Тема 6 многочлены арифметические. Задачи для самостоятельного решения

Заочная школа 7 класс. Задание №2.

Методическое пособие №2.

Темы:

Многочлены. Сумма, разность и произведение многочленов;

Решение уравнений и задач;

Разложение многочленов на множители;

Формулы сокращенного умножения;

Задачи для самостоятельного решения.

Многочлены. Сумма, разность и произведение многочленов.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Определение. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

Умножение одночлена на многочлен .

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен .

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Примеры решения заданий:

Упростите выражение:

Решение.

Решение :

Так как, по условию коэффициент при должен быть равен нулю, то

Ответ : -1.

Решение уравнений и задач.

Определение . Равенство содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным .

Определение . Корнем уравнения (решением уравнения) называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение - значит найти множество корней.

Определение. Уравнение вида
, где х переменная, a и b – некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Определение.

Множество корней линейного уравнения может:

Примеры решения заданий :

Является ли данное число 7 корнем уравнения:

Решение :

Таким образом, х=7 - корень уравнения .

Ответ : да.

Решите уравнения:

Решение:
Ответ: -12		Ответ: -0,4

От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12км/ч, а через полчаса в этом направлении отправился пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел в город раньше лодки на 1,5 ч.

Решение:

Обозначим за х – расстояние от пристани до города.

	Скорость (км/ч )	Время (ч )	Путь (км)
Лодка
Пароход

По условию задачи, лодка затратила времени на 2 часа больше, чем пароход (так как пароход вышел от пристани на полчаса позже и прибыл в город на 1,5ч раньше лодки ).

Составим и решим уравнение:

60 км – расстояние от пристани до города.

Ответ: 60 км.

Длину прямоугольника уменьшили на 4 см и получили квадрат, площадь которого меньше площади прямоугольника на 12см². Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть х – сторона прямоугольника.

	Длина	Ширина	Площадь
Прямоугольник			х(х-4)
Квадрат			(х-4)(х-4)

По условию задачи площадь квадрата меньше площади прямоугольника на 12см².

Составим и решим уравнение:

7 см – длина прямоугольника.

(см²) – площадь прямоугольника.

Ответ: 21 см² .

Туристы прошли намеченный маршрут за три дня. В первый день они прошли 35% намеченного маршрута, во второй – на 3 км больше, чем в первый, а в третий – оставшиеся 21 км. Какова длина маршрута?

Решение:

Пусть х длина всего маршрута.

	1 день	2 день	3 день
Длина пути		0,35х+3
Всего длина пути составила х км.

Таким образом, составим и решим уравнение:

0,35х+0,35х+21=х

0,7х+21=х

0,3х=21

70 км длина всего маршрута.

Ответ: 70 км.

Разложение многочленов на множители.

Определение . Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители.

Вынесение общего множителя за скобки .

Пример :

Способ группировки .

Группировку нужно производить так, чтобы в каждой группе оказался общий множитель, кроме того, после вынесения общего множителя за скобки в каждой группе, полученные выражения также должны иметь общий множитель.

Пример :

Формулы сокращенного умножения.

Произведение разности двух выражения и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. решения . 1. Найдите остаток при делении многочлена х6 – 4х4 + х3 ... не имеет решений , а решениями второй служат пары (1; 2) и (2; 1). Ответ: (1; 2) , (2; 1). Задачи для самостоятельного решения . Решите систему...

• Примерная учебная программа по алгебре и началам анализа для 10 -11 классов (профильный уровень) Пояснительная записка

  Программа

  В каждом параграфе дается необходимое количество задач для самостоятельного решения в порядке повышения их сложности. ... алгоритм разложения многочлена по степеням двучлена; многочлены с комплексными коэффициентами; многочлены с действительными...

• Элективный курс «Решение нестандартных задач. 9 класс» Выполнил учитель математики

  Элективный курс

  Уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q(X), где Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося Q(x) в левую часть... = . ОТВЕТ: х1=2, х2=-3, хз=, х4= . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . Решить следующие уравнения: х4 – 8х...

• Программа факультатива по математике для 8 класса

  Программа

  Теорему алгебры, теорему Виета для квадратного трёхчлена и для многочлена произвольной степени, теорему о рациональных... материал. Даётся не только список задач для самостоятельного решения , но и задание сделать модель-развёртку...

Урок на тему: "Понятие и определение многочлена. Стандартный вид многочлена"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие по учебнику Ш.А. Алимова

Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.

Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.

Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.

Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.

Понятие многочлена

Многочлен, как и одночлен, - это обобщенное название математических выражений определенного вида. Мы уже сталкивались с такими обобщениями ранее. Например, "сумма", "произведение", "возведение в степень". Когда мы слышим "разность чисел", нам и в голову не придет мысль об умножении или делении. Также и многочлен - это выражение строго определенного вида.

Определение многочлена

Многочлен - это сумма одночленов.

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена . Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят - многочлен.

Примеры многочленов.

1) 2аb + 4сd (двучлен);

2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);

3) 4а 2 b 4 + 4с 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2 .

Посмотрим внимательно на последние выражение. По определению, многочлен это - сумма одночленов, но в последнем примере мы не только складываем, но и вычитаем одночлены.
Чтобы внести ясность рассмотрим небольшой пример.

Запишем выражение а + b - с (договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0 ) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с) , мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".

А вот запись вида 3а: b + 7с многочленом не является потому, что 3а: b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с 2 + d), так как 2а * (с 2 + d) - не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с 2 + d) = 3b + 2ас 2 + 2аd.

Степенью многочлена является наивысшая степень его членов.
Многочлен а 3 b 2 +а 4 имеет пятую степень, так как степень одночлена а 3 b 2 равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а 4 равна 4.

Стандартный вид многочлена

Многочлен, не имеющий подобных членов и записанный в порядке убывания степеней членов многочлена, является многочленом стандартного вида.

Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.

Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2а 2 + а 2 + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b 2 + 3а 2 + 8 .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных .

Пример.
Привести многочлен аba + 2у 2 х 4 х + у 2 х 3 х 2 + 4 + 10а 2 b + 10 к стандартному виду.

Решение.

а 2 b + 2 х 5 у 2 + х 5 у 2 + 10а 2 b + 14= 11а 2 b + 3 х 5 у 2 + 14.

Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а 2 b имеет третью степень, 3 х 5 у 2 имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х 5 у 2 (7 степень), на второе - 12а 2 b (3 степень) и на третье - 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х 5 у 2 + 11а 2 b + 14.

Примеры для самостоятельного решения

Привести к стандартному виду многочлены.

1) 4b 3 аa - 5х 2 у + 6ас - 2b 3 а 2 - 56 + ас + х 2 у + 50 * (2 а 2 b 3 - 4х 2 у + 7ас - 6);

2) 6а 5 b + 3х 2 у + 45 + х 2 у + аb - 40 * (6а 5 b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах 2 + 5bс - 6а - 24bс + хаx 4 x (5ах 6 - 19bс - 6а);

4) 7аbс 2 + 5асbс + 7аb 2 - 6bаb + 2саbс (14аbс 2 + аb 2).

В этой части Алгебры 7 класс Вы сможете изучить школьные уроки по теме «Многочлены. Арифметические операции над многочленами».

Обучающие видео уроки по Алгебре 7 класс «Многочлены. Арифметические операции над многочленами» преподает учитель школы «Логос ЛВ» Тарасов Валентин Алексеевич. Также можете изучить остальные темы по алгебре

Степень как частный случай многочлена

На данном уроке будут рассмотрены основные понятия и определения, подготовлена основа для изучения сложной и объемной темы, а именно: мы вспомним теоретический материал, касатеющийся степеней – определения, свойства, теоремы, и решим несколько примеров для закрепления техники.

Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи

На данном уроке будут изучены операции сложения и вычитания многочленов, сформулированы правила для сложения и вычитания. Рассмотрены примеры и решены некоторые типовые задачи и уравнения, закреплены навыки выполнения этих операций.

Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Умножение двучленов. Типовые задачи

На данном уроке мы познакомимся с операцией умножения простейших многочленов – двучленов, сформулируем правило их умножения. Выведем некоторые формулы сокращенного умножения с помощью данной операции. Кроме того, решим большое количество примеров и типовых задач, а именно задачу на упрощение выражения, вычислительную задачу и уравнения.

Умножение трёхчленов. Типовые задачи

На данном уроке мы рассмотрим операцию умножения трехчленов, выведем правило умножения трехчленов, по сути, сформулируем правило умножения многочленов в целом. Решим несколько примеров, касающихся этой темы, чтобы в дальнейшем более детально перейти к умножению многочленов.

Умножение многочлена на многочлен

На данном уроке мы вспомним все, что уже выучили про умножение многочленов, подведем некоторый итог и сформулируем общее правило. После этого выполним ряд примеров для закрепления техники умножения многочленов.

Умножение многочленов в текстовых задачах

На данном уроке мы вспомним метод математического моделирования и будем решать задачи с его помощью. Мы научимся составлять многочлены и выражения с ними из условия текстовой задачи и решать эти задачи, а значит, применять полученные знания о многочленах в более сложных видах работы.

Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии

На данном уроке мы научимся решать текстовые задачи с элементами геометрии, применяя метод математического моделирования. Для этого сначала вспомним опорные геометрические факты и этапы решения задач.

Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Совместное применение формул сокращённого умножения

Этот видеоурок будет полезен всем тем, кто хочет самостоятельно пройти тему «Совместное применение формул сокращённого умножения». При помощи этой видеолекции вы сможете подытожить, углубить и систематизировать знания, полученные на прошлых уроках. Учитель научит вас совместному применению формул сокращенного умножения.

Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.1

На данном уроке мы применим наши знания о многочленах и формулах сокращенного умножения для решения достаточно сложной геометрической задачи. Это позволит нам закрепить навыки работы с многочленами.

Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2

На данном уроке мы рассмотрим усложненные задачи на применение формул сокращенного умножения, выполним много различных примеров для закрепления техники.

Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения

На этом видеоуроке все желающие смогут изучить тему «Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения». В ходе этого занятия учащиеся смогут потренироваться в использовании формулы сокращённого умножения для параллелепипеда. В частности, учитель даст геометрическую задачу на параллелепипед, которую необходимо разобрать и решить.

Деление многочлена на одночлен

На данном уроке мы вспомним правило деления одночлена на одночлен и сформулируем основные опорные факты. Добавим некоторые теоретические сведения к уже известным и выведем правило деления многочлена на одночлен. После этого выполним ряд примеров различной сложности для овладения техникой деления многочлена на одночлен.

Тема урока:

Многочлены от одной переменной.

11 класс

Учитель математики

Казанцева М. В.

МБОУ «СОШ №110»

Рассмотрим многочлены:

2х 2 – 11х +12

– 14х 5 + 3х 2 – 6х+7

х 6 + 11

Эти многочлены записаны в стандартном виде.

Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

Р(х)= а п х п +а п–1 х п–1 +а п–2 х п–2 +

+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0

где а 0 , а 1 , а 2 …. а п – некоторые числа, причем а п  0, п 

а п х п – старший член многочлена

а п – коэффициент при старшем

члене

п – степень многочлена

а 0 – свободный член многочлена

Р(х)= а п х п +а п–1 х п–1 +а п–2 х п–2 +

+… + а 2 х 2 + а 1 х+ а 0

Если

а п =1 ,

то многочлен Р (х)- приведенный

Пример: х+3; х 5 +3х 2 -4

а п ≠1 ,

то многочлен Р (х)- неприведенный

Пример: 2х 2 +х; -0,5х 7 +3х 3 -11

Теорема 1:

Два многочлена ( стандартного вида) тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Задача №1

Найти числа а и b, если многочлен х 3 + 6х 2 + ах + b равен кубу двучлена х + 2

Операции над многочленами:

1. Сложение и вычитание.

При сложении (вычитании) двух многочленов разной степени, получится многочлен, степень которого равна большей из имеющихся степеней.

Задача №2

Найдите сумму многочленов

х+3 и -0,5х 5 +3х 2 -4

Операции над многочленами:

1. Сложение и вычитание.

При сложении (вычитании) двух многочленов одной и той же степени, получится многочлен той же или меньшей степени.

Задача №3

Найдите сумму и разность многочленов

2х 3 +3х 2 -х и -2х 3 +3х-4

Операции над многочленами:

2. Произведение.

Если многочлен р(х) имеет старшую степень m, а многочлен s(x) – степень n, то их произведение р(х)∙ s(x) имеет степень m+n.

Задача №4

Найдите произведение многочленов

х+3 и -0,5х 5 +3х 2 -4

Операции над многочленами:

3. Возведение в степень.

Если многочлен р(х) степени m возвести в степень n, то получится многочлен степени mn.

Задача №5

Возведите многочлен

-0,5х 5 +3х 2 -4 в квадрат

Операции над многочленами:

4. Деление многочлена намногочлен.

Если многочлен р(х) делится нацело на ненулевой многочлен s(х), если существует такой многочлен q(х), что выполняется тождество:

p(х) = s(х) · q(х)

р(х) –делимое (или кратное)

s(х) –делитель

q(х) –частное

Способ деления уголком

Разделить многочлен 8х 2 +10х–3 на многочлен 2х+3

2х+3

– 3

8х 2 +10х–3

–

8х 2 +12х

– 1

4х

– 2х

–

– 2х–3

0

Задача №6

Разделить многочлен 6х 3 +7х 2 – 6х +1 на многочлен 3х –1

Задача №7

Разделить многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15 на многочлен х – 3

Задача №8

Разделить многочлен х 4 + 4 на многочлен х 2 + 2х + 2

МБОУ «Открытая (сменная) школа №2» города Смоленска

Самостоятельные работы

по теме: «Многочлены»

7 класс

Выполнила

учитель математики

Мищенкова Татьяна Владимировна

Устная самостоятельная работа №1 (подготовительная)

(проводится с целью подготовки учащихся к усвоению новых знаний по теме: «Многочлен и его стандартный вид»)

Вариант 1.

а) 1,4а + 1– а 2 – 1,4 + b 2 ;

б) а 3 – 3а + b + 2 ab – x ;

в) 2а b + x – 3 ba – x .

Ответ обоснуйте.

a ) 2 a – 3 a +7 a ;

б) 3х – 1+2х+7;

в) 2х– 3у+3 x +2 y .

a) 8xx; г ) – 2a 2 ba

б ) 10nmm; д ) 5p 2 * 2p;

в) 3 aab ; e ) – 3 p * 1,5 p 3 .

Вариант 2

1. Назовите подобные слагаемые в следующих выражениях:

а) 8,3х – 7 – х 2 + 4 + у 2 ;

б) b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

в) 3 xy + y – 2 xy – y .

Ответ обоснуйте.

2. Приведите подобные члены в выражениях:

a ) 10 d – 3 d – 19 d ;

б) 5х – 8 +4х + 12;

в) 2х – 4у + 7х + 3у.

3. Приведите одночлены к стандартному виду и укажите степень одночлена:

a) 10aaa;

б ) 7mnn ;

в ) 3 cca;

г) – 5 x 2 yx ;

д) 8 q 2 * 3 q ;

е) – 7 p * 0>5 q 4 .

Условие устной самостоятельной работы предлагается на экране или на доске, но текст до начала самостоятельной работы держится закрытым.

Самостоятельная работа проводится в начале урока. После выполнения работы используется самопроверка с помощью компьютера или классной доски.

Самостоятельная работа № 2

(проводится с целью закрепления умений и навыков учащихся приводить многочлен к стандартному виду и определять степень многочлена)

Вариант 1

1. Приведите многочлен к стандартному виду:

a) x 2 y + yxy;

б ) 3x 2 6y 2 – 5x 2 7y;

в) 11 a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

г) 1,9 x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

б ) x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 x 2 – 1 при x = 2.

4. Дополнительное задание.

Вместо * запишите такой член, чтобы получился многочлен пятой степени.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Вариант 2

a) bab + a 2 b;

б ) 5x 2 8y 2 + 7x 2 3y;

в) 2 m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

г) – 3,1 y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Приведите подобные члены и укажите степень многочлена:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

б ) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Найти значение многочлена:

2 x 3 + 4 при x =1.

4. Дополнительное задание.

Вместо * запишите такой член, чтобы получился многочлен шестой степени.

x 3 – x 2 + x + * .

Вариант 3

1. Приведите многочлены к стандартному виду:

a) 2aa 2 3b + a8b;

б ) 8x3y (–5y) – 7x 2 4y;

в) 20 xy + 5 yx – 17 xy ;

г) 8 ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Приведите подобные члены и укажите степень многочлена:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

б ) 4b 2 + a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Найти значение многочлена:

– 4 y 5 – 3 при y = –1.

4. Дополнительное задание.

Составьте многочлен третьей степени, содержащий одну переменную.

Устная самостоятельная работа №3 (подготовительная)

(проводится с целью подготовки учащихся к усвоению новых знаний по теме: «Сложение и вычитание многочленов»)

Вариант 1

a ) сумму двух выражений 3 a + 1 и a – 4;

б) разность двух выражений 5 x – 2 и 2 x + 4.

3. Раскройте скобки:

a ) y – ( y + z );

б) ( x – y ) + ( y + z );

в) ( a – b ) – ( c – a ).

4. Найти значение выражения:

a ) 13,4 + (8 – 13,4);

б) – 1,5 – (4 – 1,5);

в) ( a – b ) – ( c – a ).

Вариант 2

1. Запишите в виде выражения:

a ) сумму двух выражений 5 a – 3 и a + 2;

б) разность двух выражений 8 y – 1 и 7 y + 1.

2. Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоят знаки «+» или «–».

3. Раскройте скобки :

a) a – (b+c);

б ) (a – b) + (b+a);

в) ( x – y ) – ( y – z ).

4. Найти значение выражения:

a ) 12,8 + (11 – 12,8);

б) – 8,1 – (4 – 8,1);

в) 10,4 + 3 x – ( x +10,4) при x =0,3.

После выполнения работы используется самопроверка с помощью компьютера или классной доски.

Самостоятельная работа №4

(проводится с целью закрепления умений и навыков сложения и вычитания многочленов)

Вариант 1

a ) 5 x – 15у и 8 y – 4 x ;

б) 7 x 2 – 5 x +3 и 7 x 2 – 5 x .

2. Упростите выражение:

a ) (2 a + 5 b ) + (8 a – 11 b ) – (9 b – 5 a );

* б) (8 c 2 + 3 c ) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна

9х – 4.

Вариант 2

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите к стандартному виду:

a) 21y – 7x и 8x – 4y;

б ) 3a 2 + 7a – 5 и 3a 2 + 1.

2. Упростите выражение:

a ) (3 b 2 + 2 b ) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* б) (3 b 2 + 2 b ) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 4х – 5 была равна

9х – 12.

Вариант 3

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите к стандартному виду:

a ) 0,5 x + 6у и 3 x – 6 y ;

б) 2 y 2 +8 y – 11 и 3 y 2 – 6 y + 3.

2. Упростите выражение:

a ) (2 x + 3 y – 5 z ) – (6 x –8 y ) + (5 x – 8 y );

* б) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 7х + 3 была равна x 2 + 7 x – 15.

Вариант 4

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите к стандартному виду:

a ) 0,3 x + 2 b и 4 x – 2 b ;

б) 5 y 2 – 3 y и 8 y 2 + 2 y – 11.

2. Упростите выражение:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* б ) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Дополнительное задание.

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 2 x 2 + x + 3 и была равна 2 x + 3.

Самостоятельная работа проводится в конце урока. Работу проверяет учитель, выявляя, надо ли заниматься дополнительно по данной теме.

Самостоятельная работа №5

(проводится с целью формирования умений и навыков заключать многочлен в скобки)

Вариант 1

a , а другой ее не содержит:

a) ax + ay + x + y;

б ) ax 2 + x + a + 1.

Образец решения :

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

b

a) bm – bn – m – n;

б ) bx + by + x –y.

Образец решения :

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Вариант 2

1. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов, один из которых содержит букву b , а другой ее не содержит:

a) bx + by +2x + 2y;

б ) bx 2 – x + a – b.

Образец решения:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m +3) + (bm 3 – b ).

2. Представьте многочлен в виде разности двух многочленов, первый из которых содержит букву a , а другой – нет (проверьте результат, раскрыв мысленно скобки):

a) ac – ab – c + b;

б ) am + an + m – n;

Образец решения :

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Вариант 3

1. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов, один из которых содержит букву b , а другой ее не содержит:

a) b 3 – b 2 – b+3y – 1;

б ) – b 2 – a 2 – 2ab + 2.

Образец решения:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm ) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm ) + (7– m 2 ).

2. Представьте многочлен в виде разности двух многочленов, первый из которых содержит букву b , а другой – нет (проверьте результат, раскрыв мысленно скобки):

a) ab + ac – b – c;

б ) 2b + a 2 – b 2 –1;

Образец решения:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m ).

Вариант 4

(для сильных учащихся, дан без образца решения)

1. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов с положительными коэффициентами:

a) ax + by – c – d;

б ) 3x –3y +z – a.

2. Представьте выражения каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

б ) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Самостоятельная работа проводится в конце урока. После выполнения работы используется самопроверка по ключу и самооценка работы. Учащиеся, самостоятельно справившиеся с заданием, отдают тетради на проверку учителю.

C амостоятельная работа №6

(проводится с целью закрепления и применения знаний и умений умножения одночлена на многочлен)

Вариант 1

1. Выполните умножение:

a ) 3 b 2 (b –3);

б) 5 x (x 4 + x 2 – 1).

2. Упростите выражения:

a) 4 (x+1) +(x+1);

б ) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Решите уравнение :

20 +4(2 x –5) =14 x +12.

4. Дополнительное задание.

(m + n ) * * = mk + nk .

Вариант 2

1. Выполните умножение:

a ) - 4 x 2 (x 2 –5);

б) -5 a (a 2 - 3 a – 4).

2. Упростите выражения:

a ) (a –2) – 2(a –2);

б) 3 x (8 y +1) – 8 x (3 y –5).

3. Решите уравнение:

3(7 x –1) – 2 =15 x –1.

4. Дополнительное задание.

Какой одночлен нужно вписать вместо знака *, чтобы выполнялось равенство:

(b + c – m ) * * = ab + ac – am .

Вариант 3

1. Выполните умножение:

a ) – 7 x 3 (x 5 +3);

б) 2 m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Упростите выражения:

a) (x–3) – 3(x–3);

б ) 3c (c +d) + 3d(c–d).

3. Решите уравнение:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Дополнительное задание.

Какой одночлен нужно вписать вместо знака *, чтобы выполнялось равенство:

* * (x 2 – xy ) = x 2 y 2 – xy 3 .

Вариант 4

1. Выполните умножение:

a ) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

б) x 2 (x 5 – x 3 + 2 x );

2. Упростите выражения:

a ) 2 x (x +1) – 4 x (2– x );

б) 5 b (3 a – b ) – 3 a (5 b + a ).

3. Решите уравнение:

-8(11 – 2 x ) +40 =3(5 x - 4).

4. Дополнительное задание.

Какой одночлен нужно вписать вместо знака *, чтобы выполнялось равенство:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C амостоятельная работа №7

(проводится с целью формирования умений и навыков решения уравнений и задач)

Вариант 1

Решите уравнение:

+ = 6

Решение:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x =120 – 4,

x =116.

Ответ: 116.

Решите уравнение:

+ = 4

2. Решите задачу:

На путь от поселка до станции автомобиль потратил на 1 час меньше, чем велосипедист. Найдите расстояние от поселка до станции, если автомобиль проехал его со средней скоростью 60 км/ч. А велосипедист 20 км/ч.

Вариант 2

1. Используя образец решения, выполните задание.

Решите уравнение:

– = 1

Решение:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x =5.

Ответ: 5.

Решите уравнение:

+ = 2

2. Решите задачу:

Мастер изготавливает на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6 часов, а мастер 8 часов, и вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовил ученик?

Указания к решению:

а) заполните таблицу;

На 8 деталей больше

б) составьте уравнение;

в) решите уравнение;

г) сделайте проверку и запишите ответ.

Вариант 3

(Для сильных учащихся, дан без образца)

1. Решите уравнение:

– = 2

2. Решите задачу:

В столовую привезли картофель, упакованный в пакеты по 3 кг. Если бы он был упакован в пакеты по 5 кг, то понадобилось бы на 8 пакетов меньше. Сколько килограммов картофеля привезли в столовую?

Самостоятельная работа проводится в конце урока. После выполнения работы используется самопроверка по ключу.

В качестве домашнего задания учащимся предлагается творческая самостоятельная работа:

Придумайте задачу, которая решается с помощью уравнения

30 x = 60(x – 4) и решите ее.

Самостоятельная работа №8

(проводится с целью формирования умений и навыков вынесения общего множителя за скобки)

Вариант 1

а) mx + my ; д) x 5 – x 4 ;

б) 5 ab – 5 b ; е) 4 x 3 – 8 x 2 ;

в ) – 4mn + n; * ж ) 2c 3 + 4c 2 + c ;

г ) 7ab – 14a 2 ; * з ) ax 2 + a 2 .

2. Дополнительное задание.

2 – 2 18 делится на 14.

Вариант 2

1. Вынесите общий множитель за скобки (проверьте свои действия умножением):

а ) 10x + 10y; д ) a 4 + a 3 ;

б ) 4x + 20y; е ) 2x 6 – 4x 3 ;

в ) 9 ab + 3b; * ж ) y 5 + 3y 6 + 4y 2 ;

г ) 5xy 2 + 15y; * з ) 5bc 2 + bc.

2. Дополнительное задание.

Докажите, что значение выражения 8 5 – 2 11 делится на 17.

Вариант 3

1. Вынесите общий множитель за скобки (проверьте свои действия умножением):

а ) 18ay + 8ax; д ) m 6 +m 5 ;

б ) 4ab - 16a; е ) 5z 4 – 10z 2 ;

в) – 4 mn + 5 n ; * ж) 3 x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

г) 3 x 2 y – 9 x ; * з) xy 2 +4 xy .

2. Дополнительное задание.

Докажите, что значение выражения 79 2 + 79 * 11 делится на 30.

Вариант 4

1. Вынесите общий множитель за скобки (проверьте свои действия умножением):

а) – 7 xy + 7 y ; д) y 7 - y 5 ;

б) 8 mn + 4 n ; е) 16 z 5 – 8 z 3 ;

в) – 20 a 2 + 4 ax ; * ж) 4 x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

г) 5 x 2 y 2 + 10 x ; * з) xy +2 xy 2 .

2. Дополнительное задание.

Докажите, что значение выражения 313 * 299 – 313 2 делится на 7.

C амостоятельная работа проводится в начале урока. После выполнения работы используется проверка по ключу.