ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับหุ่น แบบจำลองทางสถิติของกระบวนการต่อหน่วย

นอกจากทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับกฎจำนวนมากแล้ว ยังมีกลุ่มของทฤษฎีบทอีกกลุ่มหนึ่งที่สร้างทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางที่เรียกว่า ทฤษฎีบทกลุ่มนี้กำหนดเงื่อนไขภายใต้กฎการแจกแจงแบบปกติที่เกิดขึ้น เงื่อนไขดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดาในทางปฏิบัติ ซึ่งอันที่จริง เป็นคำอธิบายสำหรับข้อเท็จจริงที่ว่ากฎปกติมักใช้ในปรากฏการณ์สุ่มในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่างรูปแบบของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางประกอบด้วยการกำหนดเงื่อนไขต่าง ๆ ที่กำหนดบนผลรวมของตัวแปรสุ่มที่พิจารณา สถานที่ที่สำคัญที่สุดในบรรดารูปแบบทั้งหมดนี้เป็นของทฤษฎีบทของลยาปูนอฟ

ทฤษฎีบทของยาปูนอฟถ้า X 1 , X 2 , … , X n เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน ในขณะที่ไม่มีค่าใดที่แตกต่างจากค่าอื่น ๆ ทั้งหมดในค่าของมัน นั่นคือ มีผลเล็กน้อยต่อผลรวมของปริมาณเหล่านี้ ตามด้วยการเพิ่มจำนวนตัวแปรสุ่มอย่างไม่จำกัด น, กฎการแจกแจงผลรวมของพวกเขาเข้าใกล้ค่าปกติอย่างไม่มีกำหนด

ผลที่ตามมาถ้าตัวแปรสุ่มทั้งหมด X 1 , X 2 , … , X n มีการกระจายเท่าๆ กัน จากนั้นกฎการแจกแจงผลรวมของพวกมันจะเข้าใกล้ค่าปกติอย่างไม่มีกำหนดโดยมีจำนวนเงื่อนไขเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด

ทฤษฎีบทของ Lyapunov มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก จากการทดลองพบว่าการประมาณค่ากฎปกตินั้นค่อนข้างเร็ว ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Lyapunov กฎของการแจกแจงผลรวมของจำนวนแม้แต่สิบพจน์ถือเป็นเรื่องปกติอยู่แล้ว

มีรูปแบบที่ซับซ้อนและทั่วไปมากขึ้นของทฤษฎีบทของ Lyapunov

ทฤษฎีบททั่วไป Lyapunovถ้า X 1 , X 2 , … , X n เป็นตัวแปรสุ่มอิสระพร้อมความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอผม , ความแปรปรวน σ 2 ผม ช่วงเวลาศูนย์กลางของคำสั่งที่สาม tฉันและ

แล้วกฎการกระจายของผลรวม X 1 + X 2 + … + X n ที่ นเข้าสู่ภาวะปกติอย่างไม่มีกำหนดด้วยความคาดหวัง และการกระจายตัว .

ความหมายของเงื่อนไข (2.1) คือในผลรวมของตัวแปรสุ่ม จะไม่มีพจน์ใดที่มีอิทธิพลต่อการกระจายตัวของผลรวมของตัวแปรจะมีขนาดใหญ่อย่างท่วมท้นเมื่อเทียบกับอิทธิพลของตัวแปรสุ่มอื่นๆ ทั้งหมด นอกจากนี้ ไม่ควรมีคำศัพท์จำนวนมากที่มีอิทธิพลต่อการกระจายของผลรวมที่น้อยมากเมื่อเทียบกับอิทธิพลทั้งหมดของส่วนที่เหลือ

รูปแบบแรกสุดของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางคือทฤษฎีบทของลาปลาซ

ทฤษฎีบทของลาปลาซปล่อยให้มันผลิต นการทดลองอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ แต่ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น Rแล้วสำหรับขนาดใหญ่ นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ

(2.2)

ที่ไหน Y n คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ แต่ใน นการทดลอง; q=1-พี; เอฟ( X) เป็นฟังก์ชัน Laplace

ทฤษฎีบทของ Laplace ช่วยให้สามารถหาค่าความน่าจะเป็นโดยประมาณของตัวแปรสุ่มแบบทวินามแบบทวินามสำหรับค่าปริมาณมาก น. อย่างไรก็ตาม ในขณะเดียวกัน ความน่าจะเป็น Rไม่ควรเล็กหรือใหญ่พอ

สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติ สูตร (2.2) มักจะเขียนในอีกรูปแบบหนึ่งคือ

(2.3)

ตัวอย่าง 2.1. เครื่องออกกะลา น=1,000 รายการ โดย 3% มีข้อบกพร่องโดยเฉลี่ย ค้นหาความน่าจะเป็นโดยประมาณที่จะมีการผลิตสินค้าอย่างน้อย 950 รายการ (ไม่มีข้อบกพร่อง) ระหว่างกะ หากผลิตภัณฑ์กลายเป็นสินค้าที่ดีโดยไม่แยกจากกัน

วิธีการแก้ . อนุญาต Y- จำนวนสินค้าที่ดี ตามภารกิจ R= 1-0.03=0.97; จำนวนการทดลองอิสระ น=1000. เราใช้สูตร (2.3):

ตัวอย่าง 2.2, ในเงื่อนไขของตัวอย่างที่แล้ว หาว่าสินค้าดีมีกี่ตัว kต้องมีกล่องเพื่อให้ความน่าจะเป็นของล้นในกะเดียวไม่เกิน 0.02

วิธีการแก้ . เป็นที่ชัดเจนจากเงื่อนไขว่า . ค้นหาจากเงื่อนไขนี้จำนวน k. เรามี
, เช่น. .

จากตารางของฟังก์ชัน Laplace ด้วยค่า 0.48 เราพบว่าอาร์กิวเมนต์เท่ากับ 2.07 เราได้รับ
. ■

ตัวอย่าง 2.3. ในธนาคาร คน 16 คนกำลังยืนอยู่ที่โต๊ะเงินสดแห่งหนึ่งเพื่อรับเงินจำนวนหนึ่ง ขณะนี้มี 4,000 den ในบ็อกซ์ออฟฟิศนี้ หน่วย ผลรวม Xผม ซึ่งต้องจ่ายให้แต่ละคน 20 คน เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ t= 160 หน่วยเงินสด และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 70 den.un. จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีเงินในลิ้นชักไม่พอจ่ายให้ทุกคนในแถว

วิธีการแก้ . เราใช้ทฤษฎีบทของ Lyapunov กับตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบเดียวกัน มูลค่า น= 20 ถือว่าค่อนข้างมาก ดังนั้น จำนวนเงินที่ชำระทั้งหมด Y= X 1 + X 2 + … + X 16 ถือเป็นตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎปกติด้วยการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ t y= ไม่= 20 160= 3200 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทฤษฎีขีดจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev

ให้เราพิจารณาข้อความและทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งจากกลุ่มทฤษฎีขีดจำกัดที่เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นกลุ่มใหญ่ ซึ่งสร้างการเชื่อมต่อระหว่างลักษณะทางทฤษฎีและการทดลองของตัวแปรสุ่มที่มีการทดสอบจำนวนมาก เป็นพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทลิมิตแบ่งออกเป็นสองกลุ่มตามอัตภาพ ทฤษฎีบทกลุ่มแรกเรียกว่า กฎของตัวเลขจำนวนมากกำหนดความเสถียรของค่ากลาง กล่าวคือ ด้วยการทดลองจำนวนมาก ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยจะหยุดสุ่มและสามารถคาดการณ์ได้อย่างแม่นยำเพียงพอ ทฤษฎีบทกลุ่มที่สองเรียกว่า ขีด จำกัด กลางกำหนดเงื่อนไขที่กฎการแจกแจงผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนมากเข้าใกล้ตัวแปรปกติอย่างไม่มีกำหนด

อันดับแรก ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ซึ่งสามารถใช้เพื่อ: ก) ประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มที่ไม่ทราบการแจกแจง b) การพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งของกฎหมายจำนวนมาก

ทฤษฎีบท 7.1. ถ้าตัวแปรสุ่ม Xมีความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ DXแล้วความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev

.

(7.1)

โปรดทราบว่าอสมการ Chebyshev สามารถเขียนได้ในรูปแบบอื่น:

สำหรับ ความถี่หรือเหตุการณ์ใน นการทดลองอิสระ โดยแต่ละครั้งสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็น ซึ่งมีความแปรปรวน , ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev มีรูปแบบ

อสมการ (7.5) สามารถเขียนใหม่เป็น

.

(7.6)

ตัวอย่าง 7.1ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ประมาณความน่าจะเป็นที่ส่วนเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม Xจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะน้อยกว่าสามส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ น้อย .

วิธีการแก้:

สมมติว่าในสูตร (7.2) เราได้รับ

การประเมินนี้เรียกว่า กฎสามซิกมา.

ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ

คำชี้แจงหลักของกฎหมายจำนวนมากมีอยู่ในทฤษฎีบทของ Chebyshev ในนั้นและทฤษฎีบทอื่น ๆ ของกฎหมายจำนวนมากใช้แนวคิดของ "การบรรจบกันของตัวแปรสุ่มในความน่าจะเป็น"

ตัวแปรสุ่ม มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็นค่า A (สุ่มหรือไม่สุ่ม) หากมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ กล่าวคือ

(หรือ ). การบรรจบกันในความน่าจะเป็นเขียนเป็นสัญลักษณ์ดังนี้:

ควรสังเกตว่า การบรรจบกันของความน่าจะเป็นกำหนดให้ความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้น สำหรับสมาชิกส่วนใหญ่ลำดับ (ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - สำหรับทุกคน n > น, ที่ไหน นู๋- จำนวนหนึ่ง) และสำหรับสมาชิกเกือบทั้งหมดของซีเควนซ์จะต้องตกอยู่ใน ε- ละแวกบ้าน แต่.

ทฤษฎีบท 7.3 (กฎจำนวนมากในรูปแบบของ P.L. Chebyshev). ถ้าตัวแปรสุ่ม เป็นอิสระและมีจำนวน C> 0 ซึ่งแล้วสำหรับ any

,

(7.7)

เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มเหล่านี้มาบรรจบกันด้วยความน่าจะเป็นเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน:

.

การพิสูจน์. ตั้งแต่นั้นมา

.

จากนั้นนำความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev (7.2) ไปใช้กับตัวแปรสุ่ม เราได้

เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มมาบรรจบกับความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ เอ:

การพิสูจน์. เพราะ

และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม นั่นคือ มีขอบเขต จากนั้นใช้ทฤษฎีบท Chebyshev (7.7) เราได้รับการยืนยัน (7.9)

ผลสืบเนื่องของทฤษฎีบทของ Chebyshev แสดงให้เห็นถึงหลักการของ "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต" ของตัวแปรสุ่ม Х ฉันใช้ในทางปฏิบัติอย่างต่อเนื่อง ได้สิ ให้มันจบๆไป นการวัดปริมาณที่เป็นอิสระจากกัน มูลค่าที่แท้จริงของซึ่ง เอ(มันไม่รู้จัก). ผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่ม Х ฉัน. ตามผลเป็นค่าประมาณของปริมาณ เอคุณสามารถใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการวัดได้:

.

ความเท่าเทียมยิ่งแม่นยำยิ่งมาก น.

ทฤษฎีบทของ Chebyshev ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติ วิธีการสุ่มตัวอย่างสาระสำคัญคือคุณภาพของวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันจำนวนมากสามารถตัดสินได้จากตัวอย่างขนาดเล็ก

ทฤษฎีบทของ Chebyshev ยืนยันการเชื่อมต่อระหว่างการสุ่มและความจำเป็น: ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มแทบไม่แตกต่างจากตัวแปรสุ่ม

ทฤษฎีบทเบอร์นูลลี

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีเป็นรูปแบบแรกและเรียบง่ายที่สุดของกฎจำนวนมาก ในทางทฤษฎีจะยืนยันคุณสมบัติความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์

ทฤษฎีบท 7.4 (กฎของตัวเลขมากในรูปของ J. Bernoulli). ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ในการทดสอบเดียวคือ R, จำนวนการเกิดขึ้นของเหตุการณ์นี้ที่ นการทดลองอิสระเท่ากับ ดังนั้นสำหรับจำนวนใด ๆ เรามีความเท่าเทียมกัน

,

(7.10)

คือความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ แต่มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็นความน่าจะเป็น Rพัฒนาการ แต่: .

การพิสูจน์. เราแนะนำตัวแปรสุ่มดังนี้: ถ้าใน ผม- การทดลองครั้งที่ 1 เหตุการณ์เกิดขึ้น แต่และหากไม่ปรากฏก็แสดงว่า แล้วเลข แต่(จำนวนความสำเร็จ) สามารถแสดงเป็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือ: , . กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม X i มีรูปแบบ

Х ฉัน
R		R

สำหรับใดๆ ผม. ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม X ฉันอิสระความแปรปรวนของพวกเขาถูก จำกัด ไว้ที่จำนวนเดียวกันตั้งแต่

.

ดังนั้น ทฤษฎีบทของ Chebyshev สามารถนำไปใช้กับตัวแปรสุ่มเหล่านี้ได้

.

,

เพราะเหตุนี้, .

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลียืนยันความเป็นไปได้ของการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์โดยใช้ความถี่สัมพัทธ์ ตัวอย่างเช่น ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์นี้สามารถนำมาเป็นความน่าจะเป็นที่จะมีผู้หญิงคนหนึ่ง ซึ่งตามข้อมูลทางสถิติจะเท่ากับ 0.485 โดยประมาณ

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev (7.2) สำหรับตัวแปรสุ่ม

ใช้แบบฟอร์ม

ที่ไหน ปี่- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ใน ผม-ม. ทดสอบ

ตัวอย่างที่ 7.2ความน่าจะเป็นของการพิมพ์ผิดในหน้าหนึ่งของต้นฉบับคือ 0.2 ประมาณความน่าจะเป็นที่ต้นฉบับที่มี 400 หน้า ความถี่ของการพิมพ์ผิดจะแตกต่างจากโมดูโลความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันน้อยกว่า 0.05

วิธีการแก้:

เราใช้สูตร (7.11) ในกรณีนี้ , , , . เรามี นั่นคือ .

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเป็นกลุ่มที่สองของทฤษฎีบทจำกัดที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างกฎการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มและรูปแบบการจำกัดของมัน - กฎการแจกแจงแบบปกติ

ให้เรากำหนดทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางสำหรับกรณีที่เงื่อนไขของผลรวมมีการแจกแจงแบบเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้มักใช้ในทางปฏิบัติ ในสถิติทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรสุ่มตัวอย่างมีการแจกแจงเหมือนกัน เนื่องจากได้มาจากประชากรทั่วไปกลุ่มเดียวกัน

ทฤษฎีบท 7.5. ให้ตัวแปรสุ่มเป็นอิสระ กระจายเท่า ๆ กัน มีความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จำกัด จากนั้นฟังก์ชันการกระจายของผลรวมกึ่งกลางและการทำให้เป็นมาตรฐานของตัวแปรสุ่มเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน

เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากในแอปพลิเคชันเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่ไม่ขึ้นต่อกันอย่างอ่อนหลายตัว การแจกแจงของตัวแปรเหล่านี้จึงถือว่าเป็นเรื่องปกติ ในกรณีนี้ต้องสังเกตเงื่อนไขว่าไม่มีปัจจัยใดมาครอบงำ ทฤษฎีขีดจำกัดกลางในกรณีเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้การแจกแจงแบบปกติ

สารานุกรม YouTube

• 1 / 5

  ปล่อยให้มีลำดับอนันต์ของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงแบบเดียวกันโดยอิสระด้วยความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ที่จำกัด หมายสุดท้าย µ (\displaystyle \mu )และ σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))ตามลำดับ ให้ด้วย

  . S n − μ n σ n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\to N(0,1) )โดยจัดจำหน่ายที่ ,

  ที่ไหน ไม่มี (0 , 1) (\displaystyle N(0,1))- การแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับหนึ่ง แสดงถึงตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยของครั้งแรก n (\displaystyle n)ปริมาณ นั่นคือ X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^( น)X_(ผม))เราสามารถเขียนผลลัพธ์ของทฤษฎีบทขีด จำกัด ส่วนกลางในรูปแบบต่อไปนี้:

  n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) (\displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\to น(0,1))โดยจำหน่ายที่ n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  อัตราการบรรจบกันสามารถประมาณได้โดยใช้อสมการ Berry- Esseen

  หมายเหตุ

  • กล่าวอย่างไม่เป็นทางการ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางแบบคลาสสิกระบุว่าผลรวม n (\displaystyle n)ตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่เหมือนกันอิสระมีการแจกแจงใกล้กับ N (n μ , n σ 2) (\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^(2))). อย่างเท่าเทียมกัน X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))มีการกระจายสินค้าใกล้กับ ยังไม่มีข้อความ (μ , σ 2 / n) (\displaystyle N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
  • เนื่องจากฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานเป็นแบบต่อเนื่อง การลู่เข้าของการกระจายนี้จึงเทียบเท่ากับการบรรจบกันแบบจุดของฟังก์ชันการกระจายไปยังฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน วาง Z n = S n − μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))), เราได้รับ F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), ที่ไหน Φ (x) (\displaystyle \Phi (x))คือฟังก์ชันการกระจายของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
  • สูตรคลาสสิกของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางได้รับการพิสูจน์โดยวิธีการของฟังก์ชันคุณลักษณะ (ทฤษฎีบทความต่อเนื่องของเลวี)
  • โดยทั่วไป การบรรจบกันของความหนาแน่นไม่ได้เกิดขึ้นจากการบรรจบกันของฟังก์ชันการกระจาย อย่างไรก็ตาม ในกรณีคลาสสิกนี้ เป็นกรณีนี้

  ป.ป.ช.

  ภายใต้สมมติฐานของสูตรดั้งเดิม สมมตินอกจากนี้ การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม ( X ผม ) ผม = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))ต่อเนื่องอย่างแน่นอน กล่าวคือ มีความหนาแน่น จากนั้นการกระจายก็ต่อเนื่องอย่างแน่นอน และยิ่งกว่านั้น

  f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 (\displaystyle f_(Z_(n))(x)\to (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2))))ที่ n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),

  ที่ไหน f Z n (x) (\displaystyle f_(Z_(n))(x))- ความหนาแน่นของตัวแปรสุ่ม Z n (\displaystyle Z_(n))และทางด้านขวาคือความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

  ลักษณะทั่วไป

  ผลลัพธ์ของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางแบบคลาสสิกใช้ได้กับสถานการณ์ทั่วไปมากกว่าความเป็นอิสระโดยสมบูรณ์และการแจกแจงที่เท่าเทียมกัน

  C.P.T. Lindeberg

  ให้ตัวแปรสุ่มอิสระ X 1 , … , X n , … (\displaystyle X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots )ถูกกำหนดในพื้นที่ความน่าจะเป็นเดียวกันและมีความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ที่ จำกัด : E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).

  อนุญาต S n = ∑ i = 1 n X i (\displaystyle S_(n)=\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)).

  แล้ว E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =m_(n)=\sum \ ขีดจำกัด _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\sum \limits _(i=1)^(n)\ ซิกม่า _(i)^(2)).

  และปล่อยให้มันวิ่งไป สภาพของลินเดเบิร์ก:

  ∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _(n\to \infty )\sum \limits _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\ mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (n)\))\right]=0,)

  ที่ไหน 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\)))ฟังก์ชั่น - ตัวบ่งชี้

  โดยจำหน่ายที่ n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  Ts. P. T. Lyapunova

  ให้สมมติฐานพื้นฐานของ Ts. P. T. Lindeberg เป็นจริง ให้ตัวแปรสุ่ม ( X ผม ) (\displaystyle \(X_(i)\))มีช่วงเวลาที่สาม ที่แน่นอน จากนั้นลำดับ

  r n 3 = ∑ ผม = 1 n E [ | X ผม − μ ผม | 3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\ขวา]).

  ถ้าจำกัด

  lim n → ∞ r n s n = 0 (\displaystyle \lim \limits _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) (เงื่อนไข Lyapunov), S n − m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\to N(0,1))โดยจำหน่ายที่ n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  C.P.T. สำหรับมาร์ติงเกล

  ปล่อยให้กระบวนการ (X n) n ∈ N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N) ))เป็นการ martingale ที่มีขอบเขตเพิ่มขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมุติว่า

  E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\in \mathbb (N) ,\;X_(0)\equiv 0,)

  และการเพิ่มขึ้นมีขอบเขตเท่ากันนั่นคือ

  ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C (\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb (N) \;|X_(n+1)-X_(n)|\leq C) τ n = นาที ( k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n ) (\displaystyle \tau _(n)=\min \left\(k\left\vert \;\sum _(i=1)^ (k)\sigma _(i)^(2)\geq n\right.\right\)). X τ n n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (X_(\tau _(n)))(\sqrt (n)))\to N(0,1))โดยจำหน่ายที่ n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  Charles Whelanบทจากหนังสือ
  สำนักพิมพ์ "Mann, Ivanov และ Ferber"

  ในที่สุดก็ถึงเวลาสรุปสิ่งที่ได้กล่าวไปแล้ว เนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างมีการกระจายตามปกติ (ด้วยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง) เราจึงสามารถใช้ประโยชน์จากศักยภาพของเส้นโค้งกระดิ่งได้ เราคาดว่าประมาณ 68% ของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างทั้งหมดจะอยู่ภายในข้อผิดพลาดมาตรฐานเดียวของค่าเฉลี่ยประชากร 95% - ที่ระยะทางไม่เกินสองข้อผิดพลาดมาตรฐาน และ 99.7% - ที่ระยะทางไม่เกินสามข้อผิดพลาดมาตรฐาน

  

  ทีนี้กลับไปที่ส่วนเบี่ยงเบน (กระจัดกระจาย) ในตัวอย่างกับบัสที่หายไป - อย่างไรก็ตามคราวนี้เราจะขอความช่วยเหลือไม่ใช่สัญชาตญาณ แต่เป็นตัวเลข (ในตัวของมันเอง ตัวอย่างนี้ยังไร้สาระ ในบทต่อไป เราจะพิจารณากรณีที่เป็นจริงมากขึ้น) สมมติว่าผู้จัดงานชาวอเมริกัน "การศึกษาเปลี่ยนชีวิตได้เชิญผู้เข้าร่วมทั้งหมดไปบอสตันในช่วงสุดสัปดาห์เพื่อความสนุกสนานและที่ ในเวลาเดียวกันให้ข้อมูลที่ขาดหายไป: ผู้เข้าร่วมจะถูกสุ่มให้ขึ้นรถบัสและนำไปที่ศูนย์ทดสอบซึ่งจะมีการชั่งน้ำหนักวัดส่วนสูง ฯลฯ เพื่อความสยดสยองของผู้จัดงานรถเมล์คันหนึ่งหายไปที่ไหนสักแห่ง ระหว่างทางไปศูนย์ทดสอบ ประมาณเดียวกัน เมื่อกลับจากรถคุณจากงาน Sausage Festival คุณสังเกตเห็นรถบัสเสียหลักตกข้างทาง ดูเหมือนคนขับจะถูกบังคับให้เบี่ยงเพื่อพยายาม หลีกเลี่ยงกวางมูซที่จู่ ๆ ก็ปรากฏขึ้นบนถนน จากการซ้อมรบที่เฉียบคมเช่นนี้ ผู้โดยสารทุกคนหมดสติหรือสูญเสียความสามารถในการพูดแม้ว่าจะไม่มีเลยก็ตาม อัสตยาไม่ได้รับบาดเจ็บสาหัส (ฉันต้องตั้งสมมติฐานนี้เพื่อความชัดเจนในตัวอย่างเท่านั้น และความหวังว่าผู้โดยสารจะไม่ได้รับบาดเจ็บสาหัส เป็นเพราะการทำบุญโดยกำเนิดของฉัน) แพทย์รถพยาบาลที่มาถึงที่เกิดเหตุทันทีบอกคุณว่า น้ำหนักเฉลี่ยของผู้โดยสาร 62 คนบนรถบัสคือ 194 ปอนด์ นอกจากนี้ ปรากฎว่า (เพื่อความโล่งใจของคนรักสัตว์) ว่ากวางซึ่งคนขับรถบัสพยายามจะหลบนั้นแทบไม่ได้รับบาดเจ็บ (ยกเว้นรอยฟกช้ำเล็กน้อยที่ขาหลัง) แต่ยังหมดสติจาก ตื่นตระหนกและนอนอยู่ข้างรถบัส

  โชคดีที่คุณรู้น้ำหนักเฉลี่ยของผู้โดยสารรถบัสตลอดจนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากรชาวอเมริกันทั้งหมด "เปลี่ยนชีวิต" นอกจากนี้เรายังมีความเข้าใจทั่วไปเกี่ยวกับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางและเรารู้วิธีการปฐมพยาบาลเบื้องต้น สัตว์บาดเจ็บ น้ำหนักเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมการศึกษาชาวอเมริกัน "เปลี่ยนชีวิตคือ 162 ปอนด์; ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 36 จากข้อมูลนี้ คุณสามารถคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับกลุ่มตัวอย่าง 62 คน (จำนวนผู้โดยสารรถบัสที่หมดสติ): .

  ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (194 ปอนด์) กับค่าเฉลี่ยประชากร (162 ปอนด์) คือ 32 ปอนด์ ซึ่งมากกว่าข้อผิดพลาดมาตรฐานสามข้อ จากทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง คุณรู้ว่า 99.7% ของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างทั้งหมดจะอยู่ภายในข้อผิดพลาดมาตรฐานสามประการของค่าเฉลี่ยประชากร ดังนั้นจึงไม่น่าเป็นไปได้อย่างยิ่งที่รถบัสที่คุณพบจะบรรทุกกลุ่มผู้เข้าร่วมในการศึกษา Changing Lives ของชาวอเมริกัน ในฐานะนักเคลื่อนไหวชุมชนที่โดดเด่นในเมือง คุณเรียกผู้จัดงานเพื่อรายงานว่ามีคนกลุ่มอื่น เป็นไปได้มากที่สุดบนรถบัสที่คุณพบ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ คุณสามารถพึ่งพาผลลัพธ์ทางสถิติ ไม่ใช่ "การเดาโดยสัญชาตญาณ" ของคุณ คุณบอกผู้จัดงานว่าคุณปฏิเสธความน่าจะเป็นที่รถบัสที่คุณพบคือสิ่งที่พวกเขากำลังมองหา ด้วยระดับความมั่นใจ 99.7% ในกรณีนี้ คุณกำลังพูดกับคนที่คุ้นเคยกับสถิติ แล้วคุณจะมั่นใจได้ว่าพวกเขาเข้าใจว่าคุณคิดถูก (ยินดีเสมอที่จะจัดการกับคนฉลาด!)

  การค้นพบของคุณได้รับการสนับสนุนเพิ่มเติมเมื่อแพทย์เก็บตัวอย่างเลือดจากผู้โดยสารในรถบัสและพบว่าระดับคอเลสเตอรอลเฉลี่ยของพวกเขามีข้อผิดพลาดมาตรฐาน 5 ข้อที่สูงกว่าระดับคอเลสเตอรอลเฉลี่ยของผู้เข้าร่วมในการศึกษา Changing Lives ของชาวอเมริกัน คู่รัก (ภายหลังได้รับการพิสูจน์อย่างปฏิเสธไม่ได้)

  [เรื่องนี้จบลงอย่างมีความสุข เมื่อผู้โดยสารฟื้นคืนสติ ผู้จัดงาน "การศึกษาการเปลี่ยนแปลงชีวิตชาวอเมริกัน" แนะนำให้พวกเขาปรึกษากับนักโภชนาการเกี่ยวกับอันตรายของการรับประทานอาหารที่มีไขมันอิ่มตัวสูง หลังจากการปรึกษาหารือดังกล่าว ผู้ที่ชื่นชอบไส้กรอกหลายคนตัดสินใจที่จะทำลายอดีตอันน่าอับอายของพวกเขาและ กลับไปรับประทานอาหารที่ดีต่อสุขภาพมากขึ้น กวางที่ได้รับบาดเจ็บถูกนำตัวออกไปที่คลินิกสัตวแพทย์ในพื้นที่และปล่อยให้เป็นอิสระภายใต้คำอุทานที่อนุมัติของสมาชิกของสมาคมเพื่อการคุ้มครองสัตว์ในท้องถิ่น ใช่ ด้วยเหตุผลบางอย่างประวัติศาสตร์ก็เงียบเกี่ยวกับชะตากรรมของ คนขับรถบัส อาจเป็นเพราะสถิติไม่ได้จัดการกับชะตากรรมของแต่ละคน กวาง - เป็นอีกเรื่องหนึ่งที่ไม่สามารถปิดบังชะตากรรมของเขาได้!

  ในบทนี้ ฉันได้พยายามพูดถึงแต่เรื่องพื้นฐานเท่านั้น คุณอาจสังเกตเห็นว่าทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อขนาดกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่เพียงพอ (โดยปกติอย่างน้อย 30) นอกจากนี้ เราต้องการตัวอย่างที่ค่อนข้างใหญ่ หากเราจะถือว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของมันจะเท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

  มีการแก้ไขทางสถิติอยู่สองสามอย่างที่ใช้ได้หากไม่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ แต่ทุกอย่างก็เหมือนกับไอซิ่งบนเค้ก (และบางทีแม้แต่ช็อกโกแลตชิปที่โรยบนไอซิ่งนี้) "ภาพรวม" ในที่นี้เรียบง่ายและมีประสิทธิภาพอย่างยิ่ง

  1. หากคุณสร้างกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่มขนาดใหญ่ (ตามปริมาตร) ตามประชากรใดๆ ค่าเฉลี่ยของพวกมันจะถูกกระจายตามกฎปกติใกล้กับค่าเฉลี่ยของประชากรที่เกี่ยวข้อง
  2. ค่าเฉลี่ยตัวอย่างส่วนใหญ่จะตั้งอยู่ใกล้กับค่าเฉลี่ยของประชากรมากพอ (สิ่งที่ควรพิจารณาว่า "ใกล้เพียงพอ" ในทุกกรณีจะถูกกำหนดโดยข้อผิดพลาดมาตรฐาน)
  3. ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางบอกเราเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะอยู่ภายในระยะทางที่กำหนดของค่าเฉลี่ยประชากร ค่อนข้างไม่น่าเป็นไปได้ที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยประชากรมากกว่าสองข้อผิดพลาดมาตรฐาน และไม่น่าเป็นไปได้อย่างมากที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยประชากรมากกว่าสามข้อผิดพลาดมาตรฐาน
  4. ยิ่งมีโอกาสน้อยที่ผลลัพธ์บางอย่างจะเป็นการสุ่มอย่างหมดจด เราก็ยิ่งแน่ใจได้มากเท่านั้นว่าผลลัพธ์นั้นไม่ได้มาจากอิทธิพลของปัจจัยอื่น

  โดยทั่วไปแล้วนี่เป็นสาระสำคัญของการอนุมานทางสถิติ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางโดยพื้นฐานแล้วทำให้ทั้งหมดนี้เป็นไปได้ และจนกว่าเลอบรอน เจมส์จะคว้าแชมป์เอ็นบีเอได้มากเท่ากับไมเคิล จอร์แดน (หกคน) ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางจะสร้างความประทับใจให้กับเรามากกว่านักบาสเกตบอลที่มีชื่อเสียง

  เลอบรอน เรย์โมน เจมส์ เป็นนักบาสเกตบอลมืออาชีพชาวอเมริกันที่เล่นเป็นตัวเล็กๆ และทรงพลังให้กับคลีฟแลนด์ คาวาเลียร์สของ NBA บันทึก. แปล

  ในกรณีนี้ โปรดสังเกตการใช้ความแม่นยำที่ผิดพลาดอย่างแยบยล

  เมื่อค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่เกี่ยวข้องคำนวณจากกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาดเล็กกว่า สูตรที่เราให้ไว้จะถูกปรับเปลี่ยนเล็กน้อย: สิ่งนี้ช่วยอธิบายข้อเท็จจริงที่ว่าความแปรปรวนในกลุ่มตัวอย่างเล็กๆ อาจ "ประเมิน" ความแปรปรวนของประชากรทั้งหมดต่ำเกินไป สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับบทบัญญัติที่เป็นสากลมากขึ้นที่กล่าวถึงในบทนี้

  เพื่อนร่วมงานของฉันที่มหาวิทยาลัยชิคาโก จิม แซลลี่ วิจารณ์ที่สำคัญมากเกี่ยวกับตัวอย่างรถบัสที่หายไป เขาชี้ให้เห็นว่ารถบัสที่หายไปนั้นหายากมากในทุกวันนี้ ดังนั้นหากเราต้องมองหารถบัสที่หายไป รถบัสคันไหนที่เราเจอซึ่งกลับกลายเป็นว่าหายหรือเสีย น่าจะเป็นรถบัสที่เราสนใจมากที่สุด ไม่ว่าผู้โดยสารจะมีน้ำหนักเท่าไหร่ในรถบัสคันนี้ บางทีจิมอาจจะพูดถูก (เพื่อใช้การเปรียบเทียบนี้: หากคุณสูญเสียลูกของคุณในซูเปอร์มาร์เก็ตและวิทยุการจัดการของร้านค้าที่มีเด็กหลงทางยืนอยู่ใกล้จุดชำระเงินหมายเลข 6 คุณอาจจะตัดสินใจทันทีว่าเป็นลูกของคุณ) ดังนั้น เราไม่มีทางเลือกอื่นนอกจาก เพื่อเพิ่มองค์ประกอบอื่นของความไร้สาระในตัวอย่างของเรา โดยเชื่อว่าการสูญเสียรถบัสเป็นเหตุการณ์ปกติอย่างสมบูรณ์

  วางแผน:

  1. แนวคิดของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (ทฤษฎีบทของ Lyapunov)

  2. กฎของจำนวนมหาศาล ความน่าจะเป็น และความถี่ (ทฤษฎีบทของ Chebyshev และ Bernoulli)

  1. แนวคิดของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง

  การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น กฎปกติเชื่อฟังความน่าจะเป็นเมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ในการวัด ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปรากฎว่ากฎการกระจายสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากเพียงพอที่มีกฎการกระจายตามอำเภอใจนั้นใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ความจริงข้อนี้เรียกว่าทฤษฎีขีด จำกัด กลางหรือทฤษฎีบทของเลียปุนอฟ

  เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกตินั้นใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ อะไรอธิบายเรื่องนี้? คำถามนี้ได้รับคำตอบแล้ว

  ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางหากตัวแปรสุ่ม X คือผลรวมของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจำนวนมาก อิทธิพลของตัวแปรแต่ละตัวที่มีต่อผลรวมทั้งหมดนั้นไม่สำคัญ ดังนั้น X จะมีการกระจายที่ใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ

  ตัวอย่าง.ให้วัดปริมาณทางกายภาพบางส่วน การวัดใดๆ จะให้ค่าโดยประมาณของปริมาณที่วัดได้เท่านั้น เนื่องจากปัจจัยสุ่มที่เป็นอิสระหลายอย่าง (อุณหภูมิ ความผันผวนของเครื่องมือ ความชื้น ฯลฯ) ส่งผลต่อผลการวัด แต่ละปัจจัยเหล่านี้สร้าง "ข้อผิดพลาดบางส่วน" เล็กน้อย อย่างไรก็ตาม เนื่องจากปัจจัยเหล่านี้มีจำนวนมาก ผลสะสมจึงสร้าง "ข้อผิดพลาดทั้งหมด" ที่เห็นได้ชัดเจนอยู่แล้ว

  เมื่อพิจารณาข้อผิดพลาดทั้งหมดเป็นผลรวมของข้อผิดพลาดบางส่วนที่ไม่ขึ้นต่อกันจำนวนมาก เราสามารถสรุปได้ว่าข้อผิดพลาดทั้งหมดมีการแจกแจงที่ใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ประสบการณ์ยืนยันความถูกต้องของข้อสรุปนี้

  พิจารณาเงื่อนไขที่เป็นไปตาม "ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง"

  x1,X2, ..., Xนเป็นลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระ

  เอ็ม(X1),เอ็ม(X2), ...,เอ็ม(Xน) เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายของปริมาณเหล่านี้ ตามลำดับเท่ากับ ม(Xk)= ak

  ดี (X1),ดี(X2), ...,ดี(Xน) - ความแปรปรวนสุดท้ายตามลำดับเท่ากับ ดี(X k)= bk2

  เราแนะนำสัญกรณ์: S= X1+X2 + ...+Xn;

  ก= X1+X2 + ...+Xn=; B2=D (X1)+ดี(X2)+ ...+ดี(Xน) =

  เราเขียนฟังก์ชันการกระจายของผลรวมที่ทำให้เป็นมาตรฐาน:

  พวกเขาพูดตามลำดับ x1,X2, ..., Xนทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางจะใช้ได้ถ้าสำหรับใดๆ xฟังก์ชันการกระจายของผลรวมที่ทำให้เป็นมาตรฐานเป็น n ® ¥ มีแนวโน้มที่จะเป็นฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติ:

  Right "style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

  พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X, กำหนดโดยตารางการแจกจ่าย:

  ให้เรากำหนดภารกิจในการประมาณความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่เกินค่าสัมบูรณ์เป็นจำนวนบวก ε

  ถ้า ε น้อยพอ เราจะประมาณความน่าจะเป็นที่ Xจะนำค่ามาใกล้เคียงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันที่ช่วยให้เราสามารถให้ค่าประมาณความสนใจแก่เราได้

  เลมมา เชบีเชฟให้ตัวแปรสุ่ม X ที่รับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบกับความคาดหวัง M(X) สำหรับจำนวนใดๆ α>0 นิพจน์จะเกิดขึ้น:

  ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshevความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม X จากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ในค่าสัมบูรณ์มีค่าน้อยกว่าจำนวนบวก ε , ไม่น้อยกว่า 1 – D(X) / ε 2:

  P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

  ความคิดเห็นความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev นั้นมีค่าในทางปฏิบัติที่จำกัด เนื่องจากมันมักจะให้ค่าประมาณคร่าวๆ

  ความสำคัญทางทฤษฎีของความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev นั้นใหญ่มาก ด้านล่างเราจะใช้ความไม่เท่าเทียมกันนี้เพื่อหาทฤษฎีบท Chebyshev

  2.2. ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ

  ถ้า X1, X2, ..., Xn.. เป็นตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่ และความแปรปรวนของพวกมันถูกจำกัดอย่างสม่ำเสมอ (ไม่เกินค่าคงที่ C) ดังนั้น ไม่ว่าจำนวนบวกจะน้อยเพียงใด ε , ความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกัน

  ÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

  จะเข้าใกล้เอกภาพโดยพลการหากจำนวนตัวแปรสุ่มมีมากเพียงพอ

  P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

  ทฤษฎีบทของ Chebyshev กล่าวว่า:

  1. เราพิจารณาตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากโดยมีความแปรปรวนจำกัด

  เมื่อกำหนดทฤษฎีบทของ Chebyshev เราถือว่าตัวแปรสุ่มมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ต่างกัน ในทางปฏิบัติ มักเกิดขึ้นที่ตัวแปรสุ่มมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน แน่นอน หากเราคิดอีกครั้งว่าการกระจายตัวของปริมาณเหล่านี้มีจำกัด ทฤษฎีบทของ Chebyshev ก็จะนำมาใช้กับพวกมันได้

  ให้เราแสดงถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวผ่าน ก;

  ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่มองเห็นได้ง่ายก็เท่ากับ ก.

  หนึ่งสามารถกำหนดทฤษฎีบทของ Chebyshev สำหรับกรณีเฉพาะที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

  "ถ้า X1, X2, ..., Xn.. เป็นตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่ซึ่งมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน a และหากการกระจายของตัวแปรเหล่านี้มี จำกัด สม่ำเสมอไม่ว่าตัวเลขจะน้อยเพียงใด ε > โอ้ ความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกัน

  ÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - เอ | < ε

  จะเข้าใกล้เอกภาพโดยพลการถ้าจำนวนตัวแปรสุ่มมากเพียงพอ" .

  กล่าวอีกนัยหนึ่งภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท

  P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

  2.3. สาระสำคัญของทฤษฎีบทของ Chebyshev

  แม้ว่าตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละตัวอาจใช้ค่าที่อยู่ไกลจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มจำนวนมากเพียงพอและมีความเป็นไปได้สูงจะใช้ค่าที่ใกล้เคียงกับค่าคงที่จำนวนหนึ่ง กล่าวคือ ตัวเลข

  (ม(Xj) + เอ็ม (X2)+... + ม (Xn))/nหรือไปที่หมายเลข และในกรณีเฉพาะ

  กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวแปรสุ่มแต่ละตัวสามารถมีการแพร่กระจายที่มีนัยสำคัญ และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกมันกระจัดกระจายเล็กน้อย

  ดังนั้น เราจึงไม่สามารถคาดเดาได้อย่างมั่นใจว่าตัวแปรสุ่มแต่ละตัวจะใช้ค่าใดได้ แต่เราสามารถคาดการณ์ได้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกเขาจะใช้ค่าใด

  ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากเพียงพอ (ความแปรปรวนที่ถูกจำกัดอย่างเท่ากัน) จะสูญเสียลักษณะของตัวแปรสุ่ม

  สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนของปริมาณแต่ละค่าจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อาจเป็นได้ทั้งทางบวกและทางลบ และในค่าเฉลี่ยเลขคณิต พวกมันจะตัดกันออกจากกัน

  ทฤษฎีบทของ Chebyshev นั้นใช้ได้ไม่เพียงแต่แบบแยกส่วนเท่านั้น แต่สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องด้วย เป็นตัวอย่างยืนยันความถูกต้องของหลักคำสอนเรื่องความเชื่อมโยงระหว่างโอกาสและความจำเป็น

  2.4. ความสำคัญของทฤษฎีบทของ Chebyshev สำหรับการปฏิบัติ

  ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Chebyshev เพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

  โดยปกติ ในการวัดปริมาณทางกายภาพบางอย่าง จะมีการวัดหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นขนาดที่ต้องการ วิธีการวัดนี้ถือว่าถูกต้องภายใต้เงื่อนไขใดบ้าง คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากทฤษฎีบทของ Chebyshev (เฉพาะกรณี)

  อันที่จริง ให้พิจารณาผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่ม

  X1, X2, ..., Xn

  สำหรับปริมาณเหล่านี้ ทฤษฎีบท Chebyshev สามารถใช้ได้หาก:

  1) พวกเขาเป็นอิสระเป็นคู่

  2) มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน

  3) การกระจายของพวกมันถูก จำกัด อย่างสม่ำเสมอ

  เป็นไปตามข้อกำหนดแรกหากผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการวัดอื่นๆ

  ตรงตามข้อกำหนดที่สอง หากการวัดทำโดยไม่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ (สัญญาณเดียว) ในกรณีนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มทั้งหมดจะเท่ากันและเท่ากับขนาดจริง ก.

  ตรงตามข้อกำหนดที่สามหากอุปกรณ์มีความแม่นยำในการวัด แม้ว่าผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งจะแตกต่างกัน แต่การกระเจิงนั้นก็มีจำกัด

  หากตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ เรามีสิทธิ์นำทฤษฎีบท Chebyshev ไปใช้กับผลการวัด: สำหรับขนาดใหญ่เพียงพอ พีความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกัน

  | (X1 + Xa+...+Xn)/n - a |< ε ใกล้กับความสามัคคีโดยพลการ

  กล่าวอีกนัยหนึ่ง ด้วยการวัดจำนวนมากเพียงพอ เกือบจะแน่ใจว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตแตกต่างจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้เพียงเล็กน้อยโดยพลการ

  ทฤษฎีบทของ Chebyshev ระบุเงื่อนไขที่สามารถใช้วิธีการวัดที่อธิบายไว้ได้ อย่างไรก็ตาม เป็นความผิดพลาดที่จะคิดว่า การเพิ่มจำนวนการวัดจะทำให้ได้ความแม่นยำสูงตามอำเภอใจ ความจริงก็คือตัวอุปกรณ์เองให้การอ่านค่าที่มีความแม่นยำ ± α เท่านั้น ดังนั้นผลการวัดแต่ละรายการและค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะได้มาโดยมีความแม่นยำไม่เกินความแม่นยำของอุปกรณ์เท่านั้น

  วิธีการสุ่มตัวอย่างที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของ Chebyshev ซึ่งมีสาระสำคัญคือใช้กลุ่มตัวอย่างสุ่มที่มีขนาดค่อนข้างเล็กเพื่อตัดสินประชากรทั้งหมด (ประชากรทั่วไป) ของวัตถุที่อยู่ระหว่างการศึกษา

  ตัวอย่างเช่น คุณภาพของก้อนฝ้ายจะพิจารณาจากมัดเล็กๆ ที่ประกอบด้วยเส้นใยที่สุ่มเลือกจากส่วนต่างๆ ของก้อนฝ้าย แม้ว่าจำนวนของเส้นใยในกลุ่มจะน้อยกว่าในมัด แต่ตัวมัดเองก็มีเส้นใยจำนวนมากพอสมควร โดยมีจำนวนเป็นร้อย

  อีกตัวอย่างหนึ่งสามารถชี้ไปที่การกำหนดคุณภาพของเมล็ดพืชจากตัวอย่างเล็กๆ และในกรณีนี้ จำนวนเมล็ดพืชที่สุ่มเลือกจะมีน้อยเมื่อเทียบกับมวลทั้งหมดของเมล็ดพืช แต่ในตัวมันเองนั้นค่อนข้างมาก

  จากตัวอย่างที่อ้างถึง เราสามารถสรุปได้ว่าสำหรับภาคปฏิบัติ ทฤษฎีบทของ Chebyshev มีความสำคัญอย่างยิ่งยวด

  2.5. ทฤษฎีบทเบอร์นูลลี

  ผลิต พีการทดสอบอิสระ (ไม่ใช่เหตุการณ์ แต่เป็นการทดสอบ) ในแต่ละรายการความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ อาเท่ากับ ร.

  เกิดคำถามว่าความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จะเป็นอย่างไร? คำถามนี้ตอบโดยทฤษฎีบทที่พิสูจน์โดย Bernoulli ซึ่งเรียกว่า "กฎแห่งตัวเลขจำนวนมาก" และวางรากฐานสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะวิทยาศาสตร์

  ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีถ้าในแต่ละ พีความน่าจะเป็นในการทดสอบอิสระ Rการเกิดเหตุการณ์ แต่เป็นค่าคงที่ แล้วความน่าจะเป็นที่ความเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์จากความน่าจะเป็น Rจะมีค่าสัมบูรณ์เล็กน้อยตามอำเภอใจหากจำนวนการทดลองมีมากเพียงพอ

  กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า ε >0 เป็นจำนวนน้อยโดยพลการภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทเราจะมีความเท่าเทียมกัน

  พี(|ม / n - p|< ε)= 1

  ความคิดเห็นหากใช้ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีจะถือว่าผิด หากจะสรุปว่าด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น ความถี่สัมพัทธ์มีแนวโน้มสูงขึ้นเรื่อยๆ อาร์;กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีไม่ได้หมายความถึงความเท่าเทียมกัน (t/n) = พี,

  ที่ทฤษฎีบทเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่มีการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ความถี่สัมพัทธ์จะแตกต่างกันเล็กน้อยตามอำเภอใจจากความน่าจะเป็นคงที่ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้ง

  งานที่ 7-1

  1. ประมาณความน่าจะเป็นที่หลังจากการขว้างลูกเต๋า 3600 ครั้ง จำนวนครั้ง 6 ครั้งจะเป็นอย่างน้อย 900 ครั้ง

  วิธีการแก้.ให้ x เป็นจำนวนครั้งที่เกิด 6 แต้มในการโยนเหรียญ 3600 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ 6 แต้มในการโยนครั้งเดียวคือ p=1/6 จากนั้น M(x)=3600 1/6=600 เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev (บทแทรก) สำหรับ α = 900 . ที่กำหนด

  = พี(x³ 900) £ 600 / 900 =2 / 3

  ตอบ 2 / 3.

  2. ทำการทดสอบอิสระ 1,000 ครั้ง p=0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดสอบเหล่านี้เบี่ยงเบนไปจากโมดูโลการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่น้อยกว่า 50

  วิธีการแก้. x คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลอง n - 1,000 ครั้ง

  M (X) \u003d 1,000 0.8 \u003d 800 D(x)=100 0.8 0.2=160

  เราใช้อสมการ Chebyshev สำหรับ ε = 50 . ที่กำหนด

  P(|x-M(x)|< ε) ³ 1 - D (x) / ε 2

  R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

  ตอบ. 0,936

  3. ใช้อสมการเชบีเชฟ ประมาณความน่าจะเป็นที่ |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

  4. ให้: P(|X- เอ็ม(X)\< ε) ³ 0.9; ดี (X)= 0.004. ใช้อสมการ Chebyshev หา ε . ตอบ. 0,2.

  ควบคุมคำถามและงาน

  1. วัตถุประสงค์ของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง

  2. เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้ทฤษฎีบทของ Lyapunov

  3. ความแตกต่างระหว่างบทแทรกและทฤษฎีบทของ Chebyshev

  4. เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้ทฤษฎีบท Chebyshev

  5. เงื่อนไขการบังคับใช้ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี (กฎจำนวนมาก)

  ข้อกำหนดสำหรับความรู้และทักษะ

  นักเรียนต้องรู้สูตรความหมายทั่วไปของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง สามารถกำหนดทฤษฎีบทบางส่วนสำหรับตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่เหมือนกันอย่างอิสระ ทำความเข้าใจความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev และกฎของตัวเลขจำนวนมากในรูปแบบ Chebyshev มีความคิดเกี่ยวกับความถี่ของเหตุการณ์ ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดของ "ความน่าจะเป็น" และ "ความถี่" มีความเข้าใจกฎหมายจำนวนมากในรูปของเบอร์นูลลี

  (1857-1918) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียที่โดดเด่น