ஆனால் அது அங்குதான் தொடங்கியது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வொல்ஃப்ஸ்கெல் என்ற பணக்கார ஜெர்மன் கணித பிரியர், ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் முழுமையான ஆதாரத்தை முன்வைப்பவருக்கு ஒரு லட்சம் மதிப்பெண்களை வழங்கினார்! ஆனால் தேற்றத்தைச் சுற்றியுள்ள உற்சாகம் இதனுடன் மட்டுமல்லாமல், தொழில்முறை கணித ஆர்வத்துடனும் தொடர்புடையது. ஃபெர்மட் தனக்கு ஆதாரம் தெரியும் என்று கணித சமூகத்திற்குச் சுட்டிக்காட்டினார் - அவர் இறப்பதற்கு சற்று முன்பு, 1665 இல், அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் எண்கணிதத்தின் டியோபாண்டஸ் விளிம்பில் பின்வரும் குறிப்பை விட்டுவிட்டார்: "என்னிடம் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க ஆதாரம் உள்ளது, ஆனால் அது மிகவும் பெரியது. வயல்களில் வைக்கப்பட்டது."

இந்த குறிப்பே (கூடுதலாக, நிச்சயமாக, ஒரு பண போனஸ்) கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் சிறந்த ஆண்டுகளை ஒரு ஆதாரத்தைத் தேடுவதில் தோல்வியுற்றதைக் கட்டாயப்படுத்தியது (அமெரிக்க விஞ்ஞானிகளின் கூற்றுப்படி, தொழில்முறை கணிதவியலாளர்கள் மட்டும் இதற்காக மொத்தம் 543 ஆண்டுகள் செலவிட்டனர்).

ஒரு கட்டத்தில் (1901 இல்), ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் வேலை "ஒரு நிரந்தர இயக்க இயந்திரத்தைத் தேடுவதற்கு ஒத்த வேலை" (ஒரு இழிவான சொல் கூட தோன்றியது - "ஃபெர்மாடிஸ்டுகள்") என்ற சந்தேகத்திற்குரிய நற்பெயரைப் பெற்றது. திடீரென்று, ஜூன் 23, 1993 அன்று, கேம்பிரிட்ஜில் எண் கோட்பாடு குறித்த கணித மாநாட்டில், பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்தின் (நியூ ஜெர்சி, அமெரிக்கா) கணிதப் பேராசிரியரான ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ், ஃபெர்மாட் அதை இறுதியாக நிரூபித்ததாக அறிவித்தார்!

எவ்வாறாயினும், ஆதாரம் சிக்கலானது மட்டுமல்ல, வெளிப்படையாகவும் தவறானது, வைல்ஸ் அவரது சக ஊழியர்களால் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது. ஆனால் பேராசிரியர் வைல்ஸ் தனது வாழ்நாள் முழுவதும் தேற்றத்தை நிரூபிக்க வேண்டும் என்று கனவு கண்டார், எனவே மே 1994 இல் அவர் புதிய, திருத்தப்பட்ட பதிப்பை அறிவியல் சமூகத்திற்கு வழங்கியதில் ஆச்சரியமில்லை. அதில் இணக்கமும் அழகும் இல்லை, அது இன்னும் மிகவும் சிக்கலானதாக இருந்தது - கணிதவியலாளர்கள் ஒரு வருடம் முழுவதும் (!) இந்த ஆதாரத்தை பகுப்பாய்வு செய்து இது பிழையானதா என்பதைப் புரிந்துகொள்கிறது!

ஆனால் இறுதியில், வைல்ஸின் ஆதாரம் சரியானது என்று கண்டறியப்பட்டது. ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் பியர் ஃபெர்மட்டை "எண்கணிதத்தில்" அவரது குறிப்பை மன்னிக்கவில்லை, உண்மையில், அவரை ஒரு பொய்யர் என்று கருதத் தொடங்கினர். உண்மையில், ஃபெர்மட்டின் தார்மீக ஒருமைப்பாட்டைக் கேள்விக்குள்ளாக்கிய முதல் நபர் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் ஆவார், அவர் "ஃபெர்மட்டிடம் அத்தகைய சான்றுகள் இருந்திருக்க முடியாது. இது இருபதாம் நூற்றாண்டு ஆதாரம்" என்று குறிப்பிட்டார். பின்னர், மற்ற விஞ்ஞானிகளிடையே, ஃபெர்மாட் "தனது தேற்றத்தை வேறு வழியில் நிரூபிக்க முடியவில்லை, மேலும் புறநிலை காரணங்களுக்காக வைல்ஸ் எடுத்த விதத்தில் ஃபெர்மாட் அதை நிரூபிக்க முடியவில்லை" என்ற கருத்து வலுவடைந்தது.

உண்மையில், ஃபெர்மாட், நிச்சயமாக, அதை நிரூபிக்க முடியும், மேலும் சிறிது நேரம் கழித்து இந்த ஆதாரம் புதிய பகுப்பாய்வு கலைக்களஞ்சியத்தின் ஆய்வாளர்களால் மீண்டும் உருவாக்கப்படும். ஆனால் இந்த "புறநிலை காரணங்கள்" என்ன?
உண்மையில் இதுபோன்ற ஒரே ஒரு காரணம் மட்டுமே உள்ளது: ஃபெர்மாட் வாழ்ந்த அந்த ஆண்டுகளில், ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் தனது ஆதாரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட தனியாமா அனுமானம் தோன்றவில்லை, ஏனென்றால் தனியாமா அனுமானம் செயல்படும் மட்டு செயல்பாடுகள் 19 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. நூற்றாண்டு.

வைல்ஸ் எவ்வாறு தேற்றத்தை நிரூபித்தார்? கேள்வி சும்மா இல்லை - ஃபெர்மட் தனது தேற்றத்தை எவ்வாறு நிரூபிக்க முடியும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம். 1955 இல் 28 வயதான ஜப்பானிய கணிதவியலாளர் யுடகா தனியாமாவால் முன்வைக்கப்பட்ட தனியாமா அனுமானத்தின் ஆதாரத்தின் அடிப்படையில் வைல்ஸ் தனது ஆதாரத்தை உருவாக்கினார்.

கருதுகோள் இப்படி ஒலிக்கிறது: "ஒவ்வொரு நீள்வட்ட வளைவும் ஒரு குறிப்பிட்ட மட்டு வடிவத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது." நீண்ட காலமாக அறியப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவுகள் இரு பரிமாண வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன (ஒரு விமானத்தில் அமைந்துள்ளன), மட்டு செயல்பாடுகள் நான்கு பரிமாண வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. அதாவது, தனியாமாவின் கருதுகோள் முற்றிலும் மாறுபட்ட கருத்துகளை ஒருங்கிணைத்தது - எளிய தட்டையான வளைவுகள் மற்றும் கற்பனை செய்ய முடியாத நான்கு பரிமாண வடிவங்கள். கருதுகோளில் வெவ்வேறு பரிமாண புள்ளிவிவரங்களை இணைப்பது விஞ்ஞானிகளுக்கு அபத்தமாகத் தோன்றியது, அதனால்தான் 1955 இல் அதற்கு எந்த முக்கியத்துவமும் கொடுக்கப்படவில்லை.

இருப்பினும், 1984 இலையுதிர்காலத்தில், "தனியாமா அனுமானம்" திடீரென்று மீண்டும் நினைவுகூரப்பட்டது, அது நினைவுக்கு வந்தது மட்டுமல்லாமல், அதன் சாத்தியமான ஆதாரம் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்துடன் இணைக்கப்பட்டது! இதை சார்ப்ரூக்கன் கணிதவியலாளர் ஜெர்ஹார்ட் ஃப்ரே செய்தார், அவர் விஞ்ஞான சமூகத்திற்குத் தெரிவித்தார், "யாராவது தனியாமா அனுமானத்தை நிரூபிக்க முடிந்தால், ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றமும் நிரூபிக்கப்படும்."

ஃப்ரே என்ன செய்தார்? அவர் ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டை ஒரு கனசதுரமாக மாற்றினார், பின்னர் ஃபெர்மட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட நீள்வட்ட வளைவு கனசதுரமாக மாற்றப்படுவதை மட்டுப்படுத்த முடியாது என்பதைக் கவனித்தார். இருப்பினும், எந்த நீள்வட்ட வளைவும் மட்டுவாக இருக்கலாம் என்று தனியாமாவின் அனுமானம் கூறியது! அதன்படி, ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டிலிருந்து கட்டப்பட்ட ஒரு நீள்வட்ட வளைவு இருக்க முடியாது, அதாவது முழு தீர்வுகளும் ஃபெர்மாட்டின் தேற்றமும் இருக்க முடியாது, அதாவது அது உண்மை. சரி, 1993 இல், ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் தனியாமாவின் அனுமானத்தையும், அதனால் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தையும் நிரூபித்தார்.

இருப்பினும், தனியாமா மற்றும் ஃப்ரே இருவரும் செயல்பட்ட அதே பல பரிமாணத்தின் அடிப்படையில், ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தை மிகவும் எளிமையாக நிரூபிக்க முடியும்.

தொடங்குவதற்கு, Pierre Fermat அவர்களால் குறிப்பிடப்பட்ட நிபந்தனைக்கு கவனம் செலுத்துவோம் - n>2. இந்த நிலை ஏன் தேவைப்பட்டது? ஆம், n=2 உடன் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிலை வழக்கமான பித்தகோரியன் தேற்றமாக மாறுகிறது என்பதற்காக மட்டுமே X 2 +Y 2 =Z 2, இது எண்ணற்ற முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 மற்றும் பல. எனவே, பித்தகோரஸின் தேற்றம் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்திற்கு விதிவிலக்காகும்.

ஆனால் n=2 விஷயத்தில் ஏன் இப்படி ஒரு விதிவிலக்கு ஏற்படுகிறது? பட்டம் (n=2) மற்றும் உருவத்தின் பரிமாணத்திற்கு இடையே உள்ள தொடர்பைப் பார்த்தால் அனைத்தும் சரியாகிவிடும். பித்தகோரியன் முக்கோணம் இரு பரிமாண உருவம். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, Z (அதாவது, ஹைப்போடென்யூஸ்) கால்களின் (X மற்றும் Y) அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம், அவை முழு எண்களாக இருக்கலாம். கோணத்தின் அளவு (90) ஹைபோடென்யூஸை ஒரு திசையனாகக் கருதுவதை சாத்தியமாக்குகிறது, மேலும் கால்கள் அச்சுகளில் அமைந்துள்ள திசையன்கள் மற்றும் தோற்றத்திலிருந்து வரும். அதன்படி, எந்த அச்சுகளிலும் படாத இரு பரிமாண வெக்டரை அவற்றின் மீது இருக்கும் திசையன்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முடியும்.

இப்போது, ​​நாம் மூன்றாவது பரிமாணத்திற்குச் சென்றால், எனவே n=3 க்கு, முப்பரிமாண வெக்டரை வெளிப்படுத்த, இரண்டு திசையன்களைப் பற்றிய போதுமான தகவல்கள் இருக்காது, எனவே, ஃபெர்மட்டின் சமன்பாட்டில் Z ஐ வெளிப்படுத்த முடியும். குறைந்தபட்சம் மூன்று சொற்கள் மூலம் (முறையே மூன்று திசையன்கள், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் மூன்று அச்சுகளில் உள்ளன).

n=4 என்றால், 4 சொற்கள் இருக்க வேண்டும், n=5 என்றால், 5 சொற்கள் இருக்க வேண்டும், மற்றும் பல. இந்த வழக்கில், போதுமான முழு தீர்வுகள் அதிகமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 மற்றும் பல (n=3, n=4 மற்றும் பலவற்றிற்கான பிற உதாரணங்களை நீங்களே தேர்வு செய்யலாம்).

இவை அனைத்திலிருந்தும் என்ன வருகிறது? இதிலிருந்து ஃபெர்மாட்டின் தேற்றம் உண்மையில் n>2க்கான முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை - ஆனால் சமன்பாடு தவறாக இருப்பதால் மட்டுமே! அதே வெற்றியுடன், அதன் இரண்டு விளிம்புகளின் நீளத்தின் அடிப்படையில் ஒரு இணையான பைப்பின் அளவை வெளிப்படுத்த முயற்சி செய்யலாம் - நிச்சயமாக, இது சாத்தியமற்றது (முழு தீர்வுகளும் ஒருபோதும் காணப்படாது), ஆனால் இணையான பைப்பின் அளவைக் கண்டுபிடிப்பதால் மட்டுமே. அதன் மூன்று விளிம்புகளின் நீளத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

பிரபல கணிதவியலாளர் டேவிட் கில்பர்ட்டிடம் இப்போது அறிவியலின் மிக முக்கியமான பிரச்சனை என்ன என்று கேட்கப்பட்டபோது, ​​அவர் "சந்திரனின் தொலைதூரத்தில் ஒரு ஈவைப் பிடிப்பது" என்று பதிலளித்தார். நியாயமான கேள்விக்கு "இது யாருக்குத் தேவை?" அவர் பதிலளித்தார்: "இது யாருக்கும் தேவையில்லை, ஆனால் இதை செயல்படுத்துவதற்கு எத்தனை முக்கியமான, சிக்கலான சிக்கல்களை தீர்க்க வேண்டும் என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்."

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஃபெர்மாட் (முதன்மையாக ஒரு வழக்கறிஞர்!) பிரச்சனையின் தவறான வடிவத்தின் அடிப்படையில், முழு கணித உலகிலும் நகைச்சுவையான சட்ட நகைச்சுவையை விளையாடினார். உண்மையில், சந்திரனின் மறுபுறத்தில் ஒரு ஈ ஏன் வாழ முடியாது என்பதற்கான பதிலை கணிதவியலாளர்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று அவர் பரிந்துரைத்தார், மேலும் "எண்கணிதம்" விளிம்பில் சந்திரனில் காற்று இல்லை என்று மட்டுமே எழுத விரும்பினார், அதாவது. n>2க்கான அவரது தேற்றத்திற்கு முழு தீர்வுகள் இருக்க முடியாது, ஏனெனில் n இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் அவரது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களுக்கு ஒத்திருக்க வேண்டும்.

ஆனால் அது வெறும் நகைச்சுவையா? இல்லவே இல்லை. ஒரு கணித உருவத்தின் பட்டம் மற்றும் பரிமாணத்திற்கு இடையேயான உறவை உண்மையில் முதலில் பார்த்தவர் - அதாவது, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை முற்றிலும் சமமானதாக இருக்கிறது என்பதில் ஃபெர்மாட்டின் மேதை துல்லியமாக உள்ளது. அவரது புகழ்பெற்ற தேற்றத்தின் பொருள் துல்லியமாக கணித உலகத்தை இந்த உறவின் யோசனைக்கு தள்ளுவது மட்டுமல்லாமல், இந்த உறவின் இருப்புக்கான ஆதாரத்தைத் தொடங்குவதும் ஆகும் - உள்ளுணர்வாக புரிந்துகொள்ளக்கூடியது, ஆனால் இன்னும் கணித ரீதியாக நிரூபிக்கப்படவில்லை.

ஃபெர்மாட், வேறு யாரையும் போல, வெளித்தோற்றத்தில் வேறுபட்ட பொருள்களுக்கு இடையே உறவுகளை நிறுவுவது கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, எந்த அறிவியலிலும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை புரிந்து கொண்டார். இந்த உறவு இரண்டு பொருள்களுக்கும் அடிப்படையான சில ஆழமான கொள்கைகளை சுட்டிக்காட்டுகிறது மற்றும் அவற்றை ஆழமாக புரிந்து கொள்ள அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, இயற்பியலாளர்கள் ஆரம்பத்தில் மின்சாரம் மற்றும் காந்தவியல் முற்றிலும் தொடர்பில்லாத நிகழ்வுகளாகக் கருதினர், ஆனால் 19 ஆம் நூற்றாண்டில், கோட்பாட்டாளர்கள் மற்றும் பரிசோதனையாளர்கள் மின்சாரம் மற்றும் காந்தவியல் ஆகியவை நெருங்கிய தொடர்புடையவை என்பதை உணர்ந்தனர். இதன் விளைவாக, மின்சாரம் மற்றும் காந்தவியல் இரண்டையும் பற்றிய அதிக புரிதல் அடையப்பட்டது. மின்னோட்டங்கள் காந்தப்புலங்களை உருவாக்குகின்றன, மேலும் காந்தங்கள் காந்தங்களுக்கு அருகில் உள்ள கடத்திகளில் மின்சாரத்தைத் தூண்டும். இது டைனமோக்கள் மற்றும் மின்சார மோட்டார்கள் கண்டுபிடிக்க வழிவகுத்தது. காந்த மற்றும் மின்சார புலங்களின் ஒருங்கிணைக்கப்பட்ட ஹார்மோனிக் அலைவுகளின் விளைவாக ஒளி என்பது இறுதியில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

ஃபெர்மாவின் காலத்தின் கணிதம் அறியாமை கடலில் உள்ள அறிவுத் தீவுகளைக் கொண்டிருந்தது. ஒரு தீவில் வடிவங்களைப் படிக்கும் ஜியோமீட்டர்கள் வாழ்ந்தனர், மற்றொரு தீவில் நிகழ்தகவு கணிதவியலாளர்கள் அபாயங்களையும் சீரற்ற தன்மையையும் ஆய்வு செய்தனர். வடிவவியலின் மொழி நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் மொழியிலிருந்து மிகவும் வேறுபட்டது, மேலும் இயற்கணிதச் சொற்கள் புள்ளிவிவரங்களைப் பற்றி மட்டுமே பேசுபவர்களுக்கு அந்நியமாக இருந்தது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, நமது காலத்தின் கணிதம் தோராயமாக அதே தீவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த தீவுகள் அனைத்தும் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டவை என்பதை முதலில் உணர்ந்தவர் ஃபெர்மாட். மற்றும் அவரது புகழ்பெற்ற தேற்றம் - ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம் - இதை ஒரு சிறந்த உறுதிப்படுத்தல் ஆகும்.

"ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் - குறுகிய ஆதாரம்"இந்த கணித பிரச்சனை உண்மையில் பலருக்கு ஆர்வமாக உள்ளது. இந்த தேற்றம் முதன்முதலில் 1637 ஆம் ஆண்டில் பியர் டி ஃபெர்மட் அவர்களால் எண்கணிதத்தின் ஒரு பிரதியின் விளிம்பில் கூறப்பட்டது, அங்கு அவர் விளிம்பில் பொருத்த முடியாத அளவுக்கு மிகப்பெரிய தீர்வு இருப்பதாகக் கூறினார்.

முதல் வெற்றிகரமான ஆதாரம் 1995 இல் வெளியிடப்பட்டது, ஆண்ட்ரூ வைல்ஸால் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் முழுமையான ஆதாரம். இது "அதிர்ச்சியூட்டும் முன்னேற்றம்" என்று விவரிக்கப்பட்டது மற்றும் வைல்ஸ் 2016 இல் ஏபெல் பரிசைப் பெற வழிவகுத்தது. ஒப்பீட்டளவில் சுருக்கமாக விவரிக்கப்பட்டாலும், ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் மட்டுப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தின் பெரும்பகுதியை நிரூபித்தது மற்றும் பல சிக்கல்களுக்கு புதிய அணுகுமுறைகள் மற்றும் மட்டுத்தன்மையை உயர்த்துவதற்கான பயனுள்ள முறைகளைத் திறந்தது. இந்த சாதனைகள் கணிதத்தை 100 ஆண்டுகள் முன்னேற்றியது. ஃபெர்மட்டின் சிறிய தேற்றத்தின் ஆதாரம் இன்று வழக்கத்திற்கு மாறான ஒன்றல்ல.

தீர்க்கப்படாத சிக்கல் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியைத் தூண்டியது மற்றும் 20 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுத் தேற்றத்தின் ஆதாரத்திற்கான தேடலைத் தூண்டியது. இது கணித வரலாற்றில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும், மேலும் ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை பிரித்து முழுமையாக நிரூபிக்கும் முன், இது கின்னஸ் புத்தகத்தில் "கடினமான கணித பிரச்சனை" என்று இருந்தது, அதன் அம்சங்களில் ஒன்று இது மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையிலான தோல்வியுற்ற சான்றுகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரலாற்றுக் குறிப்பு

பித்தகோரியன் சமன்பாடு x 2 + y 2 = z 2 ஆனது x, y மற்றும் z க்கு எண்ணற்ற நேர்மறை முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த தீர்வுகள் பித்தகோரியன் டிரினிட்டிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. 1637 ஆம் ஆண்டில், ஒரு புத்தகத்தின் விளிம்பில் ஃபெர்மாட் எழுதினார் அவளுடைய ஆதாரம் பற்றிய எந்த விவரங்களையும் விட்டுவிடாதே. ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தின் அடிப்படை ஆதாரம், அதன் படைப்பாளரால் கூறப்பட்டது, மாறாக அவரது பெருமைமிக்க கண்டுபிடிப்பு. சிறந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளரின் புத்தகம் அவர் இறந்து 30 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் இந்த சமன்பாடு மூன்றரை நூற்றாண்டுகளாக கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாமல் இருந்தது.

தேற்றம் இறுதியில் கணிதத்தில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களில் ஒன்றாக மாறியது. இதை நிரூபிக்கும் முயற்சிகள் எண் கோட்பாட்டில் குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றங்களைத் தூண்டியது, மேலும் காலப்போக்கில், ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத பிரச்சனையாக அறியப்பட்டது.

ஆதாரங்களின் சுருக்கமான வரலாறு

ஃபெர்மட் நிரூபித்தபடி n = 4 எனில், பகா எண்களான n இன் குறியீடுகளுக்கான தேற்றத்தை நிரூபித்தாலே போதுமானது. அடுத்த இரண்டு நூற்றாண்டுகளில் (1637-1839) இந்த அனுமானம் பகா எண்கள் 3, 5 மற்றும் 7 க்கு மட்டுமே நிரூபிக்கப்பட்டது, இருப்பினும் சோஃபி ஜெர்மைன் பகா எண்களின் முழு வகுப்பிற்கும் பொருந்தும் அணுகுமுறையை புதுப்பித்து நிரூபித்தார். 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில், எர்ன்ஸ்ட் கும்மர் இதை விரிவுபடுத்தி அனைத்து வழக்கமான ப்ரைம்களுக்கான தேற்றத்தை நிரூபித்தார், இதனால் ஒழுங்கற்ற பகாக்கள் தனித்தனியாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டன. கும்மரின் பணியைக் கட்டமைத்து, அதிநவீன கணினி ஆராய்ச்சியைப் பயன்படுத்தி, மற்ற கணிதவியலாளர்கள் தேற்றத்திற்கு தீர்வை விரிவுபடுத்தினர், அனைத்து முக்கிய அடுக்குகளையும் நான்கு மில்லியன் வரை உள்ளடக்கும் நோக்கத்தில் இருந்தனர், ஆனால் அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் ஆதாரம் இன்னும் கிடைக்கவில்லை (அதாவது கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக தீர்வைக் கருதுகின்றனர். தேற்றம் சாத்தியமற்றது, மிகவும் கடினமானது அல்லது தற்போதைய அறிவால் அடைய முடியாதது).

ஷிமுரா மற்றும் தனியாமாவின் வேலை

1955 ஆம் ஆண்டில், ஜப்பானிய கணிதவியலாளர்களான கோரோ ஷிமுரா மற்றும் யுடகா தனியாமா, நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கும் மட்டு வடிவங்களுக்கும் இடையே தொடர்பு இருப்பதாக சந்தேகித்தனர், இது கணிதத்தின் முற்றிலும் வேறுபட்ட பகுதிகள். அந்த நேரத்தில் தனியாமா-ஷிமுரா-வெயில் அனுமானம் என்றும் (இறுதியில்) மட்டுத் தேற்றம் என்றும் அறியப்பட்டது, அது ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்துடன் வெளிப்படையான தொடர்பு இல்லாமல் தனித்து நின்றது. இது ஒரு முக்கியமான கணிதத் தேற்றமாக பரவலாகக் கருதப்பட்டது, ஆனால் (ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் போன்றது) நிரூபிக்க முடியாததாகக் கருதப்பட்டது. அதே நேரத்தில், ஃபெர்மட்டின் சிறந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம் (பிரிவு முறை மற்றும் சிக்கலான கணித சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்) அரை நூற்றாண்டுக்குப் பிறகுதான் மேற்கொள்ளப்பட்டது.

1984 இல், Gerhard Frey இந்த இரண்டு முன்னர் தொடர்பில்லாத மற்றும் தீர்க்கப்படாத பிரச்சனைகளுக்கு இடையே ஒரு வெளிப்படையான தொடர்பைக் கவனித்தார். இரண்டு தேற்றங்களும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை என்பதற்கான முழுமையான ஆதாரம் 1986 ஆம் ஆண்டில் கென் ரிபெட் என்பவரால் வெளியிடப்பட்டது, அவர் ஜீன்-பியர் செரெஸ் என்பவரால் ஒரு பகுதி ஆதாரத்தை உருவாக்கினார், அவர் "எப்சிலன் அனுமானம்" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பகுதியைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் நிரூபித்தார். எளிமையாகச் சொன்னால், Frey, Serres மற்றும் Ribe ஆகியோரின் இந்த படைப்புகள், மட்டுறுப்புத் தேற்றம் குறைந்தபட்சம் ஒரு அரைநிலை நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டால், ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் ஆதாரம் விரைவில் அல்லது பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்படும் என்பதைக் காட்டுகிறது. ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்துடன் முரண்படக்கூடிய எந்தவொரு தீர்வும் மட்டுத் தேற்றத்திற்கு முரணாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். எனவே, மாடுலாரிட்டி தேற்றம் உண்மையாகிவிட்டால், வரையறையின்படி ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்திற்கு முரணான தீர்வு இருக்க முடியாது, அதாவது அது விரைவில் நிரூபிக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

இரண்டு தேற்றங்களும் கணிதத்தில் கடினமான பிரச்சனைகளாக இருந்தாலும், தீர்க்க முடியாததாகக் கருதப்பட்டாலும், இரண்டு ஜப்பானியர்களின் பணியானது, ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை சில எண்களுக்கு மட்டும் அல்லாமல், அனைத்து எண்களுக்கும் எப்படி நீட்டித்து நிரூபிக்க முடியும் என்பதற்கான முதல் ஆலோசனையாகும். ஆராய்ச்சித் தலைப்பைத் தேர்ந்தெடுத்த ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு முக்கியமானது, ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தைப் போலல்லாமல், மாடுலாரிட்டி தேற்றம் ஆராய்ச்சியின் ஒரு முக்கிய செயலில் உள்ள பகுதியாகும், அதற்கான ஆதாரம் உருவாக்கப்பட்டு, அது ஒரு வரலாற்று வினோதம் மட்டுமல்ல, எனவே நேரத்தை செலவிட்டது. அதில் வேலை செய்வது ஒரு தொழில்முறை கண்ணோட்டத்தில் நியாயப்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், தனியாமா-ஷிமுரா யூகத்தைத் தீர்ப்பது நடைமுறையில் இல்லை என்பது பொதுவான ஒருமித்த கருத்து.

ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம்: வைல்ஸின் ஆதாரம்

ஃபிரேயின் கோட்பாட்டை ரிபெட் சரி என்று நிரூபித்ததை அறிந்த ஆங்கிலேயக் கணிதவியலாளர் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ், சிறுவயதிலிருந்தே ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தில் ஆர்வமும், நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் தொடர்புடைய துறைகளில் பணிபுரிந்த அனுபவமும் கொண்டிருந்தவர், தனியாமா-ஷிமுரா யூகத்தை நிரூபிக்க முயற்சித்தார். ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும். 1993 ஆம் ஆண்டில், தனது இலக்கை அறிவித்த ஆறு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, தேற்றத்தைத் தீர்ப்பதில் இரகசியமாகப் பணிபுரிந்தபோது, ​​வைல்ஸ் தொடர்புடைய யூகத்தை நிரூபிக்க முடிந்தது, இது ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபிக்க அவருக்கு உதவும். வைல்ஸின் ஆவணம் அளவு மற்றும் நோக்கத்தில் மிகப்பெரியதாக இருந்தது.

சக மதிப்பாய்வின் போது அவரது அசல் தாளின் ஒரு பகுதியில் குறைபாடு கண்டறியப்பட்டது மற்றும் தேற்றத்தை கூட்டாக தீர்க்க ரிச்சர்ட் டெய்லருடன் மற்றொரு ஆண்டு ஒத்துழைப்பு தேவைப்பட்டது. இதன் விளைவாக, ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் வைல்ஸின் இறுதி ஆதாரம் வருவதற்கு நீண்ட காலம் இல்லை. 1995 ஆம் ஆண்டில், இது வைல்ஸின் முந்தைய கணிதப் பணியை விட மிகச் சிறிய அளவில் வெளியிடப்பட்டது, தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் சாத்தியக்கூறு பற்றிய அவரது முந்தைய முடிவுகளில் அவர் தவறாக இருக்கவில்லை என்பதை தெளிவாகக் காட்டுகிறது. வைல்ஸின் சாதனை பிரபலமான பத்திரிகைகளில் பரவலாகப் புகாரளிக்கப்பட்டது மற்றும் புத்தகங்கள் மற்றும் தொலைக்காட்சி நிகழ்ச்சிகளில் பிரபலப்படுத்தப்பட்டது. தனியாமா-ஷிமுரா-வெயில் யூகத்தின் எஞ்சிய பகுதிகள், இப்போது நிரூபிக்கப்பட்டு, மட்டுறுப்புத் தேற்றம் என்று அறியப்படுகின்றன, பின்னர் 1996 மற்றும் 2001 க்கு இடையில் வைல்ஸின் பணியை உருவாக்கிய பிற கணிதவியலாளர்களால் நிரூபிக்கப்பட்டது. அவரது சாதனைக்காக, வைல்ஸ் கௌரவிக்கப்பட்டார் மற்றும் 2016 ஏபெல் பரிசு உட்பட பல விருதுகளைப் பெற்றார்.

ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் வைல்ஸின் ஆதாரம் நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கான மட்டுத் தேற்றத்திற்கான ஒரு தீர்வின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும். இருப்பினும், இவ்வளவு பெரிய அளவிலான கணித செயல்பாட்டின் மிகவும் பிரபலமான வழக்கு இதுவாகும். ரிபெட்டின் தேற்றத்தைத் தீர்ப்பதோடு, பிரிட்டிஷ் கணிதவியலாளர் ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் ஆதாரத்தையும் பெற்றார். ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம் மற்றும் மாடுலாரிட்டி தேற்றம் ஆகியவை நவீன கணிதவியலாளர்களால் உலகளவில் நிரூபிக்க முடியாதவை என்று கருதப்பட்டன, ஆனால் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் பண்டிதர்கள் கூட தவறாக நினைக்கலாம் என்பதை முழு அறிவியல் உலகிற்கும் நிரூபிக்க முடிந்தது.

வைல்ஸ் தனது கண்டுபிடிப்பை முதன்முதலில் ஜூன் 23, 1993 அன்று கேம்பிரிட்ஜில் "மட்டு வடிவங்கள், நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் காலோயிஸ் பிரதிநிதித்துவங்கள்" என்ற தலைப்பில் ஒரு விரிவுரையில் அறிவித்தார். இருப்பினும், செப்டம்பர் 1993 இல் அவரது கணக்கீடுகளில் ஒரு பிழை இருப்பது உறுதி செய்யப்பட்டது. ஒரு வருடம் கழித்து, செப்டம்பர் 19, 1994 இல், "அவரது பணி வாழ்க்கையின் மிக முக்கியமான தருணம்" என்று அவர் அழைக்கும் போது, ​​வைல்ஸ் ஒரு வெளிப்பாட்டைக் கண்டு தடுமாறினார், இது கணிதத்தை திருப்திப்படுத்தும் அளவிற்கு சிக்கலுக்கான தீர்வை சரிசெய்ய அவரை அனுமதித்தது. சமூக.

வேலையின் சிறப்பியல்புகள்

ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்திற்கான ஆண்ட்ரூ வைல்ஸின் ஆதாரம் இயற்கணித வடிவியல் மற்றும் எண் கோட்பாட்டிலிருந்து பல நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் கணிதத்தின் இந்த பகுதிகளில் பல மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது. அவர் நவீன இயற்கணித வடிவவியலின் நிலையான கட்டுமானங்களைப் பயன்படுத்துகிறார், அதாவது திட்டங்களின் வகை மற்றும் இவாசாவா கோட்பாடு மற்றும் பியர் ஃபெர்மாட்டிடம் இல்லாத பிற 20 ஆம் நூற்றாண்டு முறைகள்.

ஆதாரங்களைக் கொண்ட இரண்டு கட்டுரைகள் மொத்தம் 129 பக்கங்கள் மற்றும் ஏழு ஆண்டுகளில் எழுதப்பட்டது. ஜான் கோட்ஸ் இந்த கண்டுபிடிப்பை எண் கோட்பாட்டின் மிகப்பெரிய சாதனைகளில் ஒன்றாக விவரித்தார், மேலும் ஜான் கான்வே இதை 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முக்கிய கணித சாதனை என்று அழைத்தார். வைல்ஸ், செமிஸ்டபிள் நீள்வட்ட வளைவுகளின் சிறப்பு நிலைக்கான மாடுலாரிட்டி தேற்றத்தை நிரூபிப்பதன் மூலம் ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்காக, மட்டுத்தன்மையை உயர்த்துவதற்கான சக்திவாய்ந்த முறைகளை உருவாக்கினார் மற்றும் பல சிக்கல்களுக்கு புதிய அணுகுமுறைகளைக் கண்டுபிடித்தார். ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தைத் தீர்ப்பதற்காக அவர் நைட் பட்டம் பெற்றார் மற்றும் பிற விருதுகளைப் பெற்றார். வைல்ஸ் ஏபெல் பரிசை வென்றார் என்று அறிவிக்கப்பட்டபோது, ​​நோர்வே அறிவியல் அகாடமி அவரது சாதனையை "ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் அற்புதமான மற்றும் அடிப்படை ஆதாரம்" என்று விவரித்தது.

எப்படி இருந்தது

தேற்றத்தின் தீர்வுக்கான வைல்ஸின் அசல் கையெழுத்துப் பிரதியை ஆய்வு செய்தவர்களில் ஒருவர் நிக் காட்ஸ் ஆவார். அவரது மதிப்பாய்வின் போது, ​​அவர் பிரிட்டனிடம் தொடர்ச்சியான தெளிவுபடுத்தும் கேள்விகளைக் கேட்டார், இது வைல்ஸ் தனது வேலையில் ஒரு இடைவெளியை தெளிவாகக் கொண்டுள்ளது என்பதை ஒப்புக்கொள்ளும்படி கட்டாயப்படுத்தியது. ஒரு குறிப்பிட்ட குழுவின் வரிசைக்கான மதிப்பீட்டை வழங்கிய ஆதாரத்தின் ஒரு முக்கியமான பகுதியில் பிழை உள்ளது: கோலிவாகின் மற்றும் ஃப்ளாச் முறையை நீட்டிக்க பயன்படுத்தப்பட்ட யூலர் அமைப்பு முழுமையடையவில்லை. எவ்வாறாயினும், தவறு அவரது வேலையை பயனற்றதாக ஆக்கவில்லை - வைல்ஸின் ஒவ்வொரு பகுதியும் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கதாகவும் புதுமையானதாகவும் இருந்தது, அதே போல் அவர் தனது பணியின் போது உருவாக்கிய பல முன்னேற்றங்கள் மற்றும் முறைகள் மற்றும் இது ஒரு பகுதியை மட்டுமே பாதித்தது. கையெழுத்துப் பிரதி. இருப்பினும், 1993 இல் வெளியிடப்பட்ட இந்த அசல் படைப்பு உண்மையில் ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை வழங்கவில்லை.

வைல்ஸ் ஏறக்குறைய ஒரு வருடம் தேற்றத்திற்கான தீர்வை மீண்டும் கண்டுபிடிக்க முயன்றார், முதலில் தனியாகவும் பின்னர் அவரது முன்னாள் மாணவர் ரிச்சர்ட் டெய்லருடன் இணைந்து, ஆனால் அனைத்தும் வீண் என்று தோன்றியது. 1993 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில், வைல்ஸின் ஆதாரம் சோதனையில் தோல்வியடைந்ததாக வதந்திகள் பரவின, ஆனால் தோல்வி எவ்வளவு தீவிரமானது என்பது தெரியவில்லை. கணிதவியலாளர்கள் வைல்ஸ் மீது அழுத்தம் கொடுக்கத் தொடங்கினர், அவருடைய வேலை முடிந்ததா இல்லையா என்பதை வெளிப்படுத்துங்கள், இதனால் கணிதவியலாளர்களின் பரந்த சமூகம் அவர் சாதித்த அனைத்தையும் ஆராய்ந்து பயன்படுத்த முடியும். வைல்ஸ் தனது தவறை விரைவாகத் திருத்துவதற்குப் பதிலாக, ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் ஆதாரத்தில் கூடுதல் சிக்கல்களை மட்டுமே கண்டுபிடித்தார், இறுதியாக அது எவ்வளவு கடினமானது என்பதை உணர்ந்தார்.

செப்டம்பர் 19, 1994 காலை, அவர் விட்டுக்கொடுக்கும் விளிம்பில் இருந்தார், மேலும் அவர் தோல்வியுற்றார் என்ற உண்மையை கிட்டத்தட்ட ராஜினாமா செய்தார் என்று வைல்ஸ் கூறுகிறார். அவர் தனது முடிக்கப்படாத வேலையை வெளியிடுவதற்கு தயாராக இருந்தார், அதனால் மற்றவர்கள் அதைக் கட்டியெழுப்பவும், அவர் எங்கு தவறு செய்தார் என்பதைக் கண்டறியவும். ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் தனக்கு ஒரு கடைசி வாய்ப்பை வழங்க முடிவு செய்து, அவரது அணுகுமுறை வேலை செய்யாததற்கான முக்கிய காரணங்களைப் புரிந்து கொள்ள கடைசியாக ஒரு முறை தேற்றத்தை ஆய்வு செய்தார், அவர் திடீரென்று கோலிவாகின்-ஃப்ளாக் அணுகுமுறை செயல்படாது என்பதை உணர்ந்தார். செயல்முறை Iwasawa கோட்பாடு, அதை வேலை செய்யும்.

அக்டோபர் 6 அன்று, வைல்ஸ் தனது புதிய படைப்பை மதிப்பாய்வு செய்ய மூன்று சக ஊழியர்களிடம் (Faltins உட்பட) கேட்டுக்கொண்டார், மேலும் அக்டோபர் 24, 1994 இல், "மட்டு நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம்" மற்றும் "சில ஹெக்கே இயற்கணிதங்களின் வளையத்தின் தத்துவார்த்த பண்புகள்" ஆகிய இரண்டு கையெழுத்துப் பிரதிகளை சமர்ப்பித்தார். ", அதில் இரண்டாவது வைல்ஸ் டெய்லருடன் இணைந்து எழுதினார் மற்றும் முக்கிய கட்டுரையில் திருத்தப்பட்ட படியை நியாயப்படுத்த தேவையான சில நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டன என்று வாதிட்டார்.

இந்த இரண்டு கட்டுரைகளும் மதிப்பாய்வு செய்யப்பட்டு இறுதியாக மே 1995 ஆம் ஆண்டு கணிதத்தின் அன்னல்ஸ் இதழில் முழு உரை பதிப்பாக வெளியிடப்பட்டது. ஆண்ட்ரூவின் புதிய கணக்கீடுகள் பரவலாக பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டு இறுதியில் விஞ்ஞான சமூகத்தால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டன. இந்த வேலைகள் செமிஸ்டபிள் நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கான மாடுலாரிட்டி தேற்றத்தை நிறுவியது, இது உருவாக்கப்பட்ட 358 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான இறுதிப் படியாகும்.

பெரிய பிரச்சனையின் வரலாறு

இந்த தேற்றத்தை தீர்ப்பது பல நூற்றாண்டுகளாக கணிதத்தில் மிகப்பெரிய பிரச்சனையாக கருதப்படுகிறது. 1816 ஆம் ஆண்டிலும் மீண்டும் 1850 ஆம் ஆண்டிலும், ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் பொதுச் சான்றிற்காக பிரெஞ்சு அறிவியல் கழகம் ஒரு பரிசை வழங்கியது. 1857 ஆம் ஆண்டில், அகாடமி 3,000 பிராங்குகளையும் ஒரு தங்கப் பதக்கத்தையும் கும்மருக்கு வழங்கியது, இருப்பினும் அவர் பரிசுக்கு விண்ணப்பிக்கவில்லை. 1883 இல் பிரஸ்ஸல்ஸ் அகாடமியால் அவருக்கு மற்றொரு பரிசு வழங்கப்பட்டது.

Wolfskehl பரிசு

1908 ஆம் ஆண்டில், ஜெர்மன் தொழிலதிபரும் அமெச்சூர் கணிதவியலாளருமான பால் வொல்ஃப்ஸ்கெல் 100,000 தங்க மதிப்பெண்களை (அந்த நேரத்தில் ஒரு பெரிய தொகை) ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் முழுமையான ஆதாரத்திற்கான பரிசாக கோட்டிங்கன் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸுக்கு வழங்கினார். ஜூன் 27, 1908 இல், அகாடமி ஒன்பது விருது விதிகளை வெளியிட்டது. மற்றவற்றுடன், இந்த விதிகள் ஒரு சக மதிப்பாய்வு செய்யப்பட்ட பத்திரிகையில் ஆதாரங்களை வெளியிட வேண்டும். பரிசு வெளியிடப்பட்ட இரண்டு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு வழங்கப்படக்கூடாது. செப்டம்பர் 13, 2007 அன்று போட்டி காலாவதியாக இருந்தது - அது தொடங்கி ஏறக்குறைய ஒரு நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு. ஜூன் 27, 1997 இல், வைல்ஸ் வொல்ப்ஷெலின் பரிசுத் தொகையைப் பெற்றார், பின்னர் மற்றொரு $50,000 பெற்றார். மார்ச் 2016 இல், அவர் ஏபெல் பரிசின் ஒரு பகுதியாக நோர்வே அரசாங்கத்திடமிருந்து €600,000 ஐப் பெற்றார், "பெர்மட்டின் கடைசி தேற்றத்தை செமிஸ்டபிள் நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கான மாடுலாரிட்டி யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, எண் கோட்பாட்டில் ஒரு புதிய சகாப்தத்தைத் திறந்து வைத்ததற்காக." அடக்கமான ஆங்கிலேயருக்கு இது ஒரு உலக வெற்றி.

வைல்ஸின் ஆதாரத்திற்கு முன், முன்பு குறிப்பிட்டபடி, ஃபெர்மட்டின் தேற்றம் பல நூற்றாண்டுகளாக தீர்க்க முடியாததாகக் கருதப்பட்டது. 10 அடி (3 மீட்டர்) அளவிலான கடிதப் பரிமாற்றம் கொண்ட ஆயிரக்கணக்கான தவறான சான்றுகள் பல்வேறு நேரங்களில் Wolfskehl இன் குழுவிடம் சமர்ப்பிக்கப்பட்டன. பரிசின் முதல் ஆண்டில் (1907-1908), தேற்றத்தைத் தீர்ப்பதாகக் கூறி 621 விண்ணப்பங்கள் சமர்ப்பிக்கப்பட்டன, இருப்பினும் 1970 களில் இந்த எண்ணிக்கை மாதத்திற்கு சுமார் 3-4 விண்ணப்பங்களாகக் குறைந்துள்ளது. Wolfschel இன் மதிப்பாய்வாளரான F. Schlichting கருத்துப்படி, பெரும்பாலான சான்றுகள் பள்ளிகளில் கற்பிக்கப்படும் அடிப்படை முறைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை மற்றும் பெரும்பாலும் "தொழில்நுட்ப பின்னணி கொண்ட ஆனால் தோல்வியுற்ற வாழ்க்கை கொண்டவர்களால்" வழங்கப்படுகின்றன. கணித வரலாற்றாசிரியர் ஹோவர்ட் ஏவ்ஸின் கூற்றுப்படி, ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் ஒரு வகையான சாதனையை படைத்தது - இது மிகவும் தவறான ஆதாரங்களைக் கொண்ட தேற்றம்.

ஃபெர்மட் விருதுகள் ஜப்பானியர்களுக்குச் சென்றன

முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, 1955 ஆம் ஆண்டில், ஜப்பானிய கணிதவியலாளர்கள் கோரோ ஷிமுரா மற்றும் யுடகா தனியாமா ஆகியோர் கணிதத்தின் முற்றிலும் வேறுபட்ட இரண்டு கிளைகளுக்கு இடையே சாத்தியமான தொடர்பைக் கண்டுபிடித்தனர் - நீள்வட்ட வளைவுகள் மற்றும் மட்டு வடிவங்கள். இதன் விளைவாக உருவான மாடுலாரிட்டி தேற்றம் (பின்னர் தனியாமா-ஷிமுரா அனுமானம் என அறியப்பட்டது) ஒவ்வொரு நீள்வட்ட வளைவும் மட்டு என்று கூறுகிறது, அதாவது இது ஒரு தனித்துவமான மட்டு வடிவத்துடன் தொடர்புபடுத்தப்படலாம்.

இந்த கோட்பாடு ஆரம்பத்தில் சாத்தியமற்றது அல்லது மிகவும் ஊகமானது என்று நிராகரிக்கப்பட்டது, ஆனால் எண் கோட்பாட்டாளர் ஆண்ட்ரே வெய்ல் ஜப்பானியர்களின் கண்டுபிடிப்புகளை ஆதரிப்பதற்கான ஆதாரங்களைக் கண்டறிந்தபோது மிகவும் தீவிரமாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டது. இதன் விளைவாக, அனுமானம் பெரும்பாலும் தனியாமா-ஷிமுரா-வெயில் அனுமானம் என்று அழைக்கப்பட்டது. இது Langlands திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக மாறியது, இது எதிர்காலத்தில் ஆதாரம் தேவைப்படும் முக்கியமான கருதுகோள்களின் பட்டியலாகும்.

தீவிர கவனத்திற்குப் பிறகும், இந்த அனுமானம் நவீன கணிதவியலாளர்களால் மிகவும் கடினமானதாக அல்லது நிரூபிக்க முடியாததாக அங்கீகரிக்கப்பட்டது. இப்போது இந்த தேற்றம்தான் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸுக்காகக் காத்திருக்கிறது, அதன் தீர்வு மூலம் உலகம் முழுவதையும் ஆச்சரியப்படுத்த முடியும்.

ஃபெர்மட்டின் தேற்றம்: பெரல்மேன் ஆதாரம்

பிரபலமான கட்டுக்கதை இருந்தபோதிலும், ரஷ்ய கணிதவியலாளர் கிரிகோரி பெரல்மேன், அவரது அனைத்து மேதைகளுக்கும், ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. எவ்வாறாயினும், விஞ்ஞான சமூகத்திற்கான அவரது எண்ணற்ற சேவைகளை இது எந்த வகையிலும் குறைக்காது.

பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர் ஃபெர்மாட் தனது பெயரை வரலாற்றில் ஒரே ஒரு சொற்றொடரால் எழுதினார் என்று பொறாமை கொண்டவர்கள் கூறுகின்றனர். 1637 இல் புகழ்பெற்ற தேற்றத்தை உருவாக்குவதன் மூலம் கையெழுத்துப் பிரதியின் ஓரங்களில், அவர் ஒரு குறிப்பைச் செய்தார்: "நான் ஒரு அற்புதமான தீர்வைக் கண்டுபிடித்தேன், ஆனால் அதை இங்கே வைக்க போதுமான இடம் இல்லை." பின்னர் ஒரு அற்புதமான கணித பந்தயம் தொடங்கியது, அதில், சிறந்த விஞ்ஞானிகளுடன் சேர்ந்து, அமெச்சூர் இராணுவம் சேர்ந்தது.

ஃபெர்மட்டின் பிரச்சனையின் நயவஞ்சகம் என்ன? முதல் பார்வையில், இது ஒரு பள்ளி மாணவருக்கு கூட புரியும்.

இது அனைவருக்கும் தெரிந்த பித்தகோரியன் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: x 2 + y 2 = z 2. ஃபெர்மாட் வாதிட்டார்: இரண்டுக்கும் அதிகமான சக்திகளுக்கான சமன்பாடு முழு எண்களில் தீர்வு இல்லை.

இது எளிமையானதாகத் தோன்றும். அணுகவும் மற்றும் பதில் இங்கே உள்ளது. பல்வேறு நாடுகளில் உள்ள கல்விக்கூடங்கள், அறிவியல் நிறுவனங்கள், செய்தித்தாள் தலையங்க அலுவலகங்கள் கூட பல்லாயிரக்கணக்கான சான்றுகளுடன் மூழ்கியதில் ஆச்சரியமில்லை. அவர்களின் எண்ணிக்கை முன்னோடியில்லாதது, "நிரந்தர இயக்கம்" திட்டங்களுக்கு அடுத்ததாக உள்ளது. ஆனால் தீவிர விஞ்ஞானம் இந்த பைத்தியக்காரத்தனமான யோசனைகளை நீண்ட காலமாக கருத்தில் கொள்ளவில்லை என்றால், "விவசாயிகளின்" வேலை நேர்மையாகவும் ஆர்வமாகவும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. மற்றும், ஐயோ, அது பிழைகளைக் காண்கிறது. மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்கும் மேலாக, தேற்றத்திற்கான தீர்வுகளின் முழு கணித கல்லறை உருவாகியுள்ளது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

அவர்கள் சொல்வது ஒன்றும் இல்லை: முழங்கை நெருக்கமாக உள்ளது, ஆனால் நீங்கள் கடிக்க மாட்டீர்கள். ஆண்டுகள், தசாப்தங்கள், நூற்றாண்டுகள் கடந்துவிட்டன, மேலும் ஃபெர்மாட்டின் பணி பெருகிய முறையில் ஆச்சரியமாகவும் கவர்ச்சியாகவும் தோன்றியது. வெளித்தோற்றத்தில் எளிமையானது, வேகமாக வளர்ந்து வரும் தசை முன்னேற்றத்திற்கு இது மிகவும் கடினமானதாக மாறியது. மனிதன் ஏற்கனவே அணுவைப் பிளந்து, மரபணுவை அடைந்து, சந்திரனில் காலடி எடுத்து வைத்தான், ஆனால் ஃபெர்மாட் அடிபணியவில்லை, தவறான நம்பிக்கையுடன் தனது சந்ததியினரைத் தொடர்ந்து கவர்ந்தான்.

இருப்பினும், விஞ்ஞான உச்சத்தை கடக்க முயற்சிகள் வீண் போகவில்லை. பெரிய ஆய்லர் நான்காவது பட்டத்திற்கான தேற்றத்தை நிரூபிப்பதன் மூலம் முதல் படியை எடுத்தார், பின்னர் மூன்றாவது படி. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், ஜெர்மன் எர்ன்ஸ்ட் கும்மர் டிகிரி எண்ணிக்கையை நூற்றுக்கு கொண்டு வந்தார். இறுதியாக, கணினிகளுடன் ஆயுதம் ஏந்திய விஞ்ஞானிகள் இந்த எண்ணிக்கையை 100 ஆயிரமாக அதிகரித்தனர். ஆனால் ஃபெர்மட் எந்த பட்டங்களைப் பற்றி பேசிக்கொண்டிருந்தார். அதுவே முழு விஷயமாக இருந்தது.

நிச்சயமாக, விஞ்ஞானிகள் விளையாட்டின் ஆர்வத்தின் காரணமாக இந்த சிக்கலைப் பற்றி கவலைப்படவில்லை. பிரபல கணிதவியலாளர் டேவிட் ஹில்பர்ட், இந்த தேற்றம், அற்பமாகத் தோன்றும் பிரச்சனை அறிவியலில் பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் என்பதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்றார். அதில் பணிபுரிந்து, விஞ்ஞானிகள் முற்றிலும் புதிய கணித எல்லைகளைத் திறந்தனர், எடுத்துக்காட்டாக, எண் கோட்பாடு, இயற்கணிதம் மற்றும் செயல்பாட்டுக் கோட்பாடு ஆகியவற்றின் அடித்தளங்கள் அமைக்கப்பட்டன.

இன்னும் பெரிய தேற்றம் 1995 இல் கைப்பற்றப்பட்டது. அவரது தீர்வை பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த அமெரிக்கர் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் வழங்கினார், மேலும் இது அறிவியல் சமூகத்தால் அதிகாரப்பூர்வமாக அங்கீகரிக்கப்பட்டது. அவர் தனது வாழ்நாளில் ஏழு வருடங்களுக்கும் மேலாக ஆதாரம் தேடினார். விஞ்ஞானிகளின் கூற்றுப்படி, இந்த சிறந்த வேலை பல கணிதவியலாளர்களின் படைப்புகளை ஒன்றிணைத்தது, அதன் வெவ்வேறு பிரிவுகளுக்கு இடையில் இழந்த தொடர்புகளை மீட்டெடுக்கிறது.

எனவே, உச்சிமாநாடு எடுக்கப்பட்டது, விஞ்ஞானம் பதிலைப் பெற்றுள்ளது, ”என்று ரஷ்ய அறிவியல் அகாடமியின் கணிதத் துறையின் அறிவியல் செயலாளர் யூரி விஷ்னியாகோவ், தொழில்நுட்ப அறிவியல் டாக்டர், RG நிருபரிடம் கூறினார். - ஃபெர்மாட் வலியுறுத்தியது போல், தேற்றம் எளிமையான முறையில் இல்லாவிட்டாலும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது விரும்புபவர்கள் தங்கள் சொந்த பதிப்புகளை அச்சிடலாம்.

இருப்பினும், "விவசாயிகளின்" குடும்பம் வைல்ஸின் ஆதாரத்தை ஏற்றுக்கொள்ளப் போவதில்லை. இல்லை, அவர்கள் அமெரிக்கரின் முடிவை மறுக்கவில்லை, ஏனென்றால் இது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் எனவே நிபுணர்களின் குறுகிய வட்டத்திற்கு மட்டுமே புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. ஆனால் இணையத்தில் தோன்றும் மற்றொரு ஆர்வலரிடமிருந்து ஒரு புதிய வெளிப்பாடு இல்லாமல் ஒரு வாரம் கூட இல்லை, "இறுதியாக நீண்ட கால காவியத்திற்கு முற்றுப்புள்ளி வைக்கிறது."

மூலம், நேற்று நம் நாட்டின் மிகப் பழமையான “ஃபெர்மிஸ்டுகளில்” ஒருவரான Vsevolod Yarosh, “RG” இன் தலையங்கத்தை அழைத்தார்: “மேலும், வைல்ஸுக்கு முன்பே நான் ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தை நிரூபித்தேன் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் அவரைப் பற்றி, எங்கள் சிறந்த கணிதவியலாளர் கல்வியாளர் அர்னால்டுக்கு இதைப் பற்றி ஒரு அறிவியல் இதழில் வெளியிட வேண்டும் என்ற கோரிக்கையுடன் நான் எழுதினேன்.

இப்போது, ​​​​பல ஊடகங்களில் தெரிவிக்கப்பட்டுள்ளபடி, மற்றொரு ஆர்வலர், ஓம்ஸ்கிலிருந்து பாலியோட் மென்பொருளின் முன்னாள் பொது வடிவமைப்பாளர், தொழில்நுட்ப அறிவியல் மருத்துவர் அலெக்சாண்டர் இல்யின், "ஒளி கருணையுடன்" கணிதத்தின் பெரிய ரகசியத்தை வெளிப்படுத்தினார். தீர்வு மிகவும் எளிமையானதாகவும் குறுகியதாகவும் மாறியது, இது மத்திய வெளியீடுகளில் ஒன்றின் செய்தித்தாள் இடத்தின் ஒரு சிறிய பகுதியில் பொருந்தும்.

RG இன் ஆசிரியர்கள் பெயரிடப்பட்ட நாட்டின் முன்னணி கணிதக் கழகத்திற்குத் திரும்பினர். இந்த முடிவை மதிப்பிடுவதற்கான கோரிக்கையுடன் Steklov RAS. விஞ்ஞானிகள் திட்டவட்டமாக இருந்தனர்: செய்தித்தாள் வெளியீட்டில் ஒருவர் கருத்து தெரிவிக்க முடியாது. ஆனால் மிகவும் வற்புறுத்தலுக்குப் பிறகு மற்றும் பிரபலமான பிரச்சனையில் அதிகரித்த ஆர்வத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அவர்கள் ஒப்புக்கொண்டனர். அவர்களின் கூற்றுப்படி, சமீபத்தில் வெளியிடப்பட்ட ஆதாரத்தில் பல அடிப்படை பிழைகள் செய்யப்பட்டுள்ளன. மூலம், கணித பீடத்தின் மாணவர் கூட அவர்களை எளிதாக கவனிக்க முடியும்.

இருப்பினும், ஆசிரியர்கள் முதல் தகவல்களைப் பெற விரும்பினர். மேலும், நேற்று ஏவியேஷன் மற்றும் ஏரோநாட்டிக்ஸ் அகாடமியில் இலின் தனது ஆதாரத்தை முன்வைக்க வேண்டும். இருப்பினும், நிபுணர்களிடையே கூட, அத்தகைய அகாடமியைப் பற்றி சிலருக்குத் தெரியும். மிகவும் சிரமத்துடன், இந்த அமைப்பின் அறிவியல் செயலாளரின் தொலைபேசி எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது, இதுபோன்ற ஒரு வரலாற்று நிகழ்வு அங்கு நடக்கப் போகிறது என்று அவர் சந்தேகிக்கவில்லை. சுருக்கமாக, RG நிருபர் உலக உணர்வைக் காணத் தவறிவிட்டார்.