ஒரு கோடு இரண்டு கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால். விண்வெளியில் கோடுகளின் செங்குத்தாக

ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்துத்தன்மையின் கருத்தை பாடக் குறிப்புகளுடன் ஒருங்கிணைப்போம். நாங்கள் ஒரு பொதுவான வரையறையை வழங்குவோம், தேற்றத்தை உருவாக்குவோம் மற்றும் ஆதாரத்தை வழங்குவோம், மேலும் பொருளை ஒருங்கிணைக்க பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

வடிவியல் பாடத்திலிருந்து நமக்குத் தெரியும்: இரண்டு நேர் கோடுகள் 90 டிகிரி கோணத்தில் வெட்டும் போது செங்குத்தாகக் கருதப்படுகின்றன.

உடன் தொடர்பில் உள்ளது

வகுப்பு தோழர்கள்

தத்துவார்த்த பகுதி

இடஞ்சார்ந்த உருவங்களின் சிறப்பியல்புகளின் ஆய்வுக்கு நகரும், நாங்கள் ஒரு புதிய கருத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

வரையறை:

குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியின் வழியாக தன்னிச்சையாக ஒரு மேற்பரப்பில் ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் போது ஒரு கோடு ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், "AB" பிரிவு விமானம் α க்கு செங்குத்தாக இருந்தால், விமானம் α வழியாக "AB" கடந்து செல்லும் "C" புள்ளியின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பில் வரையப்பட்ட எந்தப் பகுதியுடனும் வெட்டும் கோணம் 90 டிகிரியாக இருக்கும். .

மேற்கூறியவற்றிலிருந்து, ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான அடையாளத்தைப் பற்றி ஒரு தேற்றம் பின்வருமாறு:

ஒரு விமானத்தின் வழியாக வரையப்பட்ட ஒரு கோடு, வெட்டும் புள்ளி வழியாக விமானத்தில் வரையப்பட்ட இரண்டு கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது முழு விமானத்திற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், படம் 1ல் ACD மற்றும் ACE ஆகியவை 90°க்கு சமமாக இருந்தால், ACF கோணமும் 90° ஆக இருக்கும். படம் 3 பார்க்கவும்.

ஆதாரம்

தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளின்படி, கோடு "a" கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக வரையப்படுகிறது ஈமற்றும் இ. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ACD மற்றும் ACE கோணங்கள் 90 டிகிரிக்கு சமம். முக்கோணங்களின் சமத்துவ பண்புகளின் அடிப்படையில் சான்றுகளை வழங்குவோம். படம் 3 பார்க்கவும்.

புள்ளி C வழியாக கோடு கடந்து செல்கிறது அவிமானம் α வழியாக ஒரு கோட்டை வரையவும் fஎந்த திசையிலும். அது AB பிரிவுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் அல்லது ACF கோணம் 90° ஆக இருக்கும் என்பதற்கான ஆதாரங்களை வழங்குவோம்.

ஒரு நேர் கோட்டில் அசம நீளமான ஏசி மற்றும் ஏபி பிரிவுகளை ஒதுக்கி விடுவோம். மேற்பரப்பில் α நாம் ஒரு கோட்டை வரைகிறோம் எக்ஸ்எந்த திசையிலும் மற்றும் "C" புள்ளியில் குறுக்குவெட்டு வழியாக செல்லவில்லை. வரி "x" e, d மற்றும் f கோடுகளை வெட்ட வேண்டும்.

புள்ளிகள் F, D மற்றும் E ஆகியவற்றை நேர் கோடுகளுடன் A மற்றும் B புள்ளிகளுடன் இணைக்கவும்.

ACE மற்றும் BCE ஆகிய இரண்டு முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள். கட்டுமான நிலைமைகளின் படி:

1. AC மற்றும் BC என இரண்டு ஒத்த பக்கங்கள் உள்ளன.
2. அவர்கள் பொதுவான கீழ் பக்க CE ஐக் கொண்டுள்ளனர்.
3. இரண்டு சம கோணங்கள் ACE மற்றும் BCE - ஒவ்வொன்றும் 90 டிகிரி.

எனவே, முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கான நிபந்தனைகளின்படி, நமக்கு இரண்டு சம பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையே ஒரே கோணமும் இருந்தால், இந்த முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, AE மற்றும் BE பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும்.

அதன்படி, ACD மற்றும் BCD முக்கோணங்களின் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், AD மற்றும் BD பக்கங்களின் சமத்துவம்.

இப்போது AED மற்றும் BED ஆகிய இரண்டு முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள். முன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, இந்த புள்ளிவிவரங்கள் AE உடன் BE மற்றும் AD உடன் BD உடன் ஒரே பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. ED இன் ஒரு பக்கம் பொதுவானது. மூன்று பக்கங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட முக்கோணங்களின் சமத்துவ நிலையிலிருந்து, ADE மற்றும் BDE கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

ADE மற்றும் ADF கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும். BDE மற்றும் BDF ஆகிய கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருக்கும். ADE மற்றும் BDE கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால், ADF மற்றும் BDF கோணங்கள் சமம்.

ADF மற்றும் BDF ஆகிய இரண்டு முக்கோணங்களைக் கவனியுங்கள். அவை AD மற்றும் BD (முன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட) இரண்டு சம பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன, ஒரு பொதுவான பக்க DF மற்றும் அவற்றுக்கிடையே ADF மற்றும் BDF ஆகியவற்றுக்கு இடையே சமமான கோணம் உள்ளது. எனவே, இந்த முக்கோணங்கள் சம நீளம் கொண்ட பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. அதாவது, பக்க BF பக்கத்தின் அதே நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது.

முக்கோண AFB ஐக் கருத்தில் கொண்டால், அது சமபக்கமாக இருக்கும் (AF சமம் BF), மற்றும் வரி FC என்பது இடைநிலை, ஏனெனில் கட்டுமான நிலைமைகளின்படி, பக்க AC BC க்கு சமம். எனவே, கோணம் ACF 90° ஆகும். எது நிரூபிக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

மேலே உள்ள தேற்றத்தின் ஒரு முக்கியமான விளைவு பின்வரும் கூற்று:

இரண்டு இணையான கோடுகள் ஒரு விமானத்தை வெட்டி, அவற்றில் ஒன்று 90° கோணத்தை உருவாக்கினால், இரண்டாவது 90° கோணத்தில் விமானத்தைக் கடக்கும்.

பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, a மற்றும் b இணையாக உள்ளன. படம் 4 ஐப் பார்க்கவும். வரி a மேற்பரப்பு α க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. b கோடு மேற்பரப்பு α க்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

இதை நிரூபிக்க, ஒரு விமானத்துடன் இணையான கோடுகளை வெட்டும் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக, மேற்பரப்பில் ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும். c. ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு கோடு பற்றிய தேற்றத்தின்படி, கோணம் DAB 90 டிகிரி இருக்கும். இணையான கோடுகளின் பண்புகளிலிருந்து கோணம் ABF 90° ஆகவும் இருக்கும். எனவே, வரையறையின்படி, நேர் கோடு பிமேற்பரப்பு α க்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல்

பொருளைப் பாதுகாக்க, ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் அடிப்படை நிலைமைகளைப் பயன்படுத்தி, பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

பணி எண் 1

நிபந்தனைகள். புள்ளி A இலிருந்து, விமானம் α க்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை அமைக்கவும். படம் 5 பார்க்கவும்.

மேற்பரப்பில் α நாம் ஒரு தன்னிச்சையான நேர்க்கோட்டை வரைகிறோம் b. நேர் கோடு b மற்றும் புள்ளி A ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் ஒரு மேற்பரப்பை உருவாக்குகிறோம் β. புள்ளி A முதல் வரி b வரை AB பிரிவை வரையவும். மேற்பரப்பில் α புள்ளி B இலிருந்து நாம் ஒரு செங்குத்து கோட்டை வரைகிறோம் c.

புள்ளி A முதல் வரி வரை உடன்செங்குத்தாக ஏசியை இறக்கவும். இந்த கோடு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிப்போம்.

இதை நிரூபிக்க, மேற்பரப்பில் α புள்ளி C மூலம் b க்கு இணையாகவும் கோட்டின் வழியாகவும் d கோடு வரைகிறோம் cமற்றும் புள்ளி A நாம் ஒரு விமானத்தை உருவாக்குவோம். கோடு AC ஆனது கட்டுமான நிலையில் வரி c க்கு செங்குத்தாகவும் மற்றும் வரி d க்கு செங்குத்தாகவும் உள்ளது, இது செங்குத்தாக தேற்றத்திலிருந்து இரண்டு இணையான கோடுகளின் விளைவாக உள்ளது, ஏனெனில் நிபந்தனையின்படி b என்பது மேற்பரப்பு γ க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

எனவே, ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்தாக வரையறையின்படி, கட்டப்பட்ட பிரிவு AC மேற்பரப்பு α க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

பிரச்சனை எண் 2

நிபந்தனைகள். AB பிரிவு விமானம் α க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. முக்கோணம் BDF மேற்பரப்பில் α அமைந்துள்ளது மற்றும் பின்வரும் அளவுருக்கள் உள்ளன:

• கோணம் DBF 90° இருக்கும்
• பக்கம் BD=12 செ.மீ.;
• பக்க BF =16 செ.மீ;
• கிமு - இடைநிலை.

படம் 6ஐ பார்க்கவும்.

AB = 24 செ.மீ என்றால் பிரிவின் ஏசியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, ஹைப்போடென்யூஸ் அல்லது பக்க DF என்பது கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலத்திற்குச் சமம். BD சதுரத்தின் நீளம் 144 மற்றும் அதன்படி, BC ஸ்கொயர் 256 ஆக இருக்கும். மொத்தம் 400; வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொண்டால் நமக்கு 20 கிடைக்கும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள இடைநிலை BC, ஹைபோடென்யூஸை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது மற்றும் இந்த பிரிவுகளுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது BC = DC = CF = 10.

பித்தகோரியன் தேற்றம் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் நாம் பெறுகிறோம்: ஹைபோடென்யூஸ் C = 26, இது 675 இன் வர்க்க மூலமாகும், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 576 (AB = 24 ஸ்கொயர்) மற்றும் 100 (BC = 10 ஸ்கொயர்).

பதில்: ஏசி பிரிவின் நீளம் 26 செ.மீ.

இந்த பாடத்தில் நாம் விண்வெளியில் உள்ள கோடுகளின் செங்குத்தாக, ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்துத்தன்மை மற்றும் ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் இணை கோடுகள் ஆகியவற்றைப் பார்ப்போம்.
முதலில், விண்வெளியில் உள்ள இரண்டு செங்குத்து கோடுகளின் வரையறையையும் அவற்றின் பதவியையும் தருகிறோம். மூன்றாவது வரிக்கு செங்குத்தாக இணையான கோடுகள் பற்றிய லெம்மாவை பரிசீலித்து நிரூபிப்போம். அடுத்து, ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டின் வரையறையை வழங்குவோம், மேலும் கோட்டின் மற்றும் விமானத்தின் ஒப்பீட்டு நிலையை நினைவில் வைத்து, அத்தகைய கோட்டின் பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம். அடுத்து, ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இரண்டு இணையான கோடுகளைப் பற்றிய நேரடி மற்றும் உரையாடல் தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்.
பாடத்தின் முடிவில், இணையான மற்றும் டெட்ராஹெட்ரானில் உள்ள கோடுகளின் செங்குத்தாக இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்ப்போம்.

தலைப்பு: ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்தாக

பாடம்: விண்வெளியில் செங்குத்து கோடுகள். ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இணையான கோடுகள்

இந்த பாடத்தில் விண்வெளியில் உள்ள கோடுகளின் செங்குத்தாக, ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்தாக, மற்றும் ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் இணை கோடுகள் பற்றி பார்ப்போம்.

வரையறை. இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் 90° ஆக இருந்தால் அவை செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன.

பதவி. .

நேர் கோடுகளைக் கவனியுங்கள் ஏமற்றும் பி. கோடுகள் வெட்டலாம், கடக்கலாம் அல்லது இணையாக இருக்கலாம். அவற்றுக்கிடையே ஒரு கோணத்தை உருவாக்க, நீங்கள் ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து அதன் வழியாக வரைய வேண்டும் ஏ,மற்றும் கோட்டிற்கு இணையான ஒரு கோடு பி. நேராக மற்றும் வெட்டும். அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணமாகும் ஏமற்றும் பி.கோணம் 90° ஆக இருந்தால், நேராக ஏமற்றும் பிசெங்குத்தாக.

இரண்டு இணையான கோடுகளில் ஒன்று மூன்றாவது வரிக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், மற்ற வரி இந்த கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

ஆதாரம்:

இரண்டு இணை கோடுகள் கொடுக்கப்பட வேண்டும் ஏமற்றும் b,மற்றும் நேராக உடன்,மேலும். என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் எம். புள்ளி மூலம் எம்கோட்டிற்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரையவும் ஏமற்றும் கோட்டிற்கு இணையான ஒரு கோடு c(படம் 2). பின்னர் கோணம் ஏ.எம்.எஸ் 90°க்கு சமம்.

நேராக பிவரிக்கு இணையாக ஏநிபந்தனையின்படி, கோடு கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது ஏகட்டுமானம் மூலம். இதன் பொருள் நேராக மற்றும் பிஇணையான.

நாம், நேராக மற்றும் பிஇணையாக, நேராக உடன்மற்றும் கட்டுமானத்தில் இணையாக. எனவே, கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் பிமற்றும் உடன் -நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம், அதாவது கோணம் ஏ.எம்.எஸ், 90°க்கு சமம். எனவே இது நேராக உள்ளது பிமற்றும் உடன்செங்குத்தாக உள்ளன, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

வரையறை. ஒரு கோடு இந்த விமானத்தில் இருக்கும் எந்த கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருந்தால், ஒரு கோடு ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது.

பதவி. .

1. வடிவியல். வகுப்புகள் 10-11: பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் (அடிப்படை மற்றும் சிறப்பு நிலைகள்) / I. M. ஸ்மிர்னோவா, V. A. ஸ்மிர்னோவ். - 5வது பதிப்பு, சரி செய்யப்பட்டது மற்றும் விரிவாக்கப்பட்டது - எம்.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

பணிகள் 5, 6, 7 பக் 54

2. விண்வெளியில் உள்ள கோடுகளின் செங்குத்தாக வரையறை கொடுக்கவும்.

3. சம பக்கங்கள் ஏபிமற்றும் குறுவட்டுநாற்கோணம் ஏ பி சி டிசில விமானத்திற்கு செங்குத்தாக. நாற்கர வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.

4. முக்கோணத்தின் பக்கம் சில கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது ஏ.முக்கோணத்தின் நடுக் கோடுகளில் ஒன்று கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருப்பதை நிரூபிக்கவும் ஏ.

மீண்டும் முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. இந்த வேலையில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

இலக்கு: ஒரு கோடு மற்றும் விமானத்தின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான அடையாளத்தை அறிந்து, புரிந்து கொள்ளவும், பயன்படுத்தவும் முடியும்.

பணிகள்:

• கோடுகள், நேர் கோடுகள் மற்றும் விமானங்களின் செங்குத்தாக வரையறைகளை மீண்டும் செய்யவும்.
• இணையான கோடுகளின் செங்குத்துத்தன்மை பற்றிய அறிக்கைகளை மீண்டும் செய்யவும்.
• ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்தாக இருப்பதன் அடையாளத்துடன் உங்களைப் பழக்கப்படுத்திக்கொள்ளுங்கள்.
• ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக அடையாளத்தை பயன்படுத்த வேண்டியதன் அவசியத்தை புரிந்து கொள்ளுங்கள்.
• ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் செங்குத்தாக அடையாளத்தைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கும் தரவைக் கண்டறிய முடியும்.
• கவனம், துல்லியம், தர்க்கரீதியான சிந்தனை, இடஞ்சார்ந்த கற்பனை.
• பொறுப்பு உணர்வை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

உபகரணங்கள்:கணினி, ப்ரொஜெக்டர், திரை.

பாட திட்டம்

1. நிறுவன தருணம். (தலைப்பு, உந்துதல், பாடத்தின் நோக்கத்தை உருவாக்குதல்)

2. முன்னர் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பொருள் மற்றும் கோட்பாடுகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்தல் (மாணவர்களின் முந்தைய அறிவைப் புதுப்பித்தல்: வரையறைகள் மற்றும் கோட்பாடுகளை உருவாக்குதல் அல்லது முடிக்கப்பட்ட வரைபடத்தின் மீது அடுத்தடுத்த விளக்கம் அல்லது பயன்பாடு).

3. புதிய அறிவை (உருவாக்கம், ஆதாரம்) மாஸ்டர் என புதிய பொருள் படிப்பது.

4. முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு (முன் வேலை, சுய கட்டுப்பாடு).

5. மீண்டும் மீண்டும் கட்டுப்பாடு (பரஸ்பர சரிபார்ப்பு தொடர்ந்து வேலை).

6. பிரதிபலிப்பு.

7. வீட்டுப்பாடம்.

8. சுருக்கமாக.

வகுப்புகளின் போது

1. நிறுவன தருணம்

பாடத்தின் தலைப்பைப் புகாரளிக்கவும் (ஸ்லைடு 1): ஒரு கோடு மற்றும் விமானத்தின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான அடையாளம்

உந்துதல்: கடந்த பாடத்தில் ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர் கோட்டின் வரையறையை நாங்கள் வழங்கினோம், ஆனால் அதைப் பயன்படுத்துவது எப்போதும் வசதியாக இருக்காது (ஸ்லைடு 2).

இலக்கை உருவாக்குதல்: ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் செங்குத்தாக அடையாளத்தை அறிந்து, புரிந்து கொள்ள மற்றும் பயன்படுத்த முடியும் (ஸ்லைடு 3)

2. முன்பு படித்த பொருள் மீண்டும்

ஆசிரியர்: விண்வெளியில் செங்குத்தாக இருப்பதைப் பற்றி நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பதை நினைவில் கொள்வோம்.

படிப்படியான சுய பரிசோதனையுடன் கணித டிக்டேஷன்.

உங்கள் குறிப்பேட்டில் ABCDA'B'C'D' கனசதுரத்தை வரையவும்.

ஒவ்வொரு பணியும் ஒரு நோட்புக்கில் உங்கள் உதாரணத்தை வாய்மொழி உருவாக்கம் மற்றும் பதிவு செய்வதை உள்ளடக்கியது.

1. செங்குத்து கோடுகளின் வரையறையை உருவாக்கவும்.

ஒரு கனசதுர வரைபடத்தில் ஒரு உதாரணம் கொடுங்கள் (ஸ்லைடு 4).

2. இரண்டு இணையான கோடுகளின் செங்குத்தாக மூன்றாவதாக ஒரு லெம்மாவை உருவாக்கவும்.

AA' DC க்கு செங்குத்தாக இருப்பதை நிரூபிக்கவும் (ஸ்லைடு 5).

3. ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டின் வரையறையை உருவாக்கவும்.

கனசதுரத்தின் அடிப்பகுதிக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோடு என்று பெயரிடவும். (ஸ்லைடு 6)

4. கோடுகளின் இணைநிலை மற்றும் விமானத்திற்கு அவற்றின் செங்குத்தாக இடையே உள்ள தொடர்பை நிறுவும் கோட்பாடுகளை உருவாக்கவும். (ஸ்லைடு 7)

5. சிக்கலை தீர்க்கவும் #1. (ஸ்லைடு 8)

FO மற்றும் AB ஆகிய நேர்கோட்டுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும், ABCDA'B'C'D' ஒரு கனசதுரமாக இருந்தால், O என்பது அடி மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும், F என்பது A'C இன் நடுப்பகுதி.

6. வீட்டுப்பாடப் பிரச்சனையின் மதிப்பாய்வு எண். 119 (ஸ்லைடு 9) (வாய்வழி)

வெவ்வேறு தீர்வுகளைக் கவனியுங்கள்: செங்கோண முக்கோணங்களின் சமத்துவம் மற்றும் சமபக்க முக்கோணத்தின் சொத்து ஆகியவற்றின் ஆதாரம் மூலம்.

சிக்கலை உருவாக்குதல்

அறிக்கையின் உண்மையைக் கவனியுங்கள்:

• ஒரு கோடு இந்த விமானத்தில் இருக்கும் எந்த கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருந்தால், ஒரு கோடு ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.
• ஒரு கோடு இந்த விமானத்தில் இருக்கும் சில இணையான கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். (ஸ்லைடு 10-11)

3. புதிய பொருள் கற்றல்

மாணவர்கள் அடையாளத்திற்கான விருப்பங்களை வழங்குகிறார்கள்.

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்துத்தன்மையின் அடையாளம் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது (ஸ்லைடு 12).

ஒரு கோடு ஒரு விமானத்தில் கிடக்கும் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

ஆதாரம்.

நிலை 1(ஸ்லைடு 13).

p மற்றும் q என்ற நேர்கோடுகளை வெட்டும் இடத்தில் நேர்கோடு விமானத்தை வெட்டட்டும். புள்ளி O மூலம் m க்கு இணையான ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு தன்னிச்சையான கோடு மூலம் மூன்று கோடுகளையும் P, Q, L புள்ளிகளில் வெட்டுவோம்.

APQ = BPQ (ஸ்லைடு 14)

ஏபிஎல்= பிபிஎல் (ஸ்லைடு 15)

சராசரி LO என்பது உயரம் (ஸ்லைடு 16)

கோடு m தேர்வின் தன்னிச்சையான தன்மை காரணமாக, கோடு a விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

நிலை 2(ஸ்லைடு 17)

நேராக ஒரு புள்ளி O இலிருந்து வேறுபட்ட புள்ளியில் விமானத்தை வெட்டுகிறது.

அ || a', மற்றும் புள்ளி O வழியாக செல்கிறது,

மற்றும் ஒரு' முதல் அமுன்பு நிரூபிக்கப்பட்ட படி

பின்னர் ஏ அ

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

4. முதன்மை ஒருங்கிணைப்பு.

எனவே, ஒரு கோடு ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருப்பதாகக் கூற, எந்த நிபந்தனை போதுமானது?

வெளிப்படையாக, இடுகை ஸ்லீப்பர்கள் மற்றும் தண்டவாளங்கள் இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக உள்ளது. (ஸ்லைடு 18)

பிரச்சனை எண் 128 ஐ தீர்ப்போம். (ஸ்லைடு 19) (குழுவாக வேலை செய்யுங்கள், அவர்களால் அதைச் செய்ய முடிந்தால், ஆதாரம் வாய்வழியாகப் பேசப்படுகிறது, பலவீனமான மாணவர்களுக்கு திரையில் ஒரு குறிப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது)

5. மீண்டும் மீண்டும் கட்டுப்பாடு.

அறிக்கைகளின் உண்மையை நிறுவவும் (பதில் I (உண்மை), எல் (தவறு).) (ஸ்லைடு 20)

ஒரு கோடு வட்டத்தின் மையத்தில் செல்கிறது.

நேர்கோடு a என்றால் வட்டத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் என்று சொல்ல முடியுமா

• விட்டத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது
• இரண்டு ஆரங்கள்
• இரண்டு விட்டம்

6. பிரதிபலிப்பு

மாணவர்கள் பாடத்தின் முக்கிய கட்டங்களைச் சொல்கிறார்கள்: என்ன சிக்கல் எழுந்தது, என்ன தீர்வு (அடையாளம்) முன்மொழியப்பட்டது.

கட்டுமானத்தின் போது செங்குத்துத்தன்மையை சரிபார்ப்பது பற்றி ஆசிரியர் கருத்து தெரிவிக்கிறார் (ஸ்லைடு 21).

7. வீட்டுப்பாடம்

பி.15-17 எண். 124, 126 (ஸ்லைடு 23)

8. சுருக்கமாக

• எங்கள் பாடத்தின் தலைப்பு என்ன?
• இலக்கு என்ன?
• இலக்கு எட்டப்பட்டதா?

விண்ணப்பம்

விளக்கக்காட்சியில் வழங்கப்பட்ட "லைவ் கணிதம்" நிரலைப் பயன்படுத்தி செய்யப்பட்ட வரைபடங்களைப் பயன்படுத்துகிறது இணைப்பு 1.

இலக்கியம்

1. வடிவியல். 10-11 வகுப்புகள்: பாடநூல். பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள்: அடிப்படை மற்றும் சுயவிவரம். நிலைகள்/பி.எஸ். அதனஸ்யன், வி.எஃப். புட்சோவ், எஸ்.பி. Kadomtsev மற்றும் பலர்.
2. முதல்வர் சஹாக்யன் வி.எஃப். புட்யூசோவ் 10-11 ஆம் வகுப்புகளில் வடிவவியலைப் படிக்கிறார்: ஆய்வுகளுக்கான வழிமுறை பரிந்துரைகள்: புத்தகம். ஆசிரியருக்கு.
3. டி.வி. வலகானோவிச், வி.வி. ஷ்லிகோவ் வடிவவியலில் டிடாக்டிக் பொருட்கள்: 11 ஆம் வகுப்பு: பொதுக் கல்வி ஆசிரியர்களுக்கான கையேடு. ரஷ்யனுடனான நிறுவனங்கள் மொழி 12 வருட படிப்புடன் கூடிய பயிற்சி (அடிப்படை மற்றும் மேம்பட்ட நிலைகள்) Mn.
4. வடிவவியலில் பாடம் மேம்பாடுகள்: 10 ஆம் வகுப்பு / Comp. வி.ஏ. யாரோவென்கோ.

நேரடி பற்றிய ஆரம்ப தகவல்கள்

ஒரு நேர் கோட்டின் கருத்து, அதே போல் ஒரு புள்ளியின் கருத்து, வடிவவியலின் அடிப்படை கருத்துக்கள். உங்களுக்கு தெரியும், அடிப்படை கருத்துக்கள் வரையறுக்கப்படவில்லை. இது ஒரு நேர் கோட்டின் கருத்துக்கு விதிவிலக்கல்ல. எனவே, இந்த கருத்தின் சாரத்தை அதன் கட்டுமானத்தின் மூலம் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு ஆட்சியாளரை எடுத்து, உங்கள் பென்சிலை உயர்த்தாமல், தன்னிச்சையான நீளத்தின் கோட்டை வரையவும். இதன் விளைவாக வரும் வரியை நேர்கோடு என்று அழைப்போம். இருப்பினும், இது முழு நேர் கோடு அல்ல, ஆனால் அதன் ஒரு பகுதி மட்டுமே என்பதை இங்கே குறிப்பிட வேண்டும். நேர்கோடு இரு முனைகளிலும் எல்லையற்றது.

ஒரு சிறிய லத்தீன் எழுத்து அல்லது அடைப்புக்குறிக்குள் அதன் இரண்டு புள்ளிகளால் நேர்கோடுகளைக் குறிப்போம் (படம் 1).

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு புள்ளியின் கருத்துக்கள் வடிவவியலின் மூன்று கோட்பாடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன:

கோட்பாடு 1:ஒவ்வொரு தன்னிச்சையான வரியிலும் குறைந்தது இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன.

கோட்பாடு 2:ஒரே வரியில் இல்லாத குறைந்தபட்சம் மூன்று புள்ளிகளை நீங்கள் காணலாம்.

கோட்பாடு 3:ஒரு நேர் கோடு எப்போதும் 2 தன்னிச்சையான புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, மேலும் இந்த நேர்கோடு தனித்துவமானது.

இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு, அவற்றின் உறவினர் நிலை பொருத்தமானது. மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1. இரண்டு நேர் கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. இந்த வழக்கில், ஒரு வரியின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் மற்ற வரியின் ஒரு புள்ளியாக இருக்கும்.
2. இரண்டு கோடுகள் வெட்டுகின்றன. இந்த வழக்கில், ஒரு வரியிலிருந்து ஒரு புள்ளி மட்டுமே மற்ற வரிக்கு சொந்தமானது.
3. இரண்டு கோடுகள் இணையாக உள்ளன. இந்த வழக்கில், இந்த வரிகள் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன.

வரிகளின் செங்குத்தாக

இரண்டு தன்னிச்சையான வெட்டும் கோடுகளைக் கவனியுங்கள். வெளிப்படையாக, அவற்றின் வெட்டும் இடத்தில், 4 கோணங்கள் உருவாகின்றன. பிறகு

வரையறை 1

வெட்டும் கோடுகளை செங்குத்தாக அழைப்போம், அவற்றின் குறுக்குவெட்டால் உருவாக்கப்பட்ட குறைந்தபட்சம் ஒரு கோணமாவது $90^0$ (படம் 2) க்கு சமமாக இருந்தால்.

பதவி: $a⊥b$.

பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

கீழே உள்ள படத்தில் இருந்து 1, 2 மற்றும் 3 கோணங்களைக் கண்டறியவும்

எனவே, நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு கோணம் 2 செங்குத்தாக உள்ளது

கோணம் 1 கோணம் 2 க்கு அருகில் உள்ளது

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

கோணம் 3 செங்குத்து கோணம் 1, எனவே

$∠3=∠1=90^0$

இந்தச் சிக்கலில் இருந்து நாம் பின்வரும் கருத்தைக் கூறலாம்

குறிப்பு 1

செங்குத்து கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள அனைத்து கோணங்களும் $90^0$க்கு சமம்.

செங்குத்து கோடுகளின் அடிப்படை தேற்றம்

பின்வரும் தேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

தேற்றம் 1

மூன்றாவதாக செங்குத்தாக இருக்கும் இரண்டு கோடுகள் பிரிந்து இருக்கும்.

ஆதாரம்.

சிக்கல் நிலைமைகளின்படி படம் 3 ஐப் பார்ப்போம்.

$(ZP)$ என்ற நேர்கோட்டின் இரண்டு பகுதிகளாக இந்த உருவத்தை மனதளவில் பிரிப்போம். வலது பக்கம் இடது பக்கம் வைப்போம். பின்னர், $(NM)$ மற்றும் $(XY)$ கோடுகள் $(PZ)$ க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணங்கள் சரியாக இருப்பதால், $NP$ கதிர் $ ரே மீது முழுமையாக ஏற்றப்படும். PM$, மற்றும் $XZ $ கதிர் $YZ$ ரே மீது முழுவதுமாக மிகைப்படுத்தப்படும்.

இப்போது, ​​எதிர் என்று வைத்துக் கொள்வோம்: இந்தக் கோடுகள் குறுக்கிடட்டும். பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், அவை இடதுபுறத்தில் வெட்டுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது $NP$ கதிர் $O$ புள்ளியில் $YZ$ உடன் வெட்டட்டும். மேலே விவரிக்கப்பட்ட கட்டுமானத்தின்படி, $O"$ என்ற புள்ளியில் $YZ$ கதிர் $YZ$ உடன் வெட்டுகிறது என்பதை நாம் பெறுவோம். ஆனால் $O$ மற்றும் $O"$ என்ற இரண்டு புள்ளிகள் மூலம் அதைப் பெறுவோம். $(NM)$ மற்றும் $(XY)$ ஆகிய இரண்டு நேர் கோடுகள் உள்ளன, இது 3 நேர் கோடுகளின் கோட்பாட்டிற்கு முரணானது.

எனவே, $(NM)$ மற்றும் $(XY)$ கோடுகள் வெட்டுவதில்லை.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

மாதிரி பணி

எடுத்துக்காட்டு 2

வெட்டுப்புள்ளி கொண்ட இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றில் எதற்கும் சொந்தமில்லாத ஒரு புள்ளியின் மூலம், இரண்டு நேர் கோடுகள் வரையப்படுகின்றன, அவற்றில் ஒன்று மேலே விவரிக்கப்பட்ட கோடுகளில் ஒன்றுக்கு செங்குத்தாகவும், மற்றொன்று அவற்றில் மற்றொன்றுக்கு செங்குத்தாகவும் இருக்கும். அவர்கள் ஒரே மாதிரியானவர்கள் அல்ல என்பதை நிரூபிக்கவும்.

சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப ஒரு படத்தை வரைவோம் (படம் 4).

சிக்கலின் நிலைமைகளில் இருந்து நாம் $m⊥k,n⊥l$ என்று இருப்போம்.

இதற்கு நேர்மாறாகக் கருதுவோம், $k$ மற்றும் $l$ கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. நேராக $l$ இருக்கட்டும். பின்னர், நிபந்தனையின்படி, $m⊥l$ மற்றும் $n⊥l$. எனவே, தேற்றம் 1 மூலம், $m$ மற்றும் $n$ கோடுகள் வெட்டுவதில்லை. நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், அதாவது $k$ மற்றும் $l$ கோடுகள் ஒத்துப்போவதில்லை.

பல வடிவியல் உருவங்கள் செங்கோணத்தில் வெட்டும் நேர்கோடுகளால் உருவாகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இது ஒரு சதுரம், செவ்வகம், வலது முக்கோணம் அல்லது வலது நாற்கர ப்ரிஸம். இந்த கட்டுரையில், இரண்டு நேர்கோடுகளின் செங்குத்துத்தன்மை மற்றும் நேர்கோடு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டிய நிபந்தனைகள் ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய சமன்பாடுகள் என்ன?

பெயரிடப்பட்ட வடிவியல் பொருள்களுக்கான தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் தெரிந்தால், இரண்டு நேர் கோடுகள் மற்றும் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானம் ஆகியவற்றின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலைமைகளைப் பெறுவது கடினம் அல்ல.

எந்த கோட்டின் சமன்பாடு, விமானம் மற்றும் விண்வெளியில், உலகளாவிய திசையன் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம். முப்பரிமாண வழக்குக்கு இது போல் தெரிகிறது:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ*(a; b; c)

இங்கே மாறிகள் x, z மற்றும் y ஆகியவை தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அமைப்பில் ஆயத்தொலைவுகளாகும், λ என்பது உண்மையான எண், மற்றும் மூன்று எண்கள் (a; b; c) விண்வெளியில் ஒரு திசையனை வரையறுக்கிறது, இது வழிகாட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது (ஒரு நேர் கோடு இயக்கப்படுகிறது. அதனுடன், ஆய (x 0 ; y 0 ; z 0)) புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது. இந்த சமன்பாட்டை ஒரு பொது வடிவமாக, நியதி மற்றும் அளவுருவாக மாற்றலாம்.

விமானத்தை பொதுவான வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது, இது சமன்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது:

A*x + B*y + C*z + D = 0

பெரிய எழுத்துக்கள் குணகங்களைக் குறிக்கின்றன. இந்த வெளிப்பாட்டை திசையன், அளவுரு மற்றும் வரி சமன்பாடு வடிவத்திலும் குறிப்பிடலாம். இந்த வகையான குறியீட்டின் வசதி என்னவென்றால், முதல் மூன்று குணகங்கள் இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது:

n¯(A; B; C) - விமானத்தின் திசை திசையன்

இரண்டு வரிகளின் செங்குத்தாக

கோடுகளின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலையை புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல, அவற்றின் திசை திசையன்கள் செங்குத்தாக உள்ளதா என்பதை நிறுவுவது போதுமானது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் பிந்தையதைக் கண்டறியலாம். v¯ மற்றும் u¯ இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கான திசை திசையன்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிந்தையது செங்குத்தாக இருந்தால், பின்:

இரண்டு வரிகளின் செங்குத்தாக இருக்கும் இந்த நிபந்தனை கட்டாயமாகும். இருப்பினும், இது இரு பரிமாண இடைவெளிக்கு மட்டுமே போதுமானதாக இருக்கும். முப்பரிமாண இடைவெளியில், இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, நீங்கள் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தையும் கணக்கிட வேண்டும். மேலே உள்ள சமத்துவம் உண்மையாகவும், குறிப்பிட்ட தூரம் பூஜ்ஜியமாகவும் இருந்தால், கோடுகள் 90 o கோணத்தில் வெட்டுகின்றன, அதாவது அவை செங்குத்தாக இருக்கும்.

விண்வெளியில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை கணக்கிட, பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்:

d = ||/|u¯|

இங்கே M 1 M 2 ¯ என்பது இரண்டு புள்ளிகளில் கட்டப்பட்ட ஒரு திசையன் ஆகும், அவை ஒவ்வொன்றும் தொடர்புடைய வரிக்கு சொந்தமானது (M 1 முதல் வரியிலும், M 2 இரண்டாவது வரியிலும் உள்ளது).

பிளாட் மற்றும் நேராக

இந்த பொருள்களுக்கான செங்குத்து நிலை பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு நேர்கோடு 90 o கோணத்தில் ஒரு விமானத்தை வெட்டும் போது அது விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும். இணைநிலையின் உண்மை என்னவென்றால், திசையன் n¯ சாதாரண விமானத்தை சில குறிப்பிட்ட எண் k ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் u¯ கோடு திசையன் பெறலாம்.

u¯ மற்றும் n¯ ஆகிய திசையன்கள் இணையாக உள்ளதா என்பதைக் கண்டறிய வேறு வழிகளும் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, அவை இணையாக இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, ஸ்கேலர் தயாரிப்பு மூலம் கணக்கிடப்பட்ட கோணத்தின் கொசைன் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். இதையொட்டி, இணை திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். .

விமானம் மற்றும் நேர்கோடு முறையே பொது மற்றும் திசையன் வடிவில் கொடுக்கப்படவில்லை என்றால், அவை இந்த வடிவங்களுக்கு குறைக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் செங்குத்தாக நிலைமைகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும்.