ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของสูตรวิธีหางานอิสระเป็นคู่
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต
ข้อมูลทางทฤษฎี
ข้อมูลทางทฤษฎี
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต |
||
คำนิยาม |
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งคือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างความก้าวหน้า) |
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บีเอ็นคือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ตัวส่วนของความก้าวหน้า) |
สูตรการเกิดซ้ำ |
สำหรับธรรมชาติใดๆ n |
สำหรับธรรมชาติใดๆ n |
สูตรเทอมที่ n |
n = 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
คุณสมบัติลักษณะ | ||
ผลรวมของพจน์ n แรก |
ตัวอย่างงานพร้อมข้อคิดเห็น
ภารกิจที่ 1
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2
ตามสูตรของเทอมที่ n:
22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+ 21 วัน
ตามเงื่อนไข:
1= -6 แล้ว 22= -6 + 21 วัน .
จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:
ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
คำตอบ : 22 = -48.
ภารกิจที่ 2
ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....
วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)
ตามสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ข 5 = ข 1 ∙ ค 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.
เพราะ ข 1 = -3,
วิธีที่ 2 (ใช้สูตรเกิดซ้ำ)
เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:
ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
คำตอบ : ข 5 = -48.
ภารกิจที่ 3
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( และ ) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้
สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะจะมีรูปแบบ .
จากนี้จะเป็นดังนี้:
.
ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
คำตอบ: 95.
ภารกิจที่ 4
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) ก= 3n - 4 ค้นหาผลรวมของพจน์สิบเจ็ดตัวแรก
หากต้องการหาผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตร 2 สูตรดังนี้
.
อันไหนเข้า. ในกรณีนี้สะดวกในการใช้งานมากขึ้น?
ตามเงื่อนไข จะทราบสูตรสำหรับระยะที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4 คุณสามารถค้นหาได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ d ดังนั้นเราจะใช้สูตรแรก
คำตอบ: 368.
ภารกิจที่ 5
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า
ตามสูตรของเทอมที่ n:
22 = 1 + d (22 – 1) = 1+21วัน
ตามเงื่อนไข ถ้า. 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21วัน . จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:
ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
คำตอบ : 22 = -48.
ภารกิจที่ 6
มีการเขียนคำศัพท์ต่อเนื่องหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ค้นหาเทอมของความก้าวหน้าที่มีข้อความว่า x
เมื่อแก้โจทย์เราจะใช้สูตรของเทอมที่ n b n = b 1 ∙ q n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ระยะแรกของความก้าวหน้า ในการค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า q คุณต้องนำเงื่อนไขใดๆ ที่กำหนดของความก้าวหน้ามาหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหาและหารด้วย เราได้ q = 3 แทนที่จะเป็น n เราจะแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด
แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรเราจะได้:
.
คำตอบ : .
ภารกิจที่ 7
จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ กำหนดโดยสูตรเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:
เนื่องจากเงื่อนไขที่กำหนดจะต้องเป็นไปตามระยะที่ 27 ของการก้าวหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทนที่จะเป็น n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:
.
คำตอบ: 4.
ภารกิจที่ 8
ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5 ระบุ มูลค่าสูงสุด n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่ หนึ่ง > -6.
ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขคืออะไร เนื่องจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร กรณีพิเศษ ลำดับหมายเลข.
ลำดับหมายเลขคือ ชุดหมายเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบก็มีของตัวเอง หมายเลขซีเรียล - องค์ประกอบของเซตนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ หมายเลขซีเรียลขององค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:
องค์ประกอบแรกของลำดับ
องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ
- องค์ประกอบ “nth” ของลำดับ เช่น องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ที่หมายเลข n
มีความสัมพันธ์ระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบของลำดับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถพูดอย่างนั้นได้ ลำดับเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งตามธรรมชาติ:
ลำดับสามารถกำหนดได้สามวิธี:
1 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้ตารางในกรณีนี้ เราเพียงแค่ตั้งค่าของสมาชิกแต่ละตัวในลำดับ
ตัวอย่างเช่น มีคนตัดสินใจจัดการเวลาส่วนตัว และเริ่มต้นด้วยการนับเวลาที่เขาใช้กับ VKontakte ในระหว่างสัปดาห์ โดยการบันทึกเวลาลงในตาราง เขาจะได้รับลำดับที่ประกอบด้วยเจ็ดองค์ประกอบ:
บรรทัดแรกของตารางระบุจำนวนวันในสัปดาห์ บรรทัดที่สองคือเวลาเป็นนาที เราเห็นว่านั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา 125 นาทีบน VKontakte นั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15 นาที
2 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรเทอมที่ n
ในกรณีนี้ การพึ่งพาค่าขององค์ประกอบลำดับกับหมายเลขจะแสดงโดยตรงในรูปแบบของสูตร
ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว
ในการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยตัวเลขที่กำหนด เราจะแทนที่หมายเลของค์ประกอบลงในสูตรของเทอมที่ n
เราทำสิ่งเดียวกันหากเราต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชันหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราแทนที่ค่าของอาร์กิวเมนต์ลงในสมการของฟังก์ชัน:
ตัวอย่างเช่น หาก , ที่
ฉันขอทราบอีกครั้งว่าตามลำดับไม่เหมือนโดยพลการ ฟังก์ชันตัวเลขอาร์กิวเมนต์ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติเท่านั้น
3 - ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรที่แสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกลำดับหมายเลข n กับค่าของสมาชิกก่อนหน้า
ในกรณีนี้ การรู้เพียงจำนวนสมาชิกของลำดับเท่านั้นที่จะหาค่าของมันนั้นไม่เพียงพอ เราจำเป็นต้องระบุสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกสองสามตัวแรกของลำดับ ,
ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ เราสามารถหาค่าของสมาชิกลำดับได้ทีละคน
เริ่มจากตัวที่สาม: นั่นคือ ทุกครั้ง เพื่อค้นหาค่าของเทอมที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปหาค่าสองตัวก่อนหน้า วิธีการระบุลำดับนี้เรียกว่ากำเริบ , จาก คำภาษาละตินเกิดขึ้นอีก
- กลับมา
ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษอย่างง่ายของลำดับตัวเลข ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากวินาทีที่มีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับตัวเลขเดียวกัน เบอร์นั้นเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
- ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ถ้า title="d>0.
เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างเช่น 2; 5; 8; 11;... ถ้า แล้วแต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะน้อยกว่าเทอมก่อนหน้า และความก้าวหน้าก็คือ.
ลดลง
ตัวอย่างเช่น 2; -1; -4; -7;... ถ้า แล้วเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน และความก้าวหน้าก็เท่ากับ.
นิ่ง
ตัวอย่างเช่น 2;2;2;2;...
คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
เรามาดูรูปกันดีกว่า
เราเห็นสิ่งนั้น
และในเวลาเดียวกัน
.
เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราจะได้:
ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2:
ดังนั้น สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวที่อยู่ติดกัน:
เราเห็นสิ่งนั้น
นอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
, ที่
และด้วยเหตุนี้">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}
แต่ละเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มต้นด้วย title="k>l
สูตรของเทอมที่ 3
และในที่สุด
เราได้รับ สูตรของเทอมที่ n
สำคัญ!สมาชิกใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงผ่าน และ เมื่อรู้เทอมแรกและผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณจะพบเทอมใดก็ได้
ผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ ผลรวมของคำศัพท์ที่มีระยะห่างจากค่าสุดขั้วเท่ากันจะเท่ากัน:
พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเงื่อนไข n ให้ผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้านี้เท่ากับ
เรามาจัดเรียงเงื่อนไขของความก้าวหน้ากันก่อนโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก จากนั้นเรียงลำดับจากมากไปน้อย:
มาเพิ่มเป็นคู่กัน:
ผลรวมในแต่ละวงเล็บคือ จำนวนคู่คือ n
เราได้รับ:
ดังนั้น, ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:
ลองพิจารณาดู การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.
1 . ลำดับได้มาจากสูตรของเทอมที่ n: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ให้เราพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับนั้นเท่ากับจำนวนเดียวกัน
เราพบว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว ลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -31; -27;...
ก) ค้นหาเงื่อนไขความก้าวหน้า 31 ข้อ
b) พิจารณาว่าหมายเลข 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่
ก)เราเห็นแล้วว่า;
ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าของเรากัน
โดยทั่วไปแล้ว
ในกรณีของเรา นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละตัวเลขจะมากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าตัวเลขก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน
หัวข้อนี้มักจะดูซับซ้อนและเข้าใจยาก ดัชนีตัวอักษร เทอมที่ nความก้าวหน้าความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ทำให้เกิดความสับสนใช่... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที)
แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและชัดเจน คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? เปล่าประโยชน์) ดูเอาเอง
ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังเขียนไม่เสร็จ:
1, 2, 3, 4, 5, ...
คุณสามารถขยายซีรี่ส์นี้ได้หรือไม่? ต่อไปจะเลขอะไรหลังจากเลขห้า? ทุกคน... เอ่อ... สรุปทุกคนจะรู้ว่าเลข 6, 7, 8, 9 ฯลฯ จะมาตามมา
มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จแก่คุณ:
2, 5, 8, 11, 14, ...
คุณจะสามารถจับลาย ขยายซีรีส์ และตั้งชื่อได้ ที่เจ็ดหมายเลขแถว?
หากคุณรู้ว่าตัวเลขนี้คือ 20 ยินดีด้วย! ไม่เพียงแต่คุณรู้สึกเท่านั้น ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แต่ยังนำไปใช้ในธุรกิจได้สำเร็จอีกด้วย! หากคุณยังไม่เข้าใจอ่านต่อ
ตอนนี้เรามาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์กันดีกว่า)
จุดสำคัญประการแรก
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับชุดตัวเลขนี่เป็นความสับสนในตอนแรก เราคุ้นเคยกับการแก้สมการ การวาดกราฟ และอื่นๆ... แต่ที่นี่เราขยายอนุกรม หาจำนวนอนุกรม...
ไม่เป็นไร. เพียงแต่ว่าความก้าวหน้าคือการได้รู้จักกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์สาขาใหม่เป็นครั้งแรก ส่วนนี้เรียกว่า "ซีรี่ส์" และใช้ได้กับชุดตัวเลขและสำนวนโดยเฉพาะ คุ้นเคยกันดี..)
จุดสำคัญที่สอง
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนใดๆ จะแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้า ด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ในตัวอย่างแรก ความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะเอาเลขอะไรก็ตาม มันมากกว่าเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว ในช่วงที่สอง - สาม จำนวนใด ๆ ก็ตามจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าสามเท่า จริงๆ แล้วมันเป็นช่วงเวลานี้เองที่เปิดโอกาสให้เราเข้าใจรูปแบบและคำนวณตัวเลขที่ตามมา
จุดสำคัญประการที่สาม
ช่วงเวลานี้ไม่โดดเด่น ใช่... แต่มันสำคัญมากจริงๆ นี่คือ: แต่ละ หมายเลขความก้าวหน้ายืนอยู่ในที่ของมันมีเลขตัวแรก มีเลขเจ็ด มีเลขสี่สิบห้า ฯลฯ หากคุณผสมพวกมันแบบสุ่ม รูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็จะหายไปเช่นกัน ที่เหลือก็แค่ชุดตัวเลข
นั่นคือประเด็นทั้งหมด
แน่นอนใน หัวข้อใหม่ข้อกำหนดและการกำหนดใหม่ปรากฏขึ้น คุณจำเป็นต้องรู้จักพวกเขา ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่น คุณจะต้องตัดสินใจบางอย่างเช่น:
เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5
สร้างแรงบันดาลใจใช่ไหม) จดหมาย ดัชนีบางส่วน... และงานนี้ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของคำศัพท์และการกำหนด ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญเรื่องนี้และกลับสู่ภารกิจอีกครั้ง
ข้อกำหนดและการกำหนด
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดตัวเลขที่แต่ละหมายเลขมีความแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้า ด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ปริมาณนี้เรียกว่า - ลองดูแนวคิดนี้โดยละเอียด
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินตามจำนวนความก้าวหน้าใดๆ มากกว่าอันก่อนหน้า
หนึ่ง จุดสำคัญ- โปรดใส่ใจกับคำว่า "มากกว่า".ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าแต่ละหมายเลขความก้าวหน้าเป็น โดยการเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขก่อนหน้า
ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองคุณต้องมีหมายเลขซีรีส์ อันดับแรกตัวเลข เพิ่มความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับการคำนวณ ที่ห้า- ความแตกต่างเป็นสิ่งจำเป็น เพิ่มถึง ที่สี่อืม ฯลฯ
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจจะ เชิงบวก,แล้วแต่ละตัวเลขในชุดก็จะกลายเป็นตัวเลขจริง มากกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้น.ตัวอย่างเช่น:
8; 13; 18; 23; 28; .....
ที่นี่แต่ละหมายเลขจะได้รับ โดยการเพิ่ม จำนวนบวก, +5 ไปที่อันก่อนหน้า
ความแตกต่างอาจจะเป็น เชิงลบ,แล้วแต่ละหมายเลขในชุดจะเป็น น้อยกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อมัน!) ลดลง.
ตัวอย่างเช่น:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ที่นี่แต่ละหมายเลขก็ได้รับเช่นกัน โดยการเพิ่มสู่อันก่อนหน้าแต่ได้แล้ว จำนวนลบ, -5.
อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับความก้าวหน้า จะมีประโยชน์มากในการกำหนดธรรมชาติของมันทันที ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ตาม สิ่งนี้ช่วยได้มากในการตัดสินใจ มองเห็นข้อผิดพลาด และแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษร ง.
จะหาได้อย่างไร ง- ง่ายมาก จำเป็นต้องลบออกจากตัวเลขใดๆ ในชุดข้อมูล ก่อนหน้าตัวเลข. ลบ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ผลต่าง")
ให้เรานิยาม เช่น งเพื่อเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
2, 5, 8, 11, 14, ...
เราเอาตัวเลขใดๆ ในชุดที่เราต้องการ เช่น 11 มาลบออก หมายเลขก่อนหน้า, เหล่านั้น. 8:
นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ ความแตกต่างคือสาม
คุณสามารถรับมันได้ หมายเลขความก้าวหน้าใด ๆเพราะ เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ ด-เหมือนเดิมเสมออย่างน้อยก็ที่ต้นแถว อย่างน้อยก็ตรงกลาง อย่างน้อยก็ที่ไหนก็ได้ คุณไม่สามารถรับเฉพาะหมายเลขแรกเท่านั้น เพียงเพราะเลขตัวแรกสุด ไม่มีอันก่อนหน้า)
อีกอย่างก็รู้แบบนั้น. ง=3การค้นหาเลขเจ็ดของการก้าวหน้านี้ทำได้ง่ายมาก ลองบวก 3 เข้ากับเลขห้า - เราได้เลขหก มันจะเป็น 17 ลองบวกสามเข้ากับเลขหก เราจะได้เลขเจ็ด - ยี่สิบ
เรามากำหนดกัน งสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากมากไปหาน้อย:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ฉันเตือนคุณว่าต้องพิจารณาโดยไม่คำนึงถึงสัญญาณ งจำเป็นจากหมายเลขใด ๆ เอาอันก่อนหน้าออกไปเลือกหมายเลขความก้าวหน้า เช่น -7 หมายเลขก่อนหน้าของเขาคือ -2 แล้ว:
ง = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้: จำนวนเต็ม เศษส่วน จำนวนอตรรกยะ หรือจำนวนใดก็ได้
ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ
แต่ละหมายเลขในชุดเรียกว่า สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมาชิกแต่ละคนก้าวหน้า มีหมายเลขของตัวเองตัวเลขเป็นไปตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีลูกเล่นใดๆ ที่หนึ่ง สอง สาม สี่ ฯลฯ เช่น ในขั้นที่ 2, 5, 8, 11, 14, ... สองคือเทอมแรก ห้าคือเทอมสอง สิบเอ็ดคือเทอมสี่ เข้าใจไหม...) โปรดเข้าใจให้ชัดเจน - ตัวเลขนั้นเองสามารถเป็นอะไรก็ได้ ทั้งหมด เศษส่วน ลบ อะไรก็ได้ แต่ การนับตัวเลข- อย่างเคร่งครัด!
วิธีการเขียนความก้าวหน้าใน มุมมองทั่วไป- ไม่มีคำถาม! แต่ละตัวเลขในชุดจะเขียนเป็นตัวอักษร โดยปกติจะใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก- หมายเลขสมาชิกจะแสดงด้วยดัชนีที่มุมขวาล่าง เราเขียนคำศัพท์โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรืออัฒภาค) เช่นนี้
1, 2, 3, 4, 5, .....
1- นี่คือหมายเลขแรก 3- ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรแฟนซี ชุดนี้สามารถเขียนสั้น ๆ ได้ดังนี้: (หนึ่ง).
ความก้าวหน้าเกิดขึ้น มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด
สุดยอดความก้าวหน้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ห้า สามสิบแปด อะไรก็ได้ แต่ - หมายเลขสุดท้าย.
อนันต์ความก้าวหน้า - มีจำนวนสมาชิกไม่สิ้นสุด อย่างที่คุณอาจเดาได้)
เขียนลงไป ความก้าวหน้าอันจำกัดคุณสามารถอ่านชุดข้อมูลลักษณะนี้ โดยมีเงื่อนไขทั้งหมดและมีจุดต่อท้าย:
1, 2, 3, 4, 5.
หรือแบบนี้ถ้ามีสมาชิกเยอะ:
1, 2, ... 14, 15
ใน หมายเหตุสั้น ๆคุณจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิกยี่สิบคน) ดังนี้:
(น) n = 20
ความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดสามารถรับรู้ได้ด้วยจุดไข่ปลาที่ท้ายแถว ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้
ตอนนี้คุณสามารถแก้ไขงานได้ งานนั้นเรียบง่าย เพียงเพื่อทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น
ตัวอย่างงานเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาดูรายละเอียดงานที่ให้ไว้ข้างต้นโดยละเอียด:
1. เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5
เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ มีการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไม่สิ้นสุด ทราบความก้าวหน้าหมายเลขที่สอง: ก 2 = 5ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า: ง = -2.5เราจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่หนึ่ง สาม สี่ ห้า และหกของความก้าวหน้านี้
เพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนชุดตามเงื่อนไขของปัญหา หกเทอมแรก โดยเทอมที่สองคือห้า:
1, 5, 3, 4, 5, 6,....
3 = 2 + ง
ทดแทนในการแสดงออก ก 2 = 5และ ง = -2.5- อย่าลืมเกี่ยวกับลบ!
3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
เทอมที่สามกลับน้อยกว่าเทอมที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากจำนวนมากกว่าครั้งก่อน เชิงลบค่าซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะน้อยกว่าตัวเลขก่อนหน้า ความก้าวหน้ากำลังลดลง เอาล่ะ มาพิจารณากัน) เรานับเทอมที่สี่ของซีรีส์ของเรา:
4 = 3 + ง
4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = 4 + ง
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + ง
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
ดังนั้นจึงคำนวณเงื่อนไขจากข้อที่สามถึงหก ผลลัพธ์ที่ได้คือซีรีส์ต่อไปนี้:
1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
มันยังคงค้นหาเทอมแรก 1ตามวินาทีที่รู้จักกันดี นี่คือก้าวไปอีกทางหนึ่ง ไปทางซ้าย) ดังนั้น ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ งไม่ควรเพิ่มเข้าไป 2, ก เอาไป:
1 = 2 - ง
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
แค่นั้นแหละ. คำตอบที่ได้รับมอบหมาย:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
ฉันต้องการทราบว่าเราได้แก้ไขงานนี้แล้ว นั่นคือ ทุกครั้ง เพื่อค้นหาค่าของเทอมที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปหาค่าสองตัวก่อนหน้า วิธีการระบุลำดับนี้เรียกว่าทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงเพียงการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าเท่านั้น ตามหมายเลขก่อนหน้า(ติดกัน)เราจะดูวิธีอื่นๆ ในการทำงานกับความก้าวหน้าด้านล่าง
ข้อสรุปที่สำคัญประการหนึ่งสามารถสรุปได้จากงานง่ายๆ นี้
จดจำ:
ถ้าเรารู้อย่างน้อยหนึ่งเทอมและผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราก็สามารถหาเทอมใดๆ ของความก้าวหน้านี้ได้
คุณจำได้ไหม? ข้อสรุปง่ายๆ นี้ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาส่วนใหญ่ได้ หลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ งานทั้งหมดหมุนไปรอบ ๆ สามหลักพารามิเตอร์: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลต่างของความก้าวหน้า จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทั้งหมด.
แน่นอนว่าพีชคณิตก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไม่ถูกยกเลิก) อสมการ สมการ และสิ่งอื่นๆ ติดอยู่กับความก้าวหน้า แต่ ตามความก้าวหน้านั่นเอง- ทุกอย่างหมุนรอบพารามิเตอร์สามตัว
เป็นตัวอย่าง ลองดูงานยอดนิยมบางงานในหัวข้อนี้
2. เขียนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อันจำกัดเป็นอนุกรม ถ้า n=5, d = 0.4 และ a 1 = 3.6
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ทุกอย่างได้รับไปแล้ว คุณต้องจำไว้ว่าเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นถูกนับอย่างไร นับและจดบันทึกไว้ ขอแนะนำว่าอย่าพลาดคำศัพท์ในเงื่อนไขงาน: "สุดท้าย" และ " n=5" เพื่อไม่ให้นับจนหน้าซีดหมด) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนในความก้าวหน้านี้:
2 = 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
3 = 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
4 = 3 + ง = 4.4 + 0.4 = 4.8
5 = 4 + ง = 4.8 + 0.4 = 5.2
ยังคงต้องเขียนคำตอบ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
งานอื่น:
3. พิจารณาว่าหมายเลข 7 จะเป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หรือไม่หาก ก 1 = 4.1; ง = 1.2
อืม... ใครรู้บ้าง? จะตรวจสอบบางสิ่งได้อย่างไร?
ฮาวทู... เขียนความคืบหน้าเป็นซีรีส์แล้วดูว่าจะมีเซเว่นอยู่หรือเปล่า! เรานับ:
ก 2 = ก 1 + ง = 4.1 + 1.2 = 5.3
3 = 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
4 = 3 + ง = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ตอนนี้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าเราอายุแค่เจ็ดขวบ ลื่นไถลผ่านระหว่าง 6.5 ถึง 7.7! เจ็ดไม่รวมอยู่ในชุดตัวเลขของเรา ดังนั้น เจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าที่กำหนด
คำตอบ: ไม่.
นี่คือปัญหาตาม ตัวเลือกที่แท้จริงจีไอเอ:
4. มีการเขียนคำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันหลายคำของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
- 15; เอ็กซ์; 9; 6; -
นี่คือซีรีส์ที่เขียนโดยไม่มีจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น ไม่มีหมายเลขสมาชิก ไม่มีความแตกต่าง ง- ไม่เป็นไร. เพื่อแก้ปัญหา แค่เข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มาดูกันว่าอะไรเป็นไปได้ ที่จะรู้จากซีรีย์นี้เหรอ? พารามิเตอร์หลักสามประการคืออะไร?
หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขเดียวที่นี่
แต่มีตัวเลขสามตัวและ - โปรดทราบ! - คำ "สม่ำเสมอ"อยู่ในสภาพ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะเรียงลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง แถวนี้มีสองคนเหรอ? ใกล้เคียง ตัวเลขที่รู้จัก- ใช่ ฉันมี! เหล่านี้คือ 9 และ 6 ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้! ลบออกจากหก ก่อนหน้าหมายเลขเช่น เก้า:
เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น เลขอะไรจะเป็นเลขก่อนหน้าของ X? สิบห้า. ซึ่งหมายความว่าสามารถค้นหา X ได้ง่าย นอกจากนี้ง่ายๆ- เพิ่มส่วนต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็น 15:
แค่นั้นแหละ. คำตอบ: x=12
เราแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเราเอง หมายเหตุ: ปัญหาเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสูตร เพื่อเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง) เราแค่เขียนชุดตัวเลขและตัวอักษร ดูและคิดออก
5. ค้นหาอันแรก แง่บวกความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า 5 = -3; ง = 1.1
6. เป็นที่รู้กันว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 = 1.6; ง = 1.3 กำหนดหมายเลข n ของสมาชิกนี้
7. เป็นที่ทราบกันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 4; 5 = 15.1 หา 3.
8. มีการเขียนคำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันหลายคำของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
- 15.6; เอ็กซ์; 3.4; -
ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x
9. รถไฟเริ่มเคลื่อนตัวจากสถานีโดยเพิ่มความเร็วสม่ำเสมอ 30 เมตรต่อนาที รถไฟในห้านาทีจะมีความเร็วเท่าไร? ให้คำตอบเป็น กม./ชม.
10. เป็นที่รู้กันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 5; 6 = -5 หา 1.
คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? อัศจรรย์! คุณสามารถเชี่ยวชาญความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้มากขึ้น ระดับสูงในบทเรียนต่อไปนี้
ทุกอย่างไม่ได้ผลเหรอ? ไม่มีปัญหา. ในมาตราพิเศษ 555 ปัญหาต่างๆ เหล่านี้จะถูกแจกแจงไปทีละส่วน) และที่ขาดไม่ได้ก็คือเรื่องง่ายๆ เทคนิคการปฏิบัติซึ่งเน้นการแก้ปัญหางานดังกล่าวทันที ชัดเจน ชัดเจนในพริบตา!
อย่างไรก็ตาม ในเกมไขปริศนารถไฟ มีปัญหาสองประการที่ผู้คนมักจะสะดุดล้ม เรื่องหนึ่งเป็นเรื่องของความก้าวหน้าล้วนๆ และเรื่องที่สองเป็นเรื่องทั่วไปสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง มันแสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้ควรได้รับการแก้ไขอย่างไร
ในบทเรียนนี้ เราพิจารณาความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวแปรหลัก นี่ก็เพียงพอแล้วสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม งเป็นตัวเลข เขียนเป็นชุด ทุกอย่างจะได้รับการแก้ไข
การใช้นิ้วใช้ได้ผลดีกับส่วนที่สั้นมากในแถว ดังตัวอย่างในบทช่วยสอนนี้ หากอนุกรมยาวกว่านี้ การคำนวณก็จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากอยู่ในปัญหา 9 ในคำถาม เราจะแทนที่ "ห้านาที"บน "สามสิบห้านาที"ปัญหาจะยิ่งแย่ลงไปอีก)
และยังมีงานที่มีเนื้อหาเรียบง่าย แต่ไร้สาระในแง่ของการคำนวณเช่น:
มีการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ค้นหา 121 ถ้า 1 =3 และ d=1/6
แล้วเราจะบวก 1/6 หลายๆ ครั้งล่ะ?! ฆ่าตัวตายได้!?
คุณทำได้) หากคุณไม่รู้ สูตรง่ายๆซึ่งช่วยให้คุณแก้ไขงานดังกล่าวได้ภายในไม่กี่นาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนถัดไป และปัญหานี้ได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย ทั้งความหมายและสูตร แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ ตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงค่อนข้างแข็ง
ก่อนอื่นมาทำความเข้าใจความหมายและสูตรของจำนวนกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ. เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของจำนวนเงินนั้นง่ายพอ ๆ กับหมู่ หากต้องการหาผลบวกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณเพียงแค่ต้องบวกเงื่อนไขทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากคำเหล่านี้มีน้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ แต่ถ้ามีเยอะหรือมาก...บวกน่ารำคาญครับ) กรณีนี้สูตรมาช่วยครับ
สูตรสำหรับจำนวนเงินนั้นง่าย:
เรามาดูกันว่าสูตรมีตัวอักษรประเภทใดบ้าง สิ่งนี้จะทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนขึ้นมาก
ส - ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลบวก ทุกคนสมาชิกด้วย อันดับแรกโดย ล่าสุด.นี่เป็นสิ่งสำคัญ พวกเขารวมกันอย่างแน่นอน ทั้งหมดสมาชิกติดต่อกันโดยไม่ข้ามหรือข้าม และแน่นอนว่าเริ่มจาก อันดับแรก.ในปัญหาเช่นการหาผลรวมของเทอมที่ 3 และ 8 หรือผลรวมของเทอมที่ 5 ถึง 20 การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)
1 - อันดับแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย อันดับแรกหมายเลขแถว
หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า เบอร์สุดท้ายของซีรีย์. ชื่อไม่คุ้นเท่าไหร่แต่พอประยุกต์เข้ากับปริมาณก็เหมาะมาก แล้วคุณจะเห็นเอง
n - หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนคำที่เพิ่มเข้ามา
เรามากำหนดแนวคิดกัน ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง- คำถามหากิน: สมาชิกคนไหนจะเป็น อันสุดท้ายถ้าได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?)
หากต้องการตอบอย่างมั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และ... อ่านภารกิจให้ละเอียด!)
ในงานค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมสุดท้ายจะปรากฏเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ซึ่งควรจะจำกัดไว้มิฉะนั้นจะเป็นจำนวนเงินสุดท้ายที่เฉพาะเจาะจง ไม่มีอยู่จริงสำหรับการแก้ปัญหานั้นไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าหรือไม่: มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะให้อย่างไร: ชุดตัวเลขหรือสูตรสำหรับเทอมที่ n
สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรนี้ใช้ได้ตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข n.จริงๆ แล้ว ชื่อเต็มของสูตรจะเป็นดังนี้: ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนสมาชิกกลุ่มแรกๆ เหล่านี้ ได้แก่ nถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลอันมีค่าทั้งหมดนี้มักจะได้รับการเข้ารหัส ใช่แล้ว... แต่ไม่เป็นไร ในตัวอย่างด้านล่างเราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้)
ตัวอย่างงานเกี่ยวกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ก่อนอื่นเลย, ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:
ปัญหาหลักในงานที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อยู่ที่การกำหนดองค์ประกอบของสูตรที่ถูกต้อง
ผู้เขียนงานเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการอันไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่ไม่ต้องกลัว เมื่อเข้าใจถึงแก่นแท้ขององค์ประกอบต่างๆ ก็เพียงพอที่จะถอดรหัสองค์ประกอบเหล่านั้นได้ ลองดูตัวอย่างบางส่วนโดยละเอียด เริ่มจากงานตาม GIA จริงกันก่อน
1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 ค้นหาผลรวมของ 10 เทอมแรก
งานดี- ง่ายๆ.) การจะกำหนดปริมาณโดยใช้สูตรต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1เทอมสุดท้าย หนึ่งใช่หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย n.
จะรับเบอร์สมาชิกคนสุดท้ายได้ที่ไหน? n- ใช่แล้ว ตามเงื่อนไข! มันบอกว่า: ค้นหาผลรวม สมาชิก 10 คนแรกแล้วมันจะเป็นเลขอะไรล่ะ? ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) คุณจะไม่เชื่อเลยหมายเลขของเขาคือสิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะแทนลงในสูตร 10และแทน n- สิบ ขอย้ำว่าจำนวนสมาชิกคนสุดท้ายตรงกับจำนวนสมาชิก
มันยังคงอยู่ที่จะกำหนด 1และ 10- คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ซึ่งระบุไว้ในข้อความแสดงปัญหา ไม่ทราบว่าต้องทำอย่างไร? เข้าร่วมบทเรียนก่อนหน้านี้ หากไม่มีสิ่งนี้จะไม่มีทางเกิดขึ้น
1= 2 1 - 3.5 = -1.5
10=2·10 - 3.5 =16.5
ส = ส 10.
เราได้ค้นพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทนและนับ:
แค่นั้นแหละ. คำตอบ: 75.
งานอื่นตาม GIA ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:
2. เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ผลต่างคือ 3.7 ก 1 = 2.3 ค้นหาผลรวมของ 15 เทอมแรก
เราเขียนสูตรผลรวมทันที:
สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของพจน์ใดๆ ตามจำนวนของมันได้ เรามองหาการทดแทนแบบง่าย:
15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดลงในสูตรเพื่อผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:
คำตอบ: 423.
โดยวิธีการถ้าอยู่ในสูตรผลรวมแทน หนึ่งเราเพียงแทนที่สูตรสำหรับเทอมที่ n แล้วได้:
ให้เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันและรับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
อย่างที่คุณเห็น เทอมที่ n ไม่จำเป็นที่นี่ หนึ่ง- ในบางปัญหา สูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่... จำสูตรนี้ได้ เป็นไปได้ไหมใน ช่วงเวลาที่เหมาะสมมันง่ายที่จะแสดงมันเหมือนที่นี่ ท้ายที่สุด คุณต้องจำสูตรสำหรับผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ไว้เสมอ)
ตอนนี้งานอยู่ในรูปแบบของการเข้ารหัสแบบสั้น):
3. หาผลรวมของค่าบวกทั้งหมด ตัวเลขสองหลัก, หลายเท่าของสาม
ว้าว! ทั้งสมาชิกคนแรกของคุณ หรือคนสุดท้ายของคุณ หรือความก้าวหน้าเลย... จะมีชีวิตอยู่ได้อย่างไร!?
คุณจะต้องคิดด้วยหัวและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข เรารู้ว่าตัวเลขสองหลักคืออะไร ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว) จะเป็นตัวเลขสองหลักอะไร อันดับแรก- 10 น่าจะเป็น) A ล่าสุดเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! ตัวสามหลักจะตามเขาไป...
ผลคูณของสาม... อืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัว! สิบหารด้วยสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ลงตัว... 12... หารลงตัว! จึงมีบางอย่างเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนซีรีส์ตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
ซีรีส์นี้จะเป็นซีรีส์ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละคำจะแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยสามอย่างเคร่งครัด หากคุณบวก 2 หรือ 4 เข้ากับคำใดคำหนึ่ง ให้พูดว่าผลลัพธ์คือ จำนวนใหม่นี้ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวอีกต่อไป คุณสามารถกำหนดผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ทันที: ง = 3.มันจะมีประโยชน์!)
ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:
จะเป็นเลขอะไรคะ? nสมาชิกคนสุดท้าย? ใครที่คิดว่า 99 ผิดมหันต์... ตัวเลขมันติดกันตลอดแต่สมาชิกเรากระโดดข้ามสามไปเลย พวกเขาไม่ตรงกัน
มีสองวิธีที่นี่ วิธีหนึ่งคือสำหรับผู้ที่ทำงานหนักมาก คุณสามารถจดความก้าวหน้า ชุดตัวเลขทั้งหมด และนับจำนวนสมาชิกด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สองสำหรับผู้ช่างคิด คุณต้องจำสูตรของเทอมที่ n ให้ได้ หากเราใช้สูตรกับโจทย์ เราจะพบว่า 99 เป็นเทอมที่ 30 ของความก้าวหน้า เหล่านั้น. n = 30.
ลองดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
เรามองและชื่นชมยินดี) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นในการคำนวณจำนวนเงินออกจากคำชี้แจงปัญหา:
1= 12.
30= 99.
ส = ส30.
สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น เราแทนที่ตัวเลขลงในสูตรแล้วคำนวณ:
คำตอบ: 1665
ปริศนายอดนิยมประเภทอื่น:
4. มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
จงหาผลรวมของพจน์ตั้งแต่ยี่สิบถึงสามสิบสี่
เราดูสูตรหาจำนวนเงินแล้ว...เราหงุดหงิด) สูตรขอเตือนไว้ก่อนว่าคำนวณจำนวนเงิน ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิก. และในโจทย์คุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่วันที่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน
แน่นอนคุณสามารถเขียนความคืบหน้าทั้งหมดในซีรีส์ และเพิ่มคำศัพท์จาก 20 ถึง 34 ได้ แต่... มันโง่และใช้เวลานานใช่ไหม?)
มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านี้ มาแบ่งซีรี่ส์ของเราออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะเป็น ตั้งแต่ภาคการศึกษาที่หนึ่งจนถึงภาคการศึกษาที่สิบเก้าส่วนที่สอง - จากยี่สิบถึงสามสิบสี่จะเห็นได้ชัดว่าถ้าเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก ส 1-19ลองบวกมันด้วยผลรวมของเงื่อนไขของส่วนที่สอง ส20-34เราจะได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากเทอมแรกถึงเทอมที่ 34 ส 1-34- แบบนี้:
ส 1-19 + ส20-34 = ส 1-34
จากนี้เราจะเห็นว่าหาผลรวมได้ ส20-34สามารถ การลบอย่างง่าย
ส20-34 = ส 1-34 - ส 1-19
พิจารณาจำนวนเงินทั้งสองทางด้านขวา ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิกเช่น ค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา สูตรมาตรฐานจำนวนเงิน มาเริ่มกันเลย?
เราแยกพารามิเตอร์ความก้าวหน้าออกจากคำชี้แจงปัญหา:
ง = 1.5
1= -21,5.
ในการคำนวณผลรวมของเทอม 19 และ 34 แรก เราจำเป็นต้องมีเทอมที่ 19 และ 34 เราคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n เช่นเดียวกับในปัญหาที่ 2:
19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
ไม่เหลืออะไรเลย จากผลรวมของ 34 เทอมลบผลรวมของ 19 เทอม:
ส 20-34 = ส 1-34 - ส 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
คำตอบ: 262.5
หนึ่ง หมายเหตุสำคัญ- มีเคล็ดลับที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ สิ่งที่ดูเหมือนไม่จำเป็น - ส 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ ส20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปจากผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ การ “หลอกหู” แบบนี้มักจะช่วยคุณให้พ้นจากปัญหาอันชั่วร้าย)
ในบทเรียนนี้ เราพิจารณาปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)
เมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ฉันแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที
สูตรสำหรับเทอมที่ n:
สูตรเหล่านี้จะบอกคุณทันทีว่าต้องค้นหาอะไรและคิดไปในทิศทางใดเพื่อแก้ไขปัญหา ช่วยได้.
และตอนนี้งานสำหรับโซลูชันอิสระ
5. ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดที่หารด้วยสามไม่ลงตัว
เจ๋งไหม) คำใบ้ซ่อนอยู่ในบันทึกของปัญหา 4 ปัญหาที่ 3 จะช่วยได้
6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a 1 = -5.5; n+1 = n +0.5 ค้นหาผลรวมของ 24 เทอมแรก
ผิดปกติ?) นี่ สูตรการเกิดซ้ำ- คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนก่อนหน้า อย่าละเลยลิงค์ ปัญหาดังกล่าวมักพบใน State Academy of Sciences
7. วาสยาเก็บเงินไว้สำหรับวันหยุด มากถึง 4,550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจมอบความสุขให้กับคนโปรด (ตัวฉันเอง) เป็นเวลาสองสามวัน) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ต้องปฏิเสธตัวเองอะไรเลย ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรกและในแต่ละวันถัดไปใช้จ่ายมากกว่าครั้งก่อน 50 รูเบิล! จนกว่าเงินจะหมด วาสยามีความสุขกี่วัน?
ยากไหม) สูตรเพิ่มเติมจากภารกิจที่ 2 จะช่วยได้
คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 7, 3240, 6.
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่ จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :
ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .
ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ
ตัวเลข ก 1 เรียกว่า เทอมแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — เทอมที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า เทอมที่ nลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .
จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 สมาชิกลำดับ หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (สัมพันธ์กับ หนึ่ง ) ก หนึ่ง — ก่อนหน้า (สัมพันธ์กับ หนึ่ง +1 ).
ในการกำหนดลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้
บ่อยครั้งมีการระบุลำดับโดยใช้ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ช่วยให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามหมายเลขของมันได้
ตัวอย่างเช่น,
ลำดับของการบวก ตัวเลขคี่สามารถกำหนดได้ตามสูตร
หนึ่ง= 2ไม่มี 1,
และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร
ข n = (-1)n +1 . ◄
สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน จนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)
ตัวอย่างเช่น,
ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5
ก 1 = 1,
ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นเจ็ดเทอมแรกของลำดับตัวเลขจะถูกสร้างดังนี้:
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,
ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄
ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .
ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด
ตัวอย่างเช่น,
ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
สุดท้าย.
ลำดับของจำนวนเฉพาะ:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
ไม่มีที่สิ้นสุด ◄
ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า
ลำดับที่เรียกว่า ลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ลำดับที่เพิ่มขึ้น;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄
ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .
โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษอย่างง่ายของลำดับตัวเลข คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าซึ่งมีการเพิ่มจำนวนเดียวกันเข้าไป
ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .
คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากมี จำนวนธรรมชาติ n ตรงตามเงื่อนไข:
หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,
ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง
ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ตามมาและเงื่อนไขก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:
2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.
ตัวเลข ง เรียกว่า เบอร์นั้นเรียกว่า.
เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและผลต่างของมัน
ตัวอย่างเช่น,
ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:
1 =3,
2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,
ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄
สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n
หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.
ตัวอย่างเช่น,
ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, ง = 3,
30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (n- 2)ง,
หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,
หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,
เห็นได้ชัดว่า
หนึ่ง=
| n-1 + n+1
|
2
|
สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา
ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น,
หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:
หนึ่ง = 2n- 7,
n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
เพราะฉะนั้น,
n+1 + n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = หนึ่ง,
|
2
| 2
|
◄
โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค
หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.
ตัวอย่างเช่น,
สำหรับ ก 5 สามารถเขียนลงไปได้
5 = 1 + 4ง,
5 = 2 + 3ง,
5 = 3 + 2ง,
5 = 4 + ง. ◄
หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,
หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,
เห็นได้ชัดว่า
หนึ่ง=
| ก นะเค
+ก ไม่มี+เค
|
2
|
สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้
นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
a m + a n = a k + a l,
ม. + n = k + ล.
ตัวอย่างเช่น,
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;
4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ
ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + - -+ หนึ่ง,
อันดับแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขสุดขั้วและจำนวนเงื่อนไข:
จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากคุณต้องการรวมคำศัพท์
เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,
ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:
ตัวอย่างเช่น,
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:
ดังนั้นหาก ความหมายของสามของปริมาณเหล่านี้จะได้รับจากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัว
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ ในกรณีนี้:
- ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
- ถ้า ง < 0 ก็กำลังลดลง;
- ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน
ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .
คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:
บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,
ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง
ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:
ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.
ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.
ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่างเช่น,
ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:
ข 1 = 1,
ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,
ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,
ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,
ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄
ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n คำที่ 3 สามารถพบได้โดยใช้สูตร:
บีเอ็น = ข 1 · qn -1 .
ตัวอย่างเช่น,
หาเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .
ข 1 = 1, ถาม = 2,
ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄
บีเอ็น-1 = ข 1 · qn -2 ,
บีเอ็น = ข 1 · qn -1 ,
บีเอ็น +1 = ข 1 · qn,
เห็นได้ชัดว่า
บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,
สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกต่อๆ ไป
เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความต่อไปนี้จึงถือเป็น:
ตัวเลข a, b และ c เป็นเทอมที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากเป็นกำลังสองของหนึ่งในนั้น เท่ากับสินค้าอีกสองตัวนั่นคือตัวเลขตัวหนึ่งคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว
ตัวอย่างเช่น,
ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:
บีเอ็น= -3 2 n,
บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,
บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .
เพราะฉะนั้น,
บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,
ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄
โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงสมาชิกคนก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอที่จะใช้สูตร
บีเอ็น = ข · qn - เค.
ตัวอย่างเช่น,
สำหรับ ข 5 สามารถเขียนลงไปได้
ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,
ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,
ข 5 = ข 3 · คำถามที่ 2,
ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄
บีเอ็น = ข · qn - เค,
บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,
เห็นได้ชัดว่า
บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค
กำลังสองของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน
นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
ข ม· บีเอ็น= ข· ข,
ม+ n= เค+ ล.
ตัวอย่างเช่น,
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;
2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;
4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ
ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,
ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄
ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น
อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:
และเมื่อไร ถาม = 1 - ตามสูตร
ส= ไม่มี 1
โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปข้อกำหนด
ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,
จากนั้นจึงใช้สูตร:
ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข · | 1 - qn -
เค +1
| . |
1 - ถาม
|
ตัวอย่างเช่น,
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
หากได้รับ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจากนั้นปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:
ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว
สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :
- ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
ข 1 > 0 และ ถาม> 1;
ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;
- ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;
ข 1 < 0 และ ถาม> 1.
ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่มีเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ
สินค้าชิ้นแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
พี= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .
ตัวอย่างเช่น,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด
ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 นั่นคือ
|ถาม| < 1 .
โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง มันเหมาะกับโอกาส
1 < ถาม< 0 .
ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับกัน ตัวอย่างเช่น,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของหมายเลขแรกเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด n สมาชิกของความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n - จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร
ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . = | ข 1
| . |
1 - ถาม
|
ตัวอย่างเช่น,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองดูเพียงสองตัวอย่าง
ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง นอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . ข d .
ตัวอย่างเช่น,
1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 7 2 . ◄
ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน ถาม นอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
เข้าสู่ระบบ ข 1, เข้าสู่ระบบ ข 2, เข้าสู่ระบบ ข 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .
ตัวอย่างเช่น,
2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 6 และ
แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄