ตามคำขอของคุณ!

1. ขจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน:

3. แก้สมการเลขชี้กำลัง:

4. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

รากที่สองของเลขคณิตมีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบและแสดงด้วยจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงสำหรับทุกคน X, ตรงตามเงื่อนไข: 2-х≥0. จากที่นี่เราได้รับ: x≤2 เราเขียนคำตอบเป็นช่วงตัวเลข: (-∞; 2]

5. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: 7 x > -1

ตามคำจำกัดความ: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเรียกว่าฟังก์ชันของรูปแบบ y \u003d a x โดยที่ a > 0, a ≠ 1, x คือตัวเลขใดๆ พิสัยของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือเซตของจำนวนบวกทั้งหมดเนื่องจากจำนวนบวกยกกำลังใด ๆ จะเป็นบวก นั่นเป็นสาเหตุที่ 7 x >0 สำหรับ x ใดๆ และมากกว่านั้นคือ 7 x > -1 เช่น ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ x ∈ ทั้งหมด (-∞; +∞)

6. แปลงเป็นสินค้า:

เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์: ผลรวมของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลบวกครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของส่วนต่างครึ่งของพวกมัน

8. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า f(x) = -15x+3 สำหรับค่าของ x, f(x)=0?

เราแทนที่ตัวเลข 0 แทน f (x) และแก้สมการ:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5

11 . ในโลหะผสมที่หนึ่งและที่สอง ทองแดงและสังกะสีอยู่ในอัตราส่วน 5:2 และ 3:4 ควรใช้โลหะผสมแต่ละชนิดมากน้อยเพียงใดเพื่อให้ได้โลหะผสมใหม่ 28 กก. ที่มีปริมาณทองแดงและสังกะสีเท่ากัน

เราเข้าใจดีว่าโลหะผสมใหม่จะมีทองแดง 14 กก. และสังกะสี 14 กก. ปัญหาที่คล้ายคลึงกันทั้งหมดได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน: พวกเขาสร้างสมการในส่วนซ้ายและขวาซึ่งมีสารในปริมาณเท่ากัน (ลองเอาทองแดง) เขียนด้วยวิธีต่างๆ (ตามเงื่อนไขเฉพาะของปัญหา) เรามีทองแดง 14 กก. ในโลหะผสมใหม่จะประกอบด้วยทองแดงจากโลหะผสมทั้งสองนี้ ให้มวลของโลหะผสมก้อนแรก X kg แล้วมวลของโลหะผสมที่สองคือ ( วันที่ 28)กิโลกรัม. ในโลหะผสมแรกมีทองแดง 5 ส่วนและสังกะสี 2 ส่วน ดังนั้นทองแดงจะเท่ากับ (5/7) ของ x กก. ในการหาเศษส่วนของตัวเลข ให้คูณเศษส่วนด้วยจำนวนที่กำหนด ในโลหะผสมที่สองทองแดง 3 ส่วนและสังกะสี 4 ส่วนคือ ทองแดงบรรจุ (3/7) จาก (28's) กก. ดังนั้น:

12. แก้สมการ: บันทึก 2 8 x = -1

โดยนิยามของลอการิทึม:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3

15. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = -ln cosx 2

20. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โมดูลัสของตัวเลขสามารถแสดงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้นหากมีนิพจน์เชิงลบภายใต้เครื่องหมายโมดูล เมื่อเปิดวงเล็บโมดูล คำศัพท์ทั้งหมดจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

22. แก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

ขั้นแรก เราแก้สมการแต่ละส่วนแยกกัน

โปรดทราบว่าระยะเวลาร่วมที่น้อยที่สุดสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะเป็น 2π,จึงมีสาเหตุมาจากทั้งซ้ายและขวา 2πn. ตอบ ค)

23. จงหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน y=3-|x-3| และเส้นตรง y=0

กราฟของฟังก์ชันนี้จะประกอบด้วยเส้นครึ่งเส้นสองเส้นที่ออกมาจากจุดเดียว ลองเขียนสมการของเส้นกัน สำหรับ x≥3 เราขยายวงเล็บแบบแยกส่วนและรับ: y=3-x+3 ⇒ y=6-x.สำหรับ x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

สามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันและส่วนของแกน x คือตัวเลขที่ต้องหาพื้นที่ แน่นอน เราจะทำโดยไม่มีอินทิกรัลที่นี่ เราหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่ลากมาที่ฐานนี้ ฐานของเราเท่ากับ 6 ส่วนหน่วย และความสูงที่ลากไปที่ฐานนี้เท่ากับ 3 ส่วนหน่วย พื้นที่จะ 9 ตารางเมตร หน่วย

24. หาโคไซน์ของมุม A ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่จุด A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2)

ในการหาพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของจุดสิ้นสุดของมัน คุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด

มุม A เกิดจากเวกเตอร์:

25. มี 23 ลูกในกล่อง: แดง ขาว และดำ. มีลูกบอลสีขาวมากกว่าลูกบอลสีแดง 11 เท่า ลูกบอลสีดำกี่ลูก?

ปล่อยให้มันอยู่ในกล่อง Xลูกบอลสีแดง แล้วผิวขาว 11xลูก.

แดงและขาว x+11x= 12xลูก. ดังนั้น ลูกบอลสีดำ 23-12น.เนื่องจากเป็นจำนวนเต็มของลูกบอล ค่าเดียวที่เป็นไปได้คือ x=1. ปรากฎว่า: 1 ลูกสีแดง 11 ลูกสีขาวและ 11 ลูกบอลสีดำ

คำแนะนำ

ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวบนระนาบ โดยพล็อตจากจุดหนึ่ง: เวกเตอร์ A พร้อมพิกัด (x1, y1) B พร้อมพิกัด (x2, y2) มุมระหว่างพวกเขาจะแสดงเป็น θ ในการหาหน่วยวัดองศาของมุม θ คุณต้องใช้นิยามของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเป็นตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน นั่นคือ (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). ตอนนี้คุณต้องแสดงโคไซน์ของมุมจากสิ่งนี้: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|)

ผลคูณของสเกลาร์สามารถหาได้โดยใช้สูตร (A,B)=x1*x2+y1*y2 เนื่องจากผลคูณของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์จะตั้งฉาก (มุมระหว่างพวกมันคือ 90 องศา) และสามารถละเว้นการคำนวณเพิ่มเติมได้ ถ้าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นบวก แสดงว่ามุมระหว่างพวกนี้ เวกเตอร์เฉียบพลันและถ้าเป็นลบแสดงว่ามุมป้าน

ตอนนี้คำนวณความยาวของเวกเตอร์ A และ B โดยใช้สูตร: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²) ความยาวของเวกเตอร์คำนวณจากรากที่สองของผลบวกกำลังสองของพิกัด

แทนที่ค่าที่พบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์และความยาวของเวกเตอร์ลงในสูตรสำหรับมุมที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 นั่นคือ cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). ทีนี้ เมื่อรู้ค่าของ , เพื่อหาค่าดีกรีของมุมระหว่าง เวกเตอร์คุณต้องใช้ตาราง Bradis หรือนำมาจากสิ่งนี้: θ=arccos(cos(θ))

หากเวกเตอร์ A และ B กำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติและมีพิกัด (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) ตามลำดับ เมื่อหาโคไซน์ของมุมก็จะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด ในกรณีนี้ โคไซน์: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²))

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากเวกเตอร์สองตัวไม่ได้ถูกพล็อตจากจุดหนึ่ง ดังนั้นเพื่อค้นหามุมระหว่างพวกมันด้วยการแปลแบบขนาน คุณต้องรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์เหล่านี้
มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวต้องไม่เกิน 180 องศา

ที่มา:

• วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์
• มุมระหว่างเส้นกับระนาบ

ในการแก้ปัญหามากมาย ทั้งประยุกต์และทฤษฎี ในฟิสิกส์และพีชคณิตเชิงเส้น จำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ งานที่ดูเหมือนง่ายนี้อาจทำให้เกิดปัญหาได้มากมาย หากคุณไม่เข้าใจสาระสำคัญของผลิตภัณฑ์สเกลาร์อย่างชัดเจนและคุณค่าที่ปรากฏขึ้นจากผลิตภัณฑ์นี้

คำแนะนำ

มุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้นคือมุมต่ำสุดที่ ซึ่งได้ค่าโคไดเร็กชันของเวกเตอร์ เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งถูกพาไปรอบ ๆ จุดเริ่มต้น จากคำจำกัดความจะเห็นได้ชัดว่าค่าของมุมต้องไม่เกิน 180 องศา (ดูขั้นตอน)

ในกรณีนี้ ถือว่าค่อนข้างถูกต้องในปริภูมิเชิงเส้น เมื่อเวกเตอร์ถูกถ่ายโอนแบบขนาน มุมระหว่างพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นสำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์ของมุม การวางแนวเชิงพื้นที่ของเวกเตอร์จึงไม่สำคัญ

ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคคือตัวเลข มิฉะนั้น สเกลาร์ โปรดจำไว้ว่า (สิ่งสำคัญคือต้องรู้) เพื่อป้องกันข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มเติม สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ที่อยู่บนระนาบหรือในช่องว่างของเวกเตอร์มีรูปแบบ (ดูรูปสำหรับขั้นตอน)

หากเวกเตอร์อยู่ในอวกาศ ให้ทำการคำนวณในลักษณะเดียวกัน สิ่งเดียวที่จะปรากฎของเทอมในเงินปันผล - นี่คือเงื่อนไขสำหรับการสมัครเช่น องค์ประกอบที่สามของเวกเตอร์ ดังนั้น เมื่อคำนวณโมดูลัสของเวกเตอร์ จะต้องคำนึงถึงองค์ประกอบ z ด้วย จากนั้นสำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ในอวกาศ นิพจน์สุดท้ายจะถูกแปลงดังนี้ (ดูรูปที่ 6 ไปยังขั้นตอน)

เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางที่กำหนด มุมระหว่างเวกเตอร์มีความหมายทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นหาความยาวของการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกน

คำแนะนำ

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยใช้การคำนวณผลคูณดอท ตามคำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์จะเท่ากับผลคูณของความยาวและมุมระหว่างพวกมัน ในทางกลับกัน ผลคูณภายในสำหรับเวกเตอร์สองตัว a ที่มีพิกัด (x1; y1) และ b ที่มีพิกัด (x2; y2) ถูกคำนวณ: ab = x1x2 + y1y2 ในสองวิธีนี้ ดอทโปรดัคจะทำมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ง่าย

หาความยาวหรือโมดูลของเวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์ของเรา a และ b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2

ค้นหาผลคูณภายในของเวกเตอร์โดยการคูณพิกัดเป็นคู่: ab = x1x2 + y1y2 จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอท ab = |a|*|b|*cos α โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์ จากนั้นเราจะได้ x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α จากนั้น cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2

หามุม α โดยใช้ตาราง Bradys

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก

ผลคูณสเกลาร์เป็นลักษณะสเกลาร์ของความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน

เครื่องบินเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิต ระนาบคือพื้นผิวที่ข้อความนั้นเป็นจริง - เส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดนั้นเป็นของพื้นผิวนี้ทั้งหมด เครื่องบินมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก α, β, γ ฯลฯ เครื่องบินสองลำตัดกันเป็นเส้นตรงที่เป็นของระนาบทั้งสองเสมอ

คำแนะนำ

พิจารณาครึ่งระนาบ α และ β ที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของ . มุมที่เกิดจากเส้นตรง a และระนาบครึ่งระนาบ α และ β สองเส้นโดยมุมไดฮีดรัล ในกรณีนี้ ระนาบครึ่งระนาบสร้างมุมไดฮีดรัลตามใบหน้า เส้น a ที่ระนาบตัดกันเรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล

มุมไดฮีดรัลเหมือนมุมแบน หน่วยเป็นองศา ในการสร้างมุมไดฮีดรัลนั้นจำเป็นต้องเลือกจุด O บนใบหน้าโดยพลการ ในทั้งสองรังสี a สองเส้นจะถูกลากผ่านจุด O มุมผลลัพธ์ AOB เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล a

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ แล้วโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N คือ: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณค่ามุมในหน่วยองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ อาร์คโคไซน์: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: find มุมระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ปัญหา: จดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N = (2, -5, 3) แทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสูตรข้างต้น: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เขียนสมการและแยกโคไซน์ออกจากมัน ตามสูตรหนึ่ง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับความยาวคูณกันและด้วยโคไซน์ มุมและในทางกลับกัน - ผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดตามแต่ละแกน เท่ากับทั้งสองสูตร เราสามารถสรุปได้ว่าโคไซน์ มุมต้องเท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของผลิตภัณฑ์พิกัดต่อผลคูณของความยาวของเวกเตอร์

เขียนสมการผลลัพธ์ ในการทำสิ่งนี้ เราต้องกำหนดเวกเตอร์ทั้งสอง สมมติว่าพวกเขาได้รับในระบบ 3D Cartesian และจุดเริ่มต้นอยู่ในตาราง ทิศทางและขนาดของเวกเตอร์แรกจะได้รับจากจุด (X₁,Y₁,Z₁) จุดที่สอง - (X₂,Y₂,Z₂) และมุมจะแสดงด้วยตัวอักษร γ จากนั้น ความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวสามารถเป็นได้ ตัวอย่างเช่น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เกิดจากการฉายภาพบนแกนพิกัดแต่ละแกน: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) และ √(X₂² + Y₂² + Z₂²) แทนที่นิพจน์เหล่านี้ในสูตรที่กำหนดในขั้นตอนก่อนหน้า แล้วคุณจะได้ความเท่าเทียมกัน: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² ))

ใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของกำลังสอง ไซนัสและ co ไซนัสจาก มุมค่าหนึ่งจะให้ค่าหนึ่งเสมอ ดังนั้นโดยการเพิ่มสิ่งที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าสำหรับ co ไซนัสยกกำลังสองแล้วลบออกจากความสามัคคี แล้ว

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว , :

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นมุมแหลม ผลคูณดอทของพวกมันจะเป็นค่าบวก ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นลบ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมฉากเท่านั้น

ออกกำลังกาย.หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

วิธีการแก้.โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

16. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ

มุมระหว่างเส้นกับระนาบตัดเส้นนี้และไม่ตั้งฉากกับมันคือมุมระหว่างเส้นกับการฉายบนระนาบนี้

การกำหนดมุมระหว่างเส้นกับระนาบทำให้เราสามารถสรุปได้ว่ามุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น: เส้นตรงและการฉายภาพบนระนาบ ดังนั้นมุมระหว่างเส้นกับระนาบจึงเป็นมุมแหลม

มุมระหว่างเส้นตั้งฉากกับระนาบถือว่าเท่ากัน และมุมระหว่างเส้นคู่ขนานกับระนาบไม่ได้ถูกกำหนดเลย หรือถือว่าเท่ากับ

§ 69. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในระนาบ (§ 32) แทนด้วย φ มุมระหว่างเส้น l 1 และ l 2 , และผ่าน ψ - มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง เอ และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ 90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ เห็นได้ชัดว่าในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (1) § 20 เรามี

เพราะเหตุนี้,

ให้เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของพวกมัน

จากนั้นกำหนดมุม φ ระหว่างเส้นโดยใช้สูตร

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองอย่าง) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่เป็นที่ยอมรับ ในการคำนวณมุม คุณต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ แล้วใช้สูตร (1)

17. เส้นขนาน, ทฤษฎีบทบนเส้นคู่ขนาน

คำนิยาม.สองบรรทัดในระนาบเรียกว่า ขนานถ้าไม่มีจุดร่วม

สองเส้นในสามมิติเรียกว่า ขนานถ้าอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ดอท:

.

เงื่อนไขมุมฉากของเวกเตอร์สองตัว:

เงื่อนไข Collinearity สำหรับเวกเตอร์สองตัว:

.

ต่อจากนิยาม 5 - . จากนิยามผลคูณของเวกเตอร์ตามตัวเลข มันตามมาด้วย ดังนั้น ตามกฎความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราเขียน , , , ซึ่งหมายถึง . แต่เวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณของเวกเตอร์ด้วยตัวเลขจะสัมพันธ์กับเวกเตอร์นั้น

การฉายภาพเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์:

.

ตัวอย่างที่ 4. ให้คะแนน , , , .

ค้นหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์

วิธีการแก้. เราหาได้จากสูตรผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน เพราะว่า

, ,

ตัวอย่างที่ 5ให้คะแนน , , , .

ค้นหาการฉายภาพ

วิธีการแก้. เพราะว่า

, ,

จากสูตรการฉายภาพเราได้

.

ตัวอย่างที่ 6ให้คะแนน , , , .

หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

วิธีการแก้. สังเกตว่าเวกเตอร์

, ,

ไม่เป็นแนวร่วม เนื่องจากพิกัดไม่เป็นสัดส่วน:

.

เวกเตอร์เหล่านี้ไม่ได้ตั้งฉากเช่นกัน เนื่องจากดอทโปรดัคของพวกมันคือ

มาหากัน

มุม ค้นหาจากสูตร:

.

ตัวอย่าง 7กำหนดว่าเวกเตอร์ใดและ คอลลิเนียร์

วิธีการแก้. ในกรณีของ collinearity พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และต้องเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

.

จากนี้และ.

ตัวอย่างที่ 8. หาค่าของเวกเตอร์ และ ตั้งฉาก

วิธีการแก้. เวกเตอร์ และตั้งฉากถ้าดอทโปรดัคเป็นศูนย์ จากเงื่อนไขนี้เราได้รับ: . นั่นคือ, .

ตัวอย่างที่ 9. หา , ถ้า , , .

วิธีการแก้. เนื่องจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามี:

ตัวอย่าง 10. หามุมระหว่างเวกเตอร์กับ , ที่ไหน และ - เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่างเวกเตอร์และเท่ากับ 120o

วิธีการแก้. เรามี: , ,

ในที่สุดเราก็มี: .

5 ข. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์.

คำจำกัดความ 21.ศิลปะเวกเตอร์ vector to vector เรียกว่า vector หรือ กำหนดโดยเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้:

1) โมดูลของเวกเตอร์คือ โดยที่มุมระหว่างเวกเตอร์ และ นั่นคือ .

ตามมาด้วยว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์กากบาทมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์และด้านข้าง

2) เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ ( ; ) เช่น ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ .

3) เวกเตอร์มีทิศทางในลักษณะที่ว่าหากมองจากจุดสิ้นสุด การเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา (เวกเตอร์ , , ก่อตัวเป็นสามทางขวา)

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์?

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อของเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเฉพาะเมื่อจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์

ศัพท์พื้นฐาน

ก่อนที่จะพิจารณามุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง นั่นคือ เซ็กเมนต์ที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมคือมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจำเป็นต้องย้ายเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งไปรอบจุดร่วม ไปยังตำแหน่งที่ทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและกำหนดมุมของเวกเตอร์นั้นอย่างไร คุณสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่ายและผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้จะเป็นค่าของโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลคูณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลคูณของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถือเป็นผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวคูณคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสคำนวณจากรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้เองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

หลังจากที่คุณทราบวิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็นเรื่องง่ายและตรงไปตรงมา ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาง่ายๆ ของการหาขนาดของมุม

ก่อนอื่นจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา โดยใช้คำอธิบายข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราจะคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

ตัวเลขนี้ไม่ใช่ค่าโคไซน์ทั่วไปหนึ่งในห้า ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่ามุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติของ Bradis แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ สูตรสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบเพิ่มเติม:

คำตอบสุดท้ายสามารถทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้เพื่อรักษาความถูกต้อง หรือจะคำนวณค่าของมุมเป็นองศาก็ได้ ตามตาราง Bradis ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศาและ 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในพื้นที่สามมิติ เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมใดหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อทำให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่เป็นมุมที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน และมันจะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้จะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์ อาร์คโคไซน์ของผลหารและจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต ปัญหามักเกิดขึ้นกับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขา อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาคำตอบนั้นดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์นั้นขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการกลายเป็น 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้ค่ามุมเป็น 0 องศาจากผลเฉลยแล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ในกรณีที่ได้ 180 องศา เวกเตอร์จะอยู่ในลักษณะของทิศตรงข้าม

เวกเตอร์เฉพาะ

โดยการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ จะพบประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่ง นอกเหนือไปจากประเภทที่กำกับร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายข้างต้น

• เวกเตอร์หลายตัวขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
• เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
• เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางเรียกว่า collinear
• หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และหากเป็นหนึ่ง จะถูกเรียกว่าหนึ่ง

จะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ช่วยฉันด้วย! รู้สูตรแต่คิดไม่ออก
เวกเตอร์ a (8; 10; 4) เวกเตอร์ b (5; -20; -10)

Alexander Titov

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมันจะพบตามอัลกอริธึมมาตรฐาน ก่อนอื่นคุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่นี่แล้วพิจารณา:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200
ต่อไป เรากำหนดความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
|a| = รากของ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = รากของ (8^2 + 10^2 + 4^2) = รากของ (64 + 100 + 16) = รากของ 180 = 6 รากของ 5
|b| = สแควร์รูทของ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = สแควร์รูทของ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = สแควร์รูทของ (25 + 400 + 100 ) = สแควร์รูทจาก 525 = 5 รูทจาก 21
เราคูณความยาวเหล่านี้ เราได้ 30 รากจาก 105
และสุดท้าย เราหารผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้ -200 / (30 รากจาก 105) หรือ
- (4 รากของ 105) / 63. นี่คือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และมุมเองก็เท่ากับโคไซน์อาร์คของเลขนี้
f \u003d arccos (-4 รากจาก 105) / 63.
ถ้านับถูก.

วิธีการคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จากพิกัดของเวกเตอร์

มิคาอิล Tkachev

เราคูณเวกเตอร์เหล่านี้ ดอทโปรดัคของพวกมันเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
เราไม่ทราบมุม แต่ทราบพิกัด
ลองเขียนทางคณิตศาสตร์แบบนี้
ให้ เวกเตอร์ที่กำหนด a(x1;y1) และ b(x2;y2)
แล้ว

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

เราเถียง
ผลคูณ a*b-scalar ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ เท่ากับ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ผลคูณของความยาวเวกเตอร์เท่ากับ √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ดังนั้นโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์คือ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

เมื่อทราบโคไซน์ของมุมแล้ว เราก็สามารถคำนวณค่าไซน์ของมันได้ มาพูดคุยกันถึงวิธีการทำ:

ถ้าโคไซน์ของมุมเป็นบวก มุมนี้จะอยู่ใน 1 หรือ 4 ไตรมาส ดังนั้นไซน์ของมุมจะเป็นบวกหรือลบ แต่เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา ไซน์ของมันคือบวก เราโต้แย้งในทำนองเดียวกันถ้าโคไซน์เป็นลบ

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

แค่นั้นแหละ)))) ขอให้โชคดีในการคิดออก)))

Dmitry Levishchev

ความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะไซน์โดยตรงนั้นไม่เป็นความจริง
นอกเหนือจากสูตร:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
นอกจากนี้ยังมีสิ่งนี้:
||=|a|*|b|*sin A
นั่นคือ แทนที่จะเป็นผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์

เรายังคงจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นเราได้พิจารณาแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดของเวกเตอร์ หากคุณมาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเสิร์ชเอ็นจิ้น ฉันขอแนะนำให้อ่านบทความแนะนำด้านบนนี้มาก เพราะเพื่อที่จะซึมซับเนื้อหา คุณจะต้องได้รับคำแนะนำในข้อกำหนดและสัญกรณ์ที่ฉันใช้ มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ และสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นความต่อเนื่องทางตรรกะของหัวข้อ และในนั้นฉันจะวิเคราะห์รายละเอียดงานทั่วไปที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นงานที่สำคัญมาก. พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง สิ่งเหล่านี้มาพร้อมกับโบนัสที่มีประโยชน์ - แบบฝึกหัดนี้จะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมและ "ลงมือทำ" ในการแก้ปัญหาทั่วไปของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข…. มันคงไร้เดียงสาที่จะคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอย่างอื่น นอกจากการดำเนินการที่พิจารณาแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งที่มีเวกเตอร์ กล่าวคือ: ผลคูณดอทของเวกเตอร์, ผลคูณของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นที่คุ้นเคยสำหรับเราตั้งแต่โรงเรียน อีกสองผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูง หัวข้อนั้นง่าย อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาต่าง ๆ เป็นแบบตายตัวและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลจำนวนพอสมควร ดังนั้นจึงไม่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ปัญหาทุกอย่างในครั้งเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นเชื่อฉันผู้เขียนไม่ต้องการรู้สึกเหมือน Chikatilo จากคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์เช่นกัน =) นักเรียนที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถใช้วัสดุในการคัดเลือกในแง่หนึ่งเพื่อ "รับ" ความรู้ที่ขาดหายไปสำหรับคุณฉันจะเป็น Count Dracula ที่ไม่เป็นอันตราย =)

สุดท้ายนี้ มาเปิดประตูกันสักหน่อยแล้วมาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาเจอกัน….

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ งานทั่วไป

แนวคิดของผลิตภัณฑ์ดอท

ครั้งแรกเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่เผื่อไว้ มากกว่านี้หน่อย พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์อิสระและ . หากเราเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดที่กำหนด เราก็จะได้ภาพที่หลายคนนำเสนอทางจิตใจแล้ว:

ฉันขอสารภาพว่าที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์ โปรดอ้างอิงจากตำราเรียน แต่โดยหลักการแล้ว เราไม่จำเป็นต้องใช้ และยิ่งไปกว่านั้น บางครั้งฉันจะเพิกเฉยเวกเตอร์ศูนย์เนื่องจากค่านัยสำคัญในทางปฏิบัติต่ำของพวกมัน ฉันจองไว้เฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูง ซึ่งสามารถตำหนิฉันสำหรับความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความต่อไปนี้บางส่วน

สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (จาก 0 ถึงเรเดียน) รวม ในเชิงวิเคราะห์ ข้อเท็จจริงนี้เขียนเป็นอสมการคู่: หรือ (เป็นเรเดียน).

ในวรรณคดี ไอคอนมุมมักถูกละเว้นและเขียนง่ายๆ

คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือ NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

ตอนนี้เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด

เราเน้นที่ข้อมูลที่จำเป็น:

การกำหนด:ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แสดงด้วยหรือง่ายๆ

ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: คูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์เพื่อให้ได้ตัวเลข แท้จริงแล้ว ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมจะเป็นตัวเลข แล้วผลคูณของพวกมัน จะเป็นตัวเลขด้วย

เพียงไม่กี่ตัวอย่างการอุ่นเครื่อง:

ตัวอย่าง 1

วิธีการแก้:เราใช้สูตร . ในกรณีนี้:

ตอบ:

ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ฉันแนะนำให้พิมพ์ - จะต้องใช้ในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องหลายครั้ง

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณของสเกลาร์นั้นไม่มีมิติ นั่นคือ ผลลัพธ์ ในกรณีนี้ เป็นเพียงตัวเลข และก็เท่านั้น จากมุมมองของปัญหาฟิสิกส์ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มักมีความหมายทางกายภาพที่แน่นอน นั่นคือหลังจากผลลัพธ์จะต้องระบุหน่วยทางกายภาพหนึ่งหน่วยหรืออีกหน่วยหนึ่ง ตัวอย่าง Canonical ของการคำนวณงานของแรงสามารถพบได้ในตำราเรียน (สูตรคือดอทโปรดัค) งานของแรงวัดเป็นจูล ดังนั้น คำตอบจะถูกเขียนค่อนข้างเฉพาะเจาะจง เช่น

ตัวอย่าง 2

ค้นหาว่า และมุมระหว่างเวกเตอร์คือ

นี่คือตัวอย่างการตัดสินใจ คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

มุมระหว่างเวกเตอร์และค่าดอทผลิตภัณฑ์

ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 มันกลับกลายเป็นลบ ให้เราหาว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: . ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น

บันทึก: เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นของข้อมูลด้านล่าง จะดีกว่าที่จะศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน. ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรบนเซ็กเมนต์

ดังที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใน และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:

1) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: (จาก 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น , และ สินค้าดอทจะเป็นบวก ร่วมกำกับจากนั้นมุมระหว่างทั้งสองจะถือเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะเป็นบวกด้วย เนื่องจาก สูตรจึงถูกทำให้ง่ายขึ้น: .

2) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ โง่: (จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น และในทำนองเดียวกัน dot product เป็นค่าลบ: . กรณีพิเศษ: ถ้าเวกเตอร์ มุ่งตรงข้าม, จากนั้นจึงพิจารณามุมระหว่างกัน ปรับใช้: (180 องศา). ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็เป็นค่าลบเช่นกัน เนื่องจาก

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:

1) ถ้า , แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นแบบเฉียบพลัน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม

2) ถ้า ดังนั้นมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมป้าน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์ถูกกำกับอย่างตรงกันข้าม

แต่กรณีที่สามมีความสนใจเป็นพิเศษ:

3) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) จากนั้นและ ผลิตภัณฑ์ดอทเป็นศูนย์: . การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน if , then . คำสั่งกระชับมีสูตรดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นเป็นมุมฉาก. สัญกรณ์คณิตศาสตร์สั้น:

! บันทึก : ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลเชิงตรรกะสองด้านมักจะอ่านว่า "ถ้าเท่านั้น", "ถ้าและเฉพาะถ้า" อย่างที่คุณเห็น ลูกศรถูกชี้ไปทั้งสองทิศทาง - "จากสิ่งนี้ตามนี้ และในทางกลับกัน - จากสิ่งนี้ตามนี้" ยังไงซะ ความแตกต่างจากไอคอนติดตามทางเดียว ? การอ้างสิทธิ์ไอคอน ว่ามีเพียงว่า "จากสิ่งนี้ตามนี้" และไม่ใช่ความจริงที่ว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามเป็นจริง ตัวอย่างเช่น: แต่ไม่ใช่ว่าสัตว์ทุกตัวจะเป็นเสือดำ ในกรณีนี้จึงไม่สามารถใช้ไอคอนได้ ในเวลาเดียวกัน แทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ขณะแก้ปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉาก: - บันทึกดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่า .

กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากเนื่องจากจะช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์เป็นมุมฉากหรือไม่ เราจะแก้ปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท

กลับไปที่สถานการณ์เมื่อเวกเตอร์สองตัว ร่วมกำกับ. ในกรณีนี้ มุมระหว่างพวกมันคือศูนย์ และสูตรผลคูณสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์มีทิศทางร่วมกับตัวมันเอง ดังนั้นเราจึงใช้สูตรแบบง่ายข้างต้น:

เบอร์นี้เรียกว่า สเกลาร์สแควร์ vector และแสดงเป็น .

ทางนี้, สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:

จากความเท่าเทียมกันนี้ คุณจะได้สูตรการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

แม้ว่าจะดูคลุมเครือ แต่งานของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหา เราต้อง คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท.

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและจำนวนใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) - พลัดถิ่นหรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์

2) - จำหน่ายหรือ แจกจ่ายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ พูดง่ายๆ ก็คือ คุณสามารถเปิดวงเล็บได้

3) - การรวมกันหรือ สมาคมกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ค่าคงที่สามารถนำออกจากผลคูณสเกลาร์ได้

บ่อยครั้งที่คุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ด้วย!) นักเรียนจะมองว่าเป็นขยะที่ไม่จำเป็น ซึ่งจะต้องจดจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังการสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งที่สำคัญที่นี่ทุกคนรู้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 แล้วว่าผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย: ฉันต้องเตือนคุณในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นด้วยวิธีการดังกล่าว มันง่ายที่จะทำสิ่งต่าง ๆ ให้ยุ่งเหยิง ตัวอย่างเช่น สมบัติการสับเปลี่ยนใช้ไม่ได้กับ เมทริกซ์พีชคณิต. ไม่จริงสำหรับ ผลคูณของเวกเตอร์. ดังนั้น อย่างน้อยก็ดีกว่าที่จะเจาะลึกคุณสมบัติใด ๆ ที่คุณจะพบในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงเพื่อทำความเข้าใจสิ่งที่สามารถทำได้และไม่สามารถทำได้

ตัวอย่างที่ 3

.

วิธีการแก้:อันดับแรก เรามาอธิบายสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์กันก่อน มันเกี่ยวกับอะไร? ผลรวมของเวกเตอร์และเป็นเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย . การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำด้วยเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่น. ผักชีฝรั่งเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์ และ

ดังนั้นตามเงื่อนไข จะต้องค้นหาผลคูณของสเกลาร์ ตามทฤษฎีคุณต้องใช้สูตรการทำงาน แต่ปัญหาคือเราไม่รู้ความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน แต่ในเงื่อนไขนั้น พารามิเตอร์ที่คล้ายกันจะได้รับสำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะไปทางอื่น:

(1) เราแทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎของการคูณของพหุนาม, twister ลิ้นหยาบคายสามารถพบได้ในบทความ ตัวเลขที่ซับซ้อนหรือ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ. ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ช่วยให้เราเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ

(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราเขียนกำลังสองสเกลาร์ของเวกเตอร์อย่างกระชับ: . ในระยะที่สอง เราใช้การสับเปลี่ยนได้ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

(4) ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน: .

(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรสเกลาร์สแควร์ที่กล่าวถึงเมื่อไม่นานนี้ ในระยะสุดท้าย ตามลำดับ สิ่งเดียวกันใช้: . เทอมที่สองขยายตามสูตรมาตรฐาน .

(6) แทนที่เงื่อนไขเหล่านี้ และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง

ตอบ:

ค่าลบของผลิตภัณฑ์ดอทระบุความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นมีลักษณะป้าน

งานเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ , ถ้าทราบว่า .

งานทั่วไปอีกงานหนึ่ง สำหรับสูตรความยาวเวกเตอร์ใหม่เท่านั้น การกำหนดที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:

ตัวอย่างที่ 5

หาความยาวของเวกเตอร์ if .

วิธีการแก้จะเป็นดังนี้:

(1) เราจัดหานิพจน์เวกเตอร์

(2) เราใช้สูตรความยาว: ในขณะที่เรามีนิพจน์จำนวนเต็มเป็นเวกเตอร์ "ve"

(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับกำลังสองของผลรวม ให้ความสนใจว่ามันทำงานอย่างไรที่นี่: - อันที่จริง นี่คือกำลังสองของความแตกต่าง และที่จริง มันก็เป็นอย่างนั้น ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ในสถานที่: - มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกันจนถึงการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่

(4) สิ่งต่อไปนี้คุ้นเคยจากปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้แล้ว

ตอบ:

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาว อย่าลืมระบุขนาด - "หน่วย"

ตัวอย่างที่ 6

หาความยาวของเวกเตอร์ if .

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ มาดูสูตรของเรากันอีกครั้ง . ตามกฎของสัดส่วน เรารีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวส่วนทางด้านซ้าย:

มาสลับชิ้นส่วนกัน:

ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? ถ้าทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมันแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้สามารถคำนวณได้ และด้วยเหตุนี้ ตัวของมุมเอง

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข. ความยาวเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่ ตัวเลข เศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: เมื่อใช้ฟังก์ชันผกผัน จะหามุมได้ง่าย: .

ตัวอย่าง 7

หามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ถ้ารู้ว่า

วิธีการแก้:เราใช้สูตร:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณ มีการใช้เทคนิค - การกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อขจัดความไร้เหตุผล ฉันคูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วย .

ดังนั้นถ้า , แล้ว:

สามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้โดย ตารางตรีโกณมิติ. แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ค่อยเกิดขึ้น ในปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ หมีเงอะงะบางตัวปรากฏขึ้นบ่อยกว่ามาก และต้องหาค่าของมุมโดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข อันที่จริง เราจะเห็นภาพนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ตอบ:

อย่าลืมระบุมิติข้อมูล - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว ในการจงใจ "ลบคำถามทั้งหมด" ฉันต้องการระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องนำเสนอคำตอบเป็นเรเดียนหรือหน่วยองศาเท่านั้น)

ตอนนี้คุณจะสามารถรับมือกับงานที่ยากขึ้นได้ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7*

กำหนดความยาวของเวกเตอร์ และมุมระหว่างพวกมัน หามุมระหว่างเวกเตอร์ , .

งานไม่ยากเท่าหลายทาง
มาวิเคราะห์อัลกอริทึมของโซลูชันกัน:

1) ตามเงื่อนไข ต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ กับ จึงต้องหาสูตร .

2) เราพบผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)

3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างที่ 5, 6)

4) จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 7 - เรารู้ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย:

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ส่วนที่สองของบทเรียนนี้เน้นไปที่ผลคูณดอทเดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในส่วนแรก

ผลคูณดอทของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดตามลำดับปกติ

ตอบ:

จำเป็นต้องพูดการจัดการพิกัดนั้นน่าพอใจกว่ามาก

ตัวอย่างที่ 14

หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และ if

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่นับ แต่นำสามออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทันทีและคูณด้วยสุดท้าย คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ที่ส่วนท้ายของย่อหน้า ตัวอย่างที่ยั่วยุของการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 15

หาความยาวของเวกเตอร์ , ถ้า

วิธีการแก้:วิธีการของส่วนก่อนหน้านี้แนะนำตัวเองอีกครั้ง: แต่มีวิธีอื่น:

มาหาเวกเตอร์กัน:

และความยาวของมันตามสูตรเล็กน้อย:

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เกี่ยวข้องเลย!

การคำนวณความยาวของเวกเตอร์เป็นอย่างไร
หยุด. ทำไมไม่ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติความยาวที่ชัดเจนของเวกเตอร์ล่ะ? สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางตรงกันข้ามแต่ไม่สำคัญเพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอน ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
- เครื่องหมายของโมดูล "กิน" ค่าลบที่เป็นไปได้ของตัวเลข

ทางนี้:

ตอบ:

สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ตอนนี้เรามีข้อมูลครบถ้วนแล้ว ดังนั้นสูตรที่ได้มาก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ แสดงในรูปของพิกัดเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ , กำหนดแบบ orthonormal , แสดงโดยสูตร:
.

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์อวกาศ, กำหนดแบบออร์โธปกติ , แสดงโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 16

ให้จุดยอดสามจุดของสามเหลี่ยม หา (มุมยอด ).

วิธีการแก้:ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ยังคง:

มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว เราจำการกำหนดมุมของโรงเรียนได้ทันที: - ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับ กลางจดหมาย - นี่คือจุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับ สามารถเขียนแบบง่ายๆ ได้เช่นกัน

จากรูปวาด จะเห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมตรงกับมุมระหว่างเวกเตอร์ และ กล่าวอีกนัยหนึ่ง: .

เป็นที่พึงปรารถนาที่จะเรียนรู้วิธีการทำการวิเคราะห์ทางจิตใจ

มาหาเวกเตอร์กัน:

ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์:

และความยาวของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุม:

เป็นลำดับของงานที่ฉันแนะนำให้กับหุ่น ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในหนึ่งบรรทัด":

นี่คือตัวอย่างค่าโคไซน์ที่ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ไม่ใช่ค่าสุดท้าย ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นมากในการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน

มาหามุมกัน:

หากคุณดูภาพวาดผลลัพธ์จะค่อนข้างน่าเชื่อถือ ในการตรวจสอบมุมยังสามารถวัดด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้การเคลือบจอภาพเสียหาย =)

ตอบ:

ในคำตอบอย่าลืมว่า ถามเรื่องมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และค่าโดยประมาณของมุม: พบกับเครื่องคิดเลข

ผู้ที่สนุกกับกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุม และทำให้แน่ใจว่าความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติเป็นจริง

ตัวอย่าง 17

สามเหลี่ยมถูกกำหนดในอวกาศโดยพิกัดของจุดยอดของมัน หามุมระหว่างด้านกับ

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ส่วนสุดท้ายขนาดเล็กจะทุ่มเทให้กับการคาดการณ์ซึ่งผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็ "เกี่ยวข้อง" ด้วย:

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์

พิจารณาเวกเตอร์และ:

เราฉายเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ สำหรับสิ่งนี้เราละเว้นจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากต่อเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองนึกภาพว่ารังสีของแสงตกลงมาในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ การฉายภาพของเวกเตอร์บนเวกเตอร์คือ LENGTH ของเซ็กเมนต์ นั่นคือ PROJECTION IS A NUMBER

NUMBER นี้แสดงดังนี้: "เวกเตอร์ขนาดใหญ่" หมายถึงเวกเตอร์ ซึ่งโครงการ "เวกเตอร์ตัวห้อยขนาดเล็ก" หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งเป็นที่คาดการณ์

ข้อความนั้นอ่านได้ดังนี้: "การฉายภาพของเวกเตอร์ "a" ไปยังเวกเตอร์ "เป็น"

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" และเวกเตอร์ "a" จะถูกฉายออกมาแล้ว ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"ง่ายๆ - บนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "be" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกจัดวางไว้ในอาณาจักรที่ 30 - จะยังคงฉายภาพได้อย่างง่ายดายบนเส้นที่มีเวกเตอร์ "be"

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) แล้ว

ถ้าเวกเตอร์ มุมฉากจากนั้น (การฉายภาพคือจุดที่ถือว่ามิติข้อมูลเป็นศูนย์)

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ โง่(ในรูป จัดเรียงลูกศรของเวกเตอร์ทางจิตใจ) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)

กันเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง:

แน่นอน เมื่อเคลื่อนที่เวกเตอร์ การฉายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อของเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเฉพาะเมื่อจำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์

ศัพท์พื้นฐาน

ก่อนที่จะพิจารณามุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง นั่นคือ เซ็กเมนต์ที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมคือมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจำเป็นต้องย้ายเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งไปรอบจุดร่วม ไปยังตำแหน่งที่ทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและกำหนดมุมของเวกเตอร์นั้นอย่างไร คุณสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่ายและผลลัพธ์ของการประยุกต์ใช้จะเป็นค่าของโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลคูณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลคูณของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ถือเป็นผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวคูณคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสคำนวณจากรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้เองโดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

หลังจากที่คุณทราบวิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็นเรื่องง่ายและตรงไปตรงมา ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาง่ายๆ ของการหาขนาดของมุม

ก่อนอื่นจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา โดยใช้คำอธิบายข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราจะคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

ตัวเลขนี้ไม่ใช่ค่าโคไซน์ทั่วไปหนึ่งในห้า ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่ามุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติของ Bradis แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ สูตรสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบเพิ่มเติม:

คำตอบสุดท้ายสามารถทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้เพื่อรักษาความถูกต้อง หรือจะคำนวณค่าของมุมเป็นองศาก็ได้ ตามตาราง Bradis ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศาและ 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในพื้นที่สามมิติ เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมใดหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อทำให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่เป็นมุมที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน และมันจะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้จะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลของเวกเตอร์ อาร์คโคไซน์ของผลหารและจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต ปัญหามักเกิดขึ้นกับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขา อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาคำตอบนั้นดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์นั้นขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการกลายเป็น 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้ค่ามุมเป็น 0 องศาจากผลเฉลยแล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นทิศทางร่วม กล่าวคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน ในกรณีที่ได้ 180 องศา เวกเตอร์จะอยู่ในลักษณะของทิศตรงข้าม

เวกเตอร์เฉพาะ

โดยการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ จะพบประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่ง นอกเหนือไปจากประเภทที่กำกับร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายข้างต้น

• เวกเตอร์หลายตัวขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
• เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
• เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางเรียกว่า collinear
• หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และหากเป็นหนึ่ง จะถูกเรียกว่าหนึ่ง