25 ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ความเป็นมา, หลักฐาน, ตัวอย่างการใช้งานจริง

วิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

นักเรียนชั้น 9 "A"

MOU มัธยมศึกษา №8

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

ครูคณิตศาสตร์,

MOU มัธยมศึกษา №8

ศิลปะ. คริสต์มาสใหม่

ดินแดนครัสโนดาร์

ศิลปะ. คริสต์มาสใหม่

คำอธิบายประกอบ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถือว่าสำคัญที่สุดในแนวทางเรขาคณิตอย่างถูกต้อง และสมควรได้รับความสนใจอย่างใกล้ชิด เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก พื้นฐานสำหรับการศึกษาทฤษฎีและ หลักสูตรภาคปฏิบัติเรขาคณิตในอนาคต ทฤษฎีบทนี้รายล้อมไปด้วยผู้ร่ำรวยที่สุด วัสดุทางประวัติศาสตร์เกี่ยวข้องกับลักษณะและวิธีการพิสูจน์ การศึกษาประวัติความเป็นมาของการพัฒนาเรขาคณิตปลูกฝังความรัก วิชานี้มีส่วนช่วยในการพัฒนาความรู้ความเข้าใจวัฒนธรรมทั่วไปและความคิดสร้างสรรค์ตลอดจนพัฒนาทักษะของงานวิจัย

อันเป็นผลมาจากกิจกรรมการค้นหา บรรลุเป้าหมายของงาน ซึ่งก็คือการเติมเต็มและสรุปความรู้เกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จัดการเพื่อค้นหาและตรวจสอบ วิธีต่างๆหลักฐานและความรู้ที่ลึกซึ้งในหัวข้อ นอกเหนือไปจากหน้าหนังสือเรียนของโรงเรียน

วัสดุที่รวบรวมได้ทำให้มั่นใจยิ่งขึ้นว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของเรขาคณิตและมีความสำคัญทางทฤษฎีและทางปฏิบัติอย่างมาก

บทนำ. ประวัติอ้างอิง 5 ตัวหลัก 8

3. บทสรุป 19

4. วรรณกรรมที่ใช้ 20
1. บทนำ. ข้อมูลอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

แก่นแท้ของความจริงคือสำหรับเราตลอดไป

อย่างน้อยครั้งหนึ่งในความเข้าใจของเธอ เราเห็นแสงสว่าง

และทฤษฎีบทพีทาโกรัสหลังจากผ่านไปหลายปี

สำหรับเราสำหรับเขานั้นเถียงไม่ได้ไร้ที่ติ

เพื่อเป็นการเฉลิมฉลอง เหล่าทวยเทพได้รับคำปฏิญาณโดยพีทาโกรัส:

เพื่อสัมผัสปัญญาอันไร้ขอบเขต

เขาฆ่าวัวผู้หนึ่งร้อยตัว ต้องขอบคุณวัวผู้อมตะ

เขาสวดอ้อนวอนและสรรเสริญเหยื่อหลังจากนั้น

ตั้งแต่นั้นมาวัวเมื่อได้กลิ่นผลัก

สิ่งที่นำพาผู้คนไปสู่ความจริงใหม่อีกครั้ง

พวกมันคำรามอย่างฉุนเฉียว ไม่มีปัสสาวะให้ฟัง

พีทาโกรัสดังกล่าวปลูกฝังความหวาดกลัวให้กับพวกเขาตลอดไป

บูลส์ไม่มีอำนาจที่จะต่อต้านความจริงใหม่

สิ่งที่ยังคงอยู่? - แค่หลับตา คำราม ตัวสั่น

ไม่มีใครรู้ว่าพีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาอย่างไร สิ่งที่แน่นอนคือเขาค้นพบมันภายใต้อิทธิพลที่แข็งแกร่งของวิทยาศาสตร์อียิปต์ กรณีพิเศษทฤษฎีบทพีทาโกรัส - คุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5 - เป็นที่รู้จักของผู้สร้างปิรามิดมานานก่อนการเกิดของพีทาโกรัสในขณะที่เขาศึกษากับนักบวชชาวอียิปต์มานานกว่า 20 ปี มีตำนานกล่าวว่าหลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาแล้ว พีทาโกรัสได้ถวายวัวกระทิงเพื่อพระเจ้า และแหล่งอื่น ๆ ก็มีวัวถึง 100 ตัว อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อมูลเกี่ยวกับมุมมองทางศีลธรรมและศาสนาของพีทาโกรัส ในแหล่งวรรณกรรมสามารถอ่านได้ว่าเขา "ห้ามแม้แต่การฆ่าสัตว์และยิ่งกว่านั้นให้อาหารพวกมันเพราะสัตว์มีวิญญาณเหมือนเรา" พีทาโกรัสกินแต่น้ำผึ้ง ขนมปัง ผัก และบางครั้งปลา ในการเชื่อมต่อกับทั้งหมดนี้ รายการต่อไปนี้ถือได้ว่าเป็นไปได้มากขึ้น: "... และแม้ว่าเขาจะค้นพบว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉากที่สอดคล้องกับขา เขาก็เสียสละวัวที่ทำจากแป้งสาลี"

ความนิยมของทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นยิ่งใหญ่มากจนพบการพิสูจน์แม้ในนิยาย ตัวอย่างเช่น ในเรื่องนักเขียนชาวอังกฤษผู้โด่งดัง Huxley "Young Archimedes" หลักฐานเดียวกัน แต่สำหรับกรณีพิเศษของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว มีให้ในบทพูดของเพลโต Meno

บ้านเทพนิยาย

“ไกลแสนไกล ที่แม้แต่เครื่องบินไม่บิน ก็เป็นดินแดนแห่งเรขาคณิต ในประเทศที่ไม่ธรรมดานี้มีเมืองที่น่าตื่นตาตื่นใจเมืองหนึ่งคือเมืองเทโอเรม วันหนึ่งฉันมาที่เมืองนี้ สาวสวยชื่อด้านตรงข้ามมุมฉาก เธอพยายามหาห้องพัก แต่ทุกที่ที่เธอสมัคร เธอก็ถูกปฏิเสธทุกที่ ในที่สุดเธอก็เข้าใกล้บ้านง่อนแง่นและเคาะ เธอถูกเปิดเผยโดยชายคนหนึ่งที่เรียกตัวเองว่ามุมขวา และเขาเชิญด้านตรงข้ามมุมฉากมาอาศัยอยู่กับเขา ด้านตรงข้ามมุมฉากยังคงอยู่ในบ้านที่ Right Angle และลูกชายตัวน้อยสองคนของเขาชื่อ Katet อาศัยอยู่ ตั้งแต่นั้นมา ชีวิตในบ้านมุมขวาก็เปลี่ยนไปในรูปแบบใหม่ ด้านตรงข้ามมุมฉากปลูกดอกไม้ไว้ที่หน้าต่าง และกางกุหลาบแดงที่สวนด้านหน้า บ้านอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาทั้งสองข้างชอบด้านตรงข้ามมุมฉากมาก และขอให้เธออยู่ในบ้านตลอดไป ในตอนเย็น ครอบครัวที่เป็นมิตรนี้จะรวมตัวกันที่โต๊ะของครอบครัว บางครั้ง Right Angle เล่นซ่อนหากับลูกๆ ของเขา บ่อยครั้งที่เขาต้องมอง และด้านตรงข้ามมุมฉากก็ซ่อนอย่างชำนาญจนหาได้ยาก ครั้งหนึ่งระหว่างเกม Right Angle สังเกตเห็นคุณสมบัติที่น่าสนใจ: ถ้าเขาจัดการหาขาได้ การหาด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น Right Angle จึงใช้รูปแบบนี้ ฉันต้องบอกว่า ประสบความสำเร็จอย่างมาก ในทรัพย์สินนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากและก่อตั้งทฤษฎีบทพีทาโกรัส"

(จากหนังสือโดย A. Okunev “ ขอบคุณสำหรับบทเรียนนะเด็กๆ”)

สูตรสนุกสนานของทฤษฎีบท:

ถ้าเราได้สามเหลี่ยม

และยิ่งไปกว่านั้น ด้วยมุมฉาก

นั่นคือกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

เราสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดายเสมอ:

เราสร้างขาเป็นสี่เหลี่ยม

เราพบผลรวมขององศา -

และด้วยวิธีง่ายๆ แบบนี้

เรามาลุ้นผลกัน

จากการศึกษาพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์และเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ฉันเชื่อว่านอกจากวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่พิจารณาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 แล้ว ยังมีวิธีอื่นในการพิสูจน์อีกด้วย ฉันนำเสนอให้คุณพิจารณา
2. ส่วนหลัก

ทฤษฎีบท. สี่เหลี่ยมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมขาสี่เหลี่ยม

1 วิธี

โดยใช้คุณสมบัติของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เราสร้างความสัมพันธ์ที่น่าทึ่งระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

การพิสูจน์.

ก, ในและด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ(รูปที่ 1, ก).

มาพิสูจน์กัน c²=a²+b².

การพิสูจน์.

เราเติมสามเหลี่ยมให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยด้าน a + bดังแสดงในรูป 1ข. พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้คือ (a + b)² ในทางกลับกัน จตุรัสนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูป พื้นที่แต่ละอันเท่ากับ ½ แย่จัง, และสี่เหลี่ยมด้าน กับ,โซ ส = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

ทางนี้,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
2 ทาง.

หลังจากศึกษาหัวข้อ "สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน" ฉันพบว่าคุณสามารถใช้ความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ กล่าวคือ ฉันใช้ข้อความที่ว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ล้อมรอบระหว่างขากับความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉาก

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C ซีดีคือความสูง (รูปที่ 2) มาพิสูจน์กัน AC² + SW² = AB² .

การพิสูจน์.

ตามข้อความเกี่ยวกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

เอซี = , ซีบี = .

เรายกกำลังสองและเพิ่มความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB) โดยที่ AD + DB = AB แล้ว

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB²

หลักฐานครบ.
3 ทาง.

คำจำกัดความของโคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถใช้กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ พิจารณารูปที่ 3.

การพิสูจน์:

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดโดยมีมุมฉาก C วาดซีดีความสูงจากจุดยอดของมุมฉาก C

ตามนิยามของโคไซน์ของมุม:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB ดังนั้น AB * AD = AC²

เช่นเดียวกัน,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB

ดังนั้น AB * BD \u003d BC²

เพิ่มเงื่อนไขความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นตามเทอมและสังเกตว่า AD + DВ = AB เราได้รับ:

AC² + ดวงอาทิตย์² \u003d AB (โฆษณา + DB) \u003d AB²

หลักฐานครบ.
4 วิธี

หลังจากศึกษาหัวข้อ "อัตราส่วนระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก" ฉันคิดว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้อีกทางหนึ่ง

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา ก, ในและด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ. (รูปที่ 4).

มาพิสูจน์กัน c²=a²+b².

การพิสูจน์.

บาป ข= a/c ; cos ข=เช่น , จากนั้น ยกกำลังสองความเท่าเทียมกันที่ได้ผลลัพธ์ เราจะได้:

บาป² ข=ใน²/วินาที²; cos² ที่\u003d a² / s²

รวมกันแล้วเราได้รับ:

บาป² ที่+ cos² ข= v² / s² + a² / s² โดยที่บาป² ที่+ cos² ข=1,

1 \u003d (v² + a²) / s² ดังนั้น

c² = a² + b²

หลักฐานครบ.

5 วิธี

หลักฐานนี้อิงจากการตัดสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา (รูปที่ 5) และซ้อนส่วนที่เป็นผลบนสี่เหลี่ยมที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉาก

6 วิธี

เพื่อเป็นหลักฐานในสายสวน ดวงอาทิตย์อาคาร BCD ABC(รูปที่ 6) เรารู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายคลึงกันนั้นสัมพันธ์กันกับกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่คล้ายคลึงกัน:

ลบวินาทีออกจากความเท่าเทียมกันแรก เราจะได้

c2 = a2 + ข2.

หลักฐานครบ.

7 วิธี.

ที่ให้ไว้(รูปที่ 7):

เอบีเอส,= 90° , ดวงอาทิตย์= ก, AC=ข, AB = ค.

พิสูจน์:c2 = a2 +b2.

การพิสูจน์.

ให้ขา ข ก.มาต่อกันที่เซกเมนต์ SWต่อจุด ที่และสร้างสามเหลี่ยม bmdเพื่อให้คะแนน เอ็มและ แต่นอนตะแคงข้างเดียว ซีดีและนอกจากนี้, BD=ข BDM= 90°, DM= a แล้ว bmd= ABCทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา คะแนน A และ เอ็มเชื่อมต่อตามเซ็กเมนต์ เช้า.เรามี MD ซีดีและ AC ซีดี,แปลว่า ตรง ACขนานกับเส้นตรง นพ.เพราะ MD< АС, แล้วตรง ซีดีและ เช้าไม่ขนานกัน ดังนั้น, เอเอ็มดีซี-สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC และ bmd 1 + 2 = 90° และ 3 + 4 = 90° แต่เนื่องจาก = = แล้ว 3 + 2 = 90° แล้ว AVM=180° - 90° = 90° ปรากฎว่าสี่เหลี่ยมคางหมู AMDCแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากไม่ทับซ้อนกันสามรูป แล้วตามด้วยสัจพจน์ของพื้นที่

(a+b)(a+b)

หารเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการด้วย , เราได้รับ

เอb + c2 + ab = (a +ข) , 2 อะบี+ c2 = a2+ 2aข+ ข2,

c2 = a2 + ข2.

หลักฐานครบ.

8 วิธี

วิธีนี้ใช้ด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีเขาสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอดคล้องกันและพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา (รูปที่ 8)

การพิสูจน์.

1) DBC= FBA= 90 °;

DBC+ ABC= เอฟบีเอ+ เอบีซีวิธี, FBC= ดีบีเอ.

ทางนี้, FBC=ABD(ทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา).

2) , โดยที่ AL คือ DE เนื่องจาก BD คือ พื้นดินทั่วไป, DL-ความสูงโดยรวม

3) เนื่องจาก FB เป็นฐาน AB- ความสูงรวม

4)

5) ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

6) บวกเทอมตามเทอม เราจะได้:

, BC2 = AB2 + AC2 . หลักฐานครบ.

9 ทาง.

การพิสูจน์.

1) ให้ ABDE- สี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 9) ซึ่งด้านนั้นเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี (AB= c, BC = a, AC =ข)

2) ให้ DK BCและ ดีเค = อาทิตย์เนื่องจาก 1 + 2 = 90° (เป็นมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก) 3 + 2 = 90° (ตามมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) AB= BD(ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส).

วิธี, ABC= BDK(โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม).

3) ให้ EL DC, AM พศ.พิสูจน์ได้ง่ายๆ ว่า ABC = BDK = DEL = EAM (มีขา เอและ ข)แล้ว KS= CM= ML= LK= ก -ข.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),กับ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

หลักฐานครบ.

10 วิธี

หลักฐานสามารถทำได้ในรูปที่เรียกว่า "กางเกงพีทาโกรัส" ติดตลก (รูปที่ 10) แนวคิดของมันคือการแปลงกำลังสองที่สร้างบนขาเป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน ซึ่งประกอบกันเป็นกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ABC shift ตามที่ลูกศรแสดงและเข้ารับตำแหน่ง เคดีเอ็น.รูปที่เหลือ AKDCBเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยม AKDC-มันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอเคเอ็นบี

ทำแบบจำลองสี่เหลี่ยมด้านขนาน AKNB. เราเลื่อนสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ร่างไว้ในเนื้อหาของงาน เพื่อแสดงการเปลี่ยนแปลงของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสามเหลี่ยมเท่ากับ ต่อหน้านักเรียน เราตัดรูปสามเหลี่ยมบนแบบจำลองแล้วเลื่อนลง ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส AKDCเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยม ในทำนองเดียวกัน เราแปลงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยม

มาทำการเปลี่ยนแปลงสำหรับสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขากันเถอะ เอ(รูปที่ 11, ก):

ก) สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขนาดเท่ากัน (รูปที่ 11.6):

b) สี่เหลี่ยมด้านขนานหมุนหนึ่งในสี่ของรอบ (รูปที่ 12):

c) สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกแปลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดเท่ากัน (รูปที่ 13): 11 วิธี

การพิสูจน์:

บมจ.-ตรง (รูปที่ 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

กลุ่มเพศทางเลือก= CVMR =CBNQ= ข 2;

AKGB= AKLO +กลุ่มเพศทางเลือก= c2;

c2 = a2 + ข2.

หลักฐานมากกว่า .

12 วิธี

ข้าว. 15 แสดงให้เห็นถึงการพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกเรื่องหนึ่ง

ที่นี่: สามเหลี่ยม ABC ที่มีมุมฉาก C; ส่วนของเส้น bfตั้งฉาก SWและเท่ากับส่วนนั้น เป็นตั้งฉาก ABและเท่ากับส่วนนั้น ADตั้งฉาก ACและเท่ากับพระองค์ คะแนน เอฟ ซีดีเป็นเส้นตรงเส้นเดียว สี่เหลี่ยม ADFBและ ACBEเท่าเทียมกันเพราะ ABF = ECB;สามเหลี่ยม ADFและ ACEเท่าเทียมกัน; เราลบรูปสามเหลี่ยมทั้งสองออกจากสี่เหลี่ยมเท่ากัน เอบีซีเราได้รับ

, c2 = a2 + ข2.

หลักฐานครบ.

13 วิธี

ด้านหนึ่ง พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ เท่ากับ , กับอีกคนหนึ่ง ,

3. บทสรุป

อันเป็นผลมาจากกิจกรรมการค้นหา บรรลุเป้าหมายของงาน ซึ่งก็คือการเติมเต็มและสรุปความรู้เกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นไปได้ที่จะค้นหาและพิจารณาวิธีการต่างๆ ในการพิสูจน์ และความรู้ที่ลึกซึ้งในหัวข้อนั้นโดยไปนอกเหนือไปจากหน้าหนังสือเรียนของโรงเรียน

เนื้อหาที่ฉันรวบรวมมานั้นยิ่งน่าเชื่อถือมากขึ้นไปอีกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของเรขาคณิต และมีความสำคัญทางทฤษฎีและทางปฏิบัติอย่างมาก โดยสรุป ฉันอยากจะบอกว่า เหตุผลของความนิยมของทฤษฎีบทพีทาโกรัสของตรีเอกานุภาพคือความงาม ความเรียบง่าย และความสำคัญ!

4. วรรณกรรมที่ใช้

1. พีชคณิตที่สนุกสนาน . มอสโก "เนาคา", 2521

2. ข้อมูลเสริมการศึกษาและระเบียบวิธีรายสัปดาห์สำหรับหนังสือพิมพ์ "First of September", 24/2001

3. เรขาคณิต 7-9. และอื่น ๆ.

4. เรขาคณิต 7-9. และอื่น ๆ.

หลักฐานเคลื่อนไหวของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งใน พื้นฐานทฤษฎีบทเรขาคณิตแบบยุคลิด กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นที่เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Pythagoras หลังจากที่ได้รับการตั้งชื่อ (มีรุ่นอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความเห็นทางเลือกที่ทฤษฎีบทนี้อยู่ใน ปริทัศน์ถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวพีทาโกรัส ฮิปปาซัส)
ทฤษฎีบทกล่าวว่า:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา

แสดงถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ค,และความยาวของขาเป็น เอและ ขเราได้รับสูตรต่อไปนี้:

ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงสร้างความสัมพันธ์ที่ช่วยให้คุณกำหนดด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้ความยาวของอีกสองด้าน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสองฝ่าย สามเหลี่ยมโดยพลการ.
การยืนยันการสนทนายังได้รับการพิสูจน์ (เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทสนทนาพีทาโกรัส):

สำหรับสาม ตัวเลขบวก a, b และ c เช่นนั้น a ? +ข? = c ? มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

หลักฐานภาพสามเหลี่ยม (3, 4, 5) จาก Chu Pei 500-200 ปีก่อนคริสตกาล ประวัติของทฤษฎีบทสามารถแบ่งออกเป็นสี่ส่วน: ความรู้เกี่ยวกับตัวเลขพีทาโกรัส, ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก, ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วน มุมที่อยู่ติดกันและการพิสูจน์ทฤษฎีบท
โครงสร้างหินใหญ่ประมาณ 2500 ปีก่อนคริสตกาล ในอียิปต์และยุโรปเหนือมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม Barthel Leendert van der Waerden คาดคะเนว่าในสมัยนั้น ตัวเลขพีทาโกรัสถูกพบในเชิงพีชคณิต
เขียนระหว่าง พ.ศ. 2543 ถึง พ.ศ. 2419 ก่อนคริสตกาล ต้นกกจากอาณาจักรอียิปต์กลาง เบอร์ลิน 6619มีปัญหาซึ่งวิธีแก้ปัญหาคือตัวเลขพีทาโกรัส
ในรัชสมัยของพระเจ้าฮัมมูราบีมหาราช แผ่นจารึกชาวไวบิโลเนีย พลิมป์ตัน 322,ที่เขียนขึ้นระหว่าง พ.ศ. 2333 ถึง 1750 ปีก่อนคริสตกาล มีรายการมากมายที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขพีทาโกรัสอย่างใกล้ชิด
ในพระสูตรพุทธยานซึ่งเริ่มตั้งแต่ รุ่นต่างๆศตวรรษที่ 8 หรือ 2 ก่อนคริสตกาล ในอินเดีย มีตัวเลขพีทาโกรัสที่ได้จากพีชคณิต สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และหลักฐานทางเรขาคณิตสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
อาปัสทมสูตร (ประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล) ประกอบด้วย หลักฐานเชิงตัวเลขทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้การคำนวณพื้นที่ Van der Waerden เชื่อว่ามีพื้นฐานมาจากประเพณีของรุ่นก่อน ตามคำกล่าวของ Albert Burko นี่เป็นข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบท และเขาแนะนำว่าพีทาโกรัสไปเยี่ยมอาราโคนีและคัดลอกมา
พีทาโกรัสซึ่งอายุยืนมักจะระบุ 569 - 475 ปีก่อนคริสตกาล ใช้ วิธีพีชคณิตการคำนวณตัวเลขพีทาโกรัสตามความคิดเห็นของ Proklov เกี่ยวกับ Euclid Proclus อาศัยอยู่ระหว่าง 410 ถึง 485 AD อ้างอิงจากส Thomas Giese ไม่มีข้อบ่งชี้ของการประพันธ์ทฤษฎีบทเป็นเวลาห้าศตวรรษหลังจากพีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม เมื่อผู้เขียนเช่น Plutarch หรือ Cicero ระบุถึงทฤษฎีบทของ Pythagoras พวกเขาทำราวกับว่าการประพันธ์เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและแน่นอน
ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล ตาม Proclus เพลโตได้ให้วิธีการคำนวณตัวเลขพีทาโกรัส ผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิต ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ใน จุดเริ่มต้นยูคลิด เรามีหลักฐานเชิงสัจพจน์ที่เก่าแก่ที่สุดที่รอดชีวิตมาจนถึงทุกวันนี้
เขียนเมื่อประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 200 ปีก่อนคริสตกาล ภาษาจีน หนังสือคณิตศาสตร์"Chu Pei" (? ? ? ?) ให้ภาพพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งในประเทศจีนเรียกว่าทฤษฎีบท gugu (????) สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน (3, 4, 5) ในสมัยราชวงศ์ฮั่นตั้งแต่ 202 ปีก่อนคริสตกาล ก่อน ค.ศ. 220 AD ตัวเลขพีทาโกรัสปรากฏในหนังสือ "Nine Sections of the Mathematical Art" พร้อมกับกล่าวถึงสามเหลี่ยมมุมฉาก
การใช้ทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกเป็นครั้งแรกในประเทศจีน โดยเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบท gugu (????) และในอินเดียซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของบาสการ์
หลายคนกำลังถกเถียงกันว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกค้นพบครั้งเดียวหรือซ้ำแล้วซ้ำเล่า Boyer (1991) เชื่อว่าความรู้ที่พบใน Shulba Sutra อาจมาจากเมโสโปเตเมีย
หลักฐานพีชคณิต
สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นจากสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป มีหลักฐานพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากกว่าหนึ่งร้อยข้อ หลักฐานนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของพื้นที่ของรูป:

วางสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกันสี่รูปดังแสดงในรูป
สี่เหลี่ยมที่มีด้าน คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพราะผลรวมของสอง มุมแหลมและมุมที่พัฒนาแล้วคือ
พื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากับด้านหนึ่งกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน "a + b" และอีกด้านหนึ่งเป็นผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านใน .

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
โดยความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม
การใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน อนุญาต ABCเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม คตรงตามที่แสดงในภาพ มาวาดความสูงจากจุดกัน ค,และโทร ชมจุดตัดกับด้าน เอบี.เกิดสามเหลี่ยม ACHเหมือนสามเหลี่ยม เอบีซีเนื่องจากทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ตามคำจำกัดความของความสูง) และมีมุมร่วมกัน เอ,เห็นได้ชัดว่ามุมที่สามจะเหมือนกันในสามเหลี่ยมเหล่านี้เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน mirkuyuyuchy สามเหลี่ยม CBHก็คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีจากความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยม: If

สามารถเขียนได้เป็น

ถ้าเราบวกสองค่าเท่ากันเราจะได้

HB + c คูณ AH = c ครั้ง (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

กล่าวอีกนัยหนึ่งทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด
หลักฐานของยุคลิดใน "หลักการ" แบบยุคลิด ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการพิสูจน์โดยวิธีสี่เหลี่ยมด้านขนาน อนุญาต A, B, Cจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก ก.วางแนวตั้งฉากจากจุด อาไปทางด้านตรงข้ามด้านตรงข้ามมุมฉากในสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองสี่เหลี่ยม โดยแต่ละอันมีพื้นที่เดียวกับสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา แนวคิดหลักข้อพิสูจน์คือสี่เหลี่ยมด้านบนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานของพื้นที่เดียวกัน จากนั้นกลับมากลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสี่เหลี่ยมด้านล่างและอีกครั้งด้วยพื้นที่เดียวกัน

มาวาดเซ็กเมนต์กันเถอะ CFและ โฆษณาเราได้สามเหลี่ยม BCFและ บีดีเอ.
มุม แท็กซี่และ ถุง- ตรง; คะแนน C, Aและ Gเป็นคอลลิเนียร์ วิธีการเดียวกัน บี เอและ ชม.
มุม ย่านศูนย์กลางธุรกิจและ FBA- ตรงทั้งคู่แล้วก็มุม ABD เท่ากับมุม เอฟบีซีเนื่องจากทั้งสองเป็นผลรวมของมุมฉากและมุม เอบีซี
สามเหลี่ยม ABDและ FBCระดับทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
เพราะจุด A, Kและ หลี่– collinear พื้นที่ของสี่เหลี่ยม BDLK เท่ากับสองพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอบีดี (BDLK) = BAGF = AB2)
ในทำนองเดียวกันเราได้รับ CKLE = ACIH = AC2
ด้านหนึ่งเป็นพื้นที่ CBDEเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม BDLKและ ซีเคเล่ในทางกลับกัน พื้นที่ของจตุรัส BC2,หรือ AB2 + AC2 = ปีก่อนคริสตกาล 2

การใช้ดิฟเฟอเรนเชียล
การใช้ส่วนต่าง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถมาถึงได้โดยศึกษาว่าการเพิ่มขึ้นของด้านส่งผลต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากดังแสดงในรูปด้านขวาและใช้การคำนวณเพียงเล็กน้อย
อันเป็นผลมาจากการเจริญเติบโตของด้านข้าง ก,จากรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อย

การบูรณาการที่เราได้รับ

ถ้า เอ= 0 แล้ว ค = ขดังนั้น "ค่าคงที่" คือ ข2แล้ว

ดังจะเห็นได้ว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสเกิดจากสัดส่วนระหว่างส่วนเพิ่มและส่วนข้าง ในขณะที่ผลรวมเป็นผลมาจากส่วนอิสระของส่วนเพิ่มของด้านข้าง ไม่ชัดเจนจาก หลักฐานทางเรขาคณิต. ในสมการเหล่านี้ daและ กระแสตรงคือ การเพิ่มขึ้นทีละน้อยของด้านตามลำดับ เอและ ค.แต่แทนที่เราจะใช้? เอและ? ค,แล้วขีดจำกัดของอัตราส่วนถ้ามีแนวโน้มเป็นศูนย์คือ da / กระแสตรง,อนุพันธ์ และยังเท่ากับ ค / ก,อัตราส่วนของความยาวของด้านของสามเหลี่ยม เราจะได้ สมการเชิงอนุพันธ์.
ในกรณีของระบบเวกเตอร์มุมฉาก ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ถ้า - นี่คือเส้นโครงของเวกเตอร์บน แกนพิกัดจากนั้นสูตรนี้จะตรงกับระยะทางแบบยุคลิดและหมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับราก ผลรวมสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมของส่วนประกอบ
ความคล้ายคลึงของความเท่าเทียมกันในกรณีนี้ ระบบไม่มีที่สิ้นสุดเวกเตอร์เรียกว่าความเท่าเทียมกันของ Parseval

ประการหนึ่ง คุณสามารถมั่นใจได้ร้อยเปอร์เซ็นต์ว่าเมื่อถามว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร ผู้ใหญ่คนใดจะตอบอย่างกล้าหาญว่า "ผลรวมของกำลังสองของส่วนขา" ทฤษฎีนี้ฝังแน่นในใจของทุกคน คนมีการศึกษาแต่ก็เพียงพอแล้วที่จะขอให้ใครสักคนพิสูจน์ แล้วความยากลำบากก็อาจเกิดขึ้น ดังนั้น ให้จำและพิจารณาวิธีต่าง ๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ภาพรวมโดยย่อของชีวประวัติ

เกือบทุกคนคุ้นเคยกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างชีวประวัติของผู้สร้างจึงไม่เป็นที่นิยม เราจะแก้ไขมัน ดังนั้น ก่อนที่จะศึกษาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณต้องทำความคุ้นเคยกับบุคลิกภาพของเขาโดยสังเขป

Pythagoras - นักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักคิด มีพื้นเพมาจาก Today เป็นการยากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่จากงานเขียนของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดที่เกาะ Samos พ่อของเขาเป็นช่างตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลผู้สูงศักดิ์

ตามตำนานเล่าว่าการกำเนิดของพีทาโกรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงคนหนึ่งชื่อพีเธีย ซึ่งตั้งชื่อตามเด็กชายคนนั้นเพื่อเป็นเกียรติแก่เด็กชาย ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดมาจะต้องนำประโยชน์และความดีมากมายมาสู่มวลมนุษยชาติ ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำจริงๆ

กำเนิดทฤษฎีบท

ในวัยหนุ่มของเขา พีธากอรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบกับพวกเขา เขาเข้ารับการศึกษา ซึ่งเขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์

น่าจะเป็นในอียิปต์ที่พีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความยิ่งใหญ่และความงามของปิรามิดและสร้างขึ้นมาเอง ทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่. สิ่งนี้อาจทำให้ผู้อ่านตกใจ แต่นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่เชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขาซึ่งต่อมาได้เสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมด

อย่างไรก็ตาม วันนี้ไม่มีใครรู้จักเทคนิคเดียวในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่มีหลายวิธีในครั้งเดียว วันนี้เราสามารถเดาได้เพียงว่าชาวกรีกโบราณทำการคำนวณอย่างไร ดังนั้นที่นี่เราจะพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ก่อนที่คุณจะเริ่มการคำนวณใดๆ คุณต้องคิดก่อนว่าทฤษฎีใดที่จะพิสูจน์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสฟังดังนี้: "ในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุม 90 o ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก"

มี 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทั้งหมด นี่เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างใหญ่ดังนั้นเรามาดูความนิยมสูงสุดกัน

วิธีที่หนึ่ง

มากำหนดสิ่งที่เรามีกันก่อน ข้อมูลนี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นคุณควรจำสัญกรณ์ที่มีอยู่ทั้งหมดทันที

สมมติให้สามเหลี่ยมมุมฉากมีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีแรกในการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าต้องดึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการทำเช่นนี้คุณต้องวาดส่วนที่มีความยาว เท่ากับขาในและในทางกลับกัน ดังนั้นมันควรจะเป็นสอง ด้านเท่ากันสี่เหลี่ยม. เหลือเพียงการวาดเส้นคู่ขนานสองเส้นและสี่เหลี่ยมก็พร้อม

ภายในรูปผลลัพธ์คุณต้องวาดสี่เหลี่ยมอีกอันด้วยด้าน เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมเดิม ในการทำเช่นนี้จากจุดยอด ac และ s คุณต้องวาดสอง ส่วนคู่ขนานเท่ากับ. ดังนั้นเราจึงได้ด้านสามด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม มันยังคงเป็นเพียงการวาดส่วนที่สี่

จากตัวเลขผลลัพธ์เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกคือ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5 av.

ดังนั้น พื้นที่คือ: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

ดังนั้น (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

และด้วยเหตุนี้ด้วย 2 \u003d a 2 + ใน2

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สูตรนี้สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มาจากข้อความจากหมวดเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน มันบอกว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90 o

ข้อมูลเริ่มต้นยังคงเหมือนเดิม เรามาเริ่มกันเลยด้วยการพิสูจน์กัน ให้เราวาดแผ่นซีดีส่วนตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ขาของสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร ต้องวางการพิสูจน์โดยการยกกำลังสองอสมการทั้งสองออก

AC 2 \u003d AB * HELL และ SV 2 \u003d AB * DV

ตอนนี้เราต้องบวกความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV \u003d AB

ปรากฎว่า:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

และดังนั้นจึง:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีแก้ปัญหาต่างๆ ต้องใช้แนวทางที่หลากหลายในการแก้ปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง

วิธีการคำนวณอื่น

คำอธิบายของวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจไม่พูดอะไร จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกฝนด้วยตัวเอง หลายวิธีไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมเดิมด้วย

ที่ กรณีนี้จำเป็นต้องกรอก VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกหนึ่งอันจากขาเครื่องบิน ดังนั้น จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC

เมื่อรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายคลึงกันมีอัตราส่วนเท่ากับกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่คล้ายคลึงกัน ดังนั้น:

S avs * s 2 - S avd * ใน 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (จาก 2 ถึง 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

จาก 2 ถึง 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + ใน 2

เนื่องจากตัวเลือกนี้ไม่ค่อยเหมาะกับวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับเกรด 8 ด้วยวิธีต่างๆ คุณจึงใช้เทคนิคต่อไปนี้ได้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความคิดเห็น

นักประวัติศาสตร์เชื่อว่าวิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทใน กรีกโบราณ. เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด เนื่องจากไม่ต้องมีการคำนวณใดๆ เลย หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้อง หลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 \u003d c 2 จะมองเห็นได้ชัดเจน

เงื่อนไขสำหรับ วิธีนี้จะแตกต่างไปจากเดิมเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เป็นหน้าจั่ว

เราหาด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมแล้ววาดด้านทั้งสามของมัน นอกจากนี้ จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้ คุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อันภายในนั้น

สำหรับขา AB และ CB คุณต้องวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวาดเส้นทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละส่วน เราวาดเส้นแรกจากจุดยอด A ส่วนที่สอง - จาก C

ตอนนี้คุณต้องดูภาพวาดที่ได้อย่างระมัดระวัง เนื่องจากมีสามเหลี่ยมสี่รูปบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เท่ากับอันเดิมและสองรูปที่ขา นี่จึงระบุถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ the วลีที่มีชื่อเสียง: "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง"

พิสูจน์โดย J. Garfield

James Garfield เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกจากจะทิ้งร่องรอยไว้บนประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองแห่งสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้มีพรสวรรค์ในการเรียนรู้ด้วยตนเองอีกด้วย

ในตอนเริ่มต้นอาชีพของเขา เขาเป็นครูธรรมดาในโรงเรียนพื้นบ้านแห่งหนึ่ง แต่ในไม่ช้าก็กลายเป็นผู้อำนวยการของหนึ่งในผู้สูงกว่า สถาบันการศึกษา. ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเองและปล่อยให้เขาเสนอ ทฤษฎีใหม่บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทและตัวอย่างของการแก้ปัญหามีดังนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปบนแผ่นกระดาษเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นเป็นส่วนต่อของส่วนที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้ต้องเชื่อมต่อกันจึงจะมีสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง

S=a+b/2 * (a+b)

หากเราพิจารณาผลลัพธ์ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสามเหลี่ยมสามรูป พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะพบได้ดังนี้:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

ตอนนี้เราต้องทำให้นิพจน์ดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + ใน 2

สามารถเขียนเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มากกว่าหนึ่งเล่มและจะพิสูจน์ได้อย่างไร คู่มือการเรียน. แต่มันสมเหตุสมผลหรือไม่เมื่อความรู้นี้ไม่สามารถนำไปปฏิบัติได้?

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

น่าเสียดายที่หลักสูตรของโรงเรียนสมัยใหม่มีไว้สำหรับการใช้ทฤษฎีบทนี้เท่านั้นใน ปัญหาทางเรขาคณิต. ในไม่ช้าผู้สำเร็จการศึกษาจะออกจากโรงเรียนโดยไม่รู้ว่าพวกเขาจะนำความรู้และทักษะไปปฏิบัติได้อย่างไร

อันที่จริง ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใน ชีวิตประจำวันทุกคนสามารถ และไม่เพียงแต่ใน กิจกรรมระดับมืออาชีพแต่ยังทำงานบ้านตามปกติ ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

ความเชื่อมโยงของทฤษฎีบทและดาราศาสตร์

ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมสามารถเชื่อมต่อกันบนกระดาษได้อย่างไร อันที่จริง ดาราศาสตร์คือ สาขาวิทยาศาสตร์ซึ่งใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างกว้างขวาง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการเคลื่อนที่ของลำแสงในอวกาศ เรารู้ว่าแสงเดินทางทั้งสองทิศทางด้วยความเร็วเท่ากัน เราเรียกเส้นโคจร AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ l. และใช้เวลาครึ่งหนึ่งในการให้แสงจากจุด A ไปยังจุด B เรียกว่า t. และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: c*t=l

หากคุณดูลำแสงเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากยานอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v จากนั้นเมื่อสังเกตวัตถุดังกล่าว ความเร็วของมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ไปในทิศทางตรงกันข้าม

สมมุติว่าการ์ตูนกำลังแล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งระหว่างที่รังสีวิ่งจะเคลื่อนที่ไปทางซ้าย ยิ่งกว่านั้นเมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A จะมีเวลาเคลื่อนที่ ดังนั้น แสงก็จะไปถึงที่แล้ว จุดใหม่ C. ในการหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เคลื่อนที่ คุณต้องคูณความเร็วของซับด้วยเวลาเดินทางของลำแสงครึ่งหนึ่ง (t ")

และเพื่อค้นหาว่ารังสีของแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องกำหนดเส้นทางครึ่งทางของต้นบีชใหม่และได้นิพจน์ต่อไปนี้:

หากเราจินตนาการว่าจุดของแสง C และ B รวมทั้งสเปซไลเนอร์คือจุดยอด สามเหลี่ยมหน้าจั่วจากนั้นเซ็กเมนต์จากจุด A ถึงไลเนอร์จะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถค้นหาระยะทางที่รังสีของแสงสามารถเดินทางได้

แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ได้ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนที่โชคดีพอที่จะลองใช้มันในทางปฏิบัติ ดังนั้นเราจึงพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้ทางโลกมากขึ้น

ช่วงการส่งสัญญาณมือถือ

ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากพวกเขาไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารผ่านมือถือได้!

คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงที่เสาอากาศของผู้ให้บริการมือถือตั้งอยู่ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลจากเสาเคลื่อนที่แค่ไหน

สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่ง เพื่อให้สามารถแพร่สัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตรได้

AB (ความสูงของหอคอย) = x;

BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;

OS (รัศมี โลก) = 6380 กม.;

OB=OA+ABOB=r+x

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่าความสูงขั้นต่ำของหอคอยควรอยู่ที่ 2.3 กิโลเมตร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน

น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรก ไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้ เพราะคุณสามารถวัดค่าด้วยตลับเมตรได้อย่างง่ายดาย แต่หลายคนแปลกใจว่าทำไมปัญหาบางอย่างจึงเกิดขึ้นระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ

ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าถูกประกอบในแนวนอนแล้วยกขึ้นและติดตั้งกับผนัง ดังนั้นผนังด้านข้างของตู้ในระหว่างการยกโครงสร้างต้องผ่านทั้งความสูงและแนวทแยงมุมของห้องอย่างอิสระ

สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไมต้อง 126 มม. กันแน่? มาดูตัวอย่างกัน

ด้วยขนาดในอุดมคติของตู้ เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 มม. - ทุกอย่างมาบรรจบกัน

สมมุติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 มม.

ดังนั้นตู้นี้จึงไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากเมื่อยกขึ้นในแนวตั้งอาจทำให้เกิดความเสียหายต่อร่างกายได้

บางที เมื่อพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คน เราสามารถสรุปได้ว่ามันเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและต้องแน่ใจว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย

สำหรับผู้ที่สนใจในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ศึกษาใน หลักสูตรโรงเรียนข้อเท็จจริงเช่นการตีพิมพ์หนังสือในปี 1940 ที่มีข้อพิสูจน์สามร้อยเจ็ดสิบข้อของทฤษฎีบทที่ดูเหมือนง่ายนี้จะน่าสนใจเช่นกัน แต่มันดึงดูดจิตใจของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาในยุคต่างๆ มากมาย ใน Guinness Book of Records มันถูกบันทึกเป็นทฤษฎีบทที่มีจำนวนการพิสูจน์สูงสุด

ประวัติทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เกี่ยวข้องกับชื่อของพีทาโกรัสทฤษฎีบทเป็นที่รู้จักมานานก่อนการเกิดของปราชญ์ผู้ยิ่งใหญ่ ดังนั้น ในอียิปต์ ระหว่างการก่อสร้างโครงสร้าง อัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากถูกนำมาพิจารณาเมื่อห้าพันปีก่อน ตำราของชาวบาบิโลนกล่าวถึงอัตราส่วนของด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมมุมฉาก 1200 ปีก่อนการเกิดของพีทาโกรัส

คำถามเกิดขึ้นว่าทำไมเรื่องราวจึงกล่าวว่า - การเกิดขึ้นของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นของเขา? มีคำตอบเดียวเท่านั้น - เขาพิสูจน์อัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยม เขาทำในสิ่งที่ผู้ที่เพียงแค่ใช้อัตราส่วนกว้างยาวและด้านตรงข้ามมุมฉากที่กำหนดโดยประสบการณ์ไม่ได้ทำเมื่อหลายศตวรรษก่อน

จากชีวิตของพีทาโกรัส

นักวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ นักปรัชญา ผู้ยิ่งใหญ่ในอนาคต เกิดที่เกาะ Samos เมื่อ 570 ปีก่อนคริสตกาล เอกสารทางประวัติศาสตร์เก็บรักษาข้อมูลเกี่ยวกับบิดาของพีทาโกรัสซึ่งเป็นช่างแกะสลัก อัญมณีล้ำค่าแต่ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับแม่ พวกเขาพูดเกี่ยวกับเด็กที่เกิดมาว่านี่คือเด็กดีเด่นที่แสดงด้วย วัยเด็กความหลงใหลในดนตรีและบทกวี นักประวัติศาสตร์เชื่อว่า Hermodamant และ Pherekides of Syros เป็นครูของ Pythagoras รุ่นเยาว์ คนแรกแนะนำให้เด็กชายเข้าสู่โลกของ Muses และครั้งที่สองในฐานะปราชญ์และผู้ก่อตั้งโรงเรียนปรัชญาอิตาลีได้ชี้นำให้ชายหนุ่มจ้องมองไปที่โลโก้

เมื่ออายุได้ 22 ปี (548 ปีก่อนคริสตกาล) พีธากอรัสได้เดินทางไปที่นอคราติสเพื่อศึกษาภาษาและศาสนาของชาวอียิปต์ นอกจากนี้ เส้นทางของเขาอยู่ในเมมฟิส ซึ่งต้องขอบคุณนักบวชที่ผ่านการทดสอบอันชาญฉลาดของพวกเขา เขาเข้าใจเรขาคณิตของอียิปต์ ซึ่งบางทีอาจกระตุ้นให้ชายหนุ่มผู้อยากรู้อยากเห็นพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติศาสตร์จะกำหนดชื่อนี้ให้กับทฤษฎีบทในภายหลัง

ถูกจับโดยกษัตริย์แห่งบาบิโลน

ระหว่างทางกลับบ้านที่เฮลลาส พีธากอรัสถูกจับโดยกษัตริย์แห่งบาบิโลน แต่การถูกจองจำเป็นประโยชน์ต่อจิตใจที่อยากรู้อยากเห็นของนักคณิตศาสตร์มือใหม่ เขายังต้องเรียนรู้อีกมาก อันที่จริง ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา คณิตศาสตร์ในบาบิโลนได้รับการพัฒนามากกว่าในอียิปต์ เขาใช้เวลาสิบสองปีในการศึกษาคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และเวทมนตร์ และบางทีอาจเป็นเรขาคณิตแบบบาบิโลนที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์อัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมและประวัติการค้นพบทฤษฎีบท ปีทาโกรัสมีความรู้และเวลาเพียงพอสำหรับเรื่องนี้ แต่การที่สิ่งนี้เกิดขึ้นในบาบิโลน ไม่มีเอกสารยืนยันหรือหักล้างเรื่องนี้

ใน 530 ปีก่อนคริสตกาล Pythagoras หนีจากการถูกจองจำไปยังบ้านเกิดของเขาซึ่งเขาอาศัยอยู่ที่ศาลของ Polycrates ผู้ทรราชในสถานะกึ่งทาส ชีวิตเช่นนี้ไม่เหมาะกับพีทาโกรัสและเขาออกจากถ้ำ Samos แล้วไปทางใต้ของอิตาลีซึ่งในเวลานั้น อาณานิคมกรีกเปล้า

สำนักสงฆ์ลับๆ

บนพื้นฐานของอาณานิคมนี้ พีทาโกรัสจัดความลับ คำสั่งสงฆ์ซึ่งเป็นสหภาพทางศาสนาและ สังคมวิทยาศาสตร์พร้อมกัน สังคมนี้มีกฎบัตรซึ่งพูดถึงการปฏิบัติตามวิถีชีวิตพิเศษ

พีทาโกรัสแย้งว่าเพื่อที่จะเข้าใจพระเจ้า บุคคลต้องรู้วิทยาศาสตร์เช่นพีชคณิตและเรขาคณิต รู้ดาราศาสตร์และเข้าใจดนตรี งานวิจัยถูกลดทอนความรู้ด้านความลึกลับของตัวเลขและปรัชญา ควรสังเกตว่าหลักการที่พีธากอรัสเทศน์ในเวลานั้นมีเหตุผลในการเลียนแบบในปัจจุบัน

การค้นพบหลายอย่างที่ทำโดยสาวกของ Pythagoras มาจากเขา อย่างไรก็ตาม ในระยะสั้น ประวัติความเป็นมาของการสร้างทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักประวัติศาสตร์และนักชีวประวัติในสมัยโบราณในสมัยนั้นมีความเกี่ยวข้องโดยตรงกับชื่อของปราชญ์ นักคิด และนักคณิตศาสตร์คนนี้

คำสอนของพีทาโกรัส

บางทีความคิดของการเชื่อมต่อของทฤษฎีบทกับชื่อของพีทาโกรัสได้รับแจ้งจากคำแถลงของนักประวัติศาสตร์เกี่ยวกับชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ว่าในรูปสามเหลี่ยมฉาวโฉ่ที่มีขาและด้านตรงข้ามมุมฉากปรากฏการณ์ทั้งหมดในชีวิตของเรานั้นถูกเข้ารหัส และสามเหลี่ยมนี้คือ "กุญแจ" ในการแก้ปัญหาทั้งหมดที่เกิดขึ้น นักปราชญ์ผู้ยิ่งใหญ่กล่าวว่าเราควรเห็นสามเหลี่ยม จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วสองในสาม

พีธากอรัสเล่าเกี่ยวกับการสอนของเขาให้นักเรียนฟังด้วยวาจาเท่านั้น โดยไม่จดบันทึกใดๆ โดยเก็บเป็นความลับ เสียดายการสอน นักปรัชญาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดไม่รอดมาจนถึงทุกวันนี้ ได้รั่วไหลออกมาบ้างแล้ว แต่ไม่สามารถบอกได้ว่าจริงเท็จแค่ไหนและเท็จเพียงใดในสิ่งที่รู้แล้ว แม้แต่กับประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ก็ไม่ใช่ทุกสิ่งที่แน่นอน นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์สงสัยการประพันธ์ของพีทาโกรัสในความเห็นของพวกเขาทฤษฎีบทนี้ถูกใช้มาหลายศตวรรษก่อนที่เขาเกิด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อาจจะดูแปลกๆ แต่ ข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์พีธากอรัสเองไม่มีข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เอง - ทั้งในเอกสารสำคัญและในแหล่งข้อมูลอื่น ในยุคปัจจุบันเชื่อกันว่าไม่ใช่ของใครอื่นนอกจากตัวยูคลิดเอง

มีหลักฐานของหนึ่งในนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด Moritz Cantor ผู้ค้นพบกระดาษปาปิรัสที่เก็บไว้ในพิพิธภัณฑ์เบอร์ลินซึ่งเขียนโดยชาวอียิปต์ประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล อี ความเท่าเทียมกัน ซึ่งอ่านว่า: 3² + 4² = 5²

สั้น ๆ จากประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

การกำหนดทฤษฎีบทจาก "จุดเริ่มต้น" แบบยุคลิดในการแปลฟังดูเหมือนกับการตีความสมัยใหม่ ไม่มีอะไรใหม่ในการอ่านของเธอ: สี่เหลี่ยมด้านตรงข้าม มุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประชิดมุมฉาก ความจริงที่ว่าอารยธรรมโบราณของอินเดียและจีนใช้ทฤษฎีบทนี้ได้รับการยืนยันโดยบทความ Zhou Bi Suan Jin ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับสามเหลี่ยมอียิปต์ ซึ่งอธิบายอัตราส่วนกว้างยาวเป็น 3:4:5

ที่น่าสนใจไม่น้อยคือหนังสือคณิตศาสตร์จีนอีกเล่ม Chu-Pei ซึ่งกล่าวถึง สามเหลี่ยมพีทาโกรัสพร้อมคำอธิบายและภาพวาดที่สอดคล้องกับภาพวาดของเรขาคณิตฮินดูของ Bashara เกี่ยวกับตัวสามเหลี่ยม หนังสือบอกว่าถ้ามุมฉากสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบได้ เส้นที่เชื่อมปลายทั้งสองด้านจะเท่ากับห้า ถ้าฐานเป็นสาม และสูงเป็นสี่

บทความอินเดีย "Sulva Sutra" ย้อนหลังไปถึงประมาณศตวรรษที่ 7-5 ก่อนคริสต์ศักราช e. บอกเกี่ยวกับการสร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมอียิปต์

บทพิสูจน์ทฤษฎีบท

ในยุคกลาง นักเรียนถือว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทก็เช่นกัน การทำงานอย่างหนัก. นักเรียนที่อ่อนแอได้เรียนรู้ทฤษฎีบทด้วยใจโดยไม่เข้าใจความหมายของการพิสูจน์ ในเรื่องนี้พวกเขาได้รับฉายาว่า "ลา" เพราะทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นอุปสรรคที่ผ่านไม่ได้สำหรับพวกเขาเช่นสะพานสำหรับลา ในยุคกลาง นักเรียนคิดกลอนไพเราะเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากที่สุด วิธีง่ายๆเราควรวัดด้านข้างโดยไม่ต้องใช้แนวคิดของพื้นที่ในการพิสูจน์ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ c และ a และ b อยู่ประชิดกัน ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้สมการ: a 2 + b 2 \u003d c 2 ข้อความนี้ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นได้รับการยืนยันโดยการวัดความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

หากเราเริ่มต้นการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยพิจารณาจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่อยู่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เราสามารถกำหนดพื้นที่ของรูปทั้งหมดได้ มันจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และในทางกลับกัน ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านใน

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 ซึ่งต้องพิสูจน์

คุณค่าทางปฏิบัติทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้เพื่อค้นหาความยาวของส่วนโดยไม่ต้องวัด ในระหว่างการก่อสร้างโครงสร้างจะคำนวณระยะทางการวางตำแหน่งของตัวรองรับและคานกำหนดจุดศูนย์ถ่วง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้และทั้งหมด เทคโนโลยีที่ทันสมัย. พวกเขาไม่ลืมทฤษฎีบทเมื่อสร้างภาพยนตร์ในมิติ 3D-6D โดยที่นอกเหนือจากค่าปกติ 3 ค่า ได้แก่ ความสูง ความยาว ความกว้าง เวลา กลิ่น และรสชาติ รสชาติและกลิ่นเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทอย่างไร? ทุกอย่างง่ายมาก - เมื่อแสดงภาพยนตร์ คุณต้องคำนวณจากที่และกลิ่นและรสชาติที่จะกำกับในหอประชุม

มันเป็นเพียงจุดเริ่มต้น ขอบเขตที่ไร้ขอบเขตสำหรับการค้นพบและสร้างสรรค์เทคโนโลยีใหม่ ๆ รอคอยจิตใจที่อยากรู้อยากเห็น

การวัดพื้นที่ของตัวเลขทางเรขาคณิต

§ 58. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1 .

__________
1 พีทาโกรัสเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกที่มีชีวิตอยู่เมื่อ 2500 ปีก่อน (564-473 ปีก่อนคริสตกาล)
_________

ให้สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านของใคร เอ, ขและ กับ(dev. 267).

มาสร้างสี่เหลี่ยมด้านข้างกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้ตามลำดับ เอ 2 , ข 2 และ กับ 2. มาพิสูจน์กัน กับ 2 = 2 +ข 2 .

มาสร้าง MKOR สองช่องและ M"K"O"R" กัน (รูปที่ 268, 269) กัน โดยให้ส่วนด้านข้างของพวกมันแต่ละส่วนเท่ากับผลรวมของขาของสามเหลี่ยม ABC มุมฉาก

เมื่อสร้างเสร็จตามรูปวาด 268 และ 269 ในสี่เหลี่ยมเหล่านี้แล้ว เราจะเห็นว่า MKOR สี่เหลี่ยมแบ่งออกเป็นสองช่องพร้อมพื้นที่ เอ 2 และ ข 2 และสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูป ซึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC สี่เหลี่ยมจตุรัส M"K"O"R" แบ่งออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (แรเงาในรูปวาด 269) และสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป ซึ่งแต่ละรูปมีค่าเท่ากับสามเหลี่ยม ABC รูปสี่เหลี่ยมแรเงาเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากด้านเท่ากัน (แต่ละด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ กับ) และมุมที่ถูกต้อง / 1 + / 2 = 90° ดังนั้น / 3 = 90°)

ดังนั้นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา (ในรูปวาด 268 สี่เหลี่ยมเหล่านี้จะถูกแรเงา) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม MKOR โดยไม่มีผลรวม สี่ สามเหลี่ยมเท่ากับและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (ในรูปที่ 269 สี่เหลี่ยมนี้ยังแรเงาด้วย) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส M "K" O "R" เท่ากับกำลังสองของ MKOR โดยไม่มีผลรวมของพื้นที่สี่รูปสามเหลี่ยมเดียวกัน ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจึงเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา

เราได้สูตร กับ 2 = 2 +ข 2 ที่ไหน กับ- ด้านตรงข้ามมุมฉาก เอและ ข- ขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถสรุปได้ดังนี้:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขา

จากสูตร กับ 2 = 2 +ข 2 คุณจะได้รับสูตรต่อไปนี้:

เอ 2 = กับ 2 - ข 2 ;
ข 2 = กับ 2 - เอ 2 .

สูตรเหล่านี้สามารถใช้เพื่อค้นหา บุคคลที่ไม่รู้จักสามเหลี่ยมมุมฉากให้สองด้าน
ตัวอย่างเช่น:

ก) ถ้าขาได้รับ เอ= 4 ซม. ข\u003d 3 ซม. จากนั้นคุณจะพบด้านตรงข้ามมุมฉาก ( กับ):
กับ 2 = 2 +ข 2 คือ กับ 2 = 4 2 + 3 2 ; ด้วย 2 = 25 ดังนั้น กับ= √25 =5 (ซม.);

b) ถ้าให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ= 17 ซม. และขา เอ= 8 ซม. แล้วคุณจะพบขาอีกข้างหนึ่ง ( ข):

ข 2 = กับ 2 - เอ 2 คือ ข 2 = 17 2 - 8 2 ; ข 2 = 225 ดังนั้น ข= √225 = 15 (ซม.)

ผลที่ตามมา: ถ้าอยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ABC และ A 1 B 1 C 1 ด้านตรงข้ามมุมฉาก กับและ กับ 1 เท่ากันและขา ขสามเหลี่ยม ABC มากกว่าขา ข 1 สามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1,
แล้วขา เอสามเหลี่ยม ABC น้อยกว่าขา เอ 1 สามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 . (วาดรูปเพื่ออธิบายผลที่ตามมานี้)

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้รับ:

เอ 2 = กับ 2 - ข 2 ,
เอ 1 2 = กับ 1 2 - ข 1 2

ในสูตรที่เขียน ค่า minuends จะเท่ากัน และ subtrahend ในสูตรแรกจะมากกว่า subtrahend ในสูตรที่สอง ดังนั้น ความแตกต่างแรกจะน้อยกว่าวินาที
เช่น. เอ 2 < เอ 12 . ที่ไหน เอ< เอ 1 .

การออกกำลังกาย.

1. ใช้รูปวาด 270 พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

2. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 12 ซม. อีกข้างยาว 5 ซม. คำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้

3. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 10 ซม. ขาข้างหนึ่งคือ 8 ซม. คำนวณความยาวของขาอีกข้างของสามเหลี่ยมนี้

4. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 37 ซม. ขาข้างหนึ่งของมันคือ 35 ซม. คำนวณความยาวของขาอีกข้างของสามเหลี่ยมนี้

5. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองเท่าของพื้นที่ที่กำหนด

6. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองเท่าของพื้นที่ที่กำหนด คำแนะนำ.ถือไว้ ให้สี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมเหล่านี้จะเป็นสี่เหลี่ยมที่ต้องการ

7. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 12 ซม. และ 15 ซม. ตามลำดับ คำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ด้วยความแม่นยำ 0.1 ซม.

8. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 20 ซม. ขาข้างหนึ่งคือ 15 ซม. คำนวณความยาวของขาอีกข้างให้ใกล้ที่สุด 0.1 ซม.

9. บันไดควรยาวเท่าใดจึงจะสามารถติดตั้งกับหน้าต่างที่ความสูง 6 ม. หากปลายล่างของบันไดควรอยู่ห่างจากอาคาร 2.5 ม. (ประณาม 271.)