ค่ามัธยฐานในสูตรสามเหลี่ยมคืออะไร ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานและความสูงของสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสิ่งที่น่าสนใจที่สุดและ หัวข้อที่น่าสนใจเรขาคณิต. คำว่า "มัธยฐาน" หมายถึงเส้นหรือส่วนที่เชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมกับ ฝั่งตรงข้าม. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่ามัธยฐานคือเส้นที่ลากจากตรงกลางด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมไปยังจุดยอดตรงข้ามของสามเหลี่ยมเดียวกัน เนื่องจากสามเหลี่ยมมีจุดยอดเพียงสามจุดและด้านสามด้านเท่านั้น จึงจะมีค่ามัธยฐานได้เพียงสามจุดเท่านั้น

คุณสมบัติค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและคั่นด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2:1 นับจากด้านบน ดังนั้น หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งสามในรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของพวกมันจะแบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนที่ใกล้กับด้านบนสุดจะเป็น 2/3 ของเส้นทั้งหมด และส่วนที่ใกล้กับด้านข้างของสามเหลี่ยมมากที่สุดจะเป็น 1/3 ของเส้น ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง
ค่ามัธยฐานสามตัวที่วาดในสามเหลี่ยมเดียวแบ่งสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมเล็ก ๆ 6 รูป ซึ่งพื้นที่จะเท่ากัน
ยิ่งด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านที่เป็นมัธยฐานใหญ่มากเท่าใด ค่ามัธยฐานนี้ก็จะยิ่งเล็กลง ตรงกันข้ามมากที่สุด ด้านสั้นมีค่ามัธยฐานที่ยาวที่สุด
ค่ามัธยฐานใน สามเหลี่ยมมุมฉากมีลักษณะของตัวเองหลายประการ ตัวอย่างเช่น หากอธิบายวงกลมรอบๆ สามเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งจะผ่านจุดยอดทั้งหมด ค่ามัธยฐาน มุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากจะกลายเป็นรัศมีของวงกลมที่ถูกล้อมรอบ (นั่นคือความยาวของมันจะเป็นระยะทางจากจุดใดก็ได้บนวงกลมไปยังจุดศูนย์กลาง)

สมการความยาวมัธยฐานสามเหลี่ยม

สูตรมัธยฐานมาจากทฤษฎีบทของสจ๊วตและระบุว่าค่ามัธยฐานคือ รากที่สองจากอัตราส่วนของกำลังสองของผลรวมของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่สร้างจุดยอด ลบสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านที่ค่ามัธยฐานถูกดึงออกมาเป็นสี่ อีกนัยหนึ่ง ในการหาความยาวของค่ามัธยฐาน คุณต้องยกกำลังความยาวแต่ละด้านของสามเหลี่ยม แล้วเขียนเป็นเศษส่วน ตัวเศษซึ่งจะเป็นผลรวมของกำลังสองของด้านที่ก่อตัว มุมที่ค่ามัธยฐานมา ลบกำลังสองของด้านที่สาม ตัวส่วนตรงนี้คือเลข 4 จากนั้น จากเศษส่วนนี้ คุณต้องแยกรากที่สองออก แล้วเราจะได้ความยาวของค่ามัธยฐาน

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ดังที่เราเขียนไว้ข้างต้น ค่ามัธยฐานทั้งหมดของสามเหลี่ยมหนึ่งตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม มันแบ่งค่ามัธยฐานแต่ละส่วนออกเป็นสองส่วน ซึ่งความยาวสัมพันธ์กันเป็น 2:1 ศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมยังเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบมันด้วย และคนอื่น ๆ ตัวเลขทางเรขาคณิตมีศูนย์เป็นของตัวเอง

พิกัดของจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ในการหาพิกัดจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหนึ่งรูป เราใช้คุณสมบัติของเซนทรอยด์ ซึ่งจะแบ่งค่ามัธยฐานแต่ละส่วนออกเป็น 2:1 ส่วน เราแสดงจุดยอดเป็น A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

และคำนวณพิกัดจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3

พื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานทั้งหมดของสามเหลี่ยมหนึ่งรูปหารสามเหลี่ยมนี้ด้วย 6 สามเหลี่ยมเท่ากับและจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมหารค่ามัธยฐานแต่ละอันด้วยอัตราส่วน 2:1 ดังนั้นหากทราบค่าพารามิเตอร์ของแต่ละค่ามัธยฐาน จะสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมผ่านพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมขนาดเล็กอันใดอันหนึ่งได้ แล้วเพิ่มตัวเลขนี้อีก 6 เท่า

ค่ามัธยฐานคือส่วนที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังกึ่งกลางของด้านตรงข้าม กล่าวคือ หารด้วยจุดตัดกันครึ่งหนึ่ง จุดที่ค่ามัธยฐานตัดกับด้านตรงข้ามที่มันออกมาเรียกว่าฐาน ผ่านจุดหนึ่งที่เรียกว่าจุดตัด ผ่านแต่ละค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับความยาวสามารถแสดงได้หลายวิธี

สูตรแสดงความยาวของค่ามัธยฐาน

บ่อยครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต นักเรียนต้องจัดการกับส่วนต่างๆ เช่น ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม สูตรความยาวแสดงเป็นด้าน:

โดยที่ a, b และ c เป็นด้าน นอกจากนี้ c คือด้านที่ค่ามัธยฐานตก นี่คือวิธีที่มากที่สุด สูตรง่ายๆ. ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยมบางครั้งจำเป็นสำหรับการคำนวณเสริม มีสูตรอื่นด้วย

หากทราบทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุม α อยู่ระหว่างการคำนวณระหว่างการคำนวณ ความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่ลดลงเหลือด้านที่สามจะแสดงดังนี้

คุณสมบัติพื้นฐาน

ค่ามัธยฐานทั้งหมดมีอย่างใดอย่างหนึ่ง จุดร่วมทางแยกของ O และจะถูกแบ่งเป็นอัตราส่วน 2 ต่อ 1 หากเรานับจากด้านบน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม
ค่ามัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นอีกสองส่วน โดยมีพื้นที่เท่ากัน สามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าสามเหลี่ยมเท่ากัน
หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งหมด รูปสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็น 6 ตัวเลขเท่าๆ กัน ซึ่งจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย
หากในรูปสามเหลี่ยมทั้งสามด้านเท่ากัน ค่ามัธยฐานแต่ละด้านจะเป็นความสูงและครึ่งวงกลมในนั้นด้วย นั่นคือ ตั้งฉากกับด้านที่วาด และแบ่งครึ่งมุมที่มันออก
ที่ สามเหลี่ยมหน้าจั่วค่ามัธยฐานที่ตกลงมาจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับด้านที่ไม่เท่ากันจะเป็นความสูงและเส้นแบ่งครึ่งด้วย ค่ามัธยฐานที่ลดลงจากจุดยอดอื่นมีค่าเท่ากัน ก็จำเป็นและ สภาพที่เพียงพอหน้าจั่ว.
ถ้าสามเหลี่ยมเป็นฐาน ปิรามิดที่ถูกต้องจากนั้นความสูงที่ลดลงไปที่ฐานที่กำหนดจะถูกฉายไปยังจุดตัดของค่ามัธยฐานทั้งหมด

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากไปทางด้านที่ยาวที่สุดจะมีความยาวครึ่งหนึ่ง
ให้ O เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม สูตรด้านล่างจะเป็นจริงสำหรับจุด M ใดๆ

คุณสมบัติอื่นคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับกำลังสองของความยาวในแง่ของกำลังสองของด้านข้างแสดงไว้ด้านล่าง

คุณสมบัติของด้านที่ดึงค่ามัธยฐาน

หากคุณเชื่อมต่อจุดตัดของค่ามัธยฐานสองจุดใดๆ กับด้านที่มันถูกลดระดับลง ส่วนที่เป็นผลจะเป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมและอยู่ครึ่งหนึ่งจากด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ไม่มีจุดร่วม
ฐานของความสูงและค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยม ตลอดจนจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดตัดของความสูง อยู่บนวงกลมเดียวกัน

โดยสรุป มีเหตุผลที่จะกล่าวว่าส่วนที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมอย่างแม่นยำ สามารถใช้สูตรหาความยาวของด้านอื่นๆ ได้

คำแนะนำ

จะถอนตัว สูตรสำหรับ ค่ามัธยฐานโดยพลการ จำเป็นต้องหันไปหาผลที่ตามมาของทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้จากการกรอก สามเหลี่ยม. สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้ ซึ่งจะสะดวกมากในการแก้ปัญหาหากทราบความยาวของด้านทั้งหมดหรือหาได้ง่ายจากข้อมูลเริ่มต้นอื่นๆ ของปัญหา

อันที่จริง ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดูเหมือนว่านี้: สำหรับสองมิติ สามเหลี่ยมด้วยความยาวด้าน a, b และ c และมุม α ตรงข้าม a ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือ: a² = b² + c² - 2 b c cos α

ผลสรุปทั่วไปจากทฤษฎีบทโคไซน์กำหนดหนึ่งใน คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดรูปสี่เหลี่ยม: ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของทุกด้าน: d1² + d2² = a² + b² + c² + d²

เติมสามเหลี่ยมให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยเพิ่มเส้นขนานกับ a และ c ด้วยด้าน a และ c และแนวทแยง b วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างมีดังนี้ บนเส้นตรงที่มีค่ามัธยฐาน MD ส่วนที่มีความยาวเท่ากัน เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดยอดของ A และ C ที่เหลือ

ตามคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมจะถูกหารด้วยจุดตัดกันเป็นส่วนเท่าๆ กัน ใช้ผลรวมของทฤษฎีบทโคไซน์ ตามที่ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของสองเท่าของกำลังสองของด้านข้าง: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC²

เนื่องจาก BK = 2 BM และ BM เป็นค่ามัธยฐานของ m ดังนั้น: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a² ดังนั้น: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²)

คุณนำออกมา สูตรหนึ่งใน สามเหลี่ยมสำหรับด้าน b: mb = m. ในทำนองเดียวกันมี ค่ามัธยฐานอีกสองด้านของมัน: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²)

ที่มา:

สูตรมัธยฐาน
สูตรสำหรับค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม [วิดีโอ]

ค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมเรียกว่า ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดใดๆ สามเหลี่ยมกับตรงกลางของฝั่งตรงข้าม ค่ามัธยฐานสามจุดตัดกันที่จุดหนึ่งเสมอภายใน สามเหลี่ยม. จุดนี้แบ่งแต่ละ ค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 2:1

คำแนะนำ

ปัญหาการหาค่ามัธยฐานสามารถแก้ไขได้โดยการสร้างเพิ่มเติม สามเหลี่ยมถึงสี่เหลี่ยมด้านขนานและผ่านทฤษฎีบทบนเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลองขยายด้าน สามเหลี่ยมและ ค่ามัธยฐานให้สร้างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมจะเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้ทั้งสองข้าง สามเหลี่ยม- ด้านของมัน (a, b) และด้านที่สาม สามเหลี่ยมซึ่งค่ามัธยฐานคือเส้นทแยงมุมที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้ ตามทฤษฎีบท ผลรวมของกำลังสองของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านของมัน
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
ที่ไหน
d1, d2 - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้
จากที่นี่:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

ค่ามัธยฐานคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมกับจุดยอด สามเหลี่ยมและตรงกลางของฝั่งตรงข้าม รู้ความยาวของทั้งสามด้าน สามเหลี่ยมคุณสามารถหาค่ามัธยฐานได้ โดยเฉพาะกรณีของหน้าจั่วและด้านเท่ากันหมด สามเหลี่ยมอย่างชัดแจ้งก็พอทราบตามลำดับสอง (ไม่เท่ากัน) และด้านเดียว สามเหลี่ยม.

คุณจะต้องการ

ไม้บรรทัด

คำแนะนำ

พิจารณา กรณีทั่วไป สามเหลี่ยม ABC กับเพื่อนไม่เท่ากัน ปาร์ตี้. ความยาวของค่ามัธยฐาน AE ของสิ่งนี้ สามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2 ค่ามัธยฐานที่เหลือเหมือนกันทุกประการ สิ่งนี้ได้มาจากทฤษฎีบทสจ๊วตหรือผ่านการสำเร็จ สามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้า ABC เป็นหน้าจั่ว และ AB = AC ค่ามัธยฐาน AE จะเป็นทั้งสองสิ่งนี้ สามเหลี่ยม. ดังนั้น สามเหลี่ยม BEA จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4) จากความยาวรวมของค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมสำหรับค่ามัธยฐาน BO และ СP จะเป็นจริง: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2

ที่มา:

ค่ามัธยฐานและ nonsectors ของรูปสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม เมื่อรู้ความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมแล้ว คุณจะพบได้ ค่ามัธยฐาน. ในกรณีพิเศษของหน้าจั่วและ สามเหลี่ยมด้านเท่าแน่นอน แค่รู้ตามลำดับ สอง (ไม่เท่ากัน) และด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมก็เพียงพอแล้ว ค่ามัธยฐานยังสามารถพบได้จากข้อมูลอื่น

คุณจะต้องการ

ความยาวของด้านของสามเหลี่ยม, มุมระหว่างด้านของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

พิจารณากรณีทั่วไปที่สุดของสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านไม่เท่ากันสามด้าน ความยาว ค่ามัธยฐาน AE ของสามเหลี่ยมนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2 พักผ่อน ค่ามัธยฐานเหมือนกันทุกประการ สิ่งนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของสจ๊วตหรือจากการเติมสามเหลี่ยมให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้า ABC เป็นหน้าจั่ว และ AB = AC แล้ว AE จะเป็นสามเหลี่ยมนี้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้น สามเหลี่ยม BEA จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4) ของความยาวทั้งหมด ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม สำหรับ BO และ CP จะเป็นจริง: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมยังหาได้จากข้อมูลอื่น ตัวอย่างเช่น หากกำหนดความยาวของสองด้าน ค่ามัธยฐานจะถูกดึงเข้าหาด้านใดด้านหนึ่ง เช่น ความยาวของด้าน AB และ BC ตลอดจนมุม x ระหว่างกัน จากนั้นความยาว ค่ามัธยฐานสามารถหาได้จากทฤษฎีบทโคไซน์: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x))

ที่มา:

ค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม
วิธีหาความยาวมัธยฐาน

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมนี้

คุณสมบัติค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

1. ค่ามัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปในพื้นที่เดียวกัน

2. ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละรูปในอัตราส่วน 2:1 นับจากด้านบน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม (เซนทรอยด์)

3. สามเหลี่ยมทั้งหมดหารด้วยค่ามัธยฐานเป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กันหกรูป

ความยาวของมัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง: ( doc โดยสร้างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและใช้ความเท่าเทียมกันในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านและผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุม )

ที1ค่ามัธยฐานทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุด M ซึ่งแบ่งแต่ละส่วนในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอดของสามเหลี่ยม มอบให้: ∆ เอบีซีเอสเอส 1, AA 1, BB 1 - ค่ามัธยฐาน
∆ABC. พิสูจน์: และ

D-in: ให้ M เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐาน CC 1 , AA 1 ของสามเหลี่ยม ABC หมายเหตุ A 2 - ตรงกลางของส่วน AM และ C 2 - ตรงกลางของส่วน CM แล้ว A 2 C 2 - สายกลางสามเหลี่ยม อสม.วิธี, A 2 C 2|| AC

และ A 2 C 2 \u003d 0.5 * AC จาก 1 แต่ 1 คือเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ABC โซ อา 1 จาก 1 || AC และ A 1 จาก 1 \u003d 0.5 * เอซี

รูปสี่เหลี่ยม A 2 C 1 A 1 C 2- สี่เหลี่ยมด้านขนานเนื่องจากด้านตรงข้ามของ A 1 จาก 1 และ A 2 C 2เท่ากันและขนานกัน เพราะเหตุนี้, A 2 M = MA 1 และ C 2 M =นางสาว 1 . ซึ่งหมายความว่าจุด A 2และ เอ็มแบ่งค่ามัธยฐาน AA 2ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน นั่นคือ AM = 2MA 2 ในทำนองเดียวกัน CM = 2MC 1 . ดังนั้น จุด M ของจุดตัดของมัธยฐานสองตัว AA 2และ CC2สามเหลี่ยม ABC หารแต่ละตัวในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอดของสามเหลี่ยม ในทำนองเดียวกัน ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจุดตัดของค่ามัธยฐาน AA 1 และ BB 1 แบ่งแต่ละจุดในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอดของสามเหลี่ยม

บนค่ามัธยฐาน AA 1 จุดดังกล่าวคือจุด M ดังนั้น จุด เอ็มและมีจุดตัดของค่ามัธยฐาน AA 1 และ BB 1

ทางนี้, น

ที2พิสูจน์ว่าส่วนที่เชื่อมเซนทรอยด์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมนั้นแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ให้ไว้: ∆ABC , เป็นค่ามัธยฐาน

พิสูจน์: S AMB =S BMC =ส.ส.ท.การพิสูจน์. ที่,พวกเขามีเหมือนกัน เพราะ ฐานของพวกเขาเท่ากัน และความสูงที่ดึงมาจากด้านบน เอ็ม,พวกเขามีเหมือนกัน แล้ว

ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า S AMB = S AMC .ทางนี้, S AMB = S AMC = S CMBน

Bisector ของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม สูตรการหาเส้นแบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่งมุมรังสีที่เริ่มต้นที่จุดยอดของมุมและแบ่งมุมออกเป็นสองมุมเท่าๆ กัน

เส้นแบ่งครึ่งมุมคือ สถานที่ทางเรขาคณิตจุดภายในมุมที่มีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้างของมุม

คุณสมบัติ

1. ทฤษฎีบทแบ่งครึ่ง: เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามในอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน

2. เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - incenter - ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมนี้

3. หากเส้นแบ่งครึ่งสองเส้นในสามเหลี่ยมเท่ากัน แสดงว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (ทฤษฎีบท Steiner-Lemus)

การคำนวณความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง

l c - ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปทางด้าน c,

a,b,c - ด้านสามเหลี่ยมตัดกับจุดยอด A,B,C ตามลำดับ,

p - ครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม

a l ,b l - ความยาวของส่วนที่แบ่งครึ่ง l c แบ่งด้าน c,

α,β,γ - มุมภายในสามเหลี่ยม ที่ จุดยอด A,B,Cตามลำดับ

ชั่วโมง c - ความสูงของรูปสามเหลี่ยม ลดลงไปทางด้าน c

วิธีพื้นที่

ลักษณะวิธีการจากชื่อจะตามด้วยวัตถุหลัก วิธีนี้คือพื้นที่ สำหรับตัวเลขจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สำหรับรูปสามเหลี่ยม พื้นที่จะแสดงออกมาอย่างง่าย ๆ ผ่านการผสมผสานองค์ประกอบต่างๆ ของรูป (สามเหลี่ยม) ดังนั้นเทคนิคจึงมีประสิทธิภาพมากเมื่อเปรียบเทียบนิพจน์ที่แตกต่างกันสำหรับพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้ สมการจะประกอบด้วยองค์ประกอบที่รู้จักและต้องการของรูป ซึ่งเราจะกำหนดส่วนที่ไม่รู้จัก นี่คือจุดที่คุณลักษณะหลักของวิธีการแสดงพื้นที่ปรากฏขึ้น - จากปัญหาทางเรขาคณิตที่มัน "ทำให้" เป็นพีชคณิต ลดทุกอย่างลงไปจนถึงการแก้สมการ (และบางครั้งก็เป็นระบบสมการ)

1) วิธีเปรียบเทียบ: เกี่ยวข้องกับสูตร S จำนวนมากของตัวเลขเดียวกัน

2) วิธีอัตราส่วน S: ตามงานอ้างอิงต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทของ Ceva

ให้จุด A",B",C" อยู่บนเส้น BC,CA,AB ของรูปสามเหลี่ยม เส้น AA",BB",CC" ตัดกันที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ

การพิสูจน์.

ระบุด้วยจุดตัดของเซกเมนต์ และ . ให้เราวางเส้นตั้งฉากจากจุด C และ A ไปที่เส้น BB 1 จนกว่าจะตัดกันที่จุด K และ L ตามลำดับ (ดูรูป)

เนื่องจากสามเหลี่ยมและมี ด้านทั่วไปแล้วพื้นที่ของพวกมันสัมพันธ์กันตามความสูงที่ลากมาทางด้านนี้ กล่าวคือ AL และ CK:

ความเสมอภาคสุดท้ายเป็นจริง เนื่องจากสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมแหลมคล้ายคลึงกัน

ในทำนองเดียวกันเราได้รับ และ

ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งสามนี้:

คิวอีดี

ความคิดเห็น ส่วน (หรือความต่อเนื่องของส่วน) ที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดอยู่ฝั่งตรงข้ามหรือความต่อเนื่องเรียกว่าเซวิอานา

ทฤษฎีบท ( ทฤษฎีบทสนทนาเชฟวี่). ให้จุด A",B",C" อยู่ด้าน BC,CA และ AB ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ ปล่อยให้ความสัมพันธ์คงอยู่

จากนั้นส่วน AA", BB", CC" และตัดกันที่จุดหนึ่ง

ทฤษฎีบทของเมเนลอส

ทฤษฎีบทของเมเนลอส ให้เส้นตัดกัน สามเหลี่ยม ABCโดยที่ C 1 เป็นจุดตัดกับด้าน AB, A 1 เป็นจุดตัดกับด้าน BC และ B 1 เป็นจุดของทางแยกที่มีส่วนขยายของด้าน AC แล้ว

การพิสูจน์ . ลากเส้นผ่านจุด C ขนานกับ AB แทนด้วย K จุดตัดกับเส้น B 1 C 1 .

สามเหลี่ยม AC 1 B 1 และ CKB 1 คล้ายกัน (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1) เพราะเหตุนี้,

สามเหลี่ยม BC 1 A 1 และ CKA 1 ก็คล้ายกัน (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1) วิธี,

จากความเท่าเทียมกัน เราแสดง CK:

ที่ไหน คิวอีดี

ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทผกผันของ Menelaus)ให้สามเหลี่ยม ABC ให้จุด C 1 อยู่บนด้าน AB จุด A 1 อยู่ด้าน BC และจุด B 1 อยู่บนส่วนขยายของด้าน AC และความสัมพันธ์

จากนั้นจุด A 1 ,B 1 และ C 1 จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

1. ค่ามัธยฐานคืออะไร?

มันง่ายมาก!

เอาสามเหลี่ยม

ทำเครื่องหมายตรงกลางด้านใดด้านหนึ่ง

และเชื่อมต่อกับยอดตรงข้าม!

เส้นผลลัพธ์ และเป็นค่ามัธยฐาน.

2. คุณสมบัติของค่ามัธยฐาน

คุณสมบัติที่ดีของค่ามัธยฐานคืออะไร?

1) ลองนึกภาพว่าสามเหลี่ยม - สี่เหลี่ยมมีเหล่านั้นใช่ไหม?

ทำไม??? มุมขวาคืออะไร?

เรามาดูอย่างระมัดระวัง ไม่ใช่เฉพาะบนสามเหลี่ยม แต่บน ... สี่เหลี่ยม คุณถามทำไม?

แต่คุณเดินบนโลก - คุณเห็นไหมว่ามันกลม? ไม่ แน่นอน สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องมองโลกจากอวกาศ ดังนั้นเราจึงดูที่สามเหลี่ยมมุมฉากของเรา "จากอวกาศ"

มาวาดเส้นทแยงมุมกัน:

จำได้ไหมว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม เท่ากันและ แบ่งปันจุดแยก ครึ่งหนึ่ง? (ถ้าจำไม่ได้ให้ดูที่หัวข้อ)

ครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมที่สองเป็นของเรา ค่ามัธยฐาน. เส้นทแยงมุมเท่ากันครึ่งของมันก็เช่นกัน ที่นี่เราได้รับ

เราจะไม่พิสูจน์ข้อความนี้ แต่เพื่อที่จะเชื่อในสิ่งนี้ ให้คิดเอาเอง: มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นๆ ที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันหรือไม่ ยกเว้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แน่นอนว่าไม่! นั่นหมายความว่ามัธยฐานสามารถเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

มาดูกันว่าคุณสมบัตินี้ช่วยแก้ปัญหาได้อย่างไร

ที่นี่, งาน:
ด้านข้าง; . จากด้านบนที่จัดขึ้น ค่ามัธยฐาน. ค้นหาว่า

ไชโย! คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! มาดูกันว่าเจ๋งขนาดไหน? ถ้าเราไม่รู้ว่า ค่ามัธยฐานเท่ากับครึ่งข้าง

เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

2) และตอนนี้อย่าให้เรามีอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ทั้งหมด สามค่ามัธยฐาน! พวกเขาประพฤติตนอย่างไร?

จำไว้ให้ดี ข้อเท็จจริงที่สำคัญ:

ยาก? ดูรูปนั่นสิ:

ค่ามัธยฐานและตัดกัน ณ จุดหนึ่ง

และ .... (เราพิสูจน์แล้วใน แต่สำหรับตอนนี้ จดจำ!):

- สองเท่าของ;
- สองเท่าของ;
- สองเท่านั้น

ยังไม่เบื่อ? ความแข็งแกร่งเพียงพอสำหรับตัวอย่างต่อไปหรือไม่ ตอนนี้เราจะใช้ทุกสิ่งที่เราพูดถึง!

งาน: ในรูปสามเหลี่ยม จะมีค่ามัธยฐานและถูกวาด ซึ่งตัดกันที่จุดหนึ่ง ค้นหาว่า

เราพบโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

และตอนนี้เราใช้ความรู้เกี่ยวกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน

มาทำเครื่องหมายกันเถอะ ตัด, ก. หากไม่ชัดเจนทั้งหมด - ดูภาพ

เราได้พบแล้วว่า

วิธี, ; .

ในปัญหาเราจะถามเกี่ยวกับส่วน

ในสัญกรณ์ของเรา

ตอบ: .

ชอบ? ทีนี้ลองนำความรู้เกี่ยวกับค่ามัธยฐานไปปรับใช้กันดู!

ค่ามัธยฐาน ระดับเฉลี่ย

1. ค่ามัธยฐานแบ่งด้านข้าง

และทั้งหมด? หรือบางทีเธออาจแบ่งบางอย่างออกเป็นสองส่วน? ลองนึกภาพว่าเป็น!

2. ทฤษฎีบท: ค่ามัธยฐานแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วน

ทำไม และจำไว้ให้มากที่สุด แบบง่ายๆพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

และเราใช้สูตรนี้สองครั้ง!

ดูสิ ค่ามัธยฐานแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยม: และ แต่! พวกเขามีความสูงเท่ากัน! ที่ความสูงนี้เท่านั้นที่ตกลงไปด้านข้างและที่ - เพื่อความต่อเนื่องของด้าน. น่าแปลกที่สิ่งนี้เกิดขึ้นเช่นกัน: สามเหลี่ยมต่างกัน แต่ความสูงเท่ากัน ตอนนี้เราใช้สูตรสองครั้ง

นั่นจะหมายถึงอะไร? ดูรูปนั่นสิ. อันที่จริง มีสองประโยคในทฤษฎีบทนี้ คุณสังเกตเห็นหรือไม่?

คำสั่งแรก:ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง

คำสั่งที่สอง:จุดตัดของค่ามัธยฐานแบ่งตามความสัมพันธ์ นับจากด้านบน

มาลองไขความลับของทฤษฎีบทนี้กัน:

มาเชื่อมต่อจุดและ เกิดอะไรขึ้น

ทีนี้ลองลากเส้นกลางอีกเส้น: ทำเครื่องหมายตรงกลาง - ใส่จุด, ทำเครื่องหมายตรงกลาง - ใส่จุด

ตอนนี้ - สายกลาง นั่นคือ

ขนาน;

คุณสังเกตเห็นเรื่องบังเอิญหรือไม่? ทั้งสองแบบและขนานกัน และ และ.

อะไรต่อจากนี้?

ขนาน;

แน่นอน มีเพียงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่านั้น!

ดังนั้น - สี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วไง? และลองจำคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน ตัวอย่างเช่น คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานบ้าง ถูกต้องแล้ว พวกมันแบ่งจุดสี่แยกออกเป็นสองส่วน

มาดูรูปกันอีกที

นั่นคือ - ค่ามัธยฐานหารด้วยคะแนนและแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน และเหมือนกัน

ซึ่งหมายความว่าค่ามัธยฐานทั้งสองคั่นด้วยจุดที่เกี่ยวข้องกัน นั่นคือ และ

จะเกิดอะไรขึ้นกับค่ามัธยฐานที่สาม? ลองกลับไปที่จุดเริ่มต้น โอ้พระเจ้า?! ไม่ ตอนนี้ทุกอย่างจะสั้นลงมาก ลองวางค่ามัธยฐานแล้ววาดค่ามัธยฐานและ

ตอนนี้ลองนึกภาพว่าเราได้ใช้เหตุผลเดียวกันกับค่ามัธยฐานและ แล้วไง?

ปรากฎว่าค่ามัธยฐานจะแบ่งค่ามัธยฐานในลักษณะเดียวกันทุกประการ: ในความสัมพันธ์นับจากจุด

แต่จะมีกี่จุดในส่วนที่แบ่งความสัมพันธ์โดยนับจากจุดหนึ่ง?

แน่นอน ที่เดียวเท่านั้น! และเราได้เห็นแล้ว - นี่คือประเด็น

เกิดอะไรขึ้นในตอนจบ?

ค่ามัธยฐานผ่านแน่! ค่ามัธยฐานทั้งสามผ่านพ้นไป และทุกคนก็แตกแยกจากกันโดยเริ่มจากด้านบน

ดังนั้นเราจึงแก้ (พิสูจน์แล้ว) ทฤษฎีบท คำตอบกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั่งอยู่ในรูปสามเหลี่ยม

4. สูตรหาค่ามัธยฐาน

จะหาความยาวของค่ามัธยฐานได้อย่างไรถ้ารู้ด้าน? คุณแน่ใจหรือว่าต้องการมัน? มาเปิดกันเถอะ ความลับที่น่ากลัว: สูตรนี้ไม่ค่อยมีประโยชน์ แต่ถึงกระนั้นเราจะเขียน แต่เราจะไม่พิสูจน์ (หากคุณสนใจในการพิสูจน์ดูระดับถัดไป)

เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?

เรามาดูอย่างระมัดระวัง ไม่ใช่เฉพาะบนสามเหลี่ยม แต่บนสี่เหลี่ยม

ลองดูที่สี่เหลี่ยม

คุณสังเกตไหมว่าสามเหลี่ยมของเราเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมนี้พอดี

มาวาดเส้นทแยงมุมกัน

คุณจำได้ไหมว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นเท่ากันและผ่าจุดตัดแบ่งครึ่ง? (ถ้าจำไม่ได้ให้ดูที่หัวข้อ)
แต่เส้นทแยงมุมหนึ่งคือด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา! ดังนั้นจุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก เธอถูกเรียกโดยเรา

ครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมที่สองคือค่ามัธยฐานของเรา เส้นทแยงมุมเท่ากันครึ่งของมันก็เช่นกัน ที่นี่เราได้รับ

นอกจากนี้ สิ่งนี้เกิดขึ้นเฉพาะในสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น!

นี่คืองาน:

ด้านข้าง; . ค่ามัธยฐานถูกดึงมาจากด้านบน ค้นหาว่า

ไชโย! คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! มาดูกันว่าเจ๋งขนาดไหน? ถ้าเราไม่รู้ว่าค่ามัธยฐานเป็นครึ่งข้าง อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นเราไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ และตอนนี้เราทำได้!

เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ค่ามัธยฐาน สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

1. ค่ามัธยฐานแบ่งด้านข้าง

2. ทฤษฎีบท: ค่ามัธยฐานแบ่งพื้นที่

4. สูตรหาค่ามัธยฐาน

ทฤษฎีบทผกผัน:ถ้าค่ามัธยฐานเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้าน สามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากและค่ามัธยฐานนี้จะถูกดึงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ สอบผ่านสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมัน นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะหลายคนเปิดใจต่อหน้าพวกเขา ความเป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไข (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - 499 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!