ฟังก์ชันเลขคี่เช่น ฟังก์ชันคู่และคี่

กราฟของฟังก์ชันคู่และคี่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

หากฟังก์ชันมีค่าเท่ากัน กราฟของฟังก์ชันนั้นจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน y หากฟังก์ชันเป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันนั้นจะสมมาตรเกี่ยวกับจุดเริ่มต้น

ตัวอย่าง.พล็อตฟังก์ชัน \(y=\left|x \right|\)

วิธีการแก้.พิจารณาฟังก์ชัน: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) และแทนที่ \(x \) สำหรับสิ่งที่ตรงกันข้าม \(-x \) จากการแปลงอย่างง่าย เราได้รับ: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าแทนที่อาร์กิวเมนต์ด้วยเครื่องหมายตรงข้าม ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นค่าคู่ และกราฟของฟังก์ชันนี้จะสมมาตรเกี่ยวกับแกน y (แกนแนวตั้ง) กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงในรูปด้านซ้าย ซึ่งหมายความว่าเมื่อวางแผนกราฟ คุณสามารถสร้างได้เพียงครึ่งเดียว และส่วนที่สอง (ทางด้านซ้ายของแกนตั้ง ให้วาดไปทางขวาแบบสมมาตรแล้ว) การพิจารณาความสมมาตรของฟังก์ชันก่อนที่จะเริ่มพล็อตกราฟ คุณสามารถทำให้กระบวนการสร้างหรือศึกษาฟังก์ชันง่ายขึ้นอย่างมาก หากเป็นการยากที่จะตรวจสอบในรูปแบบทั่วไป คุณสามารถทำได้ง่ายขึ้น: แทนที่ค่าเดียวกันของเครื่องหมายต่างๆ ลงในสมการ ตัวอย่างเช่น -5 และ 5 หากค่าของฟังก์ชันเหมือนกัน เราก็หวังว่าฟังก์ชันจะเท่ากัน จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ วิธีการนี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด แต่จากมุมมองเชิงปฏิบัติ วิธีนี้สะดวก เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ คุณสามารถแทนที่ค่าที่ตรงกันข้ามได้หลายคู่

ตัวอย่าง.พล็อตฟังก์ชัน \(y=x\left|x \right|\)

วิธีการแก้.มาตรวจสอบเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ หมายความว่าฟังก์ชันเดิมเป็นเลขคี่ (เครื่องหมายของฟังก์ชันจะกลับกัน)

สรุป: ฟังก์ชันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด คุณสามารถสร้างได้เพียงครึ่งหนึ่ง และวาดอีกครึ่งหนึ่งแบบสมมาตร ความสมมาตรนี้วาดยากกว่า ซึ่งหมายความว่าคุณกำลังดูแผนภูมิจากอีกด้านหนึ่งของแผ่นงาน และแม้กระทั่งกลับหัวกลับหาง และคุณยังสามารถทำสิ่งนี้ได้: นำส่วนที่วาดแล้วหมุนไปรอบๆ จุดกำเนิดโดยทวนเข็มนาฬิกา 180 องศา

ตัวอย่าง.พล็อตฟังก์ชัน \(y=x^3+x^2\)

วิธีการแก้.มาทำการตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายแบบเดียวกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่ .

สรุป: ฟังก์ชันนี้ไม่สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดหรือจุดศูนย์กลางของระบบพิกัด สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะเป็นผลรวมของสองฟังก์ชัน: คู่และคี่ สถานการณ์เดียวกันจะเกิดขึ้นหากคุณลบฟังก์ชันที่ต่างกันสองฟังก์ชัน แต่การคูณหรือการหารจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต่างออกไป ตัวอย่างเช่น ผลคูณของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ให้ฟังก์ชันคี่ หรือผลหารของคี่สองตัวนำไปสู่ฟังก์ชันคู่

ซ่อนการแสดง

วิธีการตั้งค่าฟังก์ชั่น

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร: y=2x^(2)-3 โดยการกำหนดค่าใดๆ ให้กับตัวแปรอิสระ x คุณสามารถใช้สูตรนี้เพื่อคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตาม y ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า x=-0.5 จากนั้นใช้สูตร เราจะได้ค่าที่สอดคล้องกันของ y y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5

เมื่อให้ค่าใดๆ ที่อาร์กิวเมนต์ x นำมาใช้ในสูตร y=2x^(2)-3 สามารถคำนวณค่าฟังก์ชันได้เพียงค่าเดียวที่สอดคล้องกับค่านั้น ฟังก์ชั่นสามารถแสดงเป็นตาราง:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

เมื่อใช้ตารางนี้ คุณจะทราบได้ว่าสำหรับค่าของอาร์กิวเมนต์ -1 ค่าของฟังก์ชัน -3 จะสอดคล้องกัน และค่า x=2 จะสอดคล้องกับ y=0 เป็นต้น สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละรายการในตารางสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันเพียงค่าเดียว

สามารถตั้งค่าฟังก์ชันเพิ่มเติมได้โดยใช้กราฟ ด้วยความช่วยเหลือของกราฟ จะกำหนดว่าค่าของฟังก์ชันใดสัมพันธ์กับค่า x ที่แน่นอน ส่วนใหญ่แล้ว นี่จะเป็นค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคู่และคี่

ฟังก์ชันคือ แม้กระทั่งการทำงานเมื่อ f(-x)=f(x) สำหรับ x ใดๆ จากโดเมน ฟังก์ชันดังกล่าวจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ฟังก์ชันคือ ฟังก์ชันคี่เมื่อ f(-x)=-f(x) สำหรับ x ใดๆ ในโดเมน ฟังก์ชันดังกล่าวจะสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด O (0;0) .

ฟังก์ชันคือ ไม่แม้แต่, ไม่แปลกและเรียก ฟังก์ชั่นทั่วไปเมื่อไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนหรือจุดกำเนิด

เราตรวจสอบฟังก์ชันต่อไปนี้สำหรับความเท่าเทียมกัน:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) กับโดเมนสมมาตรของคำจำกัดความเกี่ยวกับต้นกำเนิด f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x)=3x^(3)-7x^(7) จึงเป็นเลขคี่

ฟังก์ชันเป็นระยะ

ฟังก์ชัน y=f(x) ในโดเมนที่ f(x+T)=f(x-T)=f(x) เป็นจริงสำหรับ x ใดๆ ถูกเรียก ฟังก์ชั่นเป็นระยะด้วยระยะเวลา T \neq 0

การทำซ้ำกราฟของฟังก์ชันในส่วนใดๆ ของแกน abscissa ซึ่งมีความยาว T .

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นค่าบวก นั่นคือ f (x) > 0 - ส่วนของแกน abscissa ซึ่งสอดคล้องกับจุดของกราฟของฟังก์ชันที่อยู่เหนือแกน abscissa

f(x) > 0 เมื่อ (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

ช่องว่างที่ฟังก์ชันเป็นค่าลบ เช่น f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

เอฟ(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

ข้อจำกัดของฟังก์ชัน

ล้อมรอบจากด้านล่างเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีตัวเลข A ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน f(x) \geq A ถือไว้สำหรับ x \in X ใดๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตด้านล่าง: y=\sqrt(1+x^(2)) ตั้งแต่ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 สำหรับ x ใดๆ

ถูกจำกัดจากเบื้องบนฟังก์ชั่น y=f(x) x \in X จะถูกเรียกหากมีตัวเลข B ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน f(x) \neq B ถือไว้สำหรับ x \in X ใด ๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขตด้านล่าง: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]ตั้งแต่ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 สำหรับ x \in [-1;1] ใด ๆ

ถูก จำกัดเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x), x \in X เมื่อมีตัวเลข K > 0 ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน \left | f(x) \right | \neq K สำหรับ x \in X ใด ๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีขอบเขต: y=\sin x ถูกจำกัดบนเส้นจำนวนเต็มเพราะ \left | \sin x \right | \neq 1.

การเพิ่มและลดฟังก์ชัน

เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่พิจารณาเป็น ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นเมื่อค่า x ที่มากกว่าจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน y=f(x) จากที่นี่ปรากฎว่านำค่าอาร์กิวเมนต์สองค่าจากช่วงเวลาที่พิจารณา x_(1) และ x_(2) และ x_(1) > x_(2) จะเป็น y(x_(1)) > y(x_(2)) .

ฟังก์ชันที่ลดลงในช่วงเวลาที่พิจารณาเรียกว่า ฟังก์ชั่นลดลงเมื่อค่า x ที่มากกว่าจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน y(x) จากที่นี่ปรากฎว่านำค่าอาร์กิวเมนต์สองค่าจากช่วงเวลาที่พิจารณา x_(1) และ x_(2) และ x_(1) > x_(2) จะเป็น y(x_(1))< y(x_{2}) .

รากของฟังก์ชันเป็นเรื่องปกติที่จะตั้งชื่อจุดที่ฟังก์ชัน F=y(x) ตัดกับแกน abscissa (ได้มาจากการแก้สมการ y(x)=0 )

a) หากฟังก์ชันคู่เพิ่มขึ้นสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันนั้นจะลดลงสำหรับ x< 0

b) เมื่อฟังก์ชันคู่ลดลงสำหรับ x > 0 แล้วฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นสำหรับ x< 0

c) เมื่อฟังก์ชันคี่เพิ่มขึ้นสำหรับ x > 0 ก็จะเพิ่มขึ้นสำหรับ x< 0

d) เมื่อฟังก์ชันคี่ลดลงสำหรับ x > 0 ฟังก์ชันดังกล่าวก็จะลดลงสำหรับ x . ด้วย< 0

ฟังก์ชั่นสุดขั้ว

ฟังก์ชันจุดต่ำสุด y=f(x) เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกจุดดังกล่าว x=x_(0) ซึ่งบริเวณใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0) ) และสำหรับพวกเขาแล้วความไม่เท่าเทียมกัน f( x) > f (x_(0)) . y_(นาที) - การกำหนดฟังก์ชัน ณ จุดต่ำสุด

ฟังก์ชั่นจุดสูงสุด y=f(x) เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกจุดดังกล่าว x=x_(0) ซึ่งบริเวณใกล้เคียงจะมีจุดอื่น (ยกเว้นจุด x=x_(0) ) และความไม่เท่าเทียมกัน f(x) จะพอใจสำหรับพวกเขา< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

เงื่อนไขที่จำเป็น

ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: f"(x)=0 ดังนั้นเมื่อฟังก์ชัน f(x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x_(0) สุดโต่งจะปรากฏขึ้นที่จุดนี้

สภาพพอใช้

1. เมื่อเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ จากนั้น x_(0) จะเป็นจุดต่ำสุด
2. x_(0) - จะเป็นจุดสูงสุดก็ต่อเมื่ออนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดนิ่ง x_(0)

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา

ขั้นตอนการคำนวณ:

1. กำลังมองหาอนุพันธ์ f"(x) ;
2. พบจุดหยุดนิ่งและจุดวิกฤตของฟังก์ชันและเลือกจุดที่เป็นของช่วงเวลา
3. ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะอยู่ที่จุดคงที่และจุดวิกฤตและจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ ผลลัพธ์ที่น้อยที่สุดจะเป็น ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน, และอื่น ๆ - ยิ่งใหญ่ที่สุด.

ย้อนกลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เป้าหมาย:

• เพื่อสร้างแนวคิดของฟังก์ชันคู่และคี่เพื่อสอนความสามารถในการกำหนดและใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการศึกษาฟังก์ชันการพล็อต
• เพื่อพัฒนากิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน การคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการเปรียบเทียบ สรุป;
• เพื่อปลูกฝังความขยันหมั่นเพียรวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ พัฒนาทักษะการสื่อสาร .

อุปกรณ์:การติดตั้งมัลติมีเดีย ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ เอกสารประกอบคำบรรยาย

รูปแบบของงาน:หน้าผากและกลุ่มที่มีองค์ประกอบของกิจกรรมการค้นหาและการวิจัย

แหล่งข้อมูล:

1. พีชคณิตระดับ 9 A.G. Mordkovich หนังสือเรียน.
2. พีชคณิตเกรด 9 A.G. Mordkovich หนังสืองาน.
3. พีชคณิตเกรด 9 ภารกิจการเรียนรู้และพัฒนานักเรียน Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. ตรวจการบ้าน

ฉบับที่ 10.17 (หนังสือปัญหาเกรด 9 A.G. Mordkovich)

ก) ที่ = ฉ(X), ฉ(X) =

ข) ฉ (–2) = –3; ฉ (0) = –1; ฉ(5) = 69;

ค) 1. ง( ฉ) = [– 2; + ∞)
2. อี( ฉ) = [– 3; + ∞)
3. ฉ(X) = 0 สำหรับ X ~ 0,4
4. ฉ(X) >0 at X > 0,4 ; ฉ(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย X € [– 2; + ∞)
6. ฟังก์ชันถูกจำกัดจากด้านล่าง
7. ที่จ้าง = - 3, ที่นาอิบไม่มีอยู่จริง
8. ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

(คุณใช้อัลกอริทึมการสำรวจคุณลักษณะหรือไม่) สไลด์.

2. ตรวจสอบตารางที่คุณถามบนสไลด์

เติมโต๊ะ
	โดเมน	ฟังก์ชันศูนย์	ช่วงเวลาคงที่		พิกัดจุดตัดของกราฟกับOy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) คุณ ยู(2;∞)	х € (–∞;–5) คุณ คุณ (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) คุณ ยู(2;∞)	х € (–∞;–5) คุณ คุณ (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) คุณ ยู(2;∞)	x € (–5; 2)

3. อัพเดทความรู้

- ฟังก์ชั่นจะได้รับ
– ระบุโดเมนของคำจำกัดความสำหรับแต่ละฟังก์ชัน
– เปรียบเทียบค่าของแต่ละฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละคู่: 1 และ – 1; 2 และ - 2
– สำหรับหน้าที่ที่กำหนดในขอบเขตของคำจำกัดความมีความเท่าเทียมกัน ฉ(– X) = ฉ(X), ฉ(– X) = – ฉ(X)? (ใส่ข้อมูลลงในตาราง) สไลด์

		ฉ(1) และ ฉ(– 1)	ฉ(2) และ ฉ(– 2)	ชาร์ต	ฉ(– X) = –ฉ(X)	ฉ(– X) = ฉ(X)
1. ฉ(X) =
2. ฉ(X) = X 3
3. ฉ(X) = | X |
4.ฉ(X) = 2X – 3
5. ฉ(X) =	X ≠ 0
6. ฉ(X)=	X > –1		และไม่ได้กำหนดไว้

4. วัสดุใหม่

- ในขณะที่ทำงานนี้ พวกเราได้เปิดเผยคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของฟังก์ชันที่ไม่คุ้นเคยสำหรับคุณ แต่ก็มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่าคุณสมบัติอื่น ๆ - นี่คือความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน เขียนหัวข้อของบทเรียน: "ฟังก์ชันคู่และคี่" งานของเราคือเรียนรู้วิธีกำหนดฟังก์ชันคู่และคี่ ค้นหาความสำคัญของคุณสมบัตินี้ในการศึกษาฟังก์ชันและการวางแผน
ดังนั้น ให้หาคำจำกัดความในตำราเรียนและอ่าน (น.110) . สไลด์

def. หนึ่งการทำงาน ที่ = ฉ (X) ที่กำหนดไว้ในชุด X เรียกว่า สม่ำเสมอ, หากมีค่าใดๆ XЄ X กำลังดำเนินการ ความเท่าเทียมกัน f (–x) = f (x) ยกตัวอย่าง.

def. 2การทำงาน y = ฉ(x)กำหนดไว้ในเซต X เรียกว่า แปลก, หากมีค่าใดๆ XЄ X ความเท่าเทียมกัน f(–х)= –f(х) เป็นที่พอใจ ยกตัวอย่าง.

เราพบคำว่า "คู่" และ "คี่" ที่ไหน?
คุณคิดว่าฟังก์ชันใดเหล่านี้จะเท่ากัน ทำไม อันไหนแปลก? ทำไม
สำหรับฟังก์ชันใด ๆ ของแบบฟอร์ม ที่= x น, ที่ไหน นเป็นจำนวนเต็มสามารถโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่สำหรับ นเป็นเลขคี่และฟังก์ชันเป็นเลขคู่สำหรับ น- สม่ำเสมอ.
– ดูฟังก์ชั่น ที่= และ ที่ = 2X– 3 ไม่เป็นคู่หรือคี่เพราะ ไม่พบความเท่าเทียมกัน ฉ(– X) = – ฉ(X), ฉ(– X) = ฉ(X)

การศึกษาคำถามว่าฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่เรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกันสไลด์

คำจำกัดความที่ 1 และ 2 จัดการกับค่าของฟังก์ชันที่ x และ - x ดังนั้นจึงถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่ค่าด้วย Xและที่ - X.

โอดีเอ 3หากจำนวนที่รวมกันกับแต่ละองค์ประกอบ x มีองค์ประกอบตรงข้าม x แล้ว set Xเรียกว่าเซตสมมาตร

ตัวอย่าง:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) เป็นเซตสมมาตร และ , [–5;4] ไม่สมมาตร

- ฟังก์ชั่นแม้แต่มีขอบเขตของคำจำกัดความ - ชุดสมมาตรหรือไม่? พวกแปลก ๆ ?
- ถ้า D( ฉ) เป็นเซตอสมมาตร แล้วฟังก์ชันคืออะไร?
– ดังนั้น ถ้าฟังก์ชัน ที่ = ฉ(X) เป็นคู่หรือคี่ ดังนั้นโดเมนของคำจำกัดความคือ D( ฉ) เป็นเซตสมมาตร แต่คอนเวิร์สจริงหรือไม่ ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นเซตสมมาตร มันจะเป็นคู่หรือคี่?
- ดังนั้นการมีเซตสมมาตรของโดเมนของคำจำกัดความจึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอ
– แล้วเราจะตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกันได้อย่างไร? มาลองเขียนอัลกอริทึมกัน

สไลด์

อัลกอริทึมสำหรับตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกัน

1. กำหนดว่าโดเมนของฟังก์ชันมีความสมมาตรหรือไม่ ถ้าไม่ใช่ แสดงว่าฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่ ถ้าใช่ ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึม

2. เขียนนิพจน์สำหรับ ฉ(–X).

3. เปรียบเทียบ ฉ(–X).และ ฉ(X):

• ถ้า ฉ(–X).= ฉ(X) จากนั้นฟังก์ชันจะเท่ากัน
• ถ้า ฉ(–X).= – ฉ(X) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่
• ถ้า ฉ(–X) ≠ ฉ(X) และ ฉ(–X) ≠ –ฉ(X) จากนั้นฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

ตัวอย่าง:

ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกัน a) ที่= x 5 +; ข) ที่= ; ใน) ที่= .

วิธีการแก้.

ก) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞) ชุดสมมาตร

2) ชั่วโมง (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e ฟังก์ชั่น ชั่วโมง(x)= x 5 + คี่

ข) y =,

ที่ = ฉ(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞) เซตแบบอสมมาตร ดังนั้นฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่

ใน) ฉ(X) = , y = ฉ(x),

1) ด( ฉ) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

ตัวเลือก 2

1. เซตที่ให้มามีความสมมาตรหรือไม่: a) [–2;2]; ข) (∞; 0], (0; 7) ?

ก); b) y \u003d x (5 - x 2) 2. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกัน:

ก) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. ในรูป วางแผน ที่ = ฉ(X), สำหรับทุกอย่าง X, ตรงตามเงื่อนไข X? 0.
พล็อตฟังก์ชัน ที่ = ฉ(X), ถ้า ที่ = ฉ(X) เป็นฟังก์ชันคู่

3. ในรูป วางแผน ที่ = ฉ(X) เพื่อความพึงพอใจ x ทั้งหมด x? 0.
พล็อตฟังก์ชัน ที่ = ฉ(X), ถ้า ที่ = ฉ(X) เป็นฟังก์ชันคี่

ตรวจสอบร่วมกันใน สไลด์

6. การบ้าน: №11.11, 11.21,11.22;

พิสูจน์ความหมายทางเรขาคณิตของคุณสมบัติพาริตี

*** (การกำหนดตัวเลือก USE)

1. ฟังก์ชันคี่ y \u003d f (x) ถูกกำหนดบนเส้นจริงทั้งหมด สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร x ค่าของฟังก์ชันนี้จะตรงกับค่าของฟังก์ชัน g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน h( X) = ที่ X = 3.

7. สรุป

ฟังก์ชันเลขคู่และคี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลัก และความเท่าเทียมกันเป็นส่วนที่น่าประทับใจของหลักสูตรวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ส่วนใหญ่จะกำหนดลักษณะของพฤติกรรมของฟังก์ชันและอำนวยความสะดวกอย่างมากในการสร้างกราฟที่สอดคล้องกัน

ให้เรากำหนดความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน โดยทั่วไป ฟังก์ชันภายใต้การศึกษาจะได้รับการพิจารณาแม้ว่าค่าที่ตรงกันข้ามของตัวแปรอิสระ (x) ที่อยู่ในโดเมน ค่าที่สอดคล้องกันของ y (ฟังก์ชัน) จะเท่ากัน

ให้เราให้คำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้น พิจารณาฟังก์ชันบางอย่าง f (x) ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมน D แม้ว่าจุด x ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความจะเป็นดังนี้:

• -x (จุดตรงข้าม) ก็อยู่ในขอบเขตที่กำหนดเช่นกัน

• ฉ(-x) = ฉ(x).

จากคำจำกัดความข้างต้น เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดังกล่าวคือ ความสมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นจุดกำเนิดของพิกัด เนื่องจากหากมีจุด b บางจุดอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของ แม้กระทั่งฟังก์ชัน จากนั้นจุดที่สอดคล้องกัน - b ก็อยู่ในโดเมนนี้เช่นกัน จากที่กล่าวมานี้ สรุปได้ดังนี้: ฟังก์ชันคู่มีรูปแบบที่สมมาตรเทียบกับแกนพิกัด (Oy)

จะกำหนดความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

กำหนดให้ใช้สูตร h(x)=11^x+11^(-x) ตามอัลกอริธึมที่ตามมาโดยตรงจากคำจำกัดความ ก่อนอื่นเราต้องศึกษาโดเมนของคำจำกัดความ เห็นได้ชัดว่ามันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือเงื่อนไขแรกเป็นที่พอใจ

ขั้นตอนต่อไปคือการแทนที่อาร์กิวเมนต์ (x) ด้วยค่าตรงข้าม (-x)
เราได้รับ:
ชั่วโมง(-x) = 11^(-x) + 11^x
เนื่องจากการเพิ่มเป็นไปตามกฎการสลับเปลี่ยน (การกระจัด) เป็นที่แน่ชัดว่า h(-x) = h(x) และการพึ่งพาฟังก์ชันที่ให้มานั้นเท่ากัน

ลองตรวจสอบความสม่ำเสมอของฟังก์ชัน h(x)=11^x-11^(-x) ตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราได้ h(-x) = 11^(-x) -11^x ลบออก ส่งผลให้เราได้
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). ดังนั้น h(x) จึงเป็นเลขคี่

โดยวิธีการที่ควรจะจำได้ว่ามีฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถจำแนกตามเกณฑ์เหล่านี้พวกเขาจะเรียกว่าไม่เป็นคู่หรือคี่

แม้แต่ฟังก์ชันก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

• อันเป็นผลมาจากการเพิ่มฟังก์ชั่นที่คล้ายกันทำให้ได้อันเดียว
• อันเป็นผลมาจากการลบฟังก์ชันดังกล่าวจะได้หนึ่งคู่
• แม้กระทั่ง แม้กระทั่ง;
• อันเป็นผลมาจากการคูณสองฟังก์ชันดังกล่าว จะได้หนึ่งคู่
• อันเป็นผลมาจากการคูณของฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อันเป็นผลมาจากการแบ่งฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเลขคี่
• ถ้าเรายกกำลังสองฟังก์ชันคี่ เราจะได้ 1 คู่

ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันสามารถใช้ในการแก้สมการได้

ในการแก้สมการเช่น g(x) = 0 โดยที่ด้านซ้ายของสมการเป็นฟังก์ชันคู่ การหาคำตอบสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรนั้นเพียงพอแล้ว รากที่ได้จากสมการจะต้องรวมกับตัวเลขตรงข้าม หนึ่งในนั้นอยู่ภายใต้การตรวจสอบ

เช่นเดียวกับที่ใช้ในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น มีค่าใดบ้างสำหรับพารามิเตอร์ a ที่จะทำให้สมการ 2x^6-x^4-ax^2=1 มีสามราก

หากเราพิจารณาว่าตัวแปรเข้าสู่สมการด้วยกำลังคู่ เป็นที่ชัดเจนว่าการแทนที่ x ด้วย -x จะไม่เปลี่ยนสมการที่กำหนด มันตามมาว่าหากจำนวนหนึ่งเป็นรูท ตัวเลขตรงข้ามก็จะเป็นเช่นนั้น ข้อสรุปนั้นชัดเจน: รากของสมการนอกเหนือจากศูนย์จะรวมอยู่ในเซตของคำตอบเป็น "คู่"

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลข 0 นั้นไม่ใช่ นั่นคือ จำนวนรากของสมการดังกล่าวสามารถเป็นเลขคู่ได้เท่านั้น และโดยธรรมชาติแล้ว สำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์นั้น จะไม่มีสามรากได้

แต่จำนวนรากของสมการ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 อาจเป็นเลขคี่ และสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ อันที่จริง เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเซตของรากของสมการที่กำหนดมีคำตอบเป็น "คู่" หรือไม่ ลองตรวจสอบว่า 0 เป็นรูทหรือไม่ เมื่อแทนค่าลงในสมการ จะได้ 2=2 ดังนั้น นอกจาก "จับคู่" 0 แล้ว ยังเป็นรูท ซึ่งพิสูจน์เลขคี่ของพวกเขา

การวิจัยฟังก์ชัน

1) D(y) - Domain of definition: ชุดของค่าเหล่านั้นทั้งหมดของตัวแปร x ภายใต้นิพจน์พีชคณิต f(x) และ g(x) เหมาะสม

หากสูตรกำหนดฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความจะประกอบด้วยค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระที่สูตรเหมาะสม

2) คุณสมบัติฟังก์ชัน: คู่/คี่ ระยะ:

แปลกและ สม่ำเสมอเรียกว่าฟังก์ชันซึ่งกราฟมีความสมมาตรตามการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันคี่- ฟังก์ชั่นที่เปลี่ยนค่าเป็นตรงกันข้ามเมื่อสัญลักษณ์ของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของพิกัด)

ฟังก์ชั่นสม่ำเสมอ- ฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อสัญลักษณ์ของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรเกี่ยวกับแกน y)

ไม่มีฟังก์ชันเลขคู่หรือคี่ (ฟังก์ชั่นทั่วไป)เป็นฟังก์ชันที่ไม่สมมาตร หมวดหมู่นี้รวมถึงฟังก์ชันที่ไม่อยู่ใน 2 หมวดหมู่ก่อนหน้า

ฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในหมวดหมู่ใด ๆ ข้างต้นเรียกว่า ไม่เท่ากันหรือคี่(หรือฟังก์ชันทั่วไป)

ฟังก์ชันคี่

ยกกำลังคี่โดยที่จำนวนเต็มตามอำเภอใจ

แม้กระทั่งฟังก์ชั่น

เลขคู่เป็นจำนวนเต็มตามอำเภอใจ

ฟังก์ชันเป็นระยะเป็นฟังก์ชันที่ทำซ้ำค่าในช่วงเวลาปกติของอาร์กิวเมนต์ กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อเพิ่มจำนวนคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงในอาร์กิวเมนต์ ( ระยะเวลาฟังก์ชัน) เหนือขอบเขตทั้งหมดของคำจำกัดความ

3) ศูนย์ (ราก) ของฟังก์ชันคือจุดที่หายไป

การหาจุดตัดของกราฟกับแกน ออย. ในการทำเช่นนี้คุณต้องคำนวณค่า ฉ(0). หาจุดตัดของกราฟด้วยแกน .ด้วย วัว, หารากของสมการทำไม ฉ(x) = 0 (หรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีราก)

จุดที่กราฟตัดแกนเรียกว่า ฟังก์ชันศูนย์. ในการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการ นั่นคือ find ค่า x เหล่านั้นซึ่งฟังก์ชันจะหายไป

4) ช่วงเวลาของความมั่นคงของสัญญาณสัญญาณในพวกเขา

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน f(x) คงเครื่องหมายไว้

ช่วงคงตัวคือช่วงเวลา ในทุกจุดที่ฟังก์ชั่นเป็นบวกหรือลบ

เหนือแกน x

ด้านล่างแกน

5) ความต่อเนื่อง (จุดที่ไม่ต่อเนื่อง, ลักษณะของความไม่ต่อเนื่อง, เส้นกำกับ)

ฟังก์ชันต่อเนื่อง- ฟังก์ชั่นที่ไม่มี "กระโดด" นั่นคือหนึ่งในการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

เบรกพอยต์ที่ถอดออกได้

ถ้าลิมิตของฟังก์ชัน มีอยู่แต่ฟังก์ชันไม่ได้กำหนดไว้ ณ จุดนี้ หรือขีดจำกัดไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

,

แล้วจุดที่เรียกว่า จุดแตกหักฟังก์ชัน (ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้)

หากเรา "แก้ไข" ฟังก์ชัน ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้และใส่ จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดนี้ การดำเนินการดังกล่าวในฟังก์ชันเรียกว่า ขยายฟังก์ชันเป็นต่อเนื่องหรือ การขยายฟังก์ชันด้วยความต่อเนื่องซึ่งทำให้ชื่อของจุดเป็น point แบบใช้แล้วทิ้งช่องว่าง

คะแนนความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่หนึ่งและสอง

หากฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด (นั่นคือ ไม่มีขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดหรือไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด) ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันตัวเลข มีสองตัวเลือกที่เป็นไปได้ ที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของฟังก์ชันตัวเลข ขีด จำกัด ฝ่ายเดียว:

ถ้าลิมิตด้านเดียวทั้งสองมีอยู่และเป็นอันสิ้นสุด จุดนั้นเรียกว่า จุดแตกหักของประเภทแรก. จุดไม่ต่อเนื่องที่ถอดได้คือจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทแรก

หากไม่มีขีดจำกัดด้านเดียวหรือไม่ใช่ค่าจำกัดจุดดังกล่าวจะเรียกว่า จุดแตกหักของประเภทที่สอง.

เส้นกำกับ - ตรงซึ่งมีคุณสมบัติว่าระยะทางจากจุดโค้งถึงจุดนี้ ตรงมีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนไปตามกิ่งก้านจนถึงอนันต์

แนวตั้ง

เส้นกำกับแนวตั้ง - เส้นขีด จำกัด .

ตามกฎแล้ว เมื่อกำหนดเส้นกำกับแนวดิ่ง จะไม่มองหาขีด จำกัด เพียงอย่างเดียว แต่จะมองหาขีด จำกัด ด้านเดียวสองอัน (ซ้ายและขวา) สิ่งนี้ทำเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อเข้าใกล้เส้นกำกับแนวตั้งจากทิศทางต่างๆ ตัวอย่างเช่น:

แนวนอน

เส้นกำกับแนวนอน - ตรงสายพันธุ์ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ ขีดจำกัด

.

เฉียง

เส้นกำกับเฉียง - ตรงสายพันธุ์ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ ขีดจำกัด

หมายเหตุ: ฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับเฉียง (แนวนอน) ได้ไม่เกินสองเส้น

หมายเหตุ: ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสองขีดจำกัดที่กล่าวถึงข้างต้นไม่มีอยู่ (หรือเท่ากับ ) ดังนั้นเส้นกำกับเฉียงที่ (หรือ ) จะไม่มีอยู่

ถ้าอยู่ในข้อ 2) แล้ว และพบขีดจำกัดโดยสูตรเส้นกำกับแนวนอน .

6) การหาช่วงของความซ้ำซากจำเจค้นหาช่วงความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน ฉ(x) (นั่นคือช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง) ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ ฉ(x). เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาอนุพันธ์ ฉ(x) และแก้ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x)0. ในช่วงเวลาที่เกิดความไม่เท่าเทียมกันนี้ ฟังก์ชัน ฉ(x) เพิ่มขึ้น ที่ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันกลับกันถือ ฉ(x)0, ฟังก์ชั่น ฉ(x) ลดลง

หาจุดสุดยอดในท้องถิ่นเมื่อพบช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจแล้ว เราสามารถกำหนดจุดสุดโต่งในท้องที่ทันทีที่การเพิ่มขึ้นถูกแทนที่ด้วยการลดลง มีจุดสูงสุดเฉพาะที่ และการลดลงจะถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มขึ้นขั้นต่ำในท้องถิ่น คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ หากฟังก์ชันมีจุดวิกฤติที่ไม่ใช่จุดสุดโต่งในพื้นที่ ก็จะเป็นประโยชน์ในการคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ด้วย

การหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซ็กเมนต์(ต่อ)

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x). 2. ค้นหาจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์: ฉ(x)=0x 1, x 2 ,... 3. กำหนดความเป็นเจ้าของคะแนน X 1 ,X 2 , … ส่วน [ เอ; ข]: อนุญาต x 1เอ;ข, แ x 2เอ;ข .