อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการเลขชี้กำลัง อสมการเลขชี้กำลัง
และ x = b เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด ในตัวเขา เอ เหนือศูนย์และ เอไม่เท่ากับหนึ่ง
แก้สมการเลขชี้กำลัง
จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรารู้ว่าช่วงของค่าจำกัดเป็นบวก ตัวเลขจริง. ถ้า b = 0 สมการไม่มีคำตอบ สถานการณ์เดียวกันเกิดขึ้นในสมการที่ b
ทีนี้ สมมุติว่า b>0 ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฐาน เอมากกว่าหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน เอดำเนินการ เงื่อนไขต่อไป 0
จากสิ่งนี้และประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทรูต เราจะได้ว่าสมการ a x = b มีรากเดียว สำหรับ b>0 และบวก เอไม่ เท่ากับหนึ่ง. ในการค้นหาคุณต้องแสดง b ในรูปแบบ b = a c ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: แก้สมการ 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 ลองแทน 25 เป็น 5 2 เราได้รับ: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . หรือเทียบเท่าอะไร: x 2 - 2*x - 1 = 2 เราแก้สมการกำลังสองที่ได้ผลลัพธ์ด้วย วิธีที่รู้จัก. เราได้รากที่สอง x = 3 และ x = -1 คำตอบ: 3;-1. ลองแก้สมการ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 มาแทนกัน: t=2 x และรับสมการกำลังสองต่อไปนี้: เสื้อ 2 - 5*t + 4 = 0 ตอนนี้เราแก้สมการ 2 x = 1 และ 2 x = 4 คำตอบ: 0;2. คำตอบของอสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ง่ายที่สุดยังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันการเพิ่มขึ้นและการลดลงด้วย ถ้าในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดโดเมนของคำจำกัดความ ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน เอเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0ฟังก์ชันนี้จะลดลงในเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ลองพิจารณาตัวอย่าง: แก้อสมการ (0.5) (7 - 3*x)< 4. โปรดทราบว่า 4 = (0.5) 2 . จากนั้นอสมการจะอยู่ในรูปแบบ (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. เราได้: 7 - 3*x>-2. จากที่นี่: x<3. คำตอบ: x<3. หากในความไม่เท่าเทียมกัน ฐานมีมากกว่าหนึ่ง เมื่อกำจัดฐาน เครื่องหมายอสมการก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน ในบทนี้ เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังต่างๆ และเรียนรู้วิธีแก้ไขตามวิธีการแก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด เรียกคืนคำจำกัดความและคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มันอยู่ที่คุณสมบัติที่การแก้ปัญหาของทั้งหมด สมการเลขชี้กำลังและความไม่เท่าเทียมกัน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และที่นี่ x เป็นตัวแปรอิสระ อาร์กิวเมนต์ y - ตัวแปรตามฟังก์ชัน ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กราฟแสดงเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง ซึ่งแสดงให้เห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่ง แต่มากกว่าศูนย์ตามลำดับ เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1) คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: โดเมน: ; ช่วงของค่า: ; ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก เพิ่มขึ้นเป็น ลดลงเป็น ฟังก์ชันโมโนโทนิกรับค่าแต่ละค่าด้วยค่าอาร์กิวเมนต์เดียว เมื่อ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์ไม่รวมเป็นบวกอินฟินิตี้เช่นสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน () ในทางตรงกันข้าม เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอินฟินิตี้ ฟังก์ชันจะลดลงจากอินฟินิตี้เป็นศูนย์ ซึ่งรวมอยู่ด้วย นั่นคือ สำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ เรามีฟังก์ชันการลดลงแบบซ้ำซากจำเจ () จากที่กล่าวมา เรานำเสนอวิธีการแก้อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด: วิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน: ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน เปรียบเทียบตัวบ่งชี้ รักษาหรือเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงข้ามของความไม่เท่าเทียมกัน คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงซ้อนที่ซับซ้อนนั้น ตามกฎแล้ว ในการลดความเหลื่อมล้ำแบบเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายอสมการจะคงอยู่: มาแปลงร่างกันเถอะ ด้านขวาตามคุณสมบัติของระดับ: ฐานของดีกรีน้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการต้องกลับด้าน: ในการแก้สมการกำลังสอง เราแก้สมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน: ตามทฤษฎีบทของ Vieta เราพบราก: กิ่งก้านของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบน ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน: มันง่ายที่จะเดาว่าด้านขวาสามารถแสดงเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์: ฐานของดีกรีมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ: ระลึกถึงขั้นตอนการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน: ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ: เราพบรากของฟังก์ชัน: ฟังก์ชั่นมีรูทเดียว เราแยกช่วงของค่าคงที่ของสัญญาณออกและกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา: ข้าว. 2. ช่วงเวลาของความคงตัวของสัญญาณ เราก็เลยได้คำตอบ ตอบ: พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันแต่ฐานต่างกัน หนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ ต้องใช้อย่างเคร่งครัด ค่าบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแบ่งออกเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้ มาหารอสมการที่กำหนดด้วยด้านขวากัน: ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่ มาดูวิธีแก้ปัญหากัน: รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันและ . เห็นได้ชัดว่าเมื่ออาร์กิวเมนต์มากกว่าศูนย์ กราฟของฟังก์ชันจะสูงขึ้น ฟังก์ชันนี้จะใหญ่กว่า เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์เป็นลบ ฟังก์ชันจะผ่านด้านล่าง ค่าของอาร์กิวเมนต์จะน้อยกว่า หากค่าของอาร์กิวเมนต์เท่ากัน จุดที่กำหนดก็เป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดด้วย ข้าว. 3. ภาพประกอบ เช่น 4 เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดตามคุณสมบัติของดีกรี: นี่คือสมาชิกที่คล้ายกัน: ลองแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น: ตอนนี้เรายังคงแก้ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 4 เราหารทั้งสองส่วนด้วย: ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะคงอยู่: ตัวอย่างที่ 6 - แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก: พิจารณาฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาและพล็อตแต่ละฟังก์ชัน ฟังก์ชันเป็นเลขชี้กำลังซึ่งเพิ่มขึ้นเหนือขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดนั่นคือสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ฟังก์ชันเป็นแบบเส้นตรง ลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ นั่นคือ สำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ หากฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน นั่นคือ ระบบมีคำตอบ โซลูชันดังกล่าวก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและสามารถเดาได้ง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วนซ้ำจำนวนเต็ม () ง่ายที่จะเห็นว่ารากของระบบนี้คือ: ดังนั้น กราฟฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดที่มีอาร์กิวเมนต์เท่ากับหนึ่ง ตอนนี้เราต้องได้คำตอบ ความหมายของอสมการที่กำหนดคือเลขชี้กำลังต้องมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้น นั่นคือ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น คำตอบนั้นชัดเจน: (รูปที่ 6.4) ข้าว. 4. ภาพประกอบ เช่น 6 ดังนั้นเราจึงได้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอสมการเลขชี้กำลังทั่วไปต่างๆ ต่อไป เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนมากขึ้น บรรณานุกรม Mordkovich A. G. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: มนีโมไซน์. Muravin G. K. , Muravin O. V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: ไอ้เหี้ย. Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. - ม.: การตรัสรู้. คณิตศาสตร์. นพ. คณิตศาสตร์-ซ้ำ. คอม ดิฟเฟอร์ เคมซู รุ การบ้าน 1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, หมายเลข 472, 473; 2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: 3. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน หลายคนคิดว่าความไม่เท่าเทียมกันแบบทวีคูณเป็นสิ่งที่ซับซ้อนและเข้าใจยาก และการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหานั้นแทบจะเป็นศิลปะที่ยิ่งใหญ่ ซึ่งมีเพียงผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่สามารถเข้าใจได้... ไร้สาระสมบูรณ์! อสมการเลขชี้กำลัง- มันง่าย และง่ายต่อการแก้ไข เกือบทุกครั้ง :) วันนี้เราจะวิเคราะห์หัวข้อนี้ในวงกว้าง บทเรียนนี้จะมีประโยชน์มากสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเข้าใจวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในส่วนนี้ เริ่มจากงานง่าย ๆ และไปยังปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น วันนี้จะไม่มีเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ แต่สิ่งที่คุณจะอ่านตอนนี้จะเพียงพอที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันส่วนใหญ่ในการควบคุมทุกประเภทและ งานอิสระ. และในเรื่องนี้การสอบของคุณก็เช่นกัน และเช่นเคย มาเริ่มด้วยคำจำกัดความกันก่อน อสมการเลขชี้กำลังคืออสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถลดความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบได้เสมอ \[((อันหนึ่ง)^(x)) \gt b\] โดยที่บทบาทของ $b$ อาจเป็นตัวเลขธรรมดา หรือบางทีอาจยากกว่านั้น ตัวอย่าง? ใช่โปรด: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ รูปสี่เหลี่ยม ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(จัดตำแหน่ง)\] ฉันคิดว่าความหมายชัดเจน: มี ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง$((a)^(x))$ เปรียบเทียบกับบางสิ่งบางอย่าง แล้วขอให้ค้นหา $x$ ในกรณีทางคลินิกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ พวกเขาสามารถใส่ฟังก์ชันบางอย่างได้ $f\left(x \right)$ และทำให้ความไม่เท่าเทียมกันซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย :) แน่นอน ในบางกรณี ความไม่เท่าเทียมกันอาจดูรุนแรงกว่า ตัวอย่างเช่น: \[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\] หรือแม้แต่สิ่งนี้: โดยทั่วไป ความซับซ้อนของความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวอาจแตกต่างกันมาก แต่ในท้ายที่สุด พวกมันก็ยังลงมาที่โครงสร้างง่ายๆ $((a)^(x)) \gt b$ และเราจะจัดการกับการออกแบบดังกล่าว (โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีทางคลินิกเมื่อไม่มีอะไรอยู่ในใจลอการิทึมจะช่วยเราได้) ดังนั้นตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีแก้ไขโครงสร้างง่าย ๆ ดังกล่าว ลองดูสิ่งที่ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น นี่คือ: \[((2)^(x)) \gt 4\] เห็นได้ชัดว่า ตัวเลขทางด้านขวาสามารถเขียนใหม่เป็นกำลังสอง: $4=((2)^(2))$ ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงถูกเขียนใหม่ในรูปแบบที่สะดวกมาก: \[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\] และตอนนี้มือก็รู้สึกอยาก "ขีดฆ่า" พวกดิวซ์ โดยยืนอยู่ที่ฐานขององศา เพื่อให้ได้คำตอบ $x \gt 2$ แต่ก่อนที่เราจะขีดฆ่าอะไร ให้จำกำลังสอง: \[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\] อย่างที่คุณเห็น ยิ่งตัวเลขในเลขชี้กำลังมากเท่าไหร่ ตัวเลขเอาต์พุตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น “ขอบคุณนะแคป!” นักเรียนคนหนึ่งจะอุทาน มันเกิดขึ้นแตกต่างกันหรือไม่? น่าเสียดายที่มันเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น: \[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\] ที่นี่เช่นกันทุกอย่างมีเหตุผล: ยิ่งดีกรีมากเท่าไหร่ก็ยิ่งคูณตัวเลข 0.5 ด้วยตัวเองมากขึ้นเท่านั้น (นั่นคือมันถูกหารด้วยครึ่งหนึ่ง) ดังนั้น ลำดับผลลัพธ์ของตัวเลขจึงลดลง และความแตกต่างระหว่างลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองจะอยู่ที่ฐานเท่านั้น: เมื่อสรุปข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราได้รับข้อความที่สำคัญที่สุด ซึ่งใช้วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังทั้งหมด: ถ้า $a \gt 1$ แสดงว่าอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ เท่ากับอสมการ $x \gt n$ ถ้า $0 \lt a \lt 1$ แสดงว่าอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ จะเท่ากับ $x \lt n$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง คุณก็สามารถลบออกได้ เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่งก็สามารถลบออกได้ แต่สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะต้องเปลี่ยนด้วย โปรดทราบว่าเราไม่ได้พิจารณาตัวเลือก $a=1$ และ $a\le 0$ เพราะในกรณีเหล่านี้มีความไม่แน่นอน สมมติว่าจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม $((1)^(x)) \gt 3$? หนึ่งต่ออำนาจใด ๆ จะให้อีกครั้ง - เราจะไม่มีวันได้สามหรือมากกว่า เหล่านั้น. ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ด้วยฐานเชิงลบก็น่าสนใจยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: \[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\] เมื่อมองแวบแรก ทุกอย่างก็เรียบง่าย: ถูกต้องหรือไม่ แต่ไม่มี! แค่แทนที่เลขคู่และเลขคี่สองสามตัวแทนที่จะเป็น $x$ เพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบนั้นผิด ลองดูสิ: \[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\] อย่างที่คุณเห็นสัญญาณสลับกัน แต่ยังคงมีเศษส่วนองศาและดีบุกอื่นๆ ตัวอย่างเช่น คุณจะสั่งให้นับ $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (ลบสองยกขึ้นเป็นรากของเจ็ด) อย่างไร ไม่มีทาง! ดังนั้น สำหรับความแน่นอน เราถือว่าในความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด (และสมการก็เช่นกัน) $1\ne a \gt 0$ แล้วทุกอย่างก็แก้ไขได้ง่ายมาก: \[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right) \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\] โดยทั่วไปแล้ว โปรดจำกฎหลักอีกครั้ง: หากฐานในสมการเลขชี้กำลังมากกว่า 1 คุณก็สามารถลบออกได้ และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง ก็สามารถลบออกได้ แต่สิ่งนี้จะเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ ดังนั้น ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันยกกำลังง่ายๆ สองสามข้อ: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25) \\\end(จัดตำแหน่ง)\] งานหลักจะเหมือนกันในทุกกรณี: เพื่อลดความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ นี่คือสิ่งที่เราจะทำกับอสมการแต่ละอัน และในเวลาเดียวกัน เราจะทำซ้ำคุณสมบัติของยกกำลังและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง งั้นไปกัน! \[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\] ทำอะไรได้บ้างนี่? ทางด้านซ้ายเรามีนิพจน์สาธิตอยู่แล้ว - ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไร แต่ทางด้านขวามีอึบางอย่าง: เศษส่วนและแม้แต่รูทในตัวส่วน! อย่างไรก็ตาม จำกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วนและยกกำลัง: \[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))) \\\end(จัดตำแหน่ง)\] มันหมายความว่าอะไร? อย่างแรก เรากำจัดเศษส่วนได้ง่ายๆ โดยเปลี่ยนให้เป็นเลขชี้กำลังลบ และประการที่สอง เนื่องจากตัวส่วนเป็นราก มันคงจะดีถ้าเปลี่ยนเป็นดีกรี - คราวนี้ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ลองใช้การกระทำเหล่านี้ตามลำดับทางด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันและดูว่าเกิดอะไรขึ้น: \[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\] อย่าลืมว่าเมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง เลขชี้กำลังขององศาเหล่านี้จะถูกเพิ่มเข้าไป และโดยทั่วไป เมื่อทำงานกับสมการเลขชี้กำลังและอสมการ อย่างน้อยจำเป็นต้องรู้กฎที่ง่ายที่สุดสำหรับการทำงานกับยกกำลัง: \[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\] อันที่จริง เราเพิ่งใช้กฎข้อสุดท้าย ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้: \[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\] ตอนนี้เรากำจัดผีที่ฐาน ตั้งแต่ 2 > 1 เครื่องหมายอสมการยังคงเหมือนเดิม: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\] นั่นคือทางออกทั้งหมด! ปัญหาหลักไม่ได้อยู่ที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ในการเปลี่ยนแปลงความสามารถของนิพจน์ดั้งเดิม: คุณต้องทำให้มันอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดอย่างระมัดระวังและเร็วที่สุด พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่สอง: \[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\] ดีดี. ที่นี่เรากำลังรอเศษส่วนทศนิยม อย่างที่ฉันพูดไปหลายครั้งแล้วว่า ในสำนวนใดๆ ที่ยกกำลัง คุณควรกำจัดเศษส่วนทศนิยม ซึ่งมักจะเป็นวิธีเดียวที่จะเห็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและรวดเร็ว นี่คือสิ่งที่เราจะกำจัด: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ ขวา))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\] ตรงหน้าเราคือความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดอีกครั้งและถึงแม้จะมีฐาน 1/10 นั่นคือ น้อยกว่าหนึ่ง เราลบฐานพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "น้อย" เป็น "มากกว่า" และเราจะได้รับ: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\] เราได้คำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. โปรดทราบว่าคำตอบคือชุดเท่านั้น และไม่ว่ากรณีใดคือการสร้างรูปแบบ $x \lt -1$ เนื่องจากโครงสร้างดังกล่าวอย่างเป็นทางการไม่ใช่เซต แต่เป็นอสมการเทียบกับตัวแปร $x$ ใช่ มันง่ายมาก แต่ไม่ใช่คำตอบ! โน๊ตสำคัญ. ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น - โดยการลดทั้งสองส่วนเป็นกำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง ลองดูสิ: \[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\] หลังจากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราได้ค่าความไม่เท่าเทียมกันแบบเลขชี้กำลังอีกครั้ง แต่ด้วยฐาน 10 > 1 และนี่หมายความว่าคุณสามารถขีดฆ่าสิบ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1 \\\end(จัดตำแหน่ง)\] อย่างที่คุณเห็น คำตอบก็เหมือนกันทุกประการ ในขณะเดียวกัน เราก็ช่วยตัวเองให้พ้นจากความจำเป็นในการเปลี่ยนเครื่องหมายและโดยทั่วไปจะจำกฎบางอย่างไว้ที่นั่น :) \[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\] อย่างไรก็ตาม อย่าปล่อยให้สิ่งนั้นทำให้คุณตกใจ สิ่งที่อยู่ในตัวชี้วัด เทคโนโลยีสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันนั้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเราจึงทราบก่อนว่า 16 = 2 4 . ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันเดิมโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0 \\\end(จัดตำแหน่ง)\] ไชโย! เราก็ได้ตามปกติ อสมการกำลังสอง! เครื่องหมายไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เนื่องจากฐานเป็นผีสาง - ตัวเลขที่มากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันศูนย์บนเส้นจำนวน เราจัดเรียงสัญญาณของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - แน่นอน กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น ดังนั้นจะมี "ข้อดี" ” ด้านข้าง เราสนใจภูมิภาคที่ฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ กล่าวคือ $x\in \left(2;5 \right)$ คือคำตอบของปัญหาเดิม สุดท้าย ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง: \[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\] อีกครั้งที่เราเห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเศษส่วนทศนิยมอยู่ในฐาน ลองแปลงเศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนร่วม: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\] ในกรณีนี้ เราใช้ประโยชน์จากคำพูดก่อนหน้านี้ - เราลดฐานเป็นจำนวน 5\u003e 1 เพื่อให้การตัดสินใจต่อไปของเราง่ายขึ้น ลองทำเช่นเดียวกันกับด้านขวา: \[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1))) \ ขวา))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\] ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันเดิมโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงทั้งสอง: \[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\] ฐานทั้งสองข้างเท่ากันและมากกว่าหนึ่ง ไม่มีคำศัพท์อื่นทางขวาและทางซ้าย ดังนั้นเราจึง "ขีดฆ่า" ห้าตัวและเราจะได้นิพจน์ที่ง่ายมาก: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\] นี่คือที่ที่คุณต้องระวัง นักเรียนหลายคนชอบที่จะแยกออกง่าย ๆ รากที่สองของอสมการทั้งสองส่วนและเขียนบางอย่างเช่น $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. คุณไม่ควรทำเช่นนี้เนื่องจากรูทของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แน่นอนคือโมดูล และไม่ว่าในกรณีใดตัวแปรดั้งเดิม: \[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\] อย่างไรก็ตาม การทำงานกับโมดูลไม่ใช่ประสบการณ์ที่น่าพึงพอใจที่สุดใช่ไหม ดังนั้นเราจะไม่ทำงาน แต่เราเพียงแค่ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายและแก้ความไม่เท่าเทียมกันตามปกติโดยใช้วิธีช่วงเวลา: $\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(จัดตำแหน่ง)$ อีกครั้ง เราทำเครื่องหมายจุดที่ได้รับบนเส้นจำนวนแล้วดูเครื่องหมาย: เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด จุดทั้งหมดบนกราฟจึงถูกแรเงา ดังนั้น คำตอบจะเป็น: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ไม่ใช่ช่วงเวลา แต่เป็นเซ็กเมนต์ โดยทั่วไป ฉันต้องการจะสังเกตว่าไม่มีอะไรซับซ้อนในอสมการเลขชี้กำลัง ความหมายของการแปลงทั้งหมดที่เราดำเนินการในวันนี้คืออัลกอริธึมง่ายๆ: อันที่จริงนี่เป็นอัลกอริธึมสากลสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด และทุกอย่างอื่นๆ ที่จะบอกคุณในหัวข้อนี้เป็นเพียงกลเม็ดและกลเม็ดเฉพาะเพื่อทำให้การเปลี่ยนแปลงง่ายขึ้นและเร็วขึ้น นี่คือหนึ่งในเทคนิคที่เราจะพูดถึงตอนนี้ :) พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกชุดหนึ่ง: \[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\] มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขา? พวกเขายังมีน้ำหนักเบา แม้ว่าหยุด! pi ถูกยกขึ้นเป็นกำลังหรือไม่? เรื่องไร้สาระแบบไหน? และจะเพิ่มจำนวน $2\sqrt(3)-3$ ให้กำลังได้อย่างไร หรือ $3-2\sqrt(2)$? เห็นได้ชัดว่าผู้เรียบเรียงปัญหาดื่ม "ฮอว์ธอร์น" มากเกินไปก่อนนั่งทำงาน :) อันที่จริง ไม่มีอะไรผิดปกติกับงานเหล่านี้ ให้ฉันเตือนคุณ: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือนิพจน์ของรูปแบบ $((a)^(x))$ โดยที่ฐาน $a$ เป็นค่าใดๆ จำนวนบวกยกเว้นหน่วย จำนวน π เป็นบวก - เรารู้แล้ว ตัวเลข $2\sqrt(3)-3$ และ $3-2\sqrt(2)$ ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ซึ่งง่ายที่จะดูว่าเราเปรียบเทียบกับศูนย์หรือไม่ ปรากฎว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ "น่ากลัว" เหล่านี้ไม่ต่างจากความไม่เท่าเทียมกันที่กล่าวถึงข้างต้น? และพวกเขาทำแบบเดียวกัน? ใช่ถูกต้องอย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม จากตัวอย่าง ฉันต้องการพิจารณาเคล็ดลับหนึ่งข้อที่ช่วยประหยัดเวลาในการทำงานและการสอบที่เป็นอิสระได้มาก เราจะพูดถึงวิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ให้ความสนใจ: ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบใด ๆ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ ขวา) \gt 0 $. นั่นคือวิธีการทั้งหมด :) คุณคิดว่าจะมีเกมต่อไปหรือไม่? ไม่มีอะไรแบบนี้! แต่ข้อเท็จจริงง่ายๆ ที่เขียนในบรรทัดเดียวจะทำให้งานของเราง่ายขึ้นอย่างมาก ลองดูสิ: \[\begin(เมทริกซ์) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \ลูกศรลง \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\] ที่นี่ไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกต่อไป! และไม่ต้องจำว่าเครื่องหมายเปลี่ยนไปหรือไม่ แต่มี ปัญหาใหม่: จะทำอย่างไรกับตัวคูณร่วมเพศ \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? เราไม่รู้ว่าค่า pi ที่แน่นอนคืออะไร อย่างไรก็ตาม กัปตันดูเหมือนจะบอกใบ้อย่างชัดเจน: \[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ประมาณ 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\] โดยทั่วไป ค่าที่แน่นอนของ π ไม่ได้รบกวนเรามากนัก - สิ่งสำคัญคือเราต้องเข้าใจว่า ไม่ว่าในกรณีใด $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. เป็นค่าคงที่บวก และเราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างได้ดังนี้ \[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(x+7-\left((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\] อย่างที่คุณเห็น ณ จุดหนึ่ง เราต้องหารด้วยลบหนึ่ง และเครื่องหมายอสมการก็เปลี่ยนไป ในตอนท้าย ฉันขยายสแควร์ไตรโนเมียลตามทฤษฎีบทเวียตา - เห็นได้ชัดว่ารากมีค่าเท่ากับ $((x)_(1))=5$ และ $((x)_(2))=- 1$. จากนั้นทุกอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยวิธีช่วงเวลาแบบคลาสสิก: ทุกจุดถูกเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นเข้มงวด เราสนใจพื้นที่ที่มีค่าลบ ดังนั้นคำตอบคือ $x\in \left(-1;5 \right)$ นั่นคือทางออก :) ไปที่งานต่อไป: \[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\] ทุกอย่างง่ายที่นี่เพราะมีหน่วยอยู่ทางขวา และเราจำได้ว่าหน่วยคือจำนวนใดๆ ที่ยกกำลังศูนย์ แม้ว่าตัวเลขนี้จะเป็น การแสดงออกที่ไม่ลงตัวยืนอยู่ที่ฐานด้านซ้าย: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(จัดตำแหน่ง)\] ลองหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ] มันยังคงอยู่เพียงเพื่อจัดการกับสัญญาณ ตัวคูณ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ไม่มีตัวแปร $x$ - มันเป็นแค่ค่าคงที่ และเราต้องหาเครื่องหมายของมัน ในการดำเนินการนี้ ให้สังเกตสิ่งต่อไปนี้: \[\begin(เมทริกซ์) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \ลูกศรลง \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(เมทริกซ์)\] ปรากฎว่าปัจจัยที่สองไม่ใช่แค่ค่าคงที่ แต่เป็นค่าคงที่เชิงลบ! และเมื่อหารด้วยแล้ว เครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันเดิมจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\] ตอนนี้ทุกอย่างค่อนข้างชัดเจน ราก ไตรนามสี่เหลี่ยมทางด้านขวา: $((x)_(1))=0$ และ $((x)_(2))=2$ เราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนและดูสัญญาณของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$: เรามีความสนใจในช่วงเวลาที่มีเครื่องหมายบวก ยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบ: มาต่อกันที่ตัวอย่างต่อไป: \[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ ขวา))^(16-x))\] ทุกอย่างค่อนข้างชัดเจนที่นี่: ฐานเป็นเลขยกกำลังเท่ากัน ดังนั้นฉันจะเขียนทุกอย่างสั้น ๆ : \[\begin(เมทริกซ์) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ลูกศรลง \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(เมทริกซ์)\] \[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ซ้าย(16-x\right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\] อย่างที่คุณเห็น ในกระบวนการแปลงร่าง เราต้องคูณด้วย ตัวเลขติดลบเครื่องหมายอสมการจึงเปลี่ยนไป ในตอนท้าย ฉันได้ใช้ทฤษฎีบทของเวียตาอีกครั้งเพื่อแยกตัวประกอบเป็นไตรนามกำลังสอง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ผู้ที่ต้องการตรวจสอบได้โดยการลากเส้นจำนวน ทำเครื่องหมายจุด และเครื่องหมายนับ ในระหว่างนี้ เราจะย้ายไปยังความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก "ชุด" ของเรา: \[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\] อย่างที่คุณเห็นที่ฐานเป็นอีกครั้ง จำนวนอตรรกยะและตัวเครื่องจะอยู่ทางด้านขวาอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงเขียนอสมการเลขชี้กำลังใหม่ดังนี้: \[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ ขวา))^(0))\] ลองหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\\end(align)\ ] อย่างไรก็ตาม ค่อนข้างชัดเจนว่า $1-\sqrt(2) \lt 0$ เนื่องจาก $\sqrt(2)\ประมาณ 1.4... \gt 1$ ดังนั้น ปัจจัยที่สองจึงเป็นค่าคงที่เชิงลบอีกครั้ง โดยที่ทั้งสองส่วนของอสมการสามารถแบ่งออกได้: \[\begin(เมทริกซ์) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \ลูกศรลง \ \\end(เมทริกซ์)\] \[\begin(จัดตำแหน่ง) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\] ปัญหาที่แยกออกมาในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบยกกำลังคือการค้นหาพื้นฐานที่ "ถูกต้อง" น่าเสียดายที่เมื่อมองดูงานครั้งแรก ก็ยังไม่ชัดเจนเสมอว่าต้องใช้อะไรเป็นพื้นฐาน และสิ่งที่ต้องทำตามระดับของพื้นฐานนี้ แต่อย่ากังวล: ไม่มีเทคโนโลยีเวทย์มนตร์และ "ความลับ" ที่นี่ ในวิชาคณิตศาสตร์ ทักษะใด ๆ ที่ไม่สามารถกำหนดอัลกอริธึมสามารถพัฒนาได้อย่างง่ายดายผ่านการฝึกฝน แต่สำหรับสิ่งนี้คุณต้องแก้ปัญหา ระดับต่างๆความยากลำบาก ตัวอย่างเช่น สิ่งเหล่านี้คือ: \[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ จบ(จัดตำแหน่ง)\] ยาก? น่ากลัว? ใช่ มันง่ายกว่าไก่บนแอสฟัลต์! มาลองกัน. ความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก: \[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\] ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนที่นี่: เราเขียนความไม่เท่าเทียมเดิมใหม่ โดยลดทุกอย่างเป็นฐาน "สอง": \[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\] ใช่ ใช่ คุณเข้าใจถูกต้องแล้ว ฉันเพิ่งใช้วิธีหาเหตุผลเข้าข้างตนเองที่อธิบายข้างต้น ตอนนี้เราต้องทำงานอย่างระมัดระวัง: เราประสบความสำเร็จ ความไม่เท่าเทียมกันของเหตุผลเศษส่วน(นี่คือตัวแปรที่มีตัวส่วน) ดังนั้นก่อนจะเทียบอะไรกับศูนย์ คุณต้องนำทุกอย่างมาที่ ตัวส่วนร่วมและกำจัดตัวคูณคงที่ \[\begin(จัดตำแหน่ง) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0 \\\end(align)\] ตอนนี้เราใช้วิธีช่วงเวลามาตรฐาน ตัวเศษเป็นศูนย์: $x=\pm 4$ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ $x=0$ โดยรวมแล้ว มีสามจุดที่ควรจะทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน เราได้รับ:
แล้วจะเห็นได้ชัดว่า กับจะเป็นคำตอบของสมการ a x = a c
เราแก้สมการนี้ด้วยวิธีการใดๆ ที่ทราบ เราได้ราก t1 = 1 t2 = 4การแก้อสมการเลขชี้กำลัง
1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
2. อสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด เทคนิคการแก้ปัญหา ตัวอย่าง
3. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป
4. การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเลขชี้กำลัง
คำตอบของอสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
ตัวอย่างโซลูชัน
วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง
เปลี่ยนเป็นฐานอื่น
มากกว่า กรณียาก: สามราก
อย่างที่คุณอาจเดาได้ การฟักไข่จะทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่นิพจน์ทางด้านซ้ายใช้ ค่าลบ. ดังนั้น สองช่วงจะเข้าสู่คำตอบสุดท้ายพร้อมกัน:
จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาไม่รวมอยู่ในคำตอบเพราะความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมนั้นเข้มงวด ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบคำตอบนี้เพิ่มเติม ในเรื่องนี้ อสมการเลขชี้กำลังง่ายกว่าอสมการลอการิทึมมาก: ไม่มี DPV ไม่มีข้อจำกัด ฯลฯ
ไปที่งานต่อไป:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
ไม่มีปัญหาที่นี่เช่นกัน เนื่องจากเรารู้อยู่แล้วว่า $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ดังนั้น อสมการทั้งหมดจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\ลูกศรขวา ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2\right)\right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
โปรดทราบ: ในบรรทัดที่สาม ฉันตัดสินใจที่จะไม่เสียเวลากับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ และหารทุกอย่างด้วย (−2) ทันที Minul เข้าไปในวงเล็บปีกกาแรก (ตอนนี้มีข้อดีอยู่ทุกที่) และผีสางก็ลดลงด้วยตัวคูณคงที่ นี่คือสิ่งที่คุณควรทำเมื่อทำการคำนวณจริงโดยอิสระและ ควบคุมงาน- ไม่จำเป็นต้องลงสีโดยตรงทุกการกระทำและการเปลี่ยนแปลง
ถัดไป วิธีการเว้นระยะที่คุ้นเคยจะถูกนำมาใช้ ศูนย์ของตัวเศษ: แต่ไม่มี เพราะการเลือกปฏิบัติจะเป็นลบ ในทางกลับกัน ตัวส่วนจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ $x=0$ — ดังเช่นใน ครั้งสุดท้าย. เป็นที่ชัดเจนว่าเศษส่วนจะนำค่าบวกไปทางขวาของ $x=0$ และค่าลบทางซ้าย เนื่องจากเราสนใจแต่ค่าลบเท่านั้น คำตอบสุดท้ายคือ $x\in \left(-\infty ;0 \right)$
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
และจะทำอย่างไรกับเศษส่วนทศนิยมในอสมการเลขชี้กำลัง? ถูกต้อง: กำจัดพวกมันโดยแปลงให้กลายเป็นปกติ ที่นี่เรากำลังแปล:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
เราได้อะไรจากฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง? และเราได้เลขส่วนกลับกันสองจำนวน:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ ขวา))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
แน่นอน เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้ก็รวมกัน ซึ่งเกิดขึ้นในบรรทัดที่สอง นอกจากนี้เรายังได้แสดงหน่วยทางด้านขวาด้วยเป็นกำลังในฐาน 4/25 มันยังคงเป็นเพียงการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \ลูกศรขวา \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
โปรดทราบว่า $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ เช่น ปัจจัยที่สองคือค่าคงที่ติดลบ และเมื่อหารด้วย เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยน:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\ลูกศรขวา x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
สุดท้ายความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก "ชุด" ปัจจุบัน:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
โดยหลักการแล้ว แนวคิดของการแก้ปัญหาที่นี่ก็ชัดเจนเช่นกัน: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่ประกอบเป็นอสมการจะต้องลดลงเหลือฐาน "3" แต่สำหรับสิ่งนี้คุณต้องปรับแต่งเล็กน้อยด้วยรากและองศา:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
ให้ความสนใจกับบรรทัดที่ 2 และ 3 ของการคำนวณ: ก่อนที่จะทำอะไรที่ไม่เท่าเทียมกัน อย่าลืมนำมันมาอยู่ในรูปแบบที่เราพูดถึงตั้งแต่เริ่มบทเรียน: $((a)^(x)) \lt ( (ก)^(n))$. ตราบใดที่คุณมีตัวคูณซ้ายหรือขวา ค่าคงที่พิเศษ ฯลฯ ไม่สามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองและ "ขีดฆ่า" ของพื้นที่ได้! นับไม่ถ้วนงานถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้องเนื่องจากขาดความเข้าใจในสิ่งนี้ ข้อเท็จจริงง่ายๆ. ตัวฉันเองสังเกตปัญหานี้กับนักเรียนตลอดเวลาเมื่อเราเพิ่งเริ่มวิเคราะห์อสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึม
แต่กลับมาที่งานของเรา คราวนี้ลองทำโดยไม่หาเหตุผลเข้าข้างตนเอง เราจำได้: ฐานของดีกรีมากกว่าหนึ่ง จึงสามารถขีดฆ่าทริเปิลได้ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
เน้นนิพจน์ที่เสถียรและแทนที่ตัวแปร
โดยสรุป ฉันเสนอให้แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบทวีคูณอีกสี่ตัว ซึ่งค่อนข้างยากสำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวแล้ว เพื่อรับมือกับพวกเขา คุณต้องจำกฎสำหรับการทำงานกับองศา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ
แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเรียนรู้ที่จะเข้าใจ: สิ่งที่สามารถใส่ในคร่อมได้ นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่า เสถียร - มันสามารถแสดงด้วยตัวแปรใหม่ และกำจัดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลองดูงาน:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
มาเริ่มกันที่บรรทัดแรกกันเลย ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันนี้แยกกัน:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
โปรดทราบว่า $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ดังนั้น ด้านขวาสามารถ จะเขียนใหม่:
โปรดทราบว่าไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอื่นๆ ยกเว้น $((5)^(x+1))$ ในอสมการ และโดยทั่วไป ตัวแปร $x$ จะไม่เกิดขึ้นที่อื่น ดังนั้น เรามาแนะนำตัวแปรใหม่กัน: $((5)^(x+1))=t$ เราได้รับการก่อสร้างดังต่อไปนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
เรากลับไปที่ตัวแปรเดิม ($t=((5)^(x+1))$) และในขณะเดียวกันก็จำไว้ว่า 1=5 0 เรามี:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
นั่นคือทางออกทั้งหมด! คำตอบ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. มาดูความไม่เท่าเทียมกันที่สองกัน:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ โปรดทราบว่า $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ จากนั้นด้านซ้ายสามารถเขียนใหม่ได้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ลูกศรขวา x\in \left[ 2;+\infty \right) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
นี่เป็นวิธีโดยประมาณที่คุณต้องตัดสินใจเกี่ยวกับการควบคุมจริงและการทำงานอิสระ
เรามาลองทำอะไรที่ยากกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกัน:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
ปัญหาที่นี่คืออะไร? อย่างแรกเลย ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังทางด้านซ้ายต่างกัน: 5 และ 25 อย่างไรก็ตาม 25 \u003d 5 2 ดังนั้นเทอมแรกจึงสามารถแปลงได้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((25)^(x+1,5))=((\left((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(จัดตำแหน่ง )\]
อย่างที่คุณเห็นในตอนแรกเรานำทุกอย่างมาที่ พื้นฐานเดียวกันแล้วสังเกตว่าเทอมแรกถูกลดทอนเป็นสองอย่างง่าย - ก็เพียงพอที่จะขยายเลขชี้กำลัง ตอนนี้เราสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้อย่างปลอดภัย: $((5)^(2x+2))=t$ และอสมการทั้งหมดจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
อีกครั้งไม่มีปัญหา! คำตอบสุดท้าย: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$ ไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้ายในบทเรียนของวันนี้:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
สิ่งแรกที่ควรทราบคือแน่นอน ทศนิยมที่ฐานของระดับแรก มีความจำเป็นต้องกำจัดมันและในขณะเดียวกันก็นำฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดไปที่ฐานเดียวกัน - หมายเลข "2":
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
เยี่ยมมาก เราเริ่มก้าวแรกแล้ว ทุกอย่างนำไปสู่รากฐานเดียวกัน ตอนนี้เราต้องเน้น กำหนดนิพจน์. โปรดทราบว่า $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ หากเราแนะนำตัวแปรใหม่ $((2)^(4x+6))=t$ ดังนั้น อสมการดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
แน่นอน คำถามอาจเกิดขึ้น: เรารู้ได้อย่างไรว่า 256 = 2 8 ? น่าเสียดาย ที่นี่คุณเพียงแค่ต้องรู้พลังของสอง (และในขณะเดียวกันพลังของสามและห้า) หรือหาร 256 ด้วย 2 (คุณหารได้ เนื่องจาก 256 เป็นเลขคู่) จนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์ มันจะมีลักษณะดังนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8))\end(จัดตำแหน่ง )\]
เช่นเดียวกับสาม (หมายเลข 9, 27, 81 และ 243 เป็นพลังของมัน) และกับเจ็ด (หมายเลข 49 และ 343 ก็น่าจดจำเช่นกัน) ทั้งห้ายังมีองศา "สวย" ที่คุณต้องรู้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]
แน่นอนว่าตัวเลขเหล่านี้สามารถเรียกคืนได้ในจิตใจหากต้องการเพียงแค่คูณกันอย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณต้องแก้อสมการเลขชี้กำลังหลายตัว และแต่ละอันถัดไปยากกว่าอันก่อน สิ่งสุดท้ายที่คุณอยากนึกถึงก็คือกำลังของตัวเลขบางตัวที่นั่น และในแง่นี้ ปัญหาเหล่านี้ซับซ้อนกว่าอสมการ "คลาสสิก" ซึ่งแก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา
สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการคือสมการและอสมการที่ไม่ทราบมีอยู่ในเลขชี้กำลัง
การแก้สมการเลขชี้กำลังมักจะลงมาที่การแก้สมการ a x \u003d a b โดยที่ a > 0, a ≠ 1, x ไม่เป็นที่รู้จัก สมการนี้มีรากเดียว x \u003d b เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:
ทฤษฎีบท. ถ้า a > 0, a ≠ 1 และ a x 1 = a x 2 แล้ว x 1 = x 2
ให้เราปรับคำยืนยันที่พิจารณาแล้ว
สมมติว่าความเท่าเทียมกัน x 1 = x 2 ไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 จากนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y \u003d a x เพิ่มขึ้น ดังนั้นอสมการ a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ก x 2 ในทั้งสองกรณี เราได้รับข้อขัดแย้งกับเงื่อนไข a x 1 = a x 2 .
ลองพิจารณางานหลายอย่าง
แก้สมการ 4 ∙ 2 x = 1
วิธีการแก้.
เราเขียนสมการในรูปแบบ 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2
ตอบ. x = -2
แก้สมการ 2 3x ∙ 3 x = 576
วิธีการแก้.
ตั้งแต่ 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 สมการสามารถเขียนได้ในรูปแบบ 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 หรือในรูปแบบ 24 x \u003d 24 2
จากตรงนี้เราจะได้ x = 2
ตอบ. x = 2
แก้สมการ 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25
วิธีการแก้.
คร่อมปัจจัยร่วม 3 x - 2 ทางด้านซ้าย เราได้ 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25
โดยที่ 3 x - 2 = 1 นั่นคือ x - 2 = 0, x = 2
ตอบ. x = 2
แก้สมการ 3 x = 7 x
วิธีการแก้.
ตั้งแต่ 7 x ≠ 0 สมการสามารถเขียนได้เป็น 3 x / 7 x = 1 ดังนั้น (3/7) x = 1, x = 0
ตอบ. x = 0
แก้สมการ 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0
วิธีการแก้.
แทนที่ 3 x = a สมการที่กำหนดเดือดลงไป สมการกำลังสองและ 2 - 4a - 45 = 0
การแก้สมการนี้ เราพบรากของมัน: a 1 \u003d 9 และ 2 \u003d -5 จากที่ 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5
สมการ 3 x \u003d 9 มีราก 2 และสมการ 3 x \u003d -5 ไม่มีราก เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับค่าลบไม่ได้
ตอบ. x = 2
การแก้สมการเอกซ์โปเนนเชียลมักจะลงเอยด้วยการแก้อสมการ a x > a b หรือ a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
ลองพิจารณางานบางอย่าง
แก้อสมการ 3 x< 81.
วิธีการแก้.
เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 3 x< 3 4 . Так как 3 >1 จากนั้นฟังก์ชัน y \u003d 3 x จะเพิ่มขึ้น
ดังนั้น สำหรับ x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
ดังนั้น สำหรับ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
ตอบ. X< 4.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 16 x +4 x - 2 > 0
วิธีการแก้.
แสดงว่า 4 x = t, แล้วเราจะได้อสมการกำลังสอง t2 + t - 2 > 0
ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถือสำหรับ t< -2 и при t > 1.
เนื่องจาก t = 4 x เราจึงได้สองอสมการ 4 x< -2, 4 х > 1.
อสมการแรกไม่มีคำตอบ เนื่องจาก 4 x > 0 สำหรับ x ∈ R ทั้งหมด
เราเขียนอสมการที่สองในรูปแบบ 4 x > 4 0 ดังนั้น x > 0
ตอบ. x > 0
แก้สมการแบบกราฟิก (1/3) x = x - 2/3
วิธีการแก้.
1) ลองพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y \u003d (1/3) x และ y \u003d x - 2/3
2) จากรูปของเรา เราสามารถสรุปได้ว่ากราฟของฟังก์ชันที่พิจารณาตัดกันที่จุดที่มี abscissa x ≈ 1 การตรวจสอบพิสูจน์ให้เห็นว่า
x \u003d 1 - รากของสมการนี้:
(1/3) 1 = 1/3 และ 1 - 2/3 = 1/3
เราพบรากหนึ่งของสมการแล้ว
3) ค้นหารากอื่นหรือพิสูจน์ว่าไม่มี ฟังก์ชัน (1/3) x ลดลง และฟังก์ชัน y \u003d x - 2/3 เพิ่มขึ้น ดังนั้นสำหรับ x > 1 ค่าของฟังก์ชันแรกจะน้อยกว่า 1/3 และค่าที่สองมากกว่า 1/3 ที่ x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 และ x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
ตอบ. x = 1
สังเกตว่าจากการแก้ปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (1/3) x > x – 2/3 สำหรับ x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา