สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *เพิ่มเติมในข้อความ "KU".เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าในวิชาคณิตศาสตร์จะง่ายกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูจำนวนการแสดงผลที่ยานเดกซ์ให้ต่อคำขอต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ลองดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าประมาณ 70,000 คนต่อเดือนกำลังมองหาข้อมูลนี้ และนี่คือช่วงฤดูร้อน และสิ่งที่จะเกิดขึ้นระหว่างปีการศึกษา - จะมีการร้องขอมากเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเลย เพราะทั้งชายและหญิงที่จบการศึกษาจากโรงเรียนมานานและกำลังเตรียมตัวสอบกำลังมองหาข้อมูลนี้ และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีไซต์มากมายที่บอกวิธีแก้สมการนี้ แต่ฉันตัดสินใจร่วมให้ข้อมูลและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สองในบทความอื่น ๆ เมื่อคำพูด "KU" ปรากฏขึ้นฉันจะให้ลิงก์ไปยังบทความนี้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่มักจะระบุไว้ในเว็บไซต์อื่นๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ a,ขและด้วยตัวเลขตามอำเภอใจด้วย a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียนเนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - การแบ่งสมการออกเป็นสามชั้นเรียนทำแบบมีเงื่อนไข:

1. มีสองราก

2. * มีรากเดียวเท่านั้น

3. ไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าพวกเขาไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ภายใต้คำที่ "แย่มาก" นี้มีสูตรง่ายๆ อยู่:

สูตรรากมีดังนี้:

*สูตรนี้ต้องรู้ใจ

คุณสามารถเขียนและแก้ไขได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีรากที่สอง

2. ถ้า D = 0 สมการจะมีหนึ่งรูท

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูสมการ:

ในโอกาสนี้ เมื่อผู้เลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รากหนึ่งมาแล้ว ที่นี่จะเท่ากับเก้า ก็ใช่น่ะสิ แต่ว่า...

การแสดงนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง อันที่จริงมีสองราก ใช่ใช่ไม่ต้องแปลกใจมันกลับกลายเป็นสองรากที่เท่ากันและเพื่อให้ถูกต้องทางคณิตศาสตร์จากนั้นควรเขียนสองรากในคำตอบ:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถเขียนและบอกว่ามีเพียงรูทเดียวเท่านั้น

ตอนนี้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ดังที่เราทราบ รากของจำนวนลบจะไม่ถูกแยกออกมา ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่คือวิธีที่โซลูชันมีลักษณะทางเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่ง เราจะวิเคราะห์โดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c เป็นตัวเลข โดยที่ a ≠ 0

กราฟเป็นพาราโบลา:

นั่นคือ ปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าบวก) หนึ่งจุด (การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) หรือไม่มีเลย (การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ) ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูบทความโดย อินนา เฟลด์แมน

พิจารณาตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: ตัดสินใจ 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = -12

* คุณสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วย 2 ได้ทันที นั่นคือ ลดความซับซ้อนของสมการ การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราได้ x 1 \u003d 11 และ x 2 \u003d 11

ในคำตอบอนุญาตให้เขียน x = 11

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

ตอบ ไม่มีทางออก

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการเลือกปฏิบัติเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่? ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่เกี่ยวกับสาเหตุและที่มาและบทบาทเฉพาะและความจำเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือหัวข้อสำหรับบทความขนาดใหญ่แยกต่างหาก

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือจำนวนของรูปแบบ

z = a + bi

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือหน่วยจินตภาพที่เรียกว่า

a+bi เป็นเลขตัวเดียว ไม่ใช่ส่วนเสริม

หน่วยจินตภาพเท่ากับรากของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

รับสองรากคอนจูเกต

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

พิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์) พวกเขาจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 สัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ตัวอย่าง:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

กรณีที่ 2 สัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

แปลงร่างแยกตัวประกอบ:

*ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 สัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

เป็นที่ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้แก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์มาก

เอx 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ + ข+ ค = 0,แล้ว

— ถ้าสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ เอx 2 + bx+ ค=0 ความเท่าเทียมกัน

เอ+ กับ =ข, แล้ว

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของสัมประสิทธิ์คือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกัน เอ+ กับ =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. ถ้าในสมการ ax 2 + bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" รากของมันคือ

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 +37x+6 = 0

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6

2. ถ้าในสมการขวาน 2 - bx + c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" คือ (a 2 +1) และสัมประสิทธิ์ "c" เท่ากับตัวเลขของสัมประสิทธิ์ "a" แล้วรากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx - c = 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” ตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 + 288x - 17 = 0

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17

4. หากในสมการ ax 2 - bx - c \u003d 0 สัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และสัมประสิทธิ์ c เท่ากับตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่ารากของมันคือ

ขวาน 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x2 - 99x -10 = 0

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตาม Francois Vieta นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียง การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราสามารถแสดงผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากของ KU โดยพลการในแง่ของค่าสัมประสิทธิ์

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยสรุปแล้ว ตัวเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือรากเหง้า ด้วยทักษะบางอย่าง โดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากได้ทันทีด้วยวาจา

ทฤษฎีบทของเวียตา ยิ่งกว่านั้น สะดวกเพราะหลังจากแก้สมการกำลังสองตามปกติ (ผ่าน discriminant) สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้ตลอดเวลา

วิธีการโอน

ด้วยวิธีนี้สัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระราวกับว่า "โอน" ไปที่มันซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า วิธีการโอนวิธีนี้ใช้เมื่อหารากของสมการได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อ discriminant เป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า เอ± b+c≠ 0 จากนั้นจึงใช้เทคนิคการถ่ายโอนเช่น:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ตามทฤษฎีบทเวียตาในสมการ (2) มันง่ายที่จะตัดสินว่า x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

รากของสมการที่ได้จะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

เหตุผลคืออะไร? ดูว่าเกิดอะไรขึ้น

การเลือกปฏิบัติของสมการ (1) และ (2) คือ:

หากคุณดูที่รากของสมการ ก็จะได้ตัวส่วนที่แตกต่างกันเท่านั้น และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ที่ x 2:

รากที่สอง (แก้ไข) มีขนาดใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*ถ้าเราทอยสามแบบ เราก็หารผลลัพธ์ด้วย 3 ไปเรื่อยๆ

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร. ur-ie และการสอบ

ฉันจะพูดสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณควรจะสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการแบ่งแยกด้วยใจ งานจำนวนมากที่เป็นส่วนหนึ่งของงาน USE ลงมาเพื่อแก้สมการกำลังสอง (รวมถึงงานเรขาคณิต)

สิ่งที่ควรค่าแก่การสังเกต!

1. รูปแบบของสมการสามารถเป็น "โดยปริยาย" ได้ ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องนำไปไว้ในรูปแบบมาตรฐาน (เพื่อไม่ให้สับสนเมื่อแก้ไข)

2. จำไว้ว่า x เป็นค่าที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่น ๆ เช่น t, q, p, h และอื่นๆ

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นแตกต่างจากสมการคลาสสิก (สมบูรณ์) โดยที่ตัวประกอบหรือเทอมอิสระนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวคือพาราโบลา ขึ้นอยู่กับลักษณะทั่วไป แบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม หลักการแก้สมการทุกประเภทเหมือนกัน

ไม่มีอะไรยากในการกำหนดชนิดของพหุนามที่ไม่สมบูรณ์ เป็นการดีที่สุดที่จะพิจารณาความแตกต่างที่สำคัญในตัวอย่างที่แสดง:

1. ถ้า b = 0 สมการคือ ax 2 + c = 0
2. ถ้า c = 0 นิพจน์ ax 2 + bx = 0 ควรได้รับการแก้ไข
3. ถ้า b = 0 และ c = 0 พหุนามจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของประเภท ax 2 = 0

กรณีสุดท้ายมีความเป็นไปได้ทางทฤษฎีมากกว่าและไม่เคยเกิดขึ้นในการทดสอบความรู้ เนื่องจากค่าจริงเพียงอย่างเดียวของตัวแปร x ในนิพจน์คือศูนย์ ในอนาคตจะพิจารณาวิธีการและตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ 1) และ 2) ของประเภท

อัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการค้นหาตัวแปรและตัวอย่างด้วยโซลูชัน

โดยไม่คำนึงถึงประเภทของสมการ อัลกอริทึมการแก้ปัญหาจะลดลงเป็นขั้นตอนต่อไปนี้:

1. นำนิพจน์มาอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการค้นหาราก
2. ทำการคำนวณ
3. เขียนคำตอบ

แก้สมการที่ไม่สมบูรณ์ได้ง่ายที่สุดโดยแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายและปล่อยให้ศูนย์อยู่ทางด้านขวา ดังนั้น สูตรสำหรับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สำหรับการหารากจึงลดลงเหลือเพียงการคำนวณค่าของ x สำหรับแต่ละปัจจัย

คุณสามารถเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาได้ในทางปฏิบัติเท่านั้น ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะของการหารากของสมการที่ไม่สมบูรณ์:

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ b = 0 เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายและรับนิพจน์:

4(x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0

เห็นได้ชัดว่าผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ข้อกำหนดที่คล้ายกันนั้นเป็นไปตามค่าของตัวแปร x1 = 0.5 และ (หรือ) x2 = -0.5

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานการแยกตัวประกอบกำลังสองเป็นปัจจัยได้อย่างง่ายดายและรวดเร็ว คุณควรจำสูตรต่อไปนี้:

หากไม่มีคำศัพท์อิสระในนิพจน์ งานจะง่ายขึ้นอย่างมาก แค่ค้นหาและนำตัวส่วนร่วมออกมาก็เพียงพอแล้ว เพื่อความชัดเจน ลองพิจารณาตัวอย่างวิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax2 + bx = 0

ลองเอาตัวแปร x ออกจากวงเล็บและรับนิพจน์ต่อไปนี้:

x ⋅ (x + 3) = 0

จากตรรกะ เราสรุปได้ว่า x1 = 0 และ x2 = -3

วิธีดั้งเดิมในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้สูตร discriminant และพยายามหารากของพหุนามโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์? มาดูตัวอย่างจากการรวบรวมงานทั่วไปสำหรับ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ในปี 2017 เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตรมาตรฐานและวิธีการแยกตัวประกอบ

7x 2 - 3x = 0

คำนวณค่าของ discriminant: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9 ปรากฎว่าพหุนามมีสองราก:

ทีนี้ แก้สมการด้วยการแยกตัวประกอบและเปรียบเทียบผลลัพธ์

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

อย่างที่คุณเห็น ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกัน แต่วิธีที่สองในการแก้สมการกลับกลายเป็นว่าง่ายและเร็วกว่ามาก

ทฤษฎีบทของเวียตา

แต่จะทำอย่างไรกับทฤษฎีบทเวียตาอันเป็นที่รัก? วิธีนี้ใช้กับไตรโนเมียลที่ไม่สมบูรณ์ได้ไหม ลองทำความเข้าใจแง่มุมต่าง ๆ ของการลดสมการที่ไม่สมบูรณ์ให้อยู่ในรูปแบบคลาสสิก ax2 + bx + c = 0

ในความเป็นจริง เป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีบทของเวียตาในกรณีนี้ จำเป็นต้องนำนิพจน์ไปอยู่ในรูปแบบทั่วไปเท่านั้น โดยแทนที่เงื่อนไขที่ขาดหายไปด้วยศูนย์

ตัวอย่างเช่น ด้วย b = 0 และ a = 1 เพื่อขจัดความเป็นไปได้ของความสับสน งานควรเขียนในรูปแบบ: ax2 + 0 + c = 0 จากนั้นอัตราส่วนของผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากและ ตัวประกอบของพหุนามสามารถแสดงได้ดังนี้:

การคำนวณเชิงทฤษฎีช่วยให้ทำความคุ้นเคยกับสาระสำคัญของปัญหา และจำเป็นต้องมีการพัฒนาทักษะในการแก้ปัญหาเฉพาะอยู่เสมอ กลับไปที่หนังสืออ้างอิงของงานทั่วไปสำหรับการสอบอีกครั้งและค้นหาตัวอย่างที่เหมาะสม:

เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการใช้ทฤษฎีบทเวียตา:

x2 + 0 - 16 = 0

ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างระบบเงื่อนไข:

เห็นได้ชัดว่ารากของพหุนามกำลังสองจะเป็น x 1 \u003d 4 และ x 2 \u003d -4

ทีนี้ มาฝึกนำสมการมาอยู่ในรูปทั่วไปกัน ยกตัวอย่างต่อไปนี้: 1/4× x 2 – 1 = 0

เพื่อนำทฤษฎีบทเวียตาไปใช้กับนิพจน์ คุณต้องกำจัดเศษส่วน คูณด้านซ้ายและด้านขวาด้วย 4 และดูผลลัพธ์: x2– 4 = 0 ความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์พร้อมที่จะแก้ไขโดยทฤษฎีบท Vieta แต่การหาคำตอบนั้นง่ายกว่าและเร็วกว่ามากโดยการย้าย c = 4 ทางด้านขวาของสมการ: x2 = 4

สรุปได้ว่าวิธีที่ดีที่สุดในการแก้สมการที่ไม่สมบูรณ์คือการแยกตัวประกอบซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายและเร็วที่สุด หากคุณประสบปัญหาในกระบวนการค้นหาราก คุณสามารถอ้างถึงวิธีการดั้งเดิมในการค้นหารากผ่านการเลือกปฏิบัติ

เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นรุ่นเฉพาะของขวานเท่ากัน 2 + ใน + c \u003d o โดยที่ a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์จริงสำหรับ x ที่ไม่รู้จักและโดยที่ a ≠ o และ b และ c จะเป็นศูนย์ - พร้อมกัน หรือแยกกัน ตัวอย่างเช่น c = o, v ≠ o หรือกลับกัน เราเกือบจะจำคำจำกัดความของสมการกำลังสองได้แล้ว

ไตรนามของดีกรีที่สองเท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ตัวแรกของมันคือ a ≠ o, b และ c สามารถใช้กับค่าใดก็ได้ ค่าของตัวแปร x จะเป็นเมื่อแทนที่ ตัวแปรนั้นจะเปลี่ยนเป็นค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง ขอให้เราอาศัยรากที่แท้จริงแม้ว่าคำตอบของสมการจะสมบูรณ์ได้ก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกสมการที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ใดๆ เท่ากับ o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o
ลองแก้ตัวอย่าง 2x2 -9x-5 = โอ้ เราเจอแล้ว
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D เป็นค่าบวก ดังนั้นจึงมีราก x 1 = (9+√121): 4 = 5 และตัวที่สอง x 2 = (9-√121): 4 = -o.5 การตรวจสอบจะช่วยให้แน่ใจว่าถูกต้อง

นี่คือวิธีแก้สมการกำลังสองทีละขั้นตอน

คุณสามารถแก้สมการใดๆ ทางซ้ายของสมการได้โดยใช้ตัวจำแนกประเภทที่มี ≠ o ในตัวอย่างของเรา 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ขวาน 2 + ใน + c \u003d o)

พิจารณาว่าสมการที่ไม่สมบูรณ์ของดีกรีที่สองคืออะไร

1. ขวาน 2 + ใน = o เทอมอิสระ สัมประสิทธิ์ c ที่ x 0 เป็นศูนย์ตรงนี้ ใน ≠ o
   จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แบบนี้ได้อย่างไร? ลองเอา x ออกจากวงเล็บ จำไว้ว่าเมื่อผลคูณของสองปัจจัยเป็นศูนย์
   x(ax+b) = o อาจเป็นได้เมื่อ x = o หรือเมื่อ ax+b = o
   แก้ตัวที่ 2 เราได้ x = -v/a
   เป็นผลให้เรามีราก x 1 \u003d 0 ตามการคำนวณ x 2 \u003d -b / a
2. ตอนนี้สัมประสิทธิ์ของ x คือ o แต่ c ไม่เท่ากับ (≠) o
   x 2 + c \u003d o เราโอน c ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราได้ x 2 \u003d -c สมการนี้มีรากจริงก็ต่อเมื่อ -c เป็นจำนวนบวก (c ‹ o)
   x 1 เท่ากับ √(-c) ตามลำดับ x 2 คือ -√(-c) มิฉะนั้นสมการจะไม่มีรากเลย
3. ตัวเลือกสุดท้าย: b \u003d c \u003d o นั่นคือ ax 2 \u003d o โดยธรรมชาติแล้ว สมการง่ายๆ ดังกล่าวจะมีหนึ่งรูต x = o

กรณีพิเศษ

เราได้พิจารณาวิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แล้ว และตอนนี้เราจะใช้วิธีใดก็ได้

• ในสมการกำลังสองเต็ม สัมประสิทธิ์ที่สองของ x เป็นจำนวนคู่
  ให้ k = o,5b เรามีสูตรคำนวณการจำแนกและราก
  D / 4 \u003d k 2 - ac รากคำนวณดังนี้ x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a สำหรับ D › o
  x = -k/a ที่ D = o
  ไม่มีรากสำหรับ D ‹ o
• มีสมการกำลังสองลดลงเมื่อสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสองเท่ากับ 1 มักจะเขียนว่า x 2 + px + q \u003d o สูตรข้างต้นทั้งหมดใช้กับพวกเขา แต่การคำนวณค่อนข้างง่ายกว่า
  ตัวอย่าง x 2 -4x-9 \u003d 0 เราคำนวณ D: 2 2 +9, D \u003d 13
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• นอกจากนี้ยังใช้กับค่าที่กำหนดได้ง่าย ๆ โดยบอกว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p สัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ (หมายถึงเครื่องหมายตรงข้าม) และผลิตภัณฑ์ของรากเดียวกันเหล่านี้จะ เท่ากับ q, เทอมอิสระ ลองดูว่าการหารากของสมการนี้ด้วยวาจานั้นง่ายเพียงใด สำหรับการไม่ลดทอน (สำหรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ไม่เท่ากับศูนย์) ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ดังนี้: ผลรวม x 1 + x 2 เท่ากับ -v / a ผลิตภัณฑ์ x 1 x 2 เท่ากับ c / a .

ผลรวมของเทอมอิสระ c และสัมประสิทธิ์แรก a เท่ากับสัมประสิทธิ์ b ในสถานการณ์นี้ สมการมีอย่างน้อยหนึ่งรูท (พิสูจน์ได้ง่าย) อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับ -1 และรูทที่สอง - c / a หากมี วิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง ง่าย สบาย. สัมประสิทธิ์สามารถอยู่ในอัตราส่วนบางอย่างได้

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o
• ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดคือ o
  รากของสมการดังกล่าวคือ 1 และ c / a ตัวอย่าง 2x 2 -15x + 13 = o
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2

มีหลายวิธีในการแก้สมการที่แตกต่างกันของดีกรีที่สอง ตัวอย่างเช่น นี่คือวิธีการแยกกำลังสองเต็มจากพหุนามที่กำหนด มีหลายวิธีกราฟิก เมื่อคุณจัดการกับตัวอย่างเหล่านี้บ่อยครั้ง คุณจะได้เรียนรู้ที่จะ "คลิก" พวกมันเหมือนเมล็ดพืช เพราะวิธีการทั้งหมดจะอยู่ในใจโดยอัตโนมัติ

หมายเหตุสำคัญ!
1. ถ้าคุณเห็นอักษรย่อแทนสูตร ให้ล้างแคช วิธีทำในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ ให้ใส่ใจกับตัวนำทางของเราสำหรับแหล่งข้อมูลที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับ

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "สมการกำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องประกอบด้วยตัวแปร (X เดียวกัน) ในช่องสี่เหลี่ยม และในขณะเดียวกันก็ไม่ควรมี X ในระดับที่สาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายๆ สมการจะลดเหลือการแก้สมการกำลังสอง

มาเรียนรู้เพื่อหาว่าเรามีสมการกำลังสอง ไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่าง 1

กำจัดตัวส่วนและคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขจากมากไปน้อยของพลังของ x

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่าง 2

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

สมการนี้แม้ว่าจะอยู่ในตอนแรก แต่ก็ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง ... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะเป็นเช่นนั้น แต่ลองมาดูกันดีกว่า ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

คุณเห็นไหมว่ามันหดตัว - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นอย่างง่าย!

ตอนนี้ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่สี่เหลี่ยม
4. ไม่สี่เหลี่ยม
5. ไม่สี่เหลี่ยม
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่สี่เหลี่ยม
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามเงื่อนไขเป็นประเภทต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองสมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และตลอดจนเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังในตัวอย่าง) นอกจากนี้ ในบรรดาสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยังมี ที่ให้ไว้คือสมการที่สัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงแต่สมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือระยะอิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากองค์ประกอบบางอย่างขาดหายไปจากพวกเขา แต่สมการต้องมี x กำลังสองเสมอ !!! มิฉะนั้น มันจะไม่เป็นกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงมากับแผนกดังกล่าว? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง และโอเค การแบ่งดังกล่าวเกิดจากวิธีการแก้ปัญหา ลองพิจารณาแต่ละรายละเอียดเพิ่มเติม

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

อันดับแรก มาเน้นที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์กัน ง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เป็นประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ผม. เนื่องจากเรารู้วิธีหารากที่สองแล้ว ลองแสดงจากสมการนี้

นิพจน์สามารถเป็นได้ทั้งค่าลบหรือค่าบวก จำนวนกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนหรือบวกสองจำนวน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้า สมการนั้นไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราก็ได้รากมาสองอัน ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณควรรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยกว่านี้

มาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้ยังคงแยกรากออกจากส่วนซ้ายและขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีการแยกรากได้หรือไม่?

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

อุ๊ย! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จึงสร้างไอคอนพิเศษขึ้นมา - (ชุดว่าง) และสามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้

ตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองราก ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แยกรูท
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

ลองเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ทางนี้,

สมการนี้มีสองราก

ตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ที่ง่ายที่สุด (แม้ว่าจะง่ายทั้งหมดใช่ไหม) เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

ที่นี่เราจะทำโดยไม่มีตัวอย่าง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราขอเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองเต็มนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย (นิดหน่อย) กว่าที่ให้มา

จดจำ, สมการกำลังสองใด ๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้ discriminant! แม้จะไม่สมบูรณ์

วิธีที่เหลือจะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่ถ้าคุณมีปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสอง ขั้นแรกให้เชี่ยวชาญการแก้ปัญหาโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้ง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการมีราก ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอน discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าอย่างนั้นสูตรตามขั้นตอนจะลดเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากเป็นเช่นนั้นเราจะไม่สามารถแยกรากของการเลือกปฏิบัติได้ในขั้นตอน นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราและดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:

สมการจึงมีรากสองราก

ขั้นตอนที่ 3

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:

สมการจึงมีหนึ่งราก

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากออกจากการเลือกปฏิบัติได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

ตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

หากคุณจำได้ มีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่า รีดิวซ์ (เมื่อสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากก็เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาเพราะ .

ผลรวมของรากของสมการคือ กล่าวคือ เราได้สมการแรก:

และสินค้าคือ

มาสร้างและแก้ไขระบบกันเถอะ:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินที่เท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

สมการจะลดลงซึ่งหมายความว่า:

ตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับเฉลี่ย

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบค่า - ตัวเลขบางตัว

ตัวเลขเรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง, ก - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการจะกลายเป็นเชิงเส้นทันทีเพราะ จะหายไป.

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการอุจจาระนี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดอยู่ในสถานที่ นั่นคือ สมการจะสมบูรณ์

แก้สมการกำลังสองแบบต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ในการเริ่มต้น เราจะวิเคราะห์วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งง่ายกว่า

สมการประเภทต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

I. , ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนที่ยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองจำนวนหรือบวกสองจำนวน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือต้องไม่น้อยกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

เพื่อเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่าง

ตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีรากสองราก: และ

ตอบ:

ลองเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณเท่ากับศูนย์หากตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ.

วิธีการแก้:

เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการและหาราก:

ตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้ทำได้ง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การเลือกปฏิบัติ! แม้จะไม่สมบูรณ์

คุณสังเกตเห็นรากของการเลือกปฏิบัติในสูตรรากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ตัวแบ่งแยกจะบอกจำนวนรากของสมการให้เราทราบ

• หากสมการมีรูท:
• หากสมการนั้นมีรูตเหมือนกัน แต่อันที่จริงแล้ว หนึ่งรูต:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• หากไม่ได้แยกรากของการเลือกปฏิบัติ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจึงมีจำนวนรากต่างกัน ให้เราหันไปหาความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันคือพาราโบลา:

ในบางกรณีซึ่งเป็นสมการกำลังสอง . และนี่หมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกน x (แกน) พาราโบลาอาจไม่ตัดแกนเลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อส่วนบนของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้สัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ถ้ากิ่งของพาราโบลาจะพุ่งขึ้นไปข้างบนและถ้า - ก็ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

ตอบ:

ตอบ: .

ตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

ตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตา

การใช้ทฤษฎีบทเวียตานั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกคู่ของตัวเลขที่ผลคูณเท่ากับพจน์ว่างของสมการ และผลรวมจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง นำโดยเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตาสามารถใช้ได้กับ .เท่านั้น ให้สมการกำลังสอง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง # 1:

แก้สมการ.

วิธีการแก้:

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาเพราะ . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และสินค้าคือ

มาเลือกคู่ของตัวเลขกัน ซึ่งผลคูณของจำนวนนั้นเท่ากัน และตรวจดูว่าผลรวมของพวกมันเท่ากันหรือไม่:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินที่เท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ดังนั้นและเป็นรากของสมการของเรา

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง #2:

วิธีการแก้:

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลิตภัณฑ์ จากนั้นตรวจสอบว่าผลรวมของพวกมันเท่ากันหรือไม่:

และ: ให้ทั้งหมด

และ: ให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มันมา คุณเพียงแค่ต้องเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ถูกกล่าวหา: และท้ายที่สุดคือผลิตภัณฑ์

ตอบ:

ตัวอย่าง #3:

วิธีการแก้:

พจน์ว่างของสมการเป็นค่าลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นจำนวนลบ สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งมีค่าเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก ผลรวมของรากคือ ความแตกต่างของโมดูล.

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์และผลต่างเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างคือ - ไม่เหมาะ;

และ: - ไม่เหมาะ;

และ: - ไม่เหมาะ;

และ: - เหมาะสม เหลือเพียงจำไว้ว่ารากหนึ่งเป็นค่าลบ เนื่องจากผลรวมของพวกมันจะต้องเท่ากัน ดังนั้นรูทซึ่งน้อยกว่าในค่าสัมบูรณ์จะต้องเป็นค่าลบ: เราตรวจสอบ:

ตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ.

วิธีการแก้:

สมการจะลดลงซึ่งหมายความว่า:

เทอมอิสระเป็นค่าลบ และด้วยเหตุนี้ผลคูณของรากจึงเป็นค่าลบ และนี่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นบวก

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลลัพธ์เท่ากัน จากนั้นกำหนดว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

ตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ.

วิธีการแก้:

สมการจะลดลงซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งรากเป็นค่าลบ แต่เนื่องจากผลผลิตเป็นบวก หมายความว่ารากทั้งสองมีค่าลบ

เราเลือกคู่ของตัวเลขดังกล่าวซึ่งได้ผลลัพธ์เท่ากับ:

เห็นได้ชัดว่ารากคือตัวเลขและ

ตอบ:

เห็นด้วย สะดวกมาก - ในการประดิษฐ์รากด้วยปากเปล่าแทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ให้บ่อยที่สุด

แต่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทเวียตาเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหาราก เพื่อให้เป็นประโยชน์สำหรับคุณในการใช้งาน คุณต้องนำการดำเนินการไปสู่ระบบอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของเวียตา:

โซลูชั่นสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1 ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติ เราจะเริ่มการเลือกด้วยผลิตภัณฑ์:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเงินคือสิ่งที่คุณต้องการ

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 2

และอีกครั้ง ทฤษฎีบทเวียตาที่เราชื่นชอบ: ผลรวมควรได้ผล แต่ผลคูณเท่ากัน

แต่เนื่องจากไม่ควร แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหน?

จำเป็นต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

ใช่ หยุด! สมการจะไม่ได้รับ แต่ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการมา หากคุณไม่สามารถอธิบายได้ ให้ยกเลิกแนวคิดนี้และแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ผมขอเตือนคุณว่าการนำสมการกำลังสองมาหมายถึงทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ:

ยอดเยี่ยม. จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากันและผลคูณ

ง่ายกว่าที่จะรับที่นี่: หลังจากทั้งหมด - จำนวนเฉพาะ (ขออภัยสำหรับความซ้ำซากจำเจ)

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 4

ระยะฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงที่ว่ารากจะมีลักษณะแตกต่างกัน และตอนนี้ ระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ความแตกต่างระหว่างโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลคูณ

ดังนั้น รากจึงเท่ากัน แต่หนึ่งในนั้นมีค่าลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารูทที่เล็กกว่าจะมีค่าลบ: และตั้งแต่นั้นมา

ตอบ: ; .

งาน 5.

สิ่งที่ต้องทำก่อน? ถูกต้อง ให้สมการดังนี้

อีกครั้ง: เราเลือกตัวประกอบของตัวเลข และความแตกต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากันและหนึ่งในนั้นคือลบ อย่างไหน? ผลรวมของพวกเขาจะต้องเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าด้วยลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

ตอบ: ; .

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยวาจา
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ของตัวประกอบที่เหมาะสมของเทอมอิสระ แสดงว่าไม่มีรากของจำนวนเต็ม และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกสี่เหลี่ยมแบบเต็ม

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักถูกแสดงเป็นคำศัพท์จากสูตรของการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร สมการสามารถแสดงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภท

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

วิธีการแก้:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

วิธีการแก้:

ตอบ:

โดยทั่วไป การแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายความว่า: .

มันไม่ทำให้คุณนึกถึงอะไรเหรอ? มันคือการเลือกปฏิบัติ! นั่นเป็นวิธีที่ได้รับสูตรการเลือกปฏิบัติ

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองคือพจน์อิสระ

สมการกำลังสองสมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่สัมประสิทธิ์ นั่นคือ .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์:

• ถ้าสัมประสิทธิ์สมการจะมีรูปแบบดังนี้ ,
• หากเป็นพจน์ว่าง สมการจะมีรูปแบบดังนี้ ,
• ถ้า และ สมการมีรูปแบบดังนี้ .

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) แสดงสิ่งที่ไม่รู้จัก: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีสองราก

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณเท่ากับศูนย์หากตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากที่สอง:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

1) นำสมการมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน: ,

2) คำนวณ discriminant โดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการมีรูทซึ่งพบโดยสูตร:
• ถ้าสมการมีรูทซึ่งพบโดยสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียต้า

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากัน กล่าวคือ ก.

2.3. สารละลายสแควร์เต็ม

หากสมการกำลังสองของแบบฟอร์มมีราก ก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: .

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไข (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ โซลูชันตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันดูเหมือนอะไร? ในระยะ สมการกำลังสองคีย์เวิร์ดคือ "สี่เหลี่ยม".หมายความว่าในสมการ อย่างจำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนั้น ในสมการอาจจะมี (หรืออาจจะไม่ใช่ก็ได้!) แค่ x (ถึงดีกรีแรก) และก็แค่ตัวเลข (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี x ในระดับที่มากกว่าสอง

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

ที่นี่ a, b และ c- ตัวเลขบางส่วน ขและค- อะไรก็ได้ แต่ เอ- อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ เอ =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ เอ =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ เอ =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจความคิด...

ในสมการกำลังสองเหล่านี้ ทางซ้ายมี ครบชุดสมาชิก. x กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ ก x ยกกำลังแรกพร้อมสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรีของ

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เสร็จสิ้น.

เกิดอะไรขึ้นถ้า ข= 0 เราจะได้อะไร? เรามี X จะหายไปในระดับแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นจากการคูณด้วยศูนย์) ปรากฎเช่น:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

เป็นต้น และถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งสอง ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยิ่งง่ายยิ่งขึ้น:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

สมการดังกล่าวมีบางอย่างขาดหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

ว่าทำไม เอไม่สามารถเป็นศูนย์? และคุณแทนที่แทน เอศูนย์.) X ในสี่เหลี่ยมจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และทำอย่างอื่น...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

แก้สมการกำลังสอง

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์

สมการกำลังสองนั้นแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆ ในระยะแรก จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐาน กล่าวคือ มุมมอง:

หากสมการได้รับในรูปแบบนี้แล้วคุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือการกำหนดสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง เอ, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่า เลือกปฏิบัติ. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็น ในการหา x เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงแทนที่ค่าอย่างระมัดระวัง a, b และ cลงในสูตรนี้แล้วนับ ทดแทน ด้วยสัญญาณของคุณ! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

เอ =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียน:

ตัวอย่างเกือบจะแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ทุกอย่างง่ายมาก และคุณคิดว่าคุณไม่สามารถผิดพลาดได้? ก็ใช่ไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับสัญญาณของค่านิยม a, b และ c. หรือมากกว่าไม่มีสัญญาณของพวกเขา (จะต้องสับสนที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรสำหรับการคำนวณราก ที่นี่บันทึกรายละเอียดของสูตรพร้อมตัวเลขเฉพาะที่บันทึกไว้ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำเลย!

สมมติว่าเราต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ เอ = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

ดีอย่าขี้เกียจ จะใช้เวลา 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดพิเศษ และจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว. ดังนั้นเราจึงเขียนรายละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนยากอย่างเหลือเชื่อที่จะทาสีอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเท่านั้น ลองมัน. ดีหรือเลือก อันไหนดีกว่า เร็ว หรือถูก? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นานก็ไม่จำเป็นต้องทาสีทุกอย่างอย่างระมัดระวัง มันจะเปิดออกขวา โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคเชิงปฏิบัติ ซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง ตัวอย่างชั่วร้ายที่มี minuses จำนวนมากจะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้ง สมการกำลังสองดูแตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

เธอรู้รึเปล่า?) ใช่! มัน สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์.

คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

พวกเขายังสามารถแก้ไขได้โดยสูตรทั่วไป คุณแค่ต้องคิดให้ถูกว่ามีค่าเท่ากันตรงนี้ a, b และ c.

ที่ตระหนักรู้? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;เอ ค? มันไม่มีอยู่เลย! อืม ใช่ ถูกต้อง ในทางคณิตศาสตร์นี่หมายความว่า ค = 0 ! นั่นคือทั้งหมดที่ แทนที่ศูนย์ลงในสูตรแทน ค,และทุกอย่างจะได้ผลสำหรับเรา ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงศูนย์ที่เราไม่มีที่นี่ กับ, แ ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ พิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ข้อแรก ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง คุณสามารถถอด X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไป

แล้วยังไงล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบใด ๆ เท่ากับศูนย์! ไม่เชื่อ? ทีนี้ ลองหาตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่ เมื่อคูณแล้ว จะได้ศูนย์!
ไม่สำเร็จ? บางสิ่งบางอย่าง...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทุกอย่าง. นี่จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองพอดี เมื่อแทนค่าใดๆ ลงในสมการเดิม เราจะได้ค่าเอกลักษณ์ที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น คำตอบนั้นง่ายกว่าสูตรทั่วไปมาก ฉันสังเกตเห็นว่า X จะเป็นตัวแรกและตัวที่สอง - มันไม่แยแสอย่างยิ่ง ง่ายต่อการเขียนตามลำดับ x 1- แล้วแต่จำนวนใดจะน้อยกว่า x2- สิ่งที่มากกว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย เราย้าย 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

มันยังคงแยกรากออกจาก 9 และนั่นคือมัน รับ:

ยังสองราก . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด ไม่ว่าจะโดยการเอา X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงแค่โอนหมายเลขไปทางขวา แล้วตามด้วยการแยกราก
เป็นการยากที่จะสับสนกับวิธีการเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรูทออกจาก X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะดึงออกจากวงเล็บ ...

เลือกปฏิบัติ สูตรแยกแยะ

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ ! นักเรียนมัธยมปลายหายากไม่เคยได้ยินคำนี้! วลี "ตัดสินใจผ่านการเลือกปฏิบัติ" ทำให้มั่นใจและมั่นใจ เพราะไม่ต้องคอยกลอุบายจากการเลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา ใดๆสมการกำลังสอง:

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ การเลือกปฏิบัติมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ดี. สูตรจำแนก:

D = b 2 - 4ac

แล้วนิพจน์นี้มีความพิเศษอย่างไร? ทำไมจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากนั้น -b,หรือ 2aในสูตรนี้ไม่ได้ระบุชื่อเฉพาะ ... ตัวอักษรและตัวอักษร

ประเด็นคือสิ่งนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ เป็นไปได้ เพียงสามกรณี

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าคุณสามารถแยกรากออกจากมันได้ ไม่ว่ารูตจะถูกแยกออกมาดีหรือไม่ดีเป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่ดึงออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณมีทางออกเดียว เนื่องจากการเพิ่มหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองเหมือนกัน. แต่ในเวอร์ชั่นง่าย ๆ เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบจำนวนลบไม่นำรากที่สอง โอเค. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

ความจริงแล้ว ด้วยวิธีแก้ปัญหาสมการกำลังสองอย่างง่าย แนวคิดเรื่องการเลือกปฏิบัตินั้นไม่จำเป็นจริงๆ เราแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรแล้วพิจารณา ที่นั่นทุกอย่างกลับกลายเป็นโดยตัวมันเองและสองรากและหนึ่งและไม่ใช่หนึ่งเดียว อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้งานที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่มีความรู้ สูตรความหมายและการเลือกปฏิบัติไม่พอ. โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวเป็นไม้ลอยสำหรับ GIA และ Unified State Examination!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือเรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีระบุอย่างถูกต้อง a, b และ c. คุณรู้ไหมว่าทำอย่างไร อย่างระมัดระวังแทนที่ลงในสูตรรากและ อย่างระมัดระวังนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจหรือไม่ว่าคำสำคัญที่นี่คือ - อย่างระมัดระวัง?

จดเทคนิคที่ใช้งานได้จริงซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเนื่องมาจากการไม่ตั้งใจ ... ซึ่งเมื่อนั้นแล้ว ย่อมเจ็บปวดและดูถูก ...

การรับครั้งแรก . อย่าเกียจคร้านก่อนแก้สมการกำลังสองเพื่อให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่า?
สมมติว่าหลังจากการแปลงใดๆ คุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเร่งที่จะเขียนสูตรของราก! คุณเกือบจะสับสนแน่นอน a, b และ cสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก x กำลังสอง จากนั้นไม่มีสี่เหลี่ยม จากนั้นจึงเป็นสมาชิกอิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบก่อน x กำลังสอง อาจทำให้คุณเสียใจได้มาก ลืมมันง่าย... กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? ใช่ตามที่สอนในหัวข้อก่อนหน้า! เราต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

และตอนนี้ คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับราก คำนวณการเลือกปฏิบัติ และกรอกตัวอย่างได้อย่างปลอดภัย ตัดสินใจด้วยตัวเอง คุณควรลงเอยด้วยราก 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สอง ตรวจสอบรากของคุณ! ตามทฤษฎีบทของเวียตา ไม่ต้องกังวล ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ สิ่งสุดท้ายสมการ เหล่านั้น. ซึ่งเราเขียนสูตรของรากลงไป ถ้า (ตามตัวอย่างนี้) สัมประสิทธิ์ a = 1,ตรวจสอบรากได้ง่าย. ก็เพียงพอที่จะทวีคูณพวกเขา คุณควรได้รับเงื่อนไขฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 ให้ความสนใจไม่ใช่ 2 แต่ -2! สมาชิกฟรี ด้วยเครื่องหมายของคุณ . หากไม่ได้ผลแสดงว่าพวกเขาทำผิดพลาดไปที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด

ถ้ามันได้ผลคุณต้องพับราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย น่าจะเป็นอัตราส่วน ขกับ ตรงข้าม เข้าสู่ระบบ. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน x เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่มันง่ายมากสำหรับตัวอย่างที่ x กำลังสองบริสุทธิ์พร้อมสัมประสิทธิ์ ก = 1แต่อย่างน้อยตรวจสอบสมการดังกล่าว! จะมีข้อผิดพลาดน้อยลง

แผนกต้อนรับที่สาม . หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วน! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "วิธีแก้สมการ การแปลงเอกลักษณ์" เมื่อทำงานกับเศษส่วน, ข้อผิดพลาด, ปีน ...

อย่างไรก็ตาม ฉันสัญญากับตัวอย่างที่ชั่วร้ายพร้อมเครื่องหมายลบจำนวนหนึ่งเพื่อทำให้เข้าใจง่ายขึ้น โปรด! เขาอยู่ที่นี่

เพื่อไม่ให้สับสนในเครื่องหมายลบ เราคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

นั่นคือทั้งหมด! การตัดสินใจเป็นเรื่องสนุก!

มาสรุปหัวข้อกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนแก้ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สร้างมัน ขวา.

2. หากมีค่าสัมประสิทธิ์ลบนำหน้า x ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราจะกำจัดมันด้วยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. หากสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนด้วยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่สอดคล้องกัน

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ สัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับหนึ่ง สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดยทฤษฎีบทของเวียตา ทำมัน!

ตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือไม่? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ได้ทำให้คุณปวดหัว สามคนแรกเปิดออก แต่ที่เหลือไม่ได้? แล้วปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาอยู่ในการแปลงสมการเหมือนกัน ลองดูตามลิงค์ครับ มีประโยชน์

ไม่ทำงานค่อนข้าง? หรือมันไม่ทำงานเลย? ถ้าอย่างนั้นมาตรา 555 จะช่วยคุณได้ มีตัวอย่างเหล่านี้เรียงตามกระดูก กำลังแสดง หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่ายังมีการอธิบายการประยุกต์ใช้การแปลงที่เหมือนกันในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้เยอะ!

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์