อัลกอริทึมสำหรับหาผลต่างของฟังก์ชัน ทฤษฎีบทอนุพันธ์พื้นฐาน

ดิฟเฟอเรนเชียล... สำหรับบางคน นี่เป็นเรื่องที่ห่างไกลอย่างสวยงาม และสำหรับบางคน - คำที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ที่เข้าใจยาก แต่ถ้านี่คือของขวัญที่รุนแรงของคุณ บทความของเราจะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธี "เตรียม" ค่าดิฟเฟอเรนเชียลอย่างถูกต้องและสิ่งที่ควร "ให้บริการ"

ความแตกต่างทางคณิตศาสตร์หมายถึง ส่วนเชิงเส้นการเพิ่มฟังก์ชัน แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับการเขียนอนุพันธ์ตามไลบ์นิซ f′(x 0) = df/dx·x 0 จากสิ่งนี้ ดิฟเฟอเรนเชียลอันดับหนึ่งสำหรับฟังก์ชัน f ที่กำหนดไว้ในชุด X มีรูปแบบดังต่อไปนี้: d x0 f = f (x 0) d x0 x อย่างที่คุณเห็น ในการหาค่าดิฟเฟอเรนเชียล คุณต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างอิสระ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ที่จะทำซ้ำกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์เพื่อให้เข้าใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นในอนาคต ลองมาดูความแตกต่างด้วยตัวอย่างให้ละเอียดยิ่งขึ้น จำเป็นต้องค้นหาส่วนต่างของฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบนี้: y = x 3 -x 4 อันดับแรก เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 ทีนี้ การหาค่าดิฟเฟอเรนเชียลนั้นง่ายเหมือนปลอกกระสุนลูกแพร์: df = (3x 3 -4x 3) dx ตอนนี้เราได้รับดิฟเฟอเรนเชียลในรูปแบบของสูตรแล้ว ในทางปฏิบัติ เรามักจะสนใจค่าดิจิตัลของดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับพารามิเตอร์เฉพาะที่กำหนด x และ ∆x มีหลายกรณีที่ฟังก์ชันถูกแสดงโดยปริยายในรูปของ x ตัวอย่างเช่น y = x²-y x อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้: 2x-(y x)′ แต่จะรับ (y x)' ได้อย่างไร? ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ซับซ้อน และแยกความแตกต่างตามกฎที่เกี่ยวข้อง: df/dx = df/dy·dy/dx ที่ กรณีนี้: df/dy = x y x-1 และ dy/dx = y′ ตอนนี้เรารวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน: y′ = 2x-(x y x-1 y′) เราจัดกลุ่มผู้เล่นทั้งหมดในทิศทางเดียว: (1+x y x-1) y′ = 2x และผลลัพธ์ที่ได้คือ: y′ = 2x/(1+x y x-1) = dy/dx ตามนี้ dy = 2x dx/(1+x y x-1) แน่นอนว่าเป็นเรื่องดีที่งานดังกล่าวหายาก แต่ตอนนี้คุณพร้อมสำหรับพวกเขาแล้ว นอกเหนือจากผลต่างที่พิจารณาของลำดับที่หนึ่งแล้ว ยังมีผลต่างของลำดับที่สูงกว่า ลองหาผลต่างของฟังก์ชัน d กัน /ง(x 3 )· (x 3 – 2 x6 – x9 ) ซึ่งจะเป็นค่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองสำหรับ f(x). ตามสูตร f′(u) = d/du f(u) โดยที่ u = f(x) เราหา u = x 3 . เราได้รับ: d/d(u) (u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)' = 1-4u-3u 2 . เราคืนสินค้าทดแทนและรับคำตอบ - 1 – x 3 – x 6 , x≠0 บริการออนไลน์ยังสามารถเป็นผู้ช่วยในการค้นหาส่วนต่าง โดยปกติคุณจะไม่ใช้มันในการควบคุมหรือการสอบ แต่ด้วยการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชันโดยอิสระ บทบาทของโซลูชันจึงประเมินค่าสูงไปได้ยาก นอกจากผลลัพธ์แล้ว มันยังแสดงโซลูชันระดับกลาง กราฟ และ อินทิกรัลไม่ จำกัด ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลเช่นเดียวกับรากของสมการเชิงอนุพันธ์ ข้อเสียเพียงอย่างเดียวคือเขียนฟังก์ชันในบรรทัดเดียวเมื่อคุณป้อน แต่คุณสามารถคุ้นเคยกับสิ่งนี้เมื่อเวลาผ่านไป แน่นอนว่าบริการดังกล่าวไม่สามารถรับมือกับฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนได้ แต่ทุกสิ่งที่เรียบง่ายนั้นยากเกินไปสำหรับเขา ใช้งานได้จริงดิฟเฟอเรนเชียลส่วนใหญ่พบในฟิสิกส์และเศรษฐศาสตร์ ดังนั้น ในวิชาฟิสิกส์ ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดความเร็วและอนุพันธ์ของมัน ซึ่งก็คือความเร่ง มักจะแก้ไขได้โดยการหาอนุพันธ์ และในทางเศรษฐศาสตร์ ดิฟเฟอเรนเชียลเป็นส่วนสำคัญของการคำนวณประสิทธิภาพขององค์กรและนโยบายการคลังของรัฐ เช่น ผลกระทบของเลเวอเรจทางการเงิน

บทความนี้ทบทวน งานทั่วไปความแตกต่าง ดี คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นนักศึกษาของมหาวิทยาลัยมักจะมีงานมากขึ้นเกี่ยวกับการใช้ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณ เช่นเดียวกับการค้นหาวิธีแก้ปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์. แต่สิ่งสำคัญคือด้วยความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณสามารถจัดการกับงานใหม่ทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย

การบรรยาย 10. ความแตกต่างของฟังก์ชัน ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ โรลล์ ลากรองจ์ และโคชี

1. ความแตกต่างของฟังก์ชัน

1.1. นิยามของส่วนต่างของฟังก์ชัน

จาก แนวคิดของอนุพันธ์นั้นสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดพื้นฐานอื่น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน

นิยาม 1. ฟังก์ชัน y = f (x) ที่กำหนดไว้ในบางย่านของจุด x เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอต์ที่จุด x ถ้าเพิ่มขึ้นที่จุดนี้

y = ฉ (x + x) − ฉ (x)

มีแบบฟอร์ม

y = A x + α(Δx) x,

โดยที่ A เป็นค่าคงที่และฟังก์ชัน α(Δx) → 0 เป็น x → 0

ให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ จากนั้นให้คำจำกัดความต่อไปนี้

ความหมาย 2. เชิงเส้นหลัก	ส่วน ก x	เพิ่มขึ้น	ฟังก์ชัน f(x)
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่จุด x และเขียนแทนด้วย dy
ทางนี้,
y = dy + α(Δx) x
หมายเหตุ 1. ค่า dy =	x เรียกว่า	ส่วนสายหลัก
เพิ่มขึ้น y เนื่องจากส่วนอื่น ๆ ของส่วนเพิ่ม α(Δx)			x สำหรับขนาดเล็ก
x จะเล็กกว่า A มาก

ข้อความ 1. เพื่อให้ฟังก์ชัน y = f (x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จำเป็นและเพียงพอที่จะมีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

การพิสูจน์. ความจำเป็น. ให้ฟังก์ชัน f (x) หาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง

x + α(Δx) x, สำหรับ

x → 0 จากนั้น

A + limα(Δx) = A

ดังนั้น อนุพันธ์ f ′ (x) จึงมีอยู่แล้วและเท่ากับ A

ความเพียงพอ ให้มันมีอยู่

f ′(x) คือมีลิมิต

ฟ'(x).

F ′(x) + α(Δx),

y = f′ (x)Δx + α(Δx) x

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายหมายความว่าฟังก์ชัน y = f (x) หาอนุพันธ์ได้

1.2. ความรู้สึกทางเรขาคณิตความแตกต่าง

ให้ l แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด M (x, f (x)) (รูปที่ 1) ให้เราแสดงว่า dy เป็นค่าของส่วน P Q แท้จริงแล้ว

dy = f ′ (x)Δx = tg α x =

" "ล

"" " "

" α

ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียล dy ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x จะเท่ากับส่วนเพิ่มของพิกัดของเส้นสัมผัส l ที่จุดนั้น

1.3. ความแปรปรวนของรูปร่างที่แตกต่างกัน

ถ้า x เป็นตัวแปรอิสระ แล้ว

dy = f′ (x)dx

สมมติว่า x = ϕ(t) โดยที่ t เป็นตัวแปรอิสระ y = f (ϕ(t)) แล้ว

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

ดังนั้น รูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลจึงไม่เปลี่ยนแปลง แม้ว่า x จะไม่ใช่ตัวแปรอิสระก็ตาม คุณสมบัตินี้เรียกว่าความไม่แปรเปลี่ยนของรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียล

1.4. การประยุกต์ใช้ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณ

จากสูตร y = dy + α(Δx) x ละทิ้ง α(Δx) x เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับค่าเล็ก

y ≈ dy = f ′ (x)Δx

จากที่นี่เราได้รับ

f (x + x) - f (x) ≈ f′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f′ (x)Δx (1) สูตร (1) ใช้ในการคำนวณโดยประมาณ

1.5. ส่วนต่างลำดับที่สูงขึ้น

ตามนิยาม ดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด x คือดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลแรก ณ จุดนั้น ซึ่งแสดงแทนได้

d2 y = d(dy).

ลองคำนวณส่วนต่างที่สอง:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)' dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(เมื่อคำนวณอนุพันธ์ (f ′ (x)dx)′ เราพิจารณาว่าค่า dx ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ x ดังนั้นจึงมีค่าคงที่ในระหว่างการหาอนุพันธ์)

โดยทั่วไป ดิฟเฟอเรนเชียลของคำสั่ง n ของฟังก์ชัน y = f (x) คือค่าแรก

ความแตกต่าง

จากความแตกต่าง

ฟังก์ชันนี้ซึ่ง

แสดงโดย

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x)dxn .

ค้นหาความแตกต่างของฟังก์ชัน y = arctg x

การตัดสินใจ. dy = (โค้ง x)' dx =

1+x2

ค้นหาความแตกต่างของคำสั่งที่หนึ่งและสองของฟังก์ชัน v = e2t

การตัดสินใจ. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2

เปรียบเทียบส่วนเพิ่มและส่วนต่างของฟังก์ชัน y = 2x3 + 5x2 .

การตัดสินใจ. เราพบว่า

5x2=

10x)∆x + (6x + 5)∆x

dy = (6x2 + 10x)dx

ความแตกต่างระหว่างการเพิ่มขึ้น

y และดิฟเฟอเรนเชียล dy มีค่าสูงกว่าเล็กน้อย

สั่งเทียบกับ

x เท่ากับ (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 .

ตัวอย่างที่ 4 คำนวณค่าโดยประมาณของพื้นที่วงกลมที่มีรัศมี 3.02 ม.

การตัดสินใจ. ลองใช้สูตร S = πr2 กัน การตั้งค่า r = 3, r = 0.02 เรามี

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0.02 = 0.12π

ดังนั้น ค่าโดยประมาณของพื้นที่วงกลมคือ 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (ม. 2 ).

ตัวอย่างที่ 5 คำนวณค่าโดยประมาณของอาร์คซิน 0.51 ด้วยความแม่นยำ 0.001 การตัดสินใจ. พิจารณาฟังก์ชัน y = arcsin x ให้ x = 0.5 , x = 0.01 และ

การใช้สูตร (1)

x) ≈ อาร์คซิน x + (อาร์คซิน x)′

(อาร์คซิแนกซ์)'

≈ อาร์คซิน 0.5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

ตัวอย่างที่ 6 คำนวณประมาณ √ 3

ด้วยความแม่นยำ 0.0001

การตัดสินใจ. พิจารณาฟังก์ชัน y = √ 3

และใส่ x = 8,

x = 0, 01. ในทำนองเดียวกัน

ตามสูตร (1)

(√ 3x)' =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ x,

3√ 3 64

0.01 = 2 + 3 4 0.01 ≈ 2.0008

หน้า 8, 01 ≈√ 8 +

2. ทฤษฎีบทของ Fermat, Rolle, Lagrange และ Cauchy

คำจำกัดความ 3 ว่ากันว่าฟังก์ชัน y = f (x) มี (หรือถึง) ที่จุด α สูงสุดในท้องถิ่น(ขั้นต่ำ) หากมีย่าน U (α) ของจุด α เช่นนั้นสำหรับ x U (α) ทั้งหมด :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของค่าท้องถิ่นจะรวมเป็นหนึ่งด้วยชื่อสามัญ

สุดขีดในท้องถิ่น.

ฟังก์ชันที่มีกราฟแสดงในรูปที่ 4 มีค่าสูงสุดในพื้นที่ที่จุด β, β1 และค่าต่ำสุดในพื้นที่ที่จุด α, α1

ข้อความ 2. (แฟร์มาต์) ให้ฟังก์ชัน y = f (x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด α และมีค่าสุดสุดเฉพาะที่ ณ จุดนี้ จากนั้น f ′ (α) = 0

แนวคิดเบื้องหลังการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์มีดังนี้ เพื่อความแน่นอน f (x) มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด α ตามนิยามแล้ว f ′ (α) คือลิมิต x → 0 ของความสัมพันธ์

	f (α + x) − f (α)

แต่สำหรับขนาดเล็กเพียงพอ (by ค่าสัมบูรณ์) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0
ดังนั้นด้วยประการฉะนี้	x เราได้รับ


มันจึงเป็นไปตามนั้น
	f ′ (α) = ลิม g(Δx) = 0

ทำหลักฐานทั้งหมดด้วยตัวคุณเอง
คำชี้แจง 3. (ม้วน)	ถ้า y = f(x) เปิดต่อเนื่อง	แยกตาม
(a, b) และ f (a) = f (b) จากนั้นมีจุด α (a, b) อยู่		ว่า f ′ (α) = 0

การพิสูจน์. โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันในกลุ่ม มีจุด x1 , x2 เช่นนั้น

สุดขีด ตามสมมติฐานของทฤษฎีบท f (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด α โดยทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ f ′ (α) = 0 ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของ Rolle มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย (รูปที่ 5): ถ้าพิกัดสุดขั้วของเส้นโค้ง y = f (x) เท่ากัน แสดงว่ามีจุดบนเส้นโค้ง y = f (x) ซึ่งสัมผัสกับเส้นโค้ง ขนานกับแกนวัว

การพิสูจน์. โปรดทราบว่า g(a) =6 g(b). อันที่จริง มิฉะนั้น ฟังก์ชัน g(x) จะเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดของทฤษฎีบทของ Rolle ดังนั้น จะมีจุด β (a, b) ที่ทำให้ g′ (β) = 0 แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับสมมติฐานของทฤษฎีบท

พิจารณาฟังก์ชันตัวช่วยต่อไปนี้:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a)). ก(ข) - ก(ก)

ฟังก์ชัน F (x) เปิดต่อเนื่อง ,			หาอนุพันธ์ได้ใน (a, b) นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัด
อะไร'	F (a) = F (b) = 0 ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของ Rolle มีจุด α (a, b) เช่นนั้น
F (α) = 0 เช่น
	ฉ'(α)				g' (α) = 0
		- ก.(ข)
นี่หมายความว่า

				ฉ'(α)

				g' (α)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อความ 5. (ลากรองจ์) ถ้า y = f (x) ต่อเนื่องบน , หาอนุพันธ์ได้บน (a, b) แสดงว่ามี α (a, b) เช่นนั้น

เอฟ' (α)

การพิสูจน์. ทฤษฎีบทลากรองจ์ต่อจากทฤษฎีบท Cauchy โดยตรงสำหรับ g(x) =

ในทางเรขาคณิต ทฤษฎีบทของลากรองจ์หมายความว่าบนเส้นโค้ง y = f (x) ระหว่างจุดต่างๆ

A และ B มีจุด C ซึ่งเป็นเส้นสัมผัสที่ขนานกับคอร์ด AB ย

ทฤษฎีบทของ Rolle ในส่วนนี้

ดำเนินการ ค่าค

กำหนด

สมการ

f ′ (x) = 2x − 6 = 0 เช่น c = 3

ค้นหาจุด

ม. ซึ่งใน

ตัวอย่างที่ 8 บนส่วนโค้ง

เส้นโค้ง AB y = 2x − x

สัมผัสขนานกับคอร์ด

การตัดสินใจ. ฟังก์ชัน y = 2x - x

มีความต่อเนื่องและแตกต่างสำหรับค่าทั้งหมด

x. โดยทฤษฎีบทของลากรองจ์ ระหว่างสองค่า a = 1

b = 3 ค่าที่มีอยู่

x = c เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c) โดยที่ y′ = 2 − 2x แทนค่าที่สอดคล้องกัน เราจะได้

y(3) − y(1) = (3 − 1) y (ค),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c),

ดังนั้น c = 2, y(2) = 0

ดังนั้น จุด M มีพิกัด (2; 0)

ตัวอย่างที่ 9 บนส่วนโค้ง AB ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก

x = t2 , y = t3 , ค้นหาจุด

M ซึ่งเส้นสัมผัสขนานกับคอร์ด AB ถ้า

จุด A และ B สอดคล้องกับค่า t = 1 และ t = 3

การตัดสินใจ. ความลาดชันคอร์ด AB คือ

และปัจจัยความชัน

สัมผัสกันที่จุด M (สำหรับ

t = c) คือ

คุณ

(ค)/x'

x' = 2t,

y' = 3t2 . สำหรับ

คำจำกัดความของ c โดยทฤษฎีบท Cauchy เราได้สมการ

yt' (ค)

xt' (ค)

เช่น c = 13/6

ค่าที่พบ c เป็นไปตามอสมการ 1< c < 3. Подставив значение t = c в สมการพาราเมตริกเส้นโค้ง เราจะได้ x = 169/36, y = 2197/216 ดังนั้น จุดที่ต้องการม. (169/36; 2197/216).

ความแตกต่างทางลอการิทึม

ความแตกต่างของฟังก์ชันจำนวนมากจะง่ายขึ้นหากฟังก์ชันเหล่านี้ถูกทำให้เป็นลอการิทึมเบื้องต้น โดยดำเนินการดังนี้ หากคุณจำเป็นต้องหา ย" จากสมการ y=ฉ(x)จากนั้นคุณสามารถ:

ตัวอย่าง.

ฟังก์ชัน EXPONENTIAL-POWER และความแตกต่าง

ชี้แจงฟังก์ชันคือฟังก์ชันของฟอร์ม y = คุณ โวลต์, ที่ไหน คุณ=คุณ(x), v=v(x).

การหาอนุพันธ์ของลอการิทึมใช้ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง.

ตารางอนุพันธ์

มารวมสูตรพื้นฐานและกฎความแตกต่างที่ได้มาก่อนหน้านี้ในตารางเดียว ทุกที่ที่เราจะถือว่า คุณ=คุณ(x), วี=วี(x), С=คอนส สำหรับอนุพันธ์หลัก ฟังก์ชันพื้นฐานเราจะใช้ทฤษฎีบทอนุพันธ์ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน.

ตัวอย่าง.

แนวคิดของความแตกต่างของฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่างความแตกต่างและอนุพันธ์

ให้ฟังก์ชั่น y=ฉ(x)สามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วง [ ก; ข]. อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เอ็กซ์ 0 Î [ ก; ข] ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

ดังนั้นโดยคุณสมบัติของขีด

การคูณทุกพจน์ของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นด้วย Δ x, เราได้รับ:

Δ ย = ฉ"(x 0)·Δ x+ a Δ x.

ดังนั้น การเพิ่มขึ้นเล็กน้อย Δ ยฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอต y=ฉ(x)สามารถแสดงเป็นผลรวมของพจน์สองพจน์ ซึ่งพจน์แรกคือ (for ฉ"(เอ็กซ์ 0) ≠ 0) ส่วนหลักของการเพิ่มเชิงเส้นเทียบกับ Δ xและค่าที่สองคือค่าเล็กน้อยของลำดับที่สูงกว่า Δ x. ส่วนสำคัญการเพิ่มฟังก์ชัน เช่น ฉ"(เอ็กซ์ 0)·Δ xเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์ 0 และแสดงโดย ตาย.

ดังนั้นหากฟังก์ชั่น y=ฉ(x)มีอนุพันธ์ ฉ"(x) ที่จุด xแล้วผลคูณของอนุพันธ์ ฉ"(x) เพิ่มขึ้นทีละ Δ xเรียกว่าการโต้เถียง ความแตกต่างของฟังก์ชันและแสดงว่า:

มาหาผลต่างของฟังก์ชันกัน y=x. ในกรณีนี้ ย" = (x)" = 1 ดังนั้น ตาย=ดีเอ็กซ์=Δ x. ดังนั้นความแตกต่าง ดีเอ็กซ์ตัวแปรอิสระ xเกิดขึ้นพร้อมกับการเพิ่มขึ้นของมัน Δ x. ดังนั้น เราสามารถเขียนสูตร (1) ได้ดังนี้

ตาย = ฉ "(x)ดีเอ็กซ์

แต่จากความสัมพันธ์นี้เป็นไปตามนั้น ดังนั้นอนุพันธ์ ฉ "(x) สามารถดูได้ว่าเป็นอัตราส่วนของส่วนต่างของฟังก์ชันต่อส่วนต่างของตัวแปรอิสระ

ก่อนหน้านี้เราได้แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งแสดงถึงการมีอยู่ของความแตกต่าง ณ จุดนั้น

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน

ถ้าสำหรับค่าที่กำหนด xการเพิ่มฟังก์ชัน Δ ย = ฉ(x+Δ x) – ฉ(x)สามารถแสดงเป็น Δ ได้ ย = ก·Δ x+ α โดยที่ α เป็นปริมาณเล็กน้อยที่เป็นไปตามเงื่อนไข กล่าวคือ ถ้าสำหรับฟังก์ชั่น y=ฉ(x)มีความแตกต่าง dy=A dxในบางจุด xแล้วฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์ที่จุด xและ ฉ "(x)=และ.

อันที่จริง เรามี และตั้งแต่สำหรับ Δ x→0 จากนั้น

ดังนั้นจึงมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการมีอยู่ของอนุพันธ์ แนวคิดทั้งสองมีความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง.ค้นหาความแตกต่างของฟังก์ชัน:

ความหมายทางเรขาคณิตของผลต่าง

พิจารณาฟังก์ชัน y=ฉ(x)และเส้นโค้งที่สอดคล้องกัน มาเข้าโค้งกันเถอะ จุดโดยพลการ ม(x; y),วาดเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนี้และแสดงด้วย α มุมที่เส้นสัมผัสกับทิศทางบวกของแกน วัว. เราให้ตัวแปรอิสระ xเพิ่มขึ้น Δ xแล้วฟังก์ชันจะได้รับส่วนเพิ่ม Δ ย = นาโนเมตร 1 . ค่า x+Δ xและ ย+Δ ยบนทางโค้ง y = ฉ(x)จุดจะตรงกัน

ม 1 (x+Δ x; ย+Δ ย).

จาก Δ ม.นหา เอ็นที=มิน tgα เพราะ tgα = ฉ "(x) ก มิน = Δ x, แล้ว เอ็นที = ฉ "(x)·Δ x. แต่ตามนิยามของดิฟเฟอเรนเชียล ตาย=ฉ "(x)·Δ x, ดังนั้น ตาย = เอ็นที.

ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน f(x) ที่สอดคล้องกับค่าที่กำหนดของ x และ Δx จึงเท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุดที่กำหนด x

ทฤษฎีบทค่าคงที่ผลต่าง

เราเห็นก่อนหน้านี้ว่าถ้า ยูเป็นตัวแปรอิสระ แล้วก็ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ย=ฉ "(ยู) มีรูปแบบ ตาย = ฉ "(ยู)ดู่.

ให้เราแสดงว่าแบบฟอร์มนี้ยังคงอยู่ในกรณีที่ ยูไม่ใช่ตัวแปรอิสระ แต่เป็นฟังก์ชัน เช่น ค้นหานิพจน์สำหรับส่วนต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน ปล่อย y=f(u), u=g(x)หรือ y = ฉ(ก(x)). จากนั้นตามกฎความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดังนั้นโดยความหมาย

แต่ ช"(x)ดีเอ็กซ์= ดู่, ดังนั้น dy=f"(u)ดู่.

เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้แล้ว

ทฤษฎีบท.ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน y=f(คุณ), ซึ่ง คุณ=g(x), มีรูปแบบเดียวกัน dy=f"(u)ดู่ซึ่งมันจะมีถ้าอาร์กิวเมนต์กลาง ยูเป็นตัวแปรอิสระ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันของตัวแปรอิสระนั้นเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์อื่นหรือไม่ คุณสมบัติของดิฟเฟอเรนเชียลนี้เรียกว่า ค่าความแปรปรวนของรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล.

ตัวอย่าง.. หา ตาย.

โดยคำนึงถึงคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนของส่วนต่าง เราพบว่า

การใช้ผลต่างกับการคำนวณโดยประมาณ

ให้เราทราบค่าของฟังก์ชัน ย 0 =ฉ(x 0 ) และอนุพันธ์ของมัน ย 0 " = ฉ "(x0) ที่จุด x0. มาดูวิธีหาค่าของฟังก์ชันที่จุดปิดกัน x.

ดังที่เราได้ค้นพบแล้ว การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยสามารถแสดงเป็นผลรวม Δ ย=ตาย+α·Δ x, เช่น. การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันแตกต่างจากส่วนต่างด้วยจำนวนเล็กน้อย ดังนั้น ละเลยค่า Δ เล็กน้อย xเทอมที่สองในการคำนวณโดยประมาณ บางครั้งพวกเขาใช้ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Δ ย≈ตายหรือ Δ ย» ฉ"(x0)·Δ x.

เพราะตามนิยามแล้ว Δ ย = ฉ(x) – ฉ(x0), แล้ว ฉ(x) – ฉ(x0)≈ฉ"(x0)·Δ x.

ตัวอย่าง.

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ให้ฟังก์ชั่น y=ฉ(x)สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วงเวลา [ ก; ข]. มูลค่าอนุพันธ์ ฉ"(x) โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x, เช่น. อนุพันธ์ ฉ"(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรด้วย x. ให้ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์ด้วย เราได้รับสิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f(x)

อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสองหรือ อนุพันธ์อันดับสองจากฟังก์ชั่นนี้ y=ฉ(x)และแสดงว่า ย""หรือ ฉ""(x). ดังนั้น, ย"" = (ย")".

ตัวอย่างเช่น ถ้า ที่ = เอ็กซ์ 5 แล้ว ย"= 5x 4 , และ ย""= 20x 4 .

ในทำนองเดียวกัน ในทางกลับกัน อนุพันธ์อันดับสองก็สามารถแยกความแตกต่างได้เช่นกัน อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสองเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสามหรือ อนุพันธ์อันดับสามและเขียนแทนด้วย y"""หรือ f"""( x).

โดยทั่วไป, อนุพันธ์ลำดับที่ nจากฟังก์ชั่น ฉ(x)เรียกว่าอนุพันธ์ (ตัวแรก) ของอนุพันธ์ ( น– ลำดับที่ 1) และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ย(ก็ไม่เช่นกัน ฉ(น) ( x): ย(น) = ( ย(น-1))".

ดังนั้น เพื่อหาอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันที่กำหนด อนุพันธ์อันดับล่างทั้งหมดจะถูกหาตามลำดับ

ด้วยการเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก ทั้งสองอย่างนี้ถูกใช้อย่างแข็งขันมานานหลายศตวรรษในการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในกระบวนการของกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคของมนุษย์

การเกิดขึ้นของแนวคิดความแตกต่าง

อธิบายก่อนว่าความแตกต่างคืออะไร หนึ่งในผู้สร้าง (พร้อมกับไอแซก นิวตัน) แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ Gottfried Wilhelm Leibniz นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน ก่อนหน้านี้นักคณิตศาสตร์ 17 ศิลปะ ใช้ความคิดที่คลุมเครือและคลุมเครือมากเกี่ยวกับส่วนเล็ก ๆ ที่ "แบ่งแยกไม่ได้" ของส่วนใดส่วนหนึ่ง ฟังก์ชันที่รู้จักแทนค่าคงที่ที่น้อยมาก แต่ไม่เท่ากับศูนย์ซึ่งน้อยกว่าค่าของฟังก์ชันที่ไม่สามารถเป็นได้ จากที่นี่มีเพียงขั้นตอนเดียวในการแนะนำแนวคิดของการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันและการเพิ่มฟังก์ชันที่สอดคล้องกันซึ่งแสดงผ่านอนุพันธ์ของส่วนหลัง และขั้นตอนนี้เกือบจะพร้อมๆ กันโดยนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สองคนดังกล่าว

นิวตันและไลบ์นิซสร้างขึ้นจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติเร่งด่วนของกลศาสตร์ ซึ่งอุตสาหกรรมและเทคโนโลยีที่กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็วนำไปสู่วิทยาศาสตร์ วิธีทั่วไปการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (ส่วนใหญ่สัมพันธ์กับความเร็วเชิงกลของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามวิถีที่รู้จัก) ซึ่งนำไปสู่การแนะนำแนวคิดต่างๆ เช่น อนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และยังพบอัลกอริทึมสำหรับการแก้ ปัญหาผกผันวิธีการหาระยะทางที่เดินทางจากความเร็วที่ทราบ (ตัวแปร) ซึ่งนำไปสู่การเกิดขึ้นของแนวคิดของอินทิกรัล

ในผลงานของไลบ์นิซและนิวตัน เป็นครั้งแรกที่แนวคิดปรากฏว่าดิฟเฟอเรนเชียลเป็นส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชัน Δy ซึ่งเป็นสัดส่วนกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้สำเร็จในการคำนวณค่าของ หลัง. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พวกเขาค้นพบว่าส่วนเพิ่มของฟังก์ชันสามารถแสดง ณ จุดใดก็ได้ (ภายในขอบเขตของนิยาม) ในรูปอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น 0 ซึ่งเร็วกว่า Δx มาก

ตามที่ผู้ก่อตั้งการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ดิฟเฟอเรนเชียลเป็นเพียงพจน์แรกในนิพจน์สำหรับการเพิ่มฟังก์ชันใดๆ ยังไม่มีแนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับ พวกเขาเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าค่าของดิฟเฟอเรนเชียลมีแนวโน้มที่จะเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x)

ซึ่งแตกต่างจากนิวตันซึ่งเป็นนักฟิสิกส์เป็นหลักและพิจารณา เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือวิจัยเสริม งานทางกายภาพไลบ์นิซให้ความสนใจกับชุดเครื่องมือนี้มากขึ้น ซึ่งรวมถึงระบบการแสดงภาพและสัญลักษณ์ที่เข้าใจได้ ปริมาณทางคณิตศาสตร์. เขาเป็นผู้เสนอสัญกรณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชัน dy \u003d y "(x) dx, อาร์กิวเมนต์ dx และอนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบของอัตราส่วน y" (x) \u003d dy / dx .

คำจำกัดความที่ทันสมัย

อะไรคือความแตกต่างในแง่ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่? มันเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของการเพิ่มขึ้น ตัวแปร. ถ้าตัวแปร y รับค่า y = y 1 ก่อนแล้วจึง y = y 2 ดังนั้นผลต่าง y 2 ─ y 1 จะเรียกว่าส่วนเพิ่มของ y

การเพิ่มขึ้นสามารถเป็นค่าบวกได้ ติดลบและเท่ากับศูนย์ คำว่า "ส่วนเพิ่ม" เขียนแทนด้วย Δ สัญกรณ์ Δy (อ่านว่า "เดลต้า y") หมายถึงส่วนเพิ่มของ y ดังนั้น Δу = y 2 ─ y 1 .

ถ้าค่า Δу ฟังก์ชั่นโดยพลการ y = f (x) สามารถแสดงในรูปแบบมากกว่า Δx เอง จากนั้นเทอมแรก (“หลัก”) ซึ่งเป็นสัดส่วนกับ Δx คือดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับ y \u003d f (x) เขียนแทน dy หรือ df (x) ( อ่านว่า “de y”, “de ef จาก x”) ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลจึงเป็นส่วนประกอบเชิงเส้น "หลัก" ของการเพิ่มฟังก์ชันที่เกี่ยวกับ Δx

การตีความทางกล

ให้ s = f(t) เป็นระยะทางจากตำแหน่งเริ่มต้น (t คือเวลาเดินทาง) ส่วนเพิ่ม Δs คือเส้นทางของจุดในช่วงเวลา Δt และดิฟเฟอเรนเชียล ds = f "(t) Δt คือเส้นทางที่จุดนั้นเดินทางในเวลาเดียวกัน Δt ถ้ายังคงความเร็ว f" (t ) ถึงตามเวลา t สำหรับ Δt ที่มีขนาดเล็กอนันต์ เส้นทางจินตภาพ ds แตกต่างจาก Δs จริงด้วยจำนวนที่น้อยนิด โดยมี การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้นเทียบกับ Δt หากความเร็ว ณ เวลา t ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ds จะให้ค่าโดยประมาณของการกระจัดเล็กน้อยของจุด

การตีความทางเรขาคณิต

ให้เส้น L เป็นกราฟ y = f(x) จากนั้น Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(ดูรูปด้านล่าง) MN แทนเจนต์แบ่งส่วน Δy ออกเป็นสองส่วนคือ QN และ NM" อันแรกเป็นสัดส่วนกับΔx และเท่ากับ QN = MQ∙tg (มุม QMN) = Δх f "(x) เช่น QN คือดิฟเฟอเรนเชียล dy

ส่วนที่สอง NM"ให้ความแตกต่าง Δу ─ dy ที่ Δх→0 ความยาวของ NM" ลดลงเร็วกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ เช่น ลำดับความเล็กของมันสูงกว่าของ Δх ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา สำหรับ f "(x) ≠ 0 (แทนเจนต์ไม่ขนานกับ OX) เซ็กเมนต์ QM" และ QN จะเทียบเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง NM" ลดลงเร็วกว่า (ลำดับของความเล็กสูงกว่า) กว่าการเพิ่มขึ้นทั้งหมด Δу = QM" สิ่งนี้สามารถเห็นได้ในรูป (เมื่อ M "เข้าใกล้ M ส่วน NM" ถือเป็นเปอร์เซ็นต์ที่น้อยลงของส่วน QM ")

ดังนั้น ในทางกราฟิก ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันตามอำเภอใจ เท่ากับการเพิ่มพิกัดของแทนเจนต์

อนุพันธ์และอนุพันธ์

ค่าสัมประสิทธิ์ A ในพจน์แรกของนิพจน์สำหรับการเพิ่มฟังก์ชันจะเท่ากับค่าของอนุพันธ์ f "(x) ดังนั้น ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จึงเกิดขึ้น - dy \u003d f" (x) Δx หรือ df (x) \u003d f "(x) Δx

เป็นที่ทราบกันว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์อิสระนั้นเท่ากับส่วนต่างของค่า Δx = dx ดังนั้นคุณสามารถเขียน: f "(x) dx \u003d dy.

การค้นหา (บางครั้งเรียกว่า "การแก้") ดิฟเฟอเรนเชียลจะดำเนินการตามกฎเดียวกันกับการหาอนุพันธ์ รายการของพวกเขาได้รับด้านล่าง

อะไรที่เป็นสากลมากขึ้น: การเพิ่มขึ้นของข้อโต้แย้งหรือส่วนต่าง

ที่นี่มีความจำเป็นต้องอธิบายบางอย่าง การแทนด้วยค่า f "(x) Δx ของดิฟเฟอเรนเชียลเป็นไปได้เมื่อพิจารณา x เป็นอาร์กิวเมนต์ แต่ฟังก์ชันอาจซับซ้อน ซึ่ง x อาจเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ t จากนั้นจึงแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียลด้วยนิพจน์ ตามกฎแล้ว f "(x) Δx เป็นไปไม่ได้; ยกเว้นกรณี การพึ่งพาเชิงเส้น x = ที่ + b

สำหรับสูตร f "(x) dx \u003d dy ในกรณีของอาร์กิวเมนต์อิสระ x (จากนั้น dx \u003d Δx) และในกรณีของการพึ่งพาพารามิเตอร์ของ x บน t มันแสดงถึงส่วนต่าง

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2 x Δx แทนค่า y = x 2 ส่วนต่างเมื่อ x เป็นอาร์กิวเมนต์ ตอนนี้ให้เราตั้งค่า x= t 2 และรับ t เป็นอาร์กิวเมนต์ แล้ว y = x 2 = เสื้อ 4 .

นิพจน์นี้ไม่เป็นสัดส่วนกับ Δt ดังนั้น 2xΔx จึงไม่ใช่ดิฟเฟอเรนเชียล สามารถหาได้จากสมการ y = x 2 = t 4 ปรากฎว่าเท่ากับ dy=4t 3 Δt

หากเราใช้นิพจน์ 2xdx ก็จะแทนค่าดิฟเฟอเรนเชียล y = x 2 สำหรับอาร์กิวเมนต์ t ที่ x= t 2 เราได้ dx = 2tΔt

ซึ่งหมายความว่า 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt นั่นคือนิพจน์ของอนุพันธ์ที่เขียนในรูปของตัวแปรสองตัวที่ต่างกันตรงกัน

การแทนที่ส่วนเพิ่มด้วยดิฟเฟอเรนเชียล

ถ้า f "(x) ≠ 0 ดังนั้น Δу และ dy จะเทียบเท่ากัน (สำหรับ Δх→0); ถ้า f "(x) = 0 (ซึ่งหมายถึง dy = 0) พวกมันจะไม่เทียบเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ถ้า y \u003d x 2 ดังนั้น Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 และ dy \u003d 2xΔx ถ้า x=3 เราก็มี Δу = 6Δх + Δх 2 และ dy = 6Δх ซึ่งเทียบเท่าเนื่องจาก Δх 2 →0 ที่ x=0 ค่า Δу = Δх 2 และ dy=0 จะไม่เทียบเท่า

ข้อเท็จจริงนี้ ร่วมกับโครงสร้างอย่างง่ายของดิฟเฟอเรนเชียล (เช่น ความเป็นเชิงเส้นเทียบกับ Δx) มักจะใช้ในการคำนวณโดยประมาณ โดยสมมติว่า Δy ≈ dy สำหรับ Δx ขนาดเล็ก การหาส่วนต่างของฟังก์ชันมักจะง่ายกว่าการคำนวณค่าที่แน่นอนของการเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น เรามีลูกบาศก์โลหะที่มีขอบ x = 10.00 ซม. เมื่อถูกความร้อน ขอบจะยาวขึ้น Δx = 0.001 ซม. ปริมาตร V ของลูกบาศก์เพิ่มขึ้นเท่าใด เรามี V \u003d x 2 ดังนั้น dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (ซม. 3) ปริมาณที่เพิ่มขึ้น ΔV เทียบเท่ากับดิฟเฟอเรนเชียล dV ดังนั้น ΔV = 3 ซม. 3 . การคำนวณแบบเต็มจะให้ ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 แต่ผลลัพธ์นี้ ตัวเลขทั้งหมดยกเว้นตัวแรกไม่น่าเชื่อถือ อย่างไรก็ตาม คุณต้องปัดเศษให้ได้ 3 ซม. 3

เห็นได้ชัดว่าวิธีการดังกล่าวมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อสามารถประเมินขนาดของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นได้

ความแตกต่างของฟังก์ชัน: ตัวอย่าง

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3 โดยไม่ต้องหาอนุพันธ์ ลองเพิ่มอาร์กิวเมนต์และกำหนด Δу

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3)

ในที่นี้ ค่าสัมประสิทธิ์ A= 3x 2 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ Δх ดังนั้นเทอมแรกจึงเป็นสัดส่วนกับ Δх ในขณะที่อีกเทอม 3xΔх 2 + Δх 3 ที่ Δх→0 จะลดลงเร็วกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น เทอม 3x 2 Δx คือดิฟเฟอเรนเชียล y = x 3:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx หรือ d (x 3) \u003d 3x 2 dx

ในกรณีนี้ d(x 3) / dx \u003d 3x 2

ให้เราหา dy ของฟังก์ชัน y = 1/x ในแง่ของอนุพันธ์ของมัน จากนั้น d(1/x) / dx = ─1/x 2 ดังนั้น dy = ─ Δx/x 2 .

ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันพีชคณิตพื้นฐานแสดงไว้ด้านล่าง

การคำนวณโดยประมาณโดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียล

การคำนวณฟังก์ชัน f (x) มักจะไม่ใช่เรื่องยาก เช่นเดียวกับอนุพันธ์ f "(x) สำหรับ x=a แต่มันไม่ง่ายเลยที่จะทำแบบเดียวกันในบริเวณใกล้เคียงกับจุด x=a จากนั้น การแสดงออกโดยประมาณมาช่วย

f (a + Δx) ≈ f "(a) Δx + f (a).

มันให้ค่าโดยประมาณของฟังก์ชันโดยเพิ่มทีละน้อย Δx ผ่านส่วนต่าง f "(a)Δx

เพราะเหตุนี้, สูตรที่กำหนดให้นิพจน์โดยประมาณสำหรับฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุดของบางส่วนของความยาว Δx เป็นผลรวมของค่าของมันที่จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ (x=a) และส่วนต่างที่จุดเริ่มต้นเดียวกัน ข้อผิดพลาดของวิธีการกำหนดค่าของฟังก์ชันนี้แสดงไว้ในรูปด้านล่าง

อย่างไรก็ตาม นิพจน์ที่แน่นอนสำหรับค่าของฟังก์ชันสำหรับ x=a+Δx ก็เป็นที่ทราบเช่นกัน ซึ่งกำหนดโดยสูตรสำหรับการเพิ่มขึ้นอย่างจำกัด (หรืออีกนัยหนึ่ง สูตรลากรองจ์)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

โดยที่จุด x = a + ξ อยู่บนส่วนจาก x = a ถึง x = a + Δx แม้ว่าจะไม่ทราบตำแหน่งที่แน่นอนก็ตาม สูตรที่แน่นอนทำให้สามารถประมาณข้อผิดพลาดของสูตรโดยประมาณได้ ถ้าเราใส่ ξ = Δх /2 ในสูตรลากรองจ์ แม้ว่ามันจะไม่เป็นค่าที่แน่นอน แต่ก็มักจะให้ค่าประมาณที่ดีกว่านิพจน์ดั้งเดิมผ่านดิฟเฟอเรนเชียล

การประมาณค่าความผิดพลาดของสูตรโดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียล

โดยหลักการแล้ว ข้อผิดพลาดเหล่านี้ไม่ถูกต้องและแนะนำข้อผิดพลาดที่สอดคล้องกันในข้อมูลการวัด มีลักษณะเป็นขอบหรือในระยะสั้นข้อผิดพลาดขอบ - จำนวนบวกเห็นได้ชัดว่าเกินข้อผิดพลาดนี้ในค่าสัมบูรณ์ (หรืออย่างน้อยก็เท่ากับค่านี้) ขีด จำกัด เรียกว่าผลหารของการหารด้วย ค่าสัมบูรณ์ค่าที่วัดได้

ให้ใช้สูตรที่แน่นอน y= f (x) เพื่อคำนวณฟังก์ชัน y แต่ค่าของ x เป็นผลลัพธ์ของการวัด ดังนั้น จึงทำให้เกิดข้อผิดพลาดใน y จากนั้นเพื่อหาขีดจำกัด ข้อผิดพลาดแน่นอน│‌‌Δу│ ฟังก์ชัน y ให้ใช้สูตร

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

โดยที่ │Δх│ คือข้อผิดพลาดเล็กน้อยของอาร์กิวเมนต์ ควรปัดเศษค่า │‌‌Δу│ ขึ้น เนื่องจาก ไม่ถูกต้องคือการแทนที่การคำนวณส่วนเพิ่มโดยการคำนวณส่วนต่าง

ถ้าฟังก์ชั่น แยกแยะได้ตรงจุด , จากนั้นค่าที่เพิ่มขึ้นสามารถแสดงเป็นผลรวมของสองเทอมได้

. คำศัพท์เหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่น้อยมากสำหรับ
. เทอมแรกเป็นเชิงเส้นเทียบกับ
ลำดับที่สองคือลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อย
.จริงๆ,

ดังนั้นระยะที่สองที่
มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เร็วขึ้นและเมื่อค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน
เทอมแรกมีบทบาทหลัก
หรือ (เพราะ
)
.

คำนิยาม . ส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชัน
ที่จุด , เชิงเส้นเทียบกับ
,เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล ฟังก์ชั่น ณ จุดนี้และแสดงว่าตายหรือดีเอฟ(x)

. (2)

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่า: ส่วนต่างของตัวแปรอิสระนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับการเพิ่มขึ้น นั่นคือ
.

ตอนนี้ความสัมพันธ์ (2) ใช้แบบฟอร์ม

(3)

ความคิดเห็น . สูตร (3) สำหรับความกะทัดรัดมักเขียนในแบบฟอร์ม

(4)

ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

พิจารณากราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้
. คะแนน
และอยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด มแทนเจนต์ ถึงไปที่กราฟของฟังก์ชันที่มีมุมกับทิศทางบวกของแกน
แสดงโดย
. มาวาดกันตรงๆ มิน ขนานกับแกน วัว และ
ขนานกับแกน โอ๊ย. การเพิ่มของฟังก์ชันจะเท่ากับความยาวของส่วน
. จาก สามเหลี่ยมมุมฉาก
ที่ซึ่ง
, เราได้รับ

เหตุผลข้างต้นทำให้เราสรุปได้ว่า

ความแตกต่างของฟังก์ชัน
ที่จุด แทนเจนต์โดยการเพิ่มพิกัดของแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันนี้ที่จุดที่สอดคล้องกัน
.

ความสัมพันธ์ระหว่างดิฟเฟอเรนเชียลและอนุพันธ์

พิจารณาสูตร (4)

เราแบ่งทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันนี้ด้วย ดีเอ็กซ์, แล้ว

ทางนี้, อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับอัตราส่วนของส่วนต่างต่อส่วนต่างของตัวแปรอิสระ.

มักมีทัศนคติเช่นนี้ ถือว่าเป็นสัญลักษณ์ที่แสดงถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่โดยอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์.

สัญกรณ์ที่สะดวกสำหรับอนุพันธ์คือ:

,
และอื่น ๆ

นอกจากนี้ยังใช้เป็นรายการ

,
,

สะดวกเป็นพิเศษเมื่อนำอนุพันธ์ของนิพจน์เชิงซ้อน

2. ผลต่างของผลรวม ผลคูณ และผลหาร

เนื่องจากอนุพันธ์ได้มาจากอนุพันธ์โดยการคูณด้วยส่วนต่างของตัวแปรอิสระ ดังนั้นเมื่อรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานพื้นฐาน เช่นเดียวกับกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ เราจึงสามารถหากฎที่คล้ายกันสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ได้

1 0 . ส่วนต่างของค่าคงที่เป็นศูนย์

2 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันหาอนุพันธ์จำนวนจำกัดจะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของผลบวกของฟังก์ชันเหล่านี้

3 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลคูณของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสองฟังก์ชัน เท่ากับผลรวมผลคูณของฟังก์ชันที่หนึ่งด้วยดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่สองและฟังก์ชันที่สองด้วยดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันแรก

ผลที่ตามมา. สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียลได้

ตัวอย่าง. ค้นหาส่วนต่างของฟังก์ชัน

วิธีแก้ไข เราเขียนฟังก์ชันนี้ในรูปแบบ

จากนั้นเราจะได้รับ

4. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก, ความแตกต่างของฟังก์ชัน

คำนิยาม . การทำงาน
เรียกว่ากำหนดพาราเมตริกถ้าตัวแปรทั้งสอง เอ็กซ์ และ ที่ ถูกกำหนดแยกกันเป็นฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเสริมเดียวกัน - พารามิเตอร์ที:

ที่ไหนทีแตกต่างกันไปภายใน
.

ความคิดเห็น . การกำหนดฟังก์ชันแบบพาราเมตริกใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์เชิงทฤษฎีโดยที่พารามิเตอร์ ที หมายถึงเวลาและสมการ
เป็นกฎของการเปลี่ยนแปลงในเส้นโครงของจุดเคลื่อนที่
บนเพลา
และ
.