ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของระบบก่อน สมการเชิงเส้น วิธีการของแครมเมอร์. ในการทำเช่นนี้เราใช้การแก้ไขแล้ว ตัวอย่าง 8.

EXCEL มีฟังก์ชันสำหรับคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ (ดูข้อ 7) ให้เราเขียนเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์และเมทริกซ์ที่ได้จากมันโดยแทนที่คอลัมน์ทั้งหมดโดยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ รายการการคำนวณแสดงในรูปที่ แปด:

เมทริกซ์เขียนในช่วง

และค่าของดีเทอร์มีแนนต์อยู่ในเซลล์ . คอลัมน์สมาชิกฟรีอยู่ใน G2:G6 วิธีแก้ปัญหาของระบบอยู่ใน I2:I6

ตัวอย่างเดียวกันแก้ด้วย เมทริกซ์ผกผัน. EXCEL ใช้ฟังก์ชันเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผันและการคูณเมทริกซ์ (ดูข้อ 7) รายชื่อโซลูชันแสดงในรูปที่ 9. เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เขียนอยู่ในช่วง, เวกเตอร์ของพจน์อิสระเขียนในเซลล์, เมทริกซ์ผกผันถูกเขียนในช่วง, คำตอบของระบบที่ได้จากการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ ถูกเขียนลงในเซลล์

ขอเสนอวิธีแก้ระบบเชิงเส้นตรงใน EXCELL อีกวิธีหนึ่ง อาจดูเหมือนไม่มีประสิทธิภาพสำหรับระบบ แต่ความคุ้นเคยมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสม โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น. เครื่องมือสำหรับวิธีนี้คือขั้นตอน หาทางออกซึ่งตั้งอยู่ใน ส่วนเสริมหลังจากเรียกใช้โพรซีเดอร์แล้ว หน้าต่างที่แสดงในรูปที่ สิบเอ็ด

ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 12แก้ระบบ

เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของสมการของระบบถูกป้อนลงในเซลล์ ลงใน - สัมประสิทธิ์ของสมการสุดท้าย ลงในเซลล์ G3: G6 - คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ เซลล์ B1:E1 จะถูกสงวนไว้สำหรับค่าของสิ่งที่ไม่รู้จัก ในเซลล์ F3:F6 เราคำนวณผลรวมของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์ของสมการแต่ละสมการโดยไม่ทราบค่า (สำหรับสิ่งนี้ เราใช้ฟังก์ชัน SUMPRODUCT ในตัว) เลือกเซลล์ F6 เป็นเซลล์เป้าหมายและเรียกใช้ขั้นตอน หาทางออก. ในกล่อง ตั้งค่าว่าเซลล์เป้าหมายควรเป็น เท่ากันระยะว่างของสมการสุดท้าย และกรอกข้อมูลในฟิลด์ ในสนาม "การเปลี่ยนแปลงเซลล์"ป้อน B1:E1 ในสนาม "ข้อ จำกัด"เราจะแนะนำสมการแรก กล่าวคือ ค่าในเซลล์ F3 ควรเท่ากับ ตั้งค่าในเซลล์ G3 (สมการที่ 1) ในทำนองเดียวกัน เราบวกสมการอื่นอีกสองสมการ หลังจากกรอกครบทุกช่องแล้วให้กด

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นใน Excel

1. บทนำ

หลายงานในการจัดการผลิตการก่อสร้างจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของแบบฟอร์ม:

11x 1a 12x 2a 1n x n b 1,
				a2 n xn
21x 1a 22x 2
	น 1 1

เรียกว่าระบบของ n เชิงเส้น สมการพีชคณิต(SLAE ) กับ n

ไม่ทราบ

ในกรณีนี้ จะเรียกเลข a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n ) ตามอำเภอใจ

ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้ และตัวเลข b i (i = 1, 2,…, n ) ว่าง

สมาชิก.

ระบบ (1) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์

ขวาน=ข,

โดยที่ A คือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของนิรนาม:

					a2 n
			1	1
	1				1

X – เวกเตอร์คอลัมน์ของไม่ทราบค่า X= (x1 , x2 , …, xn ) T :

B คือเวกเตอร์คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ข 2B ,

หรือ B = (b 1 ,b 2 ,...,b n )T

2. การดำเนินการเมทริกซ์ใน Excel

ที่ Excel สำหรับการดำเนินการกับเมทริกซ์คือฟังก์ชันจากหมวด "คณิตศาสตร์":

1) MOPRED (เมทริกซ์) - การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 2) MIN (เมทริกซ์) - การคำนวณเมทริกซ์ผกผัน 3) MULT(เมทริกซ์1,เมทริกซ์2)เป็นผลคูณของเมทริกซ์ 4) TRANSP(เมทริกซ์) คือการขนย้ายของเมทริกซ์

ครั้งแรกของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นผล ส่งกลับตัวเลข(ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์) จึงป้อนเป็นสูตรปกติ (ENTER )

สามรายการสุดท้ายส่งคืนกลุ่มเซลล์ ดังนั้นจึงต้องป้อนเป็นสูตรอาร์เรย์ (CTRL+SHIFT+ENTER )

พิจารณาปัญหาในการแก้ปัญหา SLAE โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x 1 4x 2 8x 3 18.

เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับ A ที่ไม่รู้จัก (3) มีรูปแบบ

และเวกเตอร์คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระคือ (5)B = (–24, –48, 18)T

มาแก้ SLAE (7) ใน MS Excel กันสามวิธี

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ (เมทริกซ์ผกผัน)

ทั้งสองส่วนของเมทริกซ์เท่ากัน (2) คูณด้วย เมทริกซ์ผกผันเอ -1 . เราได้ A -1 A X \u003d A -1 B. ตั้งแต่ A -1 A \u003d E โดยที่ E - เมทริกซ์เอกลักษณ์(เมทริกซ์แนวทแยงกับเมทริกซ์ตามแนวทแยงหลัก) จากนั้นการแก้ปัญหาของระบบ (2) สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้

คูณ(เมทริกซ์1,เมทริกซ์2),ลงท้ายในแต่ละกรณีด้วยการรวมกัน

CTRL+SHIFT+ENTER

วิธีแครมเมอร์

สารละลายของ SLAE หาได้จากสูตรของแครมเมอร์

	เดต อา
		เดต อา
	det A2
		เดต อา
	เดต อา
	เดต อา

โดยที่ det A =A คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ (3) ของระบบ (ดีเทอร์มิแนนต์หลัก), detA i =A i (i = 1, 2, …, n ) คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ผม (ดีเทอร์มิแนนต์เสริม) ซึ่งได้มาจาก A โดยแทนที่คอลัมน์ i -th เป็นคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ B (5)

สำหรับ SLAE ที่พิจารณา (7) เมทริกซ์เสริมมีรูปแบบดังต่อไปนี้

A 148

มาวางไว้บนแผ่นงาน (รูปที่ 1)

สูตรที่คล้ายกัน (=MOPRED(A3:C5) ) สำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A เขียนอยู่ในเซลล์ E8 มันยังคงต้องหาทางแก้ไขให้กับระบบ ที่เกี่ยวข้อง สูตร Excelเราเขียนในช่วงโซลูชัน B7:B9 (รูปที่ 3) ซึ่งเราจะเห็นผล (รูปที่ 4)

ให้ความสนใจกับข้อเท็จจริง (รูปที่ 3) ว่าเมื่อคำนวณ x i (i = 1, 2, 3)

ค่าของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ A ถูกวิเคราะห์ , คำนวณในเซลล์ E8 และถ้ามันเท่ากับศูนย์ ข้อความ "ไม่มีวิธีแก้ปัญหา" จะถูกวางไว้ใน B7 และบรรทัดว่างจะอยู่ในเซลล์ B8 และ B9

3. การแก้ SLAE โดยใช้เครื่องมือ Solver

ชั้นกว้าง งานผลิตเป็นปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ งานเพิ่มประสิทธิภาพเกี่ยวข้องกับการค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ส่งฟังก์ชันซึ่งเรียกว่าเป้าหมาย ขั้นต่ำ หรือ มูลค่าสูงสุดต่อหน้าใด ๆ ข้อจำกัดเพิ่มเติม. Excel มีเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสม

เป็นเครื่องมือเสริมที่เรียกว่า Solver

(เข้าถึงได้จากเมนู Tools  Solver ) .

ปัญหาในการแก้ปัญหา SLAE สามารถลดลงเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมได้

เหตุใดจึงใช้สมการใดสมการหนึ่ง (เช่น สมการแรก) เป็น ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์และ n -1 ที่เหลือถือเป็นข้อจำกัด

เราเขียนระบบ(1) as

11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

				a2 n xn
21x 1a 22x 2
							ข0.
	น 1 1

เพื่อแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเขียนนิพจน์ (สูตร) ​​เพื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันทางด้านซ้ายในสมการของระบบ (12) ตัวอย่างเช่น ลองใช้ช่วงเวลา C7:C9 สำหรับสูตรเหล่านี้ ในเซลล์ C7 ให้ป้อนสูตร =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 และคัดลอกไปยัง C8 และ C9 ที่เหลือ =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 และ =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 จะปรากฏตามลำดับ

ในกล่องโต้ตอบ ค้นหาโซลูชัน (รูปที่ 5) ตั้งค่าพารามิเตอร์การค้นหา (ตั้งค่าเซลล์เป้าหมาย C7 ให้เท่ากับศูนย์ โซลูชันในเซลล์ที่เปลี่ยนแปลงได้ B7: B9 ข้อจำกัดถูกกำหนดโดยสูตรในเซลล์ C8 และ C9 ) หลังจากคลิกที่ปุ่มดำเนินการ

ช่วงเวลา B7:B9 เราได้ผลลัพธ์ (รูปที่ 6) - วิธีแก้ปัญหาของ SLAE

วิธีของแครมเมอร์ใช้ดีเทอร์มีแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีนี้ช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีของแครมเมอร์สามารถใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบในแต่ละสมการ หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถใช้เมธอดของแครมเมอร์ในการแก้ปัญหาได้ หากเท่ากับศูนย์ แสดงว่าเมธอดของแครมเมอร์ไม่สามารถทำได้ นอกจากนี้ วิธีของแครมเมอร์ยังสามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะ

คำนิยาม. ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนามเรียกว่าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบและแสดงด้วย (เดลต้า)

ตัวกำหนด

ได้มาจากการแทนที่สัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าที่สอดคล้องกันด้วยเงื่อนไขอิสระ:

;

.

ทฤษฎีบทของแครมเมอร์. ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบของสมการเชิงเส้นจะมีคำตอบเดียว และค่าที่ไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มีแนนต์ ตัวส่วนเป็นตัวกำหนดของระบบ และตัวเศษเป็นตัวกำหนดที่ได้จากตัวกำหนดของระบบ โดยการแทนที่สัมประสิทธิ์ด้วยค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่าง 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครมเมอร์เรามี:

ดังนั้น การแก้ปัญหาของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการเด็ดขาดเครเมอร์.

สามกรณีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตามที่ปรากฏจาก ทฤษฎีบทของแครมเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น อาจเกิดขึ้นได้สามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบเฉพาะ

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง: ระบบสมการเชิงเส้นมี นับไม่ถ้วนการตัดสินใจ

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของนิรนามและเงื่อนไขอิสระเป็นสัดส่วนกัน

กรณีที่สาม: ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย นตัวแปรเรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาและ ข้อต่อหากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี ระบบข้อต่อสมการที่มีคำตอบเดียวเรียกว่า แน่ใจและมากกว่าหนึ่ง ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ให้ระบบ

.

ตามทฤษฎีบทของแครมเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ตัวระบุระบบ ดีเทอร์มิแนนต์ที่เหลือหาได้จากการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ไม่ทราบ) ด้วยสมาชิกอิสระ:

ตัวอย่าง 2

.

ดังนั้นระบบจึงมีความแน่นอน เพื่อหาคำตอบ เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

ตามสูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวสำหรับระบบ

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ ซึ่งเป็นวิธีแก้ของ Cramer

หากไม่มีตัวแปรในระบบสมการเชิงเส้นในสมการตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป ในดีเทอร์มีแนนต์ องค์ประกอบที่สอดคล้องกับพวกมันจะเท่ากับศูนย์! นี่คือตัวอย่างต่อไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์:

.

วิธีการแก้. เราพบดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ:

พิจารณาระบบสมการและดีเทอร์มีแนนต์ของระบบอย่างละเอียดถี่ถ้วน แล้วทวนคำตอบของคำถามซึ่งในกรณีนี้ องค์ประกอบของดีเทอร์มีแนนต์หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงแน่นอน เพื่อหาทางแก้ไข เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับไม่ทราบค่า

ตามสูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ ซึ่งเป็นวิธีแก้ของ Cramer

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธี Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ และดีเทอร์มีแนนต์สำหรับค่านิรนามไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่มีวิธีแก้ไข มาอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์:

วิธีการแก้. เราพบดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอน หรือ ไม่สอดคล้องกัน นั่นคือ ไม่มีคำตอบ เพื่อความกระจ่าง เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับไม่ทราบค่า

ดีเทอร์มิแนนต์สำหรับไม่ทราบค่าไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ไข

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ ซึ่งเป็นวิธีแก้ของ Cramer

ในปัญหาของระบบสมการเชิงเส้น ยังมีตัวอักษรอื่นๆ ที่นอกเหนือไปจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรด้วย ตัวอักษรเหล่านี้ใช้แทนตัวเลขบางตัว ส่วนใหญ่มักเป็นตัวเลขจริง ในทางปฏิบัติสมการและระบบสมการดังกล่าวนำไปสู่ปัญหาการค้นหา คุณสมบัติทั่วไปปรากฏการณ์หรือวัตถุใดๆ นั่นคือคุณประดิษฐ์ใด ๆ วัสดุใหม่หรืออุปกรณ์และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของมันซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวนสำเนาจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยที่แทนค่าสัมประสิทธิ์บางอย่างสำหรับตัวแปรจะมีตัวอักษร คุณไม่ต้องไปหาตัวอย่างไกล

ตัวอย่างต่อไปคือสำหรับปัญหาที่คล้ายกัน เฉพาะจำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงจำนวนจริงบางตัวเท่านั้นที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์:

วิธีการแก้. เราพบดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ:

การหาดีเทอร์มิแนนต์ของสิ่งที่ไม่รู้

» บทที่ 15

บทที่ 15

วิธีแครมเมอร์

(เอสแอลเอ็น)
- ตัวระบุระบบ
หากดีเทอร์มีแนนต์ของ SLE ไม่ใช่ศูนย์ การแก้ปัญหาของระบบจะถูกกำหนดโดยสูตรของแครมเมอร์อย่างไม่ซ้ำกัน:
, , ()
ที่ไหน:

	เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ที่ตัวแปร x คือ ดังนั้นในคอลัมน์แรก แทนที่จะเป็นสัมประสิทธิ์ที่ x เราใส่ค่าสัมประสิทธิ์อิสระ ซึ่งในระบบสมการจะอยู่ทางด้านขวาของสมการ
	เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ที่ตัวแปร y คือ (คอลัมน์ที่ 2) แทนค่าสัมประสิทธิ์ที่ y เราใส่ค่าสัมประสิทธิ์อิสระ ซึ่งในระบบสมการจะอยู่ทางด้านขวาของสมการ
	เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ที่ตัวแปร z หมายถึงคอลัมน์ที่สาม แทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ z เราใส่ค่าสัมประสิทธิ์อิสระ ซึ่งในระบบสมการจะอยู่ทางด้านขวาของสมการ

แบบฝึกหัดที่ 1แก้ SLE ด้วยสูตร Cramer ใน Excel

ความคืบหน้าของการตัดสินใจ

1. เราเขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์:

2. ป้อนเมทริกซ์ A และ B ใน Excel

3. หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A. มันควรจะเท่ากับ 30

4. ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น - โซลูชันจะถูกกำหนดโดยสูตรของแครมเมอร์อย่างไม่ซ้ำกัน

5. กรอกค่า dX, dY, dZ บนแผ่นงาน Excel (ดูรูปด้านล่าง)

6. ในการคำนวณค่า dX, dY, dZ ในเซลล์ F8, F12, F16 คุณต้องป้อนฟังก์ชันที่คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ dX, dY, dZ ตามลำดับ

7. ในการคำนวณค่าของ X ในเซลล์ I8 คุณต้องป้อนสูตร =F8/B5 (ตามสูตรของ Cramer dX/|A|)

8. ป้อนสูตรเพื่อคำนวณ Y และ Z ด้วยตัวเอง

งาน2: ค้นหาวิธีแก้ปัญหาของ SLE อย่างอิสระโดยวิธี Cramer:

สูตรของแครมเมอร์และ วิธีเมทริกซ์คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นไม่มีผลร้ายแรง การใช้งานจริงเนื่องจากเกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ยุ่งยาก ในทางปฏิบัติ วิธีเกาส์มักใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีเกาส์

กระบวนการแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนประกอบด้วยสองขั้นตอน

1. จังหวะตรง:ระบบถูกย่อให้เป็นรูปแบบขั้นบันได (โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยม)

เพื่อที่จะแก้ระบบสมการ เมทริกซ์เสริมของระบบนี้จึงถูกเขียนออกมา

และเหนือแถวของเมทริกซ์นี้ให้ผล การแปลงร่างเบื้องต้นนำมันมาอยู่ในรูปแบบเมื่อศูนย์จะอยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก
ได้รับอนุญาตให้ทำการแปลงเบื้องต้นในเมทริกซ์
ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเหล่านี้ทุกครั้งที่ได้รับเมทริกซ์เสริม ระบบใหม่เทียบเท่าของเดิม กล่าวคือ ระบบที่มีโซลูชันตรงกับโซลูชันของระบบเดิม

2. ย้อนกลับ: มีการกำหนดลำดับของสิ่งที่ไม่รู้จักจากระบบแบบขั้นตอนนี้

ตัวอย่าง.ตั้งค่าความเข้ากันได้และแก้ปัญหาระบบ

วิธีการแก้.
ย้ายโดยตรง:ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบและสลับแถวแรกและแถวที่สองเพื่อให้องค์ประกอบมีค่าเท่ากับหนึ่ง (สะดวกกว่าที่จะทำการแปลงเมทริกซ์ด้วยวิธีนี้)



.

เรามี อันดับของเมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ส่วนขยายนั้นใกล้เคียงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ระบบสมการมีความสอดคล้องกันและคำตอบของสมการนั้นไม่เหมือนใคร
ย้อนกลับ:ให้เราเขียนระบบสมการ ซึ่งเป็นเมทริกซ์ขยายที่เราได้รับจากการแปลง:

ดังนั้นเราจึงมี
นอกจากนี้ แทนที่ด้วยสมการที่สาม เราพบว่า .
แทนค่าลงในสมการที่สอง จะได้ .
แทนค่าในสมการแรกพบว่า
ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาของระบบ

การแก้ปัญหา SLE โดยวิธีเกาส์ใน Excel:

ข้อความจะแจ้งให้คุณป้อนสูตรของแบบฟอร์ม: (=A1:B3+$C$2:$C$3) ลงในช่วงของเซลล์ ฯลฯ ซึ่งเรียกว่า "สูตรอาร์เรย์" Microsoft Excelล้อมรอบโดยอัตโนมัติในวงเล็บปีกกา (( )) ในการป้อนสูตรประเภทนี้ ให้เลือกช่วงทั้งหมดที่คุณต้องการแทรกสูตร ป้อนสูตรโดยไม่มีวงเล็บปีกกาในเซลล์แรก (สำหรับตัวอย่างด้านบน - =A1:B3+$C$2:$C$3) แล้วกด Ctrl +Shift+ป้อน
ให้มีระบบสมการเชิงเส้น:

1. ลองเขียนสัมประสิทธิ์ของระบบสมการในเซลล์ A1:D4 และคอลัมน์ของเทอมอิสระในเซลล์ E1:E4 กัน ถ้าอยู่ในเซลล์A1เป็น 0 คุณต้องสลับแถวเพื่อให้เซลล์นี้มีค่าไม่เป็นศูนย์. เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น คุณสามารถเพิ่มการเติมลงในเซลล์ที่มีสมาชิกอิสระอยู่

2. จำเป็นต้องลดสัมประสิทธิ์ที่ x1 ในทุกสมการ ยกเว้นอันแรกเหลือ 0 อันดับแรก ลองทำสมการที่สองกันก่อน คัดลอกบรรทัดแรกลงในเซลล์ A6:E6 โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง ลงในเซลล์ A7:E7 คุณต้องป้อนสูตร: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)) ดังนั้นเราจึงลบแถวแรกออกจากแถวที่สอง คูณด้วย A2/$A$1 นั่นคือ อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์แรกของสมการที่สองและสมการแรก เพื่อความสะดวกในการกรอกบรรทัดที่ 8 และ 9 การอ้างอิงไปยังเซลล์ของบรรทัดแรกจะต้องเป็นแบบสัมบูรณ์ (เราใช้สัญลักษณ์ $)

3. เราคัดลอกสูตรที่ป้อนลงในบรรทัดที่ 8 และ 9 ดังนั้นจึงกำจัดสัมประสิทธิ์หน้า x1 ในทุกสมการยกเว้นสมการแรก

4. ทีนี้ลองนำสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้า x2 ในสมการที่สามและสี่มาเป็น 0 ในการทำเช่นนี้ ให้คัดลอกผลลัพธ์ของแถวที่ 6 และ 7 (ค่าเท่านั้น) ลงในแถวที่ 11 และ 12 และในเซลล์ A13:E13 ให้ป้อนสูตร (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)) ซึ่งเราจะคัดลอกลงในเซลล์ A14:E14 ดังนั้น ความแตกต่างของแถวที่ 8 และ 7 คูณด้วยสัมประสิทธิ์ B8/$B$7 จะถูกรับรู้ .

5. มันยังคงนำสัมประสิทธิ์ที่ x3 ในสมการที่สี่เป็น 0 สำหรับสิ่งนี้เราจะทำเช่นเดียวกันอีกครั้ง: คัดลอกผลลัพธ์ของแถวที่ 11, 12 และ 13 (เฉพาะค่า) ลงในแถวที่ 16-18 และป้อนสูตร ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างแถวที่ 14 และ 13 คูณด้วยสัมประสิทธิ์ C14/$C$13 จะถูกรับรู้ อย่าลืมเปลี่ยนเส้นเพื่อกำจัด 0 ในตัวส่วนของเศษส่วน.

6. เสร็จสิ้นการกวาดไปข้างหน้าแบบเกาส์เซียน เรามาเริ่มการย้อนกลับจากแถวสุดท้ายของเมทริกซ์ผลลัพธ์กัน จำเป็นต้องแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของแถวสุดท้ายด้วยสัมประสิทธิ์ที่ x4 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ในบรรทัดที่ 24 เราป้อนสูตร (=A19:E19/D19)

7. ลองนำบรรทัดทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบที่คล้ายกันสำหรับสิ่งนี้เรากรอกในบรรทัดที่ 23, 22, 21 ด้วยสูตรต่อไปนี้:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - เราลบแถวที่สี่คูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่ x4 ของแถวที่สามจากแถวที่สาม

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – ลบบรรทัดที่สามและสี่ออกจากบรรทัดที่สอง คูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – ลบที่สอง สาม และสี่จากบรรทัดแรก คูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน

ผลลัพธ์ (รากของสมการ) คำนวณในเซลล์ E21:E24

เรียบเรียงโดย: สาลี่ N.A.

ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้ add-in "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา"เมื่อใช้ส่วนเสริมนี้ ลำดับของการประมาณจะถูกสร้างขึ้น , ผม=0,1,…น.

โทรมาเลย เวกเตอร์ตกค้าง เวกเตอร์ถัดไป:

งาน Excelคือการ หาค่าประมาณดังกล่าว , โดยที่เวกเตอร์ตกค้างจะกลายเป็นศูนย์, เช่น. เพื่อให้บรรลุความบังเอิญของค่าของส่วนขวาและซ้ายของระบบ

ตัวอย่างเช่น พิจารณา SLAE (3.27)

ลำดับ:

1. มาทำตารางกันดังรูปที่ 3.4 มาแนะนำค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (เมทริกซ์ A) ลงในเซลล์ A3:C5 กัน

รูปที่.3.4 การแก้ปัญหา SLAE โดยใช้ส่วนเสริม "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา"

2. ในเซลล์ A8:C8 สารละลายของระบบจะเกิดขึ้น (x 1, x 2, x 3). เริ่มแรกยังคงว่างเปล่าเช่น ศูนย์. ต่อไปนี้เราจะเรียกมันว่า การเปลี่ยนแปลงเซลล์. อย่างไรก็ตาม เพื่อควบคุมความถูกต้องของสูตรที่ป้อนด้านล่าง จะสะดวกในการป้อนค่าใดๆ ในเซลล์เหล่านี้ เช่น หน่วย ค่าเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณศูนย์ของการแก้ปัญหาของระบบ = (1, 1, 1)

3. ในคอลัมน์ D เราแนะนำนิพจน์สำหรับการคำนวณส่วนด้านซ้ายของระบบเดิม เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ในเซลล์ D3 ให้ป้อนแล้วคัดลอกสูตรลงไปที่ท้ายตาราง:

D3=SUMPRODUCT(A3:C3;$A$8:$C$8).

ฟังก์ชั่นที่ใช้ SUMPRODUCTอยู่ในหมวดหมู่ คณิตศาสตร์.

4. ในคอลัมน์ E เราเขียนค่าของส่วนที่ถูกต้องของระบบ (เมทริกซ์ B)

5. ในคอลัมน์ F เราแนะนำส่วนที่เหลือตามสูตร (3.29) เช่น ป้อนสูตร F3=D3-E3 และคัดลอกลงไปที่ท้ายตาราง

6. จะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณสำหรับกรณี = (1, 1, 1)

7. เลือกทีม Data\Analysis\Search for a solution.

ข้าว. 3.5. หน้าต่าง add-in ของ Solver

ในหน้าต่าง หาทางออก(fig.3.5) ในสนาม เซลล์ที่เปลี่ยนแปลงได้ระบุบล็อก $A$8:$C$8,และในสนาม ข้อ จำกัด – $F$3:$F$5=0. จากนั้นคลิกที่ปุ่ม เพิ่มและแนะนำข้อจำกัดเหล่านี้ แล้วก็ปุ่ม วิ่ง

ผลลัพธ์ของระบบ (3.28) X 1 = 1; X 2 = –1X 3 = 2 เขียนในเซลล์ A8:C8, รูปที่.3.4

การนำวิธี Jacobi ไปใช้โดยใช้ MS Excel

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาระบบสมการ (3.19) ซึ่งได้คำตอบมาจากวิธีจาโคบีข้างต้น (ตัวอย่าง 3.2)

มาทำให้ระบบนี้อยู่ในรูปแบบปกติ:

ลำดับ

1. มาทำตารางกันดังรูป 3.6.:

เราแนะนำเมทริกซ์และ (3.15) ลงในเซลล์ B6:E8

ความหมาย อี– ใน H5

ซ้ำหมายเลข kเราจะสร้างในคอลัมน์ A ของตารางโดยใช้การเติมข้อความอัตโนมัติ

จากการประมาณค่าศูนย์ เราเลือกเวกเตอร์

= (0, 0, 0) แล้วป้อนลงในเซลล์ B11:D11

2. ใช้นิพจน์ (3.29) ในเซลล์ B12:D12 เราเขียนสูตรสำหรับคำนวณค่าประมาณแรก:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

สูตรเหล่านี้สามารถเขียนต่างกันได้โดยใช้ ฟังก์ชัน Excel SUMPRODUCT

ในเซลล์ E12 ให้ป้อนสูตร E12=ABS(B11-B12) แล้วคัดลอกไปทางขวา ลงในเซลล์ F12:G12

รูปที่ 3.6 แบบแผนสำหรับการแก้ปัญหา SLAE โดยวิธีจาโคบี

3. ในเซลล์ H12 ให้ป้อนสูตรการคำนวณ ม(k) ,โดยใช้นิพจน์ (3.18): H12 = MAX(E12:G12) ฟังก์ชัน MAX อยู่ในหมวดหมู่ ทางสถิติ

4. เลือกเซลล์ B12:H12 และคัดลอกลงไปที่ท้ายตาราง ดังนั้นเราจึงได้รับ kการประมาณค่าของโซลูชัน SLAE

5. กำหนดวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบและจำนวนการวนซ้ำที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนด อี.

ในการทำเช่นนี้ เราประเมินระดับความใกล้เคียงของการวนซ้ำสองรอบที่อยู่ใกล้เคียงโดยใช้สูตร (3.18) มาใช้กัน การจัดรูปแบบตามเงื่อนไขในเซลล์ของคอลัมน์

ผลลัพธ์ของการจัดรูปแบบดังกล่าวจะปรากฏในรูปที่ 3.6 เซลล์ของคอลัมน์ H ที่มีค่าตรงตามเงื่อนไข (3.18) เช่น น้อย อี=0.1, ย้อมสี

การวิเคราะห์ผลลัพธ์ เราใช้การทำซ้ำครั้งที่สี่เป็นวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบดั้งเดิมด้วยความแม่นยำที่กำหนด e=0.1 กล่าวคือ

สำรวจ ธรรมชาติของกระบวนการวนซ้ำ. เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกกลุ่มเซลล์ A10:D20 และใช้ ต้นแบบไดอะแกรม,เราจะสร้างกราฟของการเปลี่ยนแปลงในแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์โซลูชันขึ้นอยู่กับจำนวนการวนซ้ำ

กราฟที่แสดง (รูปที่ 3.7) ยืนยันการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ

ข้าว. 3.7. ภาพประกอบของกระบวนการวนซ้ำแบบมาบรรจบกัน

เปลี่ยนค่า อีในเซลล์ H5 เราได้รับโซลูชันโดยประมาณใหม่ของระบบเดิมที่มีความแม่นยำใหม่

การใช้วิธีการกวาดโดยใช้ Excel

พิจารณาวิธีแก้ปัญหา ระบบถัดไปสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธี "กวาด" โดยใช้ตาราง เก่ง.

เวกเตอร์:

ลำดับ

1. มาทำตารางกันดังรูปที่ 3.8 ข้อมูลเริ่มต้นของเมทริกซ์ขยายของระบบ (3.30) เช่น เวกเตอร์จะถูกป้อนลงในเซลล์ B5:E10

2. เกี่ยวกับอัตราต่อรองในการแข่ง U 0 =0 และ V 0 =0เข้าสู่เซลล์ G4 และ H4 ตามลำดับ

3. คำนวณสัมประสิทธิ์การกวาด ลี , ยู ไอ , วี. ในการทำเช่นนี้ในเซลล์ F5, G5, H5 เราคำนวณ L 1 , U 1 , V 1. ตามสูตร (3.8) ในการทำเช่นนี้ เราขอแนะนำสูตร:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5 แล้วคัดลอกลงมา

รูปที่ 3.8 รูปแบบการออกแบบของวิธีการ "กวาด"

4. ในเซลล์ I10 เราคำนวณ x6ตามสูตร (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10)

5. ใช้สูตร (3.7) เราคำนวณสิ่งแปลกปลอมอื่นๆ ทั้งหมด x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 .ในการทำเช่นนี้ในเซลล์ I9 เราคำนวณ x5ตามสูตร (3.6): I9=G9*I10+H9 . แล้วคัดลอกสูตรนี้ขึ้น

คำถามทดสอบ

1. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) วิธีแก้ปัญหาของ SLAE คืออะไร เมื่อมีโซลูชัน SLAE ที่ไม่เหมือนใคร

2. ลักษณะทั่วไปวิธีการโดยตรง (แน่นอน) สำหรับการแก้ปัญหา SLAE วิธีการเกาส์และการกวาด

3. ลักษณะทั่วไป วิธีการวนซ้ำโซลูชั่น SLAU วิธีการของจาโคบี ( ทำซ้ำง่าย ๆ) และเกาส์-ไซเดล

4. เงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ

5. เงื่อนไขของเงื่อนไขของงานและการคำนวณหมายถึงอะไรความถูกต้องของปัญหาในการแก้ไข SLAE

บทที่ 4

การรวมตัวเลข

เมื่อต้องแก้ปัญหาทางเทคนิคจำนวนมากเพียงพอ เราต้องเผชิญความจำเป็นในการคำนวณ ปริพันธ์ที่แน่นอน:

การคำนวณ พื้นที่, ล้อมรอบด้วยโค้ง, งาน, โมเมนต์ความเฉื่อย การคูณไดอะแกรมตามสูตรของ Mohr เป็นต้น ถูกลดเหลือการคำนวณของอินทิกรัลที่แน่นอน

ถ้าต่อเนื่องกันบนช่วง [ ก, ข] การทำงาน y = ฉ(x)มีแอนติเดริเวทีฟในส่วนนี้ เอฟ(x), เช่น. F' (x) = f(x)จากนั้นอินทิกรัล (4.1) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร Newton-Leibniz:

อย่างไรก็ตาม สำหรับฟังก์ชันระดับแคบเท่านั้น y=f(x)แอนติเดริเวทีฟ เอฟ(x)สามารถแสดงออกใน ฟังก์ชั่นพื้นฐาน. นอกจากนี้ ฟังก์ชัน y=f(x)สามารถระบุแบบกราฟิกหรือแบบตารางได้ ในกรณีเหล่านี้ จะใช้สูตรต่างๆ ในการคำนวณปริพันธ์โดยประมาณ

สูตรดังกล่าวเรียกว่า สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสูตร การรวมตัวเลข.

สูตรการรวมตัวเลขมีภาพประกอบชัดเจน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าค่าปริพันธ์แน่นอน (4.1) ตามสัดส่วนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่เกิดจากอินทิกรัล y=f(x), ตรง x=a และ x=b,แกน โอ้(fig.4.1)

ปัญหาการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน (4.1) ถูกแทนที่ด้วยปัญหาการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้ อย่างไรก็ตาม ปัญหาการหาพื้นที่ของเส้นโค้งนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

ดังนั้นแนวความคิดของการรวมตัวเลขจะเป็น ในการแทนที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งด้วยรูป พื้นที่ของ ซึ่งคำนวณได้ค่อนข้างง่าย

y=f(x)

y

x

xi

xi+1

xn=b

xo=a

ซิ

รูปที่ 4.1 การตีความทางเรขาคณิตของการบูรณาการเชิงตัวเลข

สำหรับสิ่งนี้ ส่วนการรวม [ ก, ข] แบ่งออกเป็น นเท่ากัน ส่วนประถม (i=0, 1, 2, …..,n-1),เป็นขั้นเป็นตอน h=(b-a)/n.โดยที่ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะแตกออกเป็น n สี่เหลี่ยมคางหมูทรงโค้งเบื้องต้นที่มีฐานเท่ากัน ชม.(fig.4.1)

สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งขั้นต้นแต่ละอันจะถูกแทนที่ด้วยตัวเลข พื้นที่ของ ซึ่งคำนวณได้ค่อนข้างง่าย มากำหนดพื้นที่นี้กันเถอะ ศรี.ผลรวมของพื้นที่ทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่า ผลรวมปริพันธ์และคำนวณโดยสูตร

จากนั้นสูตรโดยประมาณสำหรับคำนวณอินทิกรัลแน่นอน (4.1) จะมีรูปแบบ

ความถูกต้องของการคำนวณตามสูตร (4.4) ขึ้นอยู่กับขั้นตอน ชม., เช่น. เกี่ยวกับจำนวนพาร์ทิชัน น.ด้วยการเพิ่มขึ้น นผลรวมปริพันธ์เข้าใกล้มูลค่าที่แน่นอนของปริพันธ์

สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างดีในรูปที่ 4.2

รูปที่ 4.2 การพึ่งพาความแม่นยำในการคำนวณอินทิกรัล

เกี่ยวกับจำนวนพาร์ทิชัน

ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบท: ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องบน ดังนั้นขีดจำกัดของผลรวมปริพันธ์ b n จะอยู่และไม่ขึ้นอยู่กับวิธีที่เซ็กเมนต์ถูกแบ่งออกเป็นเซ็กเมนต์พื้นฐาน

สูตร (4.4) สามารถใช้ถ้าระดับความถูกต้องของดังกล่าว การประมาณมีสูตรต่างๆ สำหรับการประมาณค่าข้อผิดพลาดของนิพจน์ (4.4) แต่ตามกฎแล้วจะค่อนข้างซับซ้อน เราจะประเมินความถูกต้องของการประมาณ (4.4) โดยวิธีการ ครึ่งก้าว.