กรณีเฉพาะของการประยุกต์ใช้เบอร์นูลลีอินทิกรัล สมการเบอร์นูลลี (เบอร์นูลลีอินทิกรัล)

L − 1 M T − 2 (\displaystyle L^(-1)MT^(-2)) หน่วย ศรี J / m 3 \u003d ป่า GHS เอิร์ก / ซม. 3 หมายเหตุ ไหลอย่างต่อเนื่องตามแนวการไหลของของไหลที่อัดตัวไม่ได้

ที่มาของสูตร Torricelli จากกฎของ Bernoulli[ | ]

เมื่อนำไปใช้กับการไหลออกของของไหลที่อัดตัวไม่ได้ในอุดมคติผ่านรูเล็ก ๆ ที่ผนังด้านข้างหรือด้านล่างของภาชนะกว้าง กฎของเบอร์นูลลีให้ค่าความเท่ากันของแรงดันทั้งหมดบนพื้นผิวที่ว่างของของไหลและที่ทางออกของรู:

ρ g h + p 0 = ρ v 2 2 + p 0 (\displaystyle \rho gh+p_(0)=(\frac (\rho v^(2))(2))+p_(0)), ชั่วโมง (\displaystyle h)- ความสูงของคอลัมน์ของเหลวในภาชนะวัดจากระดับของรู v (\displaystyle v)- อัตราการไหลของของไหล หน้า 0 (\displaystyle p_(0))- ความกดอากาศ

จากที่นี่: v = 2 g h (\displaystyle v=(\sqrt (2gh))). นี่คือสูตร Torricelli มันแสดงให้เห็นว่าเมื่อของเหลวไหลออกมา มันจะได้รับความเร็วที่ร่างกายจะได้รับหากมันตกลงมาจากที่สูงอย่างอิสระ ชั่วโมง (\displaystyle h). หรือถ้าไอพ่นไหลออกจากรูเล็กๆ ในภาชนะพุ่งขึ้น ที่จุดบนสุด (โดยไม่คำนึงถึงการสูญเสีย) น้ำไอพ่นจะถึงระดับพื้นผิวว่างในภาชนะ

การสำแดงและการประยุกต์ใช้กฎของแบร์นูลลีอื่นๆ[ | ]

การประมาณของไหลที่อัดตัวไม่ได้ และกฎเบอร์นูลลีที่ใช้กฎนี้ ยังใช้ได้กับการไหลของก๊าซแบบราบเรียบ หากมีเพียงความเร็วการไหลเพียงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับความเร็วของเสียง

ตามพิกัดท่อแนวนอน z (\displaystyle z)เป็นค่าคงที่และสมการเบอร์นูลลีจะอยู่ในรูปแบบ: ρ v 2 2 + p = c o n s t (\displaystyle (\tfrac (\rho v^(2))(2))+p=\mathrm (const) ). เป็นไปตามที่ส่วนตัดขวางการไหลลดลงเนื่องจากความเร็วเพิ่มขึ้น ความดันจะลดลง ผลของแรงดันที่ลดลงพร้อมกับอัตราการไหลที่เพิ่มขึ้นเป็นพื้นฐานสำหรับการทำงานของเครื่องวัดอัตราการไหล Venturi และปั๊มเจ็ท

กฎของแบร์นูลลีอธิบายว่าเหตุใดเรือที่แล่นในเส้นทางคู่ขนานจึงสามารถถูกดึงดูดเข้าหากันได้ (เช่น เหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นกับเรือเดินสมุทรโอลิมปิก)

การประยุกต์ใช้ในระบบไฮดรอลิกส์[ | ]

การประยุกต์ใช้กฎของเบอร์นูลลีอย่างสอดคล้องกันนำไปสู่การเกิดขึ้นของระเบียบวินัยทางเทคนิคทางกลอุทก-กลศาสตร์ ไฮดรอลิกส์ สำหรับการใช้งานทางเทคนิค สมการของแบร์นูลลีมักจะเขียนในรูปแบบที่คำศัพท์ทั้งหมดถูกหารด้วย "ความถ่วงจำเพาะ" ρ g (\displaystyle \rho g):

H = h + p ρ g + v 2 2 g = const , (\displaystyle H\,=\,h\,+\,(\frac (p)(\rho g))\,+\,(\frac (v^(2))(2\,g))=\,(\text(const)),)

โดยที่เทอมความยาวในสมการนี้สามารถมีชื่อดังต่อไปนี้:

ความกดดัน
มิติ	แอล (\displaystyle L)
หน่วย
ศรี	เมตร
หมายเหตุ
ความดันรวมหารด้วยความถ่วงจำเพาะ

H (\displaystyle H)- ความสูงหรือหัวไฮดรอลิค ชั่วโมง (\displaystyle h)- ปรับระดับความสูง p ρ g (\displaystyle (\frac (p)(\rho g)))- ความสูง piezometric หรือ (ร่วมกับความสูงปรับระดับ) หัวไฮโดรสแตติก v 2 2 g (\displaystyle (\frac (v^(2))(2\,g)))- ความสูงความเร็วสูงหรือแรงดันความเร็วสูง

กฎของแบร์นูลลีใช้ได้เฉพาะกับของไหลในอุดมคติซึ่งไม่มีการสูญเสียแรงเสียดทานหนืด เพื่ออธิบายการไหลของของไหลจริงในกลศาสตร์อุทกกลศาสตร์เชิงเทคนิค (ไฮดรอลิกส์) จะใช้ Bernoulli integral ร่วมกับคำศัพท์เพิ่มเติมที่คำนึงถึง "การสูญเสียหัวไฮดรอลิก" ต่างๆ โดยประมาณ

เบอร์นูลลีอินทิกรัลในกระแส barotropic[ | ]

สมการของแบร์นูลลีสามารถมาจากสมการการเคลื่อนที่ของของไหลได้เช่นกัน ในกรณีนี้ จะถือว่าการไหลหยุดนิ่งและบาโรทรอปิก อย่างหลังหมายความว่าความหนาแน่นของของเหลวหรือก๊าซไม่จำเป็นต้องคงที่ (เช่นเดียวกับของเหลวที่อัดตัวไม่ได้ที่สันนิษฐานไว้ก่อนหน้านี้) แต่เป็นฟังก์ชันของความดันเท่านั้น: ρ = ρ (p) (\displaystyle \rho =\rho (p))ซึ่งทำให้คุณสามารถเข้าไป ฟังก์ชั่นความดัน P = ∫ d p ρ (p) . (\displaystyle (\cal (P))=\int (\frac (\mathrm (d) p)(\rho (p))).)ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ มูลค่า

v 2 2 + g h + P = c o n s t (\displaystyle (\frac (v^(2))(2))+gh+(\cal (P))=\mathrm (const) )

มีค่าคงที่ตามสตรีมไลน์และกระแสน้ำวนใดๆ ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้กับโฟลว์ในฟิลด์ที่เป็นไปได้ ในขณะที่ g h (\displaystyle gh)ถูกแทนที่ด้วยศักย์มวล

ที่มาของเบอร์นูลลีอินทิกรัลสำหรับการไหลแบบบาโรทรอปิก

สูตรแซง-เวรองต์-วันเซล[ | ]

p = p 0 ρ 0 ρ γ , ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ , P = − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − (p p 0) (γ − 1) / γ ] , (\displaystyle p=(\frac (p_(0))(\rho _(0)))\rho ^(\gamma ),\qquad \rho =(\frac (\rho _(0))(p_( 0)^(1/\gamma )))p^(1/\gamma ),\qquad (\cal (P))=-(\frac (\gamma )(\gamma -1))(\frac (p_ (0))(\rho _(0)))\ซ้าย,)

ดังนั้นสมการเบอร์นูลลีจึงแสดงออกมาดังนี้ (โดยปกติแล้วการมีส่วนร่วมจากแรงโน้มถ่วงสามารถถูกละเลยได้):

v 2 2 − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − (p p 0) (γ − 1) / γ ] = c o n s t (\displaystyle (\frac (v^(2))(2))-(\frac (\gamma )(\gamma -1))(\frac (p_(0))(\rho _(0)))\left=\mathrm (const) )ตามแนวลำธารหรือกระแสน้ำวน ที่นี่ γ = C p C V (\displaystyle \gamma =(\frac (C_(p))(C_(V))))คือดัชนีอะเดียแบติกของก๊าซ ซึ่งแสดงในรูปของความจุความร้อนที่ความดันคงที่และปริมาตรคงที่ p , ρ (\displaystyle p,\,\rho )- ความดันและความหนาแน่นของก๊าซ p 0 , ρ 0 (\displaystyle p_(0),\,\rho _(0))- ค่าคงที่ที่เลือกตามอัตภาพ (เหมือนกันสำหรับการไหลทั้งหมด) ค่าความดันและความหนาแน่น

สูตรนี้ใช้เพื่อหาความเร็วของก๊าซที่ไหลออกจากถังความดันสูงผ่านทางปากขนาดเล็ก สะดวกในการรับความดันและความหนาแน่นของก๊าซในถังซึ่งความเร็วของก๊าซเป็นศูนย์ p 0 , ρ 0 , (\displaystyle p_(0),\,\rho _(0),)จากนั้นความเร็วการไหลออกจะแสดงในรูปของแรงดันภายนอก พี (\displaystyle p)ตามสูตรของ Saint-Venant-Wanzel สำหรับการไหลคงที่ของของเหลวในอุดมคติ:

v 2 2 + w + φ = c o n s t , s = c o n s t , (\displaystyle (\frac (v^(2))(2))+w+\varphi =\mathrm (const) ,\qquad \qquad s=(\ rm (const)))

ที่ไหน w (\displaystyle w)- เอนทาลปีต่อหน่วยมวล φ (\displaystyle \varphi )- ศักย์โน้มถ่วง (เท่ากับ เครื่องเขียน (∂ v → ∂ t = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\vec (v)))(\partial t))=0)) การเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติในสนามแรงโน้มถ่วงมีรูปแบบ:

(v → ⋅ ∇) v → = − 1 ρ ∇ p + g → , (\displaystyle ((\vec (v))\cdot \nabla)(\vec (v))=-(\frac (1)( \rho ))\nabla p+(\vec (g)),)

โดยที่ความเร่งของแรงโน้มถ่วงสามารถแสดงในรูปของศักย์โน้มถ่วงของสมการนี้ต่อเวกเตอร์หนึ่งหน่วย l → = v → v , (\displaystyle (\vec (l))=(\frac (\vec (v))(v)),)สัมผัสกับความคล่องตัวให้:

∂ ∂ l (v 2 2 + φ) = − 1 ρ ∂ p ∂ l , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial l))\left((\frac (v^(2))(2 ))+\varphi \right)=-(\frac (1)(\rho ))(\frac (\partial p)(\partial l)),)

ลักษณะทั่วไปของเบอร์นูลลีอินทิกรัล[ | ]

อินทิกรัลเบอร์นูลลียังถูกรักษาไว้เมื่อไหลผ่านด้านหน้าของคลื่นกระแทก ในกรอบอ้างอิงที่คลื่นกระแทกหยุดนิ่ง อย่างไรก็ตาม ในระหว่างการเปลี่ยนผ่านดังกล่าว เอนโทรปีของตัวกลางไม่คงที่ (เพิ่มขึ้น) ดังนั้น ความสัมพันธ์แบบเบอร์นูลลีจึงเป็นเพียงหนึ่งในสามความสัมพันธ์แบบฮิวโกนิออต พร้อมด้วยกฎการอนุรักษ์มวลและโมเมนตัม ซึ่งเกี่ยวข้องกับสถานะของ ตัวกลางที่อยู่ด้านหลังด้านหน้าไปยังสถานะของตัวกลางที่อยู่ด้านหน้าและด้วยความเร็วของคลื่นกระแทก

มีการสรุปทั่วไปของเบอร์นูลลีอินทิกรัลสำหรับการไหลของของไหลหนืดบางประเภท (ตัวอย่างเช่น สำหรับการไหลในระนาบขนาน) ในแมกนีโตไฮโดรไดนามิกส์ เฟอร์โรไฮโดรไดนามิกส์ ในอุทกพลศาสตร์สัมพัทธภาพ เมื่อความเร็วการไหลเทียบได้กับความเร็วแสง ค (\displaystyle ค)อินทิกรัลถูกกำหนดขึ้นในรูปของเอนทัลปีจำเพาะและเอนโทรปีจำเพาะที่ไม่แปรผันเชิงสัมพัทธภาพ

สมการของอุทกพลศาสตร์ - อินทิกรัลที่กำหนดความดัน p ที่แต่ละจุดของการไหลคงที่ของของเหลวที่เป็นเนื้อเดียวกันในอุดมคติหรือก๊าซ barotropic ผ่านความเร็วการไหล ณ จุดที่สอดคล้องกันและผ่านฟังก์ชันแรงของแรงของร่างกาย:

ค่าคงที่ Sim มีค่าของตัวเองสำหรับสตรีมไลน์แต่ละรายการ ซึ่งจะเปลี่ยนแปลงระหว่างการเปลี่ยนจากสตรีมไลน์หนึ่งไปยังอีกสตรีมไลน์ หากการเคลื่อนที่เป็นไปได้ ค่าคงที่ C สำหรับการไหลทั้งหมดจะเท่ากัน

สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่มั่นคง ข. และ. (บางครั้งเรียกว่าอินทิกรัล Cauchy-Lagrange) เกิดขึ้นในที่ที่มีศักย์ความเร็ว:

และเป็นหน้าที่ตามอำเภอใจของเวลา

สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ ด้านซ้ายของสมการ (1), (2) จะถูกลดขนาดให้อยู่ในรูป ; สำหรับก๊าซ barotropic - ในรูปแบบ:

บีไอ เสนอโดยดี. เบอร์นูลลี (D. Bernoulli, 1738) สว่าง: Mil n-Thomson L. M., อุทกพลศาสตร์เชิงทฤษฎี, ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ M. , 1964 L. N. Sretensky

- แดเนียล ชาวสวิส นักวิทยาศาสตร์, สมาชิก ปีเตอร์สเบิร์ก. หนึ่ง. ศ. มหาวิทยาลัยในบาเซิล ในปี 1725-33 เขาทำงานในรัสเซีย หนึ่งในคนแรก ๆ ใช้วิธีการของทฤษฎีความน่าจะเป็นเมื่อพิจารณาคำถามเกี่ยวกับปริมาณโดยศึกษาเรา ในการทำงาน"...
- คริสตอฟ ชาวสวิส นักวิทยาศาสตร์ศ. เทคโนโลยี มหาวิทยาลัยวิทยาศาสตร์ในบาเซิล...
พจนานุกรมสารานุกรมประชากร
- วัด automorphism ในอวกาศ: อธิบายการทดลอง Bernoulli และลักษณะทั่วไป - ลำดับของการทดลองอิสระที่มีผลลัพธ์เดียวกันและการกระจายความน่าจะเป็นที่เหมือนกัน...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
เป็นการเดินแบบสุ่มที่เกิดจากการทดสอบของแบร์นูลลี ในตัวอย่างของ B. b. เป็นไปได้ที่จะอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของการเดินสุ่มทั่วไป...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- การทดลองอิสระโดยให้ผลลัพธ์สองรายการในแต่ละรายการ และเพื่อให้ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการทดลองหนึ่งไปยังอีกการทดลองหนึ่ง บีไอ ทำหน้าที่เป็นหนึ่งในโครงร่างหลักที่พิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น ...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- พีชคณิตแบบแบน...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- วิธีการค้นหารากที่แท้จริงที่ใหญ่ที่สุดในพีชคณิตค่าสัมบูรณ์ สมการในรูปแบบที่เสนอโดย D. Bernoulli; ประกอบด้วยดังต่อไปนี้. ให้สุ่มเลือกหมายเลข...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- พหุนามในรูปแบบที่ Bs เป็นเบอร์นูลลี...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบทวินาม...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- กฎตามที่แรงของการหดตัวของกล้ามเนื้อ ceteris paribus เป็นสัดส่วนกับความยาวของเส้นใยกล้ามเนื้อนั่นคือระดับของการยืดเบื้องต้น ...
พจนานุกรมศัพท์แพทย์ฉบับใหญ่
- แดเนียล นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิส สมาชิกของครอบครัวนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ในงานเขียนเกี่ยวกับอุทกพลศาสตร์ เขาแสดงให้เห็นว่าความดันของของเหลวจะลดลงเมื่อความเร็วของการไหลของของเหลวเพิ่มขึ้น ...
พจนานุกรมสารานุกรมทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค
- ราชวงศ์ของนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิสที่มีพื้นเพมาจากแอนต์เวิร์ปซึ่งหนีออกจากเมืองหลังจากการจับกุมโดยชาวสเปนและตั้งรกรากอยู่ที่บาเซิลในปี 1622 ...
สารานุกรมถ่านหิน
- ครอบครัวที่ก่อให้เกิดบุคคลที่น่าทึ่งจำนวนมาก ซึ่งส่วนใหญ่อยู่ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ บรรพบุรุษของเขา Jacob B. อพยพจาก Antwerp ในช่วงการปกครองของ Flanders โดย Duke of Alba ไปยังแฟรงค์เฟิร์ต ...
พจนานุกรมสารานุกรมของ Brockhaus และ Euphron
- ครอบครัวนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิสซึ่งมีบรรพบุรุษของ Jacob B. เป็นชาวฮอลแลนด์ Jacob B. ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Basel...
สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่
- ครอบครัวนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิสผู้ให้กำเนิดนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ...
พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่
- Bern "ulli, non-cl., ชาย: sch" ema Bern "ulli, ทฤษฎี" ema Bern "ulli, Bern" สมการ ulli, h "Isla Bern" ...
พจนานุกรมการสะกดคำภาษารัสเซีย

"BERNULLI INTEGRAL" ในหนังสือ

โทรเบอร์นูลลี

จากหนังสือมากกว่าที่คุณรู้ มุมมองที่ผิดปกติในโลกแห่งการเงิน ผู้เขียน Mauboussin Michael

ความท้าทาย Bernoulli นักลงทุนที่มีความสามารถภูมิใจในความสามารถของตนในการกำหนดราคาประมูลทางการเงินอย่างถูกต้อง ความสามารถนี้เป็นสาระสำคัญของการลงทุน: ตลาดเป็นเพียงสื่อกลางสำหรับการแลกเปลี่ยนเงินสำหรับคำสั่งซื้อในอนาคตและในทางกลับกัน เอาล่ะ นี่คือสถานการณ์สำหรับคุณในการประเมิน:

11. อินทิกรัลในตรรกะ

จากหนังสือความโกลาหลและโครงสร้าง ผู้เขียน Losev Alexey Fyodorovich

11. อินทิกรัลในลอจิก ดังที่เราทราบ การอินทิเกรตถูกกำหนดไว้ในคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นกระบวนการที่ผกผันกับการหาอนุพันธ์ หรือเป็นการหาลิมิตของผลรวม ในแง่แรก การบูรณาการนั้นน่าสนใจน้อยกว่าสำหรับเรา เนื่องจากที่นี่เรากำลังติดต่อกับโดยตรง

อินทิกรัล

จากหนังสือ Russian Rock สารานุกรมเล่มเล็ก ผู้เขียน บูชูเอวา สเวตลานา

INTEGRAL "การปลอมแปลงบุคลากร" นี้เกิดขึ้นในเมือง Ust-Kamenogorsk ในช่วงปลายยุค 80 ใน "อินทิกรัล" ในช่วงเวลาต่างๆ เล่น: Yuri Loza, Igor Sandler, Yuri Ilchenko, Igor Novikov, Yaroslav Angelyuk, Zhenya Belousov, Marina Khlebnikova และคนอื่น ๆ ในช่วงต้นทศวรรษที่ 80 วงดนตรีได้เล่น

แบร์นูลลี

จากหนังสือพจนานุกรมสารานุกรม (B) ผู้เขียน Brockhaus F.A.

Bernoulli Bernoulli (Bernoulli) - ครอบครัวที่สร้างบุคคลที่น่าทึ่งจำนวนมาก โดยส่วนใหญ่อยู่ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ บรรพบุรุษของเจคอบ บี. (ค.ศ. 1583) อพยพจากแอนต์เวิร์ประหว่างการปกครองของแฟลนเดอร์สโดยดยุคแห่งอัลบาไปยังแฟรงก์เฟิร์ต หลานชายของเขาคือ Jacob B, b. 1598

แบร์นูลลี

ส.ส.ท

โครงการเบอร์นูลลี

จากหนังสือสารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ (พ.ศ. ) ของผู้แต่ง ส.ส.ท

โครงการ Bernoulli Bernoulli (ตั้งชื่อตาม J. Bernoulli) เป็นหนึ่งในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หลักสำหรับการอธิบายการทดลองซ้ำๆ อิสระที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น บีเอส ถือว่ามีประสบการณ์ S และเหตุการณ์สุ่มที่เกี่ยวข้อง A

ทฤษฎีบทเบอร์นูลลี

จากหนังสือสารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ (พ.ศ. ) ของผู้แต่ง ส.ส.ท

ผู้เขียน คาห์เนมาน ดาเนียล

ความผิดพลาดของแบร์นูลลี ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 อามอสได้มอบจุลสารที่เขียนโดยบรูโน เฟรย์ นักเศรษฐศาสตร์ชาวสวิสให้ผม โดยกล่าวถึงแง่มุมทางจิตวิทยาของเศรษฐศาสตร์ ฉันจำสีของปกได้ด้วยซ้ำ - สีแดงเข้ม บรูโน เฟรย์จำบทความนี้แทบไม่ได้ แต่ฉันยังจำได้

ข้อผิดพลาดของแบร์นูลลี

จากหนังสือคิดช้า...ตัดสินใจเร็ว ผู้เขียน คาห์เนมาน ดาเนียล

ข้อผิดพลาดของ Bernoulli ตามที่ Fechner เข้าใจดี เขาไม่ใช่คนแรกที่พยายามหาฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับความเข้มของจิตใจกับความแข็งแรงทางกายภาพของสิ่งเร้า ในปี 1738 นักวิทยาศาสตร์ชาวสวิส Daniel Bernoulli ได้คาดการณ์คำอธิบายของ Fechner และนำไปใช้กับความสัมพันธ์ระหว่าง

25. สมการเบอร์นูลลี

จากหนังสือชลศาสตร์ ผู้เขียน Babaev M A

25. สมการเบอร์นูลลี สมการโกรเมกาเหมาะสำหรับการอธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล หากส่วนประกอบของฟังก์ชันการเคลื่อนที่มีปริมาณน้ำวนอยู่บ้าง ตัวอย่างเช่น ปริมาณน้ำวนนี้มีอยู่ในส่วนประกอบ ?x,?y,?z ของความเร็วเชิงมุม w เงื่อนไขที่การเคลื่อนที่

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

สมการเบอร์นูลลี (เบอร์นูลลีอินทิกรัล)

สมการเบอร์นูลลี(เบอร์นูลลีอินทิกรัล) ในระบบกลศาสตร์อุทกพลศาสตร์ [[ในนามของนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิส ดี. แบร์นูลลี] หนึ่งในสมการพื้นฐานของกลศาสตร์อุทกกลศาสตร์ ซึ่งมีรูปแบบดังนี้:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
โดยที่ v คือความเร็วของของเหลว, ρ คือความหนาแน่นของมัน, p คือความดันในนั้น, h คือความสูงของอนุภาคของเหลวเหนือระนาบแนวนอนหนึ่ง, g คือความเร่งของการตกอย่างอิสระ, C คือค่าคงที่ในแต่ละกระแส แต่ในกรณีทั่วไปจะเปลี่ยนค่าเมื่อย้ายจากสตรีมไลน์หนึ่งไปยังอีกสตรีมไลน์

ผลรวมของสองพจน์แรกทางด้านซ้ายของสมการ (1) เท่ากับศักย์ไฟฟ้าทั้งหมด และพจน์ที่สามเท่ากับพลังงานจลน์ซึ่งเรียกว่าหน่วย มวลของของเหลว ดังนั้น สมการทั้งหมดจึงแสดงกฎของการอนุรักษ์พลังงานกลสำหรับของไหลเคลื่อนที่ และสร้างความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่าง v, p และ h ตัวอย่างเช่น ถ้าที่ค่าคงที่ h ความเร็วการไหลตามสตรีมไลน์เพิ่มขึ้น ความดันจะลดลง และในทางกลับกัน กฎนี้ใช้เมื่อวัดความเร็วโดยใช้ท่อวัดและในการวัดอากาศพลศาสตร์อื่นๆ

สมการเบอร์นูลลียังนำเสนอในรูปแบบ
h + p/γ + v 2 /2g = C หรือ
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(โดยที่ γ =ρg คือความถ่วงจำเพาะของของเหลว) ในความเท่าเทียมกันที่ 1 เงื่อนไขทั้งหมดจะมีมิติของความยาวและเรียกว่าเรขาคณิตที่สอดคล้องกัน (การปรับระดับ) ความสูงของวงกลมและความเร็ว และในความเท่าเทียมกันที่ 2 จะมีมิติของความดันและเรียกว่าน้ำหนัก ความดันสถิต และไดนามิกตามลำดับ

ในกรณีทั่วไป เมื่อของเหลวสามารถบีบอัดได้ (ก๊าซ) แต่ barotropic เช่น p นั้นขึ้นอยู่กับ ρ เท่านั้น และเมื่อการเคลื่อนที่ของมันเกิดขึ้นในสนามพลังปริมาตร (มวล) ใด ๆ ยกเว้นที่มีศักยภาพ (ดู สนามพลัง) สมการเบอร์นูลลีได้มาจากสมการออยเลอร์ของอุทกกลศาสตร์และมีรูปแบบ:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
โดยที่ P คือพลังงานศักย์ (ศักย์) ของสนามพลังของร่างกาย ซึ่งเรียกว่าหน่วย มวลของของเหลว ด้วยการไหลของก๊าซ ค่าของ P เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยตามกระแสและสามารถรวมอยู่ในค่าคงที่ได้โดยการนำเสนอ (3) ในรูปแบบ:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = ค. (4)

ในการใช้งานทางเทคนิค สำหรับการไหลเฉลี่ยข้ามส่วนของช่องทางที่เรียกว่า สมการ Bernoulli ทั่วไป: การรักษารูปแบบของสมการ (1) และ (3) ด้านซ้ายรวมถึงงานของแรงเสียดทานและการเอาชนะแรงต้านทานไฮดรอลิก เช่นเดียวกับงานเชิงกลของของเหลวหรือก๊าซ (งานของคอมเพรสเซอร์หรือกังหัน ) พร้อมเครื่องหมายที่ตรงกัน. สมการ Bernoulli ทั่วไปใช้กันอย่างแพร่หลายในระบบไฮดรอลิกเมื่อคำนวณการไหลของของเหลวและก๊าซในท่อและในวิศวกรรมเครื่องกลเมื่อคำนวณคอมเพรสเซอร์ กังหัน ปั๊ม และเครื่องจักรไฮดรอลิกและก๊าซอื่นๆ

เนื้อหาของบทความ

ไฮโดรแอโรเมคานิกส์ศาสตร์แห่งการเคลื่อนที่และสมดุลของของเหลวและก๊าซ เมื่อวางแผนหรือทำการทดลองทางกายภาพ จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองทางทฤษฎีที่คาดการณ์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองเหล่านี้หรืออธิบายสิ่งที่ได้รับไปแล้ว มีเพียงปฏิสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีและการทดลองอย่างใกล้ชิดเท่านั้นที่จะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในโลกทางกายภาพรอบตัวเรา ในการสร้างแบบจำลองเชิงปริมาณหรือเชิงคุณภาพอย่างใดอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ทางกายภาพ จำเป็นต้องมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์บนพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองดังกล่าว ในกรณีนี้ พื้นฐานทางคณิตศาสตร์หมายถึงสมการเชิงอนุพันธ์และขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้นที่สามารถใช้เพื่ออธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพภายใต้การพิจารณา อุทกกลศาสตร์และนำเสนอแบบจำลองและอุปกรณ์สำหรับการศึกษาปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นในของเหลวและก๊าซ

บนสมมติฐานของความต่อเนื่องปานกลาง

ไฮโดรแอโรเมคานิกส์ศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลวและก๊าซในลักษณะประมาณเมื่อพวกมันสามารถถูกพิจารณาว่าเป็นสื่อต่อเนื่องได้ เช่น สื่อที่เติมเต็มพื้นที่กระแสการพิจารณาอย่างต่อเนื่อง เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างๆ (เครื่องบิน ขีปนาวุธ เรือ ฯลฯ) ในอากาศหรือน้ำ โดยศึกษากระบวนการคลื่นในของเหลวและก๊าซ การไหลผ่านท่อและช่องทาง ฯลฯ ซึ่งเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายปรากฏการณ์เหล่านี้ เครื่องมือนี้เป็นสมการของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ ซึ่งตั้งอยู่บนสมมติฐานของความต่อเนื่องของตัวกลาง เช่น บนสมมติฐานที่ว่าอนุภาคของของเหลวหรือก๊าซเติมเต็มพื้นที่ทางกายภาพที่พวกเขาครอบครองอย่างต่อเนื่อง

คำถามตามธรรมชาติเกิดขึ้น: สมมติฐานนี้ถูกต้องภายใต้สมมติฐานใด ถ้าสำหรับของเหลว (น้ำ โลหะเหลว ฯลฯ) สมมติฐานนี้ก็ชัดเจนไม่มากก็น้อย ดังนั้นสำหรับก๊าซที่หายากเพียงพอ (เช่น ครอบครองอวกาศรอบนอก รวมถึงชั้นบรรยากาศของดวงดาว ดาวเคราะห์ และดวงอาทิตย์) ซึ่งประกอบด้วยอะตอมเดี่ยวๆ หรือโมเลกุล เช่นเดียวกับวัตถุทางกายภาพอื่น ๆ ที่ต้องใช้เครื่องกลไฮโดรแอโรเมคานิกส์ จำเป็นต้องมีเหตุผลรองรับ ตัวอย่างเช่นเมื่อคำนวณการชะลอตัวของดาวเทียมเทียมของโลกการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของไฮโดรแอโรเมคานิกส์เป็นไปไม่ได้ในขณะที่เป็นเครื่องมือนี้ที่ใช้ในการคำนวณการชะลอตัวของวัตถุอวกาศที่เข้าสู่ชั้นบรรยากาศหนาแน่น ของโลกและดาวเคราะห์ต่างๆ (เช่น อุกกาบาตหรือยานอวกาศที่กลับมายังโลก เป็นต้น) คำถามนี้ตอบได้ง่ายเมื่อหาสมการ อย่างไรก็ตามจากข้อสรุปนี้ว่าสมมติฐานของความต่อเนื่องปานกลางนั้นถูกต้องโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ขนาดลักษณะเฉพาะของร่างกายที่คล่องตัว แอล(ตัวอย่างเช่น รัศมีของดาวเทียมทรงกลม) มากกว่าค่าเฉลี่ยของเส้นทางอิสระของอะตอมหรือโมเลกุลของก๊าซ l เช่น ระยะระหว่างการชนต่อเนื่องกัน

ระบบปิดของสมการไฮโดรแอโรเมคานิกส์

สมการไฮโดรแอโรเมกลศาสตร์ในรูปแบบอย่างง่ายเป็นระบบที่ซับซ้อนของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นสำหรับความหนาแน่นมวล r (มวลของของเหลวหรือก๊าซต่อหน่วยปริมาตร) เวกเตอร์ความเร็ว วีและความดัน หน้า, ซึ่งเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่ (เช่น x, ยและ ซีในพิกัดคาร์ทีเซียน) และเวลา ที. โดยไม่ต้องลงรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ของที่มาของสมการเหล่านี้ เราสามารถพิจารณาแนวคิดหลักของรากศัพท์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสมการเหล่านี้เป็นกฎการอนุรักษ์มวล โมเมนตัม และพลังงานที่รู้จักกันแม้กระทั่งจากหนังสือเรียน สำหรับสิ่งนี้จะพิจารณาปริมาตรทางกายภาพซึ่งเต็มไปด้วยของเหลวหรือก๊าซอย่างต่อเนื่อง บนมะเดื่อ 1 แสดงของเหลว (หรือก๊าซ) ที่เคลื่อนที่ซึ่งเติมพื้นที่ทางกายภาพบางส่วนอย่างต่อเนื่อง ลองเอาปริมาณของมันออกมา ยู(จำกัดโดยพื้นผิว S) ซึ่งตลอดเวลาของการเคลื่อนที่ประกอบด้วยอนุภาคของไหลชนิดเดียวกัน (ปริมาตรนี้ถูกแรเงา)

เห็นได้ชัดว่าในระหว่างการเคลื่อนไหวมวลของของเหลวที่บรรจุอยู่ในปริมาตร ยู, ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (แน่นอนว่ามีแหล่งที่มาเพิ่มเติมของมวลนี้) แม้ว่าปริมาตรของตัวมันเองจะมีรูปร่างผิดรูปอย่างมาก เนื่องจากอนุภาคไม่ได้จับตัวกันแน่นเหมือนในของแข็ง หากเราเลือกจากปริมาณที่พิจารณาองค์ประกอบ D ยูเห็นได้ชัดว่าในองค์ประกอบนี้มวลของของเหลวหรือก๊าซจะเท่ากับ rD ยู. จากนั้นกฎการอนุรักษ์มวลมีอยู่ในปริมาตรที่จัดสรร ยู, เขียนได้เป็น

เหล่านั้น. มวลของของเหลวหรือก๊าซที่บรรจุอยู่ในปริมาตรที่กำหนด ยู,ไม่เปลี่ยนแปลงตามกาลเวลา. ที่นี่อินทิกรัลจะถูกนำมาใช้กับปริมาณที่จัดสรร ยูซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ที. ถ้าเราใช้สูตรหาอนุพันธ์ของเวลาของอินทิกรัลเทียบกับปริมาตรที่เคลื่อนที่ เราจะได้สมการ

สมการนี้ในไฮโดรแอโรเมคานิกส์มักเรียกว่าสมการความต่อเนื่อง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเขียนกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมได้แล้ว โมเมนตัมของของเหลวหนึ่งหน่วยปริมาตรเท่ากับ r วี , ในปริมาณประถมศึกษา rD ยูและในปริมาณที่จัดสรร ยู –

โดยที่ p n คือเวกเตอร์แรงพื้นผิวที่กระทำกับองค์ประกอบพื้นผิว S ด้วยเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วย น.หนึ่งในปัญหาหลักของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ ซึ่งแก้ไขได้ในที่สุดในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 คือการกำหนดแรงพื้นผิวอย่างชัดเจน ภายในกรอบของวิธีการที่เรียกว่าปรากฏการณ์วิทยาที่ใช้ที่นี่เพื่อให้ได้สมการของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ แรงที่พื้นผิวจะถูกกำหนดโดยการทดลอง การแยกความแตกต่างตามเวลาของอินทิกรัลทางซ้ายในสมการโมเมนตัม เช่นเดียวกับที่ทำเมื่อได้สมการความต่อเนื่อง และส่งผ่านจากปริพันธ์พื้นผิวทางขวาไปยังปริพันธ์ปริมาตร เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใน แบบฟอร์ม

และปริมาณ ยู, โวลต์และ วและยังเป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ความเร็วอีกด้วย วีและการไล่ระดับความดันบนแกน วัว, โอ๊ยและ ออนซ์ตามลำดับ

สมการนี้เรียกว่าสมการเนเวียร์-สโตกส์ ซึ่งเขียนขึ้นในรูปแบบที่ง่ายที่สุดสำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ ซึ่งแรงที่พื้นผิวจะลดลงเป็นความดันปกติ ร, และคำสุดท้ายทางด้านขวาแสดงถึงแรง "หนืด" (m คือสัมประสิทธิ์ความหนืด) ภายใต้สมมติฐานว่า r = const

สมการการเคลื่อนที่ได้รับมาครั้งแรกในช่วงกลางศตวรรษที่ 18 L. Euler เมื่อเขาทำงานที่ St. Petersburg Academy of Sciences เนื่องจากในเวลานั้นยังไม่ทราบผลกระทบของความหนืดในของเหลว ออยเลอร์จึงได้สมการนี้ที่ m = 0 เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา สมการเหล่านี้จึงถูกเรียกว่าสมการออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2365 นาเวียร์ วิศวกรชาวฝรั่งเศสได้นำแรงเข้าสู่สมการออยเลอร์ที่เกี่ยวข้องกับความหนืด ซึ่งกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ m ในรูปแบบทั่วไป ใช้ได้กับก๊าซอัด สมการนี้ได้มาจาก Stokes และเรียกว่าสมการ Navier-Stokes

สำหรับของไหลอัดตัวไม่ได้ สมการเชิงอนุพันธ์ของความต่อเนื่องและโมเมนตัม (หนึ่งสเกลาร์และหนึ่งเวกเตอร์) เป็นระบบสมการปิดสำหรับกำหนดเวกเตอร์ความเร็ว วีและความดันสเกลาร์ ร(r = คงที่). ถ้า r № const จำเป็นต้องมีสมการเพิ่มเติม สมการนี้ได้มาจากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

ลักษณะทั่วไปของกฎการอนุรักษ์พลังงานในกรณีของการเคลื่อนที่ของของเหลวและก๊าซจะได้มาในลักษณะเดียวกับกฎข้อที่สองของนิวตัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการมีอยู่ของการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนในของเหลวและก๊าซ พลังงานต่อหน่วยปริมาตรประกอบด้วย พลังงานจลน์ rV 2 /2 และพลังงานภายในที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของอนุภาคก๊าซหรือของเหลว พลังงานทั้งหมดในองค์ประกอบปริมาตรง ยูเท่ากับ r(V 2 /2 + e)D ยู.

การเปลี่ยนแปลงของพลังงานทั้งหมดในปริมาณที่จัดสรร ยูเท่ากับความร้อนที่ไหลผ่านพื้นผิว S เนื่องจากการนำความร้อน เช่นเดียวกับการทำงานของมวลและแรงพื้นผิว เช่น แทนที่จะเป็นกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เราได้สมการมา

ที่ไหน นเป็นเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วยของพื้นผิว S

สำหรับแก๊สสมบูรณ์ e = ประวัติย่อ ต, ที่ไหน ด้วย vคือความจุความร้อนที่ปริมาตรคงที่ ตคืออุณหภูมิ และโดยปกติแล้วกฎฟูริเยร์เชิงประจักษ์จะถูกนำมาใช้สำหรับเวกเตอร์ฟลักซ์ความร้อน ถาม= –ล ต(l คือค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อน) หลังจากแยกความแตกต่างตามเวลาทางด้านซ้ายของสมการพลังงานอย่างเหมาะสมแล้ว การเปลี่ยนจากปริพันธ์พื้นผิวเป็นปริพันธ์เชิงปริมาตร และการใช้สมการความต่อเนื่องและสมการการเคลื่อนที่ เราจะได้สมการที่ได้รับความร้อนสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

สมการทั้งหมดนี้ รวมทั้งสมการสถานะของแก๊สสมบูรณ์

พี=ร อาร์ ที,

ที่ไหน ร = (กับ p - กับ v) คือค่าคงที่ของแก๊ส และ กับหน้าคือความจุความร้อนที่ความดันคงที่ และกฎฟูเรียร์

สร้างระบบปิดของสมการไฮโดรแอโรเมคานิกส์เพื่อหาเวกเตอร์ความเร็ว วี, ความกดดัน หน้าความหนาแน่น r และอุณหภูมิ ต.

หากปรากฏการณ์ทางกายภาพใดๆ ขึ้นอยู่กับกระบวนการสลายตัว (ความหนืดและการนำความร้อน) เพียงเล็กน้อย สมการเหล่านี้จะลดลงเป็นสมการของกลศาสตร์ไฮโดรแอโรเมติกส์ของของไหลในอุดมคติ ในกรณีนี้ ระบบสมการแบบปิดสำหรับการพิจารณา ร, ร วีและ ตคือระบบ

สมการสุดท้ายคือกฎอะเดียแบติก ซึ่งลดค่าลงเป็นกฎการอนุรักษ์เอนโทรปีได้อย่างง่ายดาย นี่ ก. = ด้วย p / c vคือดัชนีอะเดียแบติก นั่นคือ อัตราส่วนของความจุความร้อนที่ความดันคงที่ต่อความจุความร้อนที่ปริมาตรคงที่

อุทกสถิต

เป็นกรณีพิเศษของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ ซึ่งศึกษาความสมดุลของของเหลวและก๊าซ เช่น สถานะของพวกเขาในกรณีที่ไม่มีความเร็วอุทกพลศาสตร์ ( วี= 0). ผลลัพธ์และวิธีการของอุทกสถิตมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับปัญหามากมายที่สำคัญทั้งจากมุมมองเชิงปฏิบัติและเชิงวิทยาศาสตร์ทั่วไป ในไฮโดรสแตติกส์ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความสมดุลของน้ำในแอ่งน้ำ, อากาศในชั้นบรรยากาศของโลก, ปัญหาในการคำนวณแรงที่กระทำต่อวัตถุที่แช่อยู่ในของเหลวหรือก๊าซ, การกระจายของความดัน, ความหนาแน่น, อุณหภูมิใน บรรยากาศของดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ ดวงอาทิตย์ และงานอื่นๆ

สมการอุทกสถิตได้มาจากสมการไฮโดรแอโรเมคานิกส์สำหรับ วี=0. โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการการอนุรักษ์โมเมนตัมให้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งตามกฎของปาสคาลที่ทราบจากตำราเรียนตามที่ซึ่งในกรณีที่ไม่มีกองกำลังภายนอก ( ฉ= 0) ความดันคงที่ทุกที่ (p = const)

สมดุลของแก๊สสมบูรณ์ในสนามแรงโน้มถ่วง

ปล่อยให้มีก๊าซในสนามแรงโน้มถ่วงกลาง สมการสมดุลในระบบพิกัดทรงกลมในกรณีนี้จะถูกเขียนเป็น:

ที่นี่ ร, ถามและ ค- ตามลำดับ ระยะทางไปยังจุดศูนย์กลางมวลดึงดูด ม, วางไว้ที่จุดกำเนิด, มุมที่วัดจากแกนขั้วโลก ออนซ์และมุมในระนาบ ออกซี่, ช- ค่าคงที่ความโน้มถ่วง เท่ากับ 6.67×10 -8 dyn cm 2 g -2

จะเห็นได้จากสมการเหล่านี้ว่าในสนามโน้มถ่วงที่สมมาตรตรงกลาง ความดันจะขึ้นอยู่กับระยะทางจากศูนย์กลางนี้เท่านั้น (เป็นการง่ายที่จะแสดงว่าความดันไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาเช่นกัน) นอกจากนี้ยังง่ายต่อการแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นและอุณหภูมิขึ้นอยู่กับพิกัดเท่านั้น ร. การรวมสมการแรกของสมการเหล่านี้นำไปสู่สูตรบรรยากาศที่เรียกว่า ถ้าต่ำกว่านั้น มเข้าใจมวลของโลก ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ ดวงอาทิตย์ ฯลฯ เมื่อใช้สมการสถานะ สูตรความกดอากาศจะมีรูปแบบ

ที่ไหน หน้า0- ความดันในบางระยะทาง r = r0จากจุดศูนย์กลางดึงดูด (สำหรับโลก เช่น นี่อาจเป็นความดันที่ระดับน้ำทะเล) สูตรนี้กำหนดการกระจายความดันในชั้นบรรยากาศของดาวฤกษ์ โลก ดาวเคราะห์ ดวงอาทิตย์ ฯลฯ หากทราบการกระจายของอุณหภูมิ ต(ร) อย่างไรก็ตาม อุณหภูมินี้มักไม่สามารถระบุได้จากสมการการเพิ่มความร้อนที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้ เนื่องจากจะพิจารณาเฉพาะการเพิ่มความร้อนเนื่องจากการนำความร้อนเท่านั้น ในขณะที่บรรยากาศในรายการมีแหล่งความร้อนอื่นที่ไม่ได้นำมาพิจารณาใน สมการข้างต้น ตัวอย่างเช่น บรรยากาศของดวงอาทิตย์ได้รับความร้อนจากกระบวนการของคลื่นชนิดต่างๆ และชั้นบรรยากาศของโลกประมวลผลพลังงานของรังสีดวงอาทิตย์ เป็นต้น ดังนั้น การหาค่าการกระจายของความดันในชั้นบรรยากาศของเทห์ฟากฟ้าโดยใช้สูตรความกดอากาศ มักใช้การพึ่งพาเชิงประจักษ์ ต(ร).

ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะคำนวณการกระจายแรงดันในชั้นบรรยากาศของโลกจนถึงระยะทาง 11 กม. จากพื้นผิวโลก หากเราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีจุดกำเนิดบนพื้นผิวโลกและกำหนดแกน ออนซ์ในแนวตั้งขึ้นไป จากนั้นในสูตรบรรยากาศ แทนที่จะใช้พิกัด r คุณต้องใช้พิกัด ซี = ร – รอีที่ไหน ร E คือรัศมีของโลก เนื่องจากรัศมีนี้มากกว่าความหนาของชั้นบรรยากาศมาก ( ซี R E) สูตรความกดอากาศสำหรับบรรยากาศที่ราบเรียบสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

นี่คือสัญลักษณ์สำหรับการเร่งความเร็วของแรงโน้มถ่วงของโลก

โดยที่ T 0 คืออุณหภูมิสัมบูรณ์บนผิวน้ำทะเล ( ซี= 0), D เป็นค่าเชิงประจักษ์ ซึ่งหมายถึงการลดลงของอุณหภูมิเมื่อสูงขึ้น 100 ม. สำหรับบรรยากาศจริงมักจะใช้ D = 0.65 ที 0= 288K.

หากเรายอมรับการกระจายอุณหภูมิความดันจะถูกเขียนในแบบฟอร์ม

นี่แสดงให้เห็นว่าการพึ่งพาเชิงเส้นเชิงประจักษ์ที่ยอมรับได้ ต(ซี) ไม่เป็นที่ยอมรับสำหรับชั้นบรรยากาศทั้งหมดของโลกเนื่องจากที่ระดับความสูงมากกว่า 44 กม. ความดันจะกลายเป็นลบ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ยอมรับสำหรับความสูงที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง จากการทดลองกับดาวเทียม จรวดระดับความสูง ฯลฯ ปรากฎว่าที่ระดับความสูงสูง อุณหภูมิเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนและไม่เป็นโมโนโทนิกของระดับความสูง ความเป็นเอกเทศนี้เกิดจากกระบวนการที่ซับซ้อนในการประมวลผลพลังงานแสงอาทิตย์โดยชั้นบนของบรรยากาศโลก ซึ่งไม่ได้นำมาพิจารณาโดยสมการการไหลเข้าของความร้อน

สมดุลของของเหลวที่อัดตัวไม่ได้

หากเราพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของสภาวะสมดุลของของไหลที่บีบอัดไม่ได้ในสนามโน้มถ่วงของโลก จากสภาวะสมดุลที่ r = const ปรากฎว่า

หน้า = หน้า0– ร gzหรือ ร = หน้า0+ ร ฮึ,

ที่ไหน ชม.คือความลึกของของเหลวใต้พื้นผิว หน้า 0คือแรงกดบนพื้นผิว (รูปที่ 2) สูตรนี้ซึ่งทราบจากหนังสือเรียนแสดงให้เห็นว่าความดันในของเหลวเพิ่มขึ้นตามความลึกอย่างไร การใช้สูตรนี้ทำให้ง่ายต่อการคำนวณความดันที่ด้านล่างของภาชนะบรรจุของเหลว น่าสนใจ ความดันนี้ขึ้นอยู่กับความลึก แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเรือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูป 3 ความดันที่ด้านล่างของภาชนะ 1 และ 2 ของพื้นที่ด้านล่าง S จะเท่ากัน หรือแรงที่กระทำต่อด้านล่างของภาชนะเหล่านี้เนื่องจากความดันของของเหลวจะเท่ากัน

การใช้งานที่สำคัญจำนวนมากขึ้นอยู่กับการแก้สมการอุทกสถิต (กฎของอาร์คิมิดีส เสถียรภาพของสมดุลของชั้นบรรยากาศของดวงดาวและดาวเคราะห์ ฯลฯ)

สิ่งสำคัญบางอย่างในการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาของสมการของไฮโดรแอโรเมคานิกส์

1. แบบจำลองของไหลอัดตัวไม่ได้

สมการไฮโดรแอโรเมกลศาสตร์สำหรับของเหลวหรือก๊าซที่มีความหนืดและนำความร้อนในปัญหาส่วนใหญ่ที่สำคัญมากสำหรับการปฏิบัติสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สมการเหล่านี้ทำให้ง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญภายใต้สมมติฐานว่าการไหลที่พิจารณานั้นไม่สามารถบีบอัดได้ (r = const) แม้ว่าของเหลวหรือก๊าซที่อัดตัวไม่ได้อย่างเคร่งครัดจะไม่มีอยู่ในธรรมชาติ แต่ในหลายกรณี ตัวอย่างเช่น ก๊าซที่อัดตัวได้อาจถูกพิจารณาว่าเป็นของเหลวที่อัดตัวไม่ได้ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นในการไหลจำนวนมากอาจถูกละเลย ในกรณีนี้ สมการความต่อเนื่องของของไหลที่อัดตัวไม่ได้จะอยู่ในรูปแบบนี้ div=0.

ร่วมกับสมการการอนุรักษ์โมเมนตัม จะสร้างสมการระบบปิดสำหรับกำหนดความดัน รและความเร็ว โวลต์เกณฑ์สองข้อกำหนดความเป็นไปได้ในการใช้แบบจำลองของของไหลที่อัดตัวไม่ได้สำหรับก๊าซที่อัดตัวได้ โดยทั่วไปแล้ว

ที่ไหน มคือเลขมัคที่เรียกว่า a คือความเร็วของการแพร่กระจายเสียงในก๊าซ วี* - ความเร็วการไหลลักษณะเฉพาะ (เช่น ความเร็วของการเคลื่อนที่ของอากาศที่สัมพันธ์กับเครื่องบินที่บิน) ที* คือเวลาลักษณะเฉพาะของการเคลื่อนที่ที่ไม่หยุดนิ่ง (เช่น เวลาลักษณะเฉพาะของการเต้นเป็นจังหวะของพารามิเตอร์อากาศด้านหน้าเครื่องบินที่บิน) แอลคือขนาดลักษณะเฉพาะของปัญหา (เช่น ขนาดของร่างกายเพรียวลม) สำหรับการไหลที่สม่ำเสมอ เกณฑ์แรกเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว เกณฑ์เหล่านี้มีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น เมื่อเครื่องบินบินด้วยความเร็วต่ำกว่าเสียงสูง แบบจำลองของไหลที่บีบอัดไม่ได้สามารถนำมาใช้ในการคำนวณลักษณะการไหลของเครื่องบินดังกล่าวได้ (การลาก การยก ฯลฯ) หากเครื่องบินบินด้วยความเร็วเหนือเสียงคลื่นกระแทกที่เรียกว่าจะเกิดขึ้นข้างหน้าซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของการกระโดดอย่างรวดเร็วในความดันความเร็วความหนาแน่นและอุณหภูมิในนั้น การก่อตัวของคลื่นกระแทกเป็นสัญญาณทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นที่มีนัยสำคัญ เช่น สัญญาณทั่วไปของการบีบอัดการไหล

การไหลของของไหลหนืดในท่อทรงกระบอก (การไหลแบบ Hagen-Poiseuille)

ปัญหาที่สำคัญคือการพิจารณาการไหลของของไหลอัดตัวหนืดในท่อทรงกระบอกที่มีรัศมีหน้าตัดเป็นวงกลม ร(รูปที่ 4) เนื่องจากความแตกต่างของแรงดันที่ปลายท่อนี้ พี = (หน้า 2 – หน้า 1)/แอล, ที่ไหน แอล- ความยาวท่อ. สมมุติว่าท่อยาวจนท่อเข้าไหนรับแรงดัน หน้า 2 , และออกที่ความดัน หน้า 1 (หน้า 2 > หน้า 1) ไม่ส่งผลกระทบต่อการไหลในท่อส่วนใหญ่นี้ ดังนั้น จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอนของสมการเนเวียร์-สโตกส์ในรูปแบบ

ที่ไหน ยูคือความเร็วของของไหลตามแนวแกน เอ็กซ์สอดคล้องกับแกนสมมาตรของท่อและ รคือระยะห่างจากแกนนี้ จากสิ่งนี้จะเห็นได้ว่าโปรไฟล์ความเร็วในท่อเป็นรูปพาราโบลา บนผนังของท่อ ความเร็วจะหายไปเนื่องจากการเกาะของของเหลวเนื่องจากผลกระทบของความหนืด หลักสูตรดังกล่าวได้รับการศึกษาในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 Poiseuille และ Hagen ในตัวอย่างการไหลของของเหลวในเส้นเลือดฝอยและถูกเรียกว่า Hagen-Poiseuille flow

เห็นได้ชัดว่ามีการไหลอย่างต่อเนื่อง (ไม่ขึ้นกับ ร) ของของเหลวที่ทางเข้าท่อและที่ส่วนเริ่มต้น โปรไฟล์ความเร็วจะไม่ตรงกับวิธีแก้ปัญหาข้างต้น โปรไฟล์พาราโบลาถูกตั้งค่าไว้ที่ระยะห่างที่เพียงพอจากส่วนทางเข้าเท่านั้น ซึ่งเป็นสาเหตุที่ต้องหาวิธีแก้ปัญหา จึงจำเป็นต้องสันนิษฐานว่าท่อยาวเพียงพอ ในขณะที่สำหรับท่อดังกล่าว โซลูชันที่แน่นอนนี้สอดคล้องกับข้อมูลการทดลอง .

วิธีแก้ปัญหาที่ได้จะอธิบายถึงการไหลนิ่งเป็นชั้นเรียบ ซึ่งโดยปกติเรียกว่าลามินาร์ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีจากการปฏิบัติว่าบางครั้งการไหลในท่อไม่คงที่ ด้วยความเร็วเป็นจังหวะ มีการผสมกันระหว่างชั้น การไหลนี้มักเรียกว่าปั่นป่วน การทดลองของ Reynolds ในปี 1883 แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่า r ที่มากพอสมควร ยู แอล/m ที่ไหน ยูคือความเร็วของของไหลเฉลี่ยเหนือส่วนท่อ โปรไฟล์พาราโบลาจะไม่เสถียรเมื่อเทียบกับการรบกวนเล็กน้อย และด้วยจำนวนที่เพิ่มขึ้นนี้ การไหลในท่อจะปั่นป่วน หมายเลขนี้เรียกว่าหมายเลขเรย์โนลด์ส (Re) ซึ่งมีบทบาทสำคัญมากในปัญหาต่างๆ ของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันแสดงลักษณะอัตราส่วนของแรงเฉื่อย (ด้านซ้ายของสมการ) ต่อแรงหนืด ในขณะที่บ่อยครั้งแรงหนืดอาจถูกละเลย และสมการไฮโดรแอโรเมคานิกส์ของของไหลในอุดมคติสามารถใช้ได้เฉพาะกับ อีกครั้ง >> 1.

การไหลของของเหลวและก๊าซในอุดมคติ

ปัญหาที่สำคัญในการใช้งานมักจะถูกพิจารณาบนพื้นฐานของสมการของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ของของไหลในอุดมคติ ไม่ใช่บนพื้นฐานของสมการที่สมบูรณ์ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าสมการทางคณิตศาสตร์ของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ในอุดมคตินั้นง่ายกว่ามาก หากจำเป็นต้องกำหนดแรงยกของปีกเครื่องบินที่ความเร็วต่ำกว่าเสียง แรงหนืดจะถือว่าเล็กน้อยและไม่จำเป็นต้องใช้สมการเนเวียร์-สโตกส์ อย่างไรก็ตาม ในการพิจารณาความต้านทานของปีกดังกล่าวเมื่อมันเคลื่อนที่ไปในอากาศ แรงหนืดกลายเป็นสิ่งชี้ขาดและจำเป็นต้องใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่าที่เกี่ยวข้องกับสมการเนเวียร์-สโตกส์

เบอร์นูลลีอินทิกรัล

ภายใต้สมมติฐานบางประการ สมการอุทกกลศาสตร์ของของไหลในอุดมคติสามารถรวมเข้าด้วยกันได้หนึ่งครั้ง พวกมันมีคำตอบ ซึ่งหนึ่งในนั้นคือสมการเบอร์นูลลีสำหรับการไหลนิ่ง (ตั้งชื่อตามเบอร์นูลลี นักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยของออยเลอร์ ซึ่งเป็นผู้ได้รับอินทิกรัลนี้เป็นครั้งแรก)

ที่ไหน พี (หน้า) = ท พ/ร(หน้า) เป็นฟังก์ชันของความดัน ยูคือศักยภาพของพลังมวลชนภายนอก จากเป็นค่าคงตัวตามเส้นกระแส l (เส้นกระแสเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์ความเร็วการไหล วี) ตัวอย่างเช่น สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ในสนามโน้มถ่วง สมการนี้มีรูปแบบ

สำหรับการไหลของอะเดียแบติก ส่วนประกอบของแบร์นูลลีในกรณีที่ไม่มีแรงจากภายนอกมีรูปแบบ

ตัวอย่างของการใช้เบอร์นูลลีอินทิกรัล เราสามารถกำหนดอัตราการไหลออกของของไหลที่อัดตัวไม่ได้จากภาชนะ (รูปที่ 5) เมื่อของเหลวไหลออกจากภาชนะนี้ ระดับของเหลวจะลดลง กล่าวคือ ความเร็วของพื้นผิวของเหลวโดยทั่วไปจะแตกต่างจากศูนย์ อย่างไรก็ตาม สำหรับภาชนะที่มีขนาดกว้างพอและมีเต้ารับแคบก็สามารถสันนิษฐานได้ วซ 1 – ซี 2). สำหรับอ่างที่เทน้ำสูงประมาณ 0.5 ม. ความเร็วไหลออกคือ V 2 » 3.1 ม./วินาที

สมการการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติจะมีอินทิกรัลมากกว่าหนึ่งสำหรับการไหลที่ไม่คงที่ ซึ่งเรียกว่าอินทิกรัลคอชี-ลากรองจ์ ใช้ได้สำหรับการไหลที่ไม่มีกระแสน้ำวน มักใช้เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของคลื่นของของเหลวหรือก๊าซ

คลื่นกระแทกเป็นหนึ่งในอาการสำคัญของการอัดก๊าซ

ในทางคณิตศาสตร์ สมการของกลศาสตร์ไฮโดรแอโรเมคานิกส์ในอุดมคติจะยอมรับคำตอบที่ไม่ต่อเนื่อง นั่นคือ สารละลายที่มีพารามิเตอร์ของก๊าซแบบกระโดด (ความหนาแน่น ความดัน ความเร็ว และอุณหภูมิ) หนึ่งในอาการดังกล่าวในธรรมชาติคือการก่อตัวของคลื่นกระแทกใกล้กับวัตถุที่บินด้วยความเร็วเหนือเสียงในชั้นบรรยากาศโลกที่หนาแน่น ตัวอย่างเช่น การก่อตัวของคลื่นกระแทกใกล้กับเครื่องบินความเร็วเหนือเสียงที่บินอยู่ หรือคลื่นกระแทกใกล้กับอุกกาบาตที่บุกรุกชั้นบรรยากาศโลกที่หนาแน่นด้วยความเร็วเหนือเสียงสูง ในอวกาศ เป็นที่ทราบกันดีว่าคลื่นกระแทกระหว่างดาวเคราะห์ ซึ่งมักเป็นผลมาจากกระบวนการทำงานบนดวงอาทิตย์ (เช่น เปลวไฟ)

เป็นที่ทราบกันดีว่าใกล้กับเครื่องบินโดยสารซึ่งส่วนใหญ่บินด้วยคลื่น subsonic ขนาดใหญ่จะไม่เกิดคลื่นกระแทก ขอให้มีรัศมีกายเป็นทรงกลม ร(ภาพที่ 6) ซึ่งบินอยู่ในอากาศด้วยความเร็วเหนือเสียง จากนั้นคลื่นกระแทกก็ก่อตัวขึ้นที่ด้านหน้าของร่างดังกล่าว ที่ซึ่งเป็นขอบเขตระหว่างภูมิภาค 1 และ 2 ซึ่งแตกต่างกันในค่าของพารามิเตอร์ก๊าซ ในระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับลำตัวบิน. การไหลของก๊าซเข้าสู่ร่างกายที่เหลือ ให้แกน วัวกำกับไปตามความเร็วการไหลและ วี 1 , หน้า 1 , r1 และ ต 1 – ความเร็ว ความดัน ความหนาแน่น และอุณหภูมิ ตามลำดับ ในการไหลของก๊าซที่ร่างกายไม่ถูกรบกวน (ก่อนเกิดคลื่นกระแทก) การรบกวนจากร่างกายไม่ตกอยู่ในภูมิภาคที่ 1 เนื่องจากร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเหนือเสียง เนื่องจากความเร็วของก๊าซที่จุดด้านหน้าของร่างกาย แต่หายไปจากจุดนั้น แต่ถึงจุด จากบนคลื่นกระแทกมีบริเวณที่มีความเร็วของก๊าซต่ำกว่าเสียง ซึ่งเข้าถึงได้โดยการรบกวนของอากาศจากวัตถุที่บินได้ ความหมายทางกายภาพของการก่อตัวของคลื่นกระแทกนั้นอยู่ที่การแยกการไหลของก๊าซที่ไม่ถูกรบกวนและถูกรบกวน ถ้าผ่าน วี

ซึ่งหมายความว่าความเร็วหลังคลื่นกระแทกจะลดลง ในขณะที่ความดัน ความหนาแน่น และอุณหภูมิเพิ่มขึ้น อุณหภูมิที่เพิ่มขึ้นอย่างมากหลังคลื่นกระแทกอธิบายการละลายของยานอวกาศที่กลับสู่โลกและอุกกาบาตที่บุกรุกชั้นบรรยากาศด้วยความเร็วเหนือเสียงสูง คลื่นกระแทกดังกล่าวเรียกว่าคลื่นกระแทกจากการบีบอัด (ความหนาแน่นของก๊าซเพิ่มขึ้น) ที่น่าสนใจคือคลื่นกระแทกที่หายากซึ่งความหนาแน่นลดลงไม่เคยถูกพบในธรรมชาติ ในทางคณิตศาสตร์ การก่อตัวของคลื่นกระแทกที่หายากเป็นสิ่งต้องห้ามโดยทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีของ Zemplen ในด้านไฮโดรแอโรเมคานิกส์

ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ที่มีดัชนี "1" และ "2" สามารถหาได้จากกฎปริพันธ์ของการอนุรักษ์มวล โมเมนตัม และพลังงาน เนื่องจากกฎเหล่านี้ยังใช้ได้สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง ความสัมพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าความสัมพันธ์ Hugoniot และมีรูปแบบ (ในระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับคลื่นกระแทก)

r1 วี เอ็น 1 = r2 วี เอ็น 2; r1 วี เอ็น 1วี 1 + หน้า 1 น=r2 วี เอ็น 2วี 2 + หน้า 2 น ;

วี เอ็น 1 = วี เอ็น 2.

เมื่อรวมกับสมการสถานะความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถกำหนดค่าของพารามิเตอร์ก๊าซที่อยู่ด้านหลังคลื่นกระแทก (ดัชนี "2") จากค่าของพารามิเตอร์ของการไหลของก๊าซที่ไม่ถูกรบกวนโดยคลื่นกระแทก ( ดัชนี "1")

เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของไฮโดรแอโรเมคานิกส์ที่อธิบายไว้ถูกนำมาใช้ในหลาย ๆ ด้านของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสำหรับการใช้เครื่องมือนี้อย่างถูกต้อง จำเป็นต้องปฏิบัติตามเกณฑ์ของความต่อเนื่องปานกลางเท่านั้น เช่น สำหรับก๊าซ ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของเส้นทางอิสระของอนุภาคต้องเล็กกว่าขนาดลักษณะเฉพาะของวัตถุการไหลภายใต้การพิจารณา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสภาพอวกาศ สื่อมักจะหายากมาก แน่นอนว่าในสื่อดังกล่าว เส้นทางฟรีเฉลี่ยของอนุภาคนั้นมีขนาดใหญ่มาก แต่ขนาดของวัตถุในการศึกษาเองในหลาย ๆ กรณีกลับมีขนาดใหญ่กว่ามาก เช่น วิธีการไฮโดรแอโรเมคานิกส์ใช้ได้กับวัตถุดังกล่าวด้วย

ในชีวกลศาสตร์ใช้วิธีการของอุทกกลศาสตร์ศึกษาคุณสมบัติที่น่าสนใจของการไหลของของเหลวทางชีวภาพผ่านภาชนะและในอุทกธรณีวิทยาเช่นศึกษาปัญหาของพลวัตของชั้นในของโลก ทั้งหมดนี้เป็นพยานถึงความสำคัญของวิทยาศาสตร์ที่เรียกว่า "ไฮโดรแอโรเมคานิกส์"

วลาดิมีร์ บารานอฟ

จัดสรรพื้นที่อุตสาหกรรมรายสาขาและครบวงจร

การแสดงภาพกราฟิกและการประยุกต์ใช้สมการเบอร์นูลลีในทางปฏิบัติ

การแสดงสมการเบอร์นูลลีแบบกราฟิกสำหรับการไหลของของไหลในอุดมคติและของจริง

การแสดงสมการเบอร์นูลลีแบบกราฟิกสำหรับหยดของของเหลวในอุดมคติและของเหลวจริง

สมการเบอร์นูลลีหนึ่งในสมการพื้นฐานของอุทกกลศาสตร์ ซึ่งภายใต้การเคลื่อนที่อย่างคงที่ของของไหลในอุดมคติที่อัดตัวไม่ได้ในสนามแรงโน้มถ่วงสม่ำเสมอ มีรูปแบบดังนี้
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
โดยที่ v คือความเร็วของของเหลว, ρ คือความหนาแน่นของมัน, p คือความดันในนั้น, h คือความสูงของอนุภาคของเหลวเหนือระนาบแนวนอนหนึ่ง, g คือความเร่งของการตกอย่างอิสระ, C คือค่าคงที่บน สตรีมไลน์แต่ละรายการ แต่ในกรณีทั่วไปจะเปลี่ยนค่าเมื่อย้ายจากสตรีมไลน์หนึ่งไปยังอีกสตรีมไลน์

สมการเบอร์นูลลียังนำเสนอในรูปแบบ
h + p/γ + v 2 /2g = C หรือ
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(โดยที่ γ =ρg คือความถ่วงจำเพาะของของเหลว) ในความเท่าเทียมกันที่ 1 ข้อกำหนดทั้งหมดมีขนาดของความยาวและเรียกว่าเรขาคณิต (การปรับระดับ) ที่สอดคล้องกันความสูงของวงกลมและความเร็วและในส่วนที่สอง - มิติของความดันและเรียกว่าน้ำหนักความดันคงที่และไดนามิกตามลำดับ