ผลบวกของเวกเตอร์สองตัวเป็นเท่าใด วิธีการลบและเพิ่มเวกเตอร์

เวกเตอร์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีขนาดและทิศทาง (เช่น ความเร่ง การกระจัด) ซึ่งแตกต่างจากสเกลาร์ที่ไม่มีทิศทาง (เช่น ระยะทาง พลังงาน) สามารถเพิ่มสเกลาร์ได้โดยการเพิ่มค่า (เช่น 5 kJ ของงานบวก 6 kJ ของงานเท่ากับ 11 kJ ของงาน) แต่การเพิ่มและลบเวกเตอร์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

ขั้นตอน

การบวกและการลบเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบที่รู้จัก

เนื่องจากเวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง พวกมันจึงสามารถถูกแบ่งออกเป็นส่วนประกอบตามมิติ x, y และ/หรือ z โดยปกติจะแสดงในลักษณะเดียวกับจุดในระบบพิกัด (เช่น<х,у,z>). หากทราบส่วนประกอบ การบวก/ลบเวกเตอร์ทำได้ง่ายเหมือนกับการบวก/ลบพิกัด x, y, z

• โปรดทราบว่าเวกเตอร์อาจเป็นแบบหนึ่งมิติ สองมิติ หรือสามมิติก็ได้ ดังนั้น เวกเตอร์สามารถมีองค์ประกอบ "x", "x" และ "y" หรือส่วนประกอบ "x", "y", "z" มีการกล่าวถึงเวกเตอร์ 3 มิติด้านล่าง แต่กระบวนการนี้คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์ 1 มิติและ 2 มิติ
• สมมติว่าคุณได้รับเวกเตอร์สามมิติสองเวกเตอร์ - เวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เขียนเวกเตอร์เหล่านี้ในรูปแบบเวกเตอร์: A = และ B= โดยที่ a1 และ a2 เป็นส่วนประกอบ "x" b1 และ b2 เป็นส่วนประกอบ "y" c1 และ c2 เป็นส่วนประกอบ "z"

1. หากต้องการเพิ่มเวกเตอร์สองตัว ให้เพิ่มองค์ประกอบตามลำดับกล่าวอีกนัยหนึ่ง เพิ่มองค์ประกอบ "x" ของเวกเตอร์แรกไปยังองค์ประกอบ "x" ของเวกเตอร์ที่สอง (และอื่นๆ) เป็นผลให้คุณจะได้ส่วนประกอบ x, y, z ของเวกเตอร์ผลลัพธ์

   • A+B = .
   • เพิ่มเวกเตอร์ A และ B. A =<5, 9, -10>และ B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, หรือ <22, 6, -12> .

2. หากต้องการลบเวกเตอร์หนึ่งจากอีกเวกเตอร์หนึ่ง คุณต้องลบองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องดังที่แสดงไว้ด้านล่าง การลบสามารถแทนที่ได้ด้วยการบวกเวกเตอร์หนึ่งและส่วนกลับของอีกเวกเตอร์หนึ่ง ถ้าทราบส่วนประกอบของเวกเตอร์สองตัว ให้ลบส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หนึ่งออกจากส่วนประกอบของอีกตัวหนึ่ง

   • เอ-บี =
   • ลบเวกเตอร์ A และ B. A =<18, 5, 3>และ B=<-10, 9, -10>. AB=<18--10, 5-9, 3--10>, หรือ <28, -4, 13> .

   การบวกและการลบกราฟิก

   1. เนื่องจากเวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง พวกมันจึงมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ระยะห่างระหว่างซึ่งเท่ากับค่าของเวกเตอร์) เมื่อเวกเตอร์แสดงแบบกราฟิก มันจะถูกวาดเป็นลูกศร โดยที่ส่วนปลายคือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ และจุดตรงข้ามคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์

      • เมื่อวาดเวกเตอร์ ให้สร้างมุมทั้งหมดอย่างแม่นยำ มิฉะนั้นคุณจะได้รับคำตอบที่ผิด

   2. ในการเพิ่มเวกเตอร์ ให้วาดมันเพื่อให้จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้าแต่ละตัวเชื่อมต่อกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ถัดไป หากคุณเพิ่มเวกเตอร์เพียงสองตัวเท่านั้น คุณก็ต้องทำทั้งหมดก่อนจึงจะพบเวกเตอร์ผลลัพธ์

      • โปรดทราบว่าลำดับการเชื่อมต่อเวกเตอร์นั้นไม่สำคัญ นั่นคือ vector A + vector B = vector B + vector A

   3. ในการลบเวกเตอร์ ให้เพิ่มเวกเตอร์ผกผัน นั่นคือ เปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์ที่ลบ แล้วเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์อื่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการลบเวกเตอร์ ให้หมุน 180o (รอบจุดกำเนิด) และเพิ่มลงในเวกเตอร์อื่น

      หากคุณกำลังเพิ่มหรือลบเวกเตอร์ (มากกว่าสอง) จำนวนเท่าใด ให้เชื่อมต่อจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตามลำดับ ลำดับที่คุณเชื่อมต่อเวกเตอร์ไม่สำคัญ วิธีนี้ใช้ได้กับเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้

   4. วาดเวกเตอร์ใหม่โดยเริ่มจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและสิ้นสุดที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์สุดท้าย (ไม่ว่าคุณจะเพิ่มเวกเตอร์กี่ตัวก็ตาม) คุณจะได้เวกเตอร์ผลลัพธ์เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ที่เพิ่มมาทั้งหมด โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้เหมือนกับเวกเตอร์ที่ได้จากการเพิ่มองค์ประกอบ x, y, z ของเวกเตอร์ทั้งหมด

      • หากคุณวาดความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมันได้อย่างแม่นยำมาก คุณจะสามารถหาค่าของเวกเตอร์ที่ได้ได้โดยการวัดความยาวของมัน นอกจากนี้ คุณสามารถวัดมุม (ระหว่างเวกเตอร์ผลลัพธ์กับเวกเตอร์อื่นที่ระบุหรือเส้นแนวนอน/แนวตั้ง) เพื่อค้นหาทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์
      • หากคุณวาดความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมันได้อย่างแม่นยำมาก คุณจะพบค่าของเวกเตอร์ที่ได้โดยใช้ตรีโกณมิติ กล่าวคือ ทฤษฎีบทไซน์หรือทฤษฎีบทโคไซน์ หากคุณกำลังเพิ่มเวกเตอร์หลายตัว (มากกว่าสองตัว) ให้เพิ่มเวกเตอร์สองตัวก่อน จากนั้นจึงเพิ่มเวกเตอร์ผลลัพธ์และเวกเตอร์ที่สาม เป็นต้น ดูข้อมูลเพิ่มเติมในส่วนถัดไป

   5. แสดงถึงเวกเตอร์ผลลัพธ์ ซึ่งแสดงถึงค่าและทิศทางของมันดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หากคุณวาดความยาวของเวกเตอร์ที่จะเพิ่มและมุมระหว่างพวกมันอย่างแม่นยำมาก ค่าของเวกเตอร์ที่ได้จะเท่ากับความยาวของมัน และทิศทางคือมุมระหว่างมันกับเส้นแนวตั้งหรือแนวนอน . อย่าลืมกำหนดค่าของเวกเตอร์ให้เป็นหน่วยวัดซึ่งให้เวกเตอร์ที่บวก/ลบออกให้กับค่าของเวกเตอร์

      • ตัวอย่างเช่น หากคุณเพิ่มเวกเตอร์ความเร็วที่วัดเป็น m/s ให้เพิ่ม “m/s” ให้กับค่าของเวกเตอร์ผลลัพธ์ และยังระบุมุมของเวกเตอร์ผลลัพธ์ในรูปแบบ “o กับเส้นแนวนอน”

   การบวกและการลบเวกเตอร์โดยการหาค่าขององค์ประกอบ

   1. ในการหาค่าขององค์ประกอบเวกเตอร์ คุณจำเป็นต้องทราบค่าของเวกเตอร์เองและทิศทางของมัน (มุมที่สัมพันธ์กับเส้นแนวนอนหรือแนวตั้ง) พิจารณาเวกเตอร์สองมิติ ทำให้เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นขา (ขนานกับแกน X และ Y) ของสามเหลี่ยมนี้จะเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ ส่วนประกอบเหล่านี้สามารถคิดได้ว่าเป็นเวกเตอร์สองตัวที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วจะได้เวกเตอร์ดั้งเดิม

      • ความยาว (ค่า) ของส่วนประกอบทั้งสอง (ส่วนประกอบ "x" และ "y") ของเวกเตอร์ดั้งเดิมสามารถคำนวณได้โดยใช้ตรีโกณมิติ หาก "x" เป็นค่า (โมดูลัส) ของเวกเตอร์ดั้งเดิม องค์ประกอบเวกเตอร์ที่อยู่ติดกับมุมของเวกเตอร์ดั้งเดิมคือ xcosθ และส่วนประกอบเวกเตอร์ตรงข้ามมุมของเวกเตอร์ดั้งเดิมคือ xsinθ
      • สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตทิศทางของส่วนประกอบ หากส่วนประกอบมีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของแกนใดแกนหนึ่ง ค่าของส่วนประกอบนั้นจะเป็นลบ ตัวอย่างเช่น หากส่วนประกอบถูกชี้ไปทางซ้ายหรือลงบนระนาบพิกัดสองมิติ
      • ตัวอย่างเช่น ให้เวกเตอร์ที่มีค่าโมดูลัส (ค่า) เท่ากับ 3 และทิศทาง 135 o (เทียบกับแนวนอน) จากนั้นองค์ประกอบ x คือ 3cos 135 = -2.12 และองค์ประกอบ y คือ 3sin135 = 2.12

   2. เมื่อคุณพบองค์ประกอบของเวกเตอร์ทั้งหมดที่คุณกำลังเพิ่มแล้ว เพียงเพิ่มค่าของมันแล้วคุณจะพบค่าองค์ประกอบของเวกเตอร์ที่ได้ ขั้นแรก ให้บวกค่าของส่วนประกอบแนวนอนทั้งหมด (เช่น ส่วนประกอบที่ขนานกับแกน x) จากนั้นบวกค่าของส่วนประกอบแนวตั้งทั้งหมด (เช่น ส่วนประกอบขนานกับแกน y) หากค่าของส่วนประกอบเป็นค่าลบ ค่านั้นจะถูกหักออก ไม่ใช่บวก

      • ตัวอย่างเช่น ลองเพิ่มเวกเตอร์<-2,12, 2,12>และเวกเตอร์<5,78, -9>. เวกเตอร์ที่ได้จะเป็นแบบนี้<-2,12 + 5,78, 2,12-9>หรือ<3,66, -6,88>.

   3. คำนวณความยาว (ค่า) ของเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: c 2 \u003d a 2 + b 2 (เนื่องจากสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์ดั้งเดิมและส่วนประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ในกรณีนี้ ขาคือองค์ประกอบ "x" และ "y" ของเวกเตอร์ผลลัพธ์ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือเวกเตอร์ผลลัพธ์เอง

      • ตัวอย่างเช่น หากในตัวอย่างของเรา คุณเพิ่มแรงที่วัดเป็นนิวตัน ให้เขียนคำตอบดังนี้: 7.79 N ที่มุม -61.99 o (ถึงแกนนอน)
   • อย่าสับสนเวกเตอร์กับโมดูล (ค่า)
   • เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันสามารถเพิ่มหรือลบได้โดยเพียงแค่เพิ่มหรือลบค่าของพวกมัน หากมีการเพิ่มเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้ามสองตัว ค่าของพวกมันจะถูกลบออก ไม่ใช่การเพิ่ม
   • เวกเตอร์ที่แสดงเป็น x ผม+ย เจ+z kสามารถเพิ่มหรือลบได้โดยการเพิ่มหรือลบค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน เขียนคำตอบเป็น i,j,k ด้วย
   • ค่าของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติสามารถหาได้จากสูตร a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, ที่ไหน เอ- ค่าเวกเตอร์ ข, ค,และ dเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์
   • สามารถเพิ่ม/ลบเวกเตอร์คอลัมน์ได้โดยการเพิ่ม/ลบค่าที่เกี่ยวข้องในแต่ละแถว

X และ yเรียกว่าเวกเตอร์ zดังนั้น z+y=x.

ตัวเลือกที่ 1.จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งหมดตรงกับจุดกำเนิด

ให้เราสร้างผลต่างของเวกเตอร์และ .

เพื่อพลอตผลต่างของเวกเตอร์ z=x-yคุณต้องเพิ่มเวกเตอร์ xตรงข้ามกับ yเวกเตอร์ คุณ". ตรงข้าม Vector คุณ"ถูกสร้างขึ้นอย่างง่าย:

เวกเตอร์ คุณ"อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ y, เพราะ y+y"= 0 โดยที่ 0 เป็นเวกเตอร์ว่างที่มีขนาดเหมาะสม ถัดไป ดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์ xและ คุณ":

จากนิพจน์ (1) จะเห็นได้ว่าการสร้างความแตกต่างของเวกเตอร์ การคำนวณความแตกต่างของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ก็เพียงพอแล้ว xและ y.

ข้าว. หนึ่ง

ในรูป 1 ในปริภูมิสองมิติแสดงถึงความแตกต่างของเวกเตอร์ x=(10,3) และ y=(2,4).

คำนวณ z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). ให้เราเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับการตีความทางเรขาคณิต แน่นอน หลังจากสร้างเวกเตอร์แล้ว คุณ"และการเคลื่อนที่ขนานของจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ คุณ"ถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ x, เราได้เวกเตอร์ ย""และหลังจากเพิ่มเวกเตอร์ xและ ย"", เราได้เวกเตอร์ z.

ตัวเลือกที่ 2จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์นั้นไม่แน่นอน

ข้าว. 2

ในรูป 2 ในปริภูมิสองมิติคือความแตกต่างของเวกเตอร์ x=ABและ y=ซีดี, ที่ไหน อา(1,0), บี(11,3), ค(1,2), ดี(3.6) ในการคำนวณเวกเตอร์ z=x-y, สร้างขึ้นตรงข้ามกับเวกเตอร์ yเวกเตอร์ คุณ":

ต่อไป คุณต้องเพิ่มเวกเตอร์ xและ คุณ". เวกเตอร์ คุณ"เคลื่อนที่ขนานกันจนจุด ค"ตรงกับจุด บี. การทำเช่นนี้จะคำนวณความแตกต่างในพิกัดของจุด บีและ จาก.

ให้ $\overrightarrow(a)$ และ $\overrightarrow(b)$ เป็นเวกเตอร์สองตัว (รูปที่ 1a)

ใช้จุดใดก็ได้ O และสร้างเวกเตอร์ $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ จากนั้นจากจุด A เราจะพลอตเวกเตอร์ $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$ เวกเตอร์ $\overrightarrow(OB)$ เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเทอมแรกของเวกเตอร์กับจุดสิ้นสุดของวินาที (รูปที่ 1, b) เรียกว่าผลรวมของเวกเตอร์เหล่านี้และแสดงด้วย $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$$ ( กฎสามเหลี่ยม).

ผลรวมของเวกเตอร์เท่ากันสามารถหาได้อีกทางหนึ่ง ให้เราเลื่อนเวกเตอร์ $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OC) = \overrightarrow(b) $ จากจุด O (รูปที่ 1, c) เราสร้างบนเวกเตอร์เหล่านี้เหมือนกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ОABC เวกเตอร์ $\overrightarrow(OB)$ ทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ดึงมาจากจุดยอด O เห็นได้ชัดว่าเป็นผลรวมของเวกเตอร์ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน). จาก รูปที่ 1 ในมันตามมาทันทีว่าผลรวมของเวกเตอร์สองตัวมีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

อันที่จริง แต่ละเวกเตอร์ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ เท่ากับเวกเตอร์เดียวกัน $\overrightarrow(OB)$

ตัวอย่าง 1ในรูปสามเหลี่ยม ABC, AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90° ค้นหา: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$

วิธีการแก้

ก) เรามี: $|\overrightarrow(AB)| = AB,\,\,\ |\overrightarrow(BC)| = BC$ และด้วยเหตุนี้ $|\overrightarrow(AB)| + |\overrightarrow(BC)| = 7$.

b) ตั้งแต่ $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC) \,\,\,\, แล้ว \,\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)| = |\overrightarrow(AC)| = AC$

ทีนี้ เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบ $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ i.e.\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( sun )| = 5. $$

แนวคิดของผลบวกของเวกเตอร์สามารถสรุปได้ในกรณีของผลรวมเวกเตอร์จำนวนจำกัด

ตัวอย่างเช่น ให้เวกเตอร์สามตัว $\overrightarrow(a), \overrightarrow(b)\,and\, \overrightarrow(c)$ (รูปที่ 2)

ขั้นแรกสร้างผลรวมของเวกเตอร์ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ แล้วเพิ่ม vector $\overrightarrow(c)$ ให้กับผลรวมนี้ เราจะได้ vector $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow (b)) + \overrightarrow(c)$ ในรูปที่ 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \overrightarrow(AB) = b\,; \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ and \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (c) $$ รูปที่ 2 แสดงว่าเราได้รับเวกเตอร์เดียวกัน $\overrightarrow(OC)$ ถ้าเราเพิ่มเวกเตอร์ $\overrightarrow(AB) = \ overrightarrow(b) + \overrightarrow(c)$ ดังนั้น $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$ นั่นคือ เวกเตอร์ผลรวมมีการเชื่อมโยงกัน คุณสมบัติ. ดังนั้น ผลรวมของเวกเตอร์สามตัว $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ จึงเขียนง่าย ๆ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (ค)$ .

ความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัว $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ ถูกเรียกเวกเตอร์ที่สาม $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ เป็นผลรวมของ เวกเตอร์ย่อย $\overrightarrow (b)$ ให้เวกเตอร์ $\overrightarrow(a)$ ดังนั้นถ้า $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\ then\, \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$

จากคำจำกัดความของผลรวมของเวกเตอร์สองตัว กฎสำหรับการสร้างเวกเตอร์ส่วนต่างมีดังต่อไปนี้ (รูปที่ 3)

กันเวกเตอร์ $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ จากจุดร่วม O เวกเตอร์ $\overrightarrow(BA)$ เชื่อมต่อ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่ลดลง $ \overrightarrow(a)$ และ subtrahend vector $\overrightarrow(b)$ และกำกับจาก subtrahend ถึง minuend คือความแตกต่าง $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ . แน่นอน โดยกฎการบวกเวกเตอร์ $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , หรือ ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a)$

ตัวอย่าง 2ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC คือ a ค้นหา: $a) |\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)|$

วิธีการแก้ a) ตั้งแต่ $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(SA)\text( , a )|\overrightarrow(SA)| = a\text( แล้ว )|\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)| = เป็$

b) ตั้งแต่ $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\text( แล้ว )|\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)| = เป็$

ผลคูณของเวกเตอร์ $\overrightarrow(a)$ (ระบุ $=\lambda\overrightarrow(a)$ หรือ $\overrightarrow(a)\lambda$) และจำนวนจริง $\lambda$ เป็นเวกเตอร์ $\overrightarrow( b)$ เวกเตอร์ collinear $\overrightarrow(a)$ ของความยาวเท่ากับ $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ และทิศทางเดียวกับ $\overrightarrow(a)$ if $\lambda > 0$ , และทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ $\overrightarrow(a)$ if $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

ในกรณีที่ $\lambda = 0$ หรือ $\overrightarrow(a) = 0$ , ผลิตภัณฑ์ $\lambda\overrightarrow(a)$ เป็นเวกเตอร์ว่าง เวกเตอร์ตรงข้าม $-\overrightarrow(a)$ ถือได้ว่าเป็นผลจากการคูณเวกเตอร์ $\overrightarrow(a)$ ด้วย $\lambda = -1$ (ดูรูปที่ 4): $$ -\overrightarrow(a ) = \ ( -1)\overrightarrow(a) $$ เห็นได้ชัดว่า $\overrightarrow(a) + (-\overrightarrow(a)) = \overrightarrow(0)$

ตัวอย่างที่ 3พิสูจน์ว่าถ้า O, A, B และ C เป็นจุดใดก็ได้ $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CO) = 0$

วิธีการแก้. ผลรวมของเวกเตอร์ $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OC)$ , เวกเตอร์ $\overrightarrow(CO)$ อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ $\overrightarrow(OC )$ . ดังนั้น $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(0)$

ให้เวกเตอร์ $\overrightarrow(a)$ พิจารณาเวกเตอร์หน่วย $\overrightarrow(a_0)$ วางแนวเวกเตอร์ $\overrightarrow(a)$ และชี้ไปในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ มันตามมาจากคำจำกัดความของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขที่ $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ เช่น เวกเตอร์แต่ละตัวมีค่าเท่ากับผลคูณของโมดูลัสและเวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางเดียวกัน นอกจากนี้ จากคำจำกัดความเดียวกัน มันตามมาว่าถ้า $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ , โดยที่ $\overrightarrow(a)$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วเวกเตอร์ $\overrightarrow(a) \, และ \, \overrightarrow(b)$ เป็น collinear ตรงกันข้าม จากการ collinearity ของเวกเตอร์ $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ มันเป็นไปตามนั้น $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$

ตัวอย่างที่ 4ความยาวของเวกเตอร์ AB คือ 3 ความยาวของเวกเตอร์ AC คือ 5 โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ 1/15 จงหาความยาวของเวกเตอร์ AB + AC

โซลูชันวิดีโอ

คำนิยาม

การบวกเวกเตอร์และดำเนินการตาม กฎสามเหลี่ยม.

ผลรวม สองเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่สามดังกล่าวเรียกว่าจุดเริ่มต้นซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดด้วยจุดสิ้นสุดโดยมีเงื่อนไขว่าจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์และจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตรงกัน (รูปที่ 1)

สำหรับการเพิ่มเติม เวกเตอร์กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ใช้เช่นกัน

คำนิยาม

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน- ถ้าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัวนำไปสู่จุดกำเนิดร่วม เวกเตอร์จะตรงกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ยู (รูปที่ 2) นอกจากนี้ จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ยังตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่กำหนด

คำนิยาม

เวกเตอร์นี้เรียกว่า เวกเตอร์ตรงข้ามเป็นเวกเตอร์ถ้ามัน collinearเวกเตอร์ เท่ากับความยาว แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์

การดำเนินการเพิ่มเวกเตอร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

คำนิยาม

ความแตกต่าง เวกเตอร์และเวกเตอร์ถูกเรียกเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข: (รูปที่ 3)

คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

คำนิยาม

งาน เวกเตอร์ ต่อจำนวนเรียกว่าเวกเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไข:

คุณสมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข:

ในที่นี้คุณคือเวกเตอร์ตามใจชอบ, และเป็นตัวเลขใดๆ.

อวกาศยุคลิด(อีกด้วย อวกาศยุคลิด) - ในความหมายดั้งเดิม พื้นที่ซึ่งอธิบายคุณสมบัติ สัจพจน์ เรขาคณิตแบบยุคลิด. ในกรณีนี้จะถือว่าที่ว่างมี มิติเท่ากับ 3

ในความหมายสมัยใหม่ ในความหมายทั่วไป มันสามารถแสดงถึงวัตถุที่คล้ายคลึงและเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอย่างใดอย่างหนึ่ง: ขอบเขตมิติ จริง ช่องว่างเวกเตอร์ด้วยความแน่นอนในเชิงบวก ผลิตภัณฑ์สเกลาร์, หรือ พื้นที่เมตริกสอดคล้องกับพื้นที่เวกเตอร์ดังกล่าว ในบทความนี้ คำจำกัดความแรกจะเป็นคำจำกัดความเริ่มต้น

ก็มักจะใช้พื้นที่มิติแบบยุคลิด (ถ้าชัดเจนจากบริบทว่าพื้นที่นั้นมีโครงสร้างแบบยุคลิด)

การกำหนดสเปซแบบยุคลิดนั้นง่ายที่สุดที่จะใช้เป็นแนวคิดหลัก สินค้าจุด. ปริภูมิแบบยุคลิดถูกกำหนดเป็น ขอบเขตมิติ ช่องว่างเวกเตอร์ข้างบน สนาม ตัวเลขจริง, ซึ่งเวกเตอร์ ฟังก์ชันมูลค่าจริงด้วยคุณสมบัติ 3 ประการดังนี้

แนบพื้นที่ซึ่งสอดคล้องกับเวคเตอร์สเปซดังกล่าว เรียกว่า สเปซที่สัมพันธ์กันแบบยุคลิด หรือเรียกง่ายๆ ว่าสเปซแบบยุคลิด .

ตัวอย่างของสเปซแบบยุคลิดคือสเปซที่ประกอบด้วยความเป็นไปได้ทั้งหมด น-โอเค ผลคูณสเกลาร์จำนวนจริงซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร

พิกัดพื้นฐานและเวกเตอร์

พื้นฐาน (ภาษากรีกอื่น ๆβασις, พื้นฐาน) - ชุดของเช่น เวกเตอร์ใน ช่องว่างเวกเตอร์ว่าเวกเตอร์ใดๆ ของสเปซนี้สามารถแสดงเป็น ชุดค่าผสมเชิงเส้นเวกเตอร์จากชุดนี้ - พื้นฐานเวกเตอร์.

ในกรณีที่พื้นฐานเป็นอนันต์ แนวคิดของ "การรวมเชิงเส้น" จะต้องได้รับการชี้แจง สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความสองประเภทหลัก:

พื้นฐานฮาเมลซึ่งมีคำจำกัดความพิจารณาเฉพาะชุดค่าผสมเชิงเส้นจำกัด พื้นฐาน Hamel ใช้เป็นหลักในพีชคณิตนามธรรม (โดยเฉพาะในพีชคณิตเชิงเส้น)

พื้นฐานชอเดอร์ซึ่งคำจำกัดความยังพิจารณาผลรวมเชิงเส้นแบบอนันต์ กล่าวคือ การขยายตัวใน อันดับ. คำจำกัดความนี้ใช้เป็นหลักในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน โดยเฉพาะสำหรับ ฮิลเบิร์ตสเปซ,

ในพื้นที่จำกัดมิติ พื้นฐานทั้งสองประเภทตรงกัน

พิกัดเวกเตอร์เป็นสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้เท่านั้น ชุดค่าผสมเชิงเส้น ขั้นพื้นฐาน เวกเตอร์ในรายการที่เลือก ระบบพิกัดเท่ากับเวกเตอร์ที่กำหนด

พิกัดของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์

การดำเนินงานสอง เวกเตอร์ซึ่งผลที่ได้คือ ตัวเลข[เมื่อพิจารณาเวกเตอร์ มักจะเรียกตัวเลข สเกลาร์] ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดและกำหนดความยาวของเวกเตอร์แฟคเตอร์และ มุมระหว่างพวกเขา. การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการคูณ ความยาวเวกเตอร์ xบน การฉายภาพเวกเตอร์ yต่อเวกเตอร์ x. การดำเนินการนี้มักจะถือว่าเป็น สับเปลี่ยนและ เชิงเส้นสำหรับแต่ละปัจจัย

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์สองตัวมีค่าเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของพิกัดตามลำดับ:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

นี่คือ pseudoctor, ตั้งฉากระนาบที่สร้างด้วยสองปัจจัยซึ่งเป็นผลมาจาก การดำเนินการไบนารี"การคูณเวกเตอร์" มากกว่า เวกเตอร์ในรูปแบบ 3D อวกาศยุคลิด. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่มีคุณสมบัติ การสับเปลี่ยนและ ความเชื่อมโยง(เป็น ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง) และในทางตรงกันข้ามกับ ผลคูณดอทของเวกเตอร์, เป็นเวกเตอร์ ใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานด้านเทคนิคและทางกายภาพมากมาย ตัวอย่างเช่น, โมเมนตัมเชิงมุมและ ลอเรนซ์ ฟอร์ซเขียนทางคณิตศาสตร์เป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ผลคูณไขว้มีประโยชน์สำหรับการ "วัด" ความตั้งฉากของเวกเตอร์ - โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ข้ามของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของพวกมันหากตั้งฉากและจะลดลงเป็นศูนย์หากเวกเตอร์ขนานหรือต้านขนาน

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถคำนวณเวกเตอร์สองตัวโดยใช้ ดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์

สินค้าผสม

สินค้าผสม เวกเตอร์ -ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เวกเตอร์บน ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เวกเตอร์และ:

บางครั้งก็เรียกว่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สามเท่าเวกเตอร์ เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากผลลัพธ์คือ สเกลาร์(อย่างแม่นยำมากขึ้น - สเกลาร์เทียม).

ความรู้สึกทางเรขาคณิต:โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมเป็นตัวเลขเท่ากับปริมาตร ขนานกันมีการศึกษา เวกเตอร์ .สินค้าผสมเวกเตอร์สามตัวสามารถหาได้จากดีเทอร์มีแนนต์

เครื่องบินในอวกาศ

เครื่องบิน - พื้นผิวพีชคณิตลำดับแรก: in ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตั้งเครื่องบินได้ สมการปริญญาแรก

คุณสมบัติบางประการของระนาบ

เครื่องบิน - พื้นผิวซึ่งประกอบด้วย โดยตรง, เชื่อมต่อใด ๆ คะแนน;

ระนาบสองระนาบขนานหรือตัดกันเป็นเส้นตรง

เส้นขนานกับระนาบหรือตัดกันที่จุดหนึ่งหรืออยู่บนระนาบ

เส้นสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกันขนานกัน

ระนาบสองระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกันขนานกัน

ในทำนองเดียวกัน เซ็กเมนต์และ ช่วงเวลาระนาบที่ไม่มีจุดสุดโต่งสามารถเรียกได้ว่าระนาบช่วงเวลาหรือระนาบเปิด

สมการทั่วไป (สมบูรณ์) ของระนาบ

โดยที่ และ เป็นค่าคงที่และในขณะเดียวกันก็ไม่เท่ากับศูนย์ ใน เวกเตอร์รูปร่าง:

เวกเตอร์รัศมีของจุดอยู่ที่ไหน, เวกเตอร์ ตั้งฉากกับระนาบ (เวกเตอร์ปกติ) ไกด์โคไซน์ เวกเตอร์ :

เพื่อการแสดงกฎธรรมชาติที่ถูกต้องในฟิสิกส์ จำเป็นต้องมีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

ในเรขาคณิตและฟิสิกส์ มีปริมาณที่กำหนดโดยทั้งค่าตัวเลขและทิศทาง

ขอแนะนำให้แสดงเป็นส่วนกำกับหรือ เวกเตอร์.

ค่าดังกล่าวมีจุดเริ่มต้น (แสดงด้วยจุด) และจุดสิ้นสุดซึ่งระบุด้วยลูกศร ความยาวของส่วนเรียกว่า (ความยาว)

• ความเร็ว;
• การเร่งความเร็ว;
• ชีพจร;
• ความแข็งแกร่ง;
• ช่วงเวลา;
• ความแข็งแกร่ง;
• ย้าย;
• ความแรงของสนาม ฯลฯ

พิกัดเครื่องบิน

มากำหนดส่วนบนระนาบจากจุด A (x1, y1) ไปยังจุด B (x2, y2) พิกัด a (a1, a2) คือตัวเลข a1=x2-x1, a2=y2-y1

โมดูลคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

เวกเตอร์ศูนย์มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด พิกัดและความยาวเป็น 0

ผลรวมของเวกเตอร์

มีอยู่ กฎหลายข้อในการคำนวณจำนวนเงิน

• กฎสามเหลี่ยม
• กฎรูปหลายเหลี่ยม
• กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กฎการบวกเวกเตอร์สามารถอธิบายได้โดยใช้ปัญหาจากไดนามิกและกลไก พิจารณาการเพิ่มเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยมโดยใช้ตัวอย่างของแรงที่กระทำต่อวัตถุจุดและการกระจัดของวัตถุในอวกาศอย่างต่อเนื่อง

สมมุติว่าร่างกายเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ก่อน จากนั้นจากจุด B ไปยังจุด C การกระจัดขั้นสุดท้ายคือส่วนที่กำกับจากจุดเริ่มต้น A ไปยังจุดสิ้นสุด C

ผลลัพธ์ของการกระจัดสองครั้งหรือผลรวม s = s1+ s2 วิธีการดังกล่าวเรียกว่า กฎสามเหลี่ยม.

ลูกศรเรียงกันเป็นลูกโซ่ถ้าจำเป็นให้ทำการถ่ายโอนแบบขนาน ส่วนทั้งหมดปิดลำดับ จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับการเริ่มต้นของครั้งแรก จุดสิ้นสุด - กับการสิ้นสุดของครั้งสุดท้าย ในตำราต่างประเทศ วิธีนี้เรียกว่า "หางต่อหัว".

พิกัดของผลลัพธ์ c = a + b เท่ากับผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเงื่อนไข c (a1+ b1, a2+ b2)

ผลรวมของเวกเตอร์ขนาน (คอลิเนียร์) ถูกกำหนดโดยกฎสามเหลี่ยมเช่นกัน

หากส่วนเริ่มต้นสองส่วนตั้งฉากกัน ผลลัพธ์ของการบวกคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างขึ้นบนส่วนเหล่านั้น ความยาวของผลรวมคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ตัวอย่าง:

• ความเร็วของร่างกายโยนในแนวนอน ตั้งฉากเร่งการตกอย่างอิสระ
• ด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนที่สม่ำเสมอ ความเร็วเชิงเส้นของวัตถุจะตั้งฉากกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง

การบวกเวกเตอร์สามตัวขึ้นไปผลิตตาม กฎรูปหลายเหลี่ยม, "หางต่อหัว"

สมมุติว่ากำลัง F1 และ F2 ถูกนำไปใช้กับเนื้อหาจุด

ประสบการณ์พิสูจน์ว่าผลรวมของแรงเหล่านี้เทียบเท่ากับการกระทำของแรงหนึ่งที่พุ่งไปตามแนวทแยงมุมตามสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนแรงเหล่านี้ แรงลัพธ์นี้เท่ากับผลรวมของพวกมัน F \u003d F1 + F 2 วิธีการบวกข้างต้นเรียกว่า กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ความยาวในกรณีนี้คำนวณโดยสูตร

โดยที่ θ คือมุมระหว่างด้าน

กฎรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถใช้แทนกันได้ ในทางฟิสิกส์ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานมักใช้มากกว่า เนื่องจากปริมาณของแรง ความเร็ว และความเร่งโดยตรงมักใช้กับวัตถุจุดหนึ่ง ในระบบพิกัด 3 มิติ กฎของกล่องจะมีผลบังคับใช้

องค์ประกอบพีชคณิต

1. การเพิ่มเป็นการดำเนินการแบบไบนารี: คุณสามารถเพิ่มได้ครั้งละหนึ่งคู่เท่านั้น
2. การสับเปลี่ยน: ผลรวมจากการเปลี่ยนเงื่อนไขไม่เปลี่ยนแปลง a + b = b + a สิ่งนี้ชัดเจนจากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน: เส้นทแยงมุมจะเท่ากันเสมอ
3. สมาคม: ผลรวมของจำนวนเวกเตอร์ตามอำเภอใจไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของการบวก (a + b) + c = a + (b + c)
4. การรวมเวกเตอร์ศูนย์จะไม่เปลี่ยนทิศทางหรือความยาว: a +0= a
5. สำหรับแต่ละเวกเตอร์จะมี ตรงข้าม. ผลรวมของพวกมันเท่ากับศูนย์ a +(-a)=0 และความยาวเท่ากัน

การลบส่วนที่กำกับจะเทียบเท่ากับการบวกสิ่งที่ตรงกันข้าม พิกัดจะเท่ากับส่วนต่างของพิกัดที่สอดคล้องกัน ความยาวคือ:

สำหรับการลบ คุณสามารถใช้กฎสามเหลี่ยมที่แก้ไข

การคูณด้วยสเกลาร์

ผลของการคูณด้วยสเกลาร์คือเวกเตอร์

พิกัดผลิตภัณฑ์ได้มาจากการคูณด้วยพิกัดที่สอดคล้องกันของแหล่งกำเนิดด้วยสเกลาร์

สเกลาร์คือค่าตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบ มากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง

ตัวอย่างของสเกลาร์ในฟิสิกส์:

• น้ำหนัก;
• เวลา;
• ค่าใช้จ่าย;
• ความยาว;
• สี่เหลี่ยม;
• ปริมาณ;
• ความหนาแน่น;
• อุณหภูมิ;
• พลังงาน.

ตัวอย่าง:

• การกระจัดของวัตถุที่เคลื่อนที่สม่ำเสมอเท่ากับผลคูณของเวลาและความเร็ว s = vt
• โมเมนตัมของวัตถุคือมวลคูณด้วยความเร็ว p = mv
• กฎข้อที่สองของนิวตัน ผลคูณของมวลกายและความเร่งคือ ที่แนบมาแรงลัพธ์ ma=F
• แรงที่กระทำต่ออนุภาคที่มีประจุในสนามไฟฟ้าเป็นสัดส่วนกับประจุ F = qE

ผลคูณสเกลาร์ของส่วนกำกับ a และ b เท่ากับผลคูณของโมดูลและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ผลคูณสเกลาร์ของส่วนตั้งฉากซึ่งกันและกันมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

งานเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและการกระจัด A = Fs