เรากำหนดพื้นที่ใกล้เคียงของจุดนี้ว่าเป็นด้านนอกของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด: คุณ (∞, ε ) = {z ∈ | |z - > ε) จุด z = ∞ เป็นจุดเอกพจน์ที่แยกออกจากกัน ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ ว = ฉ (z ) ถ้าในบริเวณใกล้ๆ ของจุดนี้ไม่มีจุดเอกพจน์อื่นของฟังก์ชันนี้ เพื่อกำหนดประเภทของจุดเอกพจน์นี้ เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรและจุด z = ∞ ไปยังจุด z 1 = 0, ฟังก์ชัน ว = ฉ (z ) จะอยู่ในรูปแบบ - ประเภทของจุดเอกพจน์ z = ∞ ฟังก์ชัน ว = ฉ (z ) เราจะเรียกประเภทของจุดเอกพจน์ z 1 = 0 ฟังก์ชัน ว = φ (z 1). ถ้าจะขยายฟังก์ชั่น ว = ฉ (z ) ตามองศา z ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดหนึ่ง z = ∞ กล่าวคือ ที่มีค่าโมดูลัสสูงเพียงพอ z มีแบบฟอร์มแล้วจึงแทนที่ z วันที่เราจะได้รับ ดังนั้น ด้วยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรดังกล่าว ส่วนหลักและส่วนปกติของอนุกรม Laurent จึงเปลี่ยนสถานที่ และประเภทของจุดเอกพจน์ z = ∞ ถูกกำหนดโดยจำนวนพจน์ในส่วนที่ถูกต้องของการขยายฟังก์ชันในชุด Laurent ที่กำลังยกกำลัง z ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดหนึ่ง z = 0 ดังนั้น
1. จุด z = ∞ - ถอดออกได้ จุดเอกพจน์หากในการขยายตัวครั้งนี้ ส่วนที่ถูกต้องไม่อยู่ (ยกเว้นบางทีสำหรับสมาชิก ก 0);
2. จุด z = ∞ - เสา n -ลำดับที่ถ้าส่วนที่ถูกต้องลงท้ายด้วยคำ หนึ่ง · z n ;
3. จุด z = ∞ เป็นจุดเอกพจน์หากส่วนปกติประกอบด้วยพจน์จำนวนมากไม่สิ้นสุด

ในกรณีนี้ เกณฑ์สำหรับประเภทของจุดเอกพจน์ตามค่ายังคงใช้ได้: ถ้า z= ∞ เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ดังนั้นขีดจำกัดนี้จึงมีอยู่และเป็นจำกัดหาก z= ∞ เป็นขั้ว ดังนั้นขีดจำกัดนี้จะไม่มีที่สิ้นสุดหาก z= ∞ เป็นจุดเอกพจน์ ดังนั้นขีดจำกัดนี้จึงไม่มีอยู่ (ไม่มีขอบเขตหรืออนันต์).

ตัวอย่าง: 1. ฉ (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. ฟังก์ชันนี้เป็นพหุนามในกำลังอยู่แล้ว z ระดับสูงสุดคืออันดับที่ 6 ดังนั้น z
ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถได้รับในอีกทางหนึ่ง เราจะมาแทนที่ z แล้ว - สำหรับฟังก์ชั่น φ (z 1) จุด z 1 = 0 เป็นขั้วอันดับที่ 6 ดังนั้นสำหรับ ฉ (z ) จุด z = ∞ - เสาลำดับที่หก
2. . สำหรับฟังก์ชันนี้ ขอรับการขยายกำลัง z ยาก เรามาค้นหากัน: - ขีดจำกัดนั้นมีอยู่และมีจำกัด ดังนั้นประเด็นนี้ z
3. . ส่วนที่ถูกต้องของการขยายอำนาจ z มีคำศัพท์มากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้น z = ∞เป็นจุดเอกพจน์โดยพื้นฐานแล้ว มิฉะนั้นข้อเท็จจริงนี้สามารถกำหนดได้โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีอยู่จริง

คงเหลือของฟังก์ชันที่จุดเอกพจน์ที่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด.

สำหรับจุดเอกพจน์สุดท้าย ก , ที่ไหน γ - วงจรที่ไม่มีสิ่งอื่นใดนอกจาก ก จุดเอกพจน์ที่เคลื่อนที่ในลักษณะที่พื้นที่ที่ล้อมรอบและมีจุดเอกพจน์ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย (ทวนเข็มนาฬิกา)

มานิยามในลักษณะเดียวกัน: โดยที่ Γ − คือเส้นชั้นความสูงที่จำกัดพื้นที่ใกล้เคียงดังกล่าว คุณ (∞, ร ) คะแนน z = ∞ ซึ่งไม่มีจุดเอกพจน์อื่นๆ และสามารถข้ามผ่านได้เพื่อให้ย่านนี้ยังคงอยู่ทางซ้าย (เช่น ตามเข็มนาฬิกา) ดังนั้น จุดเอกพจน์อื่นๆ (สุดท้าย) ของฟังก์ชันจะต้องอยู่ภายในเส้นชั้นความสูง Γ − มาเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ของเส้นชั้นความสูง Γ − : - ตามทฤษฎีบทหลักเรื่องสารตกค้าง โดยที่การบวกจะดำเนินการเหนือจุดเอกพจน์ที่มีขอบเขตจำกัดทั้งหมด ดังนั้นในที่สุด

,

เหล่านั้น. สิ่งตกค้าง ณ จุดเอกพจน์ที่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด เท่ากับผลรวมสารตกค้างเหนือจุดเอกพจน์จำกัดทั้งหมด โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ผลจึงมี ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ เต็มจำนวนการหักเงิน: ถ้าฟังก์ชั่น ว = ฉ (z ) มีการวิเคราะห์ทุกที่ในระนาบ กับ ยกเว้นจุดเอกพจน์จำนวนจำกัด z 1 , z 2 , z 3 , …,ซีเค จากนั้นผลรวมของสารตกค้างที่จุดเอกพจน์จำกัดทุกจุดและสารตกค้างที่จุดอนันต์จะเท่ากับศูนย์

โปรดทราบว่าถ้า z = ∞เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ดังนั้นจุดตกค้างที่จุดนั้นจะแตกต่างจากศูนย์ได้ ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันนี้ เห็นได้ชัดว่า ; z = 0 เป็นจุดเอกพจน์จำกัดจุดเดียวของฟังก์ชันนี้ ดังนั้น แม้ว่าที่จริงแล้วนั่นคือ z = ∞ เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้

คำนิยาม.เรียกว่าจุดที่อนันต์ในระนาบเชิงซ้อน จุดเอกพจน์ที่แยกได้ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ ฉ(z), ถ้า ข้างนอกวงกลมรัศมีบางช่วง ร,

เหล่านั้น. สำหรับ ไม่มีจุดเอกพจน์จำกัดของฟังก์ชัน ฉ(z).

เพื่อศึกษาฟังก์ชันที่จุดอนันต์ เราต้องทำการทดแทน
การทำงาน

ก็จะมีความเป็นเอกเทศตรงจุด ζ = 0 และจุดนี้จะถูกแยกออกจากกัน เนื่องจาก

ภายในวงกลม
ไม่มีจุดเอกพจน์อื่นตามเงื่อนไข เป็นการคิดวิเคราะห์ในเรื่องนี้

วงกลม (ยกเว้นสิ่งที่เรียกว่า ζ = 0) ฟังก์ชัน
สามารถต่อยอดได้ในซีรีส์ Laurent ที่มีพลัง ζ - การจำแนกประเภทที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยสิ้นเชิง

แต่ถ้าเรากลับไปสู่ตัวแปรเดิม zแล้วอนุกรมด้วยกำลังบวกและลบ z'เปลี่ยน' สถานที่ เหล่านั้น. การจำแนกจุดที่อนันต์จะมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่าง. 1.
- จุด z = ฉัน - เสาลำดับที่ 3

2.
- จุด z = ∞ − จุดเอกพจน์โดยพื้นฐานแล้ว

§18 สารตกค้างของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่จุดเอกพจน์ที่แยกออกมา

ปล่อยให้ประเด็น z 0 คือจุดเอกพจน์แบบแยกเดี่ยวของฟังก์ชันการวิเคราะห์ค่าเดียว

ฉ(z- ตามที่กล่าวมาก่อนหน้านี้ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดนี้ ฉ(z) สามารถแสดงได้อย่างมีเอกลักษณ์เฉพาะด้วยซีรี่ส์ Laurent:
ที่ไหน

คำนิยาม.การหักเงินฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ ฉ(z) ที่จุดเอกพจน์ที่แยกออกจากกัน z 0

เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อนเท่ากับค่าอินทิกรัล
มุ่งไปในทิศทางบวกใดๆ วงปิดซึ่งอยู่ในขอบเขตของการวิเคราะห์ฟังก์ชันและมีจุดเอกพจน์เพียงจุดเดียวภายในตัวมันเอง z 0 .

การหักเงินจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ Res [ฉ(z),z 0 ].

มองเห็นได้ง่ายว่าสิ่งตกค้างที่จุดเอกพจน์ปกติหรือจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้มีค่าเท่ากับศูนย์

ที่ขั้วหรือจุดเอกพจน์ จุดตกค้าง เท่ากับสัมประสิทธิ์ กับ-1 แถวโลรองต์:

.

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าตกค้างของฟังก์ชัน
.

(ให้มันง่ายที่จะเห็นว่า

ค่าสัมประสิทธิ์ กับจะได้ -1 เมื่อคูณเงื่อนไขด้วย n= 0:ความละเอียด[ ฉ(z),ฉัน ] =
}

มักจะสามารถคำนวณค่าตกค้างของฟังก์ชันโอเวอร์ได้ ด้วยวิธีง่ายๆ- ให้ฟังก์ชัน ฉ(z) รวมถึง z 0 เสาของลำดับแรก ในกรณีนี้ การขยายฟังก์ชันในชุด Laurent จะมีรูปแบบ (§16): ลองคูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย (z−z 0) แล้วไปที่ขีดจำกัดที่
- เป็นผลให้เราได้รับ: Res[ ฉ(z),z 0 ] =
ดังนั้นใน

ในตัวอย่างสุดท้าย เรามี Res[ ฉ(z),ฉัน ] =
.

หากต้องการคำนวณสารตกค้างที่ขั้วลำดับที่สูงกว่า ให้คูณฟังก์ชัน

บน
(ม− ลำดับขั้ว) และแยกอนุกรมผลลัพธ์ ( ม − 1) ครั้ง

ในกรณีนี้เรามี: Res[ ฉ(z),z 0 ]

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าตกค้างของฟังก์ชัน
ที่จุด z= −1

{ความละเอียด[ ฉ(z), −1] }

ถ้าลำดับบางลำดับมาบรรจบกันเป็นจำนวนจำกัด a ให้เขียน
.
ก่อนหน้านี้เราได้แนะนำลำดับขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดมาพิจารณา เราสันนิษฐานว่าพวกเขามาบรรจบกันและแสดงขีดจำกัดด้วยสัญลักษณ์ และ สัญลักษณ์เหล่านี้แสดงถึงจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด

- พวกมันไม่อยู่ในเซตของจำนวนจริง แต่แนวคิดเรื่องลิมิตช่วยให้เราสามารถแนะนำประเด็นดังกล่าวและเป็นเครื่องมือสำหรับศึกษาคุณสมบัติของพวกมันโดยใช้จำนวนจริง
คำนิยามชี้ไปที่อนันต์
หรืออนันต์ที่ไม่ได้ลงนาม คือขีดจำกัดที่ลำดับขนาดใหญ่อนันต์มีแนวโน้มชี้ไปที่อนันต์บวกอนันต์
คือขีดจำกัดที่ลำดับขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดที่มีเงื่อนไขเชิงบวกมีแนวโน้มชี้ไปที่อนันต์ลบอนันต์

คือขีดจำกัดที่ลำดับขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดที่มีเงื่อนไขเชิงลบมีแนวโน้ม สำหรับใครก็ตามจำนวนจริง
;
.

a อสมการต่อไปนี้ถือเป็น: เราได้นำเสนอแนวคิดนี้โดยใช้จำนวนจริง.
บริเวณใกล้เคียงของจุดที่อนันต์
พื้นที่ใกล้เคียงของจุดคือเซต
สุดท้ายบริเวณใกล้เคียงของจุดก็คือเซต

โดยที่ M คือจำนวนจริงขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ

ดังนั้นเราจึงขยายเซตของจำนวนจริงโดยใส่องค์ประกอบใหม่เข้าไป ในการนี้ให้ใช้คำนิยามต่อไปนี้:เส้นจำนวนแบบขยาย หรือเซตขยายของจำนวนจริง
.

ขั้นแรกเราจะเขียนคุณสมบัติที่จุด และ . ต่อไปเราจะพิจารณาประเด็นความเข้มงวดคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์

การดำเนินการสำหรับประเด็นเหล่านี้และการพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้

คุณสมบัติของจุดที่อนันต์.
; ;
; ;

ผลรวมและความแตกต่าง.
; ; ;
;
;
; ; .

สินค้าและความฉลาดทาง.
ความสัมพันธ์กับจำนวนจริง
; ;
; ; ; .
ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ แล้ว > 0 ให้ก
; ; .
ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ แล้ว < 0 ให้ก
; .

- แล้ว.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

การดำเนินการที่ไม่ได้กำหนด

การพิสูจน์คุณสมบัติของจุดที่อนันต์

การกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

เราได้ให้คำจำกัดความของจุดที่อนันต์ไว้แล้ว ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สำหรับพวกมัน เนื่องจากเรากำหนดจุดเหล่านี้โดยใช้ลำดับ การดำเนินการกับจุดเหล่านี้จึงควรถูกกำหนดโดยใช้ลำดับด้วย ดังนั้น,
ผลรวมของสองจุด
ค = ก + ข
,
อยู่ในเซตขยายของจำนวนจริง
,
เราจะเรียกขีดจำกัด
ที่ไหน และ เป็นลำดับตามอำเภอใจซึ่งมีขีดจำกัด

และ .
การดำเนินการของการลบ การคูณ และการหาร มีการกำหนดไว้ในลักษณะเดียวกัน เฉพาะในกรณีของการหาร องค์ประกอบในตัวส่วนของเศษส่วนไม่ควรเท่ากับศูนย์
จากนั้นความแตกต่างของสองจุด:
- นี่คือขีดจำกัด: .
จากนั้นความแตกต่างของสองจุด:
สินค้าของคะแนน:
จากนั้นความแตกต่างของสองจุด:
ส่วนตัว: ที่นี่ และ เป็นลำดับตามอำเภอใจซึ่งมีขีดจำกัดคือ a และ b ตามลำดับ ใน, .

กรณีหลัง

หลักฐานคุณสมบัติ

เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด เราจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติของลำดับที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์
.
พิจารณาทรัพย์สิน:
,

เพื่อพิสูจน์มัน เราต้องแสดงให้เห็นว่า

1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องพิสูจน์ว่าผลรวมของลำดับสองลำดับที่มาบรรจบกันเป็นบวกอนันต์มาบรรจบกับบวกอนันต์
;
.
ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นที่พอใจ:
.
จากนั้นเพื่อและเรามี:
เอาเป็นว่า
แล้ว
ที่ ,

ที่ไหน .

ซึ่งหมายความว่า.
.
คุณสมบัติอื่นๆ สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน ขอยกตัวอย่างอีกข้อพิสูจน์
,
ให้เราพิสูจน์ว่า:

การทำเช่นนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่า

โดยที่ และ เป็นลำดับโดยพลการ โดยมีขีดจำกัด และ 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องพิสูจน์ว่าผลรวมของลำดับสองลำดับที่มาบรรจบกันเป็นบวกอนันต์มาบรรจบกับบวกอนันต์
;
.
ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นที่พอใจ:
.
จากนั้นเพื่อและเรามี:
เอาเป็นว่า
แล้ว
ที่ ,

นั่นคือ เราต้องพิสูจน์ว่าผลคูณของลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์สองลำดับนั้นเป็นลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์

มาพิสูจน์กัน เนื่องจาก และ แล้วมีฟังก์ชันบางอย่าง และ ดังนั้นสำหรับจำนวนบวกใดๆ M การดำเนินการที่ไม่ได้กำหนดส่วนหนึ่ง

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
.
มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า ถ้า และ แล้วขีดจำกัดของผลรวมของลำดับนั้นขึ้นอยู่กับการเลือกลำดับ และ

แน่จริงก็เอาเถอะ

ขีดจำกัดของลำดับเหล่านี้คือ

จำกัดจำนวนเงิน

เท่ากับอนันต์

เอาล่ะ เอาล่ะ. ขีดจำกัดของลำดับเหล่านี้ก็เท่ากันเช่นกันแต่เป็นการจำกัดจำนวนเงิน

เท่ากับศูนย์

นั่นคือโดยมีเงื่อนไขว่า และ มูลค่าของวงเงินที่สามารถรับได้

ความหมายที่แตกต่างกัน- ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดการดำเนินการในทำนองเดียวกัน คุณสามารถแสดงความไม่แน่นอนของการดำเนินการที่เหลือที่แสดงไว้ข้างต้นได้จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด .

ปล่อยให้ฟังก์ชันวิเคราะห์ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด (ยกเว้นจุดนั้นเอง) พวกเขาบอกว่ามันเป็น

จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ขั้วหรือจุดเอกพจน์ที่สำคัญ ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับ มีขอบเขต ไม่มีที่สิ้นสุด หรือไม่มีอยู่จริงให้เราใส่แล้วมันจะวิเคราะห์ในบริเวณใกล้จุดหนึ่ง การขยายพื้นที่ใกล้เคียงของ Laurent สามารถทำได้โดยการทดแทนอย่างง่ายในการขยายพื้นที่ใกล้เคียงของ Laurent แต่ด้วยการเปลี่ยนดังกล่าว ชิ้นส่วนที่ถูกต้องจะถูกแทนที่ด้วยชิ้นส่วนหลักและในทางกลับกัน ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยุติธรรมทฤษฎีบท 1ในกรณีของภาวะเอกฐานที่ถอดออกได้ ณ จุดที่ห่างไกลอย่างไม่มีที่สิ้นสุด การขยายฟังก์ชันของ Laurent ในบริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ไม่มี

องศาบวกในกรณีเสา มีจำนวนจำกัดและในกรณีนี้คุณลักษณะสำคัญ - ไม่มีที่สิ้นสุดถ้ามีตรงจุด

ถอดออกได้ คุณสมบัติก็มักจะบอกว่ามันวิเคราะห์ที่อนันต์และยอมรับ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันมีขอบเขตชัดเจนในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่ง

ปล่อยให้ฟังก์ชันวิเคราะห์ในระนาบที่สมบูรณ์ จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน ณ จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด จะตามมาว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ในขอบเขตใกล้เคียงของจุดนี้ ปล่อยให้ที่ ในทางกลับกัน จากการวิเคราะห์ไปจนถึง วงจรอุบาทว์

เป็นไปตามข้อจำกัดของมันในแวดวงนี้ ปล่อยให้มันอยู่ในนั้น แต่แล้วฟังก์ชันนี้ก็ถูกจำกัดทั่วทั้งระนาบ: สำหรับทุกคนที่เรามี ดังนั้นทฤษฎีบทของลิอูวิลล์สามารถได้รับแบบฟอร์มดังต่อไปนี้ทฤษฎีบท 2ถ้าฟังก์ชันมีการวิเคราะห์ในระนาบเต็ม ฟังก์ชันนั้นจะคงที่ตอนนี้เรามาดูแนวคิดกัน

สารตกค้างที่อนันต์

จากคำจำกัดความนี้ จะตามมาทันทีว่าส่วนที่เหลือของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์จะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่การขยายตัวของลอรองต์ในย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่ง โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

ทฤษฎีบท 3 หากฟังก์ชันอยู่ในระนาบเต็ม หมายเลขสุดท้ายจุดเอกพจน์ จากนั้นผลรวมของสิ่งตกค้างทั้งหมด รวมถึงสิ่งตกค้างที่อนันต์จะเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ที่จริงแล้วให้ก 1 ,…น จุดเอกพจน์สุดท้ายของฟังก์ชันและ - วงกลมที่มีจุดเหล่านั้นทั้งหมดอยู่ข้างใน จากคุณสมบัติของอินทิกรัล ทฤษฎีบทเรซิดิว และคำจำกัดความของเรซิดิวที่จุดอนันต์ เรามี:

ฯลฯ

การประยุกต์ทฤษฎีเรซิดิวกับการคำนวณอินทิกรัล

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลของ ฟังก์ชั่นที่แท้จริงตามบางส่วน (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ( a,b) แกน x ลองเพิ่ม (a , b ) เส้นโค้งบางส่วนที่ล้อมรอบเข้าด้วยกันด้วย (ก, ข ) ภูมิภาค และดำเนินการวิเคราะห์ต่อไป

เราใช้ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือกับการวิเคราะห์ต่อเนื่องที่สร้างขึ้น:

(1)

หากอินทิกรัลสามารถคำนวณหรือแสดงในรูปอินทิกรัลที่ต้องการได้ ปัญหาการคำนวณก็จะได้รับการแก้ไข

ในกรณีของส่วนที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ก, ข ) มักจะพิจารณาตระกูลของโครงร่างการบูรณาการที่ขยายตัวอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่เป็นผลมาจากการส่งผ่านไปยังขีดจำกัด เราจึงได้อินทิกรัลส่วนเหนือ (ก, ข - ในกรณีนี้ ไม่สามารถคำนวณอินทิกรัลส่วนในความสัมพันธ์ (1) ได้ แต่จะพบได้เฉพาะขีดจำกัดเท่านั้น ซึ่งมักจะกลายเป็นศูนย์

สิ่งต่อไปนี้มีประโยชน์มาก:

เลมมา (จอร์แดน) ถ้าอยู่ในลำดับของส่วนโค้งวงกลม,(,ก คงที่) ฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์อย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับ และสำหรับ

. (2)

การพิสูจน์. มาแสดงกันเถอะ

ตามเงื่อนไขของบทแทรก เมื่อ มีแนวโน้มเป็นศูนย์ด้วย และ ให้ก >0; บนส่วนโค้ง AB และ CD ที่เรามี

ดังนั้นอินทิกรัลส่วนโค้งเอบี, ซีดี มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นถูกต้องสำหรับส่วนโค้งเป็น

ดังนั้นและด้วยเหตุนี้จึงมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ด้วย หากอยู่บนส่วนโค้งเอส หากนับมุมเชิงขั้วตามเข็มนาฬิกา ก็จะได้ค่าประมาณที่เท่ากัน ในกรณีที่พิสูจน์ง่ายเพราะว่า มันไม่จำเป็นที่จะต้องประมาณอินทิกรัลส่วนโค้งเอบีและซีดี บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

หมายเหตุ 1. ลำดับของส่วนโค้งวงกลมในบทแทรกสามารถถูกแทนที่ได้ครอบครัวของส่วนโค้ง

ถ้าฟังก์ชัน at มีแนวโน้มเป็นศูนย์สม่ำเสมอเมื่อเทียบกับค่า then for

. (3)

หลักฐานยังคงอยู่

หมายเหตุ 2. มาแทนที่ตัวแปรกัน:อิซ=พี จากนั้นส่วนโค้งของวงกลมของบทแทรกจะถูกแทนที่ด้วยส่วนโค้ง และเราได้สิ่งนั้นสำหรับฟังก์ชันใดๆฉ(น ) มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์โดยสัมพันธ์กันสม่ำเสมอและเป็นค่าบวกใดๆที

. (4)

การแทนที่ p ใน (4) ด้วย (-p ) เราจะได้สิ่งนั้นภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับ

, (5)

ส่วนโค้งของวงกลมอยู่ที่ไหน (ดูรูป)

ลองดูตัวอย่างการคำนวณปริพันธ์

ตัวอย่างที่ 1. .

เรามาเลือกฟังก์ชันเสริมกัน เพราะ ฟังก์ชั่นตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน จากนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์อย่างสม่ำเสมอ และโดยบทแทรกของจอร์แดน เช่น

เพราะเราได้มาจากทฤษฎีบทเรซิดิว

ในขีดจำกัดที่เราได้รับ:

เราพบการแยกส่วนจริงและใช้ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 2. การคำนวณอินทิกรัล

ลองใช้ฟังก์ชันเสริมกัน เส้นชั้นความสูงอินทิเกรตวนรอบจุดเอกพจน์ z =0. โดยทฤษฎีบทของคอชี

จากบทแทรกของจอร์แดนก็ชัดเจนว่า หากต้องการประมาณค่า ให้พิจารณาการขยายตัวของ Laurent ในละแวกใกล้เคียงของจุดนั้นซี = 0

อยู่ที่ไหนเป็นประจำ ณ จุดหนึ่ง z =0 ฟังก์ชัน จากนี้ก็ชัดเจนว่า

ดังนั้นทฤษฎีบทของคอชีจึงสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

แทนที่ในอินทิกรัลแรก x x x เราพบว่ามันเท่ากัน เราก็เลยได้

ในขอบเขตที่และสุดท้าย:

. (7)

ตัวอย่างที่ 3 คำนวณอินทิกรัล

เรามาแนะนำฟังก์ชันเสริมและเลือกโครงร่างการรวมแบบเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ภายในโครงร่างนี้ ลอการิทึมช่วยให้ระบุสาขาที่มีค่าเดียวได้ ให้แสดงถึงสาขาที่กำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน ฟังก์ชั่นมีตรงจุด z=ฉัน เสาลำดับที่สองมีสารตกค้าง

โดยทฤษฎีบทเรซิดิว

เมื่อเริ่มต้นจากบางส่วนที่มีขนาดใหญ่พอสมควรร , เพราะฉะนั้น, .

ในทำนองเดียวกันสำหรับการเริ่มต้นจากเล็กๆ น้อยๆ พอสมควร r ดังนั้น

ในอินทิกรัลแรกหลังการเปลี่ยน z=-x เราได้รับ:

และด้วยเหตุนี้ในขอบเขตที่เรามี:

การเปรียบเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพให้:

, .

ตัวอย่างที่ 4 สำหรับอินทิกรัล

เรามาเลือกฟังก์ชันเสริมและรูปร่างที่แสดงในรูปกัน ภายในโครงร่างนั้นไม่คลุมเครือหากเราคิดอย่างนั้น

ที่ฝั่งบนและล่างของการตัดซึ่งรวมอยู่ในโครงร่างนี้จะใช้ค่าและดังนั้นอินทิกรัลจะหักล้างกันซึ่งทำให้สามารถคำนวณอินทิกรัลที่ต้องการได้ ภายในเส้นชั้นความสูงจะมีขั้วสองขั้วของฟังก์ชันลำดับที่หนึ่งซึ่งมีสารตกค้างตามลำดับเท่ากับ:

ที่ไหน. เมื่อใช้ทฤษฎีบทเรซิดิวเราจะได้:

ตามข้างต้นเรามี:

เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราพิสูจน์สิ่งนั้น และในขีดจำกัด เราจะได้:

จากที่นี่ เมื่อเปรียบเทียบส่วนจินตภาพ เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 5 คำนวณค่าหลักของอินทิกรัลพิเศษ

เรามาเลือกฟังก์ชันเสริมและรูปร่างที่แสดงในรูปกัน ภายในโครงร่างฟังก์ชันจะเป็นปกติ บนฝั่งล่างของการตัดตามแนวกึ่งแกนบวก ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Cauchy:

(8).

แน่นอนว่าเมื่อไหร่และเมื่อไหร่ เรามีตามลำดับและที่ไหน การเปลี่ยนแปลงจาก 0 เป็นและจากเป็นตามลำดับ เพราะฉะนั้น,

เมื่อผ่าน (8) ถึงขีดจำกัดที่ เราก็จะได้มา

โดยที่อินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 6 คำนวณอินทิกรัล

ลองพิจารณาฟังก์ชันดู มาทำการตัดกันเถอะ*) .

เอาเป็นว่า. เมื่อไปทวนเข็มนาฬิการอบเส้นทางปิด (ดูรูป, เส้นประ) และเพิ่มขึ้น

ดังนั้น หาเรื่อง f (z )=( 1 +2  2 )/3 ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ดังนั้นในลักษณะที่ปรากฏของการตัดฟังก์ชันจะแบ่งออกเป็น 3 กิ่งปกติซึ่งแตกต่างกันในการเลือกองค์ประกอบเริ่มต้นของฟังก์ชันนั่นคือ คุณค่า ณ จุดใดจุดหนึ่ง

เราจะพิจารณาสาขาของฟังก์ชันที่อยู่ด้านบนของการตัด (-1,1) ค่าบวกและเข้ารูปโครงร่าง

___________________

*) อันที่จริงมีการตัดสองครั้ง: และอย่างไรก็ตามบนแกน x ทางขวาของจุด x ฟังก์ชัน =1 ทำงานต่อเนื่อง: เหนือการตัด, ต่ำกว่าการตัด

แสดงในรูป บนฝั่งฉันมีนั่นคือ , บนฝั่ง II (หลังจากวนรอบจุดแล้ว z =1 ตามเข็มนาฬิกา) (เช่น) เช่น อินทิกรัลเหนือวงกลม และเห็นได้ชัดว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์**) ที่. ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับโดเมนที่เชื่อมต่อกันแบบคูณ

ในการคำนวณ เราใช้การขยายสาขา 1/ ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดที่อนันต์ ลองเอามันออกจากใต้เครื่องหมายรูต จากนั้นเราจะได้ตำแหน่งและกิ่งก้านของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งเป็นบวกบนส่วน (1,) ของแกนจริง

บนส่วนของแกนจริง ขยายส่วนหลังโดยใช้สูตรทวินาม:

เราพบสารตกค้างของสาขาที่เลือก 1/ ณ จุดที่อนันต์: (สัมประสิทธิ์ที่ 1/ z ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม) แต่อินทิกรัลเท่ากับส่วนตกค้างนี้ คูณด้วย นั่นคือ ในที่สุดเราก็มีที่แล้ว

ตัวอย่างที่ 7 พิจารณาอินทิกรัล

__________________

**) ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลส่วนโอเวอร์ เมื่อเรามีเช่น

ให้เราใส่ดังนั้นดังนั้น

ภายในวงกลม อินทิแกรนด์จะมีขั้วเดียวครั้งที่สอง สั่งแบบหักเงิน

ตามทฤษฎีบทตกค้างที่เรามี

ตัวอย่างที่ 8 ให้เราคำนวณอินทิกรัลในทำนองเดียวกัน

หลังจากการทดแทนเรามี:

เสาอันหนึ่งของปริพันธ์อยู่ข้างใน วงกลมหน่วยและอีกอันหนึ่งอยู่นอกนั้นเพราะด้วยคุณสมบัติของราก สมการกำลังสองและโดยอาศัยเงื่อนไข รากเหล่านี้จึงมีจริงและแตกต่าง ดังนั้นโดยทฤษฎีบทเรซิดิว

(9)

เสาอยู่ตรงไหนในวงกลม เพราะ ด้านขวา(9) เป็นค่าที่ถูกต้อง จากนั้นจะให้ค่าอินทิกรัลที่ต้องการ

- พวกมันไม่อยู่ในเซตของจำนวนจริง แต่แนวคิดเรื่องลิมิตช่วยให้เราสามารถแนะนำประเด็นดังกล่าวและเป็นเครื่องมือสำหรับศึกษาคุณสมบัติของพวกมันโดยใช้จำนวนจริง
ย่านของจุดจริง x 0 ช่วงเวลาเปิดใดๆ ที่มีจุดนี้เรียกว่า:
.
นี่ ε 1 และ ε 2 - จำนวนบวกตามอำเภอใจ

เอปซิลอน - ย่านใกล้เคียงของจุด x 0 คือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุด x 0 น้อยกว่า ε:
.

ย่านที่เจาะทะลุของจุด x 0 คือย่านใกล้เคียงของจุดนี้ซึ่งไม่รวมจุด x เอง 0 :
.

บริเวณใกล้เคียงของจุดสิ้นสุด

ในตอนแรก มีการให้คำจำกัดความของพื้นที่ใกล้เคียงของจุดหนึ่งไว้ ถูกกำหนดให้เป็น.
(1) .
แต่คุณสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่าย่านใกล้เคียงนั้นขึ้นอยู่กับตัวเลขสองตัวโดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่เหมาะสม:

นั่นคือย่านใกล้เคียงคือชุดของจุดที่อยู่ในช่วงเวลาที่เปิด 1 เท่ากับε 2 ถึง ε
(2) .
เราได้รับเอปไซลอน - พื้นที่ใกล้เคียง:
ย่านเอปไซลอนคือชุดของจุดที่อยู่ในช่วงเปิดซึ่งมีปลายที่มีระยะห่างเท่ากัน

แน่นอนว่าเอปไซลอนสามารถแทนที่ตัวอักษรด้วยตัวอักษรอื่นได้และพิจารณา δ - ย่านใกล้เคียง, σ - ย่านใกล้เคียง ฯลฯ

ในทฤษฎีขีดจำกัด เราสามารถใช้คำจำกัดความของย่านใกล้เคียงโดยพิจารณาจากทั้งเซต (1) และเซต (2) การใช้ย่านใกล้เคียงเหล่านี้ให้ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน (ดู) แต่คำจำกัดความ (2) นั้นง่ายกว่า ดังนั้นจึงมักใช้เอปไซลอน ซึ่งเป็นย่านใกล้เคียงของจุดที่กำหนดจาก (2)

แนวคิดเกี่ยวกับย่านใกล้เคียงด้านซ้าย ด้านขวา และการเจาะทะลุของจุดสิ้นสุดยังใช้กันอย่างแพร่หลายอีกด้วย นี่คือคำจำกัดความของพวกเขา 0 ย่านซ้ายของจุดจริง x 0 คือช่วงครึ่งเปิดบนแกนจริงทางด้านซ้ายของจุด x
;
.

รวมถึงประเด็นด้วย: 0 พื้นที่ใกล้เคียงด้านขวาของจุดจริง x 0 คือช่วงครึ่งเปิดบนแกนจริงทางด้านซ้ายของจุด x
;
.

คือช่วงเปิดครึ่งทางซึ่งอยู่ทางด้านขวาของจุด x

เจาะย่านใกล้เคียงของจุดสิ้นสุด 0 ย่านที่เจาะทะลุของจุด x

- เหล่านี้เป็นย่านเดียวกันกับที่ไม่รวมจุดนั้นไว้ โดยมีการระบุด้วยวงกลมเหนือตัวอักษร นี่คือคำจำกัดความของพวกเขา 0 :
.

ย่านที่เจาะทะลุของจุด x 0 :
;
.

เอปไซลอนที่เจาะทะลุ - ย่านใกล้เคียงของจุด x:
;
.

เจาะบริเวณด้านซ้าย:
;
.

บริเวณใกล้เคียงด้านขวามีรอยเจาะ

ย่านของจุดที่อนันต์ นอกจากจุดสิ้นสุดแล้ว ยังมีการแนะนำย่านใกล้เคียงของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกด้วย ล้วนถูกเจาะเพราะไม่มีจำนวนจริงที่อนันต์ (จุดที่อนันต์ถูกกำหนดให้เป็นลิมิตที่อนันต์).

.
;
;
.

ลำดับขนาดใหญ่
.
เป็นไปได้ที่จะกำหนดบริเวณใกล้เคียงของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดดังนี้:

แต่แทนที่จะเป็น M เราใช้ เพื่อให้ย่านใกล้เคียงที่มี ε น้อยกว่านั้นเป็นส่วนย่อยของย่านใกล้เคียงที่มี ε ใหญ่กว่า สำหรับย่านใกล้เคียงปลายทาง

ทรัพย์สินใกล้เคียง

ต่อไป เราใช้คุณสมบัติที่ชัดเจนของบริเวณใกล้เคียงของจุด (จำกัดหรือที่อนันต์) มันอยู่ในความจริงที่ว่าย่านใกล้เคียงของคะแนนที่มีค่าน้อยกว่า ε นั้นเป็นเซตย่อยของย่านใกล้เคียงที่มีค่ามากกว่า ε
ต่อไปนี้เป็นสูตรที่เข้มงวดมากขึ้น
;
;
;
;
;
;
;
.

ให้มีจุดสิ้นสุดหรือไกลอย่างไม่สิ้นสุด และปล่อยให้มันเป็นไป

ความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchy

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าในการกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchy คุณสามารถใช้ทั้งย่านใกล้เคียงที่กำหนดเองและย่านใกล้เคียงที่มีปลายที่มีระยะเท่ากัน

ทฤษฎีบท
คำจำกัดความ Cauchy ของขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ใช้ย่านใกล้เคียงโดยพลการและย่านใกล้เคียงที่มีปลายที่มีระยะห่างเท่ากันนั้นเทียบเท่ากัน

การพิสูจน์

มากำหนดกัน คำจำกัดความแรกของขีดจำกัดของฟังก์ชัน.
ตัวเลข a คือขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง (มีขอบเขตจำกัดหรืออยู่ห่างกันอย่างไม่สิ้นสุด) หากมี ตัวเลขบวกมีตัวเลขขึ้นอยู่กับ และสำหรับทั้งหมด นั้นเป็นของบริเวณใกล้เคียงที่สอดคล้องกันของจุด a:
.

มากำหนดกัน คำจำกัดความที่สองของขีดจำกัดของฟังก์ชัน.
จำนวน a คือขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ถ้าจำนวนบวกใดๆ มีจำนวนขึ้นอยู่กับจำนวนนั้นทั้งหมด:
.

พิสูจน์ 1 ⇒ 2

ขอให้เราพิสูจน์ว่าถ้าจำนวน a เป็นลิมิตของฟังก์ชันตามนิยามที่ 1 แล้วมันจะเป็นลิมิตตามนิยามที่ 2 ด้วย

ให้คำจำกัดความแรกเป็นที่พอใจ ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชัน และ ดังนั้นสำหรับจำนวนบวกใดๆ จะมีการคงไว้ดังต่อไปนี้:
ที่ ที่ไหน

เนื่องจากตัวเลขนั้นไม่แน่นอน เราจึงถือเอาตัวเลขเหล่านี้:
.
จากนั้นจะมีฟังก์ชันดังกล่าว และ ดังนั้นสำหรับการระงับใดๆ ต่อไปนี้:
ที่ ที่ไหน

โปรดทราบว่า.
อนุญาต เป็นจำนวนบวกที่น้อยที่สุด และ .
.
แล้วตามที่กล่าวมาข้างต้นนี้

ถ้าอย่างนั้น.
ที่ ที่ไหน
นั่นคือเราพบฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นสำหรับการระงับใดๆ ต่อไปนี้:

ซึ่งหมายความว่าตัวเลข a เป็นขีดจำกัดของฟังก์ชันตามคำจำกัดความที่สอง

พิสูจน์ 2 ⇒ 1

ขอให้เราพิสูจน์ว่าถ้าจำนวน a เป็นลิมิตของฟังก์ชันตามนิยามที่ 2 มันก็จะเป็นลิมิตตามนิยามที่ 1 ด้วย
.

ปล่อยให้คำจำกัดความที่สองเป็นที่พอใจ ลองหาจำนวนบวกสองตัว และ .
.

และปล่อยให้มันน้อยที่สุด จากนั้นตามคำจำกัดความที่สอง มีฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นสำหรับจำนวนบวกใดๆ และสำหรับทั้งหมด มันจะเป็นไปตามนั้น
.

แต่ตาม..

ดังนั้นจากสิ่งที่ตามมานั้น

จากนั้นสำหรับจำนวนบวกใดๆ และ เราพบตัวเลขสองตัว ดังนั้นสำหรับทั้งหมด :
ซึ่งหมายความว่าตัวเลข a เป็นขีดจำกัดตามคำจำกัดความแรก ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ววรรณกรรมที่ใช้: