மெட்ரிக்குகளை எவ்வாறு சேர்ப்பது. மெட்ரிக்குகளின் அடிப்படை செயல்பாடுகள் (கூடுதல், பெருக்கல், இடமாற்றம்) மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

முதலாம் ஆண்டு, உயர் கணிதம், படிக்கிறார் மெட்ரிக்குகள்மற்றும் அவர்கள் மீதான அடிப்படை நடவடிக்கைகள். மெட்ரிக்குகள் மூலம் செய்யக்கூடிய அடிப்படை செயல்பாடுகளை இங்கு முறைப்படுத்துகிறோம். மெட்ரிக்குகளுடன் பழகுவதை எங்கு தொடங்குவது? நிச்சயமாக, எளிமையான விஷயங்களிலிருந்து - வரையறைகள், அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் எளிய செயல்பாடுகள். குறைந்தபட்சம் சிறிது நேரம் ஒதுக்கும் அனைவருக்கும் மெட்ரிக்குகள் புரியும் என்று நாங்கள் உங்களுக்கு உறுதியளிக்கிறோம்!

மேட்ரிக்ஸ் வரையறை

மேட்ரிக்ஸ்உறுப்புகளின் செவ்வக அட்டவணை ஆகும். சரி, எளிமையான சொற்களில் - எண்களின் அட்டவணை.

பொதுவாக, மெட்ரிக்குகள் பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, மேட்ரிக்ஸ் ஏ , அணி பி மற்றும் பல. மெட்ரிக்குகள் வெவ்வேறு அளவுகளில் இருக்கலாம்: செவ்வக, சதுரம் மற்றும் திசையன்கள் எனப்படும் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை மெட்ரிக்குகளும் உள்ளன. மேட்ரிக்ஸின் அளவு வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அளவின் செவ்வக அணியை எழுதுவோம் மீ அன்று n , எங்கே மீ - வரிகளின் எண்ணிக்கை, மற்றும் n - நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை.

அதற்கான பொருட்கள் i=j (a11, a22, .. ) மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய மூலைவிட்டத்தை உருவாக்குகிறது மற்றும் அவை மூலைவிட்டம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மெட்ரிக்ஸ் மூலம் நீங்கள் என்ன செய்ய முடியும்? சேர்/கழித்தல், ஒரு எண்ணால் பெருக்கவும், தங்களுக்குள் பெருகும், இடமாற்றம். இப்போது மெட்ரிக்குகளில் இந்த அடிப்படை செயல்பாடுகள் அனைத்தையும் பற்றி வரிசையில்.

மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகள்

ஒரே அளவிலான மெட்ரிக்குகளை மட்டுமே நீங்கள் சேர்க்க முடியும் என்பதை உடனடியாக எச்சரிப்போம். இதன் விளைவாக அதே அளவிலான மேட்ரிக்ஸாக இருக்கும். மெட்ரிக்குகளைச் சேர்ப்பது (அல்லது கழிப்பது) எளிது - நீங்கள் அவற்றின் தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்க்க வேண்டும் . ஒரு உதாரணம் தருவோம். இரண்டு அளவு A மற்றும் B என்ற இரண்டு மெட்ரிக்குகளை இரண்டாகக் கூட்டுவோம்.

கழித்தல் ஒப்புமை மூலம் செய்யப்படுகிறது, எதிர் அடையாளத்துடன் மட்டுமே.

எந்த மேட்ரிக்ஸையும் தன்னிச்சையான எண்ணால் பெருக்க முடியும். இதனை செய்வதற்கு, அதன் ஒவ்வொரு உறுப்புகளையும் இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, அணி A ஐ முதல் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து எண் 5 ஆல் பெருக்கலாம்:

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் செயல்பாடு

எல்லா மெட்ரிக்குகளையும் ஒன்றாகப் பெருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் இரண்டு அணிகள் உள்ளன - A மற்றும் B. அணி A இன் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையானது அணி B இன் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே அவை ஒன்றையொன்று பெருக்க முடியும். இந்த விஷயத்தில் i-வது வரிசை மற்றும் j-வது நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள விளைவான மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பும், முதல் காரணியின் i-வது வரிசையில் மற்றும் j-வது நெடுவரிசையில் உள்ள தொடர்புடைய உறுப்புகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். இரண்டாவது. இந்த அல்காரிதத்தைப் புரிந்து கொள்ள, இரண்டு சதுர மெட்ரிக்குகள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை எழுதுவோம்:

மற்றும் உண்மையான எண்களுடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மெட்ரிக்குகளை பெருக்குவோம்:

மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்ற செயல்பாடு

மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்றம் என்பது தொடர்புடைய வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் மாற்றப்படும் ஒரு செயல்பாடாகும். எடுத்துக்காட்டாக, அணி A ஐ முதல் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து மாற்றுவோம்:

மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானிப்பான்

நிர்ணயம், அல்லது தீர்மானிக்கும், நேரியல் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். ஒரு காலத்தில், மக்கள் நேரியல் சமன்பாடுகளைக் கொண்டு வந்தனர், அவர்களுக்குப் பிறகு அவர்கள் ஒரு தீர்மானிப்பைக் கொண்டு வர வேண்டியிருந்தது. இறுதியில், இதையெல்லாம் சமாளிப்பது உங்களுடையது, எனவே, கடைசி உந்துதல்!

தீர்மானிப்பான் என்பது ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் எண்ணியல் பண்பு ஆகும், இது பல சிக்கல்களைத் தீர்க்கத் தேவைப்படுகிறது.
எளிமையான சதுர மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிட, பிரதான மற்றும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டங்களின் கூறுகளின் தயாரிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்.

முதல் வரிசையின் மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான், அதாவது ஒரு தனிமத்தை உள்ளடக்கியது, இந்த உறுப்புக்கு சமம்.

அணி மூன்று மூன்று என்றால் என்ன? இது மிகவும் கடினம், ஆனால் நீங்கள் அதை நிர்வகிக்கலாம்.

அத்தகைய அணிக்கு, நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு, முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் தனிமங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு இணையான முகத்துடன் முக்கோணங்களில் அமைந்துள்ள தனிமங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் கூறுகள் மற்றும் இணையான இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தின் முகத்துடன் முக்கோணங்களில் இருக்கும் தனிமங்களின் தயாரிப்பு கழிக்கப்படுகிறது.

அதிர்ஷ்டவசமாக, நடைமுறையில் பெரிய அளவிலான மெட்ரிக்குகளை நிர்ணயிப்பதைக் கணக்கிடுவது அரிதாகவே அவசியம்.

மெட்ரிக்குகளின் அடிப்படை செயல்பாடுகளை இங்கே பார்த்தோம். நிச்சயமாக, நிஜ வாழ்க்கையில் நீங்கள் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகளின் குறிப்பைக் கூட சந்திக்க மாட்டீர்கள், அல்லது மாறாக, உங்கள் மூளையை நீங்கள் உண்மையில் சிதைக்க வேண்டியிருக்கும் போது நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளை சந்திக்க நேரிடும். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில்தான் தொழில்முறை மாணவர் சேவைகள் உள்ளன. உதவி கேட்கவும், உயர்தர மற்றும் விரிவான தீர்வைப் பெறவும், கல்வி வெற்றி மற்றும் இலவச நேரத்தை அனுபவிக்கவும்.

இந்த தலைப்பில் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கருத்தையும், மெட்ரிக் வகைகளையும் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த தலைப்பில் நிறைய சொற்கள் இருப்பதால், உள்ளடக்கத்தை வழிசெலுத்துவதை எளிதாக்க ஒரு சுருக்கமான சுருக்கத்தைச் சேர்ப்பேன்.

ஒரு அணி மற்றும் அதன் உறுப்பு வரையறை. குறிப்பு.

மேட்ரிக்ஸ்$m$ வரிசைகள் மற்றும் $n$ நெடுவரிசைகளின் அட்டவணை. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் முற்றிலும் மாறுபட்ட இயல்புடைய பொருள்களாக இருக்கலாம்: எண்கள், மாறிகள் அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, பிற அணிகள். எடுத்துக்காட்டாக, அணி $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 வரிசைகள் மற்றும் 2 நெடுவரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது; அதன் கூறுகள் முழு எண்கள். அணி $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 வரிசைகள் மற்றும் 4 நெடுவரிசைகள் உள்ளன.

மெட்ரிக்குகளை எழுதுவதற்கான வெவ்வேறு வழிகள்: காட்டு\மறை

மேட்ரிக்ஸை வட்டமாக மட்டுமல்ல, சதுர அல்லது இரட்டை நேராக அடைப்புக்குறிகளிலும் எழுதலாம். அதாவது, கீழே உள்ள உள்ளீடுகள் ஒரே அணியைக் குறிக்கின்றன:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \ right \Vert $$

$m\times n$ என்ற தயாரிப்பு அழைக்கப்படுகிறது அணி அளவு. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மேட்ரிக்ஸில் 5 வரிசைகள் மற்றும் 3 நெடுவரிசைகள் இருந்தால், $5\ மடங்கு 3$ அளவுள்ள மேட்ரிக்ஸைப் பற்றி பேசுகிறோம். அணி $\left (\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ அளவு $3 \ மடங்கு 2$.

பொதுவாக, மெட்ரிக்குகள் லத்தீன் எழுத்துக்களின் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: $A$, $B$, $C$ மற்றும் பல. எடுத்துக்காட்டாக, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. வரி எண்ணுதல் மேலிருந்து கீழாக செல்கிறது; நெடுவரிசைகள் - இடமிருந்து வலமாக. எடுத்துக்காட்டாக, அணி $B$ இன் முதல் வரிசையில் 5 மற்றும் 3 கூறுகள் உள்ளன, இரண்டாவது நெடுவரிசையில் 3, -87, 0 கூறுகள் உள்ளன.

மெட்ரிக்ஸின் கூறுகள் பொதுவாக சிறிய எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, $A$ மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் $a_(ij)$ ஆல் குறிக்கப்படுகின்றன. இரட்டை குறியீட்டு $ij$ அணியில் உள்ள உறுப்பு நிலை பற்றிய தகவலைக் கொண்டுள்ளது. $i$ என்பது வரிசை எண், மற்றும் $j$ என்பது நெடுவரிசை எண், இதன் குறுக்குவெட்டில் $a_(ij)$ என்ற உறுப்பு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, அணி $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 மேட்ரிக்ஸின் ஐந்தாவது நெடுவரிசை மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் குறுக்குவெட்டில் & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ முடிவு(வரிசை) \வலது) $ உறுப்பு $a_(25)= $59:

அதே வழியில், முதல் வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் $a_(11)=51$ என்ற உறுப்பு உள்ளது; மூன்றாவது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் சந்திப்பில் - உறுப்பு $a_(32)=-15$ மற்றும் பல. $a_(32)$ உள்ளீடு "ஒரு மூன்று இரண்டு" என்று படிக்கிறது, ஆனால் "ஒரு முப்பத்திரண்டு" அல்ல.

$A$ என்ற மேட்ரிக்ஸைச் சுருக்க, அதன் அளவு $m\times n$ ஆகும், $A_(m\times n)$ என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக எழுதலாம்:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

$(a_(ij))$ என்ற குறியீடானது $A$ அணியின் உறுப்புகளைக் குறிக்கிறது. அதன் முழு விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில், அணி $A_(m\times n)=(a_(ij))$ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

இன்னொரு சொல்லை அறிமுகப்படுத்துவோம் - சம அளவுகள்.

ஒரே அளவிலான $A_(m\times n)=(a_(ij))$ மற்றும் $B_(m\times n)=(b_(ij))$ என்ற இரண்டு மெட்ரிக்குகள் அழைக்கப்படுகின்றன. சமமான, அவற்றின் தொடர்புடைய கூறுகள் சமமாக இருந்தால், அதாவது. $i=\overline(1,m)$ மற்றும் $j=\overline(1,n)$ அனைத்திற்கும் $a_(ij)=b_(ij)$.

நுழைவுக்கான விளக்கம் $i=\overline(1,m)$: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" என்பது $i$ அளவுரு 1 முதல் m வரை மாறுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, $i=\overline(1,5)$ என்ற குறியீடு $i$ அளவுரு 1, 2, 3, 4, 5 மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

எனவே, மெட்ரிக்குகள் சமமாக இருக்க, இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: அளவுகளின் தற்செயல் மற்றும் தொடர்புடைய உறுப்புகளின் சமத்துவம். எடுத்துக்காட்டாக, அணி $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ அணிக்கு சமமாக இல்லை $B=\left(\ start(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ ஏனெனில் அணி $A$ அளவு $3\ மடங்கு 2$ மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் $B$ அளவு $2\ மடங்கு $2 உள்ளது. மேலும், $A$ அணி $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$க்கு சமமாக இல்லை , $a_( 21)\neq c_(21)$ (அதாவது $0\neq 98$) என்பதால். ஆனால் அணி $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ க்கு நாம் பாதுகாப்பாக $A= என்று எழுதலாம். F$ ஏனெனில் $A$ மற்றும் $F$ அளவுகள் மற்றும் தொடர்புடைய உறுப்புகள் இரண்டும் ஒத்துப்போகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

$A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & மேட்ரிக்ஸின் அளவைத் தீர்மானிக்கவும் -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \ முடிவு(வரிசை) \வலது)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ ஆகிய உறுப்புகள் எதற்குச் சமம் என்பதைக் குறிக்கவும்.

இந்த மேட்ரிக்ஸில் 5 வரிசைகள் மற்றும் 3 நெடுவரிசைகள் உள்ளன, எனவே அதன் அளவு $5\ மடங்கு 3$ ஆகும். இந்த மேட்ரிக்ஸுக்கு நீங்கள் $A_(5\times 3)$ என்ற குறியீட்டையும் பயன்படுத்தலாம்.

உறுப்பு $a_(12)$ முதல் வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே $a_(12)=-2$. உறுப்பு $a_(33)$ மூன்றாவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே $a_(33)=23$. உறுப்பு $a_(43)$ நான்காவது வரிசை மற்றும் மூன்றாவது நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் உள்ளது, எனவே $a_(43)=-5$.

பதில்: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

அவற்றின் அளவைப் பொறுத்து மெட்ரிக்குகளின் வகைகள். முதன்மை மற்றும் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டங்கள். மேட்ரிக்ஸ் ட்ரேஸ்.

ஒரு குறிப்பிட்ட அணி $A_(m\times n)$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். $m=1$ (மேட்ரிக்ஸ் ஒரு வரிசையைக் கொண்டுள்ளது) எனில், கொடுக்கப்பட்ட அணி அழைக்கப்படுகிறது அணி-வரிசை. $n=1$ (மேட்ரிக்ஸ் ஒரு நெடுவரிசையைக் கொண்டுள்ளது) எனில், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது அணி-நெடுவரிசை. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ என்பது ஒரு வரிசை அணி, மற்றும் $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ என்பது ஒரு நெடுவரிசை அணி.

அணி $A_(m\times n)$ நிபந்தனையை $m\neq n$ (அதாவது, வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இல்லை) திருப்திப்படுத்தினால், $A$ ஒரு செவ்வகமானது என்று அடிக்கடி கூறப்படுகிறது. அணி எடுத்துக்காட்டாக, அணி $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ அளவு $2\times 4 $, அந்த. 2 வரிசைகள் மற்றும் 4 நெடுவரிசைகள் உள்ளன. வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இல்லாததால், இந்த அணி செவ்வகமானது.

$A_(m\times n)$ நிபந்தனையை $m=n$ (அதாவது, வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம்) பூர்த்தி செய்தால் $A$ என்பது $ வரிசையின் சதுர அணி எனக் கூறப்படுகிறது. n$. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ என்பது இரண்டாம் வரிசை சதுர அணி; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ என்பது மூன்றாம் வரிசை சதுர அணி. பொதுவாக, சதுர அணி $A_(n\times n)$ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ஆகிய உறுப்புகள் ஆன் என்று கூறப்படுகிறது முக்கிய மூலைவிட்டம்மெட்ரிக்குகள் $A_(n\times n)$. இந்த கூறுகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய மூலைவிட்ட கூறுகள்(அல்லது மூலைவிட்ட கூறுகள்). உறுப்புகள் $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ இயக்கத்தில் உள்ளன பக்க (சிறிய) மூலைவிட்டம்; அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் பக்க மூலைவிட்ட கூறுகள். எடுத்துக்காட்டாக, அணி $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( வரிசை) \வலது)$ எங்களிடம் உள்ளது:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ஆகிய உறுப்புகள் முக்கிய மூலைவிட்ட உறுப்புகள்; உறுப்புகள் $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ஆகியவை பக்க மூலைவிட்ட உறுப்புகள்.

முக்கிய மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அழைக்கப்படுகிறது அணியைத் தொடர்ந்துமற்றும் $\Tr A$ (அல்லது $\Sp A$) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

எடுத்துக்காட்டாக, அணி $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \இறுதி(வரிசை)\வலது)$ எங்களிடம் உள்ளது:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கருத்து சதுரம் அல்லாத மெட்ரிக்குகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அணி $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ முக்கிய மூலைவிட்ட உறுப்புகள் $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

மெட்ரிக்குகளின் வகைகள் அவற்றின் உறுப்புகளின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து.

மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து உறுப்புகளும் $A_(m\times n)$ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது ஏதுமில்லைமற்றும் பொதுவாக $O$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end(array) \right)$ - பூஜ்ஜிய மெட்ரிக்குகள்.

அணி $A_(m\times n)$ பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டிருக்கட்டும்:

பின்னர் இந்த அணி அழைக்கப்படுகிறது ட்ரேப்சாய்டல். இது பூஜ்ஜிய வரிசைகளைக் கொண்டிருக்காமல் இருக்கலாம், ஆனால் அவை இருந்தால், அவை மேட்ரிக்ஸின் கீழே அமைந்துள்ளன. மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில், ஒரு ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

மீண்டும், ட்ரெயிலிங் பூஜ்ய கோடுகள் தேவையில்லை. அந்த. முறையாக, ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸுக்கு பின்வரும் நிபந்தனைகளை நாம் வேறுபடுத்தி அறியலாம்:

1. முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியமாகும்.
2. பிரதான மூலைவிட்டத்தில் $a_(11)$ முதல் $a_(rr)$ வரை உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. கடைசி $m-r$ வரிசைகளின் அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது $m=r$ (அதாவது பூஜ்ஜிய வரிசைகள் எதுவும் இல்லை).

ட்ரெப்சாய்டல் மெட்ரிக்குகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

அடுத்த வரையறைக்கு செல்லலாம். அணி $A_(m\times n)$ எனப்படும் அடியெடுத்து வைத்தார், இது பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால்:

எடுத்துக்காட்டாக, படி மெட்ரிக்குகள் பின்வருமாறு:

ஒப்பிடுவதற்கு, அணி $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ என்பது echelon அல்ல, ஏனெனில் மூன்றாவது வரிசையில் இரண்டாவது வரிசையின் அதே பூஜ்ஜிய பகுதி உள்ளது. அதாவது, "கோடு குறைவாக இருந்தால், பூஜ்ஜிய பகுதி பெரியது" என்ற கொள்கை மீறப்படுகிறது. ட்ரெப்சாய்டல் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு படிநிலை மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பு வழக்கு என்று நான் சேர்ப்பேன்.

அடுத்த வரையறைக்கு செல்லலாம். பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கீழ் அமைந்துள்ள சதுர மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது மேல் முக்கோண அணி. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \இறுதி(வரிசை) \வலது)$ என்பது மேல் முக்கோண அணி. மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் வரையறை முக்கிய மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே அல்லது முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ள உறுப்புகளின் மதிப்புகளைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. அவை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லை - அது ஒரு பொருட்டல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ என்பதும் மேல் முக்கோண மேட்ரிக்ஸ் ஆகும்.

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு மேலே அமைந்துள்ள சதுர மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய அணி அழைக்கப்படுகிறது கீழ் முக்கோண அணி. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ முடிவு(வரிசை) \வலது)$ - கீழ் முக்கோண அணி. கீழ் முக்கோண மேட்ரிக்ஸின் வரையறையானது முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் கீழ் அல்லது அதன் மீது அமைந்துள்ள உறுப்புகளின் மதிப்புகளைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. அவை பூஜ்ஜியமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லை - அது ஒரு பொருட்டல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ மற்றும் $\left(\ ஆரம்பம் (வரிசை) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \ end(array) \right)$ ஆகியவையும் குறைந்த முக்கோண மெட்ரிக்குகளாகும்.

சதுர அணி அழைக்கப்படுகிறது மூலைவிட்டமான, முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால். எடுத்துக்காட்டு: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$. முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள கூறுகள் எதுவும் இருக்கலாம் (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை) - இது ஒரு பொருட்டல்ல.

மூலைவிட்ட அணி அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை, பிரதான மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ள இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் 1 க்கு சமமாக இருந்தால். எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$ - நான்காவது வரிசை அடையாள அணி; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ என்பது இரண்டாவது வரிசை அடையாள அணி.

மேட்ரிக்ஸின் வரையறை. மெட்ரிஸ் வகைகள்

அளவு மேட்ரிக்ஸ் மீ× nஒரு தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது m·nஎண்கள் ஒரு செவ்வக அட்டவணையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன மீகோடுகள் மற்றும் nநெடுவரிசைகள். இந்த அட்டவணை பொதுவாக அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மேட்ரிக்ஸ் இப்படி இருக்கலாம்:

சுருக்கத்திற்கு, ஒரு அணியை ஒரு பெரிய எழுத்தால் குறிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, ஏஅல்லது IN.

பொதுவாக, அளவு ஒரு அணி மீ× nஇப்படி எழுதுங்கள்

.

மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கும் எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன அணி கூறுகள். இரண்டு குறியீடுகளுடன் மேட்ரிக்ஸ் கூறுகளை வழங்குவது வசதியானது ஒரு ij: முதலாவது வரிசை எண்ணையும், இரண்டாவது நெடுவரிசை எண்ணையும் குறிக்கிறது. உதாரணத்திற்கு, ஒரு 23- உறுப்பு 2 வது வரிசையில், 3 வது நெடுவரிசையில் உள்ளது.

ஒரு மேட்ரிக்ஸில் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையின் அதே எண்ணிக்கையிலான வரிசைகள் இருந்தால், அந்த அணி அழைக்கப்படுகிறது சதுரம், மற்றும் அதன் வரிசைகள் அல்லது நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது ஆணைப்படிமெட்ரிக்குகள். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், இரண்டாவது அணி சதுரம் - அதன் வரிசை 3, மற்றும் நான்காவது அணி அதன் வரிசை 1 ஆகும்.

வரிசைகளின் எண்ணிக்கை நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இல்லாத ஒரு அணி அழைக்கப்படுகிறது செவ்வக. எடுத்துக்காட்டுகளில் இது முதல் அணி மற்றும் மூன்றாவது.

ஒரே ஒரு வரிசை அல்லது ஒரு நெடுவரிசையைக் கொண்ட மெட்ரிக்குகளும் உள்ளன.

ஒரே ஒரு வரிசையைக் கொண்ட அணி அழைக்கப்படுகிறது அணி - வரிசை(அல்லது சரம்), மற்றும் ஒரே ஒரு நெடுவரிசை கொண்ட அணி அணி - நிரல்.

அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு அணி அழைக்கப்படுகிறது ஏதுமில்லைமற்றும் (0) அல்லது வெறுமனே 0 ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

.

முக்கிய மூலைவிட்டம்ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸின் மூலைவிட்டத்தை மேல் இடமிருந்து கீழ் வலது மூலைக்கு செல்கின்றோம்.

பிரதான மூலைவிட்டத்திற்கு கீழே உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சதுர அணி அழைக்கப்படுகிறது முக்கோணம்அணி

.

ஒரு சதுர அணி, இதில் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ளவை தவிர அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். மூலைவிட்டமானஅணி உதாரணமாக, அல்லது.

அனைத்து மூலைவிட்ட உறுப்புகளும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு மூலைவிட்ட அணி அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றைஅணி மற்றும் E என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 3வது வரிசை அடையாள அணி வடிவம் கொண்டது .

மெட்ரிஸ் மீதான செயல்கள்

மேட்ரிக்ஸ் சமத்துவம். இரண்டு மெட்ரிக்குகள் ஏமற்றும் பிஒரே எண்ணிக்கையிலான வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய கூறுகள் சமமாக இருந்தால் சமம் என்று கூறப்படுகிறது ஒரு ij = b ij. அப்படியென்றால் மற்றும் , அந்த A=B, என்றால் a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21மற்றும் a 22 = b 22.

இடமாற்றம். ஒரு தன்னிச்சையான மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் ஏஇருந்து மீகோடுகள் மற்றும் nநெடுவரிசைகள். இது பின்வரும் மேட்ரிக்ஸுடன் இணைக்கப்படலாம் பிஇருந்து nகோடுகள் மற்றும் மீநெடுவரிசைகள், இதில் ஒவ்வொரு வரிசையும் ஒரு அணி நிரலாகும் ஏஅதே எண்ணுடன் (எனவே ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசையாகும் ஏஅதே எண்ணுடன்). அப்படியென்றால் , அந்த .

இந்த அணி பிஅழைக்கப்பட்டது மாற்றப்பட்டதுஅணி ஏ, மற்றும் இருந்து மாற்றம் ஏசெய்ய பி இடமாற்றம்.

இவ்வாறு, இடமாற்றம் என்பது மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் பாத்திரங்களின் தலைகீழ் மாற்றமாகும். மேட்ரிக்ஸ் அணிக்கு மாற்றப்பட்டது ஏ, பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது ஒரு டி.

மேட்ரிக்ஸ் இடையே தொடர்பு ஏமற்றும் அதன் இடமாற்றம் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.

உதாரணத்திற்கு.கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் மாற்றப்பட்ட அணியைக் கண்டறியவும்.

மேட்ரிக்ஸ் சேர்த்தல்.மெட்ரிக்குகளை விடுங்கள் ஏமற்றும் பிஅதே எண்ணிக்கையிலான வரிசைகள் மற்றும் அதே எண்ணிக்கையிலான நெடுவரிசைகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது. வேண்டும் அதே அளவுகள். பின்னர் மெட்ரிக்குகளைச் சேர்ப்பதற்காக ஏமற்றும் பிஅணி உறுப்புகளுக்கு தேவை ஏஅணி கூறுகளைச் சேர்க்கவும் பிஅதே இடங்களில் நிற்கிறது. இவ்வாறு, இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் கூட்டுத்தொகை ஏமற்றும் பிஅணி என்று அழைக்கப்படுகிறது சி, இது விதியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக,

எடுத்துக்காட்டுகள்.மெட்ரிக்குகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்:

மேட்ரிக்ஸ் கூட்டல் பின்வரும் சட்டங்களுக்குக் கீழ்ப்படிகிறது என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது: பரிமாற்றம் A+B=B+Aமற்றும் துணை ( A+B)+சி=ஏ+(பி+சி).

ஒரு அணியை எண்ணால் பெருக்குதல்.ஒரு அணியை பெருக்க ஏஒரு எண்ணுக்கு கேமேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் தேவை ஏஇந்த எண்ணால் பெருக்கவும். இவ்வாறு, மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு ஏஒரு எண்ணுக்கு கேஒரு புதிய அணி உள்ளது, இது விதியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது அல்லது .

எந்த எண்களுக்கும் அமற்றும் பிமற்றும் மெட்ரிக்குகள் ஏமற்றும் பிபின்வரும் சமத்துவங்கள் உள்ளன:

எடுத்துக்காட்டுகள்.

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல்.இந்த செயல்பாடு ஒரு விசித்திரமான சட்டத்தின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. முதலில், காரணி மெட்ரிக்குகளின் அளவுகள் சீரானதாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். முதல் மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் எண்ணிக்கையுடன் (அதாவது, முதல் வரிசையின் நீளம் இரண்டாவது நெடுவரிசையின் உயரத்திற்கு சமம்) ஒத்துப்போகும் அந்த மெட்ரிக்குகளை மட்டுமே நீங்கள் பெருக்க முடியும். வேலைமெட்ரிக்குகள் ஏஒரு அணி அல்ல பிபுதிய அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது C=AB, அதன் கூறுகள் பின்வருமாறு தொகுக்கப்பட்டுள்ளன:

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, தயாரிப்பைப் பெறுவதற்கு (அதாவது மேட்ரிக்ஸில் சி) உறுப்பு 1 வது வரிசை மற்றும் 3 வது நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ளது 13 முதல், நீங்கள் 1 வது மேட்ரிக்ஸில் 1 வது வரிசையையும், 2 வது 3 வது நெடுவரிசையையும் எடுக்க வேண்டும், பின்னர் வரிசை கூறுகளை தொடர்புடைய நெடுவரிசை கூறுகளால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்கவும். தயாரிப்பு மேட்ரிக்ஸின் பிற கூறுகள் முதல் மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மற்றும் இரண்டாவது மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளின் ஒத்த தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகின்றன.

பொதுவாக, ஒரு அணியைப் பெருக்கினால் A = (a ij)அளவு மீ× nஅணிக்கு B = (b ij)அளவு n× ப, பிறகு நாம் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம் சிஅளவு மீ× ப, அதன் கூறுகள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன: உறுப்பு c ijஉறுப்புகளின் உற்பத்தியின் விளைவாக பெறப்படுகிறது நான்மேட்ரிக்ஸின் வது வரிசை ஏதொடர்புடைய உறுப்புகளுக்கு ஜேவது அணி நிரல் பிமற்றும் அவற்றின் சேர்த்தல்கள்.

இந்த விதியிலிருந்து நீங்கள் எப்போதும் ஒரே வரிசையின் இரண்டு சதுர மெட்ரிக்ஸைப் பெருக்கலாம், இதன் விளைவாக அதே வரிசையின் சதுர மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம். குறிப்பாக, ஒரு சதுர அணி எப்போதும் தன்னால் பெருக்கப்படலாம், அதாவது. அதை சதுரம்.

மற்றொரு முக்கியமான வழக்கு, ஒரு வரிசை அணியை ஒரு நெடுவரிசை அணியால் பெருக்குவது, மற்றும் முதல் அகலம் இரண்டாவது உயரத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், இதன் விளைவாக முதல்-வரிசை அணி (அதாவது ஒரு உறுப்பு) உருவாகிறது. உண்மையில்,

.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

எனவே, இந்த எளிய எடுத்துக்காட்டுகள், மெட்ரிக்குகள், பொதுவாகப் பேசும்போது, ​​ஒன்றுடன் ஒன்று பயணிப்பதில்லை என்பதைக் காட்டுகின்றன, அதாவது. ஏ ∙ பி ≠ பி ∙ ஏ . எனவே, மெட்ரிக்குகளை பெருக்கும்போது, ​​காரணிகளின் வரிசையை கவனமாக கண்காணிக்க வேண்டும்.

அணி பெருக்கல் துணை மற்றும் விநியோக சட்டங்களுக்கு கீழ்ப்படிகிறது என்பதை சரிபார்க்கலாம், அதாவது. (AB)C=A(BC)மற்றும் (A+B)C=AC+BC.

சதுர மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும்போது அதைச் சரிபார்ப்பதும் எளிது ஏஅடையாள அணிக்கு ஈஅதே வரிசையில் நாம் மீண்டும் ஒரு அணியைப் பெறுகிறோம் ஏ, மற்றும் AE=EA=A.

பின்வரும் சுவாரஸ்யமான உண்மையைக் குறிப்பிடலாம். உங்களுக்குத் தெரியும், 2 பூஜ்ஜியமற்ற எண்களின் பெருக்கல் 0 க்கு சமமாக இருக்காது. மெட்ரிக்குகளுக்கு இது அவ்வாறு இருக்காது, அதாவது. 2 பூஜ்ஜியமற்ற அணிகளின் பலன் பூஜ்ஜிய அணிக்கு சமமாக மாறலாம்.

உதாரணத்திற்கு, என்றால் , அந்த

.

தீர்மானிப்பவர்களின் கருத்து

இரண்டாவது வரிசை அணி கொடுக்கப்படட்டும் - இரண்டு வரிசைகள் மற்றும் இரண்டு நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி .

இரண்டாவது வரிசை தீர்மானிப்பான்கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய எண் பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது: a 11 a 22 - a 12 a 21.

தீர்மானிப்பான் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது .

எனவே, இரண்டாவது வரிசையை தீர்மானிப்பதைக் கண்டறிய, முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் தனிமங்களின் உற்பத்தியிலிருந்து இரண்டாவது மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் உற்பத்தியைக் கழிக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.இரண்டாவது வரிசை தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுங்கள்.

இதேபோல், மூன்றாம் வரிசை மேட்ரிக்ஸையும் அதனுடன் தொடர்புடைய தீர்மானிப்பையும் நாம் பரிசீலிக்கலாம்.

மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பான், கொடுக்கப்பட்ட மூன்றாம் வரிசை சதுர மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய எண் என்பது பின்வருமாறு குறிக்கப்பட்டு பெறப்படுகிறது:

.

எனவே, இந்த சூத்திரம் முதல் வரிசையின் உறுப்புகளின் அடிப்படையில் மூன்றாம் வரிசை தீர்மானியின் விரிவாக்கத்தை அளிக்கிறது. a 11, a 12, a 13மற்றும் மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயிப்பவரின் கணக்கீட்டை இரண்டாவது வரிசை தீர்மானிப்பவர்களின் கணக்கீட்டிற்கு குறைக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.மூன்றாவது வரிசை தீர்மானிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

இதேபோல், நான்காவது, ஐந்தாவது, முதலியவற்றை தீர்மானிப்பவர்களின் கருத்துகளை நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம். ஆர்டர்கள், 1 வது வரிசையின் உறுப்புகளாக விரிவடைவதன் மூலம் அவற்றின் வரிசையைக் குறைத்து, விதிமுறைகளின் "+" மற்றும் "-" அடையாளங்கள் மாறி மாறி வருகின்றன.

எனவே, ஒரு மேட்ரிக்ஸைப் போலல்லாமல், இது எண்களின் அட்டவணை, ஒரு தீர்மானிப்பான் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் அணிக்கு ஒதுக்கப்பட்ட ஒரு எண்ணாகும்.

இந்த கையேடு எவ்வாறு செயல்படுவது என்பதை அறிய உதவும் மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்பாடுகள்: மெட்ரிக்ஸின் கூட்டல் (கழித்தல்), ஒரு மேட்ரிக்ஸின் இடமாற்றம், அணிகளின் பெருக்கல், தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிதல். அனைத்து பொருட்களும் எளிமையான மற்றும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன, பொருத்தமான எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே ஆயத்தமில்லாத நபர் கூட மெட்ரிக்குகளுடன் எவ்வாறு செயல்களைச் செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்ள முடியும். சுய-கண்காணிப்பு மற்றும் சுய-சோதனைக்கு, நீங்கள் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் கால்குலேட்டரை இலவசமாக பதிவிறக்கம் செய்யலாம் >>>.

நான் தத்துவார்த்த கணக்கீடுகளை குறைக்க முயற்சிப்பேன், சில இடங்களில் "விரல்களில்" விளக்கங்கள் மற்றும் அறிவியல் அல்லாத சொற்களின் பயன்பாடு சாத்தியமாகும் திடமான கோட்பாட்டை விரும்புபவர்கள், தயவுசெய்து விமர்சனத்தில் ஈடுபடாதீர்கள், எங்கள் பணி மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்ய கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

தலைப்பில் மிக வேகமாக தயாரிப்பதற்கு (யார் "தீயில்") தீவிரமான pdf படிப்பு உள்ளது மேட்ரிக்ஸ், தீர்மானிப்பான் மற்றும் சோதனை!

மேட்ரிக்ஸ் என்பது சிலவற்றின் செவ்வக அட்டவணை உறுப்புகள். என உறுப்புகள்எண்களைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது எண் கணிதம். உறுப்புஎன்பது ஒரு சொல். இந்த வார்த்தையை நினைவில் கொள்வது நல்லது, அது அடிக்கடி தோன்றும், அதை முன்னிலைப்படுத்த நான் தடிமனான எழுத்துருவைப் பயன்படுத்தினேன் என்பது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல.

பதவி:மெட்ரிக்குகள் பொதுவாக பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன

உதாரணமாக:இரண்டு-மூன்று மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள்:

இந்த அணி ஆறு கொண்டது உறுப்புகள்:

மேட்ரிக்ஸில் உள்ள அனைத்து எண்களும் (உறுப்புகள்) அவற்றின் சொந்தமாக உள்ளன, அதாவது, எந்த கழித்தல் பற்றிய கேள்வியும் இல்லை:

இது எண்களின் அட்டவணை (தொகுப்பு) மட்டுமே!

நாமும் ஒப்புக்கொள்வோம் மறுசீரமைக்க வேண்டாம்எண்கள், விளக்கங்களில் வேறுவிதமாகக் கூறப்படாவிட்டால். ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் அதன் சொந்த இடம் உள்ளது மற்றும் மாற்ற முடியாது!

கேள்விக்குரிய அணி இரண்டு வரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது:

மற்றும் மூன்று நெடுவரிசைகள்:

தரநிலை: மேட்ரிக்ஸ் அளவுகள் பற்றி பேசும் போது, ​​பின்னர் முதலில்வரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கவும், பின்னர் மட்டுமே நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை. இரண்டு-மூன்று மேட்ரிக்ஸை நாங்கள் உடைத்துள்ளோம்.

மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அந்த அணி அழைக்கப்படுகிறது சதுரம், உதாரணத்திற்கு: - மூன்று-மூன்று அணி.

மேட்ரிக்ஸில் ஒரு நெடுவரிசை அல்லது ஒரு வரிசை இருந்தால், அத்தகைய அணிகளும் அழைக்கப்படுகின்றன திசையன்கள்.

உண்மையில், பள்ளியிலிருந்து மேட்ரிக்ஸின் கருத்தை நாங்கள் அறிந்திருக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, "x" மற்றும் "y": அடிப்படையில், ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் ஒன்றுக்கு இரண்டு மேட்ரிக்ஸில் எழுதப்படுகின்றன. மூலம், எண்களின் வரிசை ஏன் முக்கியமானது என்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு இங்கே: மற்றும் விமானத்தில் இரண்டு முற்றிலும் வேறுபட்ட புள்ளிகள்.

இப்போது படிப்பிற்கு செல்வோம் மெட்ரிக்குகளுடன் செயல்பாடுகள்:

1) செயல் ஒன்று. மேட்ரிக்ஸில் இருந்து மைனஸை நீக்குதல் (மேட்ரிக்ஸில் ஒரு மைனஸை அறிமுகப்படுத்துதல்).

எங்கள் மேட்ரிக்ஸுக்கு திரும்புவோம் . நீங்கள் கவனித்தபடி, இந்த மேட்ரிக்ஸில் பல எதிர்மறை எண்கள் உள்ளன. மேட்ரிக்ஸுடன் பல்வேறு செயல்களைச் செய்வதற்கான பார்வையில் இது மிகவும் சிரமமாக உள்ளது, பல மைனஸ்களை எழுதுவது சிரமமாக உள்ளது, மேலும் இது வடிவமைப்பில் வெறுமனே அசிங்கமாகத் தெரிகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் அடையாளத்தையும் மாற்றி, மேட்ரிக்ஸுக்கு வெளியே மைனஸை நகர்த்துவோம்:

பூஜ்ஜியத்தில், நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, அடையாளம் மாறாது, ஆப்பிரிக்காவில் பூஜ்ஜியமும் பூஜ்ஜியமாகும்.

தலைகீழ் உதாரணம்: . இது அசிங்கமாக தெரிகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் அடையாளத்தையும் மாற்றுவதன் மூலம் மேட்ரிக்ஸில் ஒரு மைனஸை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

சரி, அது மிகவும் அழகாக மாறியது. மேலும், மிக முக்கியமாக, மேட்ரிக்ஸ் மூலம் எந்தச் செயலையும் செய்வது எளிதாக இருக்கும். அத்தகைய கணித நாட்டுப்புற அடையாளம் இருப்பதால்: அதிக குறைபாடுகள், அதிக குழப்பம் மற்றும் பிழைகள்.

2) சட்டம் இரண்டு. ஒரு அணியை எண்ணால் பெருக்குதல்.

உதாரணமாக:

இது எளிமையானது, ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்க, உங்களுக்குத் தேவை ஒவ்வொருமேட்ரிக்ஸ் உறுப்பு கொடுக்கப்பட்ட எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் - ஒரு மூன்று.

மற்றொரு பயனுள்ள உதாரணம்:

- ஒரு அணியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்

முதலில் என்ன செய்வது என்று பார்ப்போம் தேவை இல்லை:

மேட்ரிக்ஸில் ஒரு பகுதியை உள்ளிட வேண்டிய அவசியம் இல்லை, முதலில், இது மேட்ரிக்ஸுடன் மேலும் செயல்களை சிக்கலாக்குகிறது, இரண்டாவதாக, தீர்வைச் சரிபார்ப்பதை ஆசிரியருக்கு கடினமாக்குகிறது (குறிப்பாக - பணியின் இறுதி பதில்).

மற்றும் குறிப்பாக, தேவை இல்லைமேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் கழித்தல் ஏழால் வகுக்கவும்:

கட்டுரையிலிருந்து டம்மிகளுக்கான கணிதம் அல்லது எங்கு தொடங்குவது, உயர் கணிதத்தில் அவர்கள் ஒவ்வொரு சாத்தியமான வழியிலும் காற்புள்ளிகளுடன் தசம பின்னங்களைத் தவிர்க்க முயற்சிப்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்.

ஒரே விஷயம் முன்னுரிமைஇந்த எடுத்துக்காட்டில் என்ன செய்ய வேண்டும் என்பது மேட்ரிக்ஸில் ஒரு கழித்தல் சேர்க்க வேண்டும்:

ஆனால் இருந்தால் மட்டும் அனைத்துஅணி கூறுகள் 7 ஆல் வகுக்கப்பட்டன ஒரு தடயமும் இல்லாமல், பின்னர் பிரிப்பது சாத்தியமாகும் (மற்றும் அவசியம்!).

உதாரணமாக:

இந்த வழக்கில், உங்களால் முடியும் வேண்டும்அனைத்து அணி எண்களும் 2 ஆல் வகுபடும் என்பதால், அனைத்து அணி உறுப்புகளையும் பெருக்கவும் ஒரு தடயமும் இல்லாமல்.

குறிப்பு: உயர்நிலைப் பள்ளிக் கணிதத்தின் கோட்பாட்டில் "பிரிவு" என்ற கருத்து இல்லை. "இதை அதனால் வகுக்கப்படுகிறது" என்று கூறுவதற்குப் பதிலாக, "இது ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கப்படுகிறது" என்று எப்போதும் கூறலாம். அதாவது, வகுத்தல் என்பது பெருக்கத்தின் சிறப்பு.

3) சட்டம் மூன்று. மேட்ரிக்ஸ் டிரான்ஸ்போஸ்.

ஒரு அணியை இடமாற்றம் செய்ய, அதன் வரிசைகளை இடமாற்றப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகளில் எழுத வேண்டும்.

உதாரணமாக:

இடமாற்ற அணி

இங்கே ஒரே ஒரு வரி மட்டுமே உள்ளது, விதியின் படி, அது ஒரு நெடுவரிசையில் எழுதப்பட வேண்டும்:

- இடமாற்ற அணி.

ஒரு இடமாற்ற அணி பொதுவாக ஒரு சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் அல்லது மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு பிரைம் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

படிப்படியான உதாரணம்:

இடமாற்ற அணி

முதலில் நாம் முதல் வரிசையை முதல் நெடுவரிசையில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

இரண்டாவது வரியை இரண்டாவது நெடுவரிசையில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

இறுதியாக, மூன்றாவது வரிசையை மூன்றாவது நெடுவரிசையில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

தயார். தோராயமாகச் சொன்னால், இடமாற்றம் என்பது மேட்ரிக்ஸை அதன் பக்கத்தில் திருப்புவதாகும்.

4) சட்டம் நான்கு. மெட்ரிக்குகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு)..

மெட்ரிக்குகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரு எளிய செயல்பாடு.
அனைத்து மெட்ரிக்குகளையும் மடிக்க முடியாது. மெட்ரிக்குகளின் கூட்டல் (கழித்தல்) செய்ய, அவை ஒரே அளவாக இருப்பது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டாக, டூ-பை-டூ மேட்ரிக்ஸ் கொடுக்கப்பட்டால், அதை இரண்டு-பை-டூ மேட்ரிக்ஸுடன் மட்டுமே சேர்க்க முடியும், வேறு எதுவும் இல்லை!

உதாரணமாக:

மெட்ரிக்குகளைச் சேர்க்கவும் மற்றும்

மெட்ரிக்குகளைச் சேர்க்க, அவற்றின் தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

மெட்ரிக்குகளின் வேறுபாட்டிற்கு விதி ஒத்திருக்கிறது, தொடர்புடைய உறுப்புகளின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்.

உதாரணமாக:

அணி வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் ,

குழப்பமடையாமல் இருக்க, இந்த உதாரணத்தை எப்படி எளிதாக தீர்க்க முடியும்? இதை செய்ய தேவையற்ற கழித்தல்களை அகற்றுவது நல்லது, மேட்ரிக்ஸில் ஒரு கழித்தல் சேர்க்கவும்:

குறிப்பு: உயர்நிலைப் பள்ளிக் கணிதத்தின் கோட்பாட்டில் "கழித்தல்" என்ற கருத்து இல்லை. "இதிலிருந்து இதைக் கழிக்கவும்" என்று கூறுவதற்குப் பதிலாக "இதில் எதிர்மறை எண்ணைச் சேர்" என்று எப்போதும் கூறலாம். அதாவது, கழித்தல் என்பது கூட்டலின் சிறப்பு வழக்கு.

5) சட்டம் ஐந்து. மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல்.

என்ன மெட்ரிக்குகளை பெருக்கலாம்?

ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஒரு அணியால் பெருக்க, அது அவசியம் அதனால் மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக:
மேட்ரிக்ஸை ஒரு அணியால் பெருக்க முடியுமா?

இதன் பொருள் மேட்ரிக்ஸ் தரவை பெருக்க முடியும்.

ஆனால் மெட்ரிக்குகள் மறுசீரமைக்கப்பட்டால், இந்த விஷயத்தில், பெருக்கல் இனி சாத்தியமில்லை!

எனவே, பெருக்கல் சாத்தியமில்லை:

ஒரு தந்திரத்துடன் பணிகளைச் சந்திப்பது மிகவும் அரிதானது அல்ல, மாணவர் மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்கும்படி கேட்கும்போது, ​​​​அதன் பெருக்கல் வெளிப்படையாக சாத்தியமற்றது.

சில சந்தர்ப்பங்களில் இரண்டு வழிகளிலும் மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்க முடியும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டாக, மெட்ரிக்குகளுக்கு, மற்றும் பெருக்கல் மற்றும் பெருக்கல் இரண்டும் சாத்தியமாகும்

மேட்ரிக்ஸ் சேர்த்தல்$ A $ மற்றும் $ B $ என்பது ஒரு எண்கணித செயல்பாடாகும், இதன் விளைவாக $ C $ அணி பெறப்பட வேண்டும், அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் சேர்க்கப்படும் மெட்ரிக்குகளின் தொடர்புடைய கூறுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

விவரங்களில் இரண்டு மெட்ரிக்குகளைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ முடிவு(pmatrix) = C$$

ஒரே பரிமாணத்தின் மெட்ரிக்குகளை மட்டுமே நீங்கள் சேர்க்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டுடன், $ A $ மற்றும் $ B $ ஆகிய மெட்ரிக்குகளின் விதிமுறைகளின் (கழிக்கப்படும்) அதே பரிமாணத்தில் $ C $ மேட்ரிக்ஸ் இருக்கும். $ A $ மற்றும் $ B $ அளவுகள் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டால், அத்தகைய மெட்ரிக்குகளைச் சேர்ப்பது (கழித்தல்) பிழையாகிவிடும்!

சூத்திரம் 3 ஆல் 3 மேட்ரிக்ஸைச் சேர்க்கிறது, இதன் விளைவாக 3 பை 3 மேட்ரிக்ஸாக இருக்க வேண்டும்.

மெட்ரிக்குகளின் கழித்தல்கூட்டல் வழிமுறைக்கு முற்றிலும் ஒத்த, ஒரு கழித்தல் குறியுடன் மட்டுமே. $A$ மற்றும் $B$ ஆகிய மெட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் $C$ தேவையான அணி ஒவ்வொரு உறுப்பும் பெறப்படுகிறது:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

விரிவாக எழுதுவோம் இரண்டு மெட்ரிக்குகளைக் கழிப்பதற்கான சூத்திரம்:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ முடிவு(pmatrix) = C$$

நீங்கள் சாதாரண எண்கள் மற்றும் வேறு சில உறுப்புகளுடன் மெட்ரிக்குகளை சேர்க்கவோ கழிக்கவோ முடியாது என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.

மெட்ரிக்ஸில் உள்ள சிக்கல்களுக்கு கூடுதல் தீர்வுகளுக்கு கூட்டல் (கழித்தல்) பண்புகளை அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பண்புகள்

1. $ A,B,C $ அளவுகள் ஒரே அளவில் இருந்தால், அசோசியேட்டிவிட்டி பண்பு அவர்களுக்கு பொருந்தும்: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. ஒவ்வொரு அணிக்கும் ஒரு பூஜ்ஜிய அணி உள்ளது, இது $ O $ எனக் குறிக்கப்படுகிறது, கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் அசல் அணி மாறாது: $$ A \pm O = A $$
3. ஒவ்வொரு பூஜ்யம் அல்லாத அணி $ A $ க்கும் எதிர் அணி $ (-A) $ உள்ளது, அதன் கூட்டுத்தொகை மறைந்துவிடும்: $ $ A + (-A) = 0 $ $
4. மெட்ரிக்ஸைச் சேர்க்கும்போது (கழிக்கும்போது), பரிமாற்றத்தின் பண்பு அனுமதிக்கப்படுகிறது, அதாவது $ A $ மற்றும் $ B $ ஆகியவை மாற்றப்படலாம்: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ மற்றும் $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. அணி கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றைச் செய்யவும்.

தீர்வு

முதலில், பரிமாணத்திற்கான மெட்ரிக்குகளை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம். அணி $ A $ பரிமாணத்தை $ 2 \ மடங்கு 2 $, இரண்டாவது அணி $ B $ $ 2 \ மடங்கு 2 $ உள்ளது. அதாவது, இந்த மெட்ரிக்குகளைக் கொண்டு கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றின் கூட்டுச் செயல்பாட்டைச் செய்ய முடியும். தொகைக்கு $ A \text( மற்றும் ) B $ ஆகிய மெட்ரிக்குகளின் தொடர்புடைய உறுப்புகளை ஜோடிவரிசையாகச் சேர்ப்பது அவசியம் என்பதை நினைவில் கொள்க. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatrix) $$ கூட்டுத்தொகையைப் போலவே, “பிளஸ்” அடையாளத்தை “மைனஸ்” மூலம் மாற்றுவதன் மூலம் மெட்ரிக்குகளின் வேறுபாட்டைக் காண்கிறோம்: $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ முடிவு(pmatrix)$$ உங்களால் உங்கள் பிரச்சனையை தீர்க்க முடியாவிட்டால், அதை எங்களுக்கு அனுப்பவும். நாங்கள் விரிவான தீர்வை வழங்குவோம். கணக்கீட்டின் முன்னேற்றத்தை நீங்கள் பார்க்கலாம் மற்றும் தகவலைப் பெறலாம். இது உங்கள் ஆசிரியரிடமிருந்து உங்கள் மதிப்பெண்ணை சரியான நேரத்தில் பெற உதவும்!

பதில்

$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

கட்டுரையில்: "மெட்ரிக்குகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்" வரையறைகள், விதிகள், கருத்துகள், செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் தீர்வுகளின் நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.