จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด การหาจุดศูนย์ถ่วงขนาดใหญ่

คำแนะนำ

ลองหาศูนย์ แรงโน้มถ่วงแบน ตัวเลขโดยประสบการณ์ นำดินสอที่ไม่เหลาอันใหม่มาตั้งให้ตรง วางร่างแบนไว้ด้านบน ทำเครื่องหมายจุดบนรูปที่ยึดดินสอไว้แน่น นี่จะเป็นศูนย์ แรงโน้มถ่วงของคุณ ตัวเลข. แทนที่จะใช้ดินสอ ให้ใช้นิ้วชี้ยื่นขึ้นไปด้านบน แต่สิ่งนี้เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่านิ้วตั้งตรงไม่แกว่งหรือสั่น

เพื่อแสดงให้เห็นว่าจุดผลลัพธ์เป็นจุดศูนย์กลางของมวล ให้เจาะรูด้วยเข็ม สอดด้ายเข้าไปในรู ผูกปมที่ปลายด้านหนึ่ง - เพื่อไม่ให้ด้ายหลุดออกมา จับปลายด้ายอีกด้านแล้วแขวนลำตัวไว้ ถ้าศูนย์ แรงโน้มถ่วงขวา รูปจะตั้งอยู่ตรงขนานกับพื้น ด้านข้างของเธอจะไม่แกว่งไปแกว่งมา

ค้นหาศูนย์ แรงโน้มถ่วง ตัวเลขในทางเรขาคณิต หากคุณมีสามเหลี่ยม สร้างมันขึ้นมา ส่วนเหล่านี้เชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ประเด็นจะกลายเป็น ศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม คุณสามารถพับร่างครึ่งหนึ่งเพื่อหาจุดกึ่งกลางของด้านข้าง แต่โปรดจำไว้ว่านี่จะทำลายความสม่ำเสมอ ตัวเลข.

เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้ทางเรขาคณิตและเชิงประจักษ์ ทำให้เกี่ยวกับความคืบหน้าของการทดลอง ข้อผิดพลาดเล็กน้อยถือว่าเป็นเรื่องปกติ อธิบายด้วยความไม่สมบูรณ์ ตัวเลข, ความไม่ถูกต้องของเครื่องมือ, ปัจจัยมนุษย์ (ข้อบกพร่องเล็กน้อยในการทำงาน, ความไม่สมบูรณ์ของสายตามนุษย์ ฯลฯ )

ที่มา:

• การคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปเครื่องบิน

สามารถพบจุดศูนย์กลางของรูปได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว ควรพิจารณาหาจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งเป็นจุดรวมของจุดที่อยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน เนื่องจากตัวเลขนี้เป็นจุดที่พบได้บ่อยที่สุด

คุณจะต้องการ

• - สี่เหลี่ยม;
• - ไม้บรรทัด.

คำแนะนำ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาจุดศูนย์กลางของวงกลมคือการงอกระดาษที่วาด โดยดูให้แน่ใจว่าพับครึ่งพอดีเมื่อมองที่แสง จากนั้นพับแผ่นตั้งฉากกับพับแรก ดังนั้นคุณจะได้เส้นผ่านศูนย์กลาง จุดตัดที่เป็นจุดศูนย์กลางของรูป

P1= m1*g, P2= m2*g;

จุดศูนย์ถ่วงอยู่ระหว่างมวลทั้งสอง และถ้าทั้งร่างกายถูกระงับใน t.O ค่าของความสมดุลจะมา นั่นคือ สิ่งเหล่านี้จะหยุดเกินดุลซึ่งกันและกัน

รูปทรงเรขาคณิตที่หลากหลายมีทางกายภาพและการคำนวณเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วง แต่ละคนมีแนวทางและวิธีการของตัวเอง

เมื่อพิจารณาจากดิสก์ เราชี้แจงว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่ภายในนั้น แม่นยำกว่านั้น เส้นผ่านศูนย์กลาง (ดังแสดงในรูปในจุด C - จุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลาง) ในทำนองเดียวกันจะพบจุดศูนย์กลางของลูกคู่ขนานหรือลูกที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ดิสก์ที่นำเสนอและวัตถุสองชิ้นที่มีมวล m1 และ m2 มีมวลสม่ำเสมอและมีรูปร่างสม่ำเสมอ ที่นี่สามารถสังเกตได้ว่าจุดศูนย์ถ่วงที่เรากำลังมองหาอยู่ภายในวัตถุเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ในร่างกายที่มีมวลไม่เท่ากันและมีรูปร่างไม่ปกติ ศูนย์สามารถอยู่ไกลออกไปได้ คุณรู้สึกว่างานนั้นยากขึ้นแล้ว

แฟชั่นสำหรับ “ผู้หญิงที่ดูเหมือนเด็กผู้ชาย” ผ่านพ้นไปนานแล้ว แต่เพศที่ยุติธรรมกว่าหลายคนยังคงอยากมีก้นแบนๆ แม้ว่าวันนี้จะเป็น "แฟชั่น" ที่แสดงให้เห็นถึงรสนิยมทางเพศที่เบ่งบาน ร่างกายที่กลมกลืน สวยงาม และได้รับการฝึกฝนมาอย่างดี ในกรณีนี้ ลาที่สวยงามเป็นองค์ประกอบที่ขาดไม่ได้ของผู้หญิงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความงามของผู้ชายด้วย

คำแนะนำ

ถึง ตูดแบน คุณต้องทำดังต่อไปนี้ 1 แบบฝึกหัด "ยกขา" แบบฝึกหัดนี้สามารถมีได้หลายแบบ ขึ้นทั้งสี่ - ไปที่ตำแหน่งเริ่มต้นจากนั้นยกขาแต่ละข้างสลับกันเพื่อให้ต้นขาขนานกับพื้น ล็อคขาให้อยู่ในตำแหน่งกดเพื่อให้เคลื่อนไหวขึ้นอย่างดีดตัวขึ้น ในเวลาเดียวกัน ให้ใส่ใจกับการตรึงขาของคุณในข้อเท้าและข้อเข่า พยายามอย่าเปลี่ยนตำแหน่งนี้

แบบฝึกหัดที่ 2 "ยกกระดูกเชิงกราน" นอนหงาย วางแขนขนานกับลำตัว แล้วงอเข่า หลังจากนั้นให้ยกกระดูกเชิงกรานขึ้นจากพื้น รัดบั้นท้ายให้แน่น ในเวลาเดียวกัน ส่วนบนและมือไม่ควรหลุดออกจากพื้น ในตำแหน่งเดียวกัน ให้เคลื่อนไหวขึ้นอย่างดีดตัวขึ้น

แบบฝึกหัดที่ 3 "การยก". ยืนขึ้น แยกเท้าให้กว้างเท่าช่วงไหล่ สลับยกและลดเข่าข้างหนึ่งให้สูงที่สุด เมื่อยกเข่าขึ้นให้พยายามยืนขาข้างหนึ่งให้นานที่สุดโดยไม่ขยับ แบบฝึกหัดนี้ใช้ได้ผลดีมากกับบริเวณที่อยู่เหนือบั้นท้าย

แบบฝึกหัดที่ 4 "หมอบด้วยการลักพาตัวกระดูกเชิงกราน" ยืนเพื่อให้ขาของคุณกว้างกว่าไหล่และเท้าของคุณขนานกับพวกเขา ในกรณีนี้ ขาซ้ายควรอยู่ด้านหลังขวาเล็กน้อย จากนั้นนั่งลงโดยพิงขาซ้ายแล้วเอากระดูกเชิงกรานกลับ ในเวลาเดียวกัน เหยียดแขนไปข้างหน้าเท้าซ้าย โดยให้หลังตรง หลังจากนั้นให้ยืนขึ้น ถ่ายน้ำหนักทั้งหมดไปที่ขาขวา เอาหลังซ้าย ยกแขนขึ้นเหนือศีรษะ ทำซ้ำ 10 ครั้ง แล้วเปลี่ยนขา

แบบฝึกหัดที่ 5 "Lunges with a wheel" พุ่งไปข้างหน้าโดยเริ่มจากเท้าซ้ายแล้วหมุนเท้าตามเข็มนาฬิกาเล็กน้อย จากนั้นเอนไปข้างหน้าจากสะโพก ในขณะเดียวกันก็กางแขนออกกว้างราวกับต้องการทำวงล้อ ค้างไว้สองสามวินาทีในตำแหน่งนี้ จากนั้นยืนขึ้นโดยรักษาตำแหน่งของขาขวา ด้วยซ้ายของคุณ ก้าวไปทางซ้ายแล้วหันปลายเท้าออกด้านนอก หมอบลงและเอนไปทางซ้าย

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ที่มา:

• พื้นแบนในปี 2019

ตามความหมายทั่วไป จุดศูนย์ถ่วงถูกมองว่าเป็นจุดที่ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายสามารถนำไปใช้ได้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือวงสวิงของเด็กในรูปแบบของกระดานปกติ หากไม่มีการคำนวณใดๆ เด็กคนใดจะรับการสนับสนุนจากกระดานในลักษณะที่สมดุล (หรืออาจมีมากกว่าน้ำหนัก) ชายร่างใหญ่บนชิงช้า ในกรณีของเนื้อหาและส่วนที่ซับซ้อน การคำนวณที่แม่นยำและสูตรที่สอดคล้องกันเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ แม้ว่าจะได้รับนิพจน์ที่ยุ่งยาก แต่สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัวพวกเขา แต่จำไว้ว่าในตอนแรกเรากำลังพูดถึงงานพื้นฐานที่เกือบจะ

คำแนะนำ

พิจารณาคันโยกที่ง่ายที่สุด (ดูรูปที่ 1) ในตำแหน่งสมดุล วางบนแกนนอน x₁₂ ด้วย abscissa และวางจุดวัสดุที่มีมวล m₁ และ m₂ บนขอบ พิจารณาพิกัดของพวกมันตามแกน 0x ที่รู้จักและเท่ากับ x₁ และ x₂ คันโยกอยู่ในตำแหน่งสมดุลหากโมเมนต์ของแรงน้ำหนัก Р₁=m₁g และ P₂=m₂g เท่ากัน โมเมนต์มีค่าเท่ากับผลคูณของแรงและไหล่ ซึ่งหาได้จากความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากจุดที่ใช้แรงไปยังแนวดิ่ง x=x₁₂ ดังนั้น ตามรูปที่ 1 m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=x₁₂-x₁, ℓ₂=x₂-x₁₂ จากนั้น m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). แก้สมการนี้แล้วได้ x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂)

ในการหาพิกัด y₁₂ ให้ใช้เหตุผลและการคำนวณเดียวกันกับในขั้นตอนที่ 1 ทำตามภาพประกอบในรูปที่ 1 โดยที่ m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂ จากนั้น m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). ผลลัพธ์คือ y₁₂=(m₁y₁+m₂y₂)/(m₁+m₂) นอกจากนี้ ให้พิจารณาว่าแทนที่จะเป็นระบบที่มีสองจุด มีจุดหนึ่ง M₁₂(x12, y12) ของมวลรวม (m₁+m₂)

ในระบบของจุดสองจุด ให้เพิ่มอีกมวล (m₃) ด้วยพิกัด (x₃, y₃) เมื่อคำนวณ คุณควรพิจารณาด้วยว่าคุณกำลังจัดการกับจุดสองจุด โดยจุดที่สองมีมวล (m₁ + m₂) และพิกัด (x12, y12) ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 และ 2 ทั้งหมดสำหรับสองจุดนี้ คุณจะมาที่จุดกึ่งกลางของจุดสามจุด x₁₂₃=(m₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), +m₃) ถัดไป เพิ่มจุดที่สี่ ห้า และอื่นๆ หลังจากทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันหลายครั้ง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับระบบ n จุด พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงคำนวณโดยสูตร (ดูรูปที่ 2) สังเกตด้วยตัวคุณเองว่าในกระบวนการทำงานความเร่งของแรงโน้มถ่วง g ลดลง ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลและแรงโน้มถ่วงจึงตรงกัน

ลองนึกภาพว่าในส่วนที่พิจารณาว่ามีบางพื้นที่ D ซึ่งความหนาแน่นของพื้นผิวคือ ρ=1 จากด้านบนและด้านล่าง กราฟจะถูกจำกัดโดยกราฟของเส้นโค้ง y=φ(x) และ y=ψ(x), x є [a,b] แบ่งพื้นที่ D ด้วยแนวดิ่ง x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) ออกเป็นเส้นบาง ๆ เพื่อให้พิจารณาได้ประมาณสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีฐาน ∆хi (ดู มะเดื่อ .3). ในกรณีนี้ ให้พิจารณาจุดกึ่งกลางของปล้อง ∆hi ให้ตรงกับ abscissa ของจุดศูนย์กลางมวล ξi=(1/2) พิจารณาความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยประมาณเท่ากับ [φ(ξi)-ψ(ξi)] จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของพื้นที่พื้นฐานคือ ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)]

เนื่องจากการกระจายความหนาแน่นสม่ำเสมอ ให้พิจารณาว่าจุดศูนย์กลางมวลของแถบตรงกับจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต มวลมูลฐานที่สอดคล้องกัน ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆hi กระจุกตัวที่จุด (ξi,ηi) ช่วงเวลาได้มาถึงแล้วสำหรับการเปลี่ยนกลับจากมวลซึ่งแสดงในรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่องเป็นมวลต่อเนื่อง ตามสูตรการคำนวณพิกัด (ดูรูปที่ 2) ของจุดศูนย์ถ่วงจะเกิดผลรวมทั้งหมดดังแสดงในรูปที่ 4a เมื่อผ่านถึงขีดจำกัดที่ ∆xi→0 (ξi→xi) จากผลรวมเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน คุณจะได้คำตอบสุดท้าย (รูปที่ 4b) ไม่มีมวลในคำตอบ ความเท่าเทียมกันของ S=M ควรเข้าใจเป็นเชิงปริมาณเท่านั้น ขนาดแตกต่างกันที่นี่

ในทางปฏิบัติทางวิศวกรรมจำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบนที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบอย่างง่ายซึ่งทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง งานนี้เป็นส่วนหนึ่งของงานกำหนด...

ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนตัดขวางของคานและแท่ง บ่อยครั้งที่วิศวกรออกแบบของแม่พิมพ์เจาะต้องเผชิญกับคำถามดังกล่าวเมื่อกำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงกดผู้พัฒนาโครงร่างการโหลดสำหรับยานพาหนะต่าง ๆ เมื่อวางของบรรทุกผู้ออกแบบโครงสร้างอาคารโลหะเมื่อเลือกส่วนขององค์ประกอบและแน่นอนนักเรียนเมื่อเรียน สาขาวิชา "กลศาสตร์เชิงทฤษฎี" และ "ความแข็งแกร่งของวัสดุ"

ห้องสมุดตัวเลขเบื้องต้น

สำหรับตัวเลขระนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะตรงกับจุดศูนย์กลางสมมาตร กลุ่มสมมาตรของวัตถุพื้นฐานประกอบด้วย: วงกลม สี่เหลี่ยมผืนผ้า (รวมถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส) สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) รูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากตัวเลขสิบตัวที่แสดงในภาพด้านบน มีเพียงสองร่างเท่านั้นที่เป็นพื้นฐาน นั่นคือการใช้สามเหลี่ยมและส่วนของวงกลมคุณสามารถรวมเกือบทุกรูปแบบที่น่าสนใจในทางปฏิบัติ เส้นโค้งใดๆ ก็ตามสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ และแทนที่ด้วยส่วนโค้งของวงกลม

ส่วนที่เหลืออีกแปดร่างเป็นตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงรวมไว้ในห้องสมุดประเภทนี้ ในการจัดหมวดหมู่ของเรา องค์ประกอบเหล่านี้ไม่ใช่พื้นฐาน สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน และสี่เหลี่ยมคางหมู สามารถประกอบขึ้นจากสามเหลี่ยมสองรูป หกเหลี่ยมเป็นผลรวมของสามเหลี่ยมสี่รูป ส่วนของวงกลมคือส่วนต่างระหว่างเซกเตอร์ของวงกลมกับสามเหลี่ยม ภาควงแหวนของวงกลมคือความแตกต่างระหว่างสองส่วน วงกลมคือเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=2*π=360˚ ครึ่งวงกลมคือเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=π=180˚ ตามลำดับ

การคำนวณใน Excel ของพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปประกอบ

การส่งและรับรู้ข้อมูลโดยพิจารณาจากตัวอย่างง่ายกว่าเสมอกว่าการศึกษาประเด็นเรื่องการคำนวณเชิงทฤษฎีล้วนๆ พิจารณาวิธีแก้ปัญหา "จะหาจุดศูนย์ถ่วงได้อย่างไร" ในตัวอย่างของรูปประกอบที่แสดงในรูปด้านล่างข้อความนี้

ส่วนประสมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (มีมิติ เอ1 =80 มม. ข1 \u003d 40 มม.) ซึ่งเพิ่มสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ด้านบนซ้าย (ด้วยขนาดของฐาน เอ2 =24 มม. และความสูง ชม.2 \u003d 42 มม.) และจากที่ครึ่งวงกลมถูกตัดจากด้านบนขวา (กึ่งกลางที่จุดที่มีพิกัด x03 =50 มม. และ y03 =40 มม. รัศมี r3 =26 มม.)

เพื่อช่วยคุณในการคำนวณ เราจะให้โปรแกรมมีส่วนร่วม MS Excel หรือโปรแกรม Oo Calc . พวกเขาจะจัดการกับงานของเราได้อย่างง่ายดาย!

ในเซลล์ด้วย สีเหลือง เติมได้ เบื้องต้นเบื้องต้น การคำนวณ .

ในเซลล์ที่มีการเติมสีเหลืองอ่อน เราจะนับผลลัพธ์

สีฟ้า แบบอักษรคือ ข้อมูลเบื้องต้น .

สีดำ แบบอักษรคือ ระดับกลาง ผลการคำนวณ .

สีแดง แบบอักษรคือ สุดท้าย ผลการคำนวณ .

เราเริ่มแก้ปัญหา - เราเริ่มค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

ข้อมูลเบื้องต้น:

1. ชื่อของตัวเลขเบื้องต้นที่ประกอบเป็นส่วนประกอบจะถูกป้อนตามนั้น

ไปยังเซลล์ D3: สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ไปยังเซลล์ E3: สามเหลี่ยม

ไปยังเซลล์ F3: ครึ่งวงกลม

2. การใช้ "ห้องสมุดตัวเลขเบื้องต้น" ที่นำเสนอในบทความนี้ เรากำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงขององค์ประกอบของส่วนประกอบ xciและ yciหน่วยเป็นมม. เทียบกับแกนที่เลือกโดยพลการ 0x และ 0y และเขียน

ไปยังเซลล์ D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = เอ 1 /2

ไปยังเซลล์ D5: =40/2 =20,000

yc 1 = ข 1 /2

ไปยังเซลล์ E4: =24/2 =12,000

xc 2 = เอ 2 /2

ไปยังเซลล์ E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = ข 1 + ชม. 2 /3

ไปยังเซลล์ F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

ไปยังเซลล์ F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. คำนวณพื้นที่ขององค์ประกอบ F 1 , F 2 , F3 ใน mm2 ใช้สูตรอีกครั้งจากส่วน "ห้องสมุดของตัวเลขเบื้องต้น"

ในเซลล์ D6: =40*80 =3200

F1 = เอ 1 * ข1

ในเซลล์ E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

ในเซลล์ F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-พาย/2*r3 ^2

พื้นที่ขององค์ประกอบที่สาม - ครึ่งวงกลม - เป็นค่าลบเพราะช่องเจาะนี้เป็นพื้นที่ว่าง!

การคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วง:

4. กำหนดพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลขสุดท้าย F0 ในหน่วย mm2

ในเซลล์ที่ผสาน D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. คำนวณโมเมนต์คงที่ของรูปประกอบ Sxและ ซิในหน่วย mm3 เทียบกับแกนที่เลือก 0x และ 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

ในเซลล์ที่ผสาน D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

ซิ = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. และสุดท้าย เราคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนคอมโพสิต Xcและ Ycหน่วยเป็นมม. ในระบบพิกัดที่เลือก 0x - 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = ซิ / F0

ในเซลล์ที่ผสาน D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

งานได้รับการแก้ไขการคำนวณใน Excel เสร็จสมบูรณ์ - พบพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนซึ่งรวบรวมโดยใช้องค์ประกอบง่าย ๆ สามอย่าง!

บทสรุป.

ตัวอย่างในบทความได้รับเลือกให้เรียบง่ายมากเพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น วิธีการนี้อยู่ในความจริงที่ว่าตัวเลขที่ซับซ้อนใด ๆ ควรแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่าย ๆ โดยมีตำแหน่งที่ทราบของจุดศูนย์ถ่วงและการคำนวณขั้นสุดท้ายควรทำสำหรับส่วนทั้งหมด

หากส่วนนี้ประกอบด้วยโปรไฟล์แบบม้วน - มุมและช่อง ไม่จำเป็นต้องแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมโดยตัดเป็นวงกลม "π / 2" - ส่วน พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของโปรไฟล์เหล่านี้มีอยู่ในตาราง GOST นั่นคือทั้งมุมและช่องจะเป็นองค์ประกอบพื้นฐานพื้นฐานในการคำนวณส่วนคอมโพสิตของคุณ (ไม่ควรพูดถึง I-beams ท่อ , แท่งและรูปหกเหลี่ยม - เป็นส่วนสมมาตรจากส่วนกลาง)

ตำแหน่งของแกนพิกัดบนตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของร่างนั้นแน่นอนไม่ส่งผลกระทบ! ดังนั้น เลือกระบบพิกัดที่ทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น หากฉันหมุนระบบพิกัด 45˚ ตามเข็มนาฬิกาในตัวอย่างของเรา จากนั้นการคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม และครึ่งวงกลมจะกลายเป็นขั้นตอนการคำนวณที่แยกจากกันและยุ่งยากอีกขั้นตอนหนึ่งซึ่งคุณไม่สามารถทำได้ “ ในหัวของคุณ".

ไฟล์การคำนวณ Excel ต่อไปนี้ใน กรณีนี้ไม่ใช่โปรแกรม แต่เป็นภาพร่างของเครื่องคิดเลข อัลกอริธึม เทมเพลตที่ตามมาในแต่ละกรณี สร้างลำดับสูตรของคุณเองสำหรับเซลล์ด้วยการเติมสีเหลืองสดใส.

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาจุดศูนย์ถ่วงของส่วนใด ๆ แล้ว! การคำนวณที่สมบูรณ์ของลักษณะทางเรขาคณิตทั้งหมดของส่วนประกอบที่ซับซ้อนโดยพลการจะได้รับการพิจารณาในบทความถัดไปในหัวข้อ "" ติดตามข่าวสารได้ที่บล็อก

สำหรับ รับ ข้อมูลเกี่ยวกับการเปิดตัวบทความใหม่ และสำหรับ ดาวน์โหลดไฟล์โปรแกรมที่ใช้งานได้ ฉันขอให้คุณสมัครรับข่าวสารในหน้าต่างที่อยู่ท้ายบทความหรือในหน้าต่างที่ด้านบนของหน้า

หลังจากป้อนที่อยู่อีเมลของคุณและคลิกที่ปุ่ม "รับประกาศบทความ" อย่าลืม ยืนยันการสมัคร โดยคลิกที่ลิงค์ ในจดหมายที่จะถึงคุณทันทีที่อีเมลที่ระบุ (บางครั้ง - ในโฟลเดอร์ « สแปม » )!

คำสองสามคำเกี่ยวกับแก้ว เหรียญ และส้อมสองอัน ซึ่งอธิบายไว้ใน "ภาพประกอบไอคอน" ในตอนต้นของบทความ พวกคุณหลายคนคงคุ้นชินกับ "กลอุบาย" นี้ที่กระตุ้นให้เด็กและผู้ใหญ่ที่ไม่ได้ฝึกหัดมองด้วยความชื่นชม หัวข้อของบทความนี้เป็นจุดศูนย์ถ่วง มันคือเขาและจุดศูนย์กลางที่เล่นด้วยจิตสำนึกและประสบการณ์ของเรา หลอกความคิดของเรา!

จุดศูนย์ถ่วงของระบบ "ส้อม + เหรียญ" อยู่เสมอ แก้ไขแล้วระยะทาง แนวตั้งลงจากขอบเหรียญซึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง นี่คือตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง!หากคุณเขย่าส้อม จะเห็นได้ทันทีว่าระบบกำลังพยายามใช้ตำแหน่งเดิมที่มั่นคง! ลองนึกภาพลูกตุ้ม - จุดยึด (= จุดรองรับเหรียญที่ขอบแก้ว), แกนแกนของลูกตุ้ม (= ในกรณีของเรา แกนเป็นเสมือน เนื่องจากมวลของส้อมทั้งสอง แยกจากกันในทิศทางต่างๆ ของพื้นที่) และน้ำหนักบรรทุกที่ด้านล่างของแกน (= จุดศูนย์ถ่วงของระบบ "ส้อม" ทั้งหมด + เหรียญ") หากคุณเริ่มเบี่ยงเบนลูกตุ้มจากแนวตั้งไปในทิศทางใด (ไปข้างหน้า ถอยหลัง ซ้าย ขวา) จากนั้นลูกตุ้มจะกลับสู่ตำแหน่งเดิมอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง สภาวะสมดุลที่มั่นคง(เช่นเดียวกันกับส้อมและเหรียญของเรา)!

ใครไม่เข้าใจแต่อยากเข้าใจ - คิดออกเอง เป็นเรื่องที่น่าสนใจมากที่จะ "เข้าถึง" ตัวเอง! ฉันจะเพิ่มว่าหลักการเดียวกันของการใช้เครื่องชั่งที่เสถียรนั้นถูกนำมาใช้ในของเล่น Roly-Get Up ด้วย เฉพาะจุดศูนย์ถ่วงของของเล่นชิ้นนี้เท่านั้นที่อยู่เหนือจุดศูนย์กลาง แต่อยู่ใต้ศูนย์กลางของซีกโลกของพื้นผิวรองรับ

ความคิดเห็นของคุณยินดีต้อนรับผู้อ่านที่รักเสมอ!

ฉันขอ, เคารพ ผลงานของผู้เขียน ดาวน์โหลดไฟล์ หลังจากสมัครสมาชิก สำหรับการประกาศบทความ

จุดศูนย์ถ่วง(หรือ ศูนย์กลางของมวล) ของวัตถุบางอย่างเรียกว่าจุดที่มีคุณสมบัติว่าหากร่างกายถูกระงับจากจุดนี้ก็จะคงตำแหน่งไว้

ด้านล่าง เราจะพิจารณาปัญหา 2 มิติและ 3 มิติที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาจุดศูนย์กลางมวลต่างๆ ส่วนใหญ่จากมุมมองของเรขาคณิตเชิงคำนวณ

ในการแก้ปัญหาที่กล่าวถึงด้านล่าง มีสองหลัก ข้อเท็จจริง. ประการแรกคือจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วนของมวล ข้อเท็จจริงประการที่สองคือ ถ้าเรารู้จุดศูนย์กลางมวลของตัวเลขสองรูปที่ไม่ตัดกัน จุดศูนย์กลางมวลของสหภาพของพวกมันจะอยู่บนส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางทั้งสองนี้ และมันจะแบ่งมันในอัตราส่วนเดียวกับมวลของ รูปที่สองเกี่ยวข้องกับมวลของรูปแรก

กรณีสองมิติ: รูปหลายเหลี่ยม

ที่จริงแล้ว เมื่อพูดถึงจุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงสองมิติ หนึ่งในสามต่อไปนี้อาจหมายถึง: งาน:

• จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด - เช่น มวลทั้งหมดกระจุกตัวอยู่ที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น
• จุดศูนย์กลางมวลของเฟรม - เช่น มวลของรูปหลายเหลี่ยมกระจุกตัวอยู่ที่ปริมณฑล
• จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงทึบ - เช่น มวลของรูปหลายเหลี่ยมกระจายไปทั่วพื้นที่

ปัญหาแต่ละข้อมีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ และจะพิจารณาแยกกันด้านล่าง

จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด

นี่เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดในสามปัญหา และวิธีแก้ไขคือสูตรทางกายภาพที่รู้จักกันดีสำหรับจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุ:

มวลของจุดอยู่ที่ไหน เป็นเวกเตอร์รัศมี (ระบุตำแหน่งที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด) และเป็นเวกเตอร์รัศมีที่ต้องการของจุดศูนย์กลางมวล

โดยเฉพาะถ้าจุดทุกจุดมีมวลเท่ากัน พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลจะเป็น เฉลี่ยพิกัด. สำหรับ สามเหลี่ยมจุดนี้เรียกว่า เซนทรอยด์และประจวบกับจุดตัดของเส้นมัธยฐาน:

สำหรับ หลักฐานของสูตรเหล่านี้เพียงพอที่จะจำได้ว่าถึงจุดสมดุล ณ จุดที่ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ จะกลายเป็นเงื่อนไขสำหรับผลรวมของเวกเตอร์รัศมีของจุดทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดนั้น คูณด้วยมวลของจุดที่สอดคล้องกัน ให้เท่ากับศูนย์:

และ จากที่นี่ เราได้รับสูตรที่ต้องการ

จุดศูนย์ถ่วงของเฟรม

แต่จากนั้นแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมสามารถแทนที่ด้วยจุดเดียว - ตรงกลางของส่วนนี้ (เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ตรงกลางของส่วนนี้) โดยมีมวลเท่ากับความยาวของส่วนนี้

ตอนนี้เราได้รับปัญหาเกี่ยวกับระบบของจุดที่เป็นสาระสำคัญแล้วและนำวิธีแก้ปัญหาจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ไปใช้กับมัน เราพบว่า:

โดยที่จุดกึ่งกลางของด้านที่ th ของรูปหลายเหลี่ยมคือความยาวของด้านที่ th คือปริมณฑลคือ ผลรวมของความยาวของด้าน

สำหรับ สามเหลี่ยมสามารถแสดงข้อความต่อไปนี้ได้ จุดนี้คือ จุดตัดแบ่งครึ่งสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมเดิม (เพื่อแสดงสิ่งนี้ เราต้องใช้สูตรข้างต้น แล้วสังเกตว่า bisectors แบ่งด้านข้างของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ในอัตราส่วนเดียวกับจุดศูนย์กลางมวลของด้านเหล่านี้)

จุดศูนย์กลางมวลของรูปของแข็ง

เราเชื่อว่ามวลมีการกระจายตัวทั่วร่าง กล่าวคือ ความหนาแน่นในแต่ละจุดของรูปมีค่าเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เคสสามเหลี่ยม

เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมคำตอบก็ยังเหมือนเดิม เซนทรอยด์, เช่น. จุดที่เกิดจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด:

กรณีสามเหลี่ยม: พิสูจน์

เราให้ข้อพิสูจน์เบื้องต้นที่ไม่ได้ใช้ทฤษฎีปริพันธ์

อาร์คิมิดีสได้ให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตอย่างหมดจดประการแรก แต่มันซับซ้อนมาก ด้วยโครงสร้างทางเรขาคณิตจำนวนมาก หลักฐานที่ให้ไว้ในที่นี้นำมาจากบทความของ Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way"

หลักฐานพิสูจน์ได้ว่าจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมอยู่บนค่ามัธยฐานอันใดอันหนึ่ง ทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกสองครั้ง เราจึงแสดงให้เห็นว่าจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน ซึ่งก็คือเซนทรอยด์

ให้แบ่งสามเหลี่ยมนี้เป็นสี่ส่วนโดยเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้างดังแสดงในรูป:

สามเหลี่ยมผลลัพธ์ที่ได้จะคล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์

สามเหลี่ยมหมายเลข 1 และหมายเลข 2 รวมกันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม (เนื่องจากเป็นรูปสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุมทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์กลางมวลของมัน ต้องนอนหงายทั้งสองเส้นทแยงมุม) จุดอยู่ตรงกลางด้านร่วมของสามเหลี่ยมหมายเลข 1 และหมายเลข 2 และยังอยู่บนค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมด้วย:

ทีนี้ ให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมที่ 1 และให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดนั้น (ซึ่ง จำได้ว่า เป็นจุดกึ่งกลางของด้านที่มันอยู่) :

เป้าหมายของเราคือแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์และมีความสอดคล้องกัน

แทนด้วยและจุดที่เป็นจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมหมายเลข 3 และหมายเลข 4 เห็นได้ชัดว่าจุดศูนย์กลางมวลของผลรวมของสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเป็นจุด ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน ยิ่งไปกว่านั้น เวกเตอร์จากจุดหนึ่งไปอีกจุดจะเหมือนกับเวกเตอร์

จุดศูนย์กลางมวลที่ต้องการของสามเหลี่ยมนั้นอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดต่างๆ และ (เนื่องจากเราแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนของพื้นที่เท่าๆ กัน: ลำดับที่ 1 ลำดับที่ 2 และลำดับที่ 3 ลำดับที่ 4):

ดังนั้น เวกเตอร์จากจุดยอดถึงเซนทรอยด์คือ ในทางกลับกัน เนื่องจาก สามเหลี่ยมหมายเลข 1 คล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์ จากนั้นเวกเตอร์เดียวกันจะเท่ากับ จากที่นี่เราจะได้สมการ:

จากที่เราพบ:

ดังนั้น เราได้พิสูจน์แล้วว่าเวกเตอร์และเป็นแบบ collinear ซึ่งหมายความว่าเซนทรอยด์ที่ต้องการอยู่บนค่ามัธยฐานที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด

ยิ่งกว่านั้น ระหว่างทาง เราได้พิสูจน์ว่าเซนทรอยด์แบ่งแต่ละค่ามัธยฐานด้วยความเคารพ นับจากด้านบน

กรณีรูปหลายเหลี่ยม

ทีนี้มาดูกรณีทั่วไปกัน - เช่น ถึงโอกาส รูปหลายเหลี่ยม. สำหรับเขา การให้เหตุผลดังกล่าวใช้ไม่ได้อีกต่อไป ดังนั้นเราจึงลดปัญหาให้เป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ เราแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม (กล่าวคือ เป็นรูปสามเหลี่ยม) หาจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมแต่ละรูป แล้วหาจุดศูนย์กลางของ มวลของจุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมที่ได้

สูตรสุดท้ายมีดังนี้:

โดยที่จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่ - ในรูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ - ของรูปสามเหลี่ยมคือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด

การหารูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นงานที่ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น เราสามารถหารูปสามเหลี่ยม โดยที่ .

กรณีรูปหลายเหลี่ยม: ทางเลือกอื่น

ในทางกลับกัน การใช้สูตรข้างต้นไม่สะดวกสำหรับ รูปหลายเหลี่ยมไม่นูนเนื่องจากการหาตำแหน่งสามเหลี่ยมนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายในตัวเอง แต่สำหรับรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว คุณสามารถสร้างแนวทางที่ง่ายกว่านี้ได้ กล่าวคือ ลองเปรียบเทียบวิธีที่คุณสามารถหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ: เลือกจุดใดก็ได้ จากนั้นจึงสรุปพื้นที่เครื่องหมายของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดนี้และจุดของรูปหลายเหลี่ยมรวมกัน: . เทคนิคที่คล้ายกันสามารถใช้ในการหาจุดศูนย์กลางมวลได้: ตอนนี้เราจะรวมจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมที่ถ่ายด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วนตามพื้นที่ของพวกมันเท่านั้น กล่าวคือ สูตรสุดท้ายของจุดศูนย์กลางมวลคือ

โดยที่จุดใดจุดหนึ่งคือจุดของรูปหลายเหลี่ยมเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม , คือพื้นที่เครื่องหมายของสามเหลี่ยมนี้, คือพื้นที่เครื่องหมายของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด (เช่น ).

เคส 3 มิติ: รูปทรงหลายเหลี่ยม

ในทำนองเดียวกันกับกรณีสองมิติ ในรูปแบบ 3 มิติ เราสามารถพูดถึงข้อความแจ้งปัญหาที่เป็นไปได้สี่รายการพร้อมกัน:

• จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด - จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• ศูนย์กลางมวลของกรอบคือขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของพื้นผิว - เช่น มวลกระจายไปทั่วพื้นที่ผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงหลายเหลี่ยมทึบ - เช่น มวลกระจายไปทั่วรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด

จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด

ในกรณี 2D เราสามารถใช้สูตรทางกายภาพและได้ผลลัพธ์เดียวกัน:

ซึ่งในกรณีของมวลเท่ากันจะกลายเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของทุกจุด

จุดศูนย์กลางมวลของกรอบทรงหลายเหลี่ยม

เช่นเดียวกับกรณีสองมิติ เราเพียงแค่เปลี่ยนขอบแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยจุดวัสดุที่อยู่ตรงกลางของขอบนี้ และด้วยมวลเท่ากับความยาวของขอบนี้ เมื่อได้รับปัญหาเรื่องคะแนนวัสดุแล้ว เราสามารถหาวิธีแก้ไขได้โดยง่ายเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของพิกัดของจุดเหล่านี้

จุดศูนย์กลางมวลของพื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยม

ใบหน้าแต่ละด้านของพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปสองมิติ ซึ่งเราสามารถหาจุดศูนย์กลางมวลได้ การหาจุดศูนย์กลางมวลเหล่านี้และแทนที่แต่ละหน้าด้วยจุดศูนย์กลางมวล เราพบปัญหาเกี่ยวกับจุดวัสดุซึ่งแก้ไขได้ง่ายอยู่แล้ว

จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงหลายเหลี่ยมทึบ

เคสจัตุรมุข

ในกรณีสองมิติ ก่อนอื่นเราจะแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด นั่นคือปัญหาของจัตุรมุข

ระบุว่าจุดศูนย์กลางมวลของจัตุรมุขประจวบกับจุดตัดของมัธยฐาน (ค่ามัธยฐานของจัตุรมุขคือส่วนที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของหน้าด้านตรงข้าม ดังนั้นค่ามัธยฐานของจัตุรมุข ผ่านจุดยอดและผ่านจุดตัดของค่ามัธยฐานของใบหน้าสามเหลี่ยม)

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? เหตุผลที่คล้ายกับกรณีสองมิตินั้นถูกต้องที่นี่: หากเราตัดจัตุรมุขออกเป็นสองจัตุรมุขด้วยความช่วยเหลือของระนาบที่ผ่านจุดยอดของจัตุรมุขและค่ามัธยฐานของหน้าตรงข้ามบางส่วน จัตุรมุขทั้งสองที่ได้จะมีปริมาตรเท่ากัน (เพราะว่าหน้ารูปสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งโดยค่ามัธยฐานเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน และความสูงของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสทั้งสองจะไม่เปลี่ยนแปลง) การให้เหตุผลนี้ซ้ำหลายครั้ง เราได้จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานของจัตุรมุข

จุดนี้ - จุดตัดของค่ามัธยฐานของจัตุรมุข - เรียกว่า เซนทรอยด์. สามารถแสดงว่าจริง ๆ แล้วมันมีพิกัดเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของจัตุรมุข:

(สามารถอนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเซนทรอยด์แบ่งค่ามัธยฐานด้วยความเคารพต่อ )

ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างกรณีของจัตุรมุขและสามเหลี่ยม: จุดเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดยอดเป็นจุดศูนย์กลางของมวลในสองสูตรของปัญหาในครั้งเดียว: ทั้งเมื่อมวลอยู่ที่จุดยอดเท่านั้น และเมื่อมวลถูกกระจายไปทั่วพื้นที่/ปริมาตร อันที่จริง ผลลัพธ์นี้สรุปเป็นมิติใด ๆ ก็ได้: จุดศูนย์กลางของมวลของมิติใด ๆ ซิมเพล็กซ์(ซิมเพล็กซ์) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด

กรณีรูปทรงหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ตอนนี้ให้เราหันไปที่กรณีทั่วไป กรณีของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยพลการ

เช่นเดียวกันในกรณีสองมิติ เราลดปัญหานี้ให้เหลือปัญหาที่แก้ไขแล้ว: เราแบ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมออกเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส (กล่าวคือ เราแยกเป็นจัตุรมุข) หาจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละรูป และรับคำตอบสุดท้าย ปัญหาในรูปของผลรวมถ่วงน้ำหนักของศูนย์ที่พบ wt

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงเกิดขึ้นแล้วในสมัยโบราณ อาร์คิมิดีสมีส่วนสำคัญอย่างมากต่อการพัฒนาทฤษฎีจุดศูนย์ถ่วง แม้ว่าแนวคิดของจุดศูนย์ถ่วงจะมีการศึกษาในบทเรียนฟิสิกส์มากกว่าคณิตศาสตร์ แต่ก็มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวความคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงทำให้อาร์คิมิดีสค้นหาพื้นที่ของร่างบางได้ง่ายขึ้น (เช่น ส่วนของพาราโบลา) รวมถึงปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ต่างๆ (โดยเฉพาะลูกบอล)

ในบทความเรื่อง "On the Balance of Plane Bodies, or on the Centers of Gravity of Plane Figures" อาร์คิมิดีสอธิบายทฤษฎีของจุดศูนย์ถ่วงตามความเป็นจริง เช่นเดียวกับที่ Euclid กำหนดเรขาคณิตไว้ในหนังสือ "จุดเริ่มต้น" ขั้นแรกให้ "สมมติฐาน" จำนวนหนึ่งซึ่งก็คือสัจพจน์

ในที่นี้ "เท่ากัน" หมายถึงขนาดเท่ากัน ในกรณีนี้ มีน้ำหนักเท่ากัน ความหมายของข้อเสนอคือ หากตัวเลขบางตัวถูกระงับ อยู่ในสภาวะสมดุล เครื่องชั่งจะไม่ถูกรบกวนเมื่อแทนที่ด้วยตัวเลขที่มีน้ำหนักเท่ากัน

ข้าว. 2. ตัวเลขสองตัวที่มีน้ำหนักเท่ากับตัวที่สามมีค่าเท่ากัน

จากสมมติฐานเหล่านี้ อาร์คิมิดีสได้พิสูจน์ผลพวงหลายประการ

การพิสูจน์ในหนังสือ "On Equilibrium ... " ส่วนใหญ่ดำเนินการโดยวิธีการ "โดยความขัดแย้ง" พิจารณาตัวอย่างเช่นข้อ 1 ให้น้ำหนักที่กำหนดสมดุลกับความยาวเท่ากันไม่เท่ากัน จากนั้นหลังจากลบบางสิ่งออกจากอันที่ใหญ่กว่าและเพิ่มไปยังอันที่เล็กกว่า ความสมดุลจะต้องถูกหัก (ตามสัจพจน์ 2 และ 3) และสิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าร่างกายที่เท่ากันที่ความยาวเท่ากันนั้นมีความสมดุล (ตามสัจพจน์ 1)

l 1 / l 2 \u003d P 2 / P 1

เพื่อที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ อาร์คิมิดีสพิจารณาแยกกันสองกรณี: น้ำหนักที่กำหนดนั้นเทียบเท่าหรือเทียบไม่ได้ ในกรณีแรก น้ำหนักของวัตถุทั้งสองเป็นทวีคูณของน้ำหนักบางส่วน P 0: P 1 = n 1 P 0 , P 2 = n 2 P 0 . อาร์คิมิดีสแทนที่ร่างกายด้วยน้ำหนัก P 1 ด้วย n 1 ร่างกายที่มีน้ำหนัก P 0 แต่ละตัวและร่างกายที่มีน้ำหนัก P 2 กับ n 2 ร่างกายที่มีน้ำหนัก P 0 แต่ละตัวและจัดเรียงร่างกายทั้งหมดเหล่านี้ (n 1 + n 2) ให้เป็นเส้นตรง เส้นตรงเพื่อให้จุดศูนย์ถ่วงที่อยู่ติดกันอยู่ในระยะห่างเท่ากัน

นอกจากนี้ ตามสมมติฐาน 6 การแทนที่ประเภทนี้จะไม่ส่งผลต่อตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง และเนื่องจากตามข้อพิสูจน์ 3 สำหรับวัตถุเหล่านี้ (n 1 + n 2) จุดศูนย์ถ่วงอยู่ตรงกลาง ดังนั้นสำหรับวัตถุสองชิ้นดั้งเดิม มันจึงอยู่ในที่เดียวกันด้วย นี่หมายความว่า ล. 1 /l 2 = P 2 /P 1 .

ในกรณีของตุ้มน้ำหนักที่เทียบไม่ได้ อาร์คิมิดีสได้พิสูจน์อีกครั้งด้วยความขัดแย้ง: เขาถือว่าวัตถุที่มีน้ำหนักและแขวนไว้ในส่วนที่ตรงตามเงื่อนไขจะไม่อยู่ในสมดุล ซึ่งหมายความว่าน้ำหนักจะมากหรือน้อยกว่าที่จำเป็นสำหรับความสมดุล ถ้ามันใหญ่กว่าเราก็ลบน้ำหนักบางส่วนออกเพื่อให้น้ำหนักที่เหลืออยู่ในมือข้างหนึ่งยังคงเกินความจำเป็นสำหรับความสมดุลและอีกด้านหนึ่งเพื่อให้เทียบเท่ากับจากนั้นในอีกด้านหนึ่ง (เนื่องจาก เกินความจำเป็นสำหรับดุลยภาพ) แต่ในทางกลับกัน (เพราะกลับกลายเป็นความขัดแย้งก็หมายความว่าไม่มีมากเกินความจำเป็นสำหรับดุลยภาพ ถ้าน้อยกว่าจำเป็นสำหรับดุลยภาพก็มากกว่าและค่อนข้างมีเหตุผลเดียวกันทั้งหมด สามารถทำได้ ดังนั้น กฎของคันโยกได้รับการพิสูจน์แล้ว

(เป็นที่ทราบกันดีว่าคันโยกครอบครองพื้นที่ขนาดใหญ่ในกิจกรรมของอาร์คิมิดีส - ไม่เพียง แต่เป็นช่างทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังเป็นผู้ออกแบบอุปกรณ์กลไกที่ใช้จริงด้วย คำพูดของอาร์คิมิดีสมักถูกยกมาว่า "ให้จุดศูนย์กลางแก่ฉันและฉันจะ เคลื่อนโลก")

จากสิ่งที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวอย่างเช่น การหาจุดศูนย์ถ่วงของน้ำหนักจุดเท่ากันสามจุดซึ่งอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยม ABC กล่าวคือจุดศูนย์ถ่วงของโหลดที่จุด A และ B (ถือเป็นวัตถุเดียว) อยู่ตรงกลางของส่วน AB และจุดศูนย์ถ่วงของจุดยอดทั้งสามจะต้องอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอด C ด้วย จุดกึ่งกลางของด้าน AB นั่นคือบนค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุด C และต้องหารสัมพันธ์กับ (PA + PB ) : PC = 2: 1 นับจากด้านบนของ C . เนื่องจากการให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้ใช้กับค่ามัธยฐานอีกสองค่าที่เหลือ ปรากฎว่าค่ามัธยฐานทั้งสามตัดกันที่จุดหนึ่ง (กล่าวคือ ที่จุดศูนย์ถ่วงเดียว) และหารด้วยอัตราส่วน 2: 1 นับจากด้านบน คำสั่งนี้มักเรียกว่า "ทฤษฎีบทค่ามัธยฐาน" ข้าว. 7. ทฤษฎีบทค่ามัธยฐานได้รับการพิสูจน์โดยใช้กฎแห่งเลเวอเรจ โดยใช้แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วง พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้สำหรับ DABC จัตุรมุขตามอำเภอใจ อาร์คิมิดีสในงานของเขากำลังมองหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างแบนบางตัว (สันนิษฐานว่ามีความหนาและความหนาแน่นเท่ากัน) จากสมมาตรจะเข้าใจได้ง่ายว่าจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ที่จุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมนั้นไม่ชัดเจนนัก ปรากฎว่ามันอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานด้วย: จุดนี้จึงเรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม (และไม่ใช่แค่จุดศูนย์ถ่วงของจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม) พอเพียงที่จะพิสูจน์ว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่บนค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ (เนื่องจากมันอยู่บนทั้งสาม มันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของพวกมัน) อาร์คิมิดีสดำเนินการพิสูจน์ในสองวิธี เราจะพิจารณาเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น อาร์คิมิดีสพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งอีกครั้ง: ให้จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม ABC เป็นจุด G ที่ไม่อยู่บนค่ามัธยฐาน เชื่อมต่อจุดนี้กับจุด A , B และ C วาดส่วน DE, DF และ EF โดยที่ E เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ F เป็นจุดกึ่งกลางของ AC ควบคู่ไปกับ AG วาด EK และ FL (K อยู่บน AG , L อยู่บน BG ) ให้ EF ตัดกับ AG ที่จุด M และ KL ตัดกับ DG ที่จุด N พิจารณาเตียงสามเหลี่ยม เนื่องจากมันคล้ายกับสามเหลี่ยม BAC ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงในนั้นจึงอยู่ในแบบเดียวกันและดังนั้นจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุด K (โดยความเท่าเทียมกันของมุมในรูปสามเหลี่ยม BAG และ BEK พวกมันจะคล้ายกัน) จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม DFC ตรงกับจุด L เช่นเดียวกัน รูปที่เกิดจากสามเหลี่ยมสองรูปนี้มีจุดศูนย์ถ่วงอยู่ตรงกลางของส่วน KL (เนื่องจากสามเหลี่ยม BED และ DFC เท่ากัน) และเกิดขึ้นพร้อมกับจุด N (ซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน) จุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน LEDF คือจุด M ดังนั้น สำหรับสามเหลี่ยม ABC ทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม BED และ DFC นี้ จุดศูนย์ถ่วงเป็นของส่วน MN ดังนั้นจุด G อยู่บนเซ็กเมนต์ MN ซึ่งเป็นไปไม่ได้เว้นแต่ G จะไม่อยู่บนค่ามัธยฐาน AD ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของมัธยฐานจริงๆ

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นผ่านศูนย์กลางที่แบ่งคอร์ดออกเป็นสองส่วนขนานกับฐาน ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วง (n° 217) ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนนั้น ดังนั้นค่ามัธยฐานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมที่ตัดกันกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

การพิจารณาเบื้องต้นแสดงให้เห็นว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดสองในสามของความยาวของแต่ละส่วนจากจุดยอดที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงอยู่ที่ค่ามัธยฐานใด ๆ ของมันที่ระยะห่างสองในสามของความยาวจากด้านบน

219. สี่เหลี่ยม.

จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้นพิจารณาจากจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น ซึ่งเราได้มาจากคุณสมบัติการกระจายของจุดศูนย์ถ่วง (n° 213)

อันดับแรก เราแบ่งรูปสี่เหลี่ยมด้วยเส้นทแยงมุมเป็นสามเหลี่ยมสองรูป จุดศูนย์ถ่วงของรูปสี่เหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ บรรทัดนี้เป็นบรรทัดแรกจากสองบรรทัดที่จำเป็น

เราได้เส้นตรงที่สองในลักษณะเดียวกัน โดยแบ่งรูปสี่เหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมสองรูป (ต่างจากเส้นก่อนหน้า) โดยใช้อีกเส้นทแยงมุม

220. รูปหลายเหลี่ยม.

เรารู้วิธีหาจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม ในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านตามอำเภอใจ สมมติว่าเราสามารถหาจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านน้อยกว่าได้

จากนั้นคุณก็ทำแบบเดียวกับในกรณีของรูปสี่เหลี่ยม พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยสองวิธีในการวาดเส้นทแยงมุมที่แตกต่างกัน ในแต่ละกรณีจะมีการเชื่อมต่อจุดศูนย์ถ่วงโดยตรงของแต่ละส่วน เส้นสองเส้นนี้ตัดกันที่จุดศูนย์ถ่วงที่ต้องการ

221. ส่วนโค้งของวงกลม.

กำหนดให้ต้องกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งของวงกลม AB ที่มีความยาว s เราอ้างอิงวงกลมถึงเส้นผ่านศูนย์กลางสองเส้นตั้งฉากกัน OX และ OY ซึ่งเส้นแรกผ่านจุดกึ่งกลาง C ของส่วนโค้ง AB จุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกน OX ซึ่งเป็นแกนสมมาตร ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะกำหนด 5 ในการทำเช่นนี้เรามีสูตร:

ให้มี: a - รัศมีของวงกลม, c - ความยาวของคอร์ด AB, - มุมระหว่างแกน OX และรัศมีที่ลากไปยังองค์ประกอบของค่าที่สอดคล้องกับจุดสิ้นสุดของส่วนโค้ง AB เรามี:

จากนั้นนำ B เป็นตัวแปรการรวมและรวมเข้ากับส่วนโค้ง AB เราจะได้:

ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งของวงกลมจึงอยู่ที่รัศมีที่ลากผ่านตรงกลางของส่วนโค้ง ณ จุดที่มีระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมเป็นสัดส่วนที่สี่กับความยาวของส่วนโค้ง รัศมี และคอร์ด

222. ภาคหนังสือเวียน.

เซกเตอร์ที่ล้อมรอบระหว่างส่วนโค้งของวงกลมและรัศมีสองรัศมี OA และ OB สามารถสลายตัวได้ด้วยรัศมีระดับกลางเป็นเซกเตอร์ที่มีขนาดเล็กเท่าๆ กันอย่างอนันต์ ส่วนพื้นฐานเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นสามเหลี่ยมแคบอนันต์ จุดศูนย์ถ่วงของแต่ละคนตามก่อนหน้านี้อยู่บนรัศมีที่ลากผ่านตรงกลางของส่วนโค้งพื้นฐานของภาคนี้ที่ระยะห่างสองในสามของความยาวรัศมีจากจุดศูนย์กลางของวงกลม มวลเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมพื้นฐานทั้งหมด ซึ่งกระจุกตัวอยู่ในจุดศูนย์ถ่วงของมัน ก่อตัวเป็นส่วนโค้งที่เป็นเนื้อเดียวกันของวงกลม รัศมีนั้นเท่ากับสองในสามของรัศมีของส่วนโค้งของเซกเตอร์ กรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจึงลดลงเหลือเพียงการหาจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ เพื่อแก้ไขปัญหาในย่อหน้าก่อนหน้า

223. จัตุรมุข.

ให้เรากำหนดจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตรของจัตุรมุข ระนาบที่ผ่านขอบด้านหนึ่งและผ่านตรงกลางของขอบอีกด้านคือระนาบเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งแบ่งคอร์ดออกเป็นสองส่วนขนานกับขอบสุดท้ายนี้ ดังนั้นจึงประกอบด้วยเซนทรอยด์ของปริมาตรของจัตุรมุข ดังนั้นระนาบทั้งหกของจัตุรมุขซึ่งแต่ละระนาบผ่านขอบด้านใดด้านหนึ่งและผ่านตรงกลางขอบด้านตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเป็นศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วงของปริมาตรของจัตุรมุข

พิจารณาจัตุรมุข ABCD (รูปที่ 37); เชื่อมต่อจุดยอด A กับจุดศูนย์ถ่วง I ของฐาน BCD เส้น AI คือจุดตัดของระนาบเส้นผ่านศูนย์กลางที่ผ่าน

ผ่านขอบ AB และดังนั้นจึงมีจุดศูนย์ถ่วงที่ต้องการ จุดอยู่ที่ระยะสองในสามของค่ามัธยฐาน BH จากยอด B ในทำนองเดียวกัน ให้หาจุด K บนค่ามัธยฐาน AN ที่ระยะห่างสองในสามของความยาวจากด้านบน เส้น B K ตัดกับเส้น A ที่จุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุข เราดึงจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ABN และ YUN เป็นที่ชัดเจนว่า IK เป็นส่วนที่สามของ AB) เพิ่มเติมจากความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมและ VGA เราสรุปได้ว่ามีส่วนที่สาม

ดังนั้น จุดศูนย์ถ่วงของปริมาตรของจัตุรมุขจึงอยู่บนส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดใดๆ ของจัตุรมุขกับจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตรงข้าม ที่ระยะห่างสามในสี่ของความยาวของส่วนนี้จากจุดยอด

นอกจากนี้เรายังทราบด้วยว่าเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลาง R และ L ของขอบสองด้านตรงข้ามกัน (รูปที่ 38) คือจุดตัดของระนาบเส้นผ่านศูนย์กลางที่ผ่านขอบเหล่านี้ มันยังผ่านจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุขด้วย ดังนั้น เส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุขตัดกันที่จุดศูนย์ถ่วงของมัน

ให้ H และเป็นจุดกึ่งกลางของซี่โครงตรงข้ามหนึ่งคู่ (รูปที่ 38) และ M, N เป็นจุดกึ่งกลางของซี่โครงตรงข้ามอีกสองซี่ รูปที่ HNLM เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านขนานกับส่วนที่เหลือตามลำดับ

สองซี่โครง เส้นตรง HL และ MN เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบสองด้านตรงข้ามกัน เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ ซึ่งหมายความว่าจะถูกแบ่งครึ่งที่จุดตัด ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุขจึงอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามของจัตุรมุข

224. พีระมิดฐานเหลี่ยม

จุดศูนย์ถ่วงของปิรามิดอยู่บนส่วนที่เชื่อมต่อส่วนบนของปิรามิดกับจุดศูนย์ถ่วงของฐานที่ระยะห่างสามในสี่ของความยาวของส่วนนี้จากด้านบน

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราแยกปิรามิดออกเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสโดยระนาบที่ลากผ่านยอดปิรามิดและผ่านเส้นทแยงมุมของฐาน ABCD (เช่น BD ในรูปที่ 39)

วาดระนาบที่ตัดขอบที่ระยะสามในสี่ของความยาวจากด้านบน เครื่องบินลำนี้มีจุดศูนย์ถ่วงของจัตุรมุขและด้วยเหตุนี้ปิรามิด มวลของจัตุรมุขซึ่งเราถือว่ากระจุกตัวอยู่ในจุดศูนย์ถ่วงของพวกมันนั้นแปรผันตามปริมาตรของมัน ดังนั้นก็รวมถึงพื้นที่ของฐานด้วย (รูปที่ 39) หรือพื้นที่ของสามเหลี่ยมไม่ดี เตียง, .. คล้ายกับก่อนหน้านี้และตั้งอยู่ในระนาบการตัด abcd... ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงที่ต้องการจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์ถ่วงของรูปหลายเหลี่ยม abcd ส่วนหลังอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อม S ด้านบนของปิรามิดกับจุดศูนย์ถ่วง (ตำแหน่งที่คล้ายกัน) ของรูปหลายเหลี่ยมฐาน

225. ปริซึม. กระบอก. กรวย.

บนพื้นฐานของความสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของปริซึมและทรงกระบอกอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์ถ่วงของฐาน

เมื่อพิจารณาว่ากรวยเป็นขีด จำกัด ของปิรามิดที่จารึกไว้ด้วยจุดยอดเดียวกันเราเชื่อว่าจุดศูนย์ถ่วงของกรวยอยู่บนส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของกรวยกับจุดศูนย์ถ่วงของฐานในระยะไกล สามในสี่ของความยาวของส่วนนี้จากจุดยอด อาจกล่าวได้ว่าจุดศูนย์ถ่วงของกรวยตรงกับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนกรวยโดยระนาบขนานกับฐานและดึงที่ระยะห่างหนึ่งในสี่ของความสูงของกรวยจากฐาน